simülasyon

DERS-3
İstatistiksel Dağılımlar -II
Prof.Dr.Hüseyin BAŞLIGİL
YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ
ENDÜSTRİ MÜHENSLİĞİ BÖLÜMÜ
1
Örnek 11:
 İstatistik dersinden yapılan II.
Arasınav için ortalama 60 ve standart
sapma 10 olarak hesaplanmıştır.
 a) Bu sınavdan 85 ve üzeri not alan
öğrencilerin yüzdesini belirleyiniz?
 b) Aynı sınavdan 70 ile 80 arasından
not alan öğrencilerin oranı nedir?
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
2
a)
z
X 

85  60

 2.5
10
P(z<2.5)=0
.9938
Sadece % 0.62’si (1-0.9938) bu
notun üzerinde not almıştır.
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
3
P
(z<2)=0.977
2
P
(z<1)=0.841
3
70 ile 80 arasında not alan
öğrencilerin yüzdesi:
=0.9772-0.8413
=0.1359
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
4
Örnek 12:
 Bir işletmede üretilmekte olan
cıvataların çap değerlerinin ortalaması
10 mm ve standart sapması 2 mm
olan normal dağılıma uymaktadır.
 a) Buna göre rasgele seçilen bir
civatanın çap uzunluğunun 8.9 mm
den kısa olması olasılığını
hesaplayınız?
 x   8.9  10 
P  X  8.9   P 

  P  z  0.55 
2 
 
 Çözüm:
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
5
b) Bu işletmede bir günde üretilen cıvata sayısı 10.000 olduğuna göre
cıvata çapı 8.9 mm den kısa olacak cıvata sayısının beklenen değerini
hesaplayınız?
E[x]=10000*0.2912=2912
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
6
Örnek-13:
 Bir işletmenin üretmekte olduğu
deterjanların ağırlıklarının ortalaması
μ=3500 gr, standart sapması σ=600
gr olan normal dağılım gösterdiği
bilinmektedir.
 a) Bu deterjanların % ne kadarı
3500g’dan ağırdır?
 b) Bu deterjanların % ne
kadarı3500g’dan hafiftir?
 c) Bu deterjanların % ne kadarı 3500g
ile 3800g arasındadır?
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
7
Çözüm:
 a) P(x>3500)= 0.5
P(z>0)= 0.5
 b) P(z<0)= 0.5
 c) P(3500<x<3800)=p(0<z<0.5)
z=(x-μ)/σ
z = (3800-3500)/600 = 0.5
P(0<z<0.5)=0.1915
 d) P(x>4100)= P(z>1)
P(z>1)= P(z>0)- P(0<z<1)
P(z>1)= 0.5- 0.3413=0.1587
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
8
Örnek-14
GE
için
kalite
güvence
mühendisleri,
üretmekte oldukları Opel Marka araçlarının
ampul
kullanım
süresinin
= 2000 saat &  = 200 saat olmak üzere
normal dağılım gösterdiğini belirlemişlerdir.
Buna göre,
A. Bir ampulün kullanım süresi olasılığının
2000
ile
2400
saat arasında olması olasılığı?
B. Bir ampulün kullanım süresi olasılığının
1470 saatten az olması olasılığı nedir?
Çözüm*
P(2000  X  2400)
X   2400  2000
Z

 2.0

200
Normal
Dağılım
Standart Normal
Dağılım
 = 200
=1
.4772
 = 2000 2400
X
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
=0
2.0
Z
10
Çözüm*
P(X  1470)
X   1470  2000
Z

  2.65

200
Normal
Dağılım
Standart Normal Dağılım
 = 200
=1
.5000
.4960
.0040
1470  = 2000
X
-2.65  = 0
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
Z
11
Bazı Önemli Sürekli
Dağılımlar
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
12
Düzgün Dağılım
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
13
Düzgün Dağılım
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
14
Üstel Dağılım
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
15
Üstel Dağılım
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
16
Üstel Dağılımın Özellikleri
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
17
Üstel Dağılım-Örnek
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
18
Üstel Dağılım-ÖrnekÇözüm:
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
19
Gamma Dağılım
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
20
Gamma Dağılımın
Fonksiyonu
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
21
Gamma Dağılım: Beklenen Değer
ve Varyans
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
22
Beta Dağılım
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
23
Beta Dağılım: Beklenen Değer ve
Varyans
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
24
Beta Dağılım-Olasılık yoğunluk fonksiyonu
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
25
Ki-Kare Dağılımı
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
26
t Dağılımı
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
27
Örnek-15
 Elektronik işlemciye ait dayanım parametresi, X
rasgele değişkeninin [1.5, 5.5] aralığında sürekli
bir düzgün dağılıma sahip olduğu bilindiğine göre;
a) X rasgele değişkeninin ortalama, varyans ve
standart sapma değerlerini hesaplayınız?
b) P (X<2.5) olasılığını hesaplayınız?
c) Kümülatif dağılım fonksiyonunu elde ediniz?
Çözüm:
Eğer X değişkeni [a, b] aralığında düzgün sürekli
dağılıma sahip ise ortalama ve varyans değerleri
aşağıdaki gibi hesaplanır:
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
28
ab
  EX  
2
2 V X  
b  a 
2
12
Dolayısıyla;
5.5  1.5
  EX  
 3.5
2
 V X 
2
b)
5.5  1.5 


P  X  2.5 
12
2
 1.33 ve   1.33  1.15
2.5
 0.25dx  0.25x
2.5
1.5
 0.25
1.5
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
29
c)
Sürekli düzgün dağılım için kümülatif
fonksiyonu aşağıdaki gibi elde edilebilir:
0
x  a

F  x  
b  a
1
dağılım
xa
a xb
bx
Dolayısıyla dağılım fonksiyonu aşağıdaki gibi elde edilir:
0

F  x   0.25 x  0.375
1

x  1.5
1.5  x  5.5
5.5  x
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
30
Örnek-16
 X rasgele değişkeninin [-1, 1]
aralığında sürekli bir düzgün dağılıma
sahip olduğu bilindiğine göre;
a) X rasgele değişkeninin ortalama,
varyans ve standart sapma
değerlerini hesaplayınız?
b) P (-x<X<x)=0.90 olmasını sağlayan
x değerini hesaplayınız?
c) Kümülatif dağılım fonksiyonunu elde
ediniz?
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
31
a)
1  1
  EX  
0
2
2 V X  
b)
1  2 
12
2
 0.33 ve   0.33  0.577
x
P   x  X  x    0.5dx  0.5x  x  x
x
x
Dolayısıyla x=0.90 olarak belirlenir.
c)
x  1
0

F  x   0.5 x  0.5
1.5  x  5.5
1
1 x

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
32
Örnek-17
 İletir Kablo tarafından üretilmekte
olan yarı iletken kabloların genişliğinin
ortalaması 0.5 mm ve standart
sapması 0.05 olan normal dağılım
gösterdikleri bilinmektedir. Buna göre;
 a) Kablo genişliğinin 0.62 mm den
daha büyük olması olasılığını
hesaplayınız?
 b) Kablo genişliğinin 0.47-0.63 mm
arasında olması olasılığı nedir?
 Hangi değer için kablo kalınlıkları %90
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
33
Çözüm
x  0.5
 1.28  x  0.564
0.05
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
34
Örnek-17
 Erdem Kopyalama yeni aldığı bir
yazıcının çıktılarına ait nokta işareti için
istatistiksel bir analiz gerçekleştirmiş
ve yazıcı çıktılarına ait nokta çaplarının
ortalaması 0.002 cm standart sapması
0.0004 cm olan normal dağılıma
uyduğunu tespit etmiştir.
 a) Nokta çaplarının 0.0026 cm den
daha büyük olma olasılığı nedir?
 b) Nokta çaplarının 0.0014-0.0026 cm
arasında olması olasılığı nedir?
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
35
Çözüm
0.0006

 2.81    0.000214
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
36
Örnek-18
 X rasgele değişkeni λ=2 olacak şekilde
üstel dağılıma uyduğuna göre,





a) P(X≤0)=?
b) P(X≥2)=?
c) P(X≤1)=?
d) P(1<X<2)=?
e) P(X<x)=0.05 eşitliğini sağlayan x
değerini bulunuz?
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
37
Çözüm
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
38
Örnek-19
 Bir bilgisayar laboratuarında bulunan
bilgisayarların açılıp sisteme girilmesi
süreci ortalaması 3 bilgisayar/dakika
olan Poisson dağılımına uymaktadır.
 a) Sisteme girişler arasında geçen
zamanın ortalaması nedir?
 b) Sisteme girişler arası zaman için
standart sapma nedir?
 c) Belirli bir “x zamanı” için, en az 1
sisteme giriş olasılığını 0.95 yapacak “x
zamanını” belirleyiniz?
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
39
Çözüm
1
1
a) E  X     0.333dak
 3
1
b)V  X   2  0.111    0.333

x
c) P  X  x    3e dt  e
3t
3t x
0
 1  e 3 x  0.95  x  0.9986
0
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
40
Örnek-20
 Endüstri Mühendisliği Bölümü
öğrencilerinden Ahmet Zorgeçer,
İstatistik dersinin sınavına çalışmamış
ve 4 seçenekli çoktan seçmeli 25
sorudan oluşan yarıyıl sonu sınavına
girmiştir. Ahmet Zorgeçer, soruları
sadece tahmin ederek
cevaplandırmaktadır.
 a) Ahmet’in 20 veya daha fazla soruya
doğru cevap verme olasılığını
hesaplayınız?
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
41
Çözüm
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
42
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
43
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
44
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
45
Merkezi Limit Teoremi
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
46
Daha Büyük
Örnek Hacmi
P(X)
B
Daha küçük
örnek hacmi
A

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
X
47
Merkezi Limit Teoremi
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
48
Örnek-21
Opel firması ürettiği markalarda
kullanmak üzere sipariş ettiği otomobil
lastiklerinin ömürlerinin 25.000 km
ortalamalı ve 16.000 standart sapmalı
bir dağılıma olduğu bilinmektedir.
Seçilen 64 lastik için ortala
ma ömrün 24.600 km den daha az olma
olasılığı nedir?
Çözüm:
Ortalama= 25000
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
49
Örnek-22
 Bitmez Pil Sanayi yaptığı çalışmalar
neticesinde ortalama pil ömrünün
X~N(20, 10) olduğunu belirlemiştir.
Bitmez Pil, garanti kapsamı olarak
seçilen 24 adet pilin ömrünün 16 saati
E ( x )  20;kontrol
SD ( x )  etmektedir.
 2.04. X ~ N (20,
2.04)
aştığını
Rassal
olarak
seçilen
pillerin
P ( X  16)
 P(

)  Pgaranti
( z  1.96)koşulunu

sağlama
olasığını
belirleyiniz?
1  .0250  .9750
 ÇÖZÜM:
10
24
X  20
16  20
2.04
2.04
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
50
Örnek Oranı için Merkezi Limit
Teoremi
 Bir yığından seçilen rassal “n” hacimli
örnek için “x” adet başarı gözlendiği
durumda, eğer “n” örnek hacmi
yeterince geniş (np > 10) ise “örnek
oranı-p” yaklaşık olarak normal
p
(1

p
)
dağılıma
N sahip
p, olacaktır.



n
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL



51
Örnek-23
 Son yıllarda kalite anlamında ciddi
sorunlar yaşayan bir firma, üretmekte
olduğu ürünlerin %12 oranında
başarısız olduğunu tespit etmiştir.
.12*.88
ˆ
ˆ
E
(
p
)

p

.12;
SD
(
p
)

 .046
Rastgele seçilen 50 ürün
için
50
başarısızlık oranının %11’den daha az
N (.12,.046)
olmasıpˆ ~olasılığı
nedir?
 pˆ  .12 .11  .12 
ˆ
P
(
p

.11)

P
 ÇÖZÜM:
 .046  .046 


 P( z  .22)  .4129
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
52
Örnek-24
 Ekmek Teknesi fırın işletmecisi
Nusrettin Bey, almış olduğu un
çuvallarının ağırlıklarının ortalaması
82, standart sapması 12 olan bir
yığından geldiğini tespit etmiştir.
 Nusrettin Bey, satın aldığı 64 çuval
un için ağırlıkların 80.8 ile 83.2 kg
arasında değişmesini istemektedir.
 Un çuvallarının bu ağırlıkları sağlama
ihtimalini belirleyiniz?
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
53
Çözüm:
E ( X )    82, sd ( X ) 
Z

n

12
 1.5
64
X   X  82

1.5
 n
P[80.8  X  83.2]
80.8  82
83.2  82
Z
]
1.5
1.5
 P[.8  Z  .8]  .7881  .2119  .5762
 P[
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
54
Örnek-25
 Yıldırım Elektronik, üretmekte olduğu
kondansatörlerin direnç elemanları
için akım değerinin ortalama değerinin
100 ohm ve standart sapmasının 25
ohm olduğunu tespit etmişlerdir.
 Müşteri, Yıldırım Elektronikten aldığı
kondansatörler için akım değerinin 95
ohm dan daha düşük olmasını
istememektedir. Yığından rastgele
alınan 25 direnç elemanı için akım
değerinin 95 ohm dan daha düşük
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
55
Çözüm
İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin
BAŞLIGİL
56