Giriş π`nin gayri-ciddî tanımı π`nin ciddî tanımı XX

e ve π SAYILARI KESİRLİ DEĞİLDİR
Mert ÇAĞLAR

VE
Zafer ERCAN
Giriş
Matematiğin kabul gören en özel ve meşhur iki sayısı, π simgesiyle gösterilen pi ve e sayılarıdır.
Gündelik hayatın pratiğinde çembersel nesneler −örneğin bir tekerlek− nasıl vazgeçilmez ise,
pi sayısı da matematiğin vazgeçilmezlerindendir. Yarıçapı bir birim olan bir çemberin alanının
π olduğu, hattâ her çemberin çevresinin çapına oranının da π’ye eşit olduğu, Antik Çağ’da
Arşimet tarafından gösterilmiştir; bu nedenle π değerine Arşimet sabiti de denir. Yine
benzetimle devam edersek, biraz zorlamayla, e sayısı ile gündelik hayatın olguları arasındaki bağlantı ekonomideki faiz hesapları üzerinden kurulabilir. Bu yazıda gerçek olguları bir
yana bırakarak, sözü edilen iki sayının ortak ve temel bir özelliğini, yani kesirli olmadıklarını
kanıtlayacağız. Okuyucunun, lisans birinci sınıf düzeyinde Analiz bilgisine sahip olduğunu
varsayıyoruz.
π’nin gayri-ciddî tanımı

İlk ve orta öğretim kademelerindeki öğrencilere “yaklaşık değeri . olan sayı,” denilerek
öğretilse de, π sayısı, öğrencilerin ve kimi zaman öğretmenlerin hafızalarında “değeri , olan
sayı,” olarak kalmaktadır. İlginç bir olgu, Amerika Birleşik Devletleri’ndeki bazı eyaletlerin
anayasalarında “π’nin değeri 3’tür,” ibâresinin bulunmasıdır: Türkiye Cumhuriyeti Anayasası’nda,
bildiğimiz kadarıyla, böyle bir ifade bulunmamaktadır! Açıktır ki değerinin 3 ya da 3.14
olduğunu iddia etmek, π’nin kesirli olamayacağını da reddetmek anlamına gelirdi ve bu yazıya
da gerek kalmazdı.
π’nin ciddî tanımı

En temel elemanter fonksiyonlardan olan sinüs ve kosinüs, her x gerçel sayısı için, sırasıyla,
sin(x) :=
∞
X
(−1)n
n=0
x2n+1
(2n + 1)!
ve
cos(x) :=
∞
X
(−1)n
n=0
x2n
(2n)!
olarak verilen sin : R → R ve cos : R → R fonksiyonları olarak tanımlanabilir ([]); argümanının etrafındaki parantezleri kullanmadan sin x ve cos x yazmak, gelenekselleşmiş bir
kabuldür. Aşağıdaki teoremin bir kanıtı [, Sonuç .]’da ya da []’de bulunabilir.
Teorem .. {x > 0 | sin x = 0} kümesi boş değildir, ve bu kümenin en küçük elemanı
vardır.
Şimdi π sayısını kesin olarak tanımlayabiliriz.
Tanım .. {x > 0 | sin x = 0} kümesinin en küçük elemanına π sayısı denir.


İstanbul Kültür Üniversitesi, Matematik-Bilgisayar Bölümü, Ataköy Kampüsü, Bakırköy , İstanbul
Abant İzzet Baysal Üniversitesi, Matematik Bölümü, Gölköy Kampüsü , Bolu

Yukarıda yapılan tanımdan elde edilen detaylı sonuçlar []’de bulunabilir. Diğer taraftan,
Z
π=
1
−1
√
2 1 − x2 dx
eşitliğini not etmekte de fayda vardır.

e’nin tanımı
Yine elemanter olan fakat matematiğin belki de en önemli fonksiyonuyla başlayacağız.
Tanım .. Her x gerçel sayısı için
exp(x) :=
∞
X
xn
n=0
n!
olarak tanımlanan exp : R → (0, ∞) fonksiyonu, exp fonksiyonu olarak adlandırılır.
exp fonksiyonuyla ilgili detaylı bilgi için []’e bakılabilir. Sürekli olan ve bire-bir ve örten
olması nedeniyle tersi de var olan üstel fonksiyonun ters fonksiyonu, ln simgesiyle gösterilir.
Dolayısıyla ln : (0, ∞) → R fonksiyonu,
exp(ln(x)) = x
ve
ln(exp(y)) = y
özdeşliklerini her x ∈ (0, ∞) ve y ∈ R için sağlar. Her ikisi de türevlenebilir olan bu fonksiyonlarla ilgili detaylı bilgi için de [] ve []’ü öneriyoruz.
Artık e sayısını da tanımlamaya hazırız.
Tanım .. e := exp(1) olarak tanımlanır.
e için verilen bu tanımın tek tanım olmadığı temel Analiz bilgisine sahip olan herkesin
malumudur:
1 1/n
e := n→∞
lim 1 +
n
olarak tanımlanabileceği gibi,
Zt1
dx
1=
1 x
denkleminin çözümü olan tek türlü belirli t gerçel sayısı da e olarak tanımlanabilir. Yapılan
bu tanımların hepsinden de e > 1 olduğu bâriz olarak görülür.

Bir temel teorem
m ve n tam sayılar ve n sıfır olmadıkça, m
biçimindeki sayılara kesirli sayı denildiğini
n
hatırlayalım. Aşağıdaki teorem []’nın temel sonucudur.
Teorem .. Kesin pozitif bir c gerçel sayısı için f : [0, c] → R fonksiyonu, her x ∈ (0, c)
için f (x) > 0 koşulnu sağlasın. Ayrıca her k ∈ N için fk : [0, c] → R fonksiyonlarından
oluşan (fk )k∈N dizisi
(i) f10 (x) = f (x),

(ii) her k > 2 için fk0 (x) = fk−1 (x),
(iii) her k > 1 için, fk (0), fk (c) ∈ Z
özelliklerine sahip olsun. Bu durumda c sayısı kesirli değildir.
Kanıt. [0, c] aralığından gerçel sayılara tanımlı ve g fonksiyonunun n’yinci türevinin sıfır ve
c noktalarındaki değerlerinin her n > 0 için tam sayı olduğu polinomların ailesi P olsun. Bu
durumda her p, q ∈ P için pq ve p + q elemanlarının P ailesine ait oldukları açıktır. Diğer
taraftan da, kısmî integrasyonla, derecesi d olan bir p ∈ P için
Z
X
! ??c
?
(−1)i+1 fi (x)g (i−1) (x) ?
??
d+1
c
p(x)f (x) dx =
0
i=1
Rc
0
olduğu gözlemlenirse, her p ∈ P için 0 p(x)f (x) dx değerinin bir tam sayı olduğu görülür.
Bir çelişkiye ulaşmak maksadıyla c’nin kesirli olduğunu varsayalım ve c = m
diyelim. Her
n
k > 0 için gk : [0, c] → R fonksiyonlarını
gk (x) :=
xk (m − nx)k
k!
olarak tanımlayalım. Böylece g0 ≡ 1 ∈ P olur. Öte yandan, k > 1 için gk−1 ∈ P olduğu
kabul edildiğinde, i(x) := x olarak tanımlanan i ∈ P için
gk0 =
gk−1 (m − 2ni)
n!
gerçekleneceğinden, gk0 ∈ P olur; bu ise, gk (0) = 0 = gk (c) olduğundan, gk ∈ P olması
anlamına gelir. Dolayısıyla, her gk fonksiyonunun P ailesine ait olduğu tümevarımla elde
edilmiş olur. Bunlara ek olarak her k ∈ N ve her x ∈ (0, c) için gk (x) ve f (x) değerleri kesin
pozitif olduklarından da, yukarıda yapılan gözlem nedeniyle,
Z
c
0<
0
f (x)gk (x) dx ∈ Z
sonucuna ulaşılır. Şimdi
M := sup{x(m − nx) | x ∈ [0, c]}
denir ve k sonsuza gönderilirse,
Z
16
0
c
f (x)gk (x) dx 6
Z
c
0
ve
L := sup f ([0, c])
Mk
Mk
L
dx = cL
→0
k!
k!
çelişkisine ulaşılır. O hâlde yapılan varsayım yanlış, yani c sayısı kesirli değildir.
Aşağıdaki sonuçlar, temel teoremimizden elde edilir.
Sonuç .. 0 < |r| 6 π olmak üzere sin r ve cos r sayıları kesirli ise, r sayısı kesirli değildir.
Kanıt. Her x gerçel sayısı için sin(−x) = − sin x ve cos(−x) = cos x olduğundan, 0 < r 6 π
olduğunu varsayabiliriz. Hipotezden dolayı da, n sin r ve n cos r sayıları N kümesine ait olacak
şekilde bir n ∈ N bulabiliriz. Şimdi f : [0, r] → R fonksiyonunu f (x) := n sin x olarak, her
k için fk fonksiyonlarını ise Teorem .’deki gibi tanımlarsak, her k > 1 için fk (0) ve fk (r)
değerlerinin tam sayı olduklarını görürüz. Bu ise, Teorem .’den, r’nin kesirli olmaması
demektir.

Sonuç .. 0 < r ve r 6= 1 olmak üzere ln r sayısı kesirli ise, r sayısı kesirli değildir.
Kanıt. Aksi durumda r’yi 1r ile değiştirebileceğimizden, r > 1 olduğunu varsayabiliriz. Şimdi
yazalım ve önceki sonucun kanıtında yaptığımıza
de r’nin kesirli olduğunu varsayarak r = m
n
benzer biçimde, f : [0, ln r] → R fonksiyonunu f (x) := n exp(x) olarak, her k için fk fonksiyonlarını ise Teorem .’deki gibi tanımlayalım: O zaman her k > 1 için fk (0) ve fk (r) değerlerinin tam sayı olduklarını görürüz ve Teorem .’den r’nin kesirli olmaması gerektiği çelişkisine ulaşırız.

e ve π sayıları kesirli değildir
π sayısının kesirli olmadığının kanıtı ilk kez Johann Heinrich Lambert tarafından ’de,
trigonometrik fonksiyonların sürekli kesirlerle gösterilişleri kullanılarak verilmiştir. En sık
rastlanan ve en kolay anlaşılabilir kanıt ise Ivan Niven tarafından ’de bulunan ve []’de
verilendir. e sayısından ilk bahseden John Napier olmasına karşın, bu sayının ilk kesin
tanımını ’de yapan Jacob Bernoulli’dir. Meşhur Bernoulli ailesinin bir başka üyesi ve
Jacob Bernoulli’nin kardeşi olan Johann Bernoulli’nin gelmiş geçmiş en büyük matematikçilerden kabul edilen öğrencisi Leonhard Euler, ’de, e sayısının kesirli olmadığını ilk kez
kanıtlayan kişidir. Bu sayıyı gösteren simge de ilk olarak Euler tarafından kullanılmıştır.
Aslında hem π hem de e sayıları, kesirli olmamaktan daha kuvvetli özelliklere sahiptirler.
Bu özelliklere burada değinmeyeceğiz. Ancak π ve e sayılarının kesirli olmadıklarını görmek
isteyen okuyuculara önerimiz, Sonuç . ve Sonuç .’deki r sayılarını, sırasıyla, π ve e olarak
almalarıdır.
Kaynaklar
[] “Euler sabiti e ve exp fonksiyonu,” Matematik Dünyası, -IV, -.
[] “d’Alembert kriteri,” Matematik Dünyası, -II, -.
[] “Trigonometrik fonksiyonlar ve pi sayısı,” Matematik Dünyası, -IV, -.
[] A. Nesin, Analiz II,  yılında basılacak.
[] I. Niven, “A simple proof that π is irrational,” Bull. Amer. Math. Soc.  (), .
[] Alan E. Parks, “π, e, and other irrational numbers,” Amer. Math. Monthly  (),
no. , -.
