3.2 basit harmonik hareket (bhh)

BÖLÜM-3
3.1
FİZİKSEL SİSTEMLERİN SERBEST SALINIMLARI
Bu bölümde periyodik titreşim hareketi yapan fiziksel sistemler incelenecektir.
Periyodik titreşim hareketi, denge konumu etrafında eşit zaman aralıklarında
kendini tekrarlayan harekettir. Titreşim hareketlerinin fiziksel temellerinin iyi
anlaşılması gerekir. İleriki konularda ele alacağımız dalga olaylarının temelinde
titreşim hareketi yapan fiziksel nicelikler olduğunu göreceğiz.
3.2
BASİT HARMONİK HAREKET (BHH)
En basit salınım hareketi, geri çağırıcı kuvvetin (𝐹) yer değiştirme (x) ile doğru
orantılı olduğu durumda görülür. Serbest uzunluğundan itibaren bir yayı x kadar
uzatıp (veya sıkıştırdığımızda) yay uzama (veya sıkışma) miktarı ile orantılı bir
kuvvet uygular. Bu kuvvet her zaman yayın uzamasına (veya sıkışmasına) zıt
yöndedir. Kuvvet-yer değiştirme ilişkisi Robert Hooke tarafından basit bir şekilde
ifade edilmiştir:
𝐹 = −𝑘𝑥
(3.1)
Bu ilişki ideal bir yay için geçerlidir ve Hook Yasası olarak adlandırılır. Eksi
işareti yayın uyguladığı kuvvetin geri çağırıcı olduğunu temsil eder. Burada k
orantı sabitine yay sabiti (veya kuvvet sabiti) denir. Yay sabiti her zaman
pozitiftir ve birimi SI-birim sisteminde N/m ile tanımlıdır.
Şimdi sürtünmesiz yatay düzlemde bir doğru boyunca titreşim hareketi yapan
kütle-yay sistemine yakından bakacağız (Şekil-3.1).
1
Şekil-3.1 Hava rayı üzerinde BHH yapan kütle-yay sistemi.
3.2.1 Yatay doğrultuda kütle-yay sistemi
Şekil-3.2’deki kütle x kadar sağa doğru çekilip serbest bırakılısa, kütle denge
konumu etrafında salınım hareketi yapmaya başlar. Bu olayın sürtünmesiz hava
rayı üzerinde olduğunu kabul edelim.
Şekil-3.2.Yatay düzlemde kütle-yay sisteminin hareketi.
Şekildeki yayın Hook yasasına uyan bir yay olduğunu kabul edeceğiz. Bu durumda geri
çağırıcı kuvvet için için
𝐹 = −𝑘𝑥 (3.2a) yazabiliriz. 2. Newton yasasından
(3.2b)
olacağını biliyoruz. Bu iki bağıntı kullanılarak
(3.3a) veya
(3.3b)
yazabiliriz. Burada 𝑚𝑘 ’nin değeri her zaman pozitif olduğu için 𝜔02 = 𝑘/𝑚 olacak
şekilde bir
0
niceliği tanımlayabiliriz. Bu durumda (3.3b) denklemi
(3.4)
2
olur. Bu, sürtünmesiz yatay düzlemde bir doğru boyunca titreşim hareketi yapan
kütle-yay sisteminin hareket denklemidir.
3.2.2 Düşey doğrultuda kütle-yay sistemi
Şekil-3.3a’daki kuvvet sabiti k olan yayın ucuna kütlesi m olan bir cisim
bağlayalım.
Şekil-3.3 Düşey konumda kütle-yay sistemi.
Şekil-3.3b’de cisim denge konumundadır, bu konumda yay ∆𝑙 kadar uzamıştır.
Yayın cisim üzerinde yukarı doğru uyguladığı 𝑘∆𝑙 kuvveti, cismin ağırlığını
(𝑚𝑔) dengeleyecek kadardır yani
𝑘∆𝑙 = 𝑚𝑔
Denge noktasını 𝑥 = 0 ve pozitif x yönünü de yukarı doğru seçelim. Cisim denge
noktasının x kadar yukarısında olduğu zaman (Şekil-3.3c) yayın uzaması ∆𝑙 − 𝑥
kadardır. Yayın cisme uyguladığı yukarı doğru kuvvet 𝑘(∆𝑙 − 𝑥 )’dir. Cisme
etkiyen net (bileşke) kuvvet,
𝐹𝑛𝑒𝑡= 𝑘(∆𝑙 − 𝑥 ) + (−𝑚𝑔) = −𝑘𝑥
olacaktır. 2.Newton yasasından
yazabiliriz. Bu denklem, 𝜔02 = 𝑘/𝑚 seçilerek,
(3.5)
3
formunda yazılabilir. Bu sonuç Eşitlik-3.4 ile aynıdır. Dolaysıyla sürtünmesiz
yatay doğrultudaki kütle-yay sistemi ile düşey doğrultudaki kütle-yay sisteminin
hareket denklemlerinin aynı olduğuna dikkat ediniz. Bu hareket denklemi sabit
katsayılı ikinci dereceden homojen bir diferansiyel denklemdir. Bu denklemin
çözümü için
𝑥 = 𝐶1𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑡 + 𝐶2𝑠𝑖𝑛𝜔0𝑡 (3.6a) yazabiliriz. Burada 𝐶1 ve 𝐶2 sabitler olup, başlangıç
koşullarından tayin edilir.
Bu denklemin çözümü için çoğu kez
𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔0𝑡 +
ifadesi kullanılır. Burada x uzanım, A genlik,
)
(3.6b)
açısal frekans ve
faz
sabitidir. Sonuç olarak her iki durumda da sistemin basit harmonik hareket
(BHH) yaptığı anlaşılır. Bu nedenle
denklemi basit harmonik hareketi tanımlayan hareket denklemidir. İleride bu
denklem ve çözümü ile sık karşılaşacaksınız.
Şekil-3.4’de uzanımın (x), hızın (v) ve ivmenin (a) zamana bağlı değişimi 𝜑 = 0
özel durumu için verilmiştir.
4
Şekil-3.4.Uzanımın (𝑥), hızın(𝑣 = 𝑥) ve ivmenin (𝑎 = 𝑥) zamana (𝑡) bağlı
değişimi.
3.2.3 Yayların bağlanması
Mekanik sistemlerde yaylar sisteme paralel ve seri bağlanabilmektedir veya
bunların karışımı bağlantılar da yapmak mümkündür. Burada sadece iki yayın
paralel ve seri bağlanması verilecektir.
3.2.3.1 Paralel bağlı yaylar
Şekil-3.5 Paralel bağlı yaylar.
Şekil-3.5’deki paralel bağlı yaylar F kuvvetinin etkisinde eşit miktarda uzarlar
yani 𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥 olacaktır. Bu durumda F kuvveti için
𝐹 = 𝑘1𝑥1 + 𝑘2𝑥2 = (𝑘1 + 𝑘2)𝑥 yazabiliriz. Aynı zamanda F kuvveti için
(3.7)
𝐹 = 𝑘𝑒ş𝑥
yazılabileceğinden
𝑘𝑒ş𝑥 = (𝑘1 + 𝑘2)𝑥
yazabiliriz. Buradan
(3.8a)
𝑘𝑒ş = (𝑘1 + 𝑘2)
sonucunu elde ederiz. Benzer şekilde n tane yay paralel bağlanırsa eşdeğer yay
için
(3.8b)
5
ifadesini yazabiliriz. Yaylar paralel bağlandığında eşdeğer yay sabiti, yayların her
birinin yay sabitinden büyük olacağı açıktır.
3.2.3.2 Seri bağlı yaylar
Şekil-3.6 Seri bağlı yaylar.
Yayları uç uca eklediğimizde seri bağlamış oluruz (Şekil-3.6). Seri bağlı
yaylardaki toplam uzama miktarı, yayların tek tek uzamalarının toplamına eşit
olacaktır. Bu durumda toplam uzama için
𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 (3.9) yazabiliriz. Tüm yaylara aynı F kuvveti etkidiği için
𝐹 = 𝑘1𝑥1 = 𝑘2𝑥2
olacaktır. Buradan
yazabiliriz. Eşdeğer yay için ise
veya
ş
yazılabilir. Bu değerler Eşitlik-9’da kullanırsa
1⁄𝑘𝑒ş = 1⁄𝑘1 + 1⁄𝑘2
(3.10a)
Sonucunu elde ederiz. Eğer n tane yay seri bağlanırsa eşdeğer yay sabiti için
(3.10b)
ifadesinin yazılacağı açıktır.
6
Sonuç olarak yayların bağlanmasının analizi kondansatörlerin bağlanmasındaki
analize benzediğine dikkat ediniz.
3.2.4 Basit harmonik harekette enerji
BHH yapan bir kütle yay sisteminin potansiyel ve kinetik enerjisi için
(3.11a)
(3.11b) yazabiliriz.
Bu ifadeler kullanılarak BHH yapan bir kütle yay sisteminin toplam enerjisi (mekanik
enerji) için
(3.11c)
(3.11d)
ifadesini elde ederiz. Mekanik enerjinin sabit olduğuna dikkat ediniz. Eşitlik3.11c ve 3.11d kullanılarak
yazılabilir. Buradan herhangi bir t anındaki hız için,
(3.12)
yazabiliriz. Cisim denge durumundan geçerken (x=0) en büyük hıza, dolayısıyla
en büyük kinetik enerjiye sahip olur. Cisim dönme noktalarında geçerken (x max =
± A) ise en büyük potansiyel enerjiye sahip olur. Kinetik enerjinin maksimum
değeri potansiyel enerjinin maksimum değerine eşittir ve bu değer herhangi bir
andaki toplam enerjiye eşittir.
Cisim denge durumundan geçerken x = 0 olacağından, 𝑣𝑚𝑎𝑥 =
𝐴 elde edilir.
0
Bu durumda kinetik enerji de en büyük olacağından,
(3.13)
yazabiliriz. Sonuç olarak
7
(3.14)
yazabiliriz. Burada f normal frekanstır.
Yukarıda anlatılanları özetlemesi bakımından Şekil-3.7’da BHH’in kinetik (K) ve
potansiyel (U) enerjilerinin zamana ve konuma bağlı değişimi ortak eksende
gösterilmiştir. Cismin herhangi bir andaki kinetik ve potansiyel enerjilerinin
toplamı, maksimum kinetik enerjiye ve aynı zamanda maksimum potansiyel
enerjiye eşit olacaktır.
Şekil-3.7 Kinetik (K) ve potansiyel (U) enerjinin (a) zamana ve (b) yer
değiştirmeye bağlı değişimi.
3.2.5 Basit sarkaç
Bir ucundan tespit edilmiş ℓ uzunluğundaki hafif iplikle taşınan m kütleli noktasal
bir cismin oluşturduğu düzeneğe basit sarkaç denir (Şekil-3.8).
Şekil-3.8 Basit sarkaç.
8
Basit sarkaç denge konumundan küçük bir θ açısı kadar uzaklaştırılıp serbest
bırakılırsa düşey düzlemde periyodik salınımlar yapar. Kütleye etki eden geri
çağırıcı kuvvet
𝐹 = −𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 (3.15) ifadesi ile verilir. Sinüs fonksiyonunun seriye açılımı
(3.16)
dir. θ açısının küçük değerleri için sinθ ≅ θ alınabilir (Şekil-3.9).
Şekil-3.9 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝜃 fonksiyonunun küçük 𝜃 değerlerinde 𝑦 = 𝜃’ye yaklaşımı.
Bu durumda F kuvveti için
𝐹 = −𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 ≅ −𝑚𝑔𝜃
(3.17a)
yazabiliriz. 2. Newton yasasından
(3.17b) ve buradan
(3.17c) veya
(3.17d)
yazabiliriz. Burada
alınarak,
(3.17e)
ifadesini elde ederiz. Bu ifade, matematiksel olarak, kütle-yay sistemi için elde
ettiğimiz BHH denklemi ile aynı formdadır. Bu denklemin çözümü için
𝜃 = 𝜃0cos (𝜔0𝑡 +
yazabiliriz. Burada
açısal uzanım,
0
açısal genlik,
(3.18a)
)
faz sabiti ve 𝜔0 açısal
frekans’dır.
9
Hareketin periyodu ve frekansı için :
(3.18b)
ifadelerini yazabiliriz. Burada periyodun (veya frekans) kütleden bağımsız
olduğuna dikkat ediniz.
3.2.6 Basit Sarkacın Enerjisi
Şekil-3.10 Basit sarkaçta 𝜃 açısına karşı sarkaç kütlesinin yükselmesi.
Şekil-3.10’daki dik üçgenden
veya, 𝑥 = 𝑙𝑠𝑖𝑛𝜃,
θ açısının küçük olması halinde, Sinθ≈θ olup, 𝑥 ≅ 𝑙𝜃
𝑙2 = (𝑙 − 𝑦)2 + 𝑥2 = 𝑙2 − 2𝑙𝑦 + 𝑦2 + 𝑥2
2𝑙𝑦 = 𝑦2 + 𝑥2
yazabiliriz. Küçük açılı salınımlar için 𝑦 ≪ 𝑙 olacağından 2𝑙𝑦 ≅ 𝑥2 veya
alınabilir. Bu durumda:
Potansiyel enerji
(3.19a)
10
Kinetik enerji
(3.19b)
Mekanik enerji
(3.19c)
Mekanik enerjiyi maksimum potansiyel enerji cinsinden ifade edersek
(3.19d)
(3.19e)
yazılabilir.
3.2.7 Burulma sarkacı
Şekil-3.11 Burulma sarkacı.
Küçük açılı burulmalarda geri çağırıcı tork için
𝜏 = −𝐾𝜃
(3.20a)
yazılabilir. Burada K, telin burulma sabitidir. Tork için 𝜏 = 𝐼𝛼 ifadesini
kullanırsak
(3.20b)
(3.20c)
(3.20d)
11
Burada 𝜔02 = 𝐾/𝐼 dir. Daha önce yaptığımız gibi bu denklemin çözümü için de
𝜃 = 𝜃𝑚cos(
0𝑡
+ 𝜑)
(3.21)
ifadesini yazabiliriz. Hareketin frekansı ve periyodu için
(3.22)
ifadelerinin yazılacağı açıktır. Burada I, diskin eylemsizlik momentidir. Disk
düzlemine dik ve kütle merkezinden geçen eksene göre eylemsizlik momentinin Ikm
= (MR2)/2) ifadesi ile verildiğini biliyoruz. Burada M diskin kütlesi, R ise
yarıçapıdır.
3.2.8 Fiziksel sarkaç
Şekil-3.12 Fiziksel sarkaç.
Sarkaca etkiyen tork için
𝜏 = −(𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃)𝑙/2
ifadesi yazılabilir. Aynı zamanda tork için
yazabiliriz. Bu ikisinden
12
ifadesi yazılır. Küçük açılı salınımlarda 𝑠𝑖𝑛𝜃 ≅ 𝜃 alınabileceği için sarkacın
hareket denklemi için
veya 𝜔02 = 𝑚𝑔𝑙/(2𝐼) alınarak
(3.23)
elde edilir. Bu denklemin çözüm ise
𝜃 = 𝜃𝑚cos (
0𝑡
+ )
(3.24) ifadesi ile verilebilir. Paralel eksen teoremini
kullanarak sistemin eylemsizlik momenti için
ifadesini yazabiliriz. Bu değer 𝜔02 = 𝑚𝑔𝑙/(2𝐼) ifadesinde kullanılarak sarkacın
frekansı ve periyodu için
1
3𝑔
2𝑙
,
veya 𝑓 = 2𝜋 √ 2𝑙 𝑇 = 2𝜋√ 3𝑔
(3.25)
yazılır. Burada frekans ve periyodun kütleden bağımsız olduğuna dikkat ediniz.
3.2.9 Yüzen cisimlerin basit harmonik hareketi
Sıvıya daldırılmış bir cisim serbest bırakıldığında titreşim hareketi yapar
(Şekil3.13).
13
Şekil-3.13 Sıvıya daldırılmış cisim. (a) Cisim yüzüyor. (b) Yüzen cisim üsten
hafifçe y kadar bastırılıyor.
m: yüzen cismin kütlesi A:
kesit alanı
: sıvının yoğunluğu
Ws : g (A.y) (yer değiştiren sıvının ağırlığı)
veya
yazarak hareket denklemi için
(3.26)
elde ederiz. Buradan periyot ve frekans için
ifadelerini yazabiliriz. Şekil-3.13a’da batan kısım h olduğundan Archimed ilkesi
gereği gAh = mg veya m= Ah yazabiliriz. Bu değeri periyot (veya frekans)
ifadesinde yerine yazarak;
(3.27)
14
elde ederiz. Burada frekans ve periyodun yüzen cismin kütlesinden bağımsız
olduğuna dikkat ediniz.
3.2.10 Elektrik Devrelerinde Osilasyonlar
İndüktans (L) ve kapasitans (C) içeren bir devre BHH salınım özellikleri gösterir
(Şekil-3.14). Bu tür devreleri deneysel olarak laboratuvar derslerinde de
inceleyeceksiniz.
Şekil-3.14 LC-devresi.
Bu kapalı devreye Kirchoff’un ilmek kuralını uygulayarak devre denklemi için
(3.28)
yazabiliriz.Akım için
yazarak devre denklemini
(3.29)
şeklinde veya
alınarak
(3.30)
şeklinde yazabiliriz.
Bu denklem ile kütle-yay sisteminin hareket denkleminin matematik olarak aynı
olduğuna dikkat ediniz. Bu benzerlikten faydalanarak (3.30) denkleminin çözümü
için
𝑞 = 𝑞0𝐶𝑜𝑠(
0𝑡
+ )
(3.31)
15
ifadesini yazabiliriz. Bu çözüm kondansatör üzerindeki q yükünün periyodik
olarak salındığını söyler. Salınımın frekansı ve periyodu için ise
(3.32)
ifadelerinin yazılabileceği açıktır.
3.2.11 LC devresi ile kütle-yay sistemi arasındaki benzerlikler
Yukarıdaki eşitliklerden hareketle elektriksel LC devresi ile kütle-yay sisteminin
benzerlikleri aşağıda özetlenmiştir. Bu benzerlikleri Fizik Laboratuvarı-IV
dersinde çok kullanacaksınız. Bu nedenle buradaki analizlerin iyi anlaşılması
gerekir.
x
q
k
1
𝐶
m
L
𝑘
0
= √𝑚
1
0
2
𝐸 = 2 𝑚𝑣 +
1
2
=
𝑘𝑥
1
√𝐿𝐶
2
1
2
𝐸 = 2 𝐿𝑖 +
1 𝑞2
2 𝐶
3.3. SÖNÜMLÜ HARMONİK HAREKET
Harmonik hareket yapan bir sistemin üzerine bir sürtünme kuvveti etki ederse
salınım genliği, sürtünme nedeniyle, küçülerek sıfır olur. Bu cins salınımlara
sönümlü harmonik hareket denir.
Şimdi sürtünme kuvveti gibi korunumsuz kuvvetlerin işe girmesiyle serbest
titreşim ifadelerinin nasıl değişikliğe uğradığını tartışacağız. Genellikle sürtünme
hava direncinden veya iç kuvvetlerden kaynaklanır. Salınan sistemlerde sürtünme
kuvveti çoğu kez hız ile orantılı olup, harekete zıt olarak yönelmiştir.
16
Kütle-yay sistemini yeniden ele alalım. Şekil-3.15’de görüldüğü gibi yaya asılı
olan bir kütlenin salınım yaparken sıvı dolu bir kap içine batırıldığını düşünelim.
Bu kütle viskoz sıvı içinde hareket ederken enerjisini kaybetmeye başlayacaktır,
başka bir deyişle kütle sönümlü harmonik hareket yapacaktır.
Şekil-3.15 Viskoz ortamda kütle-yay sistemi.
Kabullenmelerimiz:
• Potansiyel enerjinin tümünün, kütlesiz ve hiçbir sürtünme kuvvetinin
etkimediği ideal yayda toplandığı,
• Kinetik enerjinin tümünün salınan m kütlesinde toplandığı,
• Tüm ısı şeklindeki iç enerjinin, kabı dolduran viskoz sıvıda ortaya çıktığı
kabul edilecektir.
Sönümlü hareketin denklemi 2. Newton yasasından (𝑭 = 𝑚𝒂) elde edilir. Kütleye
etki eden F kuvveti, geri çağırıcı – 𝑘𝑥 şeklindeki kuvvet ile
şeklindeki
sürtünme kuvvetlerinin toplamıdır (Hareket tek boyutlu olduğundan vektör
gösterimi kullanılmadı). Burada b bir sabit olup sönüm kuvvetinin büyüklüğünün
bir ölçüsüdür.
Bu durumda hareket denklemini
(3.33)
veya
17
(3.34)
şeklinde yazabiliriz. Bu denklem yeniden
(3.35)
şeklinde düzenlenebilir. Bu denklem çoğu kez
ve
(3.36)
kısaltmaları yapılarak
(3.37)
şeklinde verilmektedir. Buradaki
ve
20
nicelikleri gerçek ve pozitif sabit
sayılardır. Bu denklem sabit katsayılı, ikinci dereceden, homojen bir diferansiyel
denklemdir. Bu denklemin çözümü için
𝑥 = 𝑒𝑟𝑡
(3.38)
formunda bir çözüm arayabiliriz (Bu türden denklemlerin çözümü için Calculus
and analytic geometry; George B. Thomas, Jr.” kitabına bakabilirsiniz.).
Burada r bir sabittir. Bu fonksiyonun t’ye göre birinci ve ikici türevleri alınarak
Eşitlik-3.37’de yerine yazılırsa
ve
(3.39)
elde edilir. 𝑒𝑟𝑡 ≠ 0 olduğu için,
(𝑟2 + 𝑟 +
20)
=0
(3.40)
olmak zorundadır. Bu denkleme karakteristik (veya yardımcı) denklem adı
verilir.
Bu karakteristik denklemin iki kökü vardır. Bu kökler,
(3.41)
18
(3.42)
dir. Burada =
2−
4
20
değerine diskriminant dendiğini biliyoruz.
Diskriminantın değerine göre bu denklemin çözümünde üç farklı durum söz
konusudur:
1.
=
2−
4
20 >
0
(3.43a)
2.
3. = 2 − 4
Şimdi bu üç duruma daha yakından bakalım.
1. Durum : =
2−
4
20
20 <
(3.43b)
(3.43c)
0
> 0,
Bu özel durum kritik üstü sönüm (over-damped) olarak adlandırılır. Bu durumda
𝑟1 ve 𝑟2 gibi iki gerçek (reel) kök vardır. Bu nedenle (3.37) denkleminin
𝑥1 = 𝐶1𝑒𝑟 1𝑡 ve 𝑥2 = 𝐶2𝑒𝑟 2𝑡
(3.44)
gibi iki farklı çözümü olacaktır. Çizgisel denklemlerin iki kökünün toplamı da bir
çözüm olduğundan
𝑥 = 𝐶1𝑒𝑟 1𝑡 + 𝐶2𝑒𝑟 2𝑡
(3.45)
şeklindeki kombinasyonun da bir çözüm olacağı açıktır. Burada
diyelim. Bu durumda 𝑟1 ve 𝑟2 kökleri için
ve
(3.46)
yazabiliriz. Bu durumda (3.45) ile verilen çözüm
(3.47)
şeklini alır. Buradaki 𝐶1 ve 𝐶2 katsayıları hareketin başlangıç koşullarından
belirlenebilir. Bu koşulda (
hareket zamanla
19
üstel olarak söner ve cisim denge konumunda durur. Bu durumda hareketin
salınımlı olmadığına dikkat ediniz.
2. Durum : =
2−
4
20 =
0
Bu özel durum kritik sönüm (critical-damped) olarak adlandırılır. Bu durumda
gerçek (reel) eşit iki kök vardır:
(3.48)
Köklerin eşit olması durumunda (3.37) denkleminin çözümü için
𝑥 = 𝐶1𝑒𝑟𝑡 + 𝐶2𝑡𝑒𝑟𝑡 = (𝐶1 + 𝐶2𝑡)𝑒𝑟𝑡
(3.49)
yazabiliriz. Buradaki 𝐶1 ve 𝐶2 sabitleri başlangıç koşullarından elde edilir.
Zaman ilerledikçe 𝑥 ’in değeri sıfıra yaklaşır. Bu özel durumda da hareket
salınımlı değildir. En çabuk sönüm bu durumda elde edilir.
3. Durum : =
2−
4
20
<0
Bu durum kritik altı sönümlü harmonik hareket olarak adlandırılır. Bu
1
√
durumda sanal iki kök vardır. Bu kökler, 𝜆 = 2 4
2
0
−
2
=√
2
0
−
2
4
olmak
üzere
(3.50)
(3.51) şeklinde ifade edilebilir. Burada 𝑟1 ve 𝑟2 birbirinin
kompleks eşleniği olduğuna dikkat ediniz. Bu durumda (3.37) denkleminin çözümü için
yazılabilir. Burada
20
𝑒iλ𝑡 = 𝑐𝑜𝑠λ𝑡 + 𝑖𝑠𝑖𝑛λ𝑡 𝑒−iλ𝑡
= 𝑐𝑜𝑠λ𝑡 − 𝑖𝑠𝑖𝑛λ𝑡
olduğu hatırlanırsa
yazılabilir. Son olarak
𝐶1 = (𝑐1 + 𝑐2) ve 𝐶2 = 𝑖(𝑐1 − 𝑐2)
alırsak çözüm için
𝑥=𝑒
+
1
2
(3.52)
yazabiliriz.
Buradaki 𝐶1 ve 𝐶2 sabitleri 𝑐1 ve 𝑐2 sabitlerinin
şeklinde
birbirlerinin
kompleks
(karmaşık) eşleniği
olması
koşuluyla gerçeldirler (Burada küçük harf c’ler ile Büyük harf C’lerin farklı
olduğuna dikkat ediniz). Sonuç olarak (3.52) ile verilen çözümü, karakteristik
denklemin
köklerinin birbirinin karmaşık eşleniği olduğu problemleri çözmek için
kullanabiliriz.
Bu ifadeyi sadece kosinüs veya sinüs fonksiyonu şeklinde yazmak sonuçları daha
kolay yorumlamamızı sağlayacaktır. Bunun için,
𝐶1 = 𝐴0𝑠𝑖𝑛 ve 𝐶2 = 𝐴0𝑐𝑜𝑠
şeklinde bir seçim yapabiliriz. Buradaki 𝐴0 ve
(3.53)
de birer sabittir. Buradan
𝐶12 + 𝐶22 = 𝐴20𝑠𝑖𝑛2 + 𝐴20𝑐𝑜𝑠2 = 𝐴20(𝑠𝑖𝑛2 + 𝑐𝑜𝑠2 ) = 𝐴20 (3.54) ve aynı zamanda
(3.55)
𝐶2
𝐴0𝑐𝑜𝑠
yazabiliriz. Bu durumda (3.52) eşitliği ile verilen çözümdeki 𝐶1 ve 𝐶2
sabitlerinden 𝐴0 ve
sabitlerine geçebiliriz:
21
𝑥 = 𝑒− 2𝑡(𝐶1𝑠𝑖𝑛𝜆𝑡 + 𝐶2𝑐𝑜𝑠𝜆𝑡) = 𝐴0𝑒− 2𝑡(𝑠𝑖𝑛 𝑠𝑖𝑛𝜆𝑡 + 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠𝜆𝑡)
𝑥 = 𝐴0𝑒
2
(3.56)
cos (𝜆𝑡 − )
− 𝑡
Elde edilir. Burada
değeri kullanılarak
(3.57)
sonucunu yazabiliriz. Bu çözümden, cismin harmonik titreşim hareketi yaptığı,
fakat genliğin zaman içinde üstel olarak azaldığı görülür. Başka bir deyişle yitirici
kuvvetler nedeniyle hareketin enerjisi korunmaz.
Bu çözümden hareketin periyodu (T) ve frekansı (f) için
ve
(3.58a)
ifadelerini yazmak zor değildir. Eğer b=0 olursa (sönüm kuvveti yoksa) (3.58a)
ifadesi ile verilen periyot ve frekans değerleri
(3.58b)
olur. Bu özel durumun daha önce incelediğimiz BHH örneğine denk geldiğine
dikkat ediniz.
Bu tartışmaların ışığında aşağıdaki özetlemeyi yapabiliriz:
•
niceliği salınım genliğinin zamanla ne kadar çabuk sönüme
gittiğinin bir ölçüsüdür.
•
niceliği salınımın başlangıç genliğinin 1/𝑒’sine düşmesi için
geçen süredir. Bu 𝑡𝐿 süresi salınımların ortalama ömrü olarak adlandırılır.
22
• Eşitlik-3.57’de
verilen
fonksiyonun
grafiği aşağıda verilmiştir (Şekil-3.16)
Şekil-3.16 Sönümlü harmonik hareket (Grafik = 0 seçilerek çizilmiştir.).
Bu şekilde 𝐴𝑛 ve 𝐴𝑛+1 ardışık iki genliği göstermektedir. Buralarda çözüm
fonksiyonundaki kosinüs çarpanı 1’e eşit olur. Bu durumda ardışık iki genliğin
oranı
(3.59a)
olur. Her iki tarafın doğal logaritmasını alalınarak
(3.59b)
yazılabilir. Bu değere logaritmik azalma (decrement) denir ve genellikle 𝛿
sembolü ile gösterilir. Logaritmik azalma, genliğin azalmasının bir ölçüsüdür.
(3.60)
Yukarıda tanımlanan üç farklı sönümlü hareket aşağıdaki grafikte (Şekil-3.17) bir
arada gösterilmiştir.
23
Şekil-3.17 Kiritik, kritik üstü ve kritik altı sönümlü hareket.
Eşitlik-3.57 ile verilen çözüme tekrar dönelim ve
(3.61a)
diyelim. Bu durumda çözüm için
(3.61b)
ifadesini yazabiliriz (Burada işlemlerin basitliği açısından
Sönüm sabiti b arttıkça
• Eğer 𝑏2 = 4𝑚𝑘 = 4𝑚2
= 0 seçilmiştir).
değeri azalır, dolayısıyla hareketin periyodu artar.
20
olursa,
= 0 olur. Bu durumda sönüm sabiti bk
ile gösterilir. 𝑏𝑘 = √4𝑚𝑘 olduğunda sistem kritik sönümlüdür.
• b>bk olduğunda ise sönümün şiddeti, herhangi bir salınım olmaksızın sistemi
denge durumuna döndürecek kadar büyüktür. İlk yer değiştirmenin ardından
kütle denge noktasından en fazla bir kez geçer.
• b<bk olduğunda genlik azalmakla birlikte, sistem salınım hareketi yapar.
Buna kritik altı sönüm denir.
Birçok sistemdeki salınım hareketi dikkate alındığında (saatlerde olduğu gibi),
sönümün çok küçük hale getirilmesine ihtiyaç vardır. Araba yaylarında olduğu
gibi yeterli miktarda bir sönüm (kritik sönüm) tercih edilir. Amerika’da ve bazı
diğer ülkelerde yeni yapılan büyük binalar, deprem hasarını azaltmak için, devasa
boyutlu sönüm sistemlerinin üzerine yapılmaya başlanılmıştır.
24
3.3.1. Sönümlü harmonik harekette enerji kayıp oranı
Sönümlü harmonik hareketin enerjisi sürtünme gibi yitirici kuvvetler nedeniyle
azalır. Enerjinin azalması genliğin azalmasına neden olur. Sistemin toplam
mekanik enerjisi E,
(3.63)
dir. Kritik altı sönümlü sönümlü harmonik hareketin uzanımının
ifadesi ile verildiğini hatırlayınız.
Burada
2≪
4
20
özel durumunu ele alalım. Bu durumda
2
eşitliğinden yaklaşık ≅
0
yazılabilir. Bu durumda 𝑥(𝑡) için
(3.64)
yazabiliriz. Buradan 𝑣 hızı için
(3.65)
elde ederiz. ≪
0
olduğu kabul edildiğine göre, hız ifadesindeki ilk terim ihmal
edilerek,
(3.66)
yazılabilir. Bu hız değeri toplam enerji ifadesinde (Eşitlik-3.63) yerine konulursa,
25
elde edilir.
𝑘
olduğuna göre, mekanik enerji için
veya
𝐸 = 𝐸0𝑒−
sonucunu elde ederiz. Burada E
𝑡
(3.67)
, t = 0 anındaki mekanik enerjidir.
Enerjinin ilk değerinin 1/e değerine düşmesi için geçen zamana sönüm zamanı
(decay time) veya zaman sabiti (time constant) denir ve
ile gösterilir:
(3.68)
𝑏/𝑚
𝑏
Bu durumda enerji ifadesi
𝐸 = 𝐸0𝑒− 𝑡/
(3.69)
şeklinde yazılabilir. Mekanik enerjinin zamanla değişimi Şekil-3.19’de verilen
grafikte verilmiştir.
Şekil-3.19 Sönümlü harekette enerjinin zamana bağlı değişimi.
Sönümü
(3.62)
ifadesiyle tanımlı Q parametresi ile de yorumlayabiliriz. Q’nin büyük değerleri
yavaş sönümlere karşı gelir. Q’ye kalite faktörü denmektedir. Q>1 olduğunda
26
kritik altı sönümlü harmonik hareket koşulu geçerlidir. Çeşitli Q değerleri için
uzanımın (x) zamanla (t) değişimi Şekil-3.18’de verilmiştir.
Şekil-3.18 Sönümlü harmonik hareketin Q kalite faktörüne bağlı değişimi.
Aşağıdaki çizelgede çeşitli sönümlü salınıcı sistemlere ait Q değerlerinin yaklaşık
değerleri verilmiştir.
Sönümlü salınıcı sistem
Q değeri
Saat sarkacı
75
Elektriksel RLC devreleri
200
Titreşen piyano teli
103
Mikrodalga kavite osilatörü 104
Kuartz kristali
106
3.3.2 Enerjinin değişim hızı
Enerjinin değişim hızı, enerjinin zamana göre türevi ile tanımlanır. Mekanik
enerjin zamana türevi alınarak
(3.70)
yazılabilir. Hareket denkleminin
𝑚𝑎 + 𝑏𝑣 + 𝑘𝑥 = 0
ifadesi ile verildiğini hatırlarsak
𝑚𝑎 + 𝑘𝑥 = −𝑏𝑣
yazabiliriz. Bu ifade (3.70) eşitliğinde kullanılırsa
27
(3.71)
elde edilir. Bu bağıntı da,
gösterir. Eşitlik-3.69 ile verilen
olduğundan, enerjin sürekli azaldığını
𝐸(𝑡) = 𝐸0𝑒−
𝑡
ifadesini yeniden ele alalım. Bu enerjinin 𝑡1 ve t2=t1+T anındaki (yani bir
periyot sonra) değerleri için
𝐸1 = 𝐸0𝑒− 𝑡1
𝐸2 = 𝐸0𝑒−
(3.72a)
(3.72b)
(𝑡1+𝑇)
ifadelerini yazabiliriz. Burada
serisinden faydalanarak 𝑥 ≪ 1 durumunda 𝑒𝑥 değeri için
𝑒𝑥 ≅ 1 + 𝑥
yazabiliriz. Buradan hareketle t2 ve t1 anındaki enerjilerin oranı için
( 𝑇 ≪ 1)
(3.73)
sonucunu elde ederiz. Buradan enerji farkları için
(3.74)
𝐸1 − 𝐸2 = 𝐸1 − 𝐸1(1 − 𝑇) = 𝑇 𝐸1
ifadesini yazabiliriz. Enerji değişiminin ilk enerjiye oranı için ise
𝑇
𝐸1
ifadesi yazılabilir (𝑄 = 𝑚
0
0⁄𝑏).
0⁄
0⁄(𝑏/𝑚)
𝑚 0⁄𝑏
𝑄
Buradan Q kalite faktörü için
(3.75)
ifadesini yazılabilir. Bu ifadenin Q kalite faktörü için yeni bir tanımlama verir.
Şimdi
2
28
ifadesini yeniden
(3.76)
şeklinde ifade edebiliriz. Bu ifade Q’nun büyük değerlerinde ≅
0
almamızı
haklı kılar. Örneğin, Q=2 için,
Q=10 için,
değeri
dir. Q büyüdükçe
0
değerine yaklaşmaktadır. Başka bir deyişle b
sönüm faktörü azaldıkça Q’nin değeri artar ve sönümlü harmonik hareketin
frekansı BHH’in
0
frekansına yaklaşır (Şekil-3.20).
Şekil-3.20 Sönümlü harmonik hareketin
frekansının Q kalite faktörüne bağlı
değişimi.
3.4
SÖNÜMLÜ ELEKTRİKSEL OSİLASYONLAR
Daha önce bir LC devresindeki osilasyonları incelemiştik. Bu devrenin BHH
salınımı yaptığını görmüştük. Şimdi devreye bir R direnci ekleyeceğiz (Şekil29
3.21).
Şekil-3.21 LRC devresi.
Devredeki C kondansatörü VC voltajı ile yüklendiğinde, kondansatör üzerinde q
yükü depolanacaktır. Kondansatörün levhaları arasındaki potasiyel fark için
(3.77)
yazılacağını biliyorsunuz. Daha sonra S anahtarı kapatılırsa, devreden i akımı
geçmeye başlayacaktır. Kirchoff’un ilmek kuralını kullanarak devre denklemi
için
(3.78)
ifadesini yazabiliriz. Burada
(3.79)
eşitlikleri yerine konulursa,
(3.80)
denklemi elde edilir. Bu denklem sönümlü harmonik hareketin
denklemi ile aynıdır. Bu iki denklem karşılaştırıldığında, mekanik sistemdeki
büyüklükler ile RLC elektrik devresindeki büyüklükler arasında benzerlikler
aşağıda verilmiştir.
30
Mekanik Elektrik
sistemi
Sistemi
x
Q
m
L
k
1/C
b
R
= b/m
= R/L
Bu benzetişimden yararlanarak devre denkleminin çözümü için
(3.81)
yazabiliriz. Burada q0, kondansatörün başlangıçtaki yüküdür. Elektrik
devresinde kritik altı çözüm koşulunun
ile verileceği açıktır. Bu durum
kütle-yay sisteminde sönümlü harmonik hareketi incelerken yazdığımız
𝑏2 < 4𝑘𝑚 koşuluna karşı gelmektedir. 𝑉𝐶 = 𝑞/𝐶 olduğu için
(3.82)
yazabiliriz. Burada 𝑉0 , t=0 anındaki voltaj değeridir. Bu sistemin açısal frekansı
1
𝑅2
olacaktır.
•
koşulu sağlandığında sistem kritik altı sönüm durumunda
olacaktır yani sistem sönümlü harmonik hareket yapacaktır.
durumunda sistemin açısal frekansı için
alınabilir.
31
•
koşulu sağlandığında sistem kritik üstü sönüm durumunda
olacaktır.
•
koşulu sağlandığında sistem kritik sönüm durumunda olacaktır.
Mekanik sistemde tanımladığımız Q kalite faktörünün karşılığının ise
(3.83)
olacağı açıktır. Q kalite faktörü kullanılarak mekanik ve elektrik sistemlerinde
sönümlü harmonik hareketin denklemi yeniden yazalım:
(3.84a)
(3.84b)
Bu benzerliği Fizik Laboratuvarı-IV dersinde yapacağınız deneylerde sık sık
kullanacaksınız.
32
Aşağıda konuyla ilgili bazı çözümlü problemler verilmiştir. Bu örnekleri
dikkatlice incelemenizi öneririz.
ÖRNEK-1
a) Kütlesi m olan bir cisim kuvvet sabiti k olan homojen bir yaya asılmıştır
(Şekil-a). Yay denge konumundan itibaren hafifçe (y kadar) aşağı doğru
çekilip serbest bırakılıyor. Sistemin titreşim periyodu nedir?
b) Kütlesi m olan cisim özdeş iki yaya Şekil-b’deki gibi bağlanmıştır. Bu
durumda titreşim periyodu nedir?
c) Kütlesi m olan cisim özdeş iki yaya Şekil-c’deki gibi bağlanmıştır. Bu
durumda titreşim periyodu nedir? (French-p3.1)
Çözüm:
a) Sisteme yaydan dolayı etki eden kuvvet F=-ky’e eşittir. Bu durumda
hareket denkleminin
veya
33
veya
şeklinde yazılabileceğini biliyorsunuz. Burada 𝜔02 = 𝑘/𝑚 dir.
Buradan periyot için
yazılabilir.
b) b) Sisteme yaylardan dolayı etki eden kuvvet 𝐹 = −2𝑘𝑦’e eşittir (Paralel
bağlı yaylar). Bu durumda hareket denkleminin
veya
Burada
olacaktır.
ve periyot
c) Sisteme yaylardan dolayı etki eden kuvvet
’e eşittir (Seri bağlı
yaylar). Bu durumda hareket denkleminin
veya
Burada
olacaktır.
ve periyot
ÖRNEK-2
Bir platform düşey yönde saniyede 10/
titreşim ve 5 cm genlikle BHH
yapmaktadır. Küçük bir blok platform üzerine konuyor.
34
a) Blok hangi noktada platformu terk eder?
b) Blok, platformun ulaştığı en üst noktadan ne kadar yukarıya yükselecektir?
(French-p3.2)
Çözüm:
a) Sistem BHH yaptığı için
𝑦(𝑡) = 𝐴𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡
yazabiliriz. Bu durumda sistemin ivmesi
olacaktır. Platformun ivmesi yer çekim ivmesine eşit olduğunda blok ile
platformun teması kesilir. Bu andaki konuma 𝑦0diyelim.
b) Blokun platformdan ayrıldığı anda 𝑦0=2,5 cm olacaktır. Bu anda
0,025 𝑚 = 0,05𝑠𝑖𝑛20𝑡
yazabiliriz. Buradan
bulunur. Blokun platformdan ayrıldığı andaki hızına 𝑣0 diyelim, 𝑣
= 𝐴𝜔𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡
Bağıntısı kullanılarak
elde
edilir.
Blok
platformdan ayrıldığı anda 𝑣0 hızı ile yukarı doğru atılmış cisim gibi
davranır. Konumun zamana bağlı değişiminin
bağıntısı ile verildiğini biliyorsunuz. Blok en yüksek noktaya çıktığında
hızı sıfır olacaktır,
35
Bu durumda
sonucu elde edilir ve buradan blokun çıkabileceği en yüksek noktanın
koordinatı için
değeri bulunur. Platformun çıkabileceği yükseklik en fazla A=0,05 m = 5
cm genliği kadar olur. Bu durumda blok en yüksek noktaya ulaştığında
platform ile arasındaki mesafe ise 6,25-5,00=1,25 cm olur.
ÖRNEK-3
Uzunluğu L olan homojen bir çubuk belli bir amaç için uzunluğunun
2/3’ünden şekildeki gibi asılmış halde iken titreşim hareketi yapmaktadır.
Çubuğun küçük titreşimlerinin periyodunu bulunuz. (French-p3.3)
Çözüm:
Problemin çözümüne uygun bir şekil aşağıda verilmiştir.
L/3
d
K
F=mgsin
F=mgcos
mg
Şekilde KM’nin asılma noktasına uzaklığı d ile gösterilmiştir. Bu şekilden
yazabiliriz. Çubuğun ağırlığı KM’ine etkir. Bu kuvvetin çubağa dik bileşeni olan
𝐹 = 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 kuvveti çubuğu döndürmeye çalışacaktır. Bu kuvvetin
36
uyguladığı tork (𝜏) için
olacaktır. Burada eksi işareti torkun geri çağırıcı olduğu anlamındadır. Dönen
cisimleri incelerken tork ile eylemsizlik momenti (I) arasındaki ilişkinin
𝜏 = 𝐼𝛼
bağıntısı ile verildiğini biliyorsunuz. Burada 𝛼 açısal ivmedir. Bu durumda tork
için
ifadesi yazılabilir.
veya
yazılabilir. Küçük titreşimlerde 𝑠𝑖𝑛𝜃 ≅ 𝜃 alınabilir ve bu durumda yukarıdaki
eşitlik
şeklinde yazılabilir. Burada
alınarak
yazılabilir. Bu denklem daha önce incelediğimiz BHH’in denklemi ile aynıdır.
Buradan periyod için
yazabiliriz. Bu çubuğun dönme eksenine göre eylemsizlik momentini paralel
eksen teoremini kullanarak
37
yazılabilir. Bu değer yukarıda verilen periyot ifadesinde kullanılırsa
sonucu elde edilir. Periyodun kütlesinden bağımsız olduğuna dikkat ediniz.
ÖRNEK-4
Yarıçapı R ve kütlesi M olan homojen bir disk, uzunluğu L ve kütlesi m olan
homojen bir çubuğun ucuna bağlıdır. Çubuğun diğer ucu, sürtünmesiz bir mile
asılıdır. Bu sistemin küçük titreşimler yapması durumunda periyodunu bulunuz.
Çözüm:
Problemin çözümüne uygun bir şekil aşağıda verilmiştir.
𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 ve 𝑀𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 kuvvetleri sistemi P noktası etrafında döndürmeye
çalışacaktır. Geri çağırıcı tork için
38
ifadesini yazabiliriz. Tork ile eylemsizlik momenti (I) arasındaki ilişkinin
𝜏 = 𝐼𝛼
bağıntısı ile verildiğini biliyorsunuz. Burada 𝛼 açısal ivmedir. Bu durumda tork
için
ifadesi yazılabilir. Buradan
yazılır. Küçük titreşimlerde 𝑠𝑖𝑛𝜃 ≅ 𝜃 alınabilir ve bu durumda yukarıdaki
eşitlik
veya
Burada I eylemsizlik momenti için
ifadesini yazabiliriz. Bu durumda hareket denklemi
olacaktır. Burada
alınabilir ve periyot için
ifadesi yazılabilir.
39
ÖRNEK- 5
𝑥 = 𝐴𝑒−𝛼𝑡𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 ifadesinin,
denkleminin bir çözümü
olabilmesi için sağlanması gereken koşulları belirleyiniz ve buradan 𝛼 ve 𝜔’yı
bulunuz.
Çözüm:
Verilen fonksiyonun çözüm olabilmesi için fonksiyonun
türevlerini
alarak verilen diferansiyel denklemde yerine yazdığımızda denklemi sağlaması
gerekir.
Birinci türev için
yazılabilir.
İkinci
türev için ise
veya
40
veya
yazılabilir. Bunlar verilen diferansiyel denklemde yerine yazılırsa
𝐴𝑒−𝛼𝑡[(𝛼2 − 𝜔2)𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 2𝛼𝜔𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 − 𝛼𝛾𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 − 𝜔𝛾𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 + 𝜔02𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 ] = 0
veya
𝐴𝑒−𝛼𝑡[(𝛼2 − 𝜔2 − 𝛼𝛾 + 𝜔02)𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + (2𝛼𝜔 − 𝜔𝛾)𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 ] = 0 elde edilir.
Bunun her zaman sağlanabilmesi için büyük parantez içindeki 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 ve 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡’in
katsayılarının sıfır olması gerekir yani,
2𝛼𝜔 − 𝜔𝛾 = 0
olmalıdır. Bu iki eşitlikten
sonuçlarını elde ederiz. Bu sonuçları daha önce anlatılanlardan da biliyorsunuz.
ÖRNEK-6
Kütlesi m olan bir cisim şekilde görüldüğü gibi kuvvet sabiti k olan ve gerilmemiş
haldeki uzunlukları 𝑎0 olan iki özdeş yaylara bağlanmıştır. Sistem sürtünmesiz
bir masa üzerindedir. Her iki yay 𝑎0’dan daha büyük l uzunluğuna kadar
uzayabilmektedir. m kütlesinin denge konumunda yatay yer değiştirmesi x ile ve
düşey yer değiştirmesi y ile gösterilmiştir.
a) 𝑥 doğrultusundaki küçük yer değiştirmelere karşılık gelen hareketin
diferansiyel denklemini yazınız.
41
b) 𝑦 doğrultusundaki küçük yer değiştirmelere karşılık gelen hareketin
diferansiyel denklemini yazınız (𝑦 ≪ 𝑎 kabul ediniz).
c) 𝑎 ve 𝑎0 vasıtasıyla 𝑥 ve 𝑦 boyunca titreşim periyotlarının oranını hesap
ediniz.
d) 𝑡 = 0 da m kütlesi 𝑥 = 𝑦 = 𝐴0 noktasından sıfır hızla harekete geçerse,
herhangi bir t anında cismin 𝑥 ve 𝑦 koordinatları nedir? (French-p3.19)
Çözüm:
a) Denge halinde yayların ikisi de a kadar gerilmiş durumda olsun (Yayların
serbest boyu 𝑎0 ). m kütlesini sağa doğru x kadar çektiğimizi düşünelim.
Bu durumda m kütlesine etkiyen bileşke kuvvet
𝐹 = −2𝑘𝑥 olacağı açıktır. 2. Newton yasasından
veya
veya
alarak
yazabiliriz. b)
m kütlesini şekildeki gibi y doğrultusunda hafifçe çektiğimizi düşünelim.
Yayların eşit miktarda uzayacağı açıktır. Yayların yeni boyunun L olduğunu
kabul edersek, yaylardaki uzama miktarı
∆𝐿 = 𝐿 − 𝑎0
olacaktır. Bu durumda yayların kütleye uygulayacağı geri çağırıcı kuvvet
𝑇 = −𝑘(𝐿 − 𝑎0)
olacaktır. T gerilimlerinin yatay bileşenleri (𝑇𝑐𝑜𝑠𝜃) eşit ve zıt yönlüdür. Bu
nedenle kütleye yatay doğrultuda net bir kuvvet etkimez. T gerilimlerinin düşey
42
bileşenleri (𝑇𝑠𝑖𝑛𝜃) eşit ve aşağı doğrudur. Bu nedenle m kütlesine düşey
doğrultuda etkiyen bileşke kuvvet
𝐹𝑦 = −2𝑇𝑠𝑖𝑛𝜃
olacaktır. Bu durumda
yazabiliriz. Şekilden
yazılabilir. Bunu yukarıdaki ifadede kullanırsak
veya
yazılabilir. Şekilden
𝐿2 = 𝑎2 + 𝑦2
olduğu açıktır. Bu değeri yukarıda yerine yazarsak
elde ederiz. Burada y’nin katsayısı sabit olmadığı için bu denklem BHH denklemi
değildir. Ancak 𝑦 ≪ 𝑎 yaklaşımında olaya baktığımız için
yazılabilir. Bu durumda y’nin katsayısı
seriye açılarak
için
alınabilir (𝑦 ≪ 𝑎 olduğu için). Bu yaklaşımda y doğrultusunda hareket denklemi
için
ifadesini yazabiliriz. Burada y’nin katsayısı pozitif olduğu için
alınabilir. Bu durumda
43
yazabiliriz. Bu denklemin BHH’in hareket denklemi olduğuna dikkat ediniz.
c) x-doğrultusundaki hareket denkleminden
ve y-doğrultusundaki hareket denkleminden
elde etmiştik. Buradan periyotlar için
ifadelerini yazabiliriz. Buradan periyotlar oranı için
sonucunu elde ederiz.
d) Kütlenin x ve y doğrultusundaki hareketi BHH olduğu için
ve
yazabiliriz.
ÖRNEK-7
Kütlesi m olan küçük bir top uzunluğu 𝑙1 ve 𝑙2 olan iki tel ile şekildeki gibi duvara
bağlanmıştır. Denge durumunda her iki teldeki gerilim 𝑇0’dır. m kütlesi düşey
doğrultuda hafifçe çekilip serbest bırakılıyor. Küçük titreşimlerin periyodunu
bulunuz.
Çözüm:
𝑇1 ve 𝑇2gerilimlerinin yatay bileşenleri birbirine zıt yöndedir ve kütlenin yatay
doğrultuda titreşimine bir katkı sağlamaz. 𝑇1 ve 𝑇2 gerilimlerinin düşey
bileşenleri aşağı doğrudur. Bu bileşenlerin toplamı m kütlesine geri çağırıcı
kuvvet uygular. Bu kuvvet
44
𝐹 = −𝑇1𝑠𝑖𝑛𝜃1 − 𝑇2𝑠𝑖𝑛𝜃2
şeklinde yazılabilir. Küçük salınımlar için
alınabilir. Ayrıca küçük titreşimler için 𝑇1 = 𝑇2 = 𝑇0 alınabilir. Bu durumda F
kuvveti için
yazabiliriz. Bu durumda m kütlesinin hareket denklemi için
veya
veya
Burada
alarak
yazabiliriz. Buradan Periyot için
ifadesi elde edilir.
ÖRNEK-8
0,2 kg kütleli bir cisim kuvvet sabiti 80 N/m olan bir yaya asılıdır. Bu cisim – 𝑏𝑣
ile verilen bir sürtünme (sönüm) kuvvetine maruz kalırsa (burada 𝑣 cismin
hızıdır),
45
a) Sistemin serbest salınımlarının diferansiyel denklemini yazınız.
b) Eğer sönümlü harmonik hareketin frekansı, sönüm olmadığı zamanki
frekansın √3/2’si ise b sabitinin değeri nedir?
c) Sistemin Q kalite faktörü nedir, 10 salınım sonunda titreşimin genliği hangi
faktör (kaç kat) ile azalır? (French-p3.14)
Çözüm:
a) Sisteme etkiyen F kuvveti için
𝐹 = −𝑘𝑥 − 𝑏𝑣
yazabiliriz. Sistemin hareket denklemi
veya
ve
alınarak
yazılabilir. m=0,2 kg ve k=80 N/m değerleri yerine yazılarak hareket denklemi
için
yazılabilir.
b) Verilenler kullanılırsa
Ders notları ve Örnek-5’deki problemin sonucundan
olduğunu biliyoruz. Verilenleri bu ifadede kullanarak
elde edilir. Buradan 𝛾 = 20 𝑠−1 bulunur.
olduğundan b için
𝑏 = 20𝑥0,2 = 4 𝑁. 𝑠/𝑚
sonucu elde edilir.
c) Kalite faktörü Q için
değeri elde edilir.
Sönümlü harmonik hareketin genliği için
46
elde etmiştik (Ders notlarına bakınız). t=0 anındaki genliğe 𝐴1 ve 10 salınım
sonraki genliği ise 𝐴10 ile gösterelim. Bu durumda
yazabiliriz. Burada T hareketin periyodudur. Q kalite faktörü ile 𝜔 frekansı
arasındaki ilişkinin
olduğunu biliyorsunuz (Ders notlarına bakınız). Buradan
s elde edilir. Bu değer yukarıdaki
ifadede kullanılırsa
elde edilir. Bu sayının çok küçük olduğuna dikkat ediniz. Başka bir deyişle sistem
çok kısa sürede sönüme gider.
ÖRNEK-9
Bir çok titreşen sistemde depolanan enerji zamanla 𝐸 = 𝐸0𝑒−𝛾𝑡 şeklinde üstel
azalır. Böyle bir titreşim hareketi için Q ifadesi
titreşimlerin doğal frekensıdır.
ile verilir. Burada 𝜔0
a) Bir piyanonun orta C’sine vurulduğu zaman titreşim enerjisi 1s’de ilk
değerinin yarısına düşer. Orta C’nin frekansı 256 Hz’dir. Sistemin Q değeri
nedir?
b) Daha yüksek oktavlı bir notasında (f=512Hz) enerji azalması aynı sürede
oluyorsa Q değeri nedir?
c) 0,1 kg kütlesindeki bir cisim yay sabiti k=0,9 N/m olan bir yaya asılıdır.
Bu sistem sönüm sabiti b (𝐹𝑠ö𝑛ü𝑚 = −𝑏𝑣)olan bir akışkan içinde hareket
ederek 4 s’de enerjisi ilk değerinin 1/e’sine düşüyor. Q ve b değerlerini
bulunuz. (French-p3.15)
Çözüm:
47
a) 𝐸 = 𝐸0𝑒−𝛾𝑡 ifadesi
yazabiliriz. Buradan
ve
verilenler
kullanılarak 0,5𝐸0 = 𝐸0𝑒−𝛾.1
𝑒𝛾 = 2 ⇒ 𝛾 = 𝐿𝑛2 elde edilir.
b)
c)
𝑏 = 𝑚𝛾 = 0,1𝑥0,25
= 0,025 kg/s
√
ÖRNEK-10
Bir LRC devresinde 𝐿 = 10 𝑚𝐻, 𝐶 = 1,0 𝜇𝐹 ve 𝑅 = 1 Ω’dur.
a) Yük salınımlarının genliği ne kadar süre sonra yarıya düşer?
b) Bu sürede kaç periyotluk salınım olur?
Çözüm:
Şekildeki LRC devresinde S anahtarı kapandıktan sonra kondansatör üzerindeki
yük harmonik hareket yapar. Bu LRC devresinde yük için
ifadesini türetmiştik (Ders notlarına bakınız). Bu ifadeden genlik için
𝐴 = 𝑞0𝑒− 𝑅𝑡/2𝐿
yazabiliriz. t=0 anında genliğe 𝐴1 dersek, 𝐴1 = 𝑞0 olacaktır. Genliğin yarıya
düştüğü an için
yazabiliriz. Buradan
elde edilir.
b) Sistemin titreşim frekansı için
1
𝑅2
48
Bağıntısını elde etmiştik.
alınabilir.Bunun anlamı
periyodu için
alınmasına denktir. Buradan salınımların
yazılabilir. 𝑡 = 13,86 𝑚𝑠 süresi içindeki periyot sayısına n dersek,
elde edilir. Bunun anlamı 22 salınımdan sonra yük genliği yarıya düşer.
ÖRNEK-11
Sönümlü salınım yapan bir LRC devresinde bir devirlik sürede enerji kayıp oranı
’ın R’nin küçük olması durumunda yaklaşık olarak
ile verilebileceğini
gösteriniz.
Çözüm:
Şekildeki LRC devresinde S anahtarı kapandıktan sonra kondansatör üzerindeki
yük harmonik hareket yapar. Bu LRC devresinde yük için
49
ifadesini türetmiştik. R’nin küçük olduğu durumda bu ifadeyi
şeklinde yazabiliriz. Başlangıçta anahtar açık iken kondansatör yüklüdür ve
devreden akım geçmez. Bu durumda kondansatördeki enerji
ifadesi ile verilir. Anahtar kapandıktan sonra kondasatördeki yük yukarıda verilen
bağıntıyla tanımlı osilasyon yapar. Bir periyotluk süre sonunda yük için
ifadesini yazabiliriz (
olduğuna dikkat ediniz). Bu anda
kondansördeki enerjiyi U ile gösterirsek,
yazabiliriz. Buradan
yazabiliriz. Buradan
elde ederiz. 𝑒x ifadesini seriye açılımının
ifadesi ile verildiğini biliyoruz. Burada x’in küçük değerlerinde 𝑒x ≅ 1 + 𝑥
alabiliriz. Bu bilgiden yararlanarak
50
yazabiliriz. R’nin küçük değerlerinde açısal frekans
verilebilir. Bu durumda periyot için
ifadesi ile
yazabiliriz ve değeri yukarda elde
ettiğimiz sonuçta kullanırsak,
sonucunu elde ederiz.
ÖRNEK-12
Kütlesi 0,5 kg olan bir blok, kuvvet sabiti k=12,5 N/m olan bir yayın ucuna bağlı
olarak kritik altı (under dumped) sönümlü hareket yapıyor. Hareketin frekansı,
sönümsüz hareketin frekansından % 0,2 daha az olduğu gözlemleniyor.
a) Hareketin sönüm sabiti b’nin değerini bulunuz.
b) Hareketin genliğinin zamana bağlı değişimini bulunuz.
c) Mekanik enerjinin başlangıç değerinin %1’ine düşmesi için geçen süreyi
bulunuz.
d) Sistemin kritik sönüm durumunda hareket edebilmesi için sönüm sabiti
(𝑏𝑘) ne olmalıdır?
Çözüm:
a) Sönümlü harmonik hareketin açısal frekansının
ile verildiğini biliyorsunuz. Buradan sönüm sabiti b için
yazılabilir. Verilenler kullanılarak sönüm sabiti b için
51
elde edilir.
b)
elde edilir.
c) Sönümlü hareketin toplam enerjisinin genliğin karesi ile orantılı olduğunu
biliyoruz (Ders notlarına bakınız)
olması için geçen süre soruluyor.
d) Kritik sönüm halinde
olduğunu hatırlayınız. Buradan
elde
edilir.
52