Ders 122-05:Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler

48
Bölüm
5
Ders 05
Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler
5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05
Prof.Dr.Haydar Eş
Prof.Dr.Timur Karaçay
1. Soru 1
Aşağıda verilen soru işaretlerinin yerine gelmesi gereken değerleri veya
ifadeleri yazınız.
a)
100y
x
100 × 12
f (12, 8) =
= 150
8
f (x, y) =
b)
V (h, r ) = πr 2 h
V (2, 4) = (3.14159)(4 × 4) × 2 = 100.531
= 32π
49
50
BÖLÜM 5. DERS 05
c)
B (A, r, t ) = A + Ar t
B (100, 0.06, 3) = 100 + 100 × 0.06 × 3 = 118
ç)
B (A, r, t ) = Ae r t
B (100, 0.06, 3) = 100 × e 0.08×10 = 100 × e 0.8 = 222.554
d)
G(x, y) = −5x 2 + 6x y − 4y 2 + 2x + 3
G(1, 2) = −5(12 ) + 6(1)(2) − 4(22 ) + 2(1) + 3 = −5 + 12 − 16 + 2 + 3
= −4
G(x + h, y + k) = −5(x + h)2 + 6(x + h)(y + k) − 4(y + k)2 + 2(x + h) + 3
= −5x 2 − 10xh − 5h 2 + 6x y + 6xk + 6yh + 6hk
− 4y 2 − 8yk − 4k 2 + 2x + 2h + 3
e)
f (x, y, z) = 2x y 2 z 3
f (x + h, y, z) − f (x, y, z) 2(x + h)y 2 z 3
=
h
h
3x y 2 z 3 + 2h y 2 z 3 − 2x y 2 z 3
=
h
2h y 2 z 3
=
h
= 2y 2 z 3
f (x, y, z + t ) − f (x, y, z) 2x y 2 (z + t )3 − 2x y 2 z 3
=
t
t
2x y 2 (z 3 + 3z 2 t + 3zt 2 + t 3 ) − 2x y 2 z 3
=
t
2x y 2 z 3 + 2x y 2 (3z 2 t + 3zt 2 + t 3 ) − 2x y 2 z 3
=
t
= 2x y 2 (3z 2 + 3zt + t 2 )
2. Soru 2
Ambalaj işi yapan bir şirkette Şekil 5.1’de görüldüğü gibi iki bölmeli, üstü
açık bir kutu üretilmek istenmektedir. Kutunun boyutları x, y ve z ile gösterilirse, bu kutunun yapılması için gereken malzemenin toplam alanını
5.1. ÇÖZÜMLER:ALIŞTIRMALAR 05
51
x, y, z nin fonksiyonu olarak A(x, y, z) biçiminde ifade ediniz ve bu fonksiyon için ,A(10, 12, 6) değerini bulunuz.
Şekil 5.1: kutu
Çözüm:
A(x, y, z) = x y + 2(x + y)z + y z
= x y + 2xz + 3y z
A(10, 12, 6) = 120 + 2(22)(6) + 12(6) = 456
3. Soru 3
Bir şirket, 5 raflı ve 3 raflı kitaplıklar üretmektedir. Bir 5 raflı kitaplığın
satış fiyatı p TL, bir 3 raflı kitaplığın satış fiyatı q TL; 5 raflı kitaplıklar için
haftalık talep x adet, 3 raflı kitaplıklar için haftalık talep y adet ve ayrıca
haftalık gider M = M (x, y) olmak üzere fiyat-talep ve gider fonksiyonları
p = p(x, y) = 460 − 9x + 2y,
q = q(x, y) = 260 + x − 8y,
M = M (x, y) = 400 + 80x + 60y
olarak veriliyor. Haftalık gelir fonksiyonu G = G(x, y), haftalık kâr fonksiyonu K = K (x, y) yi; G(20, 15)i ve K (20, 15) i bulunuz.
Çözüm:
G = G(x, y = px + q y
= 460x − 9x 2 + 2y x + 260y + x y − 8y 2
= 460x + 260y − 9x 2 + 3x y − 8y 2
52
BÖLÜM 5. DERS 05
K = K (x, y) = G(x, y) − M (x, y)
= −400 + 380x + 200y − 9x 2 + 3x y − 8y 2
G(20, 15) = −8(202 ) − 6(152 ) − 14(20(15) + 720(20) + 720(15)
= 8600
K (20, 15) = 5700
4. Soru 4
z = 2x 2 + y 2 nin grafiğinin
a) y = 0, y = 1, y = 2 düzlemlerinden her biri ile kesişimini belirleyiniz ve
grafikle gösteriniz,
b) x = 0, x = 1, x = 2 düzlemlerinden her biri ile kesişimini belirleyiniz ve
grafikle gösteriniz,
c) z = 0, z = 1, z = 2 düzlemlerinden her biri ile kesişimini belirleyiniz ve
grafikle gösteriniz. Bu grafiği çiziniz.
Çözüm: Şekil 5.2 z = 2x 2 + y 2 yüzeyini gösteriyor. Bu yüzeyin;
(i))
(a) y=0 düzlemi ile kesişimi (x,z) düzleminde z = 2x 2 parabolüdür. (x,y)
düzlemi üç boyutlu uzayda z=0 düzlemidir.
(b) y=1 düzlemi ile kesişimi (x,z) düzlemine paralel olan y=1 düzleminde
z = 2x 2 + 1 parabolüdür.
(c) y=2 y=0 düzlemi ile kesişimi (x,z) düzlemine paralel olan y=2 düzleminde z = 2x 2 + 4 parabolüdür.
(ii))
(a) z=0 konulunca 2x 2 + y 2 = 0 =⇒ y 2 = −2x 2 olmalıdır. Sol taraf her
gerçel y sayısı için daima pozitif, sağ taraf ise her gerçel x sayısı için
negatiftir. Dolayısıyla bu koşulu sağlayan x,y gerçel sayıları yoktur.
(b) z=1 düzlemi ile kesişimi (x,y) düzlemine paralel olan z = 1 düzleminde 1 = 2x 2 + y 2 =⇒ y 2 = 1 − 2x 2 eğrisidir. 1 ≥ 2x 2 için tanımlıdır.
(c) z=2 y=0 düzlemi ile kesişimi (x,y) düzlemine paralel olan z = 2 düzleminde 2 = 2x 2 +y 2 =⇒ y 2 = 2−2x 2 eğrisidir. 2 ≥ 2x 2 için tanımlıdır.
5.1. ÇÖZÜMLER:ALIŞTIRMALAR 05
Şekil 5.2: z = 2x 2 + y 2 yüzeyi
5. Soru 5
Aşağıda verilen iki değişkenli fonksiyonların grafiğini çiziniz.
a) z = 2x 2 + 3y 2 ,
Bakınız: Şekil 5.3
y = 0, 1, 2
53
54
BÖLÜM 5. DERS 05
Şekil 5.3: z = 2x 2 + 3y 2
5.1. ÇÖZÜMLER:ALIŞTIRMALAR 05
b) z = 1 + 2x 2 + 3y 2 ,
x = 0, 1, 2
Bakınız: Şekil 5.4
Şekil 5.4: z = 1 + 2x 2 + 3y 2
55
56
BÖLÜM 5. DERS 05
c) z = 1 − 2x 2 − 3y 2 , z = 0, 1, 2
Bakınız: Şekil 5.5
Şekil 5.5: z = 1 − 2x 2 − 3y 2
6. Aşağıda verilen fonksiyonlardan her biri için istenen kısmi türevlerini bulunuz.
5.1. ÇÖZÜMLER:ALIŞTIRMALAR 05
a)
f (x, y) = 5x 3 − 3x y 4 + 12 = z
¢ ∂z
∂ ¡ 3
fx =
5x − 3x y 4 + 12 =
∂x
∂x
d
=
[5x 3 − 3x y 4 + 12]
dx
= 15x 2 − 3y 4
¢ ∂z
∂ ¡ 3
fy =
5x − 3x y 4 + 12 =
∂y
∂y
= −12x y 3
f x y = f y x = −12y 3 =
f y y = −36x y 2 =
∂2 z
∂y 2
f x (1, 2) = 15 − 48 = −33
f y (1, 2) = −96
∂2 z
∂2 z
=
∂x∂y ∂y∂x
57
58
BÖLÜM 5. DERS 05
b)
f (x, y) = x 2 − 4x y + 3y 2 + 5x − 8y + 15 = z
¢ ∂z
∂ ¡ 2
fx =
x − 4x y + 3y 2 + 5x − 8y + 15 =
∂x
∂x
d 2
2
[x − 4x y + 3y + 5x − 8y + 15]
=
dx
= 2x − 4y + 5
¢ ∂z
∂ ¡ 2
fy =
x − 4x y + 3y 2 + 5x − 8y + 15 =
∂y
∂y
= −4x + 6y − 8
fx y =
∂2 z
∂2 z
= −4 =
∂x∂y
∂y∂x
∂2 z
∂2 z
=2= 2
∂x∂x
∂x
∂2 z
∂2 z
= 2 =6=
∂y
∂y∂y
f xx =
fyy
f x (1, 2) = 1 − 8 + 5 = −1
f y (1, 2) = −4 + 12 − 8 = 0
Ayrı ayrı hesap istenirse, aşağıdakiler yazılabilir:
f (x, y) = z = 5x 3 − 3x y 4 + 12
∂z
∂x
= 15x 2 − 3y 4
f x = zx =
µ
¶
∂z ∂
∂2 z
f (x, y) = 2
∂x ∂x
∂x
¡
¢
∂
fx
=
∂x
= 30x
f xx =
5.1. ÇÖZÜMLER:ALIŞTIRMALAR 05
a3)
f (x, y) = 5x 3 − 3x y 4 + 12
¢
∂ ¡ 3
fy =
5x − 3x y 4 + 12
∂y
d
=
[5x 3 − 3x y 4 + 12]
dy
= −12x y 3
a3)
f (x, y) = 5x 3 − 3x y 4 + 12
µ
¶
∂ ∂
fyy =
f (x, y) =
∂y ∂y
∂ ¡ ¢
=
fy
∂y
d
[−12x y 3 ]
=
dy
= −36x y 2
a4)
f (x, y) = 5x 3 − 3x y 4 + 12
µ
¶
∂ ∂
fx y =
f (x, y)
∂y ∂x
∂ ¡ ¢
=
fx
∂y
d
[15x 2 − 3y 4 ]
=
dy
= −12y 3
a5)
f (x, y) = 5x 3 − 3x y 4 + 12
¢
∂y ¡
fyx =
−12x y 3 =
∂x
∂ ¡ ¢
=
fy
∂x
d
=
[−12x y 3 ]
dx
= −12y 3
59
60
BÖLÜM 5. DERS 05
a6)
¡
¢
f x (1, 2) = 15x 2 − 3y 4 x=1,y=2 = 15 − 3(16) = −33
¡
¢
f y (1, 2) = −12x y 3 x=1,y=2 = −96
b)
f (x, y) = x 2 − 4x y + 3y 2 + 5x − 8y + 15
¢
∂ ¡ 2
x − 4x y + 3y 2 + 5x − 8y + 15
fx =
∂x
d 2
=
[x − 4x y + 3y 2 + 5x − 8y + 15]
dx
= 2x − 4y + 5
¢
∂ ¡ 2
fy =
x − 4x y + 3y 2 + 5x − 8y + 15
∂y
= −4x + 6y − 8
f x y = f y x = −4
fyy = 6
f x (1, 2) = 2 − 8 + 5 = −1
f y (1, 2) = −4 + 12 − 8 = 0
c)
2
f (x, y) = e 2x+y
∂ ³ 2x+y 2 ´
e
fx =
∂x
d 2x+y 2
[e
]
=
dx
2
= 2e 2x+y
∂ ³ 2x+y 2 ´
fy =
e
∂y
= 2ye 2x+y
2
f x y = f y x = 4ye 2x+y
2
2
f y y = 2e 2x+y + 4y 2 e 2x+y
f x (1, 2) = 2e 6
f y (1, 2) = 4e 6
2
5.1. ÇÖZÜMLER:ALIŞTIRMALAR 05
c)
¡
¢
f (x, y) = (x 3 − x y 2 )2 = z
¢ ∂z
∂ ¡ 3
fx =
(x − x y 2 )2 =
∂x
∂x
¢
d ¡ 3
=
(x − x y 2 )2
dx
= 6x 5 − 2x 3 y − 6x 3 y 2 + 2x y 4
¢
∂ ¡ 3
x − x y 2 )2
fy =
∂y
= 4x 4 − 4x 2 y 3
f x y = −2x 3 − 12x 3 y + 8x y 3 = f y x
f y y = 4x 4 − 12x 2 y 2
f x (1, 2) = 6 − 4 − 24 + 32 = 10
f y (1, 2) = 4 − 64 = −60
d)
x y
+
y x
µ
¶
∂ x y
∂z
fx =
+
=
∂x y x
∂x
d x y
=
[ + ]
dx y x
1
y
= − 2
y x
µ
¶
∂ x y
fy =
+
∂y y x
1
x
=− 2 +
y
x
f (x, y) =
fx y = f yx = −
fyy =
2x
y3
f x (1, 2) = −
f y (1, 2) =
3
4
3
2
x2 + y 2
x2 y 2
61
62
BÖLÜM 5. DERS 05
7. Soru 7
f (x, y) = x 2 y 2 + x 3 + y
fonksiyonu için aşağıdaki türevleri hesaplayınız:
a)
f (x, y) = x 2 y 2 + x 3 + y
¢
∂ ¡ 2 2
fx =
x y + x3 + y
∂x
d 2 2
=
[x y + x 3 + y]
dx
= 2x y 2 + 3x 2
f y = 2x 2 y
b)
f (x, y) = x 2 y 2 + x 3 + y
¢
∂2 ¡ 2 2
x y + x3 + y
2
∂x µ
¶
∂ ∂ 2 2
3
=
[x y + x + y]
∂x ∂x
∂ ¡ ¢
=
fx
∂x
d
[2x y 2 + 3x 2 ]
=
dx
= 2y 2 + 6x
f xx =
c)
f (x, y) = x 2 y 2 + x 3 + y
µ
¶
∂ ∂
fx y =
f (x, y)
∂y ∂x
∂ ¡ ¢
=
fx
∂y
d
=
[2x y 2 + 3x 2 ]
dy
= 4x y
5.1. ÇÖZÜMLER:ALIŞTIRMALAR 05
ç)
f (x, y) = x 2 y 2 + x 3 + y
µ
¶
∂ ∂
fyx =
f (x, y)
∂x ∂y
∂ ¡ ¢
fy
=
∂x
¢
∂ ¡ 2
=
2x y + 1
∂x
d
=
[2x 2 y + 1]
dx
= 4x y
d)
f (x, y) = x 2 y 2 + x 3 + y
f x = 2x y 2 + 3x 2
f y = 2x 2 y + 1
f x y = 4x y
f y x = 4x y
µ
¶
∂ ∂
f (x, y)
fyy =
∂y ∂y
∂ ¡ ¢
=
fy
∂x
¢
∂ ¡ 2
=
2x y + 1
∂y
d
=
[2x 2 y + 1
dy
= 2x 2
8. Soru 8
K (x, y) = −x 2 + 2x y − 2y 2 − 4x + 12y − 5
fonksiyonu için istenen denklem sistemini sağlayan x ve y yi bulunuz.
¢
∂ ¡ 2
−x + 2x y − 2y 2 − 4x + 12y − 5
∂x
= −2x + 2y − 4
¢
∂ ¡ 2
K y (x, y) =
−x + 2x y − 2y 2 − 4x + 12y − 5
∂y
K x (x, y) =
= 2x − 4y + 12
63
64
BÖLÜM 5. DERS 05
K x (x, y) = −2x + 2y − 4 = 0
K y (x, y) = 2x − 4y + 12 = 0
=⇒ x = 2,
y =4
9. Soru 9
Üçüncü alıştırmada bulduğunuz kâr fonksiyonu K (x, y) için K x (20, 15) ve
K y (20, 15) değerlerini bulunuz; bu değerleri yorumlayınız.
K = K (x, y) = −400 + 380x + 200y − 9x 2 + 3x y − 8y 2
K x (x, y) = 380 − 18x + 3y
K y (x, y) = 200 + 3x − 16y
K x (20, 15) = 380 − 360 + 45 = 65
K y (20, 15) = 200 + 60 − 240 = 20
5 raflı kitaplık için haftalık talep 20 ise her bir 1 birimlik artış karda 65 birimlik artış sağlar. 5 raflı kitaplık için haftalık talep 15 ise her bir 1 birimlik
artış karda 20 birimlik artış sağlar.
10. Soru 10
Bir şirketin ürettiği ürünün parasal karşılığı, x birim işgücü ve y birim
sermaye kullanılması durumunda yaklaşık olarak f (x, y) = 10x 0.65 y 0.35
denklemi ile ifade edilmektedir.
a) Şirket şu anda 300 birimlik işgücü ve 250 birimlik sermaye kullandığına göre marjinal işgücü verimliliğini ve marjinal sermaye verimliliğini
bulunuz.
b) 300 birimlik işgücü ve 250 birimlik sermaye kullanılırken işgücü artırılarak mı yoksa sermaye artırılarak mı verimlilikte daha çok artış sağlanacağını belirleyiniz.
Çözüm:
a) Marjinal işgücü verimliliği:
f x = 10(0.65)x −0.35 y 0.35 =⇒ f x (300, 250) = 6.5(300−0.35 (2500.35 ≈ 6.098
Marjinal sermaye verimliliği:
f y = 10(0.35)x 0.35 y −0.65 =⇒ f y (300, 250) = 3.5(3000.35 (250−0.65 ≈ 3.94
b) Yukarıdaki eşitliklerden görüldüğü gibi, işgücü artarsa verimlilik daha
çok artmaktadır.
5.1. ÇÖZÜMLER:ALIŞTIRMALAR 05
65
11. Soru 11
Bir şirket her hafta gazete reklamları için x TL, televizyon reklamları için y
TL harcamaktadır. Şirketin haftalık cirosu, x ve y ye bağlı olarak, S(x, y] =
10x 0.8 y 0.4 denklemi ile verilmektedir. S x (2000, 1500) ve S y (2000, 1500) değerlerini bulunuz ve yorumlayınız.
Çözüm:
S x = 10(0.8)x −0.2 y 0.4 =⇒ S x (2000, 1500) = 8(2000−0.2 (15000.4 ≈ 326077
S y = 10(0.4)x 0.8 y −0.6 =⇒ f y (2000, 1500) = 4(20000.4 (1500−0.6 ≈ 1.03848
2000 birimlik gazete ve 1500 birimlik TV reklamı için marjinal gazete verimliliği 326.077 ve marjinal TV verimliliği 1.03848 birimliktir. Bu demektir ki, TV reklamları için y sabit tutulduğunda TV reklamlarındaki her birimlik artış verimlilikte 326.077 birimlik artış sağlayacaktır. Gazete reklamları için x sabit tutulduğunda gazete reklamlarındaki her birimlik artış verimlilikte 1.03848 birimlik artış sağlayacaktır. O halde TV reklamları
verimlilikte daha çok artış sağlar.
12. Soru 12
w = f (x, y, z) = x y z − x 3 + y 2 z − 25 için aşağıdakileri bulunuz.
w x = y z − 3x 2
w y = xz + 2y z
wz = x y + y2
wx y = z
w xx = −6x
¶
µ
¢
∂ ∂
∂ ¡
wz y =
[x y z − x 3 + y 2 z − 25] =
x y + y 2 ] = x + 2y
∂y ∂z
∂y
¡
¢
∂ ∂ ∂ ∂
w xzz y =
x y z − x 3 + y 2 z − 25
∂y ∂z ∂z ∂x
¢
∂ ∂ ∂ ¡
y z − 3x 2
=
∂y ∂z ∂z
∂ ∂ ¡ ¢
y
=
∂y ∂z
∂
=
(0)
∂y
=0