Çok Değişkenli Fonksiyonlar

DERS 5
ÇOK DEĞİŞKENLİ
FONKSİYONLAR
1
ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR:
Reel sayılar kümesi R, sayı doğrusundan ibaret olup bir
boyutlu uzayı temsil eder. Bu uzayda bir başlangıç
noktasına ( 0’a ) olan uzaklık (uzunluk) söz konusudur.
R
0
x
x
x = 5, söz konusu noktanın başlangıç noktası 0’a olan
uzaklığının 5 br olduğunu gösterir.
x = 8-5 = 3, 0’a 8 br uzaklıktaki nokta ile 5 br uzaklıktaki
nokta arasındaki uzaklığın 3 br olduğunu gösterir.
2
R  x,y : x, y  R
2
R2 kümesi bir düzlemin noktalarından ibaret olup iki
boyutlu uzayı temsil eder. Bu uzayda en-boy ya da
uzunluk-genişlik söz konusudur.
y
(x,f (x))
y  f (x)
(x,y)
f : A  R; A  R
x
x  y, y  f (x), y  R
x ile y arasında bir bağırtı varsa y = f(x) yazılır. y=f(x) bir
değişkenli bir fonksiyondur. (x,f(x)) ikilileri (noktaları)
düzlemde bir eğri ya da doğrunun noktalarıdırlar. Bu
noktalar kümesi eğrinin ya da doğrunun grafiğidir.
3
R 3  x,y, z  : x, y, z  R
R3 uzayın noktalarından ibaret olup üç boyutlu uzayı
temsil eder. Bu uzayda en-boy-yükseklik söz konusudur.
z f : A  R ; A  R2
( x , y )  z , z  f ( x , y ), z  R
P(a,b,c)
c
(0,0,0)
a
b
y
(a,b,0)
z ile x xve y arasında bir bağıntı varsa z = f(x,y) yazılır. z
= f(x,y) iki değişkenli bir fonksiyondur. (x,y,f(x,y))
4
üçlüleri (noktaları) uzayda bir yüzey belirtir.
R  x1,x 2 ,  , x n  : x1,x 2 ,  , x n  R
n
Rn kümesine n boyutlu uzay denir.
z  f ( x1 , x2 , , xn ) ise
z  f ( x1 , x2 , , xn )
fonksiyonuna n değişkenli fonksiyon denir.
5
z
(0,1,1)
(0,0,1)
(1,0,1)
(1,1,1)
(0,0,0)
(1,0,0)
O
(0,1,0)
y
(1,1,0)
x
6
Çok değişkenli fonksiyonlar günlük yaşamın pek çok
alanında karşımıza çıkar.
Örnek: 1
Boyutları x ve y olan bir dikdörtgenin alanı:
y
A = A(x,y) = xy
x
bir iki değişkenli fonksiyon;
7
Örnek: 2
Boyutları x , y , z olan bir dikdörtgenler prizmasının
hacmi:
z
y
V = V(x,y,z) = xyz
x
bir üç değişkenli fonksiyon;
Örnek:3
Basit faiz için kullandığımız A(P,r,t) = P + Prt
denklemi bir üç değişkenli fonksiyondur.
A(100,0.05,4) = 100 + 100·(0.05)·4 = 120 dir.
8
Örnek 4
Taban yarıçapı r ve yüksekliği h olan bir
silindirin hacmi:
r
h
V = V(r,h) =  r2 h
Bir iki değişkenli fonksiyondur.
9
Örnek:5
A ve B gibi iki tür ürün üreten bir işletmenin haftalık sabit
gideri 5000 TL, ürün başına haftalık gideri A ürünü için
700 TL, B ürünü için 800 TL ise, bu işletmenin haftada
x adet A ve y adet B türü ürün üretmesi durumunda
haftalık toplam gideri : Gi(x,y) = 5000 + 700x + 800y
TLdir. Bu haftalık gider fonksiyonu bir iki değişkenli
fonksiyondur.
Bu örnekte
Gi(10,15) = 5000 + 700.10 + 800.15 = 24 000,
Gi(15,10) = 5000 + 700.15 + 800.10 = 23 500,
Gi(a,b) = 5000 + 700a + 800b,
Gi(x+h, y) = 5000 + 700(x+h) + 800y, olur.
10
İşletme A ürününün haftalık üretim miktarını h kadar
artırmaya karar verirse haftalık gideri
Gi(x  h, y)  Gi(x, y)
 5000  700(x  h)  800y  (5000  700x  8000y)  700h
kadar artar.
İşletme B ürününün haftalık üretim miktarını k kadar
artırmaya karar verirse haftalık gideri
Gi(x, y  k)  Gi(x, y)
 5000  700x  800(y  k)  (5000  700x  8000y)  800k
kadar artar.
11
UZAYDA NOKTA KÜMELERİ:
y = 0 , z = 0 ; (x,0,0) x ekseni üzerindeki noktaları verir.
x = 0 , z = 0 ; (0,y,0) y ekseni üzerindeki noktaları verir.
x = 0 , y = 0 ; (0,0,z) z ekseni üzerindeki noktaları verir.
z
x- ekseni = {(x, 0, 0) : x R}
y- ekseni = {(0, y, 0) : y R}
(0,0,z)
z- ekseni = {(0, 0, z) : z R}
(0,y,0)
y
(x,0,0)
x
12
z
z = 0 : xOy-düzlemi, {(x, y, 0) : x, y  R}
y
z=0
x
z
y = 0 : xOz-düzlemi, {(x, 0, z) : x, z  R}
y
x
z
x = 0 : yOz-düzlemi, {(0, y, z) : y, z  R}
x=0
y
x
13
z = 3 : xOy-düzlemine paralel ve onun 3 birim
üstündeki düzlem: {(x, y, 3) : x, y  R}
z
(0,0,3)
z=3
y
x
z = -3 : xOy-düzlemine paralel ve onun 3 birim
altındaki düzlem: {(x, y, -3) : x, y  R}
z
y
x
(0,0,-3)
z = -3
14
İki Değişkenli Fonksiyonlarda Tanım Kümesi D f
z = f(x, y) fonksiyonunun tanım kümesi f in tanımlı
olduğu en geniş kümedir.
Örnek: z 
xy fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.
Çözüm: xy  0  x  0 ve y  0 veya x  0 ve y  0
z
x  0, y  0
y
x  0, y  0
x
15
x y
Örnek: z 
fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.
x 1
Çözüm: x  1  0  x  1  D f  R 2  {( 1, y ) : y  R }
2
Df  R  x  1
z
R 2  {( 1 , y ) : y  R }
y
x
16
İki değişkenli bir fonksiyonunun grafiği:
z
z = f(x, y) nin grafiği genel olarak bir yüzeydir.
z=(x,y, f(x, y))
z = f(x,y)
y
(x, y, 0)
x
17
Örnek: z = x2 + y2 nin grafiği
xoy- düzlemi (z=0) ile arakesiti : z = 0, x2 + y2 = 0.
2
yoz- düzlemi (x=0) ile arakesiti:
x
=
0,
z
=
y
z
xoz- düzlemi (y=0) ile arakesiti:
y = 0, z = x2
x2 + y2 = 4 (-2,0,4)
z=4 düzlemi ile arakesiti:
(0,0,0)
x2 + y2 = 4
(0,-2,4)
(0,2,4)
z = y2
(2,0,4)
z = x2
z = x2 + y2
(0,0,0)
x
y
18
Örnek: z = 4 -x2 - y2 nin grafiği:
xoy- düzlemi (z=0) ile arakesiti : z = 0, x2 + y2 = 4
yoz- düzlemi (x=0) ile arakesiti : x = 0, z = 4 - y2
xoz- düzlemi (y=0) ile arakesiti : y = 0, z = 4 - x2
(0,0,4)
z
(-2,0,0)
(0,-2,0)
z=4-
x2
-
(0,0,0)
y2
(0,2,0) y
(2,0,0)
x
19
Örnek: z  1  x 2  y 2
nin grafiği.
xoy- düzlemi ile kesişim : z = 0, x  y  1 , z  0
2
2
2
z

1

y
;
y

z
1 , z  0
yoz- düzlemi ile kesişim : x = 0,
2
2
2
2
2
xoz- düzlemi ile kesişim : y = 0, z  1  x ; x  z  1 , z  0
z
(-1,0,0)
(0,0,1)
(0,-1,0)
z  1 x  y
2
(0,0,0)
2
(0,1,0)
y
(1,0,0)
x
Yarım Küre
20
x 2  y2  r 2
y  x2
z  y2
.(x, y, y 2 )
İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK:
z
X(x, y, z)
d
z-c
A(a, b, c)
z
d  ( x  a )  ( y  b)  ( z  c )
2
2
2
c
b
x
y
y-b
x-a
(x, y,0)
y
a
(a, b,0)
( x  a ) 2  ( y  b) 2
x
24
KISMİ TÜREVLER:
Bir değişkenli fonksiyonlar için türev tanımını
hatırlayalım:
y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun x = a
noktasındaki türevi
f (a  h)  f (a)
f '(a)  lim
h 0
h
olarak tanımlanmıştı.
25
Bir değişkenli fonksiyonlar için türev tanımından
hareketle,
z = f(x,y) denklemi ile verilen iki değişkenli
fonksiyonun (a,b) noktasındaki kısmi türevleri
f(a  h,b)  f(a,b) f(x,y) nin (a,b) de x e
z x  f x (a,b)  lim
göre kısmi türevi
h 0
h
f(a,b  h)  f(a,b) f(x,y) nin (a,b) de y ye
z y  f y (a,b)  lim
göre kısmi türevi
h 0
h
olarak tanımlanır.
26
a + h = x yazılırsa, h = x – a ve h  0 için x  aolur.
z = f(x,y) fonksiyonunun (a,b) noktasındaki kısmi türevleri
f(x , b)  f(a , b)
z x  f x (a , b)  lim
x a
x-a
f(x,y) nin (a,b) de x e
göre kısmi türevi
b + h = y yazılırsa, h = y – b ve h  0 için y  b olur.
f(a , y)  f(a , b)
z y  f y (a , b)  lim
y b
y-b
f(x,y) nin (a,b) de y ye
göre kısmi türevi
olarak tanımlanır.
27
Herhangi bir noktadaki x e göre kısmi türev
f(x  h, y)  f(x, y)
z x  f x (x, y)  lim
h 0
h
f(x,y) in x e
göre kısmi türevi
Herhangi bir noktadaki y ye göre kısmi türev
f(x, y  h)  f(x, y)
z y  f x (x, y)  lim
h 0
h
f(x,y) in y ye
göre kısmi türevi
olur.
28
Diğer gösterimler:

z
zx  f x  f x ( x , y )  f ( x , y ) 
x
x

z
zy  f y  f y ( x , y )  f ( x , y ) 
y
y
29
GEOMETRİK YORUM:
Eğim :
z
z = f(x, y)
(a+h,b, f(a+h, b))
f x ( a , b)
(a,b, f(a, b))
z = f(x, b)
y
(a, b, 0)
x
fx(a,b) türevi, (x,b) noktası
(a+h, b, 0) x - ekseni doğrultusunda
değişirken z=f(x,b) nin nasıl
değiştiğini gösterir.
30
Eğim :
z
f y ( a , b)
(a,b, f(a, b))
z = f(x, y)
(a,b+k, f(a, b+k))
z = f(a, y)
y
(a, b, 0)
x
(a, b+k, 0)
fy(a,b ) türevi, (a,y) noktası y - ekseni
doğrultusunda değişirken z= f(a,y) nin
nasıl değiştiğini gösterir.
31
Şimdiye kadar verilen tanımlardan ve onların
geometrik yorumlarından görülebileceği üzere,
f (x,y) nin x e göre kısmi türevi fx hesaplanırken,
y sabit kabul edilerek x e göre türev alınır;
fy hesaplanırken de x sabit kabul edilerek y ye
göre türev alınır. Bu hesaplar yapılırken daha
önce bir değişkenli fonksiyonlar için elde edilmiş
olan tüm türev alma kuralları geçerlidir.
32
Cobb-Douglas Üretim Fonksiyonu:
İki girdiye dayanan bir üretim sonucu elde edilen tek bir
çıktıyı o girdiler cinsinden ifade etmek için kullanılan
Cobb-Douglas üretim fonksiyonu, üretimde kullanılan
yıllık işgücünün parasal karşılığı x ve toplam sermaye y,
bir yıllık toplam çıktının parasal karşılığı z = f(x,y) ile
gösterilmek üzere f (x, y)  Cx m y n gibi bir denklemle
tanımlanır.
Denklemde görülen C, m ve n sabitlerdir. C sabiti, girdiler
dışında toplam çıktıya etki eden unsurları, örneğin,
ekonominin uzun vadede teknolojik dinamizmini yansıtan
bir sayıdır. m sabiti, işgücünde bir değişim söz konusu
olduğunda, toplam çıktıda meydana gelen değişim
yüzdesinin işgücündeki değişim yüzdesine oranı olarak
33
tanımlanır
Örnek olarak, m = 0.2 ise, işgücündeki %1 lik artış,
toplam çıktıda yaklaşık % 0.20 lik artışa yol açar. n
sabiti, sermayede bir değişim söz konusu olduğunda,
toplam çıktıda ortaya çıkan değişim yüzdesinin
sermayedeki değişim yüzdesine oranı olarak belirlenir.
Cobb-Douglas üretim fonksiyonunda m+n=1 kabul edilir
ki bu durumda f(2x,2y)=2f(x,y),yani işgücü ve sermaye
her ikisi de iki katına çıkarıldığı takdirde toplam çıktı da
iki katına çıkar.
Cobb-Douglas üretim fonksiyonları, bir tek endüstrinin
verimliliğini açıklamak için kullanılabileceği gibi birkaç
endüstrinin birden hatta bir ülkenin tüm endüstrilerinin
verimliliğini analiz etmek için de kullanılabilir.
34
Cobb-Douglas üretim fonksiyonu f nin x e göre kısmi
türevi f x (x, y) , üretilen ürünün karşılığının kullanılan
işgücüne göre değişim oranını vermektedir ve marjinal
işgücü verimliliği olarak adlandırılır. f y (x, y) kısmi
türevi de üretilen ürünün karşılığının kullanılan
sermayeye göre değişim oranını vermektedir ve marjinal
sermaye verimliliği olarak adlandırılır.
Örnek: Bilgisayar üreten bir şirketin verimliliği, x birim
işgücü ve y birim sermaye kullanılması durumunda
yaklaşık olarak z  f (x, y)  20x 0,4 y0,6 denklemi ile
tanımlanan Cobb-Douglas üretim fonksiyonu ile
verilmiştir.
35
a) Şirket şu anda 3000 birimlik işgücü ve 2500 birimlik
sermaye kullandığına göre marjinal işgücü verimliliğini ve
marjinal sermaye verimliliğini bulunuz.
b) 3000 birimlik işgücü ve 2500 birimlik sermaye
kullanılırken işgücü artırılarak mı yoksa sermaye
artırılarak mı verimlilikte daha çok artış sağlanacağını
belirleyiniz.
0,6 0,6
0,4 0,4
f
(x,
y)

8x
y
vef
(x,
y)

12x
y
Çözüm: a)
x
y
0,6
0,6
olup f x (3000,2500)  8(3000) (2500)  35,56 ve
f y (3000,2500)  12(3000)0,4 (2500) 0,4  12,91
dir. Dolayısıyla, 3000 birimlik işgücü ve 2500 birimlik
sermaye kullanılması durumunda marjinal işgücü
verimliliği 35.56 marjinal sermaye verimliliği de 12.91
olur.
36
b) 3000 birimlik iş gücü ve 2500 birimlik sermaye
kullanılırken sermaye sabit tutulmak kaydıyla işgücündeki
her 1 birimlik artış verimlilikte 35.56 birimlik artış
sağlayacak; işgücü sabit tutulmak kaydıyla sermayedeki her
1 birimlik artış ise verimlilikte 12.91 birimlik artış
sağlayacaktır. Bu nedenle, işgücü artırılarak verimlilikte
daha çok artış sağlanacağı görülmektedir.
Örnek: Bir şirketin ürettiği ürünün parasal değeri, x
birim işgücü ve y birim sermaye kullanılması durumunda
yaklaşık olarak z  f (x, y)  10x 0,65 y0,35 denklemi ile
ifade edilmektedir.
37
a) Şirket şu anda 300 birimlik işgücü ve 250 birimlik
sermaye kullandığına göre marjinal işgücü verimliliğini ve
marjinal sermaye verimliliğini bulunuz.
b) 300 birimlik işgücü ve 250 birimlik sermaye
kullanılırken işgücü artırılarak mı yoksa sermaye
artırılarak mı verimlilikte daha çok artış sağlanacağını
belirleyiniz.
Çözüm: a) f x (x, y)  (6,5)x 0,35 y 0,35
olup
0,65 0,65
f y (x, y)  (3,5)x y
f x (3000,2500)  (6,5)(300) 0,35 (250)0,35  6,98
f y (3000,2500)  (3,5)(300)0,65 (250) 0,65  3,94
dür.
38
Dolayısıyla, 3000 birimlik işgücü ve 2500 birimlik
sermaye kullanılması durumunda marjinal işgücü
verimliliği 35.56 marjinal sermaye verimliliği de 12.91
olur.
b) 300 birimlik iş gücü ve 250 birimlik sermaye
kullanılırken sermaye sabit tutulmak kaydıyla işgücündeki
her 1 birimlik artış verimlilikte 6.98 birimlik artış
sağlayacak; işgücü sabit tutulmak kaydıyla sermayedeki her
1 birimlik artış ise verimlilikte 3.94 birimlik artış
sağlayacaktır. Bu nedenle, işgücü artırılarak verimlilikte
daha çok artış sağlanacağı görülmektedir.
39
z = f(x,y)=x2 (2 – 3y)+5y+1 için
2
z
z 4x  6xy,
 3x  5
f y (x, y) 
f x (x, y) 

x
x
f(x  h, y) - f(x, y)
veya
f x (x, y)  lim
h0
h
(x  h)2 (2  3y)  5y  1   x 2 (2  3y)  5y  1
 lim
h0 h(2x  h)(2  3y) h
Örnekler:
 lim
h0
h
 2x(2  3y)  4x  6xy
f(x, y  h) - f(x, y)
f y (x, y)  lim
h 0
h
2x 2  3x 2 (y  h)  5(y  h)  1  x 2 (2  3y)  5y  1
 lim
h 0
h

h(-3x 2  5)
 lim
 3 x 2  5
h 0
h

40
(2,3) noktasındaki türevleri bulalım.
z
z
f ( x, y ) 
  3x 2  5
f x ( x, y)   4 x  6 xy,
y
x
x
2  5  7.

3
.
2
f
(
2
,
3
)

f x (2,3)  4.2  6.2.3  28, y
x 2 (2  3y)  5y  1  f(2,3)
f x (2,3)  lim

y3
x2
x 2
 7x 2  16  (8  36  16)
 7x 2  28
 7(x 2  4)
lim
 lim
 lim
x 2
x 2
x 2
x2
x2
x2
 7(x  2)(x  2)
 lim
 lim  7(x  2)  28
x 2
x 2
x2
41
x 2 (2  3y)  5y  1  f(2,3)
f y (2,3)  lim

x 2
x2
y 3
8  12y  5y  1  (-28  16)
 7y  21
lim
 lim

y 3
y 3
y3
y3
 7(y  3)
lim
 7
y 3
y3
z = f(x,y)=exy-2x + 3xy2 + 5x+4 için
z xy  2 x
0.(2)  3.0  5  3
2
e
f
(
0
,
0
)

f x ( x, y)  e
.( y  2)  3 y  5, x
x
z e xy  2 x .( x )  6 xy ,
f y ( x, y)  
x
f (0,0)  e0.(0)  6.0  0.
y
42
z = f(x,y) = x4 y7 için
z 4 x 3 y 7
f x ( x, y)  
x
f x (3,2)  4.33.27  4.27.128,
, f y ( x, y) 
z
 7 x4 y6
x
f y ( 3,2 )  7.34.26  7.81.64.
43
İKİNCİ MERTEBEDEN KISMİ TÜREVLER:
z = f(x,y) verilsin.
zx = fx (x,y) ,
zy = fy (x,y)
z xx
  z   2 z

   2  f xx ( x , y )
x  x  x
z xy
  z   2 z

 f xy ( x , y )
 
y  x  yx
z yx
  z   2 z
  

 f yx ( x , y )
x  y  xy
z yy
  z   2 z
   2  f yy ( x , y )

y  y  y
Birinci mertebeden
kısmi türevler
İkinci mertebeden
kısmi türevler
44
Daha yüksek mertebeden kısmi türevlerin de
benzer biçimde tanımlanabileceği açıktır.
Örneğin, zxyyxy ifadesi, sırasıyla x e göre
türevi, sonra onun y ye göre türevi, sonra elde
edilenin yine y ye göre türevi, sonra elde
edilenin tekrar x e göre türevi ve nihayet
sonda elde edilenin y ye göre türevi
alınacağını gösterir.
45
Örnekler:
z = f(x,y)=2x2 – 3x2y+5y+1 için
z x  4x  6xy
z xx  4 6 y ,
z xxy   6
,
z xy   6 x
f xx (2,3)  4  6.3  14
z y  3x2  5
,
z yx   6 x
,
z yy  0
f xy (2,3)   6.2  12
,
z = f(x,y)=exy-2x + 3xy2 + 5x+4 için
z x  e xy  2x.( y  2)  3 y 2  5
z xx
 e xy  2x.( y  2).( y  2)
,
,
z y  e xy  2x.(x)  6xy
z xy  e xy  2x.(x).( y  2)  e xy  2x.(1)  6 y
z = f(x,y)=x4 y7 için
3 7
z x  4x y
,
z y  7 x4 y6
, z xx  12x 2 y 7
, z yy 
42x 4 y 5
46
Üç veya Daha Çok Değişkenli Fonksiyonlarda
Kısmi Türevler.
Değişken sayısı ikiden çok olan fonksiyonlar için de kısmi
türevler benzer biçimde tanımlanır. Bir değişkene göre
kısmi türev hesaplanırken, diğer değişkenler sabit kabul
edilerek bilinen türev alma kuralları kullanılır. Örneğin, w
= f (x,y,z) denklemi ile tanımlanan üç değişkenli f
fonksiyonunun üç tane birinci mertebeden kısmi türevi
f (x  h, y, z)  f (x, y, z)
f x (x, y, z)  lim
h 0
h
f (x, y  k, z)  f (x, y, z)
f y (x, y, z)  lim
k 0
k
f (x, y, z  t)  f (x, y, z)
t 0
t
f z (x, y, z)  lim
dır.
47
Bu durumda da benzer gösterimler kullanılır:
w
w
w
wx 
 f x (x, y,z), w y 
 f y (x, y,z), w z 
 f z (x, y,z)
x
y
z
Örnek:
w = f (x,y,z) = e
xyz
 xy z
2 3
için
w x  e yz  y z
xyz
2 3
w y  e xz  2xyz
xyz
3
w z  e xy  3xy z
xyz
2 2
48
ÖDEVLER
1. Aşağıdaki çok değişkenli fonksiyonların yanlarında
verilen noktalardaki değerlerini hesaplayınız.
a) V(r,h)  r 2h, A(2,4)
b) F(p,r,h)  p  prt ; A(100,0,12,3)
c) F(p,r,h)  pert ; A(100, 0,08,10)
d) f (x, y)  5x 2  6x  4y 2  2x  3, A(1,2)
2. Ambalaj kutusu üreten bir firmada aşağıdaki şekilde
görüldüğü gibi üstü açık bir kutu imal edilecektir.
Kullanılacak malzemenin alanını veren F fonksiyonunu
yazınız ve F(10,12,6) değerini bulunuz.
z
x
y
49
3. Bir firma A ve B türü ilaç üretmektedir. A türü ilacın
fiyatı p, B türü ilacın fiyatı q TL dir. A türü ilaç için
haftalık talep x adet, B türü ilaç için haftalık talep y
adettir. A ilacı için haftalık fiyat-talep denklemi
p  230  9x  y B ilacı için haftalık fiyat talep
denklemi q  130  x  4y Haftalık gider fonksiyonu
C(x, y)  200  80x  30y dır.
a) Haftalık gelir ve kar fonksiyonlarını yazınız.
a) A türü ilaçtan 10 adet, B türü ilaçtan 15 adet
üretilip satılması durumunda elde edilen geliri ve karı
hesaplayınız.
50
4. z  2x 2  y2 Fonksiyonu veriliyor.
a) y = 0, y = 1, y = 2 düzlemleri ile ara kesitlerini
bulunuz ve grafiklerini çiziniz.
b) x = 0, x = 1, x = 2 düzlemleri ile arakesitlerini
bulunuz ve grafiklerini çiziniz.
5. Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini R3 te çiziniz..
2
2
2
2
b)
z

2x

3y
a) z  x  y
c) z  1  x 2  y2
2
2
2
d) z  2  2x 2  3y 2 e) 4  x  y f ) z  y
2
g) z  x h) y  x ı) z  1  x 2 i) y  x  1
51