Document

1
I - FİZİKSEL TEMELLER
I.A ) GİRİŞ
Öğrenimde ilk adım benzer şeyler arasındaki farklılıkları kavramaktır. Bebekliğimizde ilk önce
etrafımızdaki devasa yaratıklardan bizi besleyen, okşayan insanın anne, ona benzeyen ama
daha seyrek gördüğümüz insanın teyze, bizi havaya atıp tutan kalın sesli insanın da baba
olduğunu öğreniriz.
Öğrenimde son nokta ise farklı şeyler arasındaki benzerlikleri
kavramaktır. Belli bir tecrübe kazandıktan sonra tüm insanların, hatta tüm canlıların ortak
özelliklerini anlar hale geliriz. Bilimde de en üst düzey, farklı gözlemcilerin görüş açılarını
birleştirip, tek bir ilke ile ifade edebilmektir. Batıda Latince ‘E Pluribus Unum’ , doğu
tasavvuf kültüründe ise ‘Kesretten Vahdete’ olarak ifadesini bulan bu yaklaşım bilimin
temelini oluşturur. Mesela 4 sayısı gibi en temel bir kavramın bile “Tüm 4 elemanlı
kümelerin ortak özelliği” olarak tanımlanması buna güzel bir örnektir. Çeşitlilikten tekliğe
geçişte simetri prensipleri ve bunların matematikteki yansıması olan Grup Teorisi kullanılır.
Deney sonuçlarının deneyi yapandan, dolayısıyla fizik kanunlarının gözlemciden bağımsız
olması esastır. Dolayısıyla bilimin en temel simetri ilkesi ‘Deneyci değişir, ancak deney
sonuçları aynı kalır’
olarak ifade edilir.
Eşdeğer gözlemcilerin temel bir konuda
anlaşamamaları bir devrimin, yeni bir boyutun habercisi olabilir. Aynı nesneye bakıp biri
dikdörtgen, diğeri de daire gören iki gözlemci aslında bir silindire iki ayrı yönden bakıyor
olabilirler.
Gözlemcilerin, ayrıntılarda anlaşamasalar bile, temel noktalarda uyuşmaları,
üstelik uyuşmazlık noktalarının da bir ‘Lugat’ yardımıyla karşılıklı ‘Tercüme’ edilebilmesi
‘Relativite’ olarak adlandırılır. Üzerinde anlaşılan noktalar teorinin ‘Değişmez’lerini veya
korunan büyüklüklerini oluşturur. Ayrıntılar üzerindeki kurallı uyuşmazlık, kuralların varlığı
sayesinde ‘Empati’ye dönüşür; iki gözlemci de dünyayı birbirlerinin bakış açısından
görebilirler. Zevkler ve inançların tersine, bilimde gözlemciler olaylara birbirlerinin gözleriyle
bakabilirler. Mesela İstanbul’da oturan İsmail’in koordinat sisteminde İstanbul sıfır, Ankara
ise 420 km noktasındadır. Öte yandan Madrid’deki Manuel İstanbul’a 3000 , Ankara’ya ise
3420 km koordinatlarını uygun görür. Koordinatlarda anlaşamayan iki gözlemci uzaklıkta
anlaşırlar : 3420 – 3000 = 420 – 0 = 420 km. İstanbul’dan Ankara’ya giden bir üçüncü
2
şahsın yolculuğu İsmail açısından 9:00 – 12:30 arası gerçekleşmişse, ülkeler arasındaki saat
farkı yüzünden Manuel bunun
8:00 – 11:30
arası olduğunu düşünecektir. Gene mutlak
zamanlarda uyuşamasalar bile zaman aralığında anlaşacaklar ve yolculuğun üç buçuk saat
sürdüğünde hemfikir olacaklardır. Bu kurallı uyuşmazlığın ‘Lugat’ı
X manuel  X ismail  3000 km
X ,
İki gözlemcinin uyuştuğu
Tmanuel  Tismail  1 saat
;
T
Hız  X / X  120 kph
ve
olayın değişmezleri olurlar. Bu düşünce yapısının tabanını ‘Simetri İlkeleri’ oluşturur.
Simetri : Bazı şeyler değiştiği halde her şeyin aynı kalmasıdır. Mesela birbirine tıpatıp
benzeyen iki kareye baktığımızda aynı olduklarını düşünebiliriz. Halbuki, belki de soldaki kare
sağdakinin 90o derece döndürülmüş halidir. Her yanı su ile çevrili balığın su içinde olduğunu
anlayamaması gibi, bir simetri tam ve kusursuz ise gözlenemez. Bu çarpıcı gerçek,
edebiyatımızda Hayali Mehmet Bey’in
“Ol mahiler ki derya içredir deryayı bilmezler”
mısraında da dile getirilmiştir. Bilimin en temel ilkesi olan “ Deneyi şu veya bu gözlemci
izlesin, sonuç aynı kalır ” genel kuralının yanı sıra doğanın kendine has simetrileri de vardır.
Aristoteles ile başlayıp Galileo ile sonuçlanan böyle bir simetrinin ilkeleri :
1) Deney bugün veya yarın yapılsa,
2) Deney burada veya yan odada yapılsa,
3) Deney duran veya sabit hızla hareket eden bir ortamda yapılsa,
4) Deney burada veya koordinat eksenlerinin uzayda bambaşka yönlere yöneleceği Yeni
Zelanda’da yapılsa aynı sonuçlara ulaşılır.
olarak özetlenir.
t   t  to
dönüşümler:
Burada
ro
Galileo Simetrisi olarak adlandırılan bu simetrinin altında yatan
r   Rnˆ    r  uo t  ro
Rn̂    :
uzayda ,
to
bir elemanı olup
n̂
ekseni etrafında

olarak ifade edilir.
açısıyla dönmeyi
,
uo
sabit hızı
,
ise zamanda birer ötelemeyi göstermektedir. Rn̂    , SO(3) grubunun
r
’yi değişmez kılan bir dönüşümdür. Newton tarafından bu temel
üzerine kurulan Klasik Mekanik, kendinden sonra Lagrange ve Hamilton tarafından yeniden
formüle edildi.
Euler’in Varyasyon Hesabı tekniklerine dayalı bu alternatif yaklaşımlar
1900’den itibaren gelişen ve atom altı parçacıkların davranışını açıklamakta kaçınılmaz olan
Kuantum Mekaniği’ne geçişte büyük rol oynadılar. Bu noktada hemen ifade edilmelidir ki
3
Varyasyon Hesabı’nın da temelinde de ‘Küçük bazı değişiklikler yap ama her şey aynı kalsın’
gibi bir cins simetri ilkesi yatmaktadır. Maxwell tarafından 1865’de son biçimi verilen Klasik
Elektrodinamik Teori, deneyle gösterdiği uyum yanı sıra, öngördüğü elektromagnetik
dalgaların gözlenmesi ile başarı kazandı. Bunun sonucunda sadece elektrik ve magnetizma
değil, optik de aynı çatı altında toplanmış oldu. Ancak bu başarılı teorinin Galileo simetrisi ile
uyumsuz olması fizikçileri yeni arayışlara itti.
Bu arayış, uzay ve zamanın Galileo’nun
öngördüğünden daha girift bir ilişki içinde oldukları, Einstein’ın Özel Relativite teorisi ile
1905’de son buldu. Bu yeni teorinin öngördüğü simetri ilkesi
zaman koordinatı olmak üzere
dönüşümü ile verilir. Burada
c2 t 2  r
2
 x
   nˆ ,  , uo
  nˆ ,  , uo
ifadesini değişmez bırakan

 x

 ct , r 
  x +  x 
o
uzay Poincaré
ile ifade edilen Uzay – Zaman dönüşümü,
SO (3,1)
Lorentz grubunun bir elemanıdır.
Relativistik klasik mekanik ve elektrodinamik ile 1900 – 1940 yılları arasında gelişmesini
tamamlayan kuantum mekaniğin ortak teorisi QED ( Kuantum Elektrodinamiği ) fiziğin
gelmiş geçmiş en hassas teorilerinden biri olmuş ve bu hassasiyetin sınırı 10 -10 mertebesine
dayanmıştır. Gene Einstein tarafından 1915 yılında ortaya atılan ve kütlelerin sadece uzay –
zamanda hareket etmekle kalmayıp aynı zamanda uzay–zamanı yamulttuklarını öngören
Genel Relativite teorisi ise astronomi ve kozmoloji dallarında çığır açtı. Ancak bu teorinin
kuantum mekaniği ile bir arada kullanılması ve temel parçacık fiziğine uygulanması fizikçilerin
önünde en büyük problem olarak durmaktadır. Klasik fiziğin temel kavramları Uzay, Zaman,
Kütle ve Elektrik Yükü’dür. İnsanlığın bilimsel anlamda ilk eğildiği kavram Uzay olmuş ve
Geometri bilimi doğmuştur. Bu yolda atılan ilk adımlar tarihin karanlıklarında kaybolmuş
olmakla beraber, geometrinin temellerinin M.Ö. 3. bin yılda atıldığı söylenebilir. Uzay’a
Zaman’ın da eklenmesi ile oluşan Kinematik çok daha yeni bir daldır. Cisimlerin nasıl
hareket ettiklerini inceleyen bu konu ortaçağda, 14. yüzyıl başlarında Oresme ile modern bir
görünüm kazanmış, 17. yüzyılda Galileo ile olgunluğa ermiştir. Galileo’nun ölümü ile eş
zamanlı doğan Newton, Uzay-Zaman’a Kütle kavramını da ekleyerek cisimlerin
neden
hareket ettiğini incelemiş ve Galileo dönüşümlerine dayalı olan Dinamik biliminin kurucusu
olmuştur. Fiziğin bağımsız bir dalı olarak gelişen elektrik ve magnetizma çalışmaları Gilbert,
Coulomb, Amperé ve Faraday’ın deneysel katkıları ile olgunlaşmış ve 1865 yılında Maxwell’in
oluşturduğu matematik yapı, Newton Dinamiği ile bütünleşerek Elektrodinamik adını
almıştır. Ancak Maxwell denklemlerinin dinamiğin temelini oluşturan Galileo dönüşümleri ile
4
bağdaşmaması Newton Dinamiği’ne duyulan güveni sarsmıştır. 1905 yılında Einstein, Lorentz
dönüşümlerine dayalı yeni bir teori geliştirerek tüm dinamiği tutarlı hale getirdi. Ancak gene
Einstein tarafından 1915 yılında ortaya atılan Genel Relativite teorisi bu tutarlılığı yeniden
bozdu. Kütlelerin Uzay-Zaman’ı yamulttuklarını öngören bu teori bizi en başa, Geometri’ye
geri götürdü ve bir üçgenin iç açılarının toplamının 180 o etmediği geometrilerle yeni baştan
yola çıkıldı. Özetle: bir eşitlik olarak ifade edebildiğimiz tüm fizik kanunlarının ancak yaklaşık
olarak geçerli oldukları, tabiatın kesin doğru olan kurallarının ise tam bilinmediği ortadadır.
Buna karşılık eşitsizlik olarak ifadesini bulan üç fizik kanunu geçerliliğini korumaktadır. Tek
parçacık için hız sınırı
v  c
,
Heisenberg belirsizlik ilkesi:
evren için geçerli olan Entropi’nin sürekli artışı ilkesi:
dSevren
dt
x p 
 0
2
ve tüm
. Bu son ilke,
evrendeki önlenemez entropi artışı, her şeyin tekdüzeliğe yönelmesi gibi kötümser bir
tablonun habercisidir. Ancak bu ilkenin sınırlı bir bölgede ve geçici bir süre ihlal edilebilmesi
ise varoluş sebebimizdir. Bazı canlıların diğer bazı canlıları yok etmek, dolayısıyla onların
entropi’lerini arttırmak pahasına kendi entropi’lerini azaltabilmeleri Evrim’in temelidir. Ezeli
leopar-antilop rekabetinde yavaş antiloplar leoparlara yem olur, yavaş leoparlar açlıktan
ölür, sonuçta her iki cins de daha hızlı olma yönünde evrimden yararlanırlar. Darwin’in 'en
uyumlunun hayatta kalması' ilkesi yanıltıcı ölçüde kibar bir ifadedir. Doğrusu 'uyumsuzun
üremeye vakit bulamadan ölmesi' olmalıydı. Özelde 'acımasız' görünümlü bir avlanma
olayının genelde nasıl evrime destek veren hayırlı bir olay olduğu da üzerinde düşünmeye
değer bir konudur.
Fizik tarihi: ilgisiz gibi gözüken dalların birleştirilerek köke inme
çabalarının hikayesidir. Kütle Çekim ve Dinamik yasaları bir araya gelip, o zamana kadar ayrı
ve gözlemsel bir bilim dalı olan Astronomi’yi dinamiğin özel durumuna indirgemişlerdi. Daha
sonra gazların ve ısının davranışları Termodinamik adıyla Dinamiğe katıldı. Ses dalgaları
termodinamik bir olay olduğu için Akustik de dinamikle birleşmiş oldu. Elektrik olaylarının
dinamikle birleşerek nasıl Elektrodinamik bilimini oluşturduğu ve ışığın da bir Elektrodinamik
dalga olduğunun anlaşılması ile Optiğin de elektrodinamiğe katıldığı yukarıda görülmüştü.
Kuantum teorisinin de işin içine girmesi ile Kuantum Elektrodinamiği (KEDİ) fiziğin en
başarılı teorisi haline geldi. Zayıf etkileşmelerin de katılımıyla Elektro-Zayıf, aynı teknikler
kullanılarak Kuvvetli etkileşmeleri de kapsayan Büyük Birleştirme Teorisi 20. yüzyılın son
5
çeyreğinin büyük ilerlemeleri oldular. Kütle çekimi veya genel relativite’nin kuantum fiziği ile
bağdaştırılması fiziğin önündeki en belirgin hedef olarak durmaktadır.
I.B ) RELATİVİTENİN TEMELLERİ
Relativite veya bu konunun en büyük ismi Einstein’in koyduğu isimle 'Invariantztheorie'
eşdeğer gözlemcilerin 'Mutlak' veya 'Değişmez' değerler üzerinde uyuşmaları, sadece
'Detay' veya 'Relatif' değerler üzerinde uyuşmamalarıdır. Ancak bu uyuşmazlığın da bir
kuralı vardır ve eşdeğer gözlemcilerin ölçümlerinin birbirine dönüştürülmesi imkanı vardır.
Böylece relativite bazı sosyal bilimcilerin sandıkları ve 'zaten her şey gözlemciye bağlı' olarak
ifade ettikleri gibi kötümser ve belirsizliğe yol açan bir konu değildir. Tam tersine iyimser ve
olaya karşı tarafın gözüyle de bakabilmeye imkan tanıyan, değişik gözlemleri tek çatı altında
toplayıcı bir yaklaşımdır. İki gözlemciye ek olarak, 'ortam' benzeri bir üçüncü unsurun varlığı
eşdeğerliği bozar. Mesela : El çırparak oluşturduğumuz bir ses, merkezi ellerimiz olmak üzere
yarı çapı zamanla lineer olarak büyüyen bir küre biçiminde yayılır ve c : ses hızı , t : geçen
zaman olmak üzere
x 2  y 2  z 2  c2t 2
olur. Ancak rüzgar esmesi veya kaynağın
hareket ediyor olması durumunda bu formül geçerliliğini kaybeder. 'Kaynak Merkezli Küre'
kuralında sadece ortama (bu durumda havaya) göre hareketsiz olan gözlemcilerin ayrıcalıklı
uo hızıyla hareket eden iki gözlemcinin
bir konumu vardır. Dolayısıyla birbirlerine göre
ortak olarak oluşturdukları bir ses için gözlemcilerden en az biri, lineer olarak genişleyen bir
kürenin merkezinde olduğunu ileri süremez.
Önceleri elektromagnetik dalgaların da
yayılması için ‘eter’ ismi verilen bir ortam gerektiğine inanılmış, ancak Michelson - Morley
tarafından dünyamızın eter’e göre hızını ölçme deneyi sıfır sonuç verince böyle bir ortam
uo hızıyla hareket eden iki gözlemcinin
olmadığı anlaşılmıştır. Böylece birbirlerine göre
ortak olarak oluşturdukları bir kıvılcımın ışığı için iki gözlemci de, yarıçapı zamanla lineer
olarak büyüyen bir kürenin merkezinde olduklarını ileri sürer ve haklı olurlar. Relativite
kavramının gerçek babası Galileo daha 17. yüzyılda birbirine göre sabit hızla hareket eden iki
gözlemcinin eşdeğer olduğunu ortaya koymuş ve bu Newton dinamiğinin temelini
oluşturmuştu.
x  x  uo t  xo
;
t  t  ot
gözlemcinin ölçümlerini birbirine dönüştüren ilişkilerdir.
denklemleri böyle iki
6
dx  dx  uo dt
dv   dv
Relatif :
;
dt   dt
;
a  a

v  v  uo
;
bağıntıları da bizi aşağıdaki sınıflandırmaya götürür :
 x , v , dx , t 
;
Mutlak :
 dt , dv , a 
a ’nın Newton dinamiğinin temelini oluşturması
Sonlu ve mutlak yegane değişken olan
doğaldır. Einstein, Galileo’nun relativite ilkesini aynen korudu, ancak ona bir ek yaptı : Işık
hızı kaynak veya gözlemcinin hızından bağımsız bir evrensel sabittir. Böylece ortaklaşa ışık
oluşturan iki gözlemcinin, ikisi de doğru olan
x2  y 2  z2  c2t 2
olarak birleştirilir. Dönüşüm ise
 ct 
cosh sinh   ct 

 x 
 sinh cosh   x 
 

  
ile verildiği ve
ve
ifadeleri, basitlik açısından uzay boyutu bire indirilerek,
c2t 2  x 2  c2t 2  x2
Bu dönüşümden
x 2  y 2  z 2  c2t 2
ile verilir ve 'Lorentz Dönüşümü' olarak adlandırılır.
sinh  v cosh
v
dx 
sinh   cosh
c
 



c
c dt 
cosh   sinh
cosh  v sinh
c
v  0
v  uo

özel durumundan
anlaşılır. Gene aynı dönüşüm kullanılarak hızların
uo  tanh
olduğu
1   2
1  1  2
olarak
1   2 
toplandıkları görülür.
I.C ) RELATİVİSTİK KİNEMATİK VE ÇARPIŞMALAR
Lorentz dönüşümleri altında
 ct , r 
gibi davranan cebirsel nesnelere 4-Vektör denir.
4-Vektörlerin toplam veya farkları, ayrıca bir skalar ile çarpımları da bir 4-Vektör olacaktır.
Dolayısıyla bir 4-Vektör’ün diferansiyeli de, bir skalara göre türevi de 4-Vektör olur.
 x
 ( ct , r )

 dx dx   c2  dt 
2
dx 
 ( cdt , dr )
 dr  dr  c 2  d 
olan bir ‘Zaman’ parametresini
d 
2
1 2
eşitliklerinden yola çıkarak
ifadesine erişiriz. Lorentz Değişmez’i
dt
olarak tanımlayarak
4-Hız için
7
v


d  x
 

d

 v v   c 2
c
,
1 2
v
1 2




elde edilir.
4-Hız’ın norm karesi
gibi bir değişmez olacaktır.

 m v  


 p
4-Momentum ise doğal olarak
mc
,
1 2
mv
1 2




ile
m 2 c 2 olur. Bazı önemli 4-Momentum’lar :
verilir ve norm karesi
Hareket halinde kütleli parçacık :
( po , p )  ( E
c
:
,p)
po 
Hareketsiz kütleli parçacık :
Kütlesiz parçacık :
(
k,
ko  E 

;
p 
k
(mc, 0)
k )
:
k 
2



c
olarak ifade edilir. Dış kuvvetlerin etki etmediği durumlarda 4-Momentum’un korunacağı
açıktır. Relativistik Kinematik problemlerinin çözümlerinde benzer fakat değişik iki metot
kullanılır.
a ) İlk ve Son 4-Momentum aynı Lorentz çerçevesinde bir eşitlik olarak yazılır, istenmeyen
değişkenler yalnız kalacak şekilde gerekli yer değiştirmeler yapılır ve iki tarafın norm karesi
eşitlenip çözüme gidilir.
b) İlk ve Son 4-Momentum değişik iki Lorentz çerçevesinde bir dönüşüm olarak yazılır ve iki
tarafın norm karesi eşitlenip çözüme gidilir.
İlk metoda örnekler olarak : Duran elektronun foton ışıyarak geri tepmesi ve Compton Olayı,
ikinci metoda da örnek olarak Çift Yaratma Enerji Eşiği ele alınacaktır.
8
a1) Duran elektronun foton ışıyarak geri tepmesi :
(mc, 0) 
(mc, 0) 
m2 c2  2mc
( E

c

,p)
k,

k

 ( E
k  m2 c 2
k,

k
,p)
c

İmkansız !
a2) Compton Olayı :

k,
k

 ( mc , 0 )  ( E

k,
k

 ( mc , 0 )
      
2
mc
b) Çift Yaratma Eşik Enerjisi :
( E
c
, p )  ( mc , 0 )
E  7 mc2
I.D )


c

, p) 
k ,
k


k ,
 ( E
k
c

, p)
 1  cos  

e e 
 e e e e

 4mc , 0 
K.E.  6mc2
KUANTUM MEKANİĞİNİN İLKELERİ
Kuantum mekaniği üç temel üzerine kurulmuştur :
1) Gösterimler : Kuantum durumları

: Ket lineer vektör uzayının elemanlarıyla,
gözlenebilir fiziksel operatörler de
 Hermitsel operatörler ile temsil edilirler.
2) Kurallar : Hamilton fonksiyonu
H
c ko
, Momentum
olarak ifade edilir.
p
, zamanda ötelemelerin jeneratörü
ise uzayda ötelemelerin jeneratörü
k
k
o
cinsinden
cinsinden
k
9
 hermitsel
3) Ölçüm :
m n
oluştururlar. Yani
n
operatörünün özketleri
 m n
Tam bir Ortonormal küme
 
ve
n
n

n
Dolayısıyla keyfi bir

mümkündür.



durum ketinin

n


n
n

sağlarlar.
cinsinden açılımını yapmak

n
1
an
n
.
n
Durum keti üzerinde yapılan bir ölçüm sonucu :
i) Yalnızca  n  Spektrum  

an
değerleri
2

n

2
olasılıkla ölçülür ve
ii)

durumu
n
durumuna dönüşür.
Dolayısıyla kuantum ölçümleri bir 'VE' durumunu 'VEYA' durumuna indirgerler.
Kuantum durumlarının ket gösterimi çok soyut bulunabilir, dolayısıyla çoğu zaman ‘Dalga
Fonksiyonu’

 r,t 
ile işlem yapılır. Bu fonksiyon Uzay-Zaman Bra’sı ile Durum
Ket’inin skalar çarpımıdır ve
  r,t


  r,t

Nerede , Ne zaman Ne

r, t

olmaktadır.
olarak tanımlanır. Dolayısıyla
10
PROBLEMLER
P.I.1 )
M
kütleli bir parçacık bozunduğunda ortaya çıkan parçacıkların kütlelerinin
toplamının ilk parçacığın kütlesinden
mi
M
kadar daha az olduğu biliniyor. Herhangi bir
kütleli bozunma ürününün kinetik enerjisinin en fazla :
m M  2

( K .E.)imax  M  1  i 
c
M 2M 

P.I.2 ) Bir kuantum sisteminin Hamilton matrisi
durum vektörü ise
4
   
 3
ve bunların olasılıklarını hesaplayın.
olabileceğini gösterin.
H
1 1
 

1 1
, normalize edilmemiş
ile veriliyor. Bir enerji ölçümünün mümkün sonuçlarını