FONKSİYONLAR Boş kümeden farklı olan A ve B kümeleri verildiğinde, A kümesindeki her elemanı B kümesindeki bir elemana karşı getiren bağıntıya A’dan B’ye fonksiyon denir. y=f(x) ile gösterilir. Bir diğer ifadeyle x ve y değişkenler olmak üzere değişkenler arası ilişkiyi açıklayan ifadedir. Örneğin y değişkeni harcama x gelir olabilir. A B x f y x Tanım kümesi y B Değer (görüntü) kümesi * Tanım kümesinin her elemanı bir elemanla eşleşmelidir. Tanım kümesinde boşta bir elemanı kalmamalıdır ve tanım kümesinin bir elemanının farklı iki görüntüsü olmamalıdır. * Görüntü kümesi ve değer kümesi her zaman birbirinin aynı olmayabilir görüntü kümesi değer kümesinde tanım kümesinin eşleştiği elemanları verir. A- FONKSİYONUN TANIM ARALIĞI y= f(x) fonksiyonunda x yerine bir değer konulur ve fonksiyon belirli, sınırlı ve reel bir değeri alırsa, fonksiyon bu noktada tanımlanmıştır. Fonksiyonun tanımlı olduğu değerlerin kümesine “tanım kümesi” denir. B- FONKSİYON TÜRLERİ a) İçine Fonksiyon: Eğer fonksiyonun görüntü kümesi, değer kümesinin alt kümesi ise, bir diğer deyişle, değer kümesinin bazı elemanlarının tanım kümesinde karşılığı yok ise bu tür fonksiyonlara denir. a 1 b 2 c 3 4 b) Örten Fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesi değer kümesine eşit ise (bir diğer deyişle, değer kümesinin tüm elemanlarının tanım kümesinde karşılığı var ise) bu tür fonksiyonlara denir. a b c 1 2 3 d c) Bire bir fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanının tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu fonksiyonlara denir. a b c 1 2 3 d) Sabit Fonksiyon: eğer fonksiyonun tanım kümesindeki her elemanın görüntü kümesindeki karşılığı hep aynı eleman oluyorsa bu tür fonksiyonlara denir. a b c 1 2 3 e) Birim Fonksiyon: eğer fonksiyonun tanım kümesindeki her elemanın görüntü kümesindeki karşılığı yine kendisi oluyorsa bu tür fonksiyonlara denir. a a b b c c f) Tek ve Çift Fonksiyonlar: y = f(x) fonksiyonunda eğer tanımlı tüm x değerleri için; f(-x) = f(x) ise ; çift fonksiyondur. f(-x) = -f(x) ise; tek fonksiyondur. Her ikisi de gerçekleşmiyorsa ne tek ne çift fonksiyondur. Başlangıç noktasına (0,0) (orjine göre) simetrik fonksiyonlar tek; y eksenine göre simetrik fonksiyonlar çift fonksiyondur. C- AÇIK VE KAPALI FONKSİYONLAR Bir fonksiyonda x ve y arasındaki bağıntı y = f(x) şeklinde ise buna açık fonksiyon denir. F(x,y)=0 şeklinde ise buna kapalı fonksiyon denir. D- PERİYODİK FONKSİYON Eğer bir f(x) fonksiyonunda f(x) = f(x+t) olacak şekilde bir t reel sayısı bulunuyorsa f(x) fonksiyonu periyodiktir. t reel sayısına da o fonksiyonun periyodu denir. sin x ve cos x fonksiyonlarının periyodu 2 tan x ve cot x fonksiyonlarının periyodu dir. Periyodik Fonksiyonların Özellikleri: f( x+t) = f(x) ise; a) c f(x) fonksiyonunun periyodu yine t’dir. (c IR) b) f(ax+b) fonksiyonunun periyodu t dır. a c) sin2n(ax+b), cos2n(ax+b) fonksiyonlarının periyodu t a sin2n+1(ax+b), cos2n+1(ax+b) fonksiyonlarının periyodu t şeklindedir. 2 şeklindedir a d) f(x) fonksiyonunun periyodu tf , g(x) fonksiyonunun periyodu tg ise; f+g, f-g, f.g, f/g fonksiyonlarının periyodu t / tf ve t / tg tamsayı ise t dir. E- TERS FONKSİYON y = f(x) iken x = g(y) şeklinde ifade edilirse; f(x) fonksiyonunun ters fonksiyonu elde edilir. Bir fonksiyonun tersinin alınabilmesi için birebir ve örten olmalıdır. Özellikleri: a) f: IR IR , f(x) = ax+b ise f -1(x) = xb şeklindedir. a d a b) f: IR- IR- c c f ( x) ax b cx d ise f 1 ( x) dx b şeklindedir. cx a c) y = f(x)’in belirttiği eğri ile y = f -1 (x)’in belirttiği eğri y = x doğrusuna göre simetriktir. d) B IR olmak üzere f: [ b , ) B 2a f ( x) ax 2 bx c f 1 ( x) ise, b 4ax 4ac b 2 şeklindedir. 2a 4a 2 e) e) B IR olmak üzere f: ( , b ] B 2a f ( x) ax 2 bx c f 1 ( x) ise, b 4ax 4ac b 2 şeklindedir. 2a 4a 2 F- FONKSİYONLARIN SINIFLANDIRILMASI 1) Polinom Fonksiyonlar: a0, a1, …, an € IR ve an≠ 0 ve n€ N olmak üzere, P(x) = anxn + an-1 xn-1+ …+ a1x+a0 gibi fonksiyonlara n. dereceden polinom (çok terimli) denir. n= 0 f(x) = a0 sabit fonksiyonuna da 0.dereceden polinom olarak bakılabilir. n= 1 f(x)= a0+ a1x fonksiyonuna doğrusal fonksiyon denir. n=2 f(x)= a0+ a1x + a2x2 fonksiyonuna ikinci dereceden kuadratik fonksiyon denir. 2) Cebirsel Fonksiyonlar P0(x), P1(x), … , Pn(x)’ler x’in polinomları olmak üzere, Pn(x) yn+ Pn-1(x) yn-1+… + P1(x) y+ P0(x) = 0 denklemini sağlayan y=f(x) şeklindeki fonksiyonlara ve denklemin kökü olan fonksiyonlara cebirsel fonksiyon denir. a) Rasyonel Cebirsel Fonksiyonlar : P(x) ve Q(x) birer polinom fonksiyon iken, şeklinde iki polinom oranı olarak ifade edilebilen fonksiyonlardır. Bu fonksiyonun tanım kümesi Q(x) = 0 denkleminin kökleri dışındaki tüm reel sayılar kümesidir. Örneğin 1) 2) 3) Fonksiyonlarının her biri rasyonel fonksiyonlardır. Bunlardan birincisinin tanım kümesi IR- , ikincisinin IR- iken üçüncü fonksiyonun tanım kümesi ise IR- şeklindedir. b) İrrasyonel Fonksiyonlar İki polinom oranı olarak ifade edilemeyen fonksiyonlardır. Bir diğer deyişle P(x) ve Q(x) iki polinom olmak üzere şeklinde yazılamayan fonksiyonlardır. 3) Transandant Fonksiyonlar: Cebirsel olmayan fonksiyonlara transandant fonksiyonlar denir. Bu tür fonksiyonlar elementer işlemlerle x bağımsız değişkeninden elde edilemezler. Trigonometrik, ters trigonometrik, üstel, logaritmik fonksiyonlar başlıca transandant fonksiyonlardır. a) Trigonometrik Fonksiyonlar Her bir x reel sayısı için sinx ve cosx değerleri hesaplanabilmektedir. Aynı zamanda x bir reel sayı olmak üzere , (k € Z) ise tan x ve x≠nπ (n €Z) ise cotx değerleri de hesaplanabilir. Özetle, Fonksiyon Tanım Kümesi Değer Kümesi Periyotu y= sin x IR [-1,1] 2π y= cos x IR [-1,1] 2π y= tan x IR- IR π y= cot x IR- IR π y= sec x= IR- IR-(-1,1) 2π y= cosec x= IR- IR-(-1,1) 2π Matematikte verilmiş bir fonksiyonun değer kümesi, fonksiyonun tanımlı olduğu çıkış değerlerinin oluşturduğu kümedir. Matematikte verilmiş bir fonksiyonun tanım kümesi, fonksiyonun tanımlı olduğu girdi değerlerinin oluşturduğu kümedir. Trigonometrik Özdeşlikler 1) sin (-x) = - sin x cos(-x) = cos x 2) sin2x + cos2x = 1 3) 1+ tan2x= = sec2x 4) 1+ cot2x= = cosec2x 5) sin ( - x ) = cos x cos ( - x ) = sin x 6) sin ( + x ) = - cos x cos ( + x ) = sin x 7) sin ( π – x) = sin x cos ( π – x) = - cos x 8) sin ( x+y ) = sin x cos y + cos x sin y 9) sin ( x-y ) = sin x cos y – cos x sin y 10) cos ( x+y ) = cos x cos y – sin x sin y 11) cos ( x-y ) = cos x cos y +sin x sin y 12) 13) 14) sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos2x – sin2x = 2cos2x-1 = 1- 2sin2x 15) 16) sin x cos y = [ sin (x+y) +sin (x-y) ] 17) cos x cos y = [ cos (x+y) +cos (x-y) ] 18) sin x sin y = [ cos (x-y) - cos (x+y) ] 19) sin x + sin y = 20) sin x - sin y = 21) cos x + cos y = 22) cos x - cos y = b) Ters Trigonometrik Fonksiyonlar Fonksiyon Ters Fonksiyon Tanım Kümesi Temel Değer Bölgesi x = sin y y = arcsin x [ -1,1 ] [- x = cos y y = arccos x [ -1,1 ] [ 0, π ] x = tan y y = arctan x IR [- x = cot y y = arccot x IR ( 0, π ) x = cosec x y = arccosec x (-∞, -1]U[1, +∞) (- x = sec y y = arcsec x (-∞, -1]U[1, +∞) ( 0, π ) c) Üstel Fonksiyonlar a> 0 ve a ≠ 1 olmak üzere; y=ax şeklindeki fonksiyonlara üstel fonksiyon denir. d) Logaritmik Fonksiyonlar Üstel fonksiyonun ters fonksiyonuna logaritmik fonksiyon denir. Üstel fonksiyon x = ay ( a>0 ) olarak alınırsa bunun tersi y = logax ile gösterilen logaritmik fonksiyon elde edilir. x=ay üstel fonksiyonunun grafiği çizdirilir ve y = x doğrusuna göre simetriği alınırsan logaritmik fonksiyonun grafiği elde edilir. Logaritmanın Özellikleri 1) loga (x y) = loga x + loga y 2) loga ( = loga x - loga y 3) loga xp = p loga x (Taban değiştirme özelliği) 4) loga x = 5) loge x = ln x şeklindedir. Tabanı e olan logaritmadır. Doğal logaritma olarak adalndırılır. 6) log10 x = log x şeklindedir. Tabanı 10 olan logaritmadır. Bayağı logaritma olarak adlandırılır. 7) log 0 = log10 0 tanımsızdır. 10’un hiçbir üssü sıfır vermez. 8) log 1 = 0 ise 100 = 1 olur. 9) Log 0,1 = -1 ise 10-1 = 0,1 olur. 10) 0<x≤1 ise ∞<log x<0 olur. 11) logaa = 1 [ İspat: y=logax ise x=ay ise a1=a] 12) loga1 = 0 [İspat: 1= a0] 13) loga x logxa = 1 [loga x = 14) loga 15) = loga(x1/n) = ]