3,1U Grubunun Simetrik Yüzeyine Bağlı Kuantum ntegrallenebilir

T.C.
TRAKYA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
U (1,3 ) Grubunun Simetrik Yüzeyine Bağlı
Kuantum İntegrallenebilir Sistemler
Martı Zehra ÖZER
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANA BİLİM DALI
Danışman : Yrd. Doç. Dr. Mehmet SEZGİN
2005
EDİRNE
T.C.
TRAKYA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
U (1,3 ) Grubunun Simetrik Yüzeyine Bağlı
Kuantum İntegrallenebilir Sistemler
Martı Zehra ÖZER
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANA BİLİM DALI
Bu tez 06/07/2005 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından kabul edilmiştir.
Prof. Dr. Hülya İŞCAN
Üye
Yrd. Doç. Dr. Mehmet SEZGİN
Danışman
Yrd. Doç. Dr. Şaban AKTAŞ
Üye
ÖZET
Bu çalışmanın birinci bölümünde, U ( 1,3 ) grubu ve bu grubun simetrik uzayı
anlatıldı. İkinci bölümde Laplace-Beltrami operatörü, kuantum sistem, Schrödinger
denklemi, analitik devam ve teorik ve pratik çalışmalarda önemli rol oynayan bazı özel
fonksiyonlar hakkında bilgi verildi. Üçüncü bölümde U ( 1,3 ) grubuyla bağlantılı
kuantum sisteme bakıldı. Laplace-Beltrami operatörü,
potansiyelleri, dalga fonksiyonları elde edildi.
Schrödinger denklemi,
SUMMARY
At first part of this work, it was given information about group U (1,3 ) and
symmetric space of this group. At second part, Laplace-Beltrami oparator, quantum
system, Schrödinger equation, analytic continuation and about some special functions
which take an important role in teorical and practical works. At third part, it was looked
at quantum systems related to U (1,3 ) group. Laplace-Beltrami operator, Schrödinger
equation, potentials, wave function have been obtained.
ÖNSÖZ
Bana kendisi ile böyle bir çalışma imkanı sağlayan ve bu çalışmanın
tamamlanmasında büyük yardım ve rehberliğini esirgemeyen değerli hocam
Yrd.Doç.Dr. Mehmet SEZGİN’ e saygı ve şükranlarımı sunarım.
İÇİNDEKİLER
1. BÖLÜM
1.1. Giriş…………………………………………………………………….1
1.2. U (1,3 ) Grubu…………………………………………………………...5
1.3. Simetrik Uzay…………………………………………………………..6
2. BÖLÜM
2.1. Hipergeometrik Fonksiyonlar………………………………………..…8
2.2. Legendre Fonksiyonları……………………………………………….14
2.3. Laplace-Beltrami Operatörü…………………………………………..19
2.4. Kuantum İntegrallenebilir Sistem……………………………………..21
2.5. Schrödinger Denklemi………………………………………………...23
2.6. Analitik Devam………………………………………………………..26
3. BÖLÜM
3.1. U (1,3 ) Grubuyla Bağlantılı Kuantum İntegrallenebilir Sistem....…….29
KAYNAKLAR…………………………………………………………………….45
ÖZGEÇMİŞ………………………………………………………………………..47
1. BÖLÜM
1.1. Giriş
G ≠ Ø bir küme, bu kümede bir o : G × G → G ikili işlemi verilmiş olsun.
- ∀a ,b ∈ G için a o b ∈ G , ( o işleminin G ’de kapalılık özelliği)
- ∀a ,b , c ∈ G için (a o b ) o c = a o (b o c ) , ( o işleminin G ’de birleşme özelliği)
- o işlemine göre G ’ de bir birim eleman vardır.
∃ e ∈ G ∋ ∀a ∈ G için a o e = e o a = a
- o işlemine göre verilen her elemanın bir tersi vardır.
∀a ∈ G için ∃ a −1 ∈ G ∋ a o e = e o a = a
özellikleri sağlanıyorsa (G ,o ) cebirsel yapısına grup denir.
Cebirsel denklemlerin çözümünde, grup kavramını ilk kullananlardan biri Galois
olmuştur. Daha sonra Sophus Lie sürekli dönüşüm gruplarıyla diferensiyel denklemler
için benzer bir teoriyi oluşturmuştur. Bugün gruplar teorisi matematikte, topolojide,
kuantum teoride, geometride, fizikte, kimyada v.b. diğer bilimsel alanlarda önemli rol
oynamaktadır.
Grubun elemanları reel parametrelerin bir kümesiyle karakterize edilebilirse
gruba sürekli grup denir ve grubun mertebesi de bağımsız parametrelerin sayısı olarak
tanımlanır. Örneğin 3-boyutlu uzayda her bir dönme (α , β ,θ ) üç bağımsız parametreye
bağlı olarak verilebilir. Yine x ′ = ax + b dönüşümlerinin kümesi bir grup oluşturur ve
a ,b parametreleri (− ∞ ,∞ ) aralığında tanımlı olduğundan grup iki parametreli sürekli
grup olur.
G sürekli bir grup, a ,b ∈ G olsun. a ,b elemanlarına grubun parametrik
uzayında A, B noktaları karşı gelsin. Eğer A, B noktaları verilen bölgede sürekli bir
yolla bağlantılı ise, a ,b elemanları da G grubunda sürekli bir yolla bağlantılı olduğu
söylenir. Eğer G grubunun herhangi iki elemanı bu şekilde bağlı ise G grubuna
bağlantılıdır denir.
1
GL(n ,C ), SL(n ,C ), SL(n , R ),U (n ), SU (n ), SO(n ),U ( p , q − p ), SU ( p , q − p )
Örneğin;
grupları bağlantılı, GL(n , R ),O(n ), SO( p , q − p ),O( p , q − p ) grupları bağlantılı değildir.
Bağlantılı bir G grubunda, eğer herhangi kapalı bir eğri bir noktaya sürekli şekilde
büzülebilirse, grup basit bağlantılı, büzülemiyorsa grubun çok bağlantılı olduğu
söylenir. Farklı sınıfların sayısı m ise G grubu m defa bağlantılıdır denir. Örneğin;
SU ( n ) grubu basit bağlantılı, SO( 3 ) grubu iki defa bağlantılıdır.
Matrislerin grupları olarak tanımlanan sürekli lineer dönüşüm grupları fiziksel
uygulamalarda önemli rol oynar. Bu türden olan n boyutlu grupları ele alırsak ki her bir
elemanı n adet reel parametreyle verilir. Bu tip n -boyutlu grubun elemanları ile n boyutlu reel Euclidean R n uzayın bir bölgesinin noktaları arasında bire-bir eşleme
oluşturmak mümkündür. Grubun parametrelerinin verildiği bölge parametrik uzay
olarak tanımlanır. Bir gruba karşılık bir çok koordinat sistemi verilebilir. Bunların her
biri grubun bir parametrizasyonu olarak tanımlanır. Çoğu zaman grubun tamamını
parametrize etmek mümkün olmayabilir.
Aynı zamanda bir Lie grubu oluşturan n × n lik matris gruplarının en fazla
bilinenleri aşağıda verilmiştir.
GL(n ,C ) : M kompleks regüler matrislerin genel lineer grubu, det M ≠ 0 , boyutu
r = 2n 2 dir. GL( n ,C ) grubunun her elemanı 2n 2 boyutlu R2 n 2 reel Euclidean uzayda
bir noktaya karşı gelir. Diğer bütün gruplar GL( n ,C ) grubunun bir altgrubudur ve
uygun parametrik uzaylar R2 n 2 uzayının altuzaylarıdır.
SL(n ,C ) : Özel lineer grup, GL(n ,C ) grubunun bir altgrubudur, det M = 1 ,
(
)
boyutu r = 2 n 2 − 1 dir.
GL(n , R ) : M reel regüler matrislerin genel lineer grubudur, det M ≠ 0 , boyutu
r = n 2 dir.
SL(n , R ) : Özel lineer grup, GL(n , R ) grubunun bir altgrubudur, det M = 1 ,
boyutu r = n 2 − 1 dir.
t
t
U (n ) : u u = u u = 1 koşulunu sağlayan kompleks matrislerin üniter grubu olup,
boyutu r = n 2 dir.
2
SU (n ) : Özel üniter grup, U (n ) grubunun bir alt grubudur, det u = 1 , boyutu
r = n 2 − 1 dir.
O(n ,C ) :
AAt = 1 koşulunu sağlayan A kompleks matrislerin ortogonal
grubudur, det A = ±1 , boyutu r = n(n − 1) dir.
O(n , R ) : AAt = 1 koşulunu sağlayan A reel matrislerin ortogonal grubudur,
det A = ±1 , boyutu r = n(n − 1) / 2 dir.
SO (n ) : n -boyutlu özel ortogonal grup, dönme grubu O(n ) grubunun bir alt
grubudur, det A = 1 , boyutu r = n(n − 1) / 2 dir.
Sp (n ) : Simplektik grup, u t Au = A koşulunu sağlayan n × n üniter matrislerin
grubudur. Burada A singüler olmayan anti-simetrik matris, u t de u matrisinin
transpozu olup, boyutu r = n( n + 1 ) / 2 dir.
U (m , n − m ) : AIA t = I koşulunu sağlayan A kompleks matrislerin pseudo-
üniter grubudur. Burada I , I kk = −1, m + 1 ≤ k ≤ n ve I kk = 1, 1 ≤ k ≤ m elemanlı
diagonal matristir, boyutu r = n 2 dir.
SU (m , n − m ) : Özel pseudo-üniter grup U (m , n − m ) grubunun bir alt grubu olup,
det A = 1 , boyutu r = n( n − 1 ) / 2 dir.
O(m , n − m ) : AgAt = A koşulunu sağlayan A reel matrislerin pseudo-ortogonal
grubudur, boyutu r = n( n − 1 ) / 2 dir.
SO(m , n − m ) : Özel pseudo-ortogonal grup O(m , n − m ) grubunun bir alt grubu
olup, det A = 1 , boyutu r = n( n − 1 ) / 2 dir.
Araştırmalarda ortaya çıkan denklemler, alan koordinatları veya ψ , ϕ ,...
fonksiyonlarıyla verilen sistemdeki parçacıkların hallerini belirler. Denklemler lineer,
lineer olmayan, diferensiyel, integral denklemler veya daha genel operatör denklemler
olabilir. Grup teori yaklaşımı denklemlerin çözümünü kolaylaştırır. Eğer bir fiziksel
sistemin dinamik denklemleri bilinmiyorsa genel simetri prensibinin yardımıyla
denklem bulunabilir veya sistemin genel özellikleri araştırılarak simetriden istenilen
sonuçlar alınabilir. Simetri işlemi denklemin bir hali yerine ona denk bir başka halini
almayı mümkün kılar.
3
Fiziksel sistemin belirli bir
anındaki durumunu belirleyen ψ ,ϕ ,...
t
fonksiyonlarının belirlenmesi kuantum teorisinin dinamik kısmıdır. Kuantumlu fiziksel
sistemin belirli bir andaki durumuna dinamik hal denir. Kuantumlu sistemin halini
belirleyen fonksiyona dalga fonksiyonu denir ve sistemin dinamik halleri ψ ( x ,t )
fonksiyonu ile belirlenir. ψ ,ϕ ,... , fiziksel sistemin halleri bir lineer uzayın
elemanlarıyla tanımlanır. Basit olarak bir dinamik problem ψ ,ϕ ,... halleri için
diferensiyel denklemi çözmektir. Çünkü fiziksel sistemin bütün halleri ile denklemin
tüm çözümleri özdeştir. Koordinatlar, enerji, momentum, açısal momentum gibi verilen
bir fiziksel sistem için ölçülebilen her şey dinamik değişkendir.
Bir boyutlu tam çözülebilen kuantum sistemlerin dinamiği n -boyutlu simetrik
uzayda serbest harekette olan ( V = 0 ) parçacığın sahip olduğu yüksek simetrinin
bozulmasına bağlı olarak verilir. Başka bir ifadeyle, V -potansiyeli ile verilmiş bir
boyutlu kuantum sistemin tam çözülebilmesi bu sistemin yüksek simetriye sahip olması
demektir. Bu simetri bir boyutlu simetrinin n -boyutlu simetriye yerleştirilmesi ile
açıklanmış olur.
Simetrik uzay, G Lie grubu, K kompakt altgrubu olmak üzere G / K bölüm
uzayıyla tanımlanır. Böyle verilmiş uzayın eşdeğer tanımı uzayda eğriliğin kovaryant
türevinin sıfır olmasıdır. Örneğin, G = SO(3 ) , K = SO(2 ) olmak üzere iki boyutlu
birim
küre
{
}
G K : S 2 = x = (x0 , x1 , x 2 ) : x02 + x12 + x 22 = 1
simetrik
uzaydır.
Simetrik uzayda verilen farklı koordinat sistemlerine karşılık farklı kuantum
sistemler alırız. Bu uzayda serbest parçacığın kuantum halleri Laplace-Beltrami
operatörü ile verilir. Laplace-Beltrami operatörünün değişkenlerine ayrılabildiği bir çok
koordinat sistemi vardır. Ancak bu koordinatların geodesic ile bağlı olduğu, başka sözle
simetri grubunun bir parametreli altgrupları ile verildiği durumda denklem bir boyutlu
Schrödinger denklemine getirilebilir.
Tam çözülebilen kuantum sistemlerin pek çoğu çeşitli grup yapıları içinde
incelenir. Grup teorisi yaklaşımı kullanılarak, G ≈ SO( p , q ) , U ( p , q ) gruplarıyla
bağlantılı simetrik uzaylarda bir boyutlu kuantum sistemler, Laplace-Beltrami
operatörünün çözümleri, özel fonksiyonlar, düzlem dalgalar, grubun temsilleri v.b.
alanlarda çeşitli araştırmalar yapılmıştır [1,2,3,4,5,7,8,9]. Bu tezde bu çalışmaların
devamı olarak, U ( 1,3 ) grubunun simetrik uzayına bağlı olarak verilen kuantum sistem
4
incelenmiştir. Uygun seçilen koordinatlarda Laplace-Beltrami operatörü, Schrödinger
denklemi, dalga fonksiyonları elde edilmiştir.
1.2. U(1,3) Grubu
C1n,q , 1 + q = n -boyutlu kompleks vektör uzayında genel lineer dönüşümler bir
grup oluşturur. Bu grup GL(n ,C ) ile gösterilir. Kompleks vektör uzayında skaler
çarpımı koruyan dönüşümler üniter dönüşümlerdir ve bu dönüşümler bir grup oluşturur.
t
A kompleks matris olmak üzere A A = 1 üniterlik koşulunu sağlayan n × n matrislerin
üniter grubu
U (n ) ile gösterilir. Benzer şekilde
t
AI A = I koşulunu sağlayan A
kompleks matrislerinin pseudo-üniter grubu U (m , n ) , ( m < n ) olur. Burada



I = diag  1{
,...1, −
1
,...,
−
1
424
3
 m a det 1
n a det


köşegen matristir.
n = 1 + q olmak üzere C 1,q , kompleks vektör uzayı,
z = (z 0 , z 1 ,..., z q ) ∈ C 1,q ,
bu uzayda skaler çarpım
[z , w] = z0 w0 − z1 w1 − ... − z q wq
şeklinde tanımlanır.
[z , z ] = r 2 , C 1,q
uzayında H cq kompleks hiperboloidini tanımlar.
H cq ≈ U (1, q ) U (q ) , q = 3 için
H c3 ≈ U (1,3 ) U (3 ) .
Bu uzayda her bir z ∈ H cq noktası
(
)
iϕ
z = e iϕ 0 τ o , e iϕ1 τ 1 ,...,e q τ q , 0 ≤ ϕ i < 2π
formunda verilir. Burada
[τ ,τ ] = τ 02 − τ 12 − ... − τ q2 = 1
reel hiperboloidi gösterir.
5
Aslında H cq uzayı simetrik pseudo-Riemannian uzaydır. C 1,q uzayı da R 2 ,2 q
pseudo-Riemannian uzayına denktir.
1.3. Simetrik Uzay
Γ bir vektör uzayı, G de Lie grubu olsun. Eğer her bir α , β ∈ Γ nokta çifti için
bir g ∈ G var ve β = gα sağlanıyor ise G grubu Γ uzayında geçişli (transitiv) dir
denir. Eğer G grubu Γ uzayında geçişli ise Γ uzayına G grubunun homojen uzayı
denir.
G Lie grubunun bir altgrubu H , homojen uzayın bir α ∈ Γ noktasını invaryant
bırakırsa bu alt gruba α noktasının stability (stationary, isotropy, little) grubu denir.
Homojen uzay çoğu zaman G / H bölüm uzayı olarak tanımlanır: H , G
grubunun bir alt grubu olmak üzere G / H grubu her x ∈ G için x H sol denklik
sınıflarının kümesi olarak verilir. Eğer H = {e} ise G grubunun kendisi de homojen
uzay oluşturur. Homojen uzaylara ait örnekler verelim.
1. G = SO(n + 1) grubu, R n −1 Euclidean uzayda
x12 + x 22 + ... + x n2−1 = 1
(1.1)
kuadratik formunu invaryant bırakan R n −1 uzayının özel ortogonal dönüşümler grubu
olarak tanımlanır. (1.1) denklemiyle verilen S n , n -boyutlu küre yüzeyi, SO(n + 1)
grubunun homojen uzayıdır.
2. R11,+nn pseudo-Euclidean uzayın özel ortogonal dönüşümler grubu G = SO(1, n ) ,
H = SO(n ) olmak üzere X = G / H homojen uzayı
x02 − x12 − ... − x n2 = 1 , x0 > 0
(1.2)
denklemiyle verilen iki oyuklu hiperboloidle temsil edilir.
G bir Lie grubu, σ , G grubunun bir involutif otomorfizması olsun. Bu
durumda σ 2 = 1 , σ ≠ 1 dir. H , σ dönüşümüne göre G grubunun değişmeyen bir alt
grubu yani σ (H ) = H olsun. Bu durumda G / H uzayına σ dönüşümüyle tanımlanan
homojen simetrik uzay denir.
6
Simetrik uzay metrikle verilen bir manifoldtur. Simetrik uzayın diğer bir tanımı,
uzayın eğrilik tensörünün kovaryant türevinin ∇ s (Rabcd ) = 0 sıfır olmasıyla verilir. G
grubunun stability altgrubu; kompakt ise simetrik uzay Riemannian metriğine sahip olur
ve bu uzaylar Riemannian homojen simetrik uzay, kompakt değilse uzay pseudoRiemannian homojen simetrik uzay olarak adlandırılır. Simetrik uzaylara ait örnekler
verelim.
1. G = SO(n + 1) , σ : involutif otomorfizma dönüşümü,
- 1 0 
 ,
 0 In 
σ ( g ) = sgs −1 , g ∈ G , s = 
burada I n , R n de birim matris olmak üzere
σ (h ) = shs −1 = h , h ∈ H ≡ SO(n )
olduğundan SO( n + 1 ) / SO(n ) homojen uzayı simetriktir.
2. G = SO( p , q ) : g ∈ SO( p , q ) , gIg t = I denklemini sağlayan matrisler grubu
olduğundan, involutif otomorfizma σ ( g ) = IgI
invaryant
bırakan
H ≡ SO( p ) × SO(q )
altgrup
G
olduğundan
grubunun
şeklinde verilsin. Bu dönüşümü
maksimum
kompakt
X = G / H ≡ SO( p , q ) / SO( p ) × SO(q )
simetrik uzay olur.
Bu tez çalışmasında
H c3 ≈ U (1,3 ) U (3 )
simetrik uzayı üzerinde çalışılmıştır.
7
alt
grubu
homojen
2.BÖLÜM
2.1. Hipergeometrik Fonksiyonlar
Özel fonksiyonlar teorik ve pratik araştırmalarda, özellikle uygulamalı
matematiğin denklemlerinin belirli koordinat sistemlerinde değişkenlere ayrılması
metoduyla çözülmesinden ortaya çıkar ve özel isimlerle belirtilir.
İkinci mertebeden lineer homojen diferensiyel denklem bir çok singüler noktalara
sahip olabilir. Özel olarak singüler noktaları (0 ,1, ∞ ) olan denklemi
z (1 − z )
d 2u
du
+ [c − (a + b + 1)z ] − abu = 0
2
dz
dz
(2.1)
formunda verebiliriz. Burada, z kompleks değişken, a ,b , c z ’den bağımsız kompleks
ve reel değer alabilen sabitlerdir ve bunlar denklemin parametreleri olarak tanımlanır.
(2.1) denklemi Hipergeometrik denklem, bu denklemin çözümleri de Hipergeometrik
fonksiyon olarak tanımlanır.
Lineer diferensiyel denklemlerin genel teorisinden (2.1) denklemi z = 0 noktası
civarında
∞
u = z s ∑ ck z k
,
c0 ≠ 0
k =0
formunda belirli bir çözüme sahip olur. Bu kuvvet serisi z < 1 için yakınsaktır. (2.1)
denkleminin z = 0 civarındaki çözümü,
c = n ≠ 0 ,−1,−2 ,...
ise,
(a )n (b )n
n =0 n! (c )n
∞
u = 2 F1 (a ,b; c; z ) = F (a ,b; c; z ) = ∑
zn
(2.2)
c = − n , n = 0 ,1,2 ,... ise,
(a + n + 1)m (b + n + 1)m
m! (n + 2 )m
m =0
∞
u = z n +1 F (a + n + 1,b + n + 1; n + 2; z ) = z n +1 ∑
olur.
(a)0 = 1 , (a )n = a.(a + 1)...(a + n − 1) ,
8
n = 1,2 ,...
zm
(b)0 = 1 , (b )n = b.(b + 1)...(b + n − 1) ,
(c)0 = 1 , (c ) = c.(c + 1)...(c + n − 1) ,
n = 1,2 ,...
n = 1,2 ,...
n
(a )n (b )n
n =0 n! (c )n
∞
2
F1 (a ,b; c; z ) = F (a ,b; c; z ) = ∑
zn = 1+
ab
a(a + 1)b(b + 1) 2
z+
z + ...
1.c
1.2.c(c + 1)
fonksiyonu z değişkenli a ,b , c parametreli Hipergeometrik seri olarak da tanımlanır ve
z < 1 için yakınsaktır. Genelleştirilmiş Hipergeometrik fonksiyon
p
a1 ,..., a p ;  ∞ (a1 )n ...(a p )n n
Fq (a1 , a 2 ,..., a p ; b1 ,b2 ,...,bq ; z )= p Fq 
z = ∑
z
 b1 ,...,bq ;
 n =0 n! (b1 )n ...(bq )n
şeklinde verilir. Burada
(a )n
=
Γ (a + n )
, (a )0 = 1 , (a )n = a (a + 1)...(a + n − 1) , n = 1,2 ,...
Γ (n )
dir ve bu Pochhammer sembolü olarak bilinir.
Hipergeometrik fonksiyonların önemli bazı özelliklerini verelim.
Hipergeometrik seride a ve b parametrelerinin yeri değişirse serinin karakteri
değişmez. Buradan
- F (a , b; c; z ) = F (b , a ; c; z ) simetri özelliğini alırız.
Hipergeometrik fonksiyonun türevi
-
(a )n (b )n
dn
F (a ,b; c; z ) =
F (a + n ,b + n; c + n; z ) , n = 1,2 ,...
n
(c )n
dz
dir.
 1
 (a )n +1 (b )n +1 n +1
- lim 
F (a ,b; c; z ) =
z F (a + n + 1,b + n + 1; n + 2; z )
c → − n Γ (c )
(n + 1)!


- F (a ,b + 1; c; z ) − F (a ,b; c; z ) =
az
F (a + 1,b + 1; c + 1; z )
c
4z 

- F (2 a ,2b; a + b + 1 / 2; z ) = F  a , b; a + b + 1 / 2;

z − 1

Hipergeometrik fonksiyonun integral temsili
F (a ,b; c; z )= 2 F1 (a ,b; c; z ) =
1
Γ (c )
c − b −1
(1 − tz )−a dt ,
t b −1 (1 − t )
∫
Γ (b )Γ (c − b ) 0
Re c > Re b > 0 , arg (1 − z ) < π
şeklinde verilir.
9
2
F1 (a ,b; c; z ) fonksiyonu çoğu zaman
Hipergeometrik fonksiyon olarak tanımlanır.
1
F (a ,b; c; z ) şeklinde yazılır ve
F1 (a; c; x ) fonksiyonu ise Confluent
Hipergeometrik fonksiyon olarak tanımlanır ve bu
d2y
dy
x 2 + (c − x ) − a . y = 0
dx
dx
(2.3)
diferensiyel denkleminin çözümü olur ki aşağıda verilen her bir çözüm (2.3) Confluent
Hipergeometrik denkleminin bir çözümüdür.
- y1 = 1 F1 (a ; c; x ) = Φ (a , c; x )
- y 2 = x 1−c 1 F1 (a − c + 1;2 − c; x )
- y 3 = e x 1 F1 (c − a ; c;− x )
- y 4 = x 1−c e x 1 F1 (1 − a ;2 − c;− x )
Türev bağıntısı
(a )
dn
F (a ; c; x ) = n 1 F1 (a + n; c + n; x ) şeklinde verilir.
n 1 1
(c )n
dx
Confluent Hipergeometrik fonksiyonun integral temsili,
1
Γ (c )
c − a −1
e xu u a −1 (1 − u )
du , Re c > Re a > 0
1 F1 (a ; c ; x ) =
∫
Γ (a )Γ (c − a ) 0
olur.
Bazı özel fonksiyonların Hipergeometrik fonksiyonla ifadesini verelim.
- (1 + z ) = F (− a ,b; b;− z ) ,
a
(1 − z )−2 a −1 (1 + z ) = F (2a , a + 1; a; z )
a
a
a
- 1 +   z + ... +   z m =   z m F (− m ,1; a − m + 1;−1 / z )
m
 1
m
a a +1
1 

−a
- e − az = (2 cosh z ) tanh z F  1 + ,
;1 + a ;

2 2
cosh 2 z 

1+ a 1− a 3

- cos az = F a / 2 ,−a / 2;1 / 2; sin 2 z , sin az = a sin z F 
,
; ; sin 2 z 
2
2
2


(
)
- sin −1 z = z F (1 / 2 ,1 / 2;3 / 2; z 2 ) , log (z + 1) = zF (1,1;2;− z )
z ’nin aldığı bazı özel değerler için Hipergeometrik fonksiyonun ifadesini
verelim. z = 1 için,
- F (a , b; c;1) =
Γ (c )Γ (c − a − b )
, c ≠ 0 ,−1,−2 ,... , Re c > Re (a + b)
Γ (c − a )Γ (c − b )
z = −1 için,
10
- F (a ,b;1 + a − b;−1) = 2 − a
Γ (1 + a − b )Γ (1 / 2 )
a 1+ a

Γ  1 − b + Γ 

2  2 

, 1 + a − b ≠ 0 ,−1,−2 ,...
z = 1 / 2 için,
1 1  Γ (a + b + 1 / 2 )Γ (1 / 2 )

- F  2 a ,2b; a + b + ;  =
, a + b + 1 / 2 ≠ 0 ,−1,−2 ,...
2 2  Γ (a + 1 / 2 )Γ (b + 1 / 2 )

z = −1 / 3 için,
1
3 1 8

- F  − a ,−a + ;2 a + ;−  =  
2
2 3 9

2a
Γ (4 / 3)Γ (2a + 3 / 2 )
, 2 a + 3 / 2 ≠ 0 ,−1,−2 ,...
Γ (3 / 2 )Γ (2a + 4 / 3)
z = e iπ / 3 için,
1
2
Γ (2a + 2 / 3)


- F  a + ,3a ;2 a + ; e iπ / 3  = 2π e iπ / 2 3 −(3 a +1) / 2
3
3
Γ (a + 1 / 3)Γ (a + 2 / 3)Γ (2 / 3)


Hipergeometrik denklemin parametreye bağlı olarak çeşitli çözümleri verilebilir.
Aşağıdaki çözümlerin her biri Hipergeometrik denklemin bir çözümüdür.
u 1 = F (a ,b; c; z )
= (1 − z )
c − a −b
F (c − a , c − b; c; z )
z 

−a
= (1 − z ) F  a , c − b; c;

z − 1

z 

−b
= (1 − z ) F  c − a ,b; c;

z − 1

u 2 = F (a ,b; a + b + 1 − c;1 − z )
= z 1−c F (a + 1 − c ,b + 1 − c; a + b + 1 − c;1 − z )
z − 1

= z − a F  a , a + 1 − c; a + b + 1 − c;

z 

z − 1

= z −b F  b + 1 − c , b; a + b + 1 − c ;

z 

(2.4)
1

−a
u 3 = (− z ) F  a , a + 1 − c; a + 1 − b; 
z

= (− z )
b−c
(1 − z )c −a −b F  1 − b ,c − b; a + 1 − b; 1 

z
1 

−a
= (1 − z ) F  a , c − b; a + 1 − b;

1− z 

11
= (− z )
1− c
(1 − z )c −a −1 F  a + 1 − c ,1 − b; a + 1 − b;

1 

1− z 
1

−b
u 4 = (− z ) F  b + 1 − c ,b; b + 1 − a ; 
z

= (− z )
a −c
(1 − z )c −a −b F  1 − a , c − b; b + 1 − a; 1 

z
1 

−b
= (1 − z ) F  b , c − a ; b + 1 − a ;

1− z 

= (− z )
1− c
(1 − z )c −b−1 F  b + 1 − c ,1 − a; b + 1 − a;

1 

1− z 
u 5 = z 1−c F (a + 1 − c ,b + 1 − c;2 − c; z )
= z 1−c (1 − z )
F (1 − a ,1 − b;2 − c; z )
= z 1−c (1 − z )
z 

F  a + 1 − c ,1 − b;2 − c;

z − 1

= z 1−c (1 − z )
z 

F  b + 1 − c ,1 − a ;2 − c;

z − 1

c − a −b
c − a −1
c − b −1
u 6 = (1 − z )
F (c − a , c − b; c + 1 − a − b;1 − z )
c − a −b
= z 1−c (1 − z )
c − a −b
F (1 − a ,1 − b; c + 1 − a − b;1 − z )
= z a − c (1 − z )
z − 1

F  c − a ,1 − a ; c + 1 − a − b;

z 

= z b −c (1 − z )
z − 1

F  c − b ,1 − b; c + 1 − a − b;

z 

c − a −b
c − a −b
F (a , b; c; z ) Hipergeometrik fonksiyonun analitik devam bağıntısı aşağıdaki gibi
verilir.
1 − c , b − a , c − b − a tamsayı olmasın.
- F (a ,b; c; z ) = A1 F (a ,b; a + b − c + 1;1 − z ) + A2 (1 − z )
c − a −b
× F (c − a , c − b; c − a − b + 1;1 − z ) ,
arg (1 − z ) < π
z − 1

c − a −b
a −c
- F (a ,b; c; z ) = A1 z − a F  a , a + 1 − c; a + b − c + 1;
 + A2 z (1 − z )
z 

z − 1

× F  c − a ,1 − a ; c + 1 − a − b;
 ,
z 

12
arg (z ) < π
(2.5)
- F (a ,b; c; z ) = B1 (− z ) F (a ,1 − c + a ;1 − b + a ; 1 z ) + B2 (− z )
−a
× F (b ,1 − c + b;1 − a − b; 1 z ) ,
−b
arg (− z ) < π
1 

−a
−b
- F (a ,b; c; z ) = B1 (1 − z ) F  a , c − b; a − b + 1;
 + B2 (1 − z )
1− z 

1 

× F  b , c − a ; b − a + 1;
 ,
1− z 

arg (1 − z ) < π
Burada A1 , A2 , B1 , B2 katsayıları
A1 =
Γ (c )Γ (c − a − b )
Γ (c )Γ (a + b − c )
, A2 =
Γ (c − a )Γ (c − b )
Γ (a )Γ (b )
B1 =
Γ (c )Γ (b − a )
,
Γ (b )Γ (c − a )
B2 =
Γ (c )Γ (a − b )
Γ (a )Γ (c − b )
(2.6)
şeklinde verilir.
Diğer özel fonksiyonlarla Hipergeometrik fonksiyonlar arasındaki bağıntılar
aşağıdaki gibi verilir.
n +α  
1− z 
 F  − n , n + α + β + 1;α + 1;
- Pn(α ,β ) (z ) = 

2 
 n  
- C nλ ( z ) =
1
(2λ )n F  − n , n + 2λ ; λ + 1 ; 1 − z 
n!
2 2 

1− z 

- Pn (z ) = F  − n , n + 1;1;

2 

µ/2
- Pνµ (z ) =
1
 z + 1


Γ (1 − µ )  z − 1 
- Jν (z ) =
1
(z 2 )ν 0 F1 ν + 1;− z 2 4
Γ (ν + 1)
Yukarıda
(
1− z 

F  − ν ,ν + 1;1 − µ ;

2 

)
verdiğimiz Hipergeometrik fonksiyonlar tek değişkenlidir. Çok
değişkenli Hipergeometrik fonksiyonlarda vermek mümkündür.
13
2.2. Legendre Fonksiyonları
Dalga yayılması, potansiyel ve difüzyon problemlerinin çözümünde ortaya
çıkan, ν dereceden ve µ mertebeden
(1 − z ) d
2
w
2
dz
2
− 2z
[
dw
+ ν (ν + 1) − µ 2 1 − z 2
dz
(
)
−1
]w = 0
(2.7)
Legendre diferensiyel denkleminin lineer bağımsız çözümleri olan fonksiyonlara
Legendre fonksiyonları denir. Burada z kompleks veya reel değişken, ν , µ de reel
veya kompleks sabitlerdir.
(2.7) denklemi uygun değişken dönüşümü yapılarak Hipergeometrik denkleme
indirgenebilir. Sırasıyla w = (z 2 − 1)
µ/2
u ve x =
1− z
dönüşümleri yapılırsa (2.7)
2
denklemi
x(1 − x )
d 2u
du
+ (µ + 1)(1 − 2 x ) + (ν − µ )(ν + µ + 1)u = 0
2
dx
dx
(2.8)
Hipergeometrik denklemine getirilir. Buradan (2.7) denkleminin çözümü
w = Pνµ (z ) =
1
 z + 1


Γ (1 − µ )  z − 1 
µ/2
1− z

F  − ν ,ν + 1;1 − µ ;
 , 1− z < 2
2 

(2.9)
olur. Eğer x = z 2 dönüşümü yaparsak (2.7) denklemi
4 x(1 − x )
d 2u
du
+ [2 − (4 µ + 6 )x ] − (µ − ν )(ν + µ + 1)u = 0
2
dx
dx
(2.10)
Hipergeometrik denkleme dönüşür ve buradan (2.7) denkleminin çözümü
w = Qνµ (z ) = e µiπ 2 −ν −1 π
, z >1
olur. ν , µ ∈ N
ise
µ / 2 ν + µ
3 1
Γ (ν + µ + 1) −ν −µ −1 2
ν + µ +1
z
(
z − 1) F 
+ 1,
;ν + ; 2 
Γ (ν + 3 / 2)
2
2 z 
 2
(2.11)
Pνµ ( z ), Qνµ (z ) lineer bağımsız çözümler olduğundan (2.7)
denkleminin çözümü w = c1 Pνµ ( z ) + c 2 Qνµ ( z ) olur, burada c1 ,c2 keyfi sabitlerdir.
Pνµ ( z ), Qνµ (z ) fonksiyonları birinci ve ikinci türden, ν dereceden Legendre
fonksiyonları olarak tanımlanır. Bu fonksiyonlar
düzleminde
regüler
ve
µ → − µ , z → − z , ν → −ν − 1
tek
değerlidir.
değişimi
Legendre
yapılırsa
14
(− ∞ ,1)
boyunca kesilen
diferensiyel
invaryant
kalır.
Z
denklemi,
Böylece
Pν± µ (± z ), Qν± µ (± z ), P−±νµ−1 (± z ), Q−±νµ−1 (± z ) çözümleri de (2.7) denkleminin çözümleri
olur. Legendre fonksiyonları arasındaki bazı bağıntıları verelim.
- Pνµ ( z ) = P−µν −1 ( z )
- e iµπ Γ (ν + µ + 1)Qν− µ (z ) = e − iµπ Γ (ν − µ + 1)Qνµ (z )
- Pνm ( z ) =
Γ (ν + m + 1) − m
Pν ( z ) , µ = m = 1,2 ,...
Γ (ν − m + 1)
- Qνµ (− z ) = −e ± iνπ Qνµ ( z )
- Pν0 ( z ) = Pν (z ) , µ = 0 , Pνm (z ) = 0 , m > ν
(− ∞ ,1)
Legendre fonksiyonları,
, m∈ N
boyunca kesilen düzlemde Pνµ (z ) ,
(− ∞ ,1)
boyunca kesilen düzlemde Qνµ ( z ) fonksiyonu z kompleks değişkeninin analitik bir
fonksiyonudur. Bu kesilen bölgelerde verilen Legendre fonksiyonları Hipergeometrik
seri cinsinden ifade edilebilir. Legendre fonksiyonlarının bir çok uygulamasında
z = x + 0i = x , − 1 < x < 1 alınır.
e ± iµπ / 2  1 + x 


Γ (1 − µ )  1 − x 
µ/2
(x ) =
1− x

F  − ν ,ν + 1;1 − µ ;

2 

1
1+ x


Γ (1 − µ )  1 − x 
µ/2
- Pνµ ( x ) =
1− x

F  − ν ,ν + 1;1 − µ ;

2 

µ
ν
- P
Γ (1 + ν + µ )  1 − x 
- Q (x ) =


2 Γ (1 + ν − µ )  1 + x 
µ/2
µ
ν
+
Γ (µ )
2
1− x 

F  − ν ,ν + 1;1 + µ ;

2 

1+ x
cos (µ x )

1− x
µ /2
1− x

F  − ν ,ν + 1;1 − µ ;

2 

Pνµ ( z ), Qνµ (z ) Legendre fonksiyonlarını trigonometrik değişken türünden
yazabiliriz. z = cos θ ,
1
 sin θ 


Γ (1 − µ )  2 
−µ
 1 +ν − µ −ν − µ

F
,
;1 − µ ; sin 2 θ  , 0 < θ < π / 2
2
2


1
 sin θ 
- P (cos θ ) =


Γ (1 − µ )  2 
−µ
θ

F  1 + ν − µ ,−ν − µ ;1 − µ ; sin 2 
2

- Pνµ (cos θ ) =
µ
ν
µ
µ
ν
- P
(cos θ ) =
1
 θ 
2 θ 
 cot  F  − ν ,ν + 1;1 − µ ; sin

Γ (1 − µ ) 
2 
2
15
ν , µ sabitlerinin bazı özel değerleri için Legendre fonksiyonlarının ifadesini
verelim.
µ = m = 1,2 ,... için,
- Pνm ( z ) =
m/ 2
2 − m Γ (ν + m + 1) 2
1− z 

z −1
F  1 + m + ν , m − ν + 1;1 + m;

m! Γ (ν − m + 1)
2 

(
)
(2.12)
ν = n = 0 ,1,2 ,... olsun. Bu durumda µ negatif bir tamsayı ise (2.9) ifadesindeki
Hipergeometrik seri z bağlı n dereceden bir polinom olur.
µ = m = 1,2 ,... ve
n≥m
ise (2.12) bağıntısı geçerli olur ve (n − m ). dereceden
polinom olur. ν = 0 ise Pν0 ( z ) = Pν (z ) olarak yazılır. Genellikle Pν (z ), Qν ( z ) Legendre
fonksiyonları, Pνµ ( z ), Qνµ (z ) fonksiyonları da associated Legendre fonksiyonları olarak
tanımlanır.
µ = 0 ise,
1− z

Pν ( z ) = F  1 + ν ,−ν − µ ;1;

2 

olur ki bu ifadenin , z ye göre m (m = 1,2,...) defa türevi alınırsa
- Pνµ ( z ) = (z 2 − 1)
m/ 2
(
)
m/ 2
- Qνµ ( z ) = z 2 − 1
d m Pν ( z )
dz m
d m Qν (z )
dz m
bağıntılarını buluruz.
ν
z −1
 z + 1 
- Pν ( z ) = 
 F  − ν ,−ν ;1;

z + 1
 2  
ν
z + 1
 z − 1 
=
 F  − ν ,−ν ;1;

z − 1
 2  
1− z
1+ z


ν
= F  − ν ,ν + 1;1;
 = (− 1) F  − ν ,−ν ;1;

2 
2 


ν
2 
 z − 1 
=
 F  − ν ,−ν ;−2l ;

1− z 
 2  
µ = 0 , ν = n = 0 ,1,2 ,... ise,
- P2 n ( z ) =
(− 1)n (2n )! F (− n , n + 1 / 2;1 / 2; z 2 )
2
2 2 n (n! )
16
-
n
(
− 1) (2 n + 1)!
P2 n +1 (z ) =
z F (− n , n + 3 / 2;3 / 2; z 2 )
2
2n
2 (n! )
n
dn 2
z −1
n
dz
- Pn ( z ) = (2 n n! )
(
−1
)
bağıntıları verilebilir. Son bağıntı Rodrigues formülü olarak bilinir. Böylece Pn ( z ) , n
dereceden bir polinom olur ve Pn ( z ) = (− 1) Pn (z )
n
eşitliği sağlanır. Bu polinomlar
Legendre polinomu olarak tanımlanır ve Legendre fonksiyonlarının özel bir halidir.
Polinomlar [− 1,1] aralığında ortogonaldir ve bu aralıktaki tüm kökleri reeldir.
Legendre fonksiyonlarının integral temsilini verelim.
- Pνµ ( z ) =
(
)
−µ / 2
∞
2 −ν z 2 − 1
(z + cosh t )µ −ν −1 (sinh t )2ν +1 dt , Re(− µ ) > Reν > −1
Γ (− µ − ν )Γ (ν + 1) ∫0
(
)
e µπi 2 −ν −1 Γ (µ + ν + 1) z 2 − 1
Q (z ) =
Γ (ν + 1)
µ
ν
−µ / 2 π
∫ (z + cos t )
µ −ν −1
(sin t )2ν +1 dt ,
0
Re(ν + µ + 1) > 0 , Reν > −1
Legendre polinomlarının ortogonallik koşulları aşağıdaki gibi verilir.
1
 0 , n≠m

- ∫ Pn ( x )Pm (x )dx =  2
, n = m , n = 0 ,1,2 ,...
−1
 2 n + 1
1
-
∫ (1 − x )
−1
2 −1
0 , k≠m


Pnm ( x )Pnk ( x )dx =  (n + m )!
, k =m
 m(n − m )!
m
k
∫ Qn (x )Pl (x )dx = (− 1)
−1
1 − (− 1) (n + m )!
(l − n )(l + n + 1)(n − m )!
l +n
1
-
m
Legendre polinomlarını genelleştirirsek Jacobi polinomlarını buluruz.
2
u
dx
2
(1 − x ) d
2
+ (β − α − (α + β + 2 )x )
du
+ n(n + α + β + 1)u = 0
dx
(2.13)
diferensiyel denkleminin çözümleri Pn(α ,β ) (x ) Jacobi polinomları olarak tanımlanır. Bu
diferensiyel denklem Hipergeometrik diferensiyel denkleme indirgenebilir. Bu durumda
bu denklemin çözümleri aşağıdaki gibi verilir.
n +α  
1− x
 F  − n , n + α + β + 1;α + 1;
Pn(α ,β ) (x ) = 

2 
 n  
17
1+ x
nn + β  
 F  − n , n + α + β + 1; β + 1;
= (− 1) 

2 
 n  
n
 n + α  1 + x  
x − 1

= 
 F  − n ,−n − β ;α + 1;

x + 1
 n  2  
n
 n + β  x − 1  
x + 1

= 
 F  − n ,−n − α ; β + 1;

x − 1
 n  2  
Qn(α ,β ) ( x ) =
2 n +α + β Γ (n + α + 1)Γ (n + β + 1)
Γ (2n + α + β + 2 )x
n +α +1
(x + 1)
β
2 

F  n + 1, n + α + 1;2 n + α + β + 2;

1− x

Jacobi polinomlarının bazı özelliklerini verelim.
- Pn (x ) = Pn(0 ,0 ) ( x )
 n + α  (α + 1)n Γ (n + α + 1)
n Γ (n + β + 1)
 =
- Pn(α ,β ) (1) = 
=
, Pn(α ,β ) (− 1) = (− 1)
n!
n! Γ (α + 1)
n! Γ (β + 1)
 n 
- Pn(α ,β ) (− x ) = (− 1) Pn(α ,β ) ( x )
n
n
 n + α  n + β 

( x − 1)n − m ( x + 1)m
- Pn(α ,β ) ( x ) = 2 − n ∑ 
m =0  m  n − m 
-
n[(α − β ) − (2 n + α + β )x ]Pn(α ,β ) ( x ) + 2(n + α )(n + β )Pn(−α1,β ) ( x )
d (α ,β )
Pn ( x ) =
dx
(2n + α + β ) 1 − x 2
(
- 2 n n! Pn(α ,β ) (x ) = (− 1) (1 − x )
n
−α
)
(1 + x )− β D n [(1 − x )α + n (1 + x )β + n ]
, Rodrigues formülü.
Jacobi polinomlarının ortogonallik koşulu aşağıdaki gibi verilir.
1
- ∫ (1 − x ) (1 + x ) Pn(α ,β ) (x )Pm(α ,β ) ( x ) dx =
α
β
−1
2 α + β +1 Γ (n + α + 1)Γ (n + β + 1)
δ
(2n + α + β + 1)n! Γ (n + α + β + 1) nm
Jacobi polinomlarının integral temsilini verelim.
(α ,β )
- Pn
n
α
β
 t2 −1   1−t   1+ t 

 
(x ) =
 
 dt , x ≠ ±1
2π i ∫  2(t − x )   1 − x   1 + x 
1
1
(α ,β )
- Qn
(x ) = 2
− n −1
(x − 1) (x + 1) ∫ (x − t )−n−1 (1 − t )n+α (1 + t )n+ β dt
−α
−β
−1
18
2.3. Laplace-Beltrami Operatörü
Riemannian uzayında (g ij ) metrik matrisi ve Γ ijk bağlantısı tanımlanmış olsun.
Eğer (g ij ) metrik matrisinin kovaryant türevi
∇ k g ij =
∂g ij
∂x
k
− Γ ikl g lj − Γ jkl g il = 0
sıfır ise bu bağlantıya metrik matrisle uzlaşan bağlantı denir. Metrik matrisle uzlaşan
bağıntının ifadesi aşağıdaki formülle verilir.
Γ ijk =
1 kl  ∂g lj ∂g li ∂g ij
g  i + j − l
2
∂x
∂x
 ∂x



(2.14)
T i , (1,0 ) tipli tensörün diverjansını verelim. T i tensörünün kovaryant türevi
∇kT i =
∂T i
+ Γ mki T m
∂x k
formülü ile verildiğinden T i tensörünün diverjansı için aşağıdaki formülü alırız.
divT i = ∇ i T i =
Γ mii =
∂T i
+ Γ mii T m , g = det (g ij )
i
∂x
(2.15)
1 il  ∂g lm ∂g li ∂g mi  1 ∂g
g 
+
−
=
2  ∂x i ∂x m ∂x l  2 g ∂x m
formülünden yararlanarak (2.15) bağıntısından
divT i = ∇ i T i =
alırız. Burada T i = g ij
∆LB =
∂
i
g ∂x
1
(
gT i
)
∂
ifadesini yerine yazarsak
∂x j
∂ 
∂ 
g g ij j 
i 
∂x 
g ∂x 
1
(2.16)
buluruz ki buna Riemannian uzayda verilmiş Laplace-Beltrami operatörü denir.
x = ( x1 ,..., x n ) kartezyen koordinatlar, g ij = δ ij
metrik matris olmak üzere E n , n
boyutlu Euclidean uzayda Laplace operatörü
∆=
n
∂2
∂2
∂2
+
...
+
=
∑
2
∂xn2 i =1 ∂xi2
∂x1
19
(2.17)
olarak verilir. E p ,q pseudo-Euclidean uzayda metrik matris


(g ) = diag  1{
−1 
,...,1, −
12
,...,4
1
4
3

ij

p tan e
q tan e

şeklinde verilir. Bu durumda Laplace operatörü
∂2
∆=
∂x1
2
+ ... +
∂2
∂2
∂2
−
−
...
−
∂x 2p ∂x 2p +1
∂x 2p + q
(2.18)
olur.
S n −1 küresinde verilmiş θ 1 ,...,θ n −1
küresel koordinat sistemi için Laplace-
Beltrami operatörünü verelim. x = ( x1 ,..., x n ) ∈ S n −1 de küresel koordinatlar
x1 = r sin θ n −1 sin θ n − 2 ... sin θ 2 sin θ 1
x 2 = r sin θ n −1 sin θ n − 2 ... sin θ 2 cos θ 1
…………………………………… ...
…………………………………… ...
(2.19)
x n −1 = r sin θ n −1 cos θ n − 2
x n = r cosθ n −1
şeklinde verilir. Burada
2
x1 + ... + x n2 = r 2 , r ≥ 0 , 0 ≤ θ 1 ≤ 2π
, 0 ≤ θk ≤ π
, 2 ≤ k ≤ n −1
dir.
.
.

Metrik matris , (g ij ) =  x ri , x r j  , τ 1 = r ,τ 2 = θ 1 ,...,τ n = θ n −1 bağıntısından


(g ) = diag (1, r
2
ij
, r 2 sin 2 θ n −1 ,..., r 2 sin 2 θ 2 ... sin 2 θ n −1
)
şeklinde bulunur. Buradan Laplace-Beltrami operatörü
∆
(n )
LB
=
1
r
n −1
∂ n −1 ∂
1
r
+ 2 ∆ 0(n −1)
∂r
∂r r
(2.20)
olup birinci kısım operatörün radyal kısmını ∆ 0(n −1) da açısal kısmını oluşturur. Burada
∆ 0(n −1) =
=
1
sin
n−2
1
∂
θ n −1 ∂θ n −1
∂
sin n − 2 θ n −1 ∂θ n −1
sin n −2 θ n −1
sin n − 2 θ n −1
∂
∂θ n −1
∂
∂θ n −1
20
+
1
2
sin θ n −1
+ ... +
∆ 0(n − 2 )
1
∂2
sin 2 θ n −1 ... sin 2 θ 2 ∂θ 12
dir.
F (r ,θ 1 ,...,θ n ) = r σ Φ (θ 1 ,...,θ n ) , σ . dereceden homojen bir fonksiyon olmak üzere
∆
LB
F =0
Laplace denklemini ele alalım.
∆
(n )
LB
F=
1
r
n −1
∂ n −1 ∂F 1 (n −1)
r
+ ∆0 F =0
∂r
∂r r 2
Buradan
∆ 0(n −1)Φ = σ (σ + n − 2 )Φ (θ 1 ,...,θ n )
(2.21)
denklemini buluruz.
2.4. Kuantum İntegrallenebilir Sistem
N parçacığı karakterize eden dalga fonksiyonu Ψ ( x1 , x2 ,..., x N ) , normalleştirme
koşulu da ∫ ...∫ Ψ (x1 , x 2 ,..., x N ) dx1 ...dx N = 1 şeklinde verilir.
2
Dalga fonksiyonu
ih
∂
Ψ ( x1 , x 2 ..., x N ; t ) = HΨ ( x1 ,.x 2 ..., x N ; t )
∂t
diferensiyel denklemin çözümü ile verilir. Burada H , N parçacıktan oluşan sistemin
toplam enerjisini temsil eder. V ( x ) potansiyeli ile birbirini etkileyen N parçacıklı bir
kuantum sistem
N
H =∑
i =1
 1 ∂2
pi2
1 ∂2 
 + V ( x1 , x 2 ,..., x N )
+ V (x1 , x2 ,..., x N ) = −h 2 
+
...
+
2
2 mi
2 m N ∂x N2 
 2m1 ∂x1
şeklinde Hamiltonyen ile tanımlanır. Burada V (x1 , x2 ,..., x N ) potansiyeli özel tipte bir
fonksiyondur. Örnek olarak iki farklı tip sistem verilebilir ki bunlar tam
integrallenebilir. Birincisi Oskilatör tipte
N
N
parçacık problemi ki potansiyel,
V ( x1 , x2 ,..., x N ) = k / 2∑ xi2 + v( x1 , x2 ,..., x N ) şeklinde, diğeri ise Coulomb tip N
i =1
parçacık problemi olup potansiyel,
21
 N

V (x1 , x2 ,..., x N ) = −α  ∑ xi2 
 i =1 
−1 / 2
+ v(x1 , x2 ,..., x N )
şeklinde verilir. Burada k ve α sabitlerdir.
Parçacıkların bir dış kuvvetin etkisi altında olmaması durumunda potansiyel
enerji
parçacıkların
birbirlerine
göre
durumlarına
bağlıdır
ve
potansiyel,
V ( x1 − x2 ,..., x N −1 − x N ) biçiminde yazılır. İki parçacıktan oluşan bir sistem için bunu
yazarsak, V ( x1 − x2 ) , Hamiltonyen
 1 ∂2
1 ∂2 
 + V ( x1 − x 2 )
+
H = −h 2 
2
2 
 2 m1 ∂x1 2 m2 ∂x2 
olur. Bunun için özdeğer denklemi yazılarak sistem çözülür. Parçacıklar bir dış kuvvetin
etkisi altında olsun fakat birbirleriyle etkileşmesin, bu durumda potansiyel
V1 (x1 ) + ... + VN (x N ) şeklinde verilir. İki parçacıktan ibaret olan sistem için bunu
yazarsak, V1 ( x1 ) + V2 ( x2 ) ve Hamiltonyen
 1 ∂2
1 ∂2 
 + V1 ( x1 ) + V2 (x 2 )
H = −h 2 
+
2
2 
 2 m1 ∂x1 2m2 ∂x 2 
şeklinde verilir. Etkileşmeyen parçacıklar için enerji özdeğer denklemi parçacık
denklemine ayrılabilir. Parçacıklar özdeş ise verilen bu durumlar geçerli olmaz. Tek
parçacık için potansiyel V ( x ) şeklinde verilir ki bu bir boyutlu potansiyeldir.
Parçacıktan kastımız, bunların bir nokta biçiminde oldukları veya en azından göz önüne
alınan fiziksel sistemin tipik boyutlarından daha küçük boyutlara sahip olduklarını ima
ediyoruz.
Simetrik uzayda bir serbest parçacığın kuantum problemi ilginçtir ve bir boyutlu
integrallenebilir kuantum sistemle bağlantılıdır. Bu tür problemler bir boyutlu uzayda
(
)
N parçacık problemidir ve potansiyel V xi − x j formunda verilir. Potansiyelin üç basit
tipini verelim. V ( x ) = sin 2 x , V ( x ) = sinh −2 x , V ( x ) = x −2 . Bu potansiyeller sırasıyla
kompakt, kompakt olmayan ve eğriliği sıfır olan simetrik uzaylarla bağlantılıdır. Bu
sistemlerin tam kuantum sistemlerinin verilmesi durumunda gösterilebilir ki
Hamiltonyen ile simetrik uzaydaki Laplace basit bağlantılıdır.
22
Tam çözünebilen kuantum sistemleri incelenebilmesi için özellikle Hilbert
uzayı, Lie grubu ve cebiri, simetrik uzay, diferensiyel geometri, özel fonksiyonlar v.b.
matematiksel yapıların bilinmesi gerekir.
2.5. Schrödinger Denklemi
m kütleli bir cisim x -ekseni boyunca bir F ( x ,t ) kuvvetinin etkisiyle hareket
etsin. Bu bir boyutta belirli bir kuvvet altında parçacığın hareketidir. v hız, p = mv
momentum, T = 1 / 2 mv 2 kinetik enerji, x(t ) parçacığın pozisyonu göstermek üzere,
klasik mekanikte bunu nasıl belirleriz? Newton’un ikinci yasası (F = ma ) uygulanır ve
uygun başlangıç koşullarıyla parçacığın x(t ) pozisyonu belirlenebilir.
Kuantum mekaniği bu probleme farklı yaklaşır. Bu halde parçacığın Ψ (x ,t )
dalga fonksiyonu aranır ki bu Schrödinger denkleminin çözümüyle verilir. Bir boyutlu
X uzayında momentum p , kütlesi m olan bir parçacık serbest, yani bir potansiyel
içinde (V = 0 ) değilse toplam enerjisi E = p 2 2 m olup sadece kinetik enerjiden
ibarettir. Bu parçacığı temsil eden dalga paketinin sayısı k , açısal frekansı ω olmak
üzere , h = h / 2 π , ω = 2 π k , k = 2 π / λ , enerji ve momentum
E = hω , p = hk
(2.22)
şeklinde verilir. Burada h Planck sabiti, v frekansı, λ dalga boyunu gösterir. Bu
bağıntılar de-Broglie denklemleri olarak bilinir.
Fotonlar bazı olaylarda dalga bazı olaylarda da parçacık gibi davranır ancak bir
olay sırasında iki karakteri aynı anda gösteremez. Bu günümüzde dalga-parçacık ikilemi
olarak bilinir. Fotonun bu dalga ve parçacık karakteri (2.22) denklemiyle ifade edilir.
(2.22) bağıntıları ve klasik dalganın özellikleri Schrödinger dalga denklemi olarak
bilinen madde dalgalarına uygun dalga denkleminin oluşturulmasında kullanılır. Serbest
parçacıklara eşlik eden madde dalgaları için dalga denklemi
ih
∂Ψ ( x ,t )
h 2 ∂ 2Ψ (x ,t )
=−
∂t
2 m ∂x 2
23
(2.23)
şeklinde verilebilir ki bu Schrödinger serbest parçacık denklemi olarak tanımlanır.
Enerji ve momentum operatörleri
E = ih
∂
h2 ∂2
∂
, p = −ih
, p 2 2m = −
2
∂t
2 m ∂x
∂x
şeklinde tanımlanır. Yukarıda elde ettiğimiz denklem serbest parçacık için doğru
sonuçlar verir. Daha genel olarak sabit bir V potansiyeli altında hareket eden bir
parçacığı ele alalım. Bu parçacığın toplam enerjisi E = p 2 2m + V ve de-Broglie
bağıntısı hω = h 2 k 2 / 2 m + V olur. Buradan yukarıda verilen (2.23) denklemine benzer
şekilde daha genel
∂Ψ ( x ,t )
h 2 ∂ 2Ψ ( x ,t )
ih
=−
+ V ( x ,t )Ψ
∂t
2 m ∂x 2
denklemini buluruz. Bu zamana bağlı bir boyutlu Schrödinger denklemidir. Denklemi
üç boyutlu sistemler için yazarsak
ih
∂Ψ ( x ,t )
h 2  ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ

=−
+ 2 + 2
∂t
2 m  ∂x 2
∂y
∂z
olur. Denklemde ∆ =
∂2
∂2
∂2
+
+
Laplace operatörü, toplam enerjinin diferensiyel
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
şekli olan H = −h 2 / 2 m∆ + V
ih

 + V ( x ,t )Ψ

Hamilton operatörü tanımlanırsa Schrödinger denklemi
∂Ψ
= HΨ şeklinde de yazılabilir.
∂t
Dalga denkleminin çözümü olan Ψ (x ,t ) dalga fonksiyonu incelenen bir sistem
hakkındaki tüm bilgiyi içermektedir. Yani, fiziksel sistemin belirli bir t anındaki
durumu Ψ (x ,t ) dalga fonksiyonu ile belirlenir. Sistemin Ψ (x ,t ) dalga fonksiyonunun
zaman içindeki gelişimi Schrödinger denklemiyle verilir. Yukarıda verdiğimiz denklem
zamana bağlı Schrödinger denklemi olup zamandan bağımsız Schrödinger denklemini
verelim.
Schrödinger denklemindeki V ( x ,t ) potansiyeli zamandan bağımsız olsun. Bu
durumda Schrödinger denklemi “değişkenlere ayırma” yöntemiyle çözülebilir ve
Ψ (x ,t ) = U ( x )T (t ) şeklinde bir çözüm aranır. Buradan
ih
1 ∂T
1 h2
=−
∆ U + V (x )
T ∂t
U 2m
24
(2.24)
denklemini elde ederiz. Denklemin sol tarafı sadece t değişkenine, sağ tarafı da x
değişkenine bağlıdır. Denklemin bütün x ve t değerleri için geçerli olması ancak iki
tarafın bir sabite eşit olmasıyla mümkündür. Bu sabite ayırma sabiti denir ve bu sabiti
E ile gösterelim. Bu durumda (2.24) denklemi
ih
∂T
h2
= ET , −
∆ U + V ( x )U = EU ( x )
∂t
2m
(2.25)
olur. Burada E sabiti fiziksel sistemin toplam enerjisi olarak alınabilir.
(2.24)
denkleminin
Ψ (x ,t ) = e iEt / hU (x )
çözümü
şeklinde
verilir.
V
potansiyelinin bir çok biçimi için Schrödinger denkleminin çözümleri bulunur.
Normalize çözümler için E ayırma sabitinin reel olması gerekir. E sabiti kompleks
değer alamaz. Çünkü
E
sabitini
E = E r + iE i
şeklinde yazarsak çözümdeki
e iEt / h = e iEr t / h e − Eit / h olur ki bu t → ∞ için sonsuza gider, bu da dalga fonksiyonu olarak
kabul edilemez. Schrödinger denkleminin çözümleri fiziksel olarak kabul edilebilen
dalga fonksiyonları olacaksa, bunların sağlamak zorunda olduğu bazı koşullar vardır.
- Olasılık yorumuna göre parçacığın konumunu bir yerde diğerine süreksiz değişmez,
aynı anda iki olasılığı olamaz ve bir yerde sonlu olasılıkla bulunabilir. Yani, Ψ (x ,t )
dalga fonksiyonu konum ve zamanın sürekli ve tek değerli bir fonksiyonu olmalıdır. Bu
parçacığın herhangi bir nokta etrafında bulunma olasılığının belirlenmesini garanti eder.
Eğer Ψ
2
çok değerli bir fonksiyon olsaydı veya süreksizlikler içerseydi bu olasılık iki
veya daha fazla değer alabilirdi.
- Dalga fonksiyonunun büyüklüğünün karesinin bütün değerler üzerinden integrali sonlu
olmalıdır.
2
∫ Ψ dv < ∞
(2.26)
Bu koşul sağlanmazsa dalga fonksiyonu bire normalleştirilemez.
- Ψ 1 ve Ψ 2 gibi iki dalga fonksiyonunun farklı iki durumu temsil edilebilmesi için
bunların lineer bağımsız olması gerekir.
Schrödinger denkleminin değişik tipte potansiyel için çözümü araştırılır.
Değişkenlere ayırma metoduyla denklem tek boyutlu Schrödinger denklemine
indirgenir, bu da problemin çözümünü kolaylaştırır. Biz yaptığımız çözümlerde,
Schrödinger denkleminde m kütlesini ve h Planck sabitini 1 aldık.
25
2.6. Analitik Devam
D1 ve D2 gibi iki bağlantılı bölgenin arakesiti, her iki bağlantılı bölgede ortak
olan noktaların tümünden oluşan D1 D2 bağlantılı bölgesidir. Eğer iki bağlantılı bölge
kesişirse bu durumda, bölgelerin her birinde bulunan noktaların tamamı da yine
bağlantılı bir bölge oluştururlar. Bu bağlantılı bölgeye D1 ile D2 nin bileşimi denir ve
D1 + D2 ile gösterilir.
D1 ve D2 gibi iki kesişen bağlantılı bölge ve D1 üzerinde analitik olan bir f 1
fonksiyonu verildiğinde, D2 üzerinde analitik olan ve D1 D2 arakesitine ait olan
noktaların her birinde f 1 ’e eşit olan bir f 2 fonksiyonu var olabilir. Eğer varsa bu
zaman f 2 ye, f 1 ’in D2 bağlantılı bölgesi içindeki analitik devamı denir.
f 2 fonksiyonunun analitik devamı varsa tektir. Çünkü birden fazla fonksiyon
D2 içinde analitik olamaz ve D2 içindeki bağlantılı D1 D2 bölgesine ait z noktalarının
her birinde f 1 ( z ) değerini alamaz. f 1 ’in bağlantılı bir D1 bölgesinden D1 ’i kesen bir
D2 bağlantılı bölgesi içine analitik devamı f 2 ise,
 f (z )
F (z ) =  1
 f 2 (z )
D1 in içindeki z' ler için
D2 nin içindeki z' ler için,
olmak üzere, F fonksiyonu D1 + D2 birleşiminde analitiktir. f 1 ve f 2 fonksiyonlarına
F ’nin öğeleri denir ve F de, ya f 1 ’ in yada f 2 ’nin D1 + D2 içine analitik devamıdır.
Örneğin,
∞
f 1 (z ) = ∑ z n
(2.27)
n =0
şeklinde tanımlanan f 1 fonksiyonunu düşünelim. Buradaki kuvvet serisinin yakınsak
olması için gerekli ve yeterli koşul z < 1 olmasıdır. Bu, (1 − z )
Maclaurin serisi açılımıdır; o halde
z < 1 olduğunda f 1 (z ) =
dir, ama z ≥ 1 için f 1 tanımlı değildir. Şimdi
26
1
1− z
−1
fonksiyonunun
1
1− z
F1 ( z ) =
(z ≠ 1)
(2.28)
fonksiyonu, z = 1 noktası hariç, tanımlı ve analitiktir. Bu, z = 1 çemberinin içinde
f 1 ’e özdeş olduğundan, z ≥ 1 ve z ≠ 1 için her zaman o bölgenin dışında f 1 ’in
analitik devamını temsil eder. Bu f 1 ’in birim çemberin ötesinde mümkün tek analitik
devamıdır. Bu durumda f 1 , (2.28) eşitliğiyle tanımlanan F
fonksiyonunun bir
öğesidir.
Eğer biz,
∞
∑z
n
n =0
kuvvet serisinin yakınsak olduğunu, z < 1 için z ’nin analitik bir fonksiyonunu
gösterdiğini ve z = x in toplamının (1 − x )
z < 1 için serinin toplamının (1 − z )
fonksiyonu, (1 − x )
−1
−1
−1
olduğunu bilerek başlarsak, bu durumda
olduğu sonucuna varabiliriz, çünkü (1 − z )
−1
değerlerini x ekseninin çember içinde kalan parçası boyunca alan
ve çember içinde analitik olan fonksiyondur.
Analitik devamın bir diğer açıklaması olarak,
∞
g 1 ( z ) = ∫ e − zt dt
(2.29)
0
fonksiyonunu düşünelim. − z −1 e − zt integral altının bir belirsiz integrali olduğundan,
∞
1
1

x > 0 için g 1 ( z ) = − e − zt  =
z
 t =0 z
(2.30)
bulunur. O halde D1 ile gösterilen x > 0 bağlantılı bölgesinde tanımlanır ve orada
analitiktir. g 2 ,
 z +i
g 2 (z ) = i∑ 

i 
n =0 
∞
n
( z + i < 1)
(2.31)
geometrik serisiyle tanımlanmış olsun. Onun yakınsaklık çemberi olan, z = −i noktası
dolayındaki birim çember içinde seri
1
ye yakınsar, yani z + i < 1 bağlantılı bölgesine
z
D2 dersek D2 deki z ler için
27
g 2 (z ) = i
1
1
=
1 − (z + i ) i z
(2.32)
bulunur. O halde D1 D2 arakesitinde g 2 = g 1 dir ve g 2 fonksiyonu g 1 ’in D2 içine
analitik devamıdır.
G(z ) =
1
z
(z ≠ 0 )
fonksiyonu, z düzleminin başlangıç hariç, tüm noktalarından
oluşan bağlantılı D3 bölgesi içinde hem g 1 ’in ve hem de g 2 ’nin analitik devamıdır. g 1
ile g 2 fonksiyonları G ’nin öğeleridir.
Hipergeometrik fonksiyonlar için analitik devam bağıntıları genel durumda
1 − c , b - a, c - b - a tamsayı olmaması halinde, aşağıdaki gibi verilebilir.
F(a,b;c; z) = A1 F(a,b;a + b − c + 1;1 − z) + A2 (1 − z)
c−a−b
F(c − a,c − b;c − a − b + 1;1 − z)
arg (1 − z ) < π
(
)
(
F(a,b; c; z) = B1(− z) F a,1− c + a;1− b + a; z−1 + B2 (− z) F b,1− c + b;1− a + b; z−1
−a
−b
)
arg (− z ) < π
(
)
(
F(a,b; c; z) = B1 (1− z) F a,c − b; a − b + 1; (1− z) + B2 (1− z) F b,c − a;b − a + 1; (1− z)
−a
−1
−b
−1
)
arg (1 − z ) < π
(
)
F(a,b; c; z) = A1z−aF a, a + 1− c; a + b + 1− c;1− z−1 + A2 za−c (1− z)
c−a−b
(
F c − a,1− a; c + 1− a − b;1− z−1
arg z < π
A1 , A2 , B1 , B2 katsayıları aşağıdaki gibi verilir.
A1 =
Γ (c )Γ (c − a − b )
Γ (c )Γ (a + b − c )
, A2 =
Γ (c − a )Γ (c − b )
Γ (a )Γ (b )
B1 =
Γ (c )Γ (b − a )
Γ (c )Γ (a − b )
, B2 =
Γ (b )Γ (c − a )
Γ (a )Γ (c − b )
28
)
3. BÖLÜM
3.1. U(1,3) Grubuyla Bağlantılı Kuantum İntegrallenebilir Sistem
C14,3 4 -boyutlu kompleks vektör uzayında bir z elemanı; z ∈ C14,3
z = (z0 , z1 , z 2 , z 3 )
olarak alınır. Bu uzayda bilineer çarpım
[z , z ] = z 0 z 0 − z 1 z 1 − z 2 z 2 − z 3 z 3
şeklinde tanımlanır. Bu C14,3 de H c3 kompleks hiperboloidini tanımlar.
Bir parçacıklı sistemlerde yüzeyde vektör halinde koordinatlar verilerek işlemler
yapılır. Ancak iki veya daha çok parçacıklı halde bu geçerli olmaz. Boyutlar farklıdır.
Vektörle verilmez. Matrislerle verilmelidir. Örneğin SU (2 ,2 ) grubunda iki parçacık var,
elemanlar ve işlemler matrislerle yapılır. Oysa U (1,3 ) ve SO(1,2 ) grubunda bir parçacık
var. Bu yüzden U (1,3 ) grubunun yüzeyinde koordinatlar verilerek; yani vektör olarak
ifade edilerek işlemler yapılır.
[z , z ] = r 2
hiperboloidinde pseudo-küresel koordinatlar
z 0 = re iϕ0 cosh α coshν
z 1 = re iϕ1 sinh α cos θ
z 2 = re iϕ 2 sinh α sin θ
z 3 = re iϕ 3 cosh α sinhν ;
(
z = re iϕ0 cosh α coshν , re iϕ1 sinh α cos θ , re iϕ 2 sinh α sin θ , re iϕ 3 cosh α sinhν
)
− ∞ < α , ν < ∞ , 0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤ ϕ i ≤ 2π , i = 0 ,1,2 ,3
şeklinde verilir.
Yüzeyin kendisine ait bir iç geometrisi, yani metrik matrisi vardır. Eğrilik ve
burulma yüzeyin dış geometrisinin invaryantlarıdır. Yüzeyimizin metrik matrisi;
(g ) , i ≠ j için g
ij
ij
[
]
= 0 , (g ij ) = z& i , z& j , i , j = 1,...,8
(
z& r = e iϕ 0 cosh α coshν , e iϕ 1 sinh α cos θ , e iϕ 2 sinh α sin θ , e iϕ 3 cosh α sinhν
29
)
(
= (0 ,−re sinh α sin θ , re sinh α cos θ ,0 )
= (re cosh α sinhν ,0 ,0 , re cosh α coshν )
= (rie cosh α coshν ,0 ,0 ,0 )
= (0 ,ire sinh α cos θ ,0 ,0 )
= (0 ,0 ,ire sinh α sin θ ,0 )
= (0 ,0 ,0 ,ire cosh α shν )
z&α = re iϕ 0 sinh α coshν , re iϕ 1 cosh α cos θ , re iϕ 2 cosh α sin θ , re iϕ 3 sinh α sinhν
iϕ 1
z&θ
iϕ 2
iϕ 0
z&ν
)
iϕ 3
iϕ 0
z&ϕ0
iϕ 1
z&ϕ1
iϕ 2
z&ϕ 2
iϕ 3
z&ϕ 3
g 11 = [z& r , z& r ] = 1 , g 22 = [z&α , z&α ] = −r 2 ,
g 33 = [z&θ , z&θ ] = −r 2 sinh 2 α , g 44 = [z&ν , z&ν ] = − r 2 cosh 2 α ,
[
= [z&
]
] = −r
[
= [z&
]
g 55 = z&ϕ 0 , z&ϕ0 = r 2 cosh 2 α cosh 2 ν , g 66 = z&ϕ 1 , z&ϕ1 = −r 2 sinh 2 α cos 2 θ ,
g 77
1

0
0

0
g =
0
0

0
0

ϕ2
0
−r 2
0
0
0
0
0
0
, z&ϕ 2
2
sinh 2 α sin 2 θ , g 88
ϕ3
]
, z&ϕ 3 = − r 2 cosh 2 α sinh 2 ν



2
2

0
0
0
0
0
−r sinhα

0
−r 2cosh2α
0
0
0
0


2
2
2
0
0
r coshαcoshν
0
0
0


0
0
0
0
0
−r 2sinh2αcos2θ

0
0
0
0
−r 2sinh2αsin2θ
0

0
0
0
0
0
−r 2cosh2αsinh2ν
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
veya
(g ) =
ij
(
diag 1 ,− r 2 ,− r 2 sinh
2
α ,− r 2 cosh
2
α , r 2 cosh
2
α cosh
2
ν,
− r 2 sinh 2 α cos 2 θ ,− r 2 sinh 2 α sin 2 θ ,−r 2 cosh 2 α sinh 2 ν
şeklinde verilir.
g = det (g ij ) = r 14 sinh 6 α cosh 6 α cosh 2 ν sinh 2 ν cos 2 θ sin 2 θ
Laplace-Beltrami operatörü,
∆=
∂ 
∂ 
g g ab b 
a 
∂x 
g ∂x 
1
a ,b = 1,...,8 ;
30
)
x 1 = r , x 2 = α , x 3 = θ , x 4 = ν , x 5 = ϕ 0 , x 6 = ϕ 1 , x7 = ϕ 2 , x 8 = ϕ 3
∂2 7 ∂
1
∆= 2 +
− 2 ∆ LB
r ∂r r
∂r
∆LB =
∂2
cosh 2α ∂
1
+6
+
2
sinh 2α ∂α cosh 2 α
∂α
+
1
sinh 2 α
 ∂2
cosh 2ν ∂
1
∂2
1
∂2 
+
2
−
+
 2

sinh 2ν ∂ν cosh 2 ν ∂ϕ 02 sinh 2 ν ∂ϕ 32 
 ∂ν
 ∂2
cos 2θ ∂
1
∂2
1
∂2 
+
+
 2 +2

sin 2θ ∂θ cos 2 θ ∂ϕ 12 sin 2 θ ∂ϕ 22 
 ∂θ
şeklinde bulunur.
∆LB ‘ nin çözümünü arayalım.
∆LB F (α ,ν ,θ ,ϕ j ) = σ (σ + 6 )F (α ,ν ,θ ,ϕ j ) , j = 0 ,1,2 ,3
(3.1)
Değişkenlere ayırma yöntemine göre,
3
∑ im jϕ j
F (α ,ν ,θ ,ϕ j ) = A(α )T (ν )B (θ ) e j = 0
= A(α )T (ν )B (θ ) e im0ϕ 0 e im1ϕ 1 e im 2ϕ 2 e im 3ϕ 3
ifadesi denklemde yerine yazıp uygulanırsa,
2
2
m2 
d 2B
dB  m1
 B = −l (l + 2 )B
+
2
cot
2
−
+
θ
dθ  cos 2 θ sin 2 θ 
dθ 2
d2A
dA  σ 1 (σ 1 + 2 ) − l (l + 2 ) 
+ 6 coth 2α
+
+
 A = σ (σ + 6 )A
2
dα  cosh 2 α
dα
sinh 2 α 
m32
d 2T
dT  m02

+
2
coth
2
+
−
ν
dν  cosh 2 ν sinh 2 ν
dν 2
(3.2)

T = σ 1 (σ 1 + 2 )T

denklemleri elde edilir.
Bu denklemleri Schrödinger denklemine getirelim.
m
d 2B
dB  m1
+ 2 cot 2θ
−
+ 22
2
2
dθ  cos θ sin θ
dθ
2
denkleminde, B = (sin 2θ )
2

 B = −l (l + 2 )B


Ψ (θ ) dönüşümü yapılırsa,
−1 / 2
d 2Ψ  − m12 + 1 / 4 − m22 + 1 / 4
2
+
+
+ (l + 1) Ψ = 0
2
2
2
dθ
sin θ
 cos θ

Schrödinger denklemi elde edilir. Burada potansiyel
31
(3.3)
V (θ ) =
− m12 + 1 / 4 − m22 + 1 / 4
+
cos 2 θ
sin 2 θ
ve enerji
E = (l + 1)
2
olur. Potansiyel özel tipte bir fonksiyon, enerji ise fiziksel bir büyüklüktür.
m32
d 2T
dT  m02

+
2
coth
2
+
−
ν
dν  cosh 2 ν sinh 2 ν
dν 2

T = σ 1 (σ 1 + 2 )T

denkleminde,
T = sinh −1 / 2 ν cosh −1 / 2 θ Ψ (ν )
g = r 14 sinh 6 α cosh 6 α cosh 2 ν sinh 2 ν cos 2 θ sin 2 θ
g dx = r 7 sinh 3 α cosh 3 α coshν sinhν cos θ sin θ dx
T=
1
j
ψ
,
j = coshν sinhν
T = sinh −1 / 2 ν cosh −1 / 2 ν Ψ (ν ) dönüşümü yapılırsa,
d 2Ψ  − m32 + 1 / 4 m02 − 1 / 4
2
+
+
− (σ 1 + 1) Ψ = 0
2
2
2
dν
cosh ν
 sinh ν

Schrödinger denklemi elde edilir. Burada potansiyel
V (ν ) =
− m32 + 1 / 4 m02 − 1 / 4
+
sinh 2 ν
cosh 2 ν
ve enerji
E = −(σ 1 + 1)
2
dir.
Benzer şekilde
d2A
dA  σ 1 (σ 1 + 2 ) − l (l + 2 ) 
+ 6 coth 2α
+
+
 A = σ (σ + 6 )A
2
dα  cosh 2 α
dα
sinh 2 α 
denklemini Schrödinger denklemine getirelim.
g dx = r 7 sinh 3 α cosh 3 α coshν sinhν cos θ sin θ dx
A=
1
j
ψ
,
j = sinh 3 α cosh 3 α
A = sinh −3 / 2 α cosh −3 / 2 α Ψ (α ) dönüşümü yapılırsa,
32
(3.4)
d 2Ψ σ 1 (σ 1 + 2 ) + 3 / 4 − l (l + 2 ) − 3 / 4
2
+
+
− (σ + 3 ) Ψ = 0
2
2
2
dα
cosh α
sinh α


(3.5)
Schrödinger denklemi elde edilir. Burada potansiyel
V (α ) =
σ 1 (σ 1 + 2 ) + 3 / 4 − l (l + 2 ) − 3 / 4
+
cosh 2 α
sinh 2 α
ve enerji
E = −(σ + 3 )
2
olarak elde edilir.
Denklemlerin Schrödinger denklemine geldiğini gördük. Bu da bir boyutlu
kuantum sisteme karşılık gelir. Bir G grubuna bağlı simetrik uzayda serbest parçacık
hareketinin simetrisinin bozulması sonucu bir boyutlu kuantum sistem ortaya çıkar.
Serbest hareketler simetrik uzayda düzlem dalgalarla ifade edilir. Denklemlerin
çözümleri düzlem dalgaları verir.
İlk önce
m
d 2B
dB  m1
+ 2 cot 2θ
−
+ 22
2
2
dθ  cos θ sin θ
dθ
2
2

 B = −l (l + 2 )B


(3.6)
denkleminin çözümünü arayalım.
Denklemde B = tan m2 θ cos l θ W (θ ) dönüşümü yapılırsa,
2m2
lm2
m (l − 2)
cos 2θ − sin 2θ  dW 
sin 2θ
d 2W 
sinθ
+ − 2l
+
+
+ − l + l(l − 1)
−
− 2 2

2
2
2
cosθ sinθ cosθ
sinθ cosθ  dθ 
dθ
cos θ cos θ
cos θ

+

m2 (m2 − 1)
2m2 cos2θ
m12
m22
cos2θ sinθ
+
−
2
l
−
−
+ l(l + 2)W = 0
2
2
2
2
sin2θ cosθ cos θ sin θ
sin θ cos θ sinθ cosθ sin2θ

denklemi elde edilir. Bu denklemde z = − tan 2 θ değişken dönüşümü yapılırsa,
z(1 − z)
d 2W
dW  − l − m1 + m2  − l + m1 + m2 
+ [(m2 + 1) − (− l + m2 + 1)z]
−

W = 0
2
dz 
2
2
dz


a=
− l − m1 + m 2
− l + m1 + m2
,b=
, c = m2 + 1, a + b + 1 = −l + m2 + 1
2
2
bilinen Hipergeometrik denklemi elde edilir.
Bu denklemin z = 0 civarında çözümü,
33
(3.7)
 − l − m1 + m2 − l + m1 + m2

W (z ) = F 
,
; m2 + 1; z 
2
2


dir. Buradan (3.6.) denkleminin θ = 0 daki çözümü
 − l − m1 + m2 − l + m1 + m2

B = bml 1m2 tan m2 θ cos l θ F 
,
; m2 + 1;− tan 2 θ 
2
2


(3.8)
olur.
Hipergeometrik fonksiyonlar Legendre, Jacobi, Whitteker fonksiyonları gibi
başka fonksiyonlarla ifade edilebilir. Hipergeometrik fonksiyonlar için ortogonallik
koşulu yoktur. Oysa Jacobi polinomları için ortogonallik koşulu var ve ispatlanmış. O
halde çözümdeki sabiti bulmak için Jacobi polinomlarının ortogonallik koşulu
kullanılabilir.
Bu yüzden yukarıdaki çözümü Jacobi polinomlarıyla ifade edelim.
n
Γ (n + 1 + α )  1 + x  
x −1

 F  − n ,− n − β ;1 + α ;

n! Γ (1 + α )  2  
x + 1
Pn(α ,β ) (x ) =
−n
x − 1  n! Γ (1 + α )  1 + x 

(α ,β )
F  − n ,− n − β ;1 + α ;
=

 Pn ( x )
x + 1  Γ (n + 1 + α )  2 

−n=
− l − m1 + m 2
l + m1 − m2
; − l = −2 n + m1 − m2 ; n =
; β = − m1 ; α = m 2 ;
2
2
x = cos 2θ ; z =
x −1
1+ x
 l + m1 − m2 

! Γ (m2 + 1)
2
 − l − m1 + m2 − l + m1 + m2

2  
F
,
; m2 + 1;− tan θ  =
cos(−l −m1 +m2 ) θ Pl(+mm21,−−mm12) (cos2θ )
2
2
 l + m1 + m2 + 2 


2
Γ

2


buradan çözümün Jacobi polinomlarıyla ifadesi
B = bml 1m2
 l + m1 − m 2 

! Γ (m 2 + 1)
2


sin m2 θ cos − m1 θ Pl(+mm21,−− mm12 ) (cos 2θ )
l
+
m
+
m
+
2


1
2
2
Γ

2


şeklinde verilir. Burada
 l + m1 − m2 
 l + m1 − m2 + 2 

! = Γ 

2
2




dir. Şimdi çözümdeki bml m sabitini belirleyelim.
1
2
34
(3.9)
1
∫B
−1
1
2
dx = ∫ BB dx = 1
−1
olsun.
 l + m1 − m 2 + 2 
Γ (m 2 + 1)
2


sin m2 θ cos − m1 θ Pl(+mm21,−−mm12 ) (cos 2θ )
 l + m1 + m 2 + 2 
2
Γ

2


Γ
B = bml 1m2
1
∫ BB dx = ∫ b
−1
 l + m1 − m 2 + 2 
Γ (m 2 + 1)
2


sin m2 θ cos − m1 θ Pl(+mm21,−− mm12 ) (cos 2θ )
 l + m1 + m 2 + 2 
2
Γ

2


Γ
1
l
m1 m2
−1
 l + m1 − m 2 + 2 
Γ (m 2 + 1)
2


sin m2 θ cos − m1 θ Pl(+mm21,−− mm12 ) (cos 2θ ) cos θ sin θdθ = 1
 l + m1 + m 2 + 2 
2
Γ

2


Γ
× bml 1m2
 l + m1 − m2 + 2  2
Γ (m2 + 1) 1
2


( m ,− m )
( m ,− m )
2 m +1
− 2 m +1
∫−1 sin 2 θ cos 1 θ Pl +m21 −m12 (cos 2θ ) Pl +m21 −m12 (cos 2θ )dθ = 1
2  l + m1 + m2 + 2 
2
2
Γ 

2


Γ 2
(b )
l
m1m2
2
Bu integralin değerini hesaplayalım. Jacobi polinomları için ortogonallik özelliği
1
α
β
(α ,β )
(α ,β )
∫ (1 − x ) (1 + x ) Pn (x )Pm (x ) dx =
−1
2α + β +1 Γ (n + α + 1)Γ (n + β + 1)
δ
(2n + α + β + 1) n! Γ (n + α + β + 1) nm
bağıntısıyla verilir. Burada m = n alınırsa δ nm = δ mn = 1 olur.
x = cos 2θ ,α = m2 , β = −m1
(1 − x )α
= 2 m2 sin 2 m2 θ ve (1 + x ) = 2 − m1 cos −2 m1 θ
β
ifadeleri ortogonallik özelliğinde yerine yazılırsa integral,
 l + m2 + m1 + 2 
2Γ 
Γ (m2 − m1 +1)
2
(m2 ,−m1 )
(m2 ,−m1 )
2m2 +1
−2m1 +1


(
)
(
)
θ
θ
θ
θ
θ
sin
cos
P
cos
2
P
cos
2
d
=
l +m1 −m2
l +m1 −m2
∫−1
l
+
m
−
m
+
2
2
2
(l +1)Γ  1 2 Γ  l −m1 + m2 + 2 
2
2

 

1
olarak bulunmuş olur. Bu integral yukarıda yerine yazılırsa çözümdeki
35
(l + 1)Γ  l + m1 + m2 + 2 Γ  l − m1 + m2 + 2 
bml 1m2 =

 
2
2

 l − m1 − m2 + 2   l + m1 − m2 + 2 
Γ 

2
2

 

Γ (m2 + 1) 2Γ 
katsayısı bulunur.
Şimdi
m32
d 2T
cosh 2ν dT  m02

+
2
+
−
sinh 2ν dν  cosh 2 ν sinh 2 ν
dν 2

T = σ 1 (σ 1 + 2 )T


(3.10)
denkleminin çözümünü bulalım.
Denklemde T = tanh m3 ν cosh σ 1 ν W dönüşümünü yapılırsa,
2m3
cosh2ν + sinh 2ν  dW 
sinh 2ν σ 1m3
d 2W 
sinhν
+ 2σ 1
+
+
+ σ 1 + σ 1 (σ 1 − 1)
+

coshν sinhν coshν
sinhν coshν  dν 
dν 2 
cosh2ν cosh2ν
+ m3 (σ 1 − 2 )
+σ1
m3 (m3 − 1)
cosh 2ν + sinh 2ν
1
1
+
+
m
3
sinhν coshν sinhν coshν
cosh 2ν sinh 2ν cosh 2ν

m 02
m 32
sinh ν cosh 2ν + sinh 2ν
+
−
− σ 1 (σ 1 + 2 )W = 0
2
2
cosh ν
sinh ν cosh ν
cosh ν sinh ν

denklemi elde edilir. Burada z = tanh 2 ν dönüşümü yapılırsa,
z(1 − z )
d 2W
dW  − σ 1 − m0 + m3  − σ 1 + m0 + m3 
+ [(m3 + 1) − (− σ 1 + m3 + 1)z ]
−

W = 0
2
dz 
2
2
dz


a=
− σ 1 − m0 + m3
− σ 1 + m0 + m3
, b=
, c = m3 + 1, a + b + 1 = −σ 1 + m3 + 1
2
2
Hipergeometrik denklemi elde edilir.
Hipergeometrik denklemin z = 0 civarındaki çözümü,
 − σ 1 − m0 + m3 − σ 1 + m0 + m3

W (z ) = F 
,
; m3 + 1; z 
2
2


dır. Buradan (3.10) denkleminin ν = 0 daki çözümü,
 − σ 1 − m0 + m3 − σ 1 + m0 + m3

T = cmσ01m3 tanh m3ν cosh σ 1ν F 
,
; m3 + 1; tanh 2ν 
2
2


olur.
36
(3.11)
n
(α ,β )
Pn
(x ) = Γ (n + 1 + α )  1 + x  F  − n ,−n − β ;1 + α ; x − 1 
n! Γ (1 + α )  2  
x + 1
−n
x − 1  n! Γ (1 + α )  1 + x 

(α ,β )
F  − n ,−n − β ;1 + α ;
=

 Pn ( x )
(
)
+
+
+
x
1
Γ
n
1
α
2




−n=
− σ 1 − m0 + m3
σ + m0 − m3
;n= 1
; β = − m0 ; α = m3 ;
2
2
x = cosh 2ν ; z =
x −1
x+1
 σ 1 + m0 − m 3 

! Γ (m 3 + 1)
2
 − σ 1 − m0 + m 3 − σ 1 + m0 + m 3


2 
F
,
; m 3 + 1; tanh ν  =
2
2
 σ + m0 + m 3 + 2 


Γ 1

2


× cosh
−σ 1 − m0 + m 3
ν Pσ(m+ m,− m− m) (cosh 2ν
3
1
0
0
3
)
2
Buradan çözümün Jacobi polinomlarıyla ifadesi
T = c mσ 01m3
 σ 1 + m0 − m3 

! Γ (m3 + 1)
2


sinh m3 ν cosh −m0 ν P (σm13+,m− m0 −0 m) 3 (cosh 2ν )
 σ 1 + m0 + m3 + 2 
2
Γ

2


(3.12)
 σ 1 + m0 − m3 
 σ + m0 − m3 + 2 

! = Γ  1

2
2




olur.
Önceki denklemde çözümdeki sabit ortogonallik koşulundan bulunmuştu. Oysa
bu çözümde parametre ν olup − ∞ < ν < ∞ arasında değerler alır. Burada ortogonallik
koşulu belli değildir. Bu yüzden yukarıdaki çözümdeki sabitin asimptot yolu ile
bulunması gerekir.
Şimdi asimptot yoluyla çözümdeki cmσ 01m3 sabitini belirleyelim.
Çözümün Hipergeometrik fonksiyonla ifadesi
 − σ 1 − m0 + m3 − σ 1 + m0 + m3

T = c mσ 01m3 tanh m3 ν coshσ 1 ν F 
,
; m3 + 1; tanh 2 ν 
2
2


şeklinde verilmişti.
Hipergeometrik fonksiyonun analitik devam bağıntısı;
37
F(a,b;c; z) = A1 F(a,b;a + b − c + 1;1 − z) + A2 (1 − z)
c−a−b
F(c − a,c − b;c − a − b + 1;1 − z)
(3.13)
şeklinde verilir.
A1 =
a=
Γ (c )Γ (c − a − b )
Γ (c )Γ (a + b − c )
; A2 =
; arg (1 − z ) < π
Γ (a )Γ (b )
Γ (c − a )Γ (c − b )
− σ 1 − m0 + m3
− σ 1 + m0 + m3
,b =
, c = m3 + 1
2
2
Buradan A1 , A2 katsayıları
A1 =
Γ (m3 + 1)Γ (σ 1 + 1)
Γ (m3 + 1)Γ (− σ 1 − 1)
; A2 =
 σ + m0 + m3 + 2   σ 1 − m0 + m3 + 2 
 − σ − m0 + m3   − σ 1 + m0 + m3 
Γ 1
Γ 1
Γ 

Γ 


2
 

2

2
 
2

olarak bulunur.
Atomların, moleküllerin ve elemanter parçacıkların yapısını öğrenmede
genellikle saçılma adıyla bilinen deneysel yöntem kullanılır. Bu yöntemde sabit tutulan
bir hedef parçacık üzerine belirli bir enerjiye sahip diğer bir parçacık gönderilir ve
saçılan parçacıkların yön ve enerjileri gözlenir. Saçılma problemlerinden çok azı tam
olarak çözülebilir. Genellikle saçılma problemi yaklaşık yöntemler gerektirir ve formüle
etmek güçtür. İncelemede çeşitli potansiyel tiplerinde saçılma problemine bakılır. S matris Schrödinger denkleminin çözümü olan Ψ (x ) dalga fonksiyonunun limiti olarak
ta verilebilir.
x ekseninin sonlu bir parçasında bir potansiyel alanı verilsin. Bu potansiyel
alanının sağında ve solunda V ( x ) = 0 olduğundan Schrödinger denklemini çözümleri,
Ψ ( x ) = Ae ikx + Be −ikx , Ψ (x ) = Fe ikx + Ge −ikx , k ≡
2mE
h
olur. V ( x ) ≠ 0 ise Schrödinger denklemini çözümü de Ψ (x ) = Cf (x ) + Dg ( x ) olacaktır.
Verilecek başlangıç ve sınır koşullarından C ve D yokedilir, B ve F de A ve G
cinsinden yazılırsa,
B = s11 A + s12 G
F = s 21 A + s 22 G
olur. Buradan giden düzlem dalga ile gelen düzlem dalga
 B   s11
  = 
 F   s 21
s12  A 
 
s 22  G 
38
s
şeklinde temsil edilebilir. Burada, S =  11
 s 21
s12 
 matrisi saçılma veya S -matris olarak
s 22 
tanımlanır. Bu bir boyutta saçılma matrisidir. n -boyutta S -matris verilebilir. S -matris
bize parçacıkların bir engelden yansıması ve geçmesi yani saçılma hakkında bilgi verir.
Buradan S -matris
S=
A1
A( ρ )
=
A2 A(− ρ )
şeklinde verilir.
 −σ −m + m −σ + m + m
1 
 −σ −m + m −σ + m + m


F 1 0 3 , 1 0 3 ; m3 +1;tanh2ν  = A1F 1 0 3 , 1 0 3 ;−σ1 ;
2
2
2
2
cosh2ν 



1


+ A2 

2
ν
cosh


σ 1 +1
1
 σ + m0 + m3 + 2 σ 1 − m0 + m3 + 2

F 1
,
; σ 1 + 2;

2
2
2
cosh
ν


Bu, çözümde yerine yazılırsa
T = c mσ 01 m 3 tanh

1
 − σ 1 − m0 + m3 − σ 1 + m0 + m3

,
; −σ 1 ;

2
2
2
cosh ν 

ν cosh σ ν  A1 F 
m3
1

σ 1 +1
 1 
+ A2 

2
 cosh ν 
1
 σ + m0 + m3 + 2 σ 1 − m0 + m3 + 2
F 1
,
;σ 1 + 2;
2
2
cosh 2 ν




(3.14)
olarak bulunur. Bu çözümün ν → ∞ a gitmesi halinde limitini bulalım. ν → ∞
durumunda,
1 
 − σ 1 − m0 + m 3 − σ 1 + m 0 + m 3
F
,
;−σ 1 ;
=1
2
2
cosh 2 ν 

1
 σ + m 0 + m 3 + 2 σ 1 − m0 + m 3 + 2
F 1
,
; σ 1 + 2;
2
2
cosh 2 ν

ν
lim coshν = ∞ ,
lim e = ∞ ,
ν →∞
(cosh ν ) ≈ e
σ1
ν →∞
σ 1ν
ν →∞
lim tanhν = ±1 ,
ν →∞

=1

 1 


2
 cosh ν 
, σ 1 = −1 + iρ , ρ ∈ [0 , ∞ ) ,
asimptot
[
lim T (ν ) = c mσ 01 m3 e −ν A1 e iρν + A2 e − iρν
ν →∞
şeklinde bulunur.
39
]
σ 1 +1
≈ e − 2 (σ 1 +1)ν = e − 2 iρν ,
∞
∫T
2
dx = δ (ρ − ρ ′)
−∞
∞
∫ T (ν )T (ν )coshν sinh
dν = δ ( ρ − ρ ′)
−∞
∞
(c ) ∫ A [e (
2
σ1
2
1
m0 m3
i ρ − ρ ′ )ν
]
+ e −i ( ρ − ρ ′ )ν dν = δ ( ρ − ρ ′)
−∞
1
2π
∞
∫e
i ( ρ − ρ ′ )ν
dν = δ ( ρ − ρ ′)
−∞
dır. Yerine yazılırsa, çözümdeki sabit
(c )
2
σ1
m0 m3
=
1
⇒ c mσ 01m3 =
2π A12
1
2π A1
olarak bulunmuş olur.
Harish-Chandra c -fonksiyonu Harmonik analizde ve temsiller teorisinde önemli
rol oynar. Fonksiyonların asimptotik davranışları c -fonksiyonuyla verilir. Buradan c fonksiyonunu kabaca söylersek fonksiyonun limiti olarak bakabiliriz. c -fonksiyonu
integral gösterime de sahiptir. c -fonksiyonu integral yolu ile veya bulunan fonksiyonun
asimptotu alınarak bulunabilir. Asimptot metodunu ilk defa Harish-Chandra verdi. Bu
metotla asimptot alınarak c -fonksiyonu bulunur. c -fonksiyonunun açık ifadesi Γ fonksiyonunun terimleriyle verilir.
Harish-Chandra
c -fonksiyonunu
bulalım.
Asimptottaki
e iρ
terimlerinin
katsayısı olan A , c(σ ) -fonksiyonu olarak verilir.
c(σ 1 ) = A1 =
Γ (m3 + 1)Γ (σ 1 + 1)
; σ 1 = −1 + iρ
 σ 1 + m0 + m 3 + 2   σ 1 − m0 + m 3 + 2 
Γ
Γ 


c(σ 1 ) =
2
 

2
Γ (m3 + 1)Γ (iρ )
 iρ + m0 + m3 + 1   iρ − m0 + m3 + 1 
Γ
Γ 


2
 
2
(3.15)

Son olarak
d2A
dA  σ 1 (σ 1 + 2 ) − l (l + 2 ) 
+ 6 coth 2α
+
+
 A = σ (σ + 6 )A
2
dα  cosh 2 α
dα
sinh 2 α 
denkleminin çözümünü bulalım.
Denklemde A = tanh l α cosh σ α W dönüşümü yapılırsa,
40
(3.16)
d 2W 
sinh α
1
cosh 2 α + sinh 2 α  dW 
sinh 2 α
+ 2σ
+ 2l
+3
+ σ + σ (σ − 1)

2
sinh α coshα
sinh α coshα  dα 
dα
cosh 2 α
 coshα
1
1
1
1
cosh2 α + sinh2 α
(
)
(
)
σ
3
l
+
−
2
l
+
l
l
−
1
+
sinhα coshα sinhα coshα
cosh2 α
cosh2 α
sinh2 α cosh2 α
2
2
sinh α cosh α + sinh α
σ (σ + 2 ) l (l + 2 )

+ 3σ
+ 1 12
−
− σ (σ + 6 )W = 0
2
cosh α
sinh α cosh α
cosh α
sinh α

+σ l
denklemi elde edilir. Bu denklemde z = tanh 2 α dönüşümü yapılırsa,
z (1 − z )
d 2W
dW  − σ + σ 1 + l  − σ − σ 1 + l − 2 
+ [(l + 2 ) − (l − σ )z ]
−

W = 0
2
dz 
2
2
dz


a=
−σ +σ1 + l
−σ −σ1 + l − 2
,b =
, c = l + 2; a + b + 1 = 1 − σ
2
2
Hipergeometrik denklemi elde edilir.
Hipergeometrik denklemin z = 0 civarındaki çözümü,
 −σ +σ1 + l −σ −σ1 + l − 2

W (z ) = F 
,
; l + 2; z 
2
2


olur. Buradan denklemin α = 0 daki çözümü,
 −σ +σ1 + l −σ −σ1 + l − 2

A = dσσ1l tanh lα cosh σ α F
,
;l + 2; tanh 2α 
2
2


(3.17)
şeklinde verilir.
n
Pn(α ,β ) (x ) =
Γ (n + 1 + α )  1 + x  
x −1

 F  − n ,− n − β ;1 + α ;

n! Γ (1 + α )  2  
x + 1
−n
x − 1  n! Γ (1 + α )  1 + x 

(α ,β )
F  − n ,− n − β ;1 + α ;
=

 Pn ( x )
x + 1  Γ (n + 1 + α )  2 

−n=
−σ +σ1 + l
σ −σ1 − l
;n =
; β = σ 1 + 1;α = l + 1 ;
2
2
x = cosh 2α ; z =
x −1
x+1
 σ − σ1 − l 

! Γ (l + 2)
 − σ + σ1 + l − σ − σ1 + l − 2
2
2 


F
,
; l + 2; tanh α  =
cosh−σ +σ 1 +l α Pσ(l−+σ11,σ−1l +1) (cosh2α )
−
+
l
+
4
σ
σ
2
2




1
2
Γ

2


olur. Buradan çözümün Jacobi polinomlarıyla ifadesi
41
A = d σσ1l
σ −σ1 − l 

! Γ (l + 2 )
2


sinh l α cosh σ 1 α Pσ(l−+σ11,σ−1l +1) (cosh 2α )
σ
σ
l
4
−
+
+


1
2
Γ

2


σ −σ1 − l 
σ −σ1 − l + 2 

! = Γ 

2
2




şeklinde olur.
Şimdi asimptot yoluyla çözümdeki d σσ1l sabitini belirleyelim. Denklemin
çözümü
 −σ +σ1 + l −σ −σ1 + l − 2

A = d σσ1l tanh l α cosh σ α F 
,
; l + 2; tanh 2 α 
2
2


olarak bulunmuştu.
Hipergeometrik fonksiyonun (3.13) analitik devam bağıntısından;
a=
A1 =
−σ +σ1 + l
−σ −σ1 + l − 2
,b=
,c =l+2;
2
2
Γ (l + 2 )Γ (σ + 3)
Γ (l + 2 )Γ (− σ − 3)
; A2 =
σ −σ1 + l + 4  σ +σ1 + l + 6 
 −σ +σ1 + l   −σ −σ1 + l − 2 
Γ
Γ
Γ 

Γ 


 
2
2


2
 
2

bulunur. S -matris
S=
A1
A(τ )
=
A2 A(− τ )
olarak verilir.
 −σ +σ 1 + l −σ −σ 1 + l − 2
1 
 −σ +σ 1 + l −σ −σ 1 + l − 2


F
,
;l + 2;tanh2α  = A1 F
,
;−σ − 2;
2 
2
2
2
2
cosh
α




1


+ A2 

2
 cosh α 
σ +3
1
σ −σ1 + l + 4 σ +σ1 + l + 6

F
,
;σ + 4 ;

2
2
2
cosh α 

Bu, çözümde yerine yazılırsa;

1 
 −σ +σ1 + l −σ −σ1 + l − 2
A = d σσ1l tanh l α cosh σ α  A1 F 
,
;−σ − 2;

2
2
2
cosh
α


1


+ A2 

2
 cosh α 
σ +3
1
σ −σ1 + l + 4 σ +σ1 + l + 6
F
,
;σ + 4;
2
2
cosh 2 α

42
 

 
(3.19)
olarak bulunur. Bu çözümün α → ∞ a gitmesi halinde limitini bulalım. α → ∞
durumunda,
1 
 −σ +σ1 + l −σ −σ1 + l − 2
F
,
;−σ − 2;
=1 ,
2
2
cosh 2 α 

1 
σ −σ1 + l + 4 σ +σ1 + l + 6
F
,
;σ + 4;
=1 ,
2
2
cosh 2 α 

1 



2
 cosh α 
σ +3
= cosh − 2 (τ + 3 ) α ≈ e − 2 iτα , σ = −3 + iτ , τ ∈ [0 , ∞ ) ,
(
)
lim tanh l α = ±1 , cosh σ α ≈ e σα = e (−3+iτ )α ,
α →∞
α →∞
asimptot
[
lim A(α ) = d σσ1l e −3α A1 e iτα + A2 e − iτα
α →∞
]
şeklinde bulunur.
(d )
σ 2
σ 1l
∞
∫e
2
A1
i (τ −τ ′ )α
dα = δ (τ − τ ′)
−∞
1
2π
∞
∫e
i (τ −τ ′ )ν
dν = δ (τ − τ ′)
−∞
Yerine yazılırsa çözümdeki sabit
(d )
σ 2
σ 1l
=
1
2π A1
2
⇒ d σσ1l =
1
2π A1
olarak bulunur.
Harish-Chandra c -fonksiyonu
c(σ ) = A1 =
Γ (l + 2 )Γ (σ + 3)
; σ = −3 + iτ
σ −σ1 + l + 4  σ +σ1 + l + 6 
Γ
Γ 


c(σ ) =
2
 
2

Γ (l + 2 )Γ (iτ )
 iτ − σ 1 + l + 1   iτ + σ 1 + l + 3 
Γ
Γ 


2
 
2
(3.20)

olarak verilir.
Buraya kadar Laplace-Beltrami operatörünün değişkenlerine ayrılması sonucu
ortaya çıkan üç adet denklemin çözümleri bulundu. Bunu yapmakla aslında
43
∆LB F (α ,ν ,θ ,ϕ j ) = σ (σ + 6 )F (α ,ν ,θ ,ϕ j ) , j = 0 ,1,2 ,3
denkleminin çözümü bulunmuş
olur. Buradan çözüm,
F(α,ν ,θ ,ϕ j ) = bml 1m2 cmσ01m3 dσσ1l
 σ + m − m3 
 l + m1 − m2 
 σ −σ 1 − l 
! Γ (m3 + 1) 

! Γ (m2 + 1)  1 0
! Γ (l + 2)
2
2
2






 l + m1 + m2 + 2 
σ + m + m + 2 
 σ −σ 1 + l + 4 
Γ
Γ
Γ 1 0 3 


2
2
2






× sin m 2 θ cos − m1 θ sinh m3 ν cosh − m0 ν sinh l α cosh σ 1 α
× Pl(+mm21,−−mm21 ) (cos 2θ ) Pσ(m1 +3m,−0m−0m)3 (cosh 2ν ) Pσ(l−+σ11,σ−11+1) (cosh 2α )
2
2
2
şeklinde olur. Böylece gruba karşılık gelen simetrik yüzeyde hareket eden serbest
parçacığın hareketini belirleyen düzlem dalga bulunmuş olur. Schrödinger denkleminin
çözümleri olan dalga fonksiyonları aşağıdaki gibi verilir:
Γ(
σ −σ1 − l + 2
)Γ ( l + 2 )
2
sinh l + 3 / 2 α cosh σ 1 + 3 / 2 α Pσ( −l +σ11,σ−l1 +1 ) (cosh 2α )
σ −σ1 + l + 4
2
Γ(
)
2
Ψ ( α ) = d σσ l
1
Γ(
σ 1 + mo − m3 + 2
Ψ (ν ) = cmσ m
1
o
3
Γ(
Ψ ( θ ) = bml m
1
2
) Γ ( m3 + 1 )
2
sinhm3 +1 / 2 ν cosh−mo +1 / 2 ν Pσ( 1m+3m,−o m−mo 3) (cosh 2ν )
σ 1 + mo + m3 + 2
2
)
Γ(
2
l + m1 − m2 + 2
) Γ ( m2 + 1 )
2
sin m2 θ cos − m1 θ sin 1 / 2 2θ Pl(+mm21 ,−−mm21 ) (cos 2θ )
l + m1 + m 2 + 2
2
)
Γ(
2
44
KAYNAKLAR
1. Y.A. Verdiyev, Plane waves, integrable quantum systems and the group
SO ( p , q ), p ≤ q
. J. Phys. A: Math. Gen. 30(1997), 4089-4107.
2. M.A. Olshanetsky and A.M. Perelomov, Quantum integrable systems related to
Lie algebra, Phys. Rep. 94(1983), 31.
3. Y.A. Verdiyev, Quantum integrable systems related with symmetric spaces of the
groups U ( 1,2 ) and Sp (1 ,2 ) and Green’s functions on these spaces, J. Math.
Phys. 36(7) (1995), 3320-3331.
4. I.M. Gelfand, M.I. Graev and N.Ya. Vilenkin, Integral Geometry and
Connection with its Problems of the Representations Theory(Generalized
Functions 5), Moscow, 1962.
5. Y.A. Verdiyev, Harmonic Analysis on Homogenous Spaces of SO ( 1,2 ) ,
Hadronic press, Nonantum, Massachusetts, 1988, U.S.A.
6. M. Sezgin and Y.A. Verdiyev, Quantum integrable systems of the groups
SU ( 2 ) and SU ( 1,1 ) , Hadronic Journal 22,(1999), 13-28.
7. M. Sezgin; A.Y. Verdiyev; Y.A. Verdiyev, Various decomposition of the group
SL (2 , R ) and quantum integrable systems, Hadronic Journal 22 (1999), 135-144.
8. N. Ya. Vilenkin, Special Functions And Theory Of Group Representation,
American Mathematical Society, providence, RI. 1968.
9. Y.A. Verdiyev, Plane waves, integrable quantum systems and the group
U ( p , q ), p ≤ q
. J. Phys. A: Math. Gen. 30(1997), 4109-4116.
10. I.S. Shapiro, Unitary representation of the Lorentz group, Dokl. Akad. SSSR
106(1956), 647.
11. N.Ya. Vilenkin and A.U. Klimyk, Representation of Lie Groups and Special
Functions, vol. I-II, Kluwer Academic Publ., London, 1991.
12. H. Bateman, Bateman Manuscript, edited by A. Erdelyi, Higher Transcendental
Functions, , Mc-Graw-Hill, New York, 1953, vol I,II.
13. S. Helgason, Groups and Geometric Analysis, Academic Pres Inc. 1984.
14. F.A. Berezin and I.M. Gelfand , Some Remarks about the theory of spherical
functions on a symmetric space.Proc.Mosc.Math.Soc.,5(1956).
15. S. Gasiorowicz, Quantum Physics, John Wiley. & Sons, Inc. 1974.
45
16. I.M. Gelfand , Spherical functions on symmetric Riemann spaces ,Dok 1.Akad.
Nauk SSSR 70 (1950),(5-8) (in Russian).
17. Harish-Chandra , Spherical functions on a semisimple Lie group I, II, Amer. J.
Math. 80 (1958),241-310.
18. Karpelevich ,Geometry of geodesics and eigenfunctions of the Laplace Beltrami
operator, Proc.Moscow Math.Soc. 17(1965) ,48-86 (in Russian).
19. A.O. Barut and R. Raczka, Theory Of Group Representation and Applications,
PWN-Polish Scientific Publishers, Warszawa, 1980.
20. D.J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, Prentice Hall, Inc. 1994.
21. I.S. Gradsteyn and I.M. Rhyzik, Tables of Integrals Series and Products,
Academic, New York, 1969.
46
ÖZGEÇMİŞ
Kişisel Bilgiler:
Adı
:
Martı Zehra
Soyadı
:
Özer
Baba Adı
:
Vacip
Doğum Yeri
:
Tekirdağ
Doğum Tarihi
:
06.09.1979
Uyruğu
:
T.C.
Medeni Hali
:
Bekar
:
Tekirdağ
Eğitim Durumu:
Lise Eğitimi
Tuğlacılar
Lisesi
Fen-Matematik
Bölümü’nü 1996 Yılında Bitirdim.
Yüksek Öğrenim
:
2001 Yılında Trakya Üniversitesi Fen-Edebiyat
Fakültesi “Matematik” Bölümünü Bitirdim.
Yabancı Dil
:
İngilizce
İş Durumu
:
Lalapaşa Atatürk İlköğretim Okulu’nda Matematik
Öğretmenliği Yapmaktayım.
47