FONKSİYONLAR Boş kümeden farklı olan A ve B kümeleri

FONKSİYONLAR
Boş kümeden farklı olan A ve B kümeleri verildiğinde, A kümesindeki her elemanı B
kümesindeki bir elemana karşı getiren bağıntıya A’dan B’ye fonksiyon denir. y=f(x) ile
gösterilir. Bir diğer ifadeyle x ve y değişkenler olmak üzere değişkenler arası ilişkiyi
A
B
açıklayan ifadedir. Örneğin y değişkeni harcama x gelir olabilir.
x
f
y
x
Tanım kümesi
y B
Değer (görüntü) kümesi
* Tanım kümesinin her elemanı bir elemanla eşleşmelidir. Tanım kümesinde boşta bir eleman
kalmamalıdır ve tanım kümesinin bir elemanının farklı iki görüntüsü olmamalıdır.
* Görüntü kümesi ve değer kümesi her zaman birbirinin aynı olmayabilir görüntü kümesi
değer kümesinde tanım kümesinin eşleştiği elemanları verir.
A- FONKSİYONUN TANIM ARALIĞI
y= f(x) fonksiyonunda x yerine bir değer konulur ve fonksiyon belirli, sınırlı ve reel bir değeri
alırsa, fonksiyon bu noktada tanımlanmıştır. Fonksiyonun tanımlı olduğu değerlerin kümesine
“tanım aralığı” denir.
B- FONKSİYON TÜRLERİ
a) İçine Fonksiyon: Eğer fonksiyonun görüntü kümesi, değer kümesinin alt kümesi ise,
bir diğer deyişle, değer kümesinin bazı elemanlarının tanım kümesinde karşılığı yok
ise bu tür fonksiyonlara denir.
a
1
b
2
c
3
4
b) Örten Fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesi değer kümesine eşit ise (bir diğer
deyişle, değer kümesinin tüm elemanlarının tanım kümesinde karşılığı var ise) bu tür
fonksiyonlara denir.
a
b
c
1
2
3
d
c) Bire bir fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanının tanım
kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu fonksiyonlara denir.
a
b
c
1
2
3
d) Sabit Fonksiyon: eğer fonksiyonun tanım kümesindeki her elemanın görüntü
kümesindeki karşılığı hep aynı eleman oluyorsa bu tür fonksiyonlara denir.
a
b
c
1
2
3
e) Birim Fonksiyon: eğer fonksiyonun tanım kümesindeki her elemanın görüntü
kümesindeki karşılığı yine kendisi oluyorsa bu tür fonksiyonlara denir.
a
a
b
b
c
c
f) Tek ve Çift Fonksiyonlar: y = f(x) fonksiyonunda eğer tanımlı tüm x değerleri için;
f(-x) = f(x) ise ; çift fonksiyondur.
f(-x) = -f(x) ise; tek fonksiyondur.
Her ikisi de gerçekleşmiyorsa ne tek ne çift fonksiyondur.

Başlangıç noktasına (0,0) (orjine göre) simetrik fonksiyonlar tek; y eksenine
göre simetrik fonksiyonlar çift fonksiyondur.
C- AÇIK VE KAPALI FONKSİYONLAR
Bir fonksiyonda x ve y arasındaki bağıntı y = f(x) şeklinde ise buna açık fonksiyon
denir. F(x,y)=0 şeklinde ise buna kapalı fonksiyon denir.
D- PERİYODİK FONKSİYON
Eğer bir f(x) fonksiyonunda f(x) = f(x+t) olacak şekilde bir t reel sayısı bulunuyorsa f(x)
fonksiyonu periyodiktir. t reel sayısına da o fonksiyonun periyodu denir.

sin x ve cos x fonksiyonlarının periyodu 2 

tan x ve cot x fonksiyonlarının periyodu  dir.
Periyodik Fonksiyonların Özellikleri:
f( x+t) = f(x) ise;
a) c f(x) fonksiyonunun periyodu yine t’dir. (c  IR)
b) f(ax+b) fonksiyonunun periyodu
t
dır.
a
c) sin2n(ax+b), cos2n(ax+b) fonksiyonlarının periyodu t 

a
sin2n+1(ax+b), cos2n+1(ax+b) fonksiyonlarının periyodu t 
şeklindedir.
2
şeklindedir
a
d) f(x) fonksiyonunun periyodu tf , g(x) fonksiyonunun periyodu tg ise; f+g, f-g, f.g, f/g
fonksiyonlarının periyodu t / tf ve t / tg tamsayı ise t dir.
E- TERS FONKSİYON
y = f(x) iken x = g(y) şeklinde ifade edilirse; f(x) fonksiyonunun ters fonksiyonu elde
edilir. Bir fonksiyonun tersinin alınabilmesi için birebir ve örten olmalıdır.
Özellikleri:
a) f: IR  IR , f(x) = ax+b ise f -1(x) =
xb
şeklindedir.
a
 d
 a
b) f: IR-    IR-  
 c
 c
f ( x) 
ax  b
cx  d
f 1 ( x) 
ise
 dx  b
şeklindedir.
cx  a
c) y = f(x)’in belirttiği eğri ile y = f
-1
(x)’in belirttiği eğri y = x doğrusuna göre
simetriktir.
d) B  IR olmak üzere
f: [ 
b
, )  B
2a
f ( x)  ax 2  bx  c
f 1 ( x)  
ise,
b
4ax  4ac  b 2

şeklindedir.
2a
4a 2
e) e) B  IR olmak üzere
f: (  ,
b
] B
2a
f ( x)  ax 2  bx  c
ise,
b
4ax  4ac  b 2
f ( x)  

şeklindedir.
2a
4a 2
1
F- FONKSİYONLARIN SINIFLANDIRILMASI
1) Polinom Fonksiyonlar:
a0, a1, …, an € IR ve an≠ 0 ve n€ N olmak üzere,
P(x) = anxn + an-1 xn-1+ …+ a1x+a0 gibi fonksiyonlara n. dereceden polinom (çok
terimli) denir.
n= 0
f(x) = a0 sabit fonksiyonuna da 0.dereceden polinom olarak bakılabilir.
n= 1
f(x)= a0+ a1x fonksiyonuna doğrusal fonksiyon denir.
n=2
f(x)= a0+ a1x + a2x2 fonksiyonuna ikinci dereceden kuadratik fonksiyon denir.
2) Cebirsel Fonksiyonlar
P0(x), P1(x), … , Pn(x)’ler x’in polinomları olmak üzere,
Pn(x) yn+ Pn-1(x) yn-1+… + P1(x) y+ P0(x) = 0
denklemini sağlayan y=f(x) şeklindeki fonksiyonlara ve denklemin kökü olan
fonksiyonlara cebirsel fonksiyon denir.
a) Rasyonel Cebirsel Fonksiyonlar : P(x) ve Q(x) birer polinom fonksiyon iken,
şeklinde iki polinom oranı olarak ifade edilebilen fonksiyonlardır.
Bu fonksiyonun tanım kümesi Q(x) = 0 denkleminin kökleri dışındaki tüm reel
sayılar kümesidir.
Örneğin 1)
2)
3)
Fonksiyonlarının her biri rasyonel fonksiyonlardır. Bunlardan birincisinin tanım
kümesi
IR-
, ikincisinin IR-
iken üçüncü fonksiyonun tanım kümesi ise IR-
şeklindedir.
b) İrrasyonel Fonksiyonlar
İki polinom oranı olarak ifade edilemeyen fonksiyonlardır. Bir diğer deyişle P(x)
ve Q(x) iki polinom olmak üzere
şeklinde yazılamayan
fonksiyonlardır.
3) Transandant Fonksiyonlar:
Cebirsel olmayan fonksiyonlara transandant fonksiyonlar denir. Bu tür fonksiyonlar
elementer işlemlerle x bağımsız değişkeninden elde edilemezler. Trigonometrik, ters
trigonometrik, üstel, logaritmik fonksiyonlar başlıca transandant fonksiyonlardır.
a) Trigonometrik Fonksiyonlar
Her bir x reel sayısı için sinx ve cosx değerleri hesaplanabilmektedir. Aynı
zamanda x bir reel sayı olmak üzere
, (k € Z) ise tan x ve x≠nπ (n €Z)
ise cotx değerleri de hesaplanabilir. Özetle,
Fonksiyon
Tanım Kümesi
Değer Kümesi
Periyotu
y= sin x
IR
[-1,1]
2π
y= cos x
IR
[-1,1]
2π
y= tan x
IR-
IR
π
y= cot x
IR-
IR
π
y= sec x=
IR-
IR-(-1,1)
2π
y= cosec x=
IR-
IR-(-1,1)
2π
Matematikte verilmiş bir fonksiyonun değer kümesi, fonksiyonun tanımlı olduğu çıkış
değerlerinin oluşturduğu kümedir.
Matematikte verilmiş bir fonksiyonun tanım kümesi, fonksiyonun tanımlı olduğu girdi
değerlerinin oluşturduğu kümedir.
Trigonometrik Özdeşlikler
1) sin (-x) = - sin x
cos(-x) = cos x
2) sin2x + cos2x = 1
3) 1+ tan2x=
= sec2x
4) 1+ cot2x=
= cosec2x
5) sin (
- x ) = cos x
cos (
- x ) = sin x
6) sin (
+ x ) = - cos x
cos (
+ x ) = sin x
7) sin ( π – x) = sin x
cos ( π – x) = - cos x
8) sin ( x+y ) = sin x cos y + cos x sin y
9) sin ( x-y ) = sin x cos y – cos x sin y
10) cos ( x+y ) = cos x cos y – sin x sin y
11) cos ( x-y ) = cos x cos y +sin x sin y
12)
13)
14) sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = cos2x – sin2x = 2cos2x-1 = 1- 2sin2x
15)
16) sin x cos y =
[ sin (x+y) +sin (x-y) ]
17) cos x cos y =
[ cos (x+y) +cos (x-y) ]
18) sin x sin y =
[ cos (x-y) - cos (x+y) ]
19) sin x + sin y =
20) sin x - sin y =
21) cos x + cos y =
22) cos x - cos y =
b) Ters Trigonometrik Fonksiyonlar
Fonksiyon
Ters Fonksiyon Tanım Kümesi
Temel Değer Bölgesi
x = sin y
y = arcsin x
[ -1,1 ]
[-
x = cos y
y = arccos x
[ -1,1 ]
[ 0, π ]
x = tan y
y = arctan x
IR
[-
x = cot y
y = arccot x
IR
( 0, π )
x = cosec x
y = arccosec x
(-∞, -1]U[1, +∞)
(-
x = sec y
y = arcsec x
(-∞, -1]U[1, +∞)
( 0, π )
c) Üstel Fonksiyonlar
a> 0 ve a ≠ 1 olmak üzere; y=ax şeklindeki fonksiyonlara üstel fonksiyon denir.
d) Logaritmik Fonksiyonlar
Üstel fonksiyonun ters fonksiyonuna logaritmik fonksiyon denir. Üstel fonksiyon x = ay
( a>0 ) olarak alınırsa bunun tersi y = logax ile gösterilen logaritmik fonksiyon elde
edilir. x=ay üstel fonksiyonunun grafiği çizdirilir ve y = x doğrusuna göre simetriği
alınırsan logaritmik fonksiyonun grafiği elde edilir.
Logaritmanın Özellikleri
1) loga (x y) = loga x + loga y
2) loga (
= loga x - loga y
3) loga xp = p loga x
(Taban değiştirme özelliği)
4) loga x =
5) loge x = ln x şeklindedir. Tabanı e olan logaritmadır. Doğal logaritma olarak
adalndırılır.
6) log10 x = log x şeklindedir. Tabanı 10 olan logaritmadır. Bayağı logaritma olarak
adlandırılır.
7) log 0 = log10 0 tanımsızdır. 10’un hiçbir üssü sıfır vermez.
8) log 1 = 0 ise 100 = 1 olur.
9) Log 0,1 = -1 ise 10-1 = 0,1 olur.
10) 0<x≤1 ise ∞<log x<0 olur.
11) logaa = 1 [ İspat: y=logax ise x=ay ise a1=a]
12) loga1 = 0 [İspat: 1= a0]
13) loga x logxa = 1 [loga x =
14) loga
15)
= loga(x1/n) =
]