GEREKLİ ÖN BİLGİLER:

DERS:
ÜNİTE:
KONU:
MATEMATİK II
BELİRSİZ İNTEGRALLER
MAT II (03)
2. İNTEGRAL ALMA TEKNİKLERİ
GEREKLİ ÖN BİLGİLER
1. İntegral formülleri
2. Temel trigonometrik bağıntılar
4. Trigonometrik Fonksiyonların İntegralleri
* ∫ sin ax sin bx dx , ∫ sin ax cos bx dx , ∫ cos ax cos bx dx tipindeki integrallerde
aşağıdaki bağıntılardan yararlanarak ilgili integral daha basit bir hale dönüştürülür.
(burada a ve b sıfırdan farklı reel sayılardır)
sin A sin B = 12 [cos( A − B) − cos( A + B )]
sin A cos B = 12 [sin( A + B) + sin( A − B)]
cos A cos B = 12 [cos( A + B) + cos( A − B)]
ÖRNEK: ∫ sin 3 x cos 5 x dx
ÖRNEK: ∫ cos 6 x cos 2 x dx
* ∫ sin
m
x cos n x dx tipindeki integrallerde
a) m tek ise u = cos x dönüşümü veya n tek ise u = sin x dönüşümü uygulanır.
b) m ve n doğal sayılarının her ikisi de çift ise
cos 2 x = 12 (1 + cos 2 x) ve sin 2 x = 12 (1 − cos 2 x)
bağıntıları yardımıyla integral yeniden düzenlenir.
ÖRNEK: ∫ sin 6 x cos3 x dx
ÖRNEK: ∫ sin 4 x cos 2 x dx
* ∫ tan
m
x sec n x dx tipindeki integrallerde
a) n çift ise u = tan x dönüşümü yapılır. Burada
sec 2 x = 1 + tan 2 x ve d (tan x) = sec 2 x dx
bağıntılarından faydalanarak integral daha basit hale dönüştürülür.
b) m tek ise u = sec x dönüşümü yapılır. Burada
tan 2 x = sec 2 x − 1 ve d (sec x) = tan x sec x dx
bağıntılarından faydalanarak integral daha basit hale dönüştürülür.
c) m çift ve n tek ise tan 2 x = sec 2 x − 1 bağıntısı yardımıyla integral yalnızca sec x
in tek kuvvetlerinin toplamı şeklinde yazılarak integral hesaplanır.
ÖRNEK: ∫ tan 2 x sec 2 x dx
ÖRNEK: ∫ tan x sec3 x dx
ÖRNEK: ∫ tan 2 x sec x dx
* ∫ cot
m
x cosecn x dx tipindeki integraller de ∫ tan m x sec n x dx integrallerine benzer
düşünce ile hesaplanabilir. (bkz ÖDEVLER)
5. İrrasyonel Fonksiyonların İntegralleri
Bu kısımda yalnızca
∫
1
dx
ve
px + q
∫
dx
ax 2 + bx + c
ax 2 + bx + c
tipindeki integraller incelenecek olup, bu integraller uygun düzenlemeler ile
1
∫ 1 − x 2 dx = arcsin x + c ( | x |< 1 )
1
2
∫ 1 + x 2 dx = ln x + 1 + x + c
1
2
∫ x 2 − 1 dx = ln x + x − 1 + c ( | x |> 1 )
temel integral formüllerine benzetilerek hesaplanır.
(
(
)
)
ÖRNEKLER
1
1. ∫
dx
− x2 + 4x + 5
2.
∫
3.
∫
1
4x2 + 4x + 2
− x+3
− x2 + 4x + 5
dx
dx
ÖDEVLER
Genel Matematik Cilt I ( Prof. Dr. M. BALCI) kitabından
Sayfa 249-250 ∫ cot m x cosecn x dx tipindeki integraller
Sayfa 240-251
∫ R(sin x, cos x) dx tipindeki integraller
Sayfa 260 problemler 1(a,b,f), 2(a,b,c,d,e,f,g,h)
Sayfa 262 Bölüm Problemleri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 12, 13, 14.
KAYNAKLAR
M. BALCI, Genel Matematik Cilt I, Balcı Yayınları, Ankara, 2003.
H. HALİLOV, A. HASANOĞLU, M. CAN, Yüksek Matematik, Literatür Yayınları,
İstanbul, 2002.
R.A. SILVERMAN, Calculus ve Analitik Geometri, (çeviren, B. Simav, D. Simav), Alkım
Kitapçılık, 1992.
2