KESĠRLĠ MERTEBEDEN DEĞĠġKEN KATSAYILI DĠFERENSĠYEL DENKLEM VE DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN HERMĠTE COLLOCATION YÖNTEMĠ ĠLE YAKLAġIK ÇÖZÜMLERĠ Nilay AKGÖNÜLLÜ PĠRĠM DOKTORA TEZĠ MATEMATĠK GAZĠ ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ OCAK 2014 ANKARA Nilay AKGÖNÜLLÜ PĠRĠM tarafından hazırlanan KESĠRLĠ MERTEBEDEN DEĞĠġKEN KATSAYILI DĠFERENSĠYEL DENKLEM VE DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN HERMĠTE COLLOCATION YÖNTEMĠ ĠLE YAKLAġIK ÇÖZÜMLERĠ adlı bu tezin Doktora tezi olarak uygun olduğunu onaylarım. Doç. Dr. Fatma AYAZ Tez DanıĢmanı, Matematik Anabilim Dalı …………………... Bu çalıĢma, jürimiz tarafından oy birliği ile Matematik Anabilim Dalında Doktora tezi olarak kabul edilmiĢtir. Prof. Dr. Hüseyin BEREKETOĞLU Matematik A.D. Ankara Üniversitesi ………………………... Prof. Dr. Ogün DOĞRU Matematik A.D. Gazi Üniversitesi ………………………... Doç. Dr. Fatma AYAZ Matematik A.D. Gazi Üniversitesi ……………………….. Doç. Dr. Adil MISIR Matematik A.D. Gazi Üniversitesi ……………………….. Doç. Dr. Fahd JARAD Lojistik Yönetimi, Türk Hava Kurumu Üniversitesi ……………………….. Tez Savunma Tarihi: 10.01.2014 Bu tez ile G.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Doktora derecesini onamıĢtır. Prof. Dr. ġeref SAĞIROĞLU Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü ……………………… TEZ BĠLDĠRĠMĠ Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranıĢ ve akademik kurallar çerçevesinde elde edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalıĢmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm. Nilay Akgönüllü Pirim iv KESĠRLĠ MERTEBEDEN DEĞĠġKEN KATSAYILI DĠFERENSĠYEL DENKLEM VE DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN HERMĠTE COLLOCATION YÖNTEMĠ ĠLE YAKLAġIK ÇÖZÜMLERĠ (Doktora Tezi) Nilay AKGÖNÜLLÜ PĠRĠM GAZĠ ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ Ocak 2014 ÖZET Bu tezde, kesir mertebeli lineer diferensiyel denklem ve denklem sistemlerinin yaklaĢık çözümleri için Hermite Collocation Metodu (HCM) geliĢtirilmiĢtir. Metot, bahsedilen diferensiyel denklem veya denklem sistemini, sıralama (collocation) noktalarını kullanarak, bilinmeyenleri Hermite katsayıları olan lineer cebirsel denklem sistemine dönüĢtürmektedir. Bu cebirsel sistem ise matrislerle ifade edilebilmekte ve matris cebri kullanarak sistemin kolayca çözülmesiyle de kesirli mertebeden lineer denklem ve sistemlerinin kesilmiĢ seri cinsinden yaklaĢık çözümlerine ulaĢılabilmektedir. Bilim Kodu : 204.1.138 Anahtar Kelimeler : Kesirli Analiz, Kesirli Diferensiyel Denklem, Kesirli Diferensiyel Denklem Sistemleri, Hermite Polinomları, Sıralama Noktaları Sayfa Adedi : 84 Tez Yöneticisi : Doç. Dr. Fatma AYAZ v APPROXIMATE SOLUTIONS FOR FRACTIONAL ORDER VARIABLE COEFFICIENTS DIFFERENTIAL EQUATIONS AND THE SYSTEM OF SUCH EQUATIONS BY HERMITE COLLOCATION METHOD (Ph.D. Thesis) Nilay AKGÖNÜLLÜ PĠRĠM GAZĠ UNIVERSITY GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE January 2014 ABSTRACT In this thesis, the Hermite Collocation method (HCM) has been developed for the approximate solution for the fractional order linear differential equations and the system of such equations. The method, by using collocation points, converts the mentioned equations or the system of such equations to the linear algebraic systems of which unknowns are Hermite coefficients. Since expressing this algebraic systems by matrices and using matrix algebra solution of the algebraic system can be obtained easily. As a result, the solutions of the fractional order linear equations and the system of such equations are obtained in terms of truncated Hermite series. Sciance Code : 204.1.138 Key Words : Fractional Analysis, Fractional Differantial Equations, System of Fractional Differantial Equations, Hermite Polynomials, Collocation Points Number of Pages : 84 Supervisor : Assoc. Prof. Dr. Fatma AYAZ vi TEġEKKÜR Gazi Üniversitesi’ ni tercih ettiğim 2008 yılından itibaren, gerek ders aĢamasında gerekse tez aĢamasında desteğini hep hissettiğim, fikirlerinden yararlandığım doktora tez danıĢmanım Doç. Dr. Fatma Ayaz’ a teĢekkür ediyorum. Tezimin oluĢum aĢamasında yardımlarını ve fikirlerini esirgemeyen tez izleme komitesi değerli jüri üyeleri Prof. Dr. Hüseyin BEREKETOĞLU ve Prof. Dr. Ogün DOĞRU’ a teĢekkür ediyorum. Tez çalıĢmalarım sırasında bütün nazımı ve stresimi çeken, her zaman her konuda yanımda olan eĢim Ferhat PĠRĠM’ e çok teĢekkür ediyorum. Sağladıkları yurt içi doktora bursu ile maddi desteği için TÜBĠTAK’ a teĢekkür ediyorum. vii ĠÇĠNDEKĠLER Sayfa ÖZET........................................................................................................................... iv ABSTRACT ................................................................................................................. v TEġEKKÜR ................................................................................................................ vi ĠÇĠNDEKĠLER .......................................................................................................... vii ÇĠZELGELERĠN LĠSTESĠ .......................................................................................... x ġEKĠLLERĠN LĠSTESĠ .............................................................................................. xi SĠMGELER VE KISALTMALAR ............................................................................ xii 1.GĠRĠġ ........................................................................................................................ 1 2. TEMEL KAVRAMLAR.......................................................................................... 3 2.1 Kesirli Analiz ..................................................................................................... 3 2.1.1. Gama fonksiyonu ..................................................................................... 4 2.1.2. Lebesgue uzayı ......................................................................................... 6 2.1.3. Riemann-Liouville kesirli integral operatörü ........................................... 6 2.1.4. Riemann-Liouville kesirli türev operatörü .............................................. 7 2.1.5. (t - a) Kuvvet fonksiyonunun kesirli integrali ve kesirli türevi ........... 7 2.1.6. Caputo kesirli türev operatörü ................................................................. 8 2.1.7. ( x - a) Kuvvet fonksiyonunun Caputo kesirli türevi ......................... 10 2.2. Charles Hermite ............................................................................................... 10 2.2.1. Hermite diferensiyel denklemi ............................................................... 10 2.2.2. Hermite polinomları ............................................................................... 11 2.3. Diferensiyel Denklemler ve Sistemleri ........................................................... 13 2.3.1. Tamsayi mertebeli diferensiyel denklemler .......................................... 13 viii Sayfa 2.3.2. Kesir mertebeli diferensiyel denklemler ................................................ 13 2.3.3. DeğiĢken katsayılı kesir mertebeli lineer diferensiyel denklemler ........ 13 2.3.4. Kesir mertebeli diferensiyel denklemlerin çözüm yöntemleri ............... 14 2.3.5. Tamsayı mertebeli diferensiyel denklem sistemleri............................... 15 2.3.6. Tamsayı mertebeli diferensiyel denklem sistemlerinin çözüm yöntemleri.. ............................................................................................ 16 2.3.7. Kesir mertebeli diferensiyel denklem sistemleri .................................... 17 2.3.8. Kesir mertebeli diferensiyel denklem sistemlerinin çözüm yöntemleri.. ............................................................................................ 18 3. KESĠR MERTEBELĠ LĠNEER DĠFERENSĠYEL DENKLEMLERĠN ÇÖZÜMÜ ĠÇĠN HERMĠTE COLLOCATION METODU ……………………...19 3.1. Temel Matris Bağıntıları …………………………………………………….19 3.2. Çözümün Kontrolü ve Hata hesabı . ………………………………………...27 3.3. Uygulamalar …………………………………………………………………27 4. TAMSAYI MERTEBELĠ DĠFERENSĠYEL DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN ÇÖZÜMÜ ĠÇĠN HERMĠTE COLLOCATION METODU ..………………...…. 34 4.1. Temel Matris Bağıntıları …………………………………………………….35 4.2. Çözümün Kontrolü ve Hata Hesabı ………………………………………...43 4.3. Uygulamalar ................................................................................................... 44 5. KESĠR MERTEBELĠ DĠFERENSĠYEL DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN ÇÖZÜMÜ ĠÇĠN HERMĠTE COLLOCATION METODU ..…………………….53 5.1. Temel Matris Bağıntıları …………………………………………………… 54 5.2. Uygulamalar …………………………………………………………………62 6. SONUÇ VE ÖNERĠLER …………………….......................................................55 KAYNAKLAR……………………………………………………….......................74 ix Sayfa EKLER…………………..……………………………………………......................77 EK-1 EĢ. 3.26 Denkleminin HCM Çözümü için MatlabR2007b Komutları .....……78 EK-2 EĢ. 4.45 Denkleminin HCM Çözümü için MatlabR2007b Komutları ...……..80 EK-3 EĢ. 5.32 Denkleminin HCM Çözümü için MatlabR2007b Komutları ...…..…82 ÖZGEÇMĠġ ………………………………………………………...........................84 x ÇĠZELGELERĠN LĠSTESĠ Çizelge Sayfa Çizelge 2.1. Gamma fonksiyonunun bazı sayısal değerleri……………………….....5 Çizelge 4.1. Örnek 4.2’nin y1 ( x) çözümünün diğer metotlarla karĢılaĢtırılması.......51 Çizelge 4.2. Örnek 4.2.’nin y2 ( x) çözümünün diğer metotlarla karĢılaĢtırılması….52 xi ġEKĠLLERĠN LĠSTESĠ ġekil Sayfa ġekil 3.1. Örnek 3.2 için N=4 kesme sınırında tam çözüm ile yaklaĢık çözümün karĢılaĢtırılması …………………………….…………..…......33 ġekil 4.1. Örnek 4.2 için N=4 kesme sınırında tam çözüm ile y1 ( x) yaklaĢık çözümün karĢılaĢtırılması ....………………...………………..…….…...52 ġekil 4.2. Örnek 4.2 için N=4 kesme sınırında tam çözüm ile y2 ( x) yaklaĢık çözümün karĢılaĢtırılması ……...…………...…………………….….......52 ġekil 5.1. DTM ile EĢ. 5.21 sisteminin yaklaĢık çözümleri (a) ………….…...…....67 ġekil 5.2. ADM ile EĢ. 5.21 sisteminin yaklaĢık çözümleri (b) ……...…................67 ġekil 5.3. HCM ile EĢ. 5.21 sisteminin yaklaĢık çözümleri …………...……….......68 ġekil 5.4. Örnek 5.2’ nin y1 ( x) çözüm sonucunun karĢılaĢtırılması ………….........71 ġekil 5.5. Örnek 5.2’ nin y2 ( x) çözüm sonucunun karĢılaĢtırılması ………….…...71 ġekil 5.6. Örnek 5.2’ nin y3 ( x) çözüm sonucunun karĢılaĢtırılması ………....….....72 xii SĠMGELER VE KISALTMALAR Bu çalıĢmada kullanılmıĢ bazı simgeler ve kısaltmalar, açıklamaları ile birlikte aĢağıda sunulmuĢtur. Simgeler ( ) L p [ a, b] Açıklama Gama fonksiyonu Lebesgue uzayı Riemann-Liouville kesirli integrali Riemann-Liouville kesirli türevi Caputo kesirli türevi ( ) Hermite polinomları Kısaltmalar Açıklama ADM Adomian ayırma metodu BCM Bessel collocation metodu CCM Chebyshev collocation metodu DCM Diferensiyel dönüĢüm metodu HCM Hermite collocation metodu h.h.h.y. Hemen hemen her yerde 1 1.GĠRĠġ Türev ve integral operatörleri genel olarak matematiksel modellerin temelini oluĢturmakta ve aynı zamanda doğal ve yapay sistemlerin çalıĢma prensiplerini anlamada araç olarak kullanılmaktadır. Dolayısıyla diferensiyel ve integral denklemler teorik ve pratik bakımdan büyük önem taĢımaktadır. Bu tip denklemler fen ve mühendislik gibi bilim dallarında olduğu gibi sosyal bilimleri de içermek üzere çok geniĢ uygulama alanlarına sahiptir. Diferensiyel denklemler gibi diferensiyel denklem sistemleri de elastikiyet teorisi, dinamik, akıĢkanlar mekaniği, devre problemleri, salınım problemleri, kuantum dinamiği gibi konularda sıklıkla karĢımıza çıkmaktadır. Türev ve integral operatörlerine olan ilgi, konunun daha da derinlemesine incelenerek, tamsayı mertebeli hallerinin genelleĢtirilmiĢ hali olan kesirli türev ve kesirli integral operatörlerinin bulunmasını sağlamıĢtır. Bu operatörlere olan merak 1695’te L’Hospital’in Leibniz’e sorduğu bir soru ile baĢlar ve böylece kesirli analizin temelleri atılmıĢ olur [24]. Günümüzde fen ve mühendislik alanlarında önemli uygulamalar kesirli türev ve integral operatörleri aracılığıyla daha iyi modellenebilmektedir. Örneğin, sönümleme yasası, difüzyon süreçleri ve fraktallar gibi konular kesirli analiz yardımı ile daha iyi tanımlanabilmektedir ve bu durum günümüzde kesirli analize ve kesirli mertebeden diferensiyel denklemlere olan ilgiyi artırmıĢtır. Kesirli türev operatörünü içeren, kesir mertebeli diferensiyel denklemleri ve sistemleri analitik olarak çözmek zordur. Bunun için çeĢitli sayısal veya yarı sayısal yöntemler geliĢtirilmiĢtir. Bunlardan bazıları Adomian Ayırma metodu, Diferensiyel DönüĢüm metodu, Sonlu Farklar YaklaĢım metodu, Varyasyonel Ġterasyon metodu vb.’dir. Bu yöntemler kullanılarak yapılan çalıĢmaların çoğu tek veya az terimli denklem ve denklem sistemlerine dayanmaktadır. Bu alanda eksikliklerin giderilmesi daha karmaĢık tipte ve çözülemeyen problemlerin çözülebilmesi isteği, bizi yeni ve daha 2 güçlü yöntemlerin geliĢtirilmesi çalıĢmasına yöneltmiĢtir. Yaptığımız araĢtırmalar sonucunda, [2]’ de sunulan yöntem ile kesirli analiz birleĢtirilmiĢ ve Hermite Collocation (sıralama) metodu (HCM) ile bu tip denklemler ve sistemlerin yaklaĢık çözümleri aranmıĢtır. Metodun temeli ortoganal polinom olan Hermite polinomlarının kesilmiĢ seri haline ve matrislere dayanmaktadır. Tez altı bölümden oluĢmaktadır. Bu tezin üç, dört ve beĢinci bölümleri orjinalliğe sahiptir. Her bir bölümde incelenen konular sırasıyla Ģöyledir. Tezin ilk bölümünde, son zamanlarda kesirli analize olan ilginin nedenine ve çalıĢma motivasyonuna yer verilmektedir. Ġkinci bölümde, yöntemin geliĢmesi ve anlaĢılması için gerekli olan kesirli analiz bilgileri ve Hermite polinomları hakkında gerekli ön bilgiler verilmiĢ, ayrıca tamsayı ve kesir mertebeli diferensiyel denklemlerin ve sistemlerin tanımları ile çözüm yöntemleri ile ilgili literatür çalıĢması yapılmıĢtır. Tezin orijinal olan üçüncü, dördüncü ve beĢinci bölümlerinde ise sırasıyla, kesir mertebeli diferensiyel denklemlerin, tamsayı mertebeli diferensiyel denklem sistemlerinin, çözümlerini kesir mertebeli bulmak uygulanabilirliği, hata için denklem diferensiyel geliĢtirilen hesapları, HCM gerekli yöntemi sonuçlar sistemlerinin yaklaĢık anlatılmıĢ, yöntemin Ģekil ve çizelgelerle desteklenmiĢtir. Son olarak altıncı bölümde, kullanılan metodun uygulanabilirliği, hesaplamaların yapıldığı programlara yer verilmiĢtir, ayrıca ilerisi için yapılabilecek çalıĢmalardan da bahsedilmiĢtir. 3 2. TEMEL KAVRAMLAR 2.1. Kesirli Analiz Tarihte klasik analiz kadar eskiye dayanan kesirli analiz, katlı integral ve tamsayı mertebeli türev kavramlarının geniĢletilmesi ve birleĢtirilmesiyle oluĢan herhangi bir reel veya kompleks mertebeli türev ve integralin incelenmesidir. 1695’te L’Hospital’in (1643-1704) Leibniz’e (1646-1716) sorduğu “Bir f fonksiyonun n tamsayılı mertebeden türevini tanımladın peki n 1 dn f olduğunda kavramının bir 2 dx n anlamı var mı? ” sorusu kesirli analizin baĢlangıcı olarak kabul edilir. Günümüzde kesirli mertebeli türev, integral ve bunları içeren denklemler fizik, kimya, elektrik ve elektronik, termodinamik, kontrol teorisi gibi pek çok alanda kullanılmaktadır. Konunun çeĢitli alanlara uygulanabilme potansiyeli ile son kırk yıldır popülerliği ve önemi artmıĢtır [9, 16, 19-21, 25-26]. D d / dx diferensiyel operatörü ve n bir pozitif tamsayı olmak üzere Dn f ( x) ’ in anlamının f ( x) fonksiyonunun n ’inci türevi olduğu iyi bilinmektedir. Fakat n pozitif bir tamsayı değilse Re ( ) 0 için D sembolünün veya Re ( ) 0 için D sembolünün anlamını yorumlaması zordur. Bu kısımda bu sembollerin anlamları açıklanacaktır. Farklı tipte kesirli türev ve integral tanımı ve özellikleri çeĢitli kaynaklarda yer almaktadır. Bunlardan en yaygın olarak kullanılanlar Riemann-Liouville ve Caputo ’ nun tanımlarıdır. Kesirli analizin operatörlerin en genel gösterimleri sırasıyla, ( Da f )( x) Ģeklindedir [16]. Bu gösterim olmak üzere keyfi değerli kesirli türev gösterimidir a ise kesirli türev iĢleminin sınır değeridir. Kesirli mertebeden integral anlamına gelen kesirli integral ’in gösterimi ise, Re ( ) 0 için 4 ( I a f )( x) Ģeklindedir. Tez için gerekli olan kesirli hesabın tanımlarını ve kullanımlarını anlamak için bazı matematiksel tanımları iyi bilmek gerekir, bu tanım ve teoremlerden bazıları aĢağıda verilmiĢtir. 2.1.1. Gamma fonksiyonu Gamma fonksiyonu faktöriyel fonksiyonun genelleĢtirilmiĢ halidir diyebiliriz. Faktöriyel iĢlemi negatif olmayan bir n tamsayısından baĢlayıp 1’ e kadar azalan tamsayıların çarpımından oluĢur. Matematiksel analiz, cebir gibi önemli alanlarda kullanılan bir tanımdır. Aynı gereksinim karmaĢık sayılar ve tamsayı olmayan reel sayılar için duyulunca Euler Gamma fonksiyonu n0 için, aĢağıdaki genelleĢtirilmiĢ integral yardımıyla tanımlanmıĢtır. (n) e u u n 1du 0 Bu ismi almasının nedeni integralin ikinci tip Euler integrali olmasından kaynaklıdır[16]. Faktöriyel fonksiyonun üstel fonksiyon ile ilgili aĢağıdaki eĢitliği kullanılarak n ! e u u n du 0 e u u ( n 1) 1du 0 (n 1) gamma fonksiyonu ile faktöriyel fonksiyonu arasındaki iliĢki özelleĢtirilir [4,19]. 5 Gamma fonksiyonu kesirli integral ve kesirli türev ile doğrudan iliĢkilidir. Bu iliĢkiler Gamma fonksiyonunun aĢağıda verilen özelliklerinden faydalanılarak bulunabilir. 1. (n) fonksiyonuna karĢılık gelen e u u n 1du integrali n 0 için yakınsak 0 olup, c 0 olmak üzere bu integral her [c, d ] sonlu aralığında düzgün yakınsaktır. 2. Tanım kümesi n : n 0 dır. 3. Gamma fonksiyonu n 0 için süreklidir. 4. Özellik (1) den dolayı n değiĢkenine göre integral iĢareti altında türev alarak (n) in türevi elde edilebilir. 5. (n 1) n(n), n 0 6. 0<n<1 için ( ) ( ve n 1 için 1 2 2 ) Çizelge 2.1. Gamma fonksiyonunun bazı sayısal değerleri 3 2 4 3 2 1 1 2 2 5 2 3 4 0 Tanımsız 3 2 1 2 7 2 15 8 1 1 4 6 3 2 2 6 2.1.2. Lp [a, b] , Lebesgue uzayı p 1 olsun, Lp a, b : f : a, b R; f ,[a, b] üzerinde ölçülebilirdir ve b f ( x) p dx a ifadesi 1 p için alıĢılmıĢ Lebesgue uzayıdır 19 . L p a, b uzayında norm: 1 p , f Lp [a, b] ise 1 f L p a ,b f p b p p f ( x) dx a Ģeklindedir. Eğer f fonksiyonu sürekli ise : lim f p f p f olur. Burada sup f ( x) a x b ile ifade edilmektedir. 2.1.3. Riemann-Liouville kesirli integral operatörü Riemann-liouville kesirli integrali’ nin x [a, b] için L1[a, b] de mertebesi için tanımı x 1 ( I a f )( x) : ( x t ) 1 f (t )dt , ( x a ; 0) ( ) a Ģeklinde verilir. Burada ( ) gamma fonksiyonudur. (2.1) 7 Kesirli integral operatörü EĢ. 2.1’ in önemli bir özelliği, 0 için I a0 : I özdeĢlik operatörü olmasıdır [10]. 2.1.4. Riemann - Liouville kesirli türev operatörü olsun. n , ’ ya en yakın ve en küçük tamsayı f sürekli bir fonksiyon ve mertebeli kesirli türevini hesaplamak olsun. Bu durumda f fonsiyonunun için önce v (n ) 0 mertebeden kesirli integrali hesaplanmalı sonrada n tamsayılı mertebeden türevi alınmalıdır. Yani Riemann-Liouville kesirli türevinin ⟦ ⟧ ifadesi ( ), n d ( Da f )( x) : ( I av f )( x) dx 1 d (n ) dx n x (x t) v 1 f (t )dt (2.2) a Ģeklindedir. Burada 0 için Da0 : I özdeĢlik operatörüdür [16]. 2.1.5. (t - a) Kuvvet fonksiyonunun kesirli integrali ve kesirli türevi f (t ) (t a) , 1 olsun. Bu durumda f (t ) fonksiyonunun 0 mertebeli Riemann-Liouville kesirli integrali, I a f (t ) ( 1) (t a) ( 1) ve kesirli türevi (2.3) 8 Da f (t ) ( 1) (t a) ( 1) (2.4) olmaktadır. Burada a keyfi bir sabit sayıdır. Özel olarak 1 ve 0 olursa, o zaman EĢ. 2.4 ifadesinden de anlaĢılacağı gibi bir sabitin Riemann-Liouville kesirli türevi genelde sıfır olmaz, yani Da 1 1 (t a) 0 (1 ) olmaktadır. 2.1.6. Caputo kesirli türev operatörü BaĢlangıç değer problemleri için Riemann-Liouville kesirli türev operatörünün tanımı uygun olmadığı için, baĢlangıç koĢullarını fiziksel durumlara en uygun Ģekilde verebilen Caputo kesirli türev tanımı kullanılmaktadır [16]. Bu tanım ve c ⟦ ⟧ Da f ( x) I an D n f ( x) olsun. a x b için x 1 ( x t )n 1 f ( n ) (t )dt ( n ) a (2.5) Ģeklindedir ve c Da operatörüne, mertebeli Caputo diferensiyel operatörü denir. Burada ve f ( x) AC n [a, b] Ģeklindedir. Caputo kesirli türev operatörünün bazı özellikleri ve ilgili teoremler aĢağıda sunuldu. Teorem 2.1. Her , R için c Da c Da f ( x) c Da f ( x) (2.6) 9 özelliğine sahiptir [26]. Lemma 2.1. Bir fonksiyonun ardıĢık kesirli Caputo türevi, 1 2 3 c D f (t ) c D1 2 3 n f (t ) c D1 c D2 c D3 c n olmak üzere Dn f (t ) olarak elde edilmektedir [25]. Lemma 2.2. [a, b] üzerinde sürekli olan f fonksiyonlarının uzayı AC[a, b] olmak üzere AC m [a, b] uzayı; [ ] { [ ] ( )( ) [ ]( )} Ģeklinde tanımlıdır. Özel olarak AC1[a, b] AC[a, b] alınır ve burada x f ( x) AC[a, b] f ( x) c (t )dt , ( (t ) L(a, b)) a olarak yazılır. 2.1.7. ( x - a) Kuvvet fonksiyonunun Caputo kesirli türevi f ( x) ( x a) , 0 ve için ⟦ ⟧ için durumda f ( x) fonksiyonunun 0 mertebeli Caputo kesirli türevi, olsun. Bu 10 c 0 Da f ( x) ( 1) ( 1 ) ( x a ) , 0,1, 2,..., n 1 ve n ise , ve n veya ve n 1 ise olarak tanımlanır ve C bir sabit olmak üzere, c Da C 0 olmaktadır [16]. 2.2. Charles Hermite Diferensiyel denklemlerin çözümü için geliĢtirilen bir çok sayısal yöntemin temelinde ortogonal polinomlar yer almaktadır. Nedeni ise ortogonal polinomların kolay kullanımıdır, çünkü iyi yakınsama özellikleri vardır ve bir fonksiyonun ağırlık dağılımını kesin bir ağ üzerinde, iyi bir Ģekilde temsil ederler. Ortogonal polinomlar analizin, fiziğin ve mekaniğin çeĢitli dallarında kullanılan önemli fonksiyonlardır. Bu fonksiyonların matematiksel modelleri diferensiyel veya integro-diferensiyel denklemlerin çözümü için kullanılmaktadır. Bahsedilen tip denklemler elemanter metodlarla çözülebilir; fakat çoğu zaman tam çözümü bulmak zor olduğundan genellikle seri çözümlerine baĢvurulur. ĠĢte bunlardan biri de Hermite diferensiyel denkleminin kökleri olan Hermite polinomlarına dayalı seri çözümlerdir. Klasik ortogonal polinomlardan biri olarak bilinen Hermite polinomlarını bulan Fransız matematikçisi Charles Hermite (1822-1901)’ dir. 2.2.1. Hermite diferensiyel denklemi Matematiğin ve fiziğin önemli denklemlerinden olan, y( x) 2 xy( x) 2ny( x) 0 , n 0,1, 2,... denklemine Hermite diferensiyel denklemi adı verilir. (2.6) 11 2.2.2. Hermite polinomları - x aralığında skaler çarpım ( p, q) w( x) p( x) q( x) dx yazıldığında bu skaler çarpımı ıraksak olmaktan koruyacak en doğal ağırlık fonksiyonu w( x) e x 2 x olduğunda üstel fonksiyon her x olur. kuvvetinden daha hızlı sıfıra gider ve ıraksaklığı önler. (, ) aralığında ve m ( ) ağırlık fonksiyonuyla tanımlı skaler çarpıma göre ortoganal olan polinomlar Hermite polinomları adını alırlar ve H n ( x) ile gösterilirler. EĢ. 2.6 ile verilen Hermite diferensiyel denkleminin kuvvet serisi yöntemi ile çözülmesiyle elde edilen Hermite polinomları, n çift ise ⁄ ( ) ∑ ( ( ) ⁄ ) ( ⁄ ) ( ) n tek ise ( ( ) )⁄ ∑ ( ( )( ) (( )⁄ )⁄ ) ( ) yukarıdaki seri formunda tanımlanmıĢtır. n’ in tam değeri kullanılarak yukarıdaki iki denklem birleĢtirilirse, Hermite polinomları kısaca 12 ( ) ∑⟦ ⁄ ⟧ ( ) ( ) ( ) (2.7) Ģeklinde yazılabilir. H n ( x) , n. dereceden Hermite polinomunu ifade etmektedir. Ġlk birkaç Hermite polinomunu açık Ģekilde yazılırsa, H 0 ( x) 1 H1 ( x) 2 x H 2 ( x) 4 x 2 2 H 3 ( x) 8x3 12 x H 4 ( x) 16 x 4 48 x 2 12 H5 ( x) 32 x5 160 x3 120 x H 6 ( x) 64 x6 480 x 4 720 x 2 120 H 7 ( x) 128x7 1344 x5 3360 x3 1680 x H8 ( x) 256 x8 3584 x6 13440 x 4 13440 x 2 1680 H9 ( x) 512 x9 9216 x7 48384 x5 80640 x3 30240 x H10 ( x) 1024 x10 23040 x8 161280 x6 493200 x 4 302400 x 2 30240 ve genellenirse n H 2 n ( x) (1)n (1) m m0 n n! (2 x) 2 m (n m)!(2m)! H 2 n 1 ( x) (1)n (1) m m0 (2n 1)! (2 x) 2 m1 (n m)!(2m 1)! elde edilirler [1]. 2.3. Diferensiyel Denklemler ve Sistemleri 13 2.3.1. Tamsayı mertebeli diferensiyel denklemler n ve f : R R bir fonksiyon olsun. Bu durumda, 2 Dn y( x) f ( x, y( x)) (2.8) ifadesine n . mertebeden adi diferensiyel denklem denir. Eğer, EĢ. 2.8 diferensiyel denklemine Dk y( x0 ) y0( k ) , k 0,1,..., n 1 (2.9) Ģeklindeki baĢlangıç koĢullarını eklersek, EĢ 2.8 diferensiyel denklemi, EĢ. 2.9 baĢlangıç koĢullarını içeren bir başlangıç değer problemi olarak tanımlanır [32]. 2.3.2. Kesirli mertebeden diferensiyel denklemler Bir bağımlı değiĢkenin, bir bağımsız değiĢkene göre kesirli türevlerini içeren diferensiyel denklemlere kesirli mertebeden adi diferensiyel denklemler denir [18]. 1 D 2 y ( x) 2 y 3 ( x) 5 2 5 1 2 3D y(t ) Dy (t ) t (2.10) denklemleri birer kesirli diferensiyel denklemdir. 2.3.3. DeğiĢken katsayılı kesir mertebeli lineer diferensiyel denklemler x bağımsız değiĢken ve y bağımlı değiĢken olmak üzere an ( x) D n y( x) an1 ( x) D n1 y( x) ... a1 ( x) D1 y( x) a0 ( x) D0 y( x) f ( x) (2.11) 14 Ģeklinde yazılabilen diferensiyel denklemlere değişken katsayılı kesir mertebeli lineer diferensiyel denklem denir. Bu denklemin lineerliği kesirli türev operatörünün lineer olma özelliğinden kaynaklanmaktadır [18]. Örneğin, 3 x 2 D 2 y ( x) y ( x) e x c D2 y( x) c D3/ 2 y( x) y( x) x 1 (2.12) denklemleri lineerdir. 2.3.4. Kesirli mertebeden diferensiyel denklemlerin çözüm yöntemleri Kesirli diferensiyel denklemler uygulamalı matematik, fizik, kimya ve mühendislik alanlarında oldukça sık ortaya çıkmaktadır. Bunun nedeni; kesirli türevlerin gerçek sistemleri ve süreçleri tamsayı mertebeli türevlerden daha tam ve gerçeğe yakın olarak modellenmeleridir. Kesirli diferensiyel denklemlerin analitik çözümleri için uygulanan yöntemlerden bazıları Volterra Ġntegral denklemlere indirgeme metodu, Mittag-Leffler ve Bessel özel fonksiyonlarıyla kesirli türev, kesirli integral operatörlerinin bileĢimi metodu [16], Laplace dönüĢüm metodu, Mellin dönüĢüm metodu, Kesirli Green fonksiyonu metodudur [25]. Bu metotların var olmasıyla birlikte, çözümü aranan diferensiyel denklemlerdeki kesirli türevlerin her zaman analitik hesaplaması kolay ya da mümkün olmayabilir. Bu yüzden çeĢitli nümerik metotlar kullanılarak bu kesirli türevlerin analitiğe yakın ve kolay hesaplanabilmesi sağlanmıĢtır. Bu metotlardan bazıları Adomian ayırma metodu (ADM), kesirli diferensiyel dönüĢüm metodu, kesirli fark metodu ve çeĢitli iterasyon metotlarıdır, [11-15, 17,29, 32]. Çözümü aranan problemin türüne göre bu metotlardan en uygun olanı seçilerek çözüme ulaĢılabilmektedir. Bu çalıĢmada ele alınan kesirli diferensiyel denklem problemlerinin çözümünde Hermite collocation 15 metodu ile yaklaĢık ve kapalı çözümler elde edilmiĢtir ve ilerleyen bölümlerde bu çözümlere yer verilecektir. 2.3.5. Tamsayı mertebeli diferensiyel denklem sistemleri AĢağıdaki gibi x bağımsız değiĢken ve y bağımlı değiĢken olmak üzere y1 p11 ( x) y1 p12 ( x) y2 p1k ( x) yk g1 ( x) y2 p21 ( x) y1 p22 ( x ) y2 p2 k ( x ) y k g 2 ( x ) yk pk 1 ( x) y1 pk 2 ( x) y2 pkk ( x) yk g k ( x) (2.13) Ģeklindeki bir veya daha fazla sayıda bağımlı değiĢkenin tek bir bağımsız değiĢkene göre türevlerini içeren denklem sistemine lineer diferensiyel denklem sistemi denir, i, j 1,2,..., k olmak üzere gi ( x) ve pij ( x) bilinen fonksiyonlarının [a, b] aralığında tanımlı oldukları kabul edilmiĢtir. Eğer gi ( x) 0 ise EĢ. 2.13 sistemine homojen sistem, gi ( x) 0 ise EĢ. 2.13 sistemine homojen olmayan sistem denir. Sistemlerin lineerliği ise diferensiyel denklemlerin lineerliğinden kaynaklanmaktadır, yani tüm denklemler lineer ise sisteme lineer sistemi denir. Ayrıca pij ( x) fonksiyonları sabitlerden oluĢuyor ise EĢ. 2.13 sistemine sabit katsayılı sistem, en az biri bağımsız değiĢken x ’i içeriyor ise değişken katsayılı sistem denir. Örneğin, 1 y1 y1 2 1 1 y2 y1 y2 2 4 1 1 y3 y2 y3 4 6 (2.14) sistemi birinci mertebeden, sabit katsayılı, homojen, lineer diferensiyel denklem sistemidir. En genel haliyle n. mertebeden k bilinmeyenli sistem 16 m k p ( x) y n 0 j 1 n ij (n) j ( x) gi ( x), i 1,..., k , a x b toplamları ile ifade edilebilir. Örneğin, 3 2 y1 ( x) xy2 ( x) 2 xy1 ( x) 2 x 2 x 46 x 2 2 y2 ( x) 2 xy1 ( x) y2 ( x) 5 x 1 (2.15) sistemi ikinci mertebeden, homojen olmayan, değiĢken katsayılı, lineer bir diferensiyel denklem sistemi tanımlamaktadır. 2.3.6. Tamsayı mertebeli diferensiyel denklem sistemlerinin çözüm yöntemleri Diferensiyel denklem sistemleri elastikiyet teorisi, dinamik, akıĢkanlar mekaniği, devre problemleri, salınım problemleri gibi pek çok konuda karĢımıza çıkan sistemlerdir. Yüksek mertebeden sistemlerin çözümüne iliĢkin zorluklar konuya olan ilgiyi artırmıĢtır. Birinci mertebeden (normal formdaki) sistemlerin analitik çözümleri yok etme metodu, operatör metodu gibi standart yöntemlerle yapılabilir ama iki veya daha yüksek mertebeden diferensiyel denklem sistemlerini analitik olarak çözmek zordur. Bu yüzden yaklaĢık çözümlere gerek duyulmuĢtur. Yüksek mertebeli sistemler, normal formdaki sistemlere indirgenerek çözülmeye çalıĢılmıĢtır. Bunların çözümünde de Runge-Kutta, Euler gibi yöntemler kullanılmaktadır. Son yıllarda diferensiyel denklem sistemlerini çözmek için diferensiyel dönüĢüm metodu [28], varyasyonel iterasyon metodu [23], Taylor [27], Chebyshev [3] ve Bessel [30] collocation metodu gibi yaklaĢık çözüm yöntemleri kullanılmaktadır. 17 Bu çalıĢmada ise Hermite polinomlarından ve collocation yönteminden faydalanılarak geliĢtirilen HCM yöntemi ile tamsayı mertebeli diferensiyel denklem sistemleri için çözümler yapılmıĢ ve bu çözümlere dördüncü bölümde yer verilmiĢtir. 2.3.7. Kesir mertebeli diferensiyel denklem sistemleri Kesir mertebeli sistemler, tamsayı mertebeli sistemlerin genelleĢtirilmiĢ hali olarak düĢünülmektedir. Bu nedenle kesir mertebeli diferensiyel denklem sisteminin tanımı C D1 y1 ( x) g1 ( x, y1 , y2 , C D 2 y2 ( x) g 2 ( x, y1 , y2 , , yn ) , yn ) (2.16) C D n yn ( x) g1 ( x, y1 , y2 , ifadesi ile verilebilir. Burada , yn ) C Di her yi fonksiyonunun Caputo anlamında i mertebeli kesirli türevidir ve 0 i 1 dir [12]. Örneğin, C D0,7 y1 ( x) y1 ( x) y2 ( x) 0 C D0.7 y2 ( x) y1 ( x) y2 ( x) 0 (2.17) ve C D1 y1 ( x) F13 F F y3 ( x) g ( x) 31 y1 ( x) 21 y1 ( x) V3 V1 V1 C D 2 y2 ( x ) F21 F y1 ( x) 32 y2 ( x) V1 V2 C D3 y3 ( x) F31 F F y1 ( x) 32 y2 ( x) 13 y3 ( x) V1 V2 V3 sistemleri kesir mertebeli diferensiyel denklem sistemleridir. (2.18) 18 2.3.8. Kesir mertebeli diferensiyel denklem sistemlerinin çözüm yöntemleri Fiziksel süreçlerin matematiksel modellenmesinde kesir mertebeli sistemler sıklıkla karĢımıza çıkmaktadır. Bu tür süreçlerin matematiksel modellerine olan ilgi son yıllarda daha da artıĢ göstermiĢ ve çok çeĢitli alanlarda örneğin fizik, kimya, mühendislik ve biyoloji gibi alanlarda uygulamalarına literatürde geniĢ olarak yer verilmiĢtir. Bu tip sistemleri analitik olarak çözmek zordur. Bu yüzden sayısal teknikler geliĢtirilmiĢtir. ġimdiye kadar olan çalıĢmaların çoğu kesir mertebeli lineer veya lineer olmayan diferensiyel denklemler üzerinedir. Çok az sayıda çalıĢma sistemler üzerine yapılmıĢtır, bunlardan bazıları S. Momani’ nin kullandığı Adomian Ayırma metodu [22] ve V.S. Ertürk’ ün kullandığı Diferensiyel DönüĢüm metodu [12] ile yapılan çözüm teknikleridir. Bu çalıĢmada Hermite Colocation metodu ile kesir mertebeli sistemlere çözüm aranmıĢ ve yöntem beĢinci bölümde tanımlanmıĢtır. Adı geçen yöntem kesilmiĢ Hermite serisi formundaki yarı analitik çözümlerdir ve teknik matrislere dayanmaktadır. 19 3. KESĠRLĠ MERTEBEDEN LĠNEER DĠFERENSĠYEL DENKLEMLERĠN ÇÖZÜMÜ ĠÇĠN HERMĠTE COLLOCATION (SIRALAMA) METODU Bu bölümde kesirli mertebeden lineer diferensiyel denklemlerin, verilen baĢlangıç koĢulları altındaki yaklaĢık çözümlerini elde etmek için [1, 2, 15]’ den faydalanılarak yeni bir metot geliĢtirilmiĢtir. Hermite Collocation (Sıralama) Metot (HCM) adı verilen bu metot da Hermite polinomları ve kuvvet fonksiyonunun Caputo kesirli türevi kullanılarak, sıralama noktaları için kesirli mertebeden diferensiyel denklemler matris denklemlere dönüĢtürülmektedir. Matrislerde cebir iĢlemleri kolay olduğu için uygulanan metodun herhangi bir zorluğu yoktur. Üstelik bilgisayarlardan faydalanarak hazır paket programlarına gerekli kodlar girilerek hesaplamalar kolayca yapılabilmektedir. Böylece Hermite Collocation Metodu’nun kesirli diferensiyel denklemlerin analitik veya yaklaĢık çözümlerini elde etmek için kullanılabilecek alternatif ve etkili bir metot olduğu söylenebilir. Bu bölümün ilk kısmında metodun oluĢumu, ikinci kısmında kullanılan metot ile bulunan çözümlerin hata hesaplarının nasıl yapılacağından bahsedilmiĢ ve son kısımda ise yöntemin uygulaması örneklerle desteklenmiĢtir. 3.1. Temel Matris Bağıntıları ⟦ Burada ⟧ ϵ Nₒ ve a x b olmak üzere sabit veya değiĢken katsayılı kesirli mertebeden lineer m P ( x) k 0 k C D k y ( x) g ( x) (3.1) diferensiyel denkleminin, t 1 [ a k 0 c jk D k y (a) b jk c D k y (b)] j , koĢulları altında j 0,1,2,..., t 1 (3.2) 20 N y ( x) an H n ( x ) (3.3) n 0 kesilmiĢ (sonlu) Hermite serisi formunda bir yaklaĢık çözümünün var olduğu kabul edilmektedir. Burada N seçilen keyfi bir pozitif tam sayıdır, öyle ki kabul edilmiĢtir. Bu durumda EĢ. 3.3’ü aĢağıdaki [ y( x)] H ( x ) A (3.4) matris formuna dönüĢtürebiliriz; burada H ( x ) ve A matrisleri H ( x ) [ H 0 ( x ) H1 ( x ) ... H N ( x )] A [ a0 a1 ... aN ]T olarak tanımlanır. Böylece EĢ. 3.3 ifadesinin matris formu xi a ( ba )i , i 0,1, 2,..., N , x0 a, xN b N collocation (sıralama) noktalarında [ y( xi )] H ( xi ) A i 0,1, 2,..., N haline gelir. EĢ. 2.7’ de verilen hermite polinomlarının ( ) ∑⟦ ⁄ ⟧ ( ( ) ) ( ) , x , n 0,1, 2,... 21 özelliği kullanılarak Hermite polinomları N’ in tek ve çift değerlerine göre x yerine x yazılarak aĢağıdaki gibi matris formuna dönüĢtürülebilmektedir [1]. N tek ise 20 0 0 21 H 0 ( x ) H ( x ) N-5 0 1 ( ) 2 (N-1)! (-1) 2 0 0! ( N-1 )! H N 1 ( x ) 2 N-1 1 ( ) 2 N! H N ( x ) 0 (-1) 2 N-1 1! ( )! 2 0 0 2 N-1 0 0 0 1 x 0 x ( N 1) N x 2N (3.5) N=çift ise H0 (x ) H1 ( x ) H N 1 ( x ) H N ( x ) ⏟ 20 0 0 21 N-2 1 ( ) 2 (N-1)! 2 0 (-1) 1! ( N-2 )! 2 N-4 0 ( ) 2 N! 0 (-1) 2 N 0! ( )! 2 ⏟ H T ( x ) F 0 0 2 N-1 0 0 0 1 x 0 ( N 1) x N x ⏟ 2N (3.6) X T ( x ) Yukarıdaki matris formu kısaca H T ( x ) F X T ( x ) ya da H ( x ) X ( x ) F T Ģeklinde ifade edilir. Burada (3.7) 22 X ( x ) ( x c)0 ( x c)1 ( x c)( N 1) ( x c) N olarak yazılabilir ve c sayısı verilen aralık içinde herhangi bir keyfi değer olabilir. Elde ettiğimiz EĢ. 3.7 ifadesini EĢ. 3.4 denkleminde yerine yazarsak y( x) X ( x ) F T A (3.8) olur. ġimdi ise EĢ. 3.8 denkleminin her iki yanının da k . Caputo kesirli türevini alırsak C Dk y( x) C Dk X ( x ) F T A (3.9) bulunur, fakat iĢleme devam etmek için C Dk X ( x ) C Dk ( x c)0 C C Dk X ( x ) hesaplanmalıdır, bunun için Dk ( x c)1 C D k ( x c)( N 1) C D k ( x c) N belirlenmelidir. EĢ. 2.9 denkleminden yararlanarak önce k 1 için aĢağıdaki matris formunu yazalım. C D ( x c ) 0 C 1 D ( x c) C D ( x c)2 C ( N 1) D ( x c) C D ( x c ) N ⏟ C 0 0 0 ( +1) 0 0 (2 +1) 0 0 ( +1) 0 0 0 ⏟ D X T ( x ) Kısaca yukarıdaki matris eĢitliği B 0 0 0 0 0 0 0 (N +1) ((N-1) +1) 0 ( x c)0 1 0 ( x c) 2 0 ( x c) ( N 1) ( x c ) ( x c) N 0 ⏟ X ( x ) 23 C D X ( x ) X ( x ) BT Ģeklinde ifade edilir. Buradan k mertebeden Caputo kesirli türevlere geçilirse teorem 2.1 kullanılarak C D C D X ( x ) C D X ( x ) B T X ( x ) BT C C D 2 X ( x ) X ( x )( BT ) 2 Dk X ( x ) X ( x )( BT )k (3.10) eĢitlik elde edilir. Böylece EĢ. 3.10 ifadesi EĢ. 3.9 ifadesinde yerine yazılırsa C Dk y( x) X ( x )( BT )k F T A (3.11) bulunur. Sıralama (collocation) noktaları olan x xi , için EĢ. 3.1 diferensiyel denklemi m P (x ) k 0 k i C D k y ( xi ) g ( xi ) , i 0,1, 2,..., N Ģeklinde düzenlenir. Burada Pk ( x0 ) 0 0 Pk ( x1 ) 0 0 ⏟ 0 Pk ( xN ) 0 C D k y ( x0 ) C k D y ( x1 ) C k D y ( x ) N ⏟ g ( x0 ) g(x ) 1 g ( x ) N ⏟ (3.12) 24 Y k Pk G yazılabileceğinden EĢ. 3.12 ifadesi m P Y G k k 0 (3.13) k matris sistemine dönüĢtürülmüĢ olur. ġimdi ise Y k matrisini elde etmek için EĢ. 3.11 denkleminde x xi yazarsak C Dk y( xi ) X ( xi )( BT )k F T A (3.14) olur ve bu ifadeyi yine matris sistemine dönüĢtürmek istersek C D k y ( x0 ) C k D y ( x1 ) C k D y ( x ) N ⏟ Y k X ( x0 ) X ( x1 ) ( BT )k F T A X ( xN ) ⏟ X haline gelir. Buradaki “ X ” matrisi X ( x0 ) X ( x1 ) X = X ( xN ) 1 ( x0 c)1 1 1 ( x1 c) 1 1 ( xN c) ( x0 c)( N 1) ( x0 c) N ( x1 c)( N 1) ( x1 c) N ( xN c) ( N 1) ( xN c) N Ģeklinde yazılır. Bu durumda EĢ. 3.14’ ün matris formu Y k X ( BT )k F T A (3.15) 25 olarak tanımlanır. Böylece EĢ. 3.15 ifadesini EĢ. 3.13 ifadesinde yerine yazabiliriz. Sonuç olarak m P X (B k 0 k ) FT A G T k (3.16) temel matris denklemi elde edilir ve W [ wpq ] m P X (B k 0 T k k ) FT p, q 0,1, 2,..., N olarak isimlendirilirse EĢ. 3.16 denklemi kısaca W A G (3.17) Ģeklinde yazılabilir ve burada sistem (N+1) satır (N+1) sütundan oluĢan bir cebirsel sisteme dönüĢtürülebilir. EĢ. 3.17 denkleminin artırılmıĢ matrisi aĢağıdaki gibidir; w00 w 10 [W ; G ] w( N 1)0 wN 0 w01 w11 w( N 1)1 wN 1 w0 N w1N w( N 1) N wNN ; g ( x0 ) ; g ( x1 ) ; ; g ( xN 1 ) ; g ( xN ) ( N 1)( N 1) ġimdi ise koĢul denkleminin artırılmıĢ matrisini elde edelim, bunun için C D j y (a) j , j= 0,1,2,...,t-1 EĢ. 3.2 koĢul denkleminde EĢ. 3.14 denklemini kullanarak (3.18) 26 X (a)( BT ) j F T A j (3.19) bulunabilir. Ayrıca U j X (a)( BT ) j F T [u j 0 u j1 u j 2 u jN ] için EĢ. 3.19 matris formu U j A j [U j ; j ], j 0,1,2,..., t 1 haline dönüĢür. O halde koĢullar için artırılmıĢ matrisimiz u01 u00 u u11 10 [U j ; j ] = u(t 1)1 u(t 1)2 u0 N u1N u(t 1) N ; 0 ; 1 ; ; t 1 olarak tanımlanır. EĢ 3.18 matris formunun son m satırı silinerek koĢullar için artırılmıĢ matrisimiz silinen satırlarda yerine yazılırsa w01 w00 w w11 10 w( N t 1)0 w( N t 1)1 w( N t )1 [W ; G ] = w( N t )0 u01 u00 u u11 10 u(t 1)1 u(t 1)0 matrisi oluĢur. Bu artırılmıĢ matris w0 N w1N w( N t 1) N w( N t ) N u0 N u1N u(t 1) N ; g ( x0 ) ; g ( x1 ) ; ; g ( xN t 1 ) ; g ( xN t ) ; 0 ; 1 ; ; t 1 27 W AG (3.20) Ģeklinde kısaca gösterilebilir. Teorem 3.1. Eğer rank W rank [W ; G] N 1 ise yani det(W ) 0 ise EĢ. 3.20 matris denkleminin çözümü A (W )1 G (3.21) olur. Bu teoremin ispatı cebirden de bilindiği gibi gayet açıktır. Bu sayede EĢ. 3.21 denkleminden, bilinmeyen A [a0 a1 aN ]T sütun matrisi verilen Ģartlar altında kolayca bulunabilir. Böylece verilen koĢullara göre EĢ. 3.1 diferensiyel denklemi tek çözüme sahip olur ve bu çözüm, [ y( x)] H ( x ) A ya da N y ( x) an H n ( x ) (3.22) n 0 Ģeklinde Hermite serisel çözümüdür. 3.2. Çözümün Kontrolü ve Hata Hesabı Elde edilen EĢ. 3.22 denklemindeki kesilmiĢ Hermite serileri, EĢ. 3.1 denkleminin yaklaĢık çözümü olduğundan, bulunan sonuç fonksiyonu y( x) , EĢ. 3.1 denkleminde yerine yazıldığında denklemi yaklaĢık olarak sağlamalıdır. Bu durumda her x xi 28 ( a x b ) , i 0,1,..., N için m E ( xi ) Pk ( xi ) C D k y ( xi ) g ( xi ) 0 k 0 veya E ( xi ) 10 ki ( ki herhangi bir pozitif tamsayı) olmalıdır. Eğer maksimum ( 10 ki ) = 10 k (k herhangi bir pozitif tamsayı) önceden belirlenirse, o zaman N kesme sınırı xi nokralarının her birindeki E ( xi ) değeri alınan 10 k ’dan daha küçük oluncaya kadar arttırılır. Diğer yandan hata fonksiyonun grafiği m E ( x) Pk ( x) C D k y ( x) g ( x) k 0 fonksiyonu ile elde edilir. Eğer bu fonksiyonun grafiği N kesme sınırı artarken x eksenine yaklaĢıyorsa çözümün hatası asimtotik olarak sıfıra yaklaĢıyor demektir. Ayrıca hata hesabının bir diğer yolu ise HCM yöntemi kullanılarak bulunan çözüm ile tam çözüm arasındaki farkın mutlak değerinin, verilen aralıktaki keyfi değerler için hesaplanmasıdır. Yani mutlak hata hesabı yapılabilir. Hatanın sıfıra yakınlığı yöntemin iyi çalıĢtığını gösterir. 3.3. Uygulamalar Bu bölümde, “Hermite Collocation” metodunun kullanılabilirliğini göstermek için aĢağıdaki kesirli mertebeden değiĢken katsayılı lineer diferensiyel denklem örnekleri incelenmiĢtir. Örneklerdeki denklemler için matlab v7.5 ile gereken programlar oluĢturulmuĢ, bu programlar kullanılarak yeterince farklı N değeri için tam çözüme yaklaĢılmaya çalıĢılmıĢtır. Elde edilen sonuçların karĢılaĢtırılması ayrıca grafiklerle 29 gösterilmiĢtir. Bulunan yaklaĢık çözümler ile eğer varsa tam çözüm arasındaki farklar hata hesabı yapılarak tablolarla verilmiĢtir. Örnek 3.1. Ġlk olarak D2 y( x) D3/ 2 y( x) y( x) x 1 (3.23) Bagley-Torvik denklemini [8], N 2 alarak 2 y ( x) an H n ( x ) (3.24) n 0 sonlu Hermite serisi biçiminde çözümünü araĢtıralım. Burada m 4, 1/ 2 alınarak P0 ( x) P3 ( x) P4 ( x) 1, g ( x) x 1 ve N 2 için sıralama noktaları P1 ( x) P2 ( x) 0 , x0 0, x1 1/ 2, x2 1 olduğuna göre, temel matris denklemi EĢ. 3.16 ifadesinden P X 0 P3 X ( BT )3 P4 X ( BT )4 F T A G olur ve burada hesaplanan 1 0 2 1 0 0 0 0 0 T P0 P3 P4 0 1 0 , P1 P2 0 0 0 , F 0 2 0 , 0 0 4 0 0 1 0 0 0 (3.25) 30 x00 0 0 148/167 BT 0 0 167 /148 , X x10 x20 0 0 0 x01/ 2 x11/ 2 x1/2 2 x01 1 0 0 1 x1 1 985/1393 1/ 2 x12 1 1 1 g ( x0 ) 1 G g ( x1 ) 3/ 2 g ( x2 ) 2 matrisleri EĢ. 3.25 ifadesinde yerine yazılırsa 1 0 2 ; 1 W A G [W ; G ]= 1 1,4 0 ; 1,5 1 2 2 ; 2 artırılmıĢ matrisi elde edilir. det(W ) 0 olduğundan, a0 1,5 A a1 0 a2 0,25 katsayıları bulunur. Böylece bu katsayılar EĢ. 3.24 denkleminde yerine yazılarak EĢ. 3.23 probleminin Hermite polinomları cinsinden çözümü y( x) a0 H 0 ( x ) a1H1 ( x ) a2 H 2 ( x ) 3 1 y( x) (1) (4 x 2 2) 2 4 olur ve 1/ 2 değeri çözümde yazılırsa y ( x) x 1 31 elde edilir. Bu sonuç EĢ. 3.23 ile verilen kesirli diferensiyel denkleminin tam çözümüdür. Örnek 3.2. 0 x 1 , (0,1) , 0 ve g fonksiyonu [0,1] üzerinde tanımlı fonksiyon olmak üzere D y( x) y( x) g ( x) (3.26) kesirli diferensiyel denkleminin 1 ve g ( x) x 2 2 x 2 için y(0) 0 (3 ) baĢlangıç koĢulu altında analitik çözümünün y( x) x 2 olduğu [7] belirtilmiĢtir. Bu problemde, EĢ. 3.26 denklemine P2 ( x) 0 P0 ( x) P1 ( x) 1 g ( x) x 2 1 , N 4 ve 2 için HCM uygulanırsa 2 x1,5 bulunur ve EĢ. 3.26 ifadesinin temel (2,5) matris bağıntısı EĢ. 3.16 kullanılarak P X 0 1/ 2 P1 X 1/ 2 BT P2 X 1/ 2 ( BT ) 2 F T A G (3.27) olarak yazılmaktadır. Sıralama noktaları x0 1, x1 1/ 4, x2 2/ 4, x3 3/ 4, x4 1 için EĢ. 3.27 denkleminde kullanılan matrisler 1 0 P0 P1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 , P2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 1 0 2 0 0 0 2 0 12 0 0 T F 0 0 4 0 48 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 16 0 32 0 0 0 0 0,8862 g ( x0 ) 0 0 g ( x ) 0, 2506 0 1,1284 0 0 1 BT 0 0 0 1,3293 0 , G g ( x2 ) 0,7819 0 0 0 1,5045 0 g ( x3 ) 1,5397 0 g ( x4 ) 0 0 0 0 0 X 1/ 2 x00 0 x1 x20 0 x3 x0 4 x01/ 2 x11/ 2 x1/2 2 x31/ 2 x1/4 2 x01 x11 x12 x31 x14 x3 / 2 x13 / 2 x23 / 2 x33 / 2 x43 / 2 x02 x12 x22 x32 x42 1 0 0 0 0 1 0,5 0, 25 0,125 0,0625 1 0,7071 0,5 0,3536 0, 25 1 0,866 0,75 0,6495 0,5625 1 1 1 1 1 Ģeklinde bulunmaktadır. Bu matrisleri kullanarak EĢ. 3.27 hesaplandığında [W ; G ] 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,7725 2,7725 3,1867 3,5045 3,7725 - 2,0000 -10,6347 12,0000 ; 0 1,2568 -12,9760 - 23,0721 ; 0,2506 3,1915 -10,9742 - 37,7877 ; 0,7819 4, 9088 - 7,8548 - 46,2706 ; 1,5397 6,5135 - 4,0000 - 50,0901 ; 0 (3.28) olarak bulunur. KoĢul matrisi için EĢ. 3.19 kullanılarak y ( x0 ) X ( x0 ) F T A 0 y (0) 1 0 0 0 0 F T A 0 U 0 ; 0 1 0 -2 0 12 ; 0 (3.29) elde edilir. EĢ. 3.28 matrisinin son satırı silinerek EĢ. 3.29 koĢul matrisi yazılırsa EĢ. 3.26 denkleminin artırılmıĢ matrisi 33 W A = G [W ; G ] 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1 1,7725 2,7725 3,1867 3,5045 0 olarak elde edilir, det(W ) 0 , böylece [ - 2,0000 -10,6347 12,0000 ; 0 1,2568 -12,9760 - 23,0721 ; 0,2506 3,1915 -10,9742 - 37,7877 ; 0,7819 4,9088 - 7,8548 - 46,2706 ; 1,5397 -2 0 12 ; 0 için katsayı matrisi ] bulunur. Bu katsayı matrisinin elemanları EĢ. 3.22 denkleminde yerine yazılırsa ( ) ( ⁄ ) ( ⁄ ) yaklaĢık çözümü bulunur. ġekil 3.1. Örnek 3.2 için N=4 kesme sınırında tam çözüm ile yaklaĢık çözümün karĢılaĢtırılması 34 4. TAMSAYI MERTEBELĠ DĠFERENSĠYEL DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN ÇÖZÜMÜ ĠÇĠN HERMĠTE COLLOCATION METODU Bu bölümde, daha önceki bölümde kesirli mertebeden diferensiyel denklemlerde kullandığımız Hermite sıralama yöntemi m k p ( x) y n 0 j 1 n ij (n) j ( x) gi ( x), i 1,..., k , a x b (4.1) Ģeklinde tanımlanan yüksek mertebeden değiĢken katsayılı sistemlerin m 1 a n0 j in y (jn ) (a) binj y (jn ) (b) ji , i 0,..., m 1 , j 1,..., k (4.2) aĢağıda verilen koĢullar altında N y j ( x) a js H s ( x) , j 1,..., k (4.3) s 0 sonlu Hermite serisi formunda yaklaĢık çözümleri için geliĢtirilmiĢ ve uygulanmıĢtır. Yöntem sıralama noktaları ile sistemin bir matris denklemine dönüĢtürülmesine dayanır. Bu matris denklemi bilinmeyen Hermite katsayılarını içeren cebirsel sisteme karĢılık gelir. Böylece cebirsel sistemin çözdürülmesiyle elde edilen Hermite katsayıları kullanılarak, verilen diferensiyel denklem sisteminin sonlu Hermite seri formunda yaklaĢık çözümü bulunmuĢ olur. . Burada y (0) j ( x) y j ( x) bilinmeyen ve ( ) ( ), aralığında tanımlı fonksiyonlardır. Ayrıca, ainj , binj ve ji uygun sabitler ve N seçilen keyfi bir pozitif tam sayıdır, öyle ki burada N m kabul edilmiĢtir. 35 4.1. Temel Matris Bağıntıları EĢ. 4.1 sisteminin temel matris bağıntısını elde etmek için ilk olarak EĢ. 4.3 denkleminin matris bağıntısını elde etmeliyiz, bunun için [ y j ( x)] H ( x) Aj , j 1,..., k (4.4) Aj [ a j0 a j1 ... a jN ]T , H ( x) H 0 ( x) H1 ( x) olarak yazalım. Burada H N ( x) Ģeklindedir. Üçüncü bölümdeki EĢ. 5.6 ve EĢ. 5.7 matris bağıntıları bu bölümde de geçerlidir ancak olarak alınmıĢtır, yani H T ( x) F X T ( x) H ( x) X ( x) F T (4.5) biçiminde ifade edilebilir. Burada X ( x) 1 x x 2 x N Ģeklindedir. Bu durumda EĢ. 4.5 ifadesini, EĢ 4.4 ifadesinde yerine yazarsak y j ( x) X ( x) F T Aj , j 1, 2,..., k (4.6) olur. EĢ. 4.6 aranan fonksiyonların sıfırıncı mertebeden matris gösterimleridir ancak bu fonksiyonların i. mertebeden matris formları da bulunmalıdır. Bunun için gerekli adımlar aĢağıda verilmiĢtir. Öncelikle X ( x) ile ( ) ( ) arasındaki iliĢkiyi açıklayalım ve X ( n ) ( x) türevinin matris formu elde edilmelidir; X ( n ) ( x) matrisi X ( n ) ( x) ( x0 )( n) ( x1 )( n) ( x N 1 )( n) ( x N )( n) (4.7) 36 olarak tanımlanır. n 1 için; X (1) ( x) ( x0 )(1) ( x1 )(1) ( x N 1 )(1) ( x N )(1) elde edilir ve ( x 0 )(1) 1 (1) (x ) ( x 2 )(1) N 1 (1) (x ) ( x N ) (1) ⏟ (X (1) ( x )) 0 1 0 0 0 ⏟ 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 T 0 0 0 0 0 0 ( N 1) 0 0 0 N 0 0 0 0 B x0 1 x x2 N 1 x xN ⏟ ( X ( x))T matris formunda yazılabilir [2]. Böylece birinci mertebeden türev: ( X (1) ( x))T = B ( X ( x))T (4.8) Ģeklinde ifade edilir. Buradan X (1) ( x) X ( x) BT X (2) ( x) X (1) ( x) BT X ( x ) BT BT X ( x)( BT ) 2 X ( n ) ( x) X ( x)( BT )n (4.9) bulunur. O halde EĢ. 4.6 ifadesindeki matris formunun n. mertebeden türevi alırsak; 37 y (jn ) ( x) X ( n ) ( x) F T Aj (4.10) olur, EĢ. 4.9 ifadesini EĢ. 4.10 denkleminde yerine yazarsak y (jn ) ( x) X ( x)( BT )n F T Aj , n 0,..., m , j 1,..., k (4.11) bulunur. Burada ( BT )0 ( N 1)( N 1) boyutunda birim matristir. j 1,..., k için EĢ. 4.11 denkleminin matris formu Y ( n ) ( x) X ( x) B n F A, n 0,..., m (4.12) Ģeklinde elde edilir ve bu matrisler aĢağıdaki gibi tanımlanır. y1( n ) ( x) X ( x) 0 (n) 0 X ( x) y ( x) Y ( n ) ( x) 2 X ( x ) , (n) 0 yk ( x) 0 FT 0 F 0 0 FT 0 BT 0 0 0 , B X ( x) 0 0 B T 0 0 0 BT A1 0 A 2 0 , A Ak F T ġimdi sıralama noktaları xs a ( ba ) s , s 0,1, 2,..., N , x0 a, xN b N EĢ. 4.12 denkleminde yazılırsa, Y ( n ) ( xs ) X ( xs ) B n F A, n 0,..., m , (4.13) 38 bulunur. Böylece Y ( n ) ( x0 ) X ( x0 ) B n F A Y ( n ) ( x1 ) X ( x1 ) B n F A Y ( n ) ( xN ) X ( xN ) B n F A olur, EĢ. 4.3 için matris bağıntısı ise son olarak Y ( n ) X ( B )n F A, (4.14) ile elde edilir ve burada bahsedilen X matrisinin açık hali aĢağıdaki gibidir, ( ) [ ] 0 X ( xs ) 0 0 X (x ) 0 s X ( xs ) 0 X ( xs ) 0 X ( x0 ) X ( x1 ) X X ( xN ) Ġkinci olarak EĢ. 4.1 sisteminin matris formunu elde etmek için aĢağıdaki gibi sistem tanımlayabiliriz. m P n ( x) Y ( n ) ( x) G ( x) (4.15) n0 Burada ( ) ( ) ( ) ve ( ) matrisleri p11n ( x) p12n ( x) n n p ( x) p22 ( x) n P ( x) 21 pkn1 ( x) pkn2 ( x) p1nk ( x) p2nk ( x) , pkkn ( x) y1( n ) ( x) g1 ( x) (n) g ( x) y2 ( x ) (n) G ( x) 2 Y ( x) , g k ( x) yk ( n ) ( x) 39 Ģeklindedir. EĢ. 4.13 ifadesinde tanımlanan sıralama noktaları EĢ. 4.15 sisteminde yerine yazılırsa m P n n0 ( xs ) Y ( n ) ( xs ) G( xs ) (4.16) elde edilir. Bunu da kısaca m P n Y (n) G (4.17) n0 Ģeklinde gösterebiliriz. Burada P n ( x0 ) 0 0 0 P n ( x1 ) 0 P n 0 0 P n ( xN ) ( ) ve matrisleri aĢağıdaki gibi tanımlanır. Y ( n ) ( x0 ) G ( x0 ) (n) , Y ( n ) Y ( x1 ) , G G ( x1 ) G ( xN ) Y ( n ) ( xN ) Böylece EĢ. 4.14 ifadesini, EĢ. 4.17 denkleminde yerine yazılırsa, EĢ. 4.1 sisteminin matris formunun son hali m P n X ( B )n F A G (4.18) n 0 m olur. W P n X ( B )n F A olmak üzere EĢ. 4.18 ifadesi n0 WA G veya W ; G A (4.19) artırılmıĢ matrisi olarak yazılır. KoĢulların matris formlarına geçmeden önce son olarak Pn , X , B, F , A, G matrislerinin boyutlarını hatırlatalım, 40 Pi k ( N 1) k ( N 1) X k ( N 1) k ( N 1) B k ( N 1) k ( N 1) F k ( N 1) k ( N 1) A k ( N 1) 1 G k ( N 1) 1 m buna göre W P n X ( B )n F A [wp , q ]k ( N 1)k ( N 1) boyutludur. n 0 ġimdi ise sistemimize ait EĢ. 4.2 koĢul denkleminin matris bağıntısını elde edelim. m 1 a n0 j in y (jn ) (a) binj y (jn ) (b) ji , i 0,..., m 1 , j 1,..., k ifadesini j 1,..., k için açalım m 1 a y1( n ) (a ) bin1 y1( n ) (b) 1i m 1 a y2( n ) (a ) bin2 y2( n ) (b) 2i m 1 yk( n ) (a ) bink yk( n ) (b) ki n0 n0 1 in 2 in a n0 k in (4.20) olur ve i 0,..., m 1 için EĢ. 4.20 ifadesinin ilk toplamını açarsak y1 çözümü için m-tane koĢul gelir, 1 a00 y1(0) (a ) 1 b00 y1(0) (b) 10 1 a10 y1(0) (a) b101 y1(0) (b) 11 a(1m 1)0 y1(0) (a) b(1m 1)0 y1(0) (b) 1( m 1) 41 Benzer Ģekilde son toplam ifadesini açarsak yk çözümü için de aĢağıdaki gibi m- tane koĢul gelir, 1 a00 yk(0) (a) 1 b00 yk(0) (b) k 0 1 a10 yk(0) (a) b101 yk(0) (b) k1 a(1m 1)0 yk(0) (a) b(1m 1)0 yk(0) (b) k ( m 1) Böylece, j 1,2,..., k ve n 0,..., m 1 için a0jn j a1n j an , a(jm 1) n m1 b0jn j b1n j bn , b(jm 1) n m1 j 0 j1 j j ( m 1) m1 (4.21) ifadeleri doğrultusunda koĢul denkleminin matris formunu m 1 a Y n0 n (n) (a) bn Y ( n ) (b) Ģeklinde yazabiliriz. Burada a1n 0 an 0 0 an2 0 bn1 0 0 0 , bn 0 ank km k (4.22) ve 0 bn2 0 matrisleri 0 1 0 , 2 bnk km k k km1 Ģeklindedir. Buradan EĢ. 4.12 ifadesi, EĢ. 4.22 denkleminde yerine yazılırsa 42 m 1 a n0 n X (a) B n F A bn X (b) B n F A (4.23) elde edilir ve gerekli düzenlemeler yapılırsa m 1 a n 0 n X (a) B n bn X (b) B n FA (4.24) m 1 elde edilir. U an X (a) B n bn X (b) B n F olmak üzere EĢ. 4.24 denkleminin n0 matris gösterimi ise UA veya U ; A (4.25) olarak yazılabilir. Daha sonra EĢ. 4.19 matrisinin koĢul sayısı kadar satırı silinip onun yerine EĢ. 4.25 matrisi yazılarak aĢağıdaki [W;G] artırılmıĢ matrisi elde edilir, w1,1 w 2,1 wk ,1 wk 1,1 w W ; G k ( N m 1),1 u1,1 u 2,1 uk ,1 uk 1,1 u mk ,1 w1,2 w2,1 w1, k ( N 1) w2, k ( N 1) wk ,2 wk 1,2 wk , k ( N 1) wk 1, k ( N 1) wk ( N m 1),2 u1,2 u2,2 wk ( N m 1), k ( N 1) u1, k ( N 1) u2, k ( N 1) uk ,2 uk 1,2 uk , k ( N 1) uk 1, k ( N 1) umk ,2 umk , k ( N 1) ; g1 ( x0 ) ; g 2 ( x0 ) ; ; g k ( x0 ) ; g1 ( x1 ) ; ; g k ( xN m ) ; 1,0 ; 1,1 ; ; 1, m 1 ; 2,0 ; ; k , m 1 k ( N 1) xk ( N 1) (4.26) 43 Teorem 3.1 den, det(W) 0 ise EĢ. 4.26 matris denkleminin çözümü A (W )1 G (4.27) ifadesinden bulunur. Bu sayede EĢ. 4.27 denkleminden bilinmeyen Hermite katsayılarının oluĢturduğu sütun matrisi Aj [ a j0 a j1 ... a jN ]T elde edilmiĢ olur. O halde verilen koĢullara göre EĢ. 4.1 diferensiyel denklem sistemi tek çözüme sahiptir ve bu çözüm, [ y j ( x)] H ( x) Aj , j 1,..., k N ya da y j ( x) a js H s ( x) , j 1,..., k s 0 Ģeklindedir. 4.2. Çözümün Kontrolü ve Hata Hesabı y j ( x) ve ̅ ( ) ( ) EĢ. 4.1 sisteminin sırasıyla gerçek ve yaklaĢık çözümleri olsun. YaklaĢık çözümler HCM çözümleri olup EĢ. 4.27 ifadesinden elde edilen çözümlerdir. Bu çözümler EĢ. 4.1 denkleminde yerine yazıldığında yaklaĢık olarak denklemi sağlamalıdır. Bu durumda her x xc ( a xc b ) , c 0,1,... için ( ) |∑ ∑ ( )̅ ( ) ( ) ( )| veya E j ( xc ) 10 kc ( kc herhangi bir pozitif tamsayı) 44 olmalıdır. Eğer maksimum ( 10 kc ) = 10 k (k herhangi bir pozitif tamsayı) önceden belirlenirse, bu durumda N kesme sınırı E j ( xc ) değerlerinin 10 k dan daha küçük kalmasıyla belirlenir. Ayrıca bu bölümde de mutlak hata hesabı kullanılabilir. 4.3. Uygulamalar Örnek 4.1. y ( x) xy ( x) 2 xy ( x) 2 x3 2 x 2 46 x 2 1 2 1 y2 ( x) 2 xy1 ( x) y2 ( x) 5 x 2 1 (4.28) değiĢken katsayılı lineer diferensiyel denklem sisteminin 0 x 1 için ( ) ( ) ( ) , ( ) , , koĢulları altındaki gerçek , çözümleri y1 ( x) x 2 3, y2 ( x) x 2 1 olarak [27] verilmiĢtir. Bu problemin çözümünü N 2 için Hermite Collocation metodunu uygulayarak bulalım. Aranan y j ( x) yaklaĢık çözümleri Hermite polinomları cinsinden 2 y j ( x) a js H s ( x) , j 1,2 (4.29) s 0 Ģeklindedir. Burada k 2, m 2, g1 ( x) 2 x3 2 x 2 6 x 2, g2 ( x) 5 x 2 1 olduğu açıktır. 2 Sistemimiz; 2 p ( x) y n 0 j 1 n ij (n) j ( x) gi ( x), i 1,2 için 0 1 2 0 1 2 p11 ( x) 2 x, p11 ( x) 0, p11 ( x) 1, p12 ( x) 0, p12 ( x) x, p12 ( x) 0 , 0 2 0 2 p21 ( x) 0, p121 ( x) 2 x, p21 ( x) 0 , p22 ( x) 1, p122 ( x) 0, p22 ( x) 1 olmaktadır. N 2 için sıralama noktalarımız x0 0, x1 1/ 2, x2 1 . ġimdi ise EĢ. 4.18 denklemini kullanarak EĢ. 4.28 sisteminin matris formunu yazalım; 45 2 P n X ( B )n F A G , yani n 0 P X P XB P X (B) F A G 0 1 2 2 (4.30) elde edilir. Burada 2 x 0 0 x 1 0 P 0 ( x) , P1 ( x) , P 2 ( x) , 0 1 2 x 0 0 1 P 0 (0) 0 0 0 0 P 0 P (1/ 2) 0 0 0 P 0 (1) P1 (0) 0 0 1 1 , P 0 P (1/ 2) 0 0 0 P1 (1) 6 6 P 2 (0) 0 0 2 2 , P 0 P (1/ 2) 0 0 0 P 2 (1) 6 6 X (0) 1 0 013 , X (1/ 2) 1 1/ 2 1/ 413 , X (1) 1 1 113 , X (0) 0 0 X (0) X (1/ 2) X X (1/ 2) , X (0) , X (1/ 2) , X (0) 26 X (1/ 2) 26 0 0 X (1) 66 X (1) X (1) 0 BT B 0 a10 a20 A1 0 , A , A1 a11 , A2 a21 X (1) 26 A2 61 a22 31 a12 31 0 1 0 T 0 0 0 2 , F F T B , BT 66 0 0 0 0 33 1 0 2 0 , F T 0 2 0 , T F 66 0 0 4 33 6 6 46 G (0) g1 (1/ 2) g1 (1) g1 (0) G G (1/ 2) , G (0) , G (1/ 2) , G (1) , g 2 (1/ 2) 21 g 2 (1) 21 g 2 (0) 21 G (1) 61 Bu değerleri EĢ. 4.30 denkleminde yerine yazarsak temel matrisimiz [W;G]= 0 0 1 0 2 0 0 0 1 -2 4 -4 8 0 7 -4 12 -16 0 1 0 1 0 1 0 0 -1 1 -2 2 0 6 -2 7 -8 10 ; ; ; ; ; ; 2 -1 23/4 -9/4 12 -6 (4.31) olarak elde edilir. Benzer Ģekilde sınır koĢullarının matris denklemi EĢ. 4.25 ifadesinden a 1 n0 n X (0) B n bn X (1) B n FA U a0 X (0) b0 X (1) F a1 X (0) b1 X (1) BF UA yazılır, burada a1 a0 0 0 1 2 a0,0 a0,0 0 1 1 1 2 , , a a 0 0 0 , 1 2 a 0 a a02 44 1,0 21 1,0 21 1 2 a1 0 a0,1 a0,1 0 0 1 2 , , a1 1 a a 1 2 , 1 1 2 0 a1 44 a1,1 21 0 a1,1 21 0 1 2 b01 0 b0,0 b0,0 0 0 1 2 b0 , b0 1 , b0 2 , 2 0 b0 44 b1,0 21 1 b1,0 21 1 (4.32) 47 1 2 b1 0 b0,1 b0,1 0 0 1 2 , , b1 1 b b 1 2 , 1 1 2 0 b1 44 b1,1 21 0 b1,1 21 0 3 1 1 , 1 1,0 , 2 2,0 2 41 1,1 21 4 2,1 21 0 olmaktadır, bu değerleri EĢ. 4.32 ifadesinde yerine yazarsak [U ; ] artırılmıĢ matrisi 1 1 [U ; ] 0 0 0 2 0 0 -2 2 0 0 0 0 1 1 0 0 0 2 0 0 -2 2 ; 3 ; 4 ; 1 ; 0 (4.33) bulunur. EĢ. 4.32 matrisinin son dört satırı silinip onun yerine EĢ. 4.33 matrisi yazılırsa 0 0 1 [W ; G ] 1 0 0 elde edilir. 0 0 0 2 0 0 8 0 -2 2 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 2 0 6 0 0 -2 2 ; ; ; ; ; ; 2 -1 3 4 1 0 (4.44) det(W) 0 olduğundan, A (W )1 G iĢleminden katsayı matrisi A 7/2 ; 0 ; 1/4 ; 1/2 ; 0 ; -1/4 2 y j ( x) a js H s ( x) , T bulunur. Bu katsayı matrisinin elemanlarını j 1,2 , ifadesinde yerine yazılırsa aradığımız çözümler s 0 y1 ( x) x 2 3 y2 ( x) x 2 1 olarak elde edilir, bu çözümler ise EĢ. 4.28 sisteminin tam çözümleridir [27]. 48 Örnek 4.2. y1 ( x) y2 ( x) y2 ( x) x e x , 0 x 1 y1 ( x) 4 y2 ( x) y1 ( x) 1 2e x (4.45) Lineer diferensiyel denklem sistemini ele alalım. y1 (0) 1, y2 (0) 0, baĢlangıç koĢulları için EĢ. 4.45 sisteminin gerçek çözümleri: x y1 ( x) e 3e x 3 1 x 3 3x 3, y2 ( x) e e 1 x 2 2 Ģeklinde bulunmuĢtur [30]. Burada N 4 alınarak HCM ile yapılan sayısal hesaplamalar daha önce uygulanan Chebyshev metodu [3], Bessel metodu [30] ile karĢılaĢtırılmıĢtır. Sırasıyla sonuçlar Çizelge 5.2, Çizelge 5.3 ve Çizelge 5.4’ de verilmiĢtir. 1 EĢ. 4.45 sistemi, için kısaca 2 p ( x) y n 0 j 1 n ij (n) j ( x) gi ( x), i 1,2 Ģeklinde yazılabilir. EĢ. 4.18 denkleminden EĢ 4.45 sisteminin temel matris bağıntısı aĢağıdaki gibidir, P X P XB F A G 0 1 (4.46) EĢ. 4.46 için HCM metodundaki gerekli olan matrisler bir önceki örnekteki gibi sıralama noktaları hesaplanmıĢtır. x0 0, x1 1/ 4, x2 1/ 2, x3 3/ 4, x4 1 için aĢağıda 49 0 1 0 0 0 P0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 4 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 4 0 0 , 1 0 0 0 0 1 P 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 F 0 0 0 0 0 0 2 0 12 2 0 12 0 0 4 0 48 0 0 8 0 0 0 0 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 12 2 0 12 0 0 4 0 48 0 0 8 0 0 0 0 16 0 0 0 0 0 B 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 1 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 50 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1/ 4 1/16 1/ 64 1/ 256 0 1 0 0 0 1 1/ 2 1/ 4 1/ 8 1/16 X 0 0 0 0 0 1 3/ 4 9 /16 27 / 64 81/ 256 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1/ 4 1/16 1/ 64 1/ 256 0 0 0 0 0 1 1/ 2 1/ 4 1/ 8 1/16 0 0 0 0 0 1 3/ 4 9 /16 27 / 64 81/ 256 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 BaĢlangıç koĢullarının matrisi de hesaplanarak EĢ. 4.45 sisteminin [ ̃ ̃ ] artırılmıĢ matrisinden, katsayı matrisi aĢağıdaki gibi bulunur. A 851/628 -400/353 365/1933 -47/2118 1/532 -813/8723 110/199 -199/3847 123/13987 -71/83079 4 Bu katsayı matrisinin elemanlarını y j ( x) a js H s ( x) , j 1,2 , ifadesinde yerine s 0 yazılırsa aranan çözümler y1 ( x) 1- 2 x 0,7 x 2 - 0, 2 x3 0,03x 4 , y2 ( x) -5.10-15 x - 0,2 x 2 0,07 x3 - 0,01x 4 olarak elde edilir. 51 Çizelge 4.1. Örnek 4.2’ nin y1 ( x) çözümünün diğer metotlarla karĢılaĢtırılması HCM ile xi Tam Çözüm HCM , N=4 için ( ) N=4 Mutlak Hata ( ) CCM, N=5 Mutlak hata ( ) BCM, N=5 Mutlak hata ( ) ( ) 0,1 0,8064857194 0,8064762517 9,4677e-006 4,510522e-005 5,9187e-007 0,2 0,6252517081 0,6252309932 2,0715e-005 7,985043e-005 1,0110e-006 0,5 0,1459758343 0,1459582037 1,7631e-005 9,719089e-005 1,0978e-006 0,8 -0,2528860207 -0,2529252295 3,9209e-005 8,006002e-005 9,0094e-005 Çizelge 4.2. Örnek 4.2’ nin y2 ( x) çözümünün diğer metotlarla karĢılaĢtırılması HCM ile xi Tam Çözüm ( ) N=4 için ( ) 0,1 0,9840544170 0,0984100521 0,2 0,1938951010 0,1939020406 0,5 0,4664457257 0,4664655981 0,8 0,7242280254 0,7242473481 HCM , N=4 Mutlak Hata ( ) CCM, N=5 Mutlak hata ( ) BCM, N=5 Mutlak hata ( ) 4,6104e-006 2,247723e-005 2,9327e-007 1,0103e-005 3,984701e-005 5,0134e-007 8,7244e-006 4,890662e-005 5,4596e-007 1,9323e-005 4,064222e-005 4,5116e-006 52 ġekil 4.1. Örnek 4.2 için N=4 kesme sınırında tam çözüm ile y1 ( x) yaklaĢık çözümün karĢılaĢtırılması ġekil 4.2. Örnek 4.2 için N=4 kesme sınırında tam çözüm ile y2 ( x) yaklaĢık çözümün karĢılaĢtırılması 53 5. KESĠR MERTEBELĠ DĠFERENSĠYEL DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN ÇÖZÜMÜ ĠÇĠN HERMĠTE COLLOCATION METODU Bir önceki bölümde adi mertebeden türevleri içeren diferensiyel denklem sistemlerin yaklaĢık çözümleri Hermite collacation metodu uygulanarak elde edilmiĢtir. Bu bölümde ise bu yöntemi kesirli mertebeden diferensiyel denklem (FDE) sistemleri üzerine uygulayacağız. ,⟦ Bu bölümde, m k p ( x) n ij n 0 j 1 c ⟧=t ϵ Nₒ ve a x b , olmak üzere aĢağıda belirtilen D n y j ( x) gi ( x), i 1,..., k , (5.1) formundaki değiĢken katsayılı lineer FDE sisteminin t 1 a n0 j c in D n y j (a) binj c D n y j (b) ji , i 0,..., t 1 , j 1,..., k (5.2) koĢullarına göre N y j ( x) a js H s ( x ) , j 1,..., k sonlu formunda (5.3) s 0 c Hermite serisi yaklaĢık çözümlerini arayacağız. Burada D0 y j ( x) y j ( x) bilinmeyen fonksiyon ve pijn ( x) ve gi ( x) fonksiyonları a x b üzerinde tanımlı bilinen fonksiyonlardır. Ayrıca ain , bin , ji uygun sabitlerdir. EĢ. 5.3 ile verilen denklemdeki bilinmeyen a js ’ler ise çözüm için aradığımız katsayılardır. Keyfi olarak N pozitif bir tam sayıdır ve N t dir. 54 FDE sistemlerinin çözümünün varlığı ve tekliğine, temel matris denkleminin elde edilmesinin ardından kolayca karar verilebilir. Eğer elde edilen temel matrisin determinantı sıfırdan farklı ise sistemin çözümü var ve tektir. 5.1. Temel Matris Bağıntıları EĢ. 5.1 sisteminin temel matris bağıntısını elde ediliĢini daha iyi anlamak için sistemin açık halini aĢağıdaki gibi yazabiliriz. pi1 ( x) y1 ( x) pi11 ( x) c D y1 ( x) pi21 ( x) c D 2 y1 ( x) pim1 ( x) c D m y1 ( x) pi 2 ( x) y2 ( x) pi12 ( x) c D y2 ( x) pi22 ( x) c D 2 y2 ( x) pim2 ( x) c D m y2 ( x) pik ( x) yk ( x) pik1 ( x) c D yk ( x) pik2 ( x) c D 2 yk ( x) pikm ( x) c D m yk ( x) g i ( x), (i 1,2,..., k ) Her i için yukarıdaki ifade tekrar düzenlenirse i=1 için p11 ( x) y1 ( x) p111 ( x) c D y1 ( x) p112 ( x) c D 2 y1 ( x) p11m ( x) c D m y1 ( x) p12 ( x) y2 ( x) p121 ( x) c D y2 ( x) p122 ( x) c D 2 y2 ( x) p12m ( x) c D m y2 ( x) p1k ( x) yk ( x) p11k ( x) c D yk ( x) p12k ( x) c D 2 yk ( x) p1mk ( x) c D m yk ( x) g1 ( x) i=2 için p21 ( x) y1 ( x) p121 ( x) c D y1 ( x) p212 ( x) c D 2 y1 ( x) p21m ( x) c D m y1 ( x) p22 ( x) y2 ( x) p122 ( x) c D y2 ( x) p222 ( x) c D 2 y2 ( x) p22m ( x) c D m y2 ( x) p2 k ( x) yk ( x) p12 k ( x) c D yk ( x) p22k ( x) c D 2 yk ( x) p2mk ( x) c D m yk ( x) g 2 ( x) 55 i=k için pk1 ( x) y1 ( x) p1k1 ( x) c D y1 ( x) pk21 ( x) c D 2 y1 ( x) pkm1 ( x) c D m y1 ( x) pk 2 ( x) y2 ( x) p1k 2 ( x) c D y2 ( x) pk22 ( x) c D 2 y2 ( x) pkm2 ( x) c D m y2 ( x) pkk ( x) yk ( x) p1kk ( x) c D yk ( x) pkk2 ( x) c D 2 yk ( x) pkkm ( x) c D m yk ( x) g k ( x) bulunur. Buradan aĢağıdaki genellemeye gidilebilir P0 ( x) c D0 Y ( x) P1 ( x) c D1Y ( x) P2 ( x) c D2 Y ( x) Pm ( x) c DmY ( x) = G( x) ve bu durumda EĢ. 5.1 sisteminin matris formu m P n ( x) c D n Y ( x) G ( x) (5.4) n0 olur. Burada ( ) , c Dn Y ( x) ve G( x) matrisleri aşağıdaki formdadır p11n ( x) p12n ( x) n n p ( x) p22 ( x) n P ( x) 21 pkn1 ( x) pkn2 ( x) c D n y1 ( x) g1 ( x) p1nk ( x) g ( x) c n D y2 ( x ) p2nk ( x) c n 2 , D Y ( x) , G ( x ) g k ( x) kx1 c D n yk ( x) kx1 pkkn ( x) kxk ġimdi ise EĢ. 5.4 denkleminde gerekli olan y j ( x) ’ lerin Caputo anlamında kesirli türevlerini hesaplamak için EĢ. 5.3 ifadesini kullanalım. EĢ. 5.3 denkleminin matris formunun [ y j ( x)] H ( x ) Aj olduğunu EĢ. 4.4 ifadesinden biliyoruz. Burada Aj a j 0 a j1 a j 2 a jN T aranan katsayı matrisidir ve EĢ. 3.7 denkleminden Hermite polinomlarının matris formu H ( x ) [ H 0 ( x ) H1 ( x ) ... H N ( x )] Ģeklindedir. ġimdi EĢ. 3.7 ifadesi EĢ. 4.4 denkleminde yerine yazılırsa, 56 y j ( x) X ( x ) F T Aj j 1,..., k (5.5) olur. Burada X ( x ) x0 x1 x( N 1) x N 1x N Ģeklindedir. Buradan, EĢ. 5.5 ifadesinin her iki yanının n . Caputo kesirli türevini alırsak C Dn y j ( x) C Dn X ( x ) F T Aj elde edilir. Burada C (5.6) Dn X ( x ) X ( x )( BT )n olduğunu EĢ. 3.10 dan biliyoruz. T 0 Ayrıca ( B ) I ( N 1) x ( N 1) olmaktadır ve 0 0 ( +1) 0 (2 +1) 0 ( +1) B 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (N +1) ((N-1) +1) 0 0 0 0 Ģeklindedir. EĢ. 3.10 ifadesi EĢ. 5.6 da yerine yazılırsa, C Dn y j ( x) X ( x )( BT )n F T Aj n 0,..., m (5.7) elde edilir. (5.7) nin matris formu j 1,..., k için C D n y1 ( x) X ( x ) 0 0 C n 0 D y2 ( x ) 0 X ( x ) C D n yk ( x) 0 0 X ( x ) BT 0 0 0 BT 0 0 0 BT i FT 0 0 0 FT 0 0 A1 0 A2 F T Ak 57 olur ve bunu da kısaca c DnY ( x) X ( x ) B n F A, n 0,..., m biçiminde yazabiliriz. Burada X ( x ) matrisi ( ) ( (5.8) ( ) , BT , F T matrisleri ise ) satır ve sütundan oluĢmaktadır. Sıralama noktaları EĢ. 4.13, EĢ. 5.8 denkleminde yerine yazılırsa c DnY ( xs ) X ( xs ) B n F A, n 0,..., m (5.9) olur. Her bir collocation noktası için EĢ.5.9 c D n Y ( x0 ) X ( x0 ) B n F A c D n Y ( x1 ) X ( x1 ) B n F A (5.10) c D n Y ( xN ) X ( xN ) B n F A Ģeklindedir ve burada Y n c D n Y ( x0 ) c n D Y ( x1 ) c D n Y ( xN ) ve matrisleri aĢağıdaki formda olmak üzere X ( x0 ) X ( x1 ) X X ( xN ) kısaca bu ifade Y n X B n F A (5.11) 58 Ģeklinde yazabilir. Burada ̅ ( X ( xs ) 0 0 0 X ( xs ) 0 X ( xs ) 0 0 X ( xs ) ) matrisinin olduğu hatırlanmalıdır. EĢ. 5.1 ile verilen sistemin matris formu olan EĢ. 5.4 denkleminde sıralama noktaları yerine yazılırsa m n0 P n ( xs ) c D n Y ( xs ) G( xs ) (5.12) elde edilir. Yukarıdaki matrisler sırasıyla s 0,1, 2,..., N için yazılırsa P n ( x0 ) 0 0 0 P n ( x1 ) 0 n P 0 0 P n ( xN ) c D n Y ( x0 ) G ( x0 ) c n , G G ( x1 ) ve Y n D Y ( x1 ) c D n Y ( xN ) G ( xN ) olur. Bu durumda EĢ. 5.4 ’ün kısa ifadesi m P n Y n G (5.13) n0 Ģeklindedir. EĢ 5.11 ifadesini EĢ. 5.73 de yerine yazdığımızda EĢ. 5.1 sisteminin temel matris bağıntısının son hali, 59 m P n X ( B )n F A G (5.14) n 0 m olarak elde edilir. W P n X ( B )n F olmak üzere n0 WA G veya W ; G A (5.15) yazılabilir. Burada W , P n , X , B, F matrisleri k ( N 1) k ( N 1) , A ve G matrisleri k ( N 1) 1 satır ve sütundan oluĢmaktadır. EĢ. 5.15 denkleminin artırılmıĢ matrisi w1,1 w 2,1 w W ; G k ,1 wk 1,1 wk ( N 1),1 w1,2 w2,2 w1,k ( N 1) w2, k ( N 1) wk ,2 wk ,k ( N 1) wk 1,2 wk 1,k ( N 1) wk ( N 1),2 wk ( N 1),k ( N 1) g1 ( x0 ) g 2 ( x0 ) ; g k ( x0 ) ; g1 ( xN ) ; g k ( xN ) ; ; kullanılarak Hermite katsayılar matrisi A j elde edilir. Bu sonuç EĢ. 5.3 denkleminde yerine yazılırsa y j ( x) bilinmeyen fonksiyonları bulunur. Eğer det(W) 0 ise y j ( x) lerin tek çözümü vardır. Genellikle diferensiyel denklem sistemlerinin belli koĢullar altında çözümleri aranır. Bu koĢulları sağlayan bir çözüm takımı bulmamız istenir. Böyle bir durumda EĢ. 5.15 denkleminden faydalanarak bulunan çözüm takımı bu koĢulları sağlamaz. Bunun için verilen koĢulların matris formu bulunarak EĢ. 5.15 ile birleĢtirilir, oluĢan yeni sistemden istenilen çözüm takımı elde edilir. Bu durumda EĢ. 5.2 koĢul denkleminin matris formunu elde edelim. 60 t 1 a n0 j c in D n y j (a) binj c D n y j (b) ji , i 0,..., t 1 , j 1,..., k ifadesini j 1,..., k için açarsak t 1 a n0 1 c in D n y1 (a ) bin1 c D n y1 (b) 1i t 1 a n0 2 c in D n y2 (a ) bin2 c D n y2 (b) 2i t 1 a n0 k c in D n yk (a ) bin2 c D n yk (b) ki olur, i 0,..., t 1 için yukarıdaki ilk toplam ifadesini açarsak y1 çözümü için t - tane koĢul gelir, 1 c 0 a00 D y1 (a ) 1 c 0 b00 D y1 (b) 10 1 c 0 a10 D y1 (a ) b101 c D 0 y1 (b) 11 a(1t 1)0 c D 0 y1 (a ) b(1t 1)0 c D 0 y1 (b) 1( t 1) Benzer Ģekilde son toplam ifadesini de açarsak yk çözümü için de t- tane koĢul gelir, k c 0 a00 D yk ( a ) b00k c D 0 yk (b) k 0 a10k c D 0 yk (a ) b10k c D 0 yk (b) k1 a(kt 1)0 c D 0 yk (a ) b(kt 1)0 c D 0 yk (b) k (t 1) bu durumda j 1,2,..., k ve n 0,..., t 1için 61 a0jn j a1n j an , a(jt 1) n t 1 j 0 j1 j j (t 1) t 1 b0jn j b1n j bn , b(jt 1) n t 1 ile kısaltırsak EĢ. 5.2 denkleminin matris formu t 1 a n 0 n c D n Y (a) bn c D n Y (b) (5.16) olur. Burada, a1n 0 an 0 0 an2 0 bn1 0 0 0 , b n 0 ank kt k 0 bn2 0 0 1 0 2 , k kt 1 bnk kt k Ģeklindedir, Ģimdi ise EĢ. 5.8 ifadesini EĢ. 5.16 denkleminde yerine yazalım t 1 a n0 n X (a ) B n F A bn X (b ) B n F A (5.17) t 1 ve U an X (a ) B n bn X (b ) B n F ise EĢ. 5.17 denkleminin matris formu n0 UA veya U ; A (5.18) bulunur. Yani koĢulların denklem sisteminin matris formu elde edilmiĢtir. Burada U matrisi (kt ) xk ( N 1) satır ve sütundan oluĢmaktadır. Son olarak EĢ.5.15 matrisinin kt tane satırı silinip onun yerine EĢ. 5.18 matrisi yazılarak aĢağıdaki [W ; G] artırılmıĢ matrisi elde edilir. 62 w1,2 w1,1 w w2,1 2,1 wk ,2 wk ,1 wk 1,1 wk 1,2 w wk ( N t 1),2 W ; G k ( N t 1),1 u1,2 u1,1 u u2,2 2,1 uk ,2 uk ,1 uk 1,1 uk 1,2 u ukt ,2 kt ,1 w1, k ( N 1) w2, k ( N 1) wk , k ( N 1) wk 1, k ( N 1) wk ( N t 1), k ( N 1) u1, k ( N 1) u2, k ( N 1) uk , k ( N 1) uk 1, k ( N 1) ukt , k ( N 1) ; g1 ( x0 ) ; g 2 ( x0 ) ; ; g k ( x0 ) ; g1 ( x1 ) ; ; g k ( xN t ) ; 1,0 ; 1,1 ; ; 1,t 1 ; 2,0 ; ; k ,t 1 (5.19) k ( N 1) x k ( N 1) EĢ. 5.19 matrisinin çözümünden bulunacak A matrisinin, EĢ. 5.1 denkleminin EĢ. 5.2 koĢullarındaki yaklaĢık çözümlerini verecek katsayı matrisi olduğu açıktır. Böylece A matrisinin elemanları EĢ. 5.3 denkleminde yerine yazıldığında bulunan y j ( x) çözümlerinin varlığını ve tekliğini rank W rank [W ; G] k ( N 1) (5.20) olması, garanti eder. Çünkü EĢ. 5.20 sağlanırsa det(W ) 0 olur ve A (W )1 G ile kolayca hesaplanır. 5.2. Uygulamalar Bu bölümde Hermite sıralama (collocation) yönteminin kesirli diferensiyel denklem sistemleri üzerinde uygulanabilir olduğunu göstermek için bazı örnekler verilmiĢtir. Yöntem uygulanırken iĢlemler MatlabR2007b programı yardımıyla kolayca Ģekilde hesaplanmıĢtır. 63 Örnek 5.1. AĢağıdaki lineer sabit katsayılı kesirli diferensiyel denklem sistemini 0 x 1 aralığındaki çözümünü verilen baĢlangıç koĢulları altında HCM yöntemi ile çözelim. C D1 y1 ( x) y1 ( x) y2 ( x) C D2 y2 ( x) y1 ( x) y2 ( x) (5.21) sisteminin baĢlangıç koĢulları y1 (0) 0 ve y2 (0) 1 (5.22) altındaki yaklaĢık çözüm takımını 1 0,7 , 2 0,9 alarak, S.Momani ve Z. Obidat, Adomian Decomposition Method ile 2007 de [ 22], V.S. Ertürk ve S. Momani, Differential Transform Method ile 2008 de [12] elde etmiĢlerdir. Aynı problemi 1 0,7 , 2 0,7 için Ģimdi Hermite Collocation Method ile çözelim. Aranan y j ( x) yaklaĢık çözümleri Hermite polinomları cinsinden; 2 y j ( x) a j , s H s ( x ) , j 1, 2 s 0 Ģeklindedir. Burada =7/10 , m 2 alınarak [|mα|]=1 için t=1 olur ve k 2 dir. Ayrıca keyfi N değerini N t olacağından N 2 alabiliriz. Bu değerleri (5.61) ifadesinde yerine yazarsak 2 2 p n 0 j 1 olur. n ij ( x) c D n y j ( x) gi ( x), i 1,2 (5.23) 64 EĢ. 5.21 sistemi C D0,7 y1 ( x) y1 ( x) y2 ( x) 0 C D0.7 y2 ( x) y1 ( x) y2 ( x) 0 (5.24) Ģeklinde düzenlenirse EĢ. 5.24 sisteminin matris formu EĢ. 5.4 ve EĢ 5.14 kullanılarak 2 n0 2 P n ( x) c D n Y ( x) G ( x) P n X ( B )n F A G (5.25) n0 Ģeklinde elde edilebilir. Bu ifadenin açılmıĢ hali, EĢ. 5.24 ile eĢleĢtirildiğinde 0 0 0 0 p11 ( x) 1, p12 ( x) 1, p21 ( x) 1, p22 ( x) 1, p121 ( x) 1, p122 ( x) 1 ve g1 ( x) 0, g2 ( x) 0 olmaktadır. Diğer pijn ( x) 0 çıkmaktadır. Yani pij2 0 olduğu için P 2 0 olmaktadır. Bu durumda problemimizin temel matris bağıntısı P X 0 P1 X B F A G (5.26) olur. Ayrıca N 2 için sıralama noktaları x0 0, x1 1/ 2, x2 1 alındığında, EĢ. 5.26 ifadesindeki matrisler aĢağıdaki gibi elde edilir. p0 ( x ) P 0 ( xs ) 110 s p21 ( xs ) 1 p11 p120 ( xs ) 1 1 ( xs ) 1 P ( x ) , 1 s 0 p22 ( xs ) 1 1 p21 ( xs ) P 0 (0) 0 0 0 0 P 0 P (1/ 2) 0 0 0 P 0 (1) P1 (0) 0 0 1 1 , P 0 P (1/ 2) 0 0 0 P1 (1) 6 6 X (07 /10 ) 1 0 013 , X (0.5 7 /10 1 p12 ( xs ) 1 0 1 p22 ( xs ) 0 1 6 6 ) 1 0,57 /10 0,514 /10 , X (1) 1 1 113 , 13 65 X (07 /10 ) X (07 /10 ) 0 X (17 /10 ) 7 /10 X (1 ) 0 0 ( +1) BT 0 0 0 0 X (0,57 /10 ) 0 0 7 /10 , , X (0,5 ) 7 /10 X (07 /10 ) 26 0 X (0,5 ) 2 6 X (07 /10 ) 0 , X X 1/10 X (0,57 /10 ) 7 /10 X (1 ) 26 X (17 /10 ) 6 6 T (2 +1) , B B ( +1) 0 0 33 0 1 0 2 FT F 0 2 0 , F 0 0 0 4 33 T 0 , BT 66 0 F T 66 g1 (1/ 2) g (0) g1 (1) G (0) 1 , G (1/ 2) , G (1) g 2 (1/ 2) 21 g 2 (0) 21 g 2 (1) 21 G (0) G G (1/ 2) G (1) 61 a10 a20 A1 A1 a11 , A2 a21 , A A2 61 a12 31 a22 31 EĢ. 5.84 denkleminin ara iĢlemleri Matlab programı ile hesaplandığında W P0 X P1 X B F olmak üzere WA G veya W ; G için artırılmıĢ matris (5.27) 66 W ; G -1.00 1.00 -1.00 1.00 -1.00 1.00 1.82 0 0.59 1.23 -0.18 2.00 2.00 -2.00 3.85 -0.48 3.47 2.00 -1.00 -1.00 -1.00 -1.00 -1.00 -1.00 0 1.82 -1.23 0.59 -2.00 -0.18 2.00 2.00 0.48 3.85 -2.00 3.47 ; ; ; ; ; ; 0 0 0 0 0 0 (5.28) elde edilir. Benzer Ģekilde EĢ. 5.22 koĢul denkleminin matris formu EĢ. 5.17 ifadesinden t 1 a n0 n X (0 ) B n F A (5.29) U a0 X (0 ) B F a0 X (0 ) F UA 0 bulunur. y1 (0) 0 ve y2 (0) 1 koĢulları için 1 2 1 , a02 a0,0 1 , a01 a0,0 11 11 a1 a0 0 0 0 1 0 2 a0 2 x 2 0 1 1 0 1 1,0 11 0 , 2 2,0 11 1 , 2 21 1 X (0 ) X (0 ) 0 0 1 0 0 0 0 0 X (0 ) 26 0 0 0 1 0 0 Ģeklindedir, bu değerleri EĢ. 5.87 ifadesinde yerine yazarsak [U ; ] artırılmıĢ matrisi 1 0 2 0 0 0 ; 0 [U ; ] 0 0 0 1 0 2 ; 1 (5.30) bulunur, EĢ. 5.28 matrisinin son iki satırı silinir ve onun yerine EĢ. 5.30 matrisi yazılırsa 67 -1.00 1.00 -1.00 W ; G 1.00 1 0 1.82 0 0.59 1.23 0 0 2.00 -2.00 3.85 -0.48 -2 0 -1.00 -1.00 -1.00 -1.00 0 1 0 1.82 -1.23 0.59 0 0 2.00 2.00 0.48 3.85 0 -2 ; ; ; ; ; ; 0 0 0 0 0 1 (5.31) elde edilir. det(W) 0 olduğundan, A (W )1 G iĢleminden katsayı matrisi A 0.88 0.55 0.44 0.28 0.55 -0.36 bulunur. Bu katsayı matrisinin elemanlarını 2 y j ( x) a j , s H s ( x ) , j 1, 2 s 0 ifadesinde yerine yazınca aradığımız çözümler y1 ( x) 1.10 x(7 /10) 1.75x(7 / 5) , y2 ( x) 1.00 1.10 x(7 /10) -1.44 x(7 / 5) olarak elde edilir. ġekil 5.1. DTM ile EĢ 5.21 sisteminin yaklaĢık çözümleri (a) ġekil 5.2. ADM ile EĢ. 5.21 sisteminin yaklaĢık çözümleri (b) 68 ġekil 5.3. HCM ile EĢ. 5.21 sisteminin yaklaĢık çözümleri Örnek 5.2. Kanallarla birbirine bağlı üç gölün kirlilik sorunu için matematiksel bir model, 1 2 3 1 ve 0 x b için, problem aĢağıdaki gibi modellemiĢtir [5]. C D1 y1 ( x) F13 F F y3 ( x) g ( x) 31 y1 ( x) 21 y1 ( x) V3 V1 V1 C D 2 y2 ( x ) F21 F y1 ( x) 32 y2 ( x) V1 V2 C D3 y3 ( x) F31 F F y1 ( x) 32 y2 ( x) 13 y3 ( x) V1 V2 V3 (5.32) 69 Burada koĢullar y1 (0) 1 , y2 (0) 2 , y3 (0) 3 olarak verilmiĢtir. ġ. YüzbaĢı aĢağıdaki değerler için 38 20 18 y3 ( x) (1 sin x) y1 ( x) y1 ( x) 1180 2900 2900 18 18 y2 '( x) y1 ( x) y2 ( x ) 2900 850 20 18 38 y3 '( x) y1 ( x) y2 ( x ) y3 ( x) 2900 850 1180 y1 '( x) (5.33) y1 (0) 0, y2 (0) 0, y3 (0) 0 , 0 x 1 ve N 3 alarak Bessel Polinomları aracılığıyla BCM ile yaklaĢık çözümleri elde etmiĢtir [31]. ġimdi ise EĢ. 5.32 sisteminin 1 2 3 0,9 , 0 x 1 ve N 3, m 2, k 3, t 1 için HCM çözümlerini arayalım. 3 Yeni sistemin, y j ( x) a j , s H s ( x ) , s 1, 2,3 yaklaĢık çözümlerini bulalım. EĢ. s 0 5.32 sisteminin temel matris formu EĢ. 5.4 ve EĢ 5.14 denklemlerinden 2 n0 2 P n ( x) c D9 n /10Y ( x) G( x) P n X ( B ) n F A G n0 P X 0 P1 X B P 2 X B 2 F A G olur. Burada P ( xs ) 0 19/1450 -9/1450 -1/145 0 9/425 -9/425 (5.34) -19/590 1 1 0 , P ( xs ) 0 0 19/590 0 1 0 0 0 1 ( ) ise sıfır matrisi olmaktadır, Örnek 5.1’ in ara iĢlemlerindeki gibi N 3 için sıralama noktaları, x0 0, x1 1/ 3, x2 2/ 3, x3 1 , diğer matrislerde yerine yazılarak ve koĢul matrisi de oluĢturularak EĢ. 5.32 sisteminin artırılmıĢ matrisi bulunur, det(W) 0 olduğundan, A (W )1 G [ ̃ ̃] iĢleminden katsayı matrisi elde 70 edilir ve bu katsayı matrisinin elemanları 3 y j ( x) a j , s H s ( x ) , j 1, 2,3 s 0 ifadesinde yerine yazılırsa aradığımız yaklaĢık çözümler y1 ( x) 1,04 x9 /10 0,489 x9 / 5 0.0114 x 27 /10 y2 ( x) (-0,325e -18) x9 /10 0,0037 x9 / 5 0,00121x 27 /10 y3 ( x) (0,651e -18) x9 /10 0,0041x9 / 5 0,00136 x 27 /10 (5.35) olarak bulunur. Bahsedilen [ ̃ ̃ ] matrisi, bulunan çözümlerin farklı metotlarla elde edilen çözümlerle karĢılaĢtırılması ve sonuçlar aĢağıda verilmiĢtir. [ ̃ ̃ ] matrisi 0,013 -0,0062 -0,0069 0,013 -0,0062 -0,0069 0,013 -0,0062 -0,0069 1 0 0 1,9 -0,026 0 0,012 0 0,014 1,9 2,6 -0,0046 0,009 -0,0051 0,01 1,9 4,8 -0,0086 0,00045 -0,0096 0,0005 0 -2 0 0 0 0 -12 0 0 -8,8 0,025 0,028 -2 0,035 0,039 0 0 0 0 0 0 0 -0,032 0 0,021 1,9 -0,042 -12 0 0 -0,021 0 0,042 0 0,032 1,9 0 0 0 0 -0,032 -0,024 0,021 1,9 2,6 -8,9 0 0 -0,021 -0,016 0,031 0,086 0,032 1,9 0 0 0 0 -0,032 -0,045 0,021 2 4,8 -2,1 0 0 -0,021 -0,029 0,0015 0,12 0,032 2 0 0 0 0 0 0 1 0 -2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0,064 0 ; 0 0 ; -0,064 -12 ; 0,047 0,13 ; 0 0 ; 2,5 -8,9 ; 0,0023 0,18 ; 0 0 ; 4,8 -2,1 ; 0 0 ; 0 0 ; -2 0 ; 1 0 0 1,3 0 0 1,6 0 0 0 0 0 71 ġekil 5.4. Örnek 5.2’ nin y1 ( x) çözümünün sonuçlarının karĢılaĢtırılması ġekil 5.5. Örnek 5.2’ nin y2 ( x) çözümünün sonuçlarının karĢılaĢtırılması 72 ġekil 5.6. Örnek 5.2’ nin y3 ( x) çözümünün sonuçlarının karĢılaĢtırılması 73 6. SONUÇ VE ÖNERĠLER Genellikle yüksek mertebeden tamsayı mertebeli diferensiyel denklemler ve denklem sistemlerinin tam çözümlerini bulmak zordur, bu nedenle de çoğu zaman yaklaĢık çözümlere ihtiyaç vardır. Bu durum kesir mertebeli diferensiyel denklemler ve denklem sistemlerinde ise daha karmaĢık ve zordur. Kesir mertebeli diferensiyel denklemler ve denklem sistemlerinin çözümünü bulmak için bu tez çalıĢmasının üçüncü, dördüncü ve beĢinci bölümlerinde Hermite sıralama yöntemi tanımlanmıĢtır. Bu yöntem ile bahsedilen özellikteki denklemlerin bazen tam çözümleri de bulunabilmektedir. (, ) aralığında tanımlı Hermite polinomlarına dayalı bu yöntem; bu aralığın içinden keyfi bir kapalı [ a, b ] aralık seçilerek istenilen herhangi bir tamsayı veya kesir mertebeli lineer diferensiyel denkleme veya sistemine uygulanabilir. Yani, yöntemin diğer bir özelliği, çalıĢılan aralık konusunda herhangi bir kısıtlama veya dönüĢüm olmadığından, diğer yöntemlere göre bizlere daha geniĢ bir çalıĢma alanı sunmasıdır. Sadece aralık değil denklemlerin kesirli türev operatörünü içeren terim sayıları konusunda da bir kısıtlama getirmediği için diğer yöntemlerden (Adomian Ayırma metodu, Diferensiyel DönüĢüm metodu, Sonlu Farklar YaklaĢım metodu, Varyasyonel Ġterasyon metodu) çok daha etkili bir yöntem olduğu söylenebilir. Yukarıdakilere ek olarak çalıĢılan yöntemin diğer bir avantajı ise diğer metodlardan (Taylor Collacation metodu [15], Jacobi matris metodu [11], Muntz Collocation metodu[13] vb.) daha kolay algoritmalanabilirliği sayesinde, farklı N değerleri için kodlar hazırlanarak, çözümlerinin kolay bir Ģekilde bulunabilmesidir. Bu tezde sunulan yöntem bir sonraki adım olarak, yine mühendislik ve fen alanlarında önemli uygulamaların daha iyi formülleĢtirilmesini sağlayan, en az diferensiyel denklem ve sistemi kadar önem taĢıyan, kesir mertebeli integral denklemlere [14], kesir mertebeli integral denklemlerin sistemlerine, kesir mertebeli integro-diferensiyel denklemlere uygulanabilir. 74 KAYNAKLAR 1. Akgönüllü, N., “Lineer diferensiyel, integral ve integro-diferensiyel denklemlerin hermite polinom çözümleri”, Yükseklisans tezi, Muğla Universitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Muğla (2008). 2. Akgönüllü, N., ġahin, N., Sezer, M., “Hermite collocation method for the approximate solutions of high-order linear Fredholm integro-differential equations”, Numerical Methods for Partial Differential Equations, 27(6), (2010). 3. Akyüz, A., Sezer, M.,“Chebyshev polynomial solutions of systems of high-order linear differential equations with variable coefficients”, Applied Mathematics and Computations, 144; 237-247, (2003). 4. Baltacı, Ġ., “Kesirli Diferensiyel Denklemler Ġçin Monoton Yöntemler”, Yüksek Lisans Tezi, Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara (2009). 5. Biazar, J., Shahbala, M., Ebrahimi, H., “VIM for Solving thePollution Problem of a System of Lakes”, Journal of Control Science and Engineering, Article ID 829152; 6, (2010). 6. ÇavuĢ, M. S., “Kesirli (fractional) diferensiyel denklemler teorisi ve dielektrik durulmanın kesirli master denklemi yöntemiyle analizi”, Doktora Tezi, Çukurova Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Adana, 29-30 (2006). 7. Diethelm, K., “An algorithm for the numerical solution of differential equations of fractional order”, Electronic Transactions on Numerical Analysis, 5; 1- 6, March (1997). 8. Diethelm, K., Ford N. J., “ Numerical Solution of the Bagley-Torvik Equation”, BIT, 42(3); 490–507, (2002). 9. Diethelm, K., “The Analysis of Fractional Differential Equations”, Germany, (2004). 10. Diethelm, K., “The Analysis of Fractional Differential Equations”, ISBN 978-3642-14573-5. Lecture Notes In Mathematics, Verlag Berlin Heidelberg, 7-14, 21-42, 49-54, 93-101,109-120, 195-207 (2010). 11. Doha, E.H., Bhrawy, A.H., Ezz-Eldien, S.S., “A new Jacobi operational matrix: An application for solving fractional differential equations”, Applied Mathematical Modelling, (2012). 12. Ertürk, V.S., Momani, S., “Solving systems of fractional differential equations using differential transform method”, Journal of Computational and Applied Mathematics, 215; 142 – 151, (2008). 75 13. Esmaeili, S., Shamsi, M., Luchko, Y., “ Numerical solution of fractional differential equations with a collocation method based on Müntz polynomials”, Computers and Mathematics with Applications, 62; 918-929,(2011). 14. Gorenflo, R., Mainardi, F., “Fractional calculus: Integral and differential equations of fractional order”, ISBN 3-221-82913-X. Vol. 378 of the series CISM Lecture Notes, International Centre For the Mechanical Sciens Palazzo Del Torso, Piazza Garibaldi, Udine, Italy, (2008). 15. Keskin, Y., Karaoglu, O., Servi. S., Oturanç G., “The approximate solution of high-order linear fractional differential equation with variable coefficients in terms of generalized taylor polynomials”, Mathematical and Computational Applications, 16 ( 3); 617-629, (2011). 16. Kilbas, A. A., Srivastava, H. M., Trujillo, J. J., “Theory and applications of Fractional Differential Equations ”, Amsterdam, The Netherlands, (2006). 17. Kumar, P., Agrawal, O.P., “ Numerical schemes for the solution differential equations of order greather than one”, Comput Nonlinear Dyn, 1, 178-185, (2006). 18. Kurulay, M., “Zaman-kesirli mertebeli non-lineer kısmi türevli denklemlerin nümerik çözümleri”, Doktora Tezi, Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Ġstanbul, (2009). 19. Mathai, A. M. ve ark., “The H function : Theory and Applications”, LLC (2010). 20. Miller, K. S., Ross, B., “An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations”, Wiley , New York, (1993). 21. Miller, K. S., The Weyl fractinal calculus. In: Ross B. editor,”Fractinal Calculus and its Applications”, Lecture Notes in Mathematics No. 457, Springer-Verlag, New York, (1975). 22. Momani, S., Obidat Z., “Numerical approach to differential equations of fractional order”, Journal of Computational and Applied Mathematics, 207; 96110, (2007). 23. Obidat, Z. M., Momani, S., “ Application of Variational Itertional method to nonlinear differential equations of fractional order ”, Int. J. of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation, 7 (1); 27-34, (2006). 24. Oldham, K. B, Spanier, J., “The Fractional Calculus”, Academic Press, New York, (1974). 76 25. Poblubny, I., “Fractional differential equations”, Academic Press, San Diego, (1999). 26. Samko, S. G., Kilbas, A. A., Marichev, O. I., “Fractional Ġntegrals and Derivatives-Theory and Applications”, Gordon and Breach, Longhorne Pennsylvania, (1994). 27. Sezer, M., Karamete, A., Gülsu, M., “Taylor polynomial solution of systems of linear differantial equations with variable coefficent”, Int. J. Comput. Math., 82; 755-764, (2005). 28. SoytaĢ, C., “Kesirli Diferensiyel Denklemlerin Çözüm Yöntemleri”, Yüksek Lisans Tezi, Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Konya (2006). 29. YalçınbaĢ, S., Konuralp, A., Demir, D. D., Sorkun, H. H., “the solution of the fractional differential equations with the generalized Taylor Collocation method”, IJRRAS, (2010). 30. YüzbaĢı, ġ., ġahin, N., Sezer, M., “Numerical solutions of systems of linear Fredholm integro-differential equations with Bessel polynomial bases”, Applied Mathematics and Computations, 61; 3079-3096, (2011). 31. YüzbaĢı, ġ., ġahin, N., Sezer, M., “A collocation approach to solving the model of pollution for a system of lakes”, Mathematical and Computer Modelling, 55; 330–341, (2012). 32. Weilbeer, M., “Efficient Numerical Methods for Fractional Differential Equations and Their Analytical Background”, US Army Medical Research and Material Command, Carl-Friedrich-GauB Mathematik und Informatik, Technischen Universtät Braunschweig, 21-28, 45-59, 150-153 (2005). 77 EKLER 78 EK-1 EĢ. 3.26 Denkleminin HCM Çözümü için MatlabR2007b Komutları clear all format short N=4; a=0;b=1; % a ve b çalıĢılan aralığın sınır değerleridir i=0:N; col=a+(b-a)*i/N; alfa=1/2; p0=eye(5); p1=eye(5); bt=zeros(N+1,N+1); for i=1:N bt(i,i+1)=gamma(i*alfa+1)/gamma((i-1)*alfa+1); end bt; ft=[1 0 (-2) 0 12;0 2 0 (-12) 0 ;0 0 4 0 (-48);0 0 0 8 0; 0 0 0 0 16]; for i=1:N+1 for j=1:N+1 P=zeros(1,j); P(1,1)=1; xc(i,j)=polyval(P,col(i).^alfa); end end xc; g=zeros(N+1,1); for i=1:N+1 g(i,1)=col(i)^2+(2/gamma(5/2))*col(i)^(3/2); end g; w=(p0*xc+p1*xc*bt)*ft; gc=[g(1,:);g(2,:);g(3,:);g(4,:); 0]; yx0=[1 0 0 0 0 ]*ft; % yx0 koĢul matrisidir wc=[w(1,:);w(2,:);w(3,:);w(4,:);yx0(1,:)]; A=wc\gc; a0=A(1,1) a1=A(2,1) a2=A(3,1) a3=A(4,1) a4=A(5,1) syms x; a=1/2; h0=1; h1=2*(x^a); h2=4*x^(2*a)-2; 79 EK-1 (Devam) EĢ. 3.26 Denkleminin HCM Çözümü için MatlabR2007b Komutları h3=8*x^(3*a)-12*x^a; h4=16*x^(4*a)-48*x^(2*a)+12; y1=a0*h0+a1*h1+a2*h2+a3*h3+a4*h4; y=vpa(y1,6) 80 EK-2 EĢ. 4.45 Denkleminin HCM Çözümü için MatlabR2007b Komutları clear all format short N=4; k=2; a=0;b=1; % a ve b çalıĢılan aralığın sınır değerleridir i=0:N; col=a+(b-a)*i/N; B=zeros(N+1,N+1); for i=1:N B(i+1,i)=i; end B; Bc=kron(eye(k),B'); ft=[1 0 (-2) 0 12 ;0 2 0 (-12) 0 ;0 0 4 0 (-48);0 0 0 8 0; 0 0 0 0 16]; Fc=kron(eye(k),ft); syms x for i=1:(N+1); xx(i)=x^(i-1); end xx; xxc=kron(eye(k),xx); for j=1:(N+1); for i=j*k-(k-1):j*k; X(i,:)=subs(xxc(i-(j-1)*k,:),col(j)); end end X; p0x=[0 1;1 0]; P0=kron(eye(N+1),p0x); p1x=[1 1;1 4]; P1=kron(eye(N+1),p1x); W=(P0*X+P1*X*Bc)*Fc; syms x gx=[x-exp(-x);1+2*exp(-x)]; for j=1:(N+1); for i=j*k-(k-1):j*k; G(i,1)=subs(gx(i-(j-1)*k,1),col(j)); end end %koĢul matrisi için a0=[1 0;0 1]; b0=[0 0;0 0]; m=subs(Xxc,0); n=subs(Xxc,1); 81 EK-2 (Devam) EĢ. 4.45 Denkleminin HCM Çözümü için MatlabR2007b Komutları U=(a0*m+b0*n)*Fc; WC=[W(1,:);W(2,:);W(3,:);W(4,:);W(5,:);W(6,:);W(7,:);W(8,:);U(1,:);U(2,:)]; GC=[G(1,:);G(2,:);G(3,:);G(4,:);G(5,:);G(6,:);G(7,:);G(8,:);1;0]; EK-2 (Devam) EĢ. 4.45 Denkleminin HCM Çözümü için MatlabR2007b Komutları A=WC\GC a10=A(1,1); a11=A(2,1); a12=A(3,1); a13=A(4,1); a14=A(5,1); a20=A(6,1); a21=A(7,1); a22=A(8,1); a23=A(9,1); a24=A(10,1); syms x; h0=1; h1=2*(x); h2=4*x^2-2; h3=8*x^3-12*x; h4=16*x^4-48*x^2+12; y1=a10*h0+a11*h1+a12*h2+a13*h3+a14*h4; y2=a20*h0+a21*h1+a22*h2+a23*h3+a24*h4; yy1=vpa(y1,1) yy2=vpa(y2,1) 82 EK-3 EĢ. 5.32 Denkleminin HCM Çözümü için MatlabR2007b Komutları clc clear all format rat N=3; k=3; alfa=9/10; a=0;b=1; i=0:N; col=a+(b-a)*i/N; B=zeros(N+1,N+1); for i=1:N B(i+1,i)=gamma(i*alfa+1)/gamma((i-1)*alfa+1); end B; Bc=kron(eye(k),B'); ft=[1 0 (-2) 0 ;0 2 0 (-12) ;0 0 4 0 ;0 0 0 8]; Fc=kron(eye(k),ft); syms x for i=1:(N+1); Xx(i)=x^(alfa*(i-1)); end Xx; Xxc=kron(eye(k),Xx); for j=1:(N+1); EK-3 (Devam) EĢ. 5.32 Denkleminin HCM Çözümü için MatlabR2007b Komutları for i=j*k-(k-1):j*k; Xa(i,:)=subs(Xxc(i-(j-1)*k,:),col(j)); end end Xa; p0x=[38/2900 0 -38/1180;-18/2900 18/850 0;-20/2900 -18/850 +38/1180]; P0=kron(eye(N+1),p0x); p1x=[1 0 0;0 1 0;0 0 1]; P1=kron(eye(N+1),p1x); G=[1 0 0 937/706 0 0 1251/773 0 0 2904/1577 0 0]'; W=(P0*Xa+P1*Xa*(Bc))*Fc; a0=[1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]; m=subs(Xxc,0); U=a0*m*Fc; WC=[W(1,:);W(2,:);W(3,:);W(4,:);W(5,:);W(6,:);W(7,:);W(8,:);W(9,:);U]; GC=[1 0 0 937/706 0 0 1251/773 0 0 0 0 0]'; A=WC\GC; a10=A(1,1); a11=A(2,1); a12=A(3,1); 83 EK-3 (Devam) EĢ. 5.32 Denkleminin HCM Çözümü için MatlabR2007b Komutları a13=A(4,1); a20=A(5,1); a21=A(6,1); a22=A(7,1); a23=A(8,1); a30=A(9,1); a31=A(10,1); a32=A(11,1); a33=A(12,1); syms x; t=9/10; h0=1; h1=2*x^t; h2=4*x^(2*t)-2;, h3=8*x^(3*t)-12*x^(t); y1=a10*h0+a11*h1+a12*h2+a13*h3; y2=a20*h0+a21*h1+a22*h2+a23*h3; y3=a30*h0+a31*h1+a32*h2+a33*h3; y1frac=vpa(y1,3) y2frac=vpa(y2,3) y3frac=vpa(y3,3) 84 ÖZGEÇMĠġ KiĢisel Bilgiler Soyadı, adı Uyruğu Doğum tarihi ve yeri Medeni hali Telefon e-mail : AKGÖNÜLLÜ PĠRĠM, Nilay : T.C. : 23.06.1984, Ankara : Evli : 0 (506) 3845383 : [email protected] Eğitim Derece Eğitim Birimi Yüksek Lisans Lisans Lise Sıtkı Koçman Üniversitesi/ Matematik bölümü Sıtkı Koçman Üniversitesi/ Matematik Bölümü Keçiören Kalaba Lisesi Mezuniyet tarihi 2008 2005 2001 Yabancı Dil Ġngilizce Yayınları Akgönüllü, N., ġahin, N., Sezer, M., “A Hermite collocation method for the approximate solutions of high-order linear Fredholm integro-differential equations”, Numerical Methods for Partial Differential Equations, Vol. 27, Issue 6, (2010). Bildiriler Akgönüllü, N., Hermite Collocation Metodu ile DeğiĢken Katsayılı Kesirli Mertebeden Lineer Diferensiyel Denklemlerin YaklaĢık Çözümleri, Metamatik Sempozyumu (Matematik Günleri), Bilkent Üniversitesi, 2012. Akgönüllü, N., Yüksek Mertebeden Lineer Fractional Diferensiyel Denklem Sistemlerinin Hermite Polinomları ile YaklaĢık Çözümleri, Matematik sempozyumu (Matematik Günleri), Çankaya Üniversites, 2013. Hobiler Matematik Dünyası, Bilgisayar Programları, Ġnternet, Yüzmek, Badminton