4.2 sönümlü olmayan zorlamalı salınım hareketi

BÖLÜM-4
4.1
ZORLAMALI SALINIMLAR ve REZONANS
Önceki bölümde sönümsüz ve sönümlü serbest salınım hareketi yapan değişik sistemleri
inceledik. Şimdi salınım yapan mekanik sisteme periyodik değişen bir dış kuvvet
uygulandığında meydana gelen olayları inceleyeceğiz. Buna bağlı olarak fizikte ve
mühendislikte oldukça önemli bir yeri olan rezonans kavramını tartışacağız. Salınım
hareketi yapacak şekilde olan bir sisteme periyodik bir dış kuvvet uygulandığında ortaya
çıkan harekete zorlamalı salınım denir. Zorlamalı salınım hareketini, (i) sönümlü olmayan
zorlamalı salınım hareketi (undamped forced vibrations) ve (ii) sönümlü zorlamalı
salınım hareketi (damped forced vibrations) olmak üzere iki başlık altında ele alacağız.
Daha sonra LRC elektrik devresine, dışardan frekansı değişebilen güç uygulandığında
devrenin davranışını anlamaya çalışacağız.
4.2 SÖNÜMLÜ OLMAYAN ZORLAMALI SALINIM HAREKETİ
Kuvvet sabiti k olan bir yaya m kütleli bir cisim bağlanmış ve sürtünmesiz bir masa
üzerinde Şekil-4.1’deki gibi durmaktadır. Şimdi cisme dışardan 𝐹0𝑐𝑜𝑠 𝑡 bağıntısı ile
tanımlı periyodik bir dış kuvvetin uygulandığını düşünelim.
Şekil-4.1 Sönümlü olmayan zorlamalı salınım hareketi.
2. Newton yasası kullanılarak m kütlesinin hareket denklemini yazabiliriz.
(4.1a) veya
(4.1b)
Burada
alarak hareket denklemini yeniden
1
(4.2) formunda yazabiliriz. Bu denklem ikinci derceden,
sabit katsayılı, homojen olmayan bir çizgisel diferansiyel denklemdir. Böyle diferansiyel
denklemlerin genel çözümü, homojen kısmın çözümü (𝑥ℎ) ile bir özel çözümün (𝑥𝑝)
toplamı şeklinde verilir (Bunun için Calculus and analytic geometry; George B. Thomas,
Jr. kitabına bakabilirsiniz):
(4.3)
𝑥 = 𝑥ℎ + 𝑥𝑝
Bu durumda (4.2) denkleminin homojen kısmının yani
(4.4)
denkleminin çözümü için,
𝑥ℎ(𝑡) = 𝐶1𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑡 + 𝐶2𝑠𝑖𝑛𝜔0𝑡
(4.5)
yazabileceğini biliyoruz (BHH konusunu işlerken görmüştük).
Şimdi (4.2) denklemi için özel bir çözüm (𝑥𝑝) arayacağız. İncelemeyi (i) 𝜔 ≠ 𝜔0 ve
(ii) 𝜔 = 𝜔0 gibi iki farklı durum için ele alacağız.
(i)
𝜔 ≠ 𝜔0 durumu için (4.2) denkleminin özel çözümü için
𝑥𝑝(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝐵𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡
(4.6)
seçebiliriz. Bunun çözüm olabilmesi için (4.2) denklemini sağlaması gerekir. 𝑥𝑝’in t’ye
göre ikinci türevini hesaplayalım:
(4.7a)
Bu sonucu (4.2) denkleminde yerine yazarak 𝑥𝑝 özel çözümü için
𝑥𝑝(
20 −
𝜔2) = 𝑓0𝑐𝑜𝑠 𝑡
2
(4.8)
sonucunu elde ederiz.
Bu durumda (4.2) denkleminin genel çözümü için
(4.9)
yazabiliriz. Başlangıç koşulları olarak
(4.10)
seçelim. Bunları (4.9) denkleminde kullanarak 𝐶1 ve 𝐶2 sabitleri için
(4.11)
sonucunu elde ederiz. Bu değerleri (4.9) denkleminde kullanarak genel çözüm için
yazabiliriz. Burada
(4.13)
trigonometrik özdeşliği kullanılarak 𝑥(𝑡) çözümü için
(4.14)
ifadesini yazmak zor değildir. Bu ifadede yüksek frekanslı
genliği, düşük frekanslı
fonksiyonunun
fonksiyonu tarafından modüle edilir. Bu davranışın
vuru (beat) olayı olduğunu biliyorsunuz. Şekil-4.2’de tipik bir örnek verilmiştir.
Şekil-4.2. Eşitlik-4.14 ile tanımlı 𝑥(𝑡) fonksiyonunun grafiği. Şeklin çiziminde
N/kg alınmıştır.
3
(ii)
𝜔 = 𝜔0 durumu için (4.2) denkleminin özel çözümü için ise
𝑥𝑝(𝑡) = 𝐴1𝑡𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑡 + 𝐴2𝑡𝑠𝑖𝑛𝜔0𝑡
2
seçeceğiz.
öncekine benzer şekilde
(4.15)
Daha
türevlerini alalım,
veya
veya
(4.16)
elde ederiz. Bu değeri
denkleminde yerine yazarak (burada = 𝜔0 olduğunu tekrar hatırlatalım)
−2𝐴1𝜔0𝑠𝑖𝑛𝜔0𝑡 + 2𝐴2𝜔0𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑡 −
02𝑥𝑝 +
20𝑥𝑝 =
𝑓0𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑡
veya
−2𝐴1𝜔0𝑠𝑖𝑛𝜔0𝑡 + 2𝐴2𝜔0𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑡 = 𝑓0𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑡
(4.17)
yazabiliriz. Bu eşitliğin her zaman sağlanabilmesi için
2𝐴1𝜔0 = 0 ve 2𝐴2𝜔0 = 𝑓0
olmalıdır. Buradan 𝐴1 ve 𝐴2 sabitleri için
(4.18)
elde edilir. Bu durumda
özel çözüm için
(4.19)
ifadesini elde ederiz.
Genel çözüm için ise
(4.20)
4
yazabiliriz.
Homojen kısmın çözümünü
𝑥ℎ = 𝐶1𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑡 + 𝐶2𝑠𝑖𝑛𝜔0𝑡 = 𝐴0𝑐𝑜𝑠(𝜔0𝑡 + )
formatında ifade edebiliriz. Burada (4.19 ve 4.20) bağıntılarını kullanarak genel çözüm
için
(4.21)
ifadesini yazmak mümkündür.
𝑥ℎ = 𝐴0𝑐𝑜𝑠(𝜔0𝑡 + ) fonksiyonu kararlı salınan bir fonksiyondur. Ancak
fonksiyonunun genliği(
) zamanla lineer olarak artmaktadır (Şekil-4.3). Bu nedenle
zaman ilerledikçe sistemdeki yay daha fazla dayanamayacak ve kırılacaktır (Rezonans
durumu).
Şekil-4.
fonksiyonunun
grafiği. 𝑓0 = 1,
𝐴0 = 1, 𝜔0=3 ve 𝜑 = 0 seçilmiştir.
Şimdi 𝜔 ≠ 𝜔0 durumu için elde edilen (4.9) eşitliği ile verilen genel çözüm ifadesine
yeniden bakalım
(4.23)
Homojen kısmın çözümünün 𝐴0 genliği sabittir. Ancak özel çözümün genliği dış
5
kuvvetin frekansına ( ) bağlı değişir. Bu kısmın genliğini
(4.24)
ile gösterelim. 𝐶(𝜔)’nin 𝜔’ya göre grafiği Şekil-4.4’de gösterilmiştir.
Şekil-4.4.
𝐶(𝜔)’nin işaretine bakmaksızın
= 𝜔0 durumunda 𝐶(𝜔)’nin sonsuz büyük olması
durumu ortaya çıkar. Başka bir deyişle eğer sisteme uygulanan periyodik dış kuvvetin
frekansı (𝜔), titreşen sistemin doğal frekansına (
) yakın ise, titreşimlerin
genliği küçük bir kuvvet uygulanmasıyla oldukça büyük yapılabilir. Salınan sistemde
doğal titreşimlerin frekansının periyodik dış kuvvetin frekansına eşit olması durumunda
(𝜔 = 𝜔0) genliğin maksimum değere ulaşmasına rezonans olayı denir.
Şimdi ≠
0
durumunda olaya başka a bir yolla yaklaşalım.
Yukarıda verilen (4.2) eşitliğini tekrar yazalım,
Bu denklemin genel çözümü için
𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠( 𝑡 − 𝛿)
(4.25)
şeklinde bir fonksiyon seçebiliriz. Burada 𝐴 titreşimin genliği olup her zaman pozitiftir
ve titreşim frekansına bağlı olarak değişir 𝐴(𝜔); 𝛿 ise uygulanan periyodik dış kuvvet
(𝐹0𝑐𝑜𝑠 𝑡) ile yer değiştirme (𝑥) arasındaki faz farkıdır.
Eşitlik (4.25)’i ve ikinci türevini (4.2) denkleminde yerine koyalım.
6
−
2𝐴𝑐𝑜𝑠(
𝑡 − 𝛿) +
20𝐴𝑐𝑜𝑠(
𝑡 − 𝛿) = 𝑓0𝑐𝑜𝑠 𝑡
sonucunu elde ederiz.
cos(𝐴 ∓ 𝐵) = 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 ± 𝑠𝑖𝑛𝐵𝑠𝑖𝑛𝐴
trigonometrik özdeşliğinden yararlanarak,
−
2𝐴(𝑐𝑜𝑠
𝑡 𝑐𝑜𝑠𝛿 + 𝑠𝑖𝑛 𝑡 𝑠𝑖𝑛𝛿) +
20𝐴(𝑐𝑜𝑠
𝑡 𝑐𝑜𝑠𝛿 + 𝑠𝑖𝑛 𝑡 𝑠𝑖𝑛𝛿) = 𝑓0𝑐𝑜𝑠 𝑡
veya
(4.26)
yazılabilir. Bu trigonometrik eşitliğin her an sağlanması için gerek ve yeter koşulu
(4.27a)
(4.27b)
olmasıdır. Bu iki eşitliği birlikte değerlendirdiğimizde (taraf tarafa oranladığımızda)
𝑡𝑎𝑛 𝛿 = 0
(4.28) elde ederiz. Buradan 𝛿 faz açısı için 𝛿 = 0 veya 𝛿 = 𝜋 sonucu elde
edilir.
𝛿 = 0, olduğu durumda, (4.27b) eşitliğinden titreşim genliği için
(4.29)
ifadesi elde edilir. Bu ifade de görüldüğü gibi genlik frekansa bağlıdır ve A’nın pozitif
olabilmesi için <
0
olmak zorundadır.
𝛿 = , olduğu durumda, (4.27b) eşitliğinden titreşim genliği için
ifadesi elde edilir. A’nın pozitif olabilmesi için
>
0
koşulunun sağlanması
gerekmektedir.
Bu durumda sönümsüz zorlamalı hareketin yerdeğiştirmesi (x) için
𝛿=0 ,
<
0
𝛿=𝜋 ,
>
0,
, 𝐴=(
𝑓0
2
2
0− )
𝑥(𝑡) = 𝐴( )𝑐𝑜𝑠( 𝑡 − 𝛿)
Şimdi
𝑓0
ifadesini yazabiliriz.
𝐴 = − ( (4.30)
2
− 2)
0
genliğinin ’nın değerine bağlı davranışı için
7
→
𝑖ç𝑖𝑛
𝐴( ) → ∞
→ ∞ 𝑖ç𝑖𝑛
𝐴( ) → 0
0
yazabiliriz. Bu durumda 𝐴( ) genliğinin
olacaktır. Faz farkı ( ) ise =
0
frekansına bağlı davranışı Şekil-4.5a’deki gibi
değerinde 0’dan ’ye atlayacaktır (Şekil-4.5b).
Şekil-4.5 (a). Sönümsüz zoruna salınımların genliğinin periyodik dış kuvvetin frekansına
bağlı değişimi. (b). Sönümsüz zoruna salınımların yerdeğiştirmesi ile periyodik dış
kuvvet arasındaki faz farkının dışkuvvetin frekansına bağlı değişimi
A(𝜔)’nin = 𝜔0 değerinde sonsuz büyük olması durumu ortaya çıkar. Başka bir
deyişle sisteme uygulanan periyodik dış kuvvetin frekansı (𝜔), titreşen sistemin doğal
frekansına (
) yakın ise, titreşimlerin genliği küçük bir kuvvet
uygulanmasıyla oldukça büyük yapılabilir. Salınan sistemde doğal titreşimlerin
frekansının periyodik dış kuvvetin frekansına eşit olması durumunda (𝜔 = 𝜔0) genliğin
maksimum değere ulaşmasına rezonans olayı denir.
4.3
SÖNÜMLÜ ZORLAMALI SALINIM HAREKETİ
Daha önce sönümlü salınım hareketi yapan kütle-yay sistemini incelemiştik. Şimdi benzer
bir sistemi ele alacağız. Ancak bu kez kütleye 𝐹 = 𝐹0𝑐𝑜𝑠 𝑡 gibi periyodik bir dış kuvvet
uygulayacağız (Şekil-4.6).
8
Şekil-4.6 Sönümlü zorlamalı salınım hareketi.
Bu sistemin hareket denklemi için
(4.31a) yazabiliriz. Bu denklemi yeniden
(4 .31b)
veya daha önce yaptığımız gibi
(4.31c) yazarak
(4.31d)
formatında yazabiliriz. Bu denklemin homojen kısmının çözümü için
(4.32)
(4.33) ifadesinin verildiğini biliyoruz (Sönümlü
harmonik hareket konusunda işlendi).
Burada
(4.34)
olduğunu hatırlayalım (Daha önce anlatılan konularda verilmişti, Eşitlik-3.57).
Özel çözüm ise
(4.35)
ifadesi ile verilebilir (Özel çözümün elde edilmesi için: Calculus and analytic geometry;
George B. Thomas, Jr. kitabına bakabilirsiniz. Örnek-1’de verilen problemin çözümünü
incelemeniz önerilir.). Burada
açısı Şekil-4.7 ile tanımlıdır.
9
Şekil-4.7 Faz sabitinin geometrik temsili.
Bu dik üçgenden
(4.36a)
(4.36b)
=
(4.36c)
𝛾
2
2
0−
ifadelerini yazabiliriz.
Bu durumda (4.31d) denkleminin genel çözümü için
𝛾𝑡
𝑥 (𝑡 ) = 𝐴
⏟0 𝑒
−2
𝑐𝑜𝑠(
1𝑡 − )
GEÇİCİ ÇÖZÜM (bak .3.57 )
+
𝑓0
2
√ ( 20 − 2 ) +𝛾 2 2
𝑐𝑜𝑠( 𝑡 − )
⏟
KALICI ÇÖZÜM
yazabiliriz. Burada
Homojen kısmın çözümü
(4.37)
dir (Eşitlik-3.57’ye tekrar bakınız).
kısa süre içerisinde söner. Bu nedenle homojen kısmın
çözümüne geçici çözüm denir. Özel çözüm
ise kalıcı çözüm veya kararlı durum
(steady state) olarak adlandırılır. Bu nedenle çoğu kez geçici çözümü dikkate almaya
gerek kalmaz (Şekil-4.8).
10
Şekil-4.8. Periyodik bir dış kuvvet ile sönümlü salınımın geçiş davranışına bir örnek
(Şeklin çiziminde
;
;
;
;
;
ve
alınmıştır.)
Bu durumda genel çözüm için
(4.38) ifadesini almak yeterli olacaktır. Genel
çözümün frekansı uygulanan 𝐹 = 𝐹0𝑐𝑜𝑠 𝑡 dış kuvvetinin frekansı ile aynıdır. Ancak
aralarında
kadar faz farkı vardır.
𝐴( ) genliğini ele alalım:
(4.39)
genliğinin minimum olmasının bir önemi yoktur. Fakat maksimum olması sisteme zarar
verebilmesi açısından önemlidir. A'nın maksimum olması için paydasının minimum
olması gerekir.
𝑢=(
20 −
2)2 +
𝛾2
2
(4.40a) diyelim.
olursa u'nun değeri minimum olur.
b)
Bu denklemin iki çözümü vardır: (i) = 0 için
olur ancak bu durumun
fiziksel karşılığı yoktur.
𝑑
11
−4(
(ii)
20 −
2)
+ 2𝛾2 = 0 olmalıdır. Buradan
için
(4.41)
elde ederiz. ’nın bu değerinde u’nun bir ekstrem değeri vardır. Ancak ’nın bu
2
değerinde u’nun minimum olabilmesi için ikinci türevin pozitif olması gerekir(
=√
2
0
−
𝛾2
2
değerinde
olduğunu göstermek zor değildir.
Bu durumda
için u'nun değeri minimum ve dolaysıyla 𝐴( )'nın değeri
maksimumdur. ’nın bu değerini (4.40a) denkleminde yerine yazarsak
veya
(4.42) elde ederiz.
Bu değeri (4.39)'de yerine yazar ve 𝛾 =
0⁄𝑄
ifadesini kullanırsak genliğin maksimum
değeri (𝐴𝑚𝑎𝑥) için
sonucunu elde ederiz.
Bundan sonra genliği maksimum yapan frekansı
𝑅
=√
2
0
−
𝛾2
2
=
𝑅
ile göstereceğiz.
0√ 1
1
− 2𝑄 2
(4.44)
12
Bu ifadeden de anlaşılacağı gibi
𝑅
<
0
olacağı açıktır. Burada 𝑄 =
0/
kalite
faktörüdür.
Periyodik dış kuvvetin ( 𝐹 = 𝐹0𝐶𝑜𝑠 𝑡 ) etkisi ile titreşim hareketinin genliğinin
maksimum olmasına rezonans ve
𝑅
açısal frekansına da rezonans frekansı denir.
Genliğin (A) ve faz sabitinin ( ), uygulanan 𝐹 = 𝐹0𝑐𝑜𝑠 𝑡 dış kuvvetinin açısal frekansına
bağlı davranışı Şekil-4.9’de verilmiştir. Burada
göstermektedir. 𝑄 ≫ 1 olduğunda
𝑚𝑎𝑥 =
𝑅≅
0
𝑚𝑎𝑥
rezonans frekansını (
𝑅)
alınabileceğini tekrar hatırlatalım.
Şekil-4.9 (a) Genliğin ve (b) faz sabitinin sürücü kuvvetin
frekansına bağlı değişimi.
Mekanik sistemlerin zarar görmesine neden olacağı için, sistemin uzun süre rezonansta
kalması istenmez (Köprülerin yıkılması, binaların zarar görmesi gibi). Bazı durumlarda
ise sistemin kısa zaman aralıklarında rezonansa girmesi istenir. Örneğin sağlık alanında
çok kullanılan MR görüntüleme cihazlarının çalışma prensibinin temeli "manyetik
rezonans” olayıdır. Kızıl ötesi spektroskopisinde ise bir molekül üzerine frekansı belirli
bir aralıkta değiştirilen elektromanyetik dalgalar (kızıl ötesi ışınlar) gönderilir. Rezonans
durumunda, gönderilen elektromanyetik dalganın enerjisini molekülün atomları soğurur.
Maddeden geçen dalga şiddetinin azaldığı frekanslar rezonans frekanslarıdır. Bu rezonans
frekanslarından hareketle moleküllerin yapısı hakkında bilgi elde edilir. Bu gibi
nedenlerden dolayı rezonans kavramının iyi anlaşılması gerekir.
13
4.3.1 Sönümlü zorlamalı salınım hareketinin kompleks üstel fonksiyon ile
incelenmesi
Sönümlü zorlamalı salınım hareketinin denklemi
ile verildiğini görmüştük (Eşitlik-4.31d). Bu denklemin çözümü için
𝑥(𝑡) = 𝐴( ) cos( 𝑡 − )
ifadesini vermiştik (Eşitlik-4.38). 𝐴( ) ve
'yi 'nın fonksiyonu olarak elde etmiştik
(Eşitlik-4.2-6 ve4.2- 9 bakınız). Burada Eşitlik-4.31d ile verilen denklemi kompleks
gösterimde
(4.45)
şeklinde yazabiliriz. Bu diferansiyel denklem için
𝑧 = 𝐴( )𝑒𝑖(
𝑡− )
(4.46) ifadesini çözüm olarak kabul edebiliriz.
türevlerini alarak denklem (4.45)’de yerine yazarsak,
Denklem (4.
elde ederiz. Her iki tarafı 𝑒𝑖(
𝑡− )
'ye bölerek
(4-46)
elde ederiz. Bu ifade kompleks düzlemde bir vektörle temsil edilebilir (Şekil-4.10).
Eşitlik-4.46’yı
geometrik
olarak
yorumlayabiliriz. Bu
ifadenin
sol
tarafı
uzunluğundaki bir reel (gerçek) vektörün ucuna uzunluğu 𝛾𝐴( ) olan
imajiner (sanal) vektörün ilave edileceğini söyler. Sağ taraf ise reel eksen ile
açısı yapan
uzunluğunda bir vektörün çizileceğini söyler.
𝑚
14
Şekil-4.10 Eşitlik-4.46’nın kompleks düzlemde geometrik temsili.
(4.46) eşitliğinin sağ tarafını
şeklinde yazabiliriz. Bu durumda bu
denklemi
(4.47)
şeklinde yazabiliriz. Bu eşitliğin sanal ve gerçek kısımları birbirine eşitlenirse
(4.48a)
(4.48b)
elde edilir. Bu eşitlikleri taraf tarafa oranlayarak faz farkı
için
𝛾
2− 2
ifadesini elde ederiz.
(4.49)
𝑡𝑎𝑛 ( ) =
0
(4.48a) ve (4.48b) eşitliklerinin her iki tarafının kareleri alınıp, taraf tarafa toplanırsa
sonucu elde edilir. Buradan 𝐴( ) genliği için
(4.50)
ifadesini elde ederiz. Bu sonuçları daha önce de türetmiştik. Ancak kompleks formun
kullanımının çok daha kolay olduğuna dikkat ediniz.
15
4.4
ZORLAMALI SALINIMLARDA GÜÇ SOĞURULMASI
Sönümlü salınımlarda, sürtünme kuvvetleri nedeniyle salınım hareketi enerji kaybeder.
Sürücü kuvvet kayıp enerjiyi karşılamaya çalışır. Şimdi söndürücü kuvvetin hızla orantılı
olduğu (F=-bv) durumu ele alalım.
Kalıcı çözümün
(4.51)
𝑥(𝑡) = 𝐴( )𝑐𝑜𝑠( 𝑡 − )
ifadesi ile verildiğini hatırlayalım. Burada
dir. Bu fonksiyon kullanılarak hız için
(4.52)
ifadesini elde ederiz. Burada 𝑣0( ) = 𝐴( ). , v hızının genliğidir. 𝑣0( ) için
𝑓0
𝑣0( ) = √ (
yazılacağı açıktır. Burada
(4.53)
2
2 2
2 2
0 − ) +𝛾
ifadesini
(4.54) biçiminde yazarak
için verilen ifadeyi
(4.55)
formunda yazılabiliriz.
iken
ve
değerinde payda en küçük değeri alacağından
maksimum değer
iken
dir.
değeri maksimumdan geçer ve
’ya eşittir.
Mekanik derslerinden ani gücün (P) kuvvet ile hızın çarpımı şeklinde verildiğini
biliyoruz, buradan ani güç için
(4.56) ifadesini yazabiliriz. Bu ifadede v hızı
yerine (4.52) eşitliğinde verilen değerini yazarsak
gücü için
(4.57)
bağıntısını elde ederiz.
Bir periyotluk (T) süreçte soğrulan ortalama güç
16
(4.58)
bağıntısı kullanılarak hesaplanabilir.
(4.59)
bağıntısından yararlanarak
(4.60)
elde edilir. Şimdi
değerleri ortalama güç ifadesindeki yerine
konulursa,
(4.61)
sonucu elde edilir.
4.4.1 Güç rezonans eğrisi
Ortalama gücün
,
'ya karşı grafiği osilatörün güç rezonans eğrisi (power
resonance curve) olarak adlandırılır (Şekil-4.11).
Şekil-4.11 Ortalama gücün frekansa bağlı davranışı (Güç-rezonans eğrisi).
17
→0 iken
ve →
iken
olduğundan
iken
'nın değeri
maksimum olur. Rezonans eğrisinin yarı yükseklikteki (
) genişliği
gösterilir ve önemli bir parametredir (Not: fwhh: frequency width half height).
ile
Bu genişlik uygulanan periyodik dış kuvvete karşı osilasyonun tepkisinin keskinliğinin
bir ölçüsüdür. Uygulanan kuvvetin frekansı ( ) rezonans frekansına yakın olduğunda
alınabilir. Bu durumda
(4.62)
yazabiliriz . Burada
’dir. Bu durumda ortalama güç ifadesi
(4.63)
olur.
'nın maksimum değeri
olduğunda (rezonans hali) gerçekleşir.
(4.64)
'nın maksimum değerinin yarısına düştüğü
değerine karşılık gelen
frekansları,
eşitliğinden elde edilir. Buradan
veya
𝑓𝑤ℎℎ
(4.65)
elde edilir ve bu değere rezonans genişliği adı verilir. Q kalite faktörü
(4.66)
değerini ortalama güç ifadesinde kullanırsak 𝑃̅( ) için
(4.67)
ifadesini elde ederiz. Bu bağıntı güç-rezonans eğrisinin Q'ya bağlı davranışıdır.
𝑃̅( ) ‘nin Q’ya bağlı davranışı Şekil-4.12’de verilmiştir.
18
Şekil-4.12 Güç-rezonans eğrisinin Q kalite faktörüne bağlı davranışı.
Bu şekilden de görüldüğü gibi Q büyüdükçe (b azaldıkça), güç-rezonans eğrisi
daralmaktadır. Daha önceden tanımlanmış olan
sönüm sabitine karşı gelen
değeri
dış sürücü kuvvetin yokluğunda sönümlü osilatörün enerjisinin azalması ile ilgilidir. Tam
olarak tanımı ise, enerjinin ilk değerinin 1/e’sine düşmesi için geçen zamanın tersidir
( =1/ ).
4.5
SALINIMA ZORLANMIŞ ELEKTRİK DEVRESİNDE REZONANS
Daha önce kütle-yay sistemi ile seri bağlı RLC devresi arasındaki benzerlikler, zorlayıcı
gerilim kullanmaksızın incelenmişti. Bu RLC devresine, bir AC elektromotor kuvvet
(emk) kaynağı ekleyelim. Şekil-4.13’de seri bağlı bir RLC devresi gösterilmiştir.
Şekil-4.13. Zorlamalı sönümlü salınım yapan elektrik devresi.
Burada devreye Kirchhof’un ilmek kuralı uygulanarak
19
(4.68a) veya
(4.68b)
yazılabilir. Eşitliğin her iki tarafını L’ye bölerek
(4.68c)
yazılır. Burada
(4.68d) alarak
(4.69)
yazabiliriz. Kütle-yay sisteminde salınıma zorlanan sönümlü hareketin denklemini tekrar
yazalım.
(4.70)
Bu iki denklem (4.69 ve 4.70) matematiksel olarak aynı formdadır. Bu nedenle daha
önceki çözümlerin benzerini burada da yazabiliriz.
Bu durumda (4.69) denkleminin kalıcı çözümü için
𝑞 = 𝑞0( )cos ( 𝑡 − ) (4.71) yazabiliriz. Burada 𝑞0( ) için
(4.72a)
veya
(4.72b)
elde ederiz.
Devreden geçen i akımı için ise
(4.73)
yazılabilir.
veya
koşulunda akım maksimum olur.
Başka bir deyişle akımın maksimum değeri (genliği) için
20
(4.74) yazabiliriz.
Kapasitörün uçları arasındaki gerilim farkının (𝑉𝑐 )
(4.75a)
ifadesi ile verileceğini biliyoruz. Burada
(4.75b)
dir.
0=
olduğunda 𝑉𝐶( )’ni değeri maksimum olur
(4.76)
Burada
kalite faktörüdür (Elektrik yükü küçük q harfi ile gösterilmiştir).
Bu sonuç RLC devresinin, rezonans durumunda, uygulanan AC voltaj değerini Q kalite
faktörü kadar yükselttiğini söyler.
ÖRNEK-1
(1)
homojen olmayan çizgisel diferansiyel denklemini sağlayan bir özel çözüm bulunuz.
Çözüm:
𝑥𝑝 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝐵𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡
Şeklinde bir çözüm seçelim. Bu fonksiyonun ikinci türevini hesaplayıp yukarıdaki (1)
denkleminde yerine yazalım:
21
veya
yazabiliriz. Burada
alarak
(2)
elde ederiz. Bu denklemin birinci dereceden çizgisel denklem olduğuna dikkat ediniz. Bu
denklemi çözmenin bir yöntemi, öyle bir 𝜌 = 𝜌(𝑡) fonksiyonu bulmaktır ki, denklem 𝜌
ile çarpıldığında sol taraf 𝜌𝑡 çarpımının türevi biçimine dönüşsün. Yani (2) denklemini
𝜌 ile çarparak
yazar ve 𝜌 üzerine
(3)
koşulunu koymaya çalışırız. (3)’ün sağ tarafını açıp terimleri sadeleştirdiğimizde
Buradan 𝜌’nun sağlaması gerekli koşul olarak
veya
(4)
elde ederiz. Bu denklem değişkenlerine ayrılabilen bir denklemdir. Buradan
22
yazabiliriz. Bu denklemin çözümü için
𝐿𝑛𝜌 = ∫ 𝑃̅𝑑𝑡 + 𝐿𝑛𝐶
yazabiliriz. Buradan 𝜌 = 𝐶𝑒∫ 𝑃̅𝑑𝑡 yazılabileceği açıktır. Keyfi olarak C=1 seçebiliriz. Bu
durumda 𝜌 = 𝑒∫ 𝑃̅𝑑𝑡 alınabilir. Bu fonksiyona (2) denkleminin integral çarpanı denir.
Bu durumda
ve
Burada C=1 alınarak
yazılabilir. Ayrıca
kısaltması yapılarak
yazılır. Burada 𝑢 = 𝑒a𝑡 ve 𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡𝑑𝑡 alınır ve ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 kısmi integrasyon
yöntemi uygulanırsa
sonucu yazılabilir (Calculus and analytic geometry; George B. Thomas, Jr.
Kitabına bakabilirsiniz). Bu ifadeden
elde edilir. Burada
değeri yerine yazılır ve gerekli ara işlemler yapılırsa
23
elde edilir. Aşağıdaki dik üçgenden
yazılabilir. Bu değerler kullanılarak yukarıdaki ifade
veya
sonucu elde edilir. Bu sonuç (1) denklemi için bir özel çözümdür. Konu anlatımında bu
sonucu kullandığımızı hatırlayınız.
ÖRNEK-2
Periyodik dış kuvvet 𝐹0𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 şeklinde olursa, zoruna salınımlı osilatörün kararlı hal
çözümünün (Kalıcı çözüm, 𝑥𝑝 özel çözümü) nasıl olacağını bulunuz. (French-p4.2)
Çözüm:
Örnek-1’de zorlamalı dış kuvvet 𝐹0𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 şeklinde olduğunda 𝑥𝑝 özel çözümünü elde
etmiştik. Dış kuvvet 𝐹0𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 şeklinde olursa daha önceki problemde karşımıza çıkan ∫
𝑒a𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡𝑑𝑡 integrali yerine ∫ 𝑒a𝑡 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡𝑑𝑡 integrali gelecektir. Bu integralin çözümü de
benzer şekilde yapılırsa
24
olduğunu göstermek zor değildir. Bu sonucu örnek-1’deki yerine yazarsanız 𝑥𝑝 özel
çözümü için
sonucunu elde edersiniz.
ÖRNEK-3
Kütlesi 0,2 kg olan bir cisim kuvvet sabiti k=80 N/m olan bir yaya asılıdır. Cisim –bv
şeklinde bir sönüm kuvvetine maruz kalmaktadır. Burada v hız (m/s cinsinden) ve b=4
Nm-1s sönüm sabitidir.
a) Sistemin serbest salınımlarının diferansiyel denklemini yazınız. Salınımların
periyodunu bulunuz.
b) Sistem, 𝐹(𝑡) = 𝐹0𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 , 𝐹0 = 2 𝑁 ,ve 𝜔 = 30 𝑠−1 olan sinüzoidal bir dış kuvvete
maruz kaldığı zaman kararlı halde zoruna salınımın genliği nedir? (French-p4.3)
Çözüm:
a) Sönümlü harmonik hareketin diferansiyel denkleminin
olduğunu biliyorsunuz (Ders notlarına bakınız).
𝑚 = 0,2 𝑘𝑔, 𝑘 = 80 𝑁/𝑚, 𝑏 = 4 𝑁𝑚−1𝑠 değerlerini kullanarak hareket denklemi için
yazabiliriz.
b) Zorlamalı sönümlü hareketin karalı durumunun genliği için
25
yazabiliriz.
ÖRNEK-4
Yatay bir zemin üzerinde yer alan m kütleli bir blok, bir ucu duvara tutturulmuş yatay
duran bir yayın ucuna bağlanmıştır. Sistem aynı zamanda bir viskoz mekanizması
altındadır. Bu sistem için aşağıdaki gözlemler tespit edilmiştir.
1) Eğer blok yatay ve mg’ye eşit bir kuvvetle itilirse yayın statik sıkışması h’ye eşit
olmaktadır.
2) Eğer blok belli bir u hızı ile hareket ederse viskoz sürtünme kuvveti mg olmaktadır.
a) Komple sistemde (yay ve viskoz sönüm mekanizması ) kütlenin yatay
titreşimlerinin diferansiyel denklemini, m, g, h ve u cinsinden yazınız.
durumu için aşağıdaki soruları yanıtlayınız.
b) Sönümlü titreşimlerin açısal frekansı nedir?
c) Enerjinin1/e değerine düşmesi için geçen zamanı
ifadesine bağlı olarak
bulunuz.
d) Bu osilatörün Q değeri nedir?
e) Osilatör t=0’da durgun iken +x yönünde hareket eden kütlesi ihmal edilebilen
ancak momentumu ihmal edilemeyen bir mermi tarafından harekete geçiriliyor.
Kararlı haldeen sonra herhangi bir t anındaki yer değiştirmeyi veren
ifadesinde verilen 𝛿 faz sabitinin değerini bulunuz.
26
f) Eğer sistem 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 ile verilen bir dış kuvvetle sürülürse ( Burada
dir) sistemin kararlı halinin genliği nedir? (French-p4.4)
Çözüm:
Sözü edilen sistemi aşağıdaki şekilde temsil edebiliriz.
a)
1. Gözlemden
2. gözlemden
elde edilir.
elde edilir.
Sönümlü harmonik hareketin diferansiyel denkleminin
olduğunu biliyorsunuz. 1. Ve 2. Gözlemlerden elde edilen sonuçları kullanarak hareketin
diferansiyel denklemi için
ifadesini yazabiliriz.
b)
Sönümlü hareketin frekansını 𝜔𝑠 ile gösterirsek
√
√
olarak veriliyor, bunu yerine yazarak
elde edilir.
c)
Enerjinin zamanla değişiminin 𝐸 = 𝐸0𝑒−𝛾𝑡 ifadesi ile verildiğini biliyorsunuz.
Buradan enerjinin 1/e’sine düşmesi için geçen zaman
27
elde edilir.
d)
Sistemin Q kalite faktörünün
ile verildiğini biliyorsunuz.
değerlerini kullanarak
bulunur.
e)
Zorlamalı sönümlü hareketin kararlı hal çözümü
𝑥 = 𝐴(𝜔) cos(𝜔𝑡 − 𝛿)
ifadesi ile veriliyor. 𝑡 = 0 anında 𝑥 = 0 olduğu veriliyor. Bu durumda
0 = 𝐴𝐶𝑜𝑠(0 − 𝛿) ⇒ 𝑐𝑜𝑠𝛿 = 0 ⇒ 𝛿 = 𝜋/2
bulunur.
f)
Zorlamalı sönümlü hareketin kararlı hal çözümünün genliğinin
ifadesi ile verildiğini biliyorsunuz. Burada 𝐹0 sürücü kuvvetin genliğidir. Sürücü kuvvet
olarak 𝐹 = 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 verildiğine göre 𝐹0 = 𝑚𝑔 yazabiliriz. Burada daha önce elde
ettiğimiz
değerlerini kullanarak A genliği için
elde edilir.
28
ÖRNEK-5
𝑚 = 0,2 𝑘𝑔, 𝑏 = 4 𝑁𝑚−1𝑠 ve 𝑘 = 80 𝑁/𝑚 değerlerine sahip bir sönümlü osilatör göz
önüne alınız. Bu osilatörün 𝐹(𝑡) = 𝐹0𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 (𝐹0 = 2 𝑁, 𝜔 = 30 𝑠−1) şeklinde bir dış
sürücü kuvvetin etkisinde olduğunu farz ediniz.
a) 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝛿) ile tanımlanan kararlı halin 𝛿 ve A değerlerini bulunuz.
b) Bir salınımda sönüm kuvvetine karşı ne kadarlık enerji harcanır?
c) Ortalama güç girdisi nedir? (French-p4.11)
Çözüm:
Zorlamalı sönümlü harmonik hareketin kararlı durum genliği
ifadesi ile ve faz sabiti ise
𝛾
𝑡𝑎𝑛
=
2
2
0−
ile verildiğini biliyorsunuz (Ders notlarına bakınız).
Bu değerler kullanılarak
𝛾
𝑡𝑎𝑛
0−
−
b) Mekanikte güç için 𝑃̅ = 𝐹. 𝑣 ifadesini yazacağımızı biliyoruz. Sönüm kuvvetine
(F=bv) karşı harcanan güç için
𝑃̅ = 𝐹. 𝑣 = (𝑏𝑣).𝑣 = 𝑏𝑣2
veya
yazabiliriz. Buradan
𝑑𝑊 = 𝑏𝑣2𝑑𝑡
29
yazılır.
olduğundan
𝑑𝑊 = 𝑏𝑣2𝑑𝑡 = 𝑏𝐴2𝜔2𝑠𝑖𝑛2(𝜔𝑡 − 𝛿)𝑑𝑡
Bir periyotluk sürede (T) harcanan enerji için
c) Ortalama güç girdisi için
ve
olduğundan
ifadesini yazabiliriz. Verilen ve bulunan değerler burada kullanılırsa
30
bulunur.
ÖRNEK-6
Aşağıdaki grafik, 𝐹(𝑡) = 𝐹0𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡
kuvveti ile sürülen bir mekaniksel sistemin
güçrezonans eğrisini göstermektedir. 𝐹0 sabit, 𝜔 ise değişkendir.
a) Bu sistemin Q ve 𝜔0 değerlerini bulunuz.
b) Dış kuvvetin etkisi yok edilirse, kaç salınım sonunda sistemin enerjisi ilk
1 değerinin
’ine düşer (𝑒 ≅ 2,718 ve iyi bir yaklaşımla serbest
2𝜋
salınımların periyodu olarak alınabilir). (French-p4.13)
𝜔0
Çözüm:
a)
b) Sönümlü hareketin genliği için
ifadesini yazabiliriz. Sistemin mekanik enerjisi için ise
yazıldığını biliyoruz. Buradan
yazılır.
31
yukarıda bulunan t süresi içindeki periyot sayısı (n) için
bulunur yani sistem 2,5 s süresince yaklaşık 16 salınım yapar.
ÖRNEK-7
Yatay düzlemde kütlesi 0,15 kg olan bir blok, kuvvet sabiti k=0,90 N/m olan bir yayın
ucuna bağlıdır. Sisteme sürtünmeler nedeniyle hız ile orantılı bir sönüm kuvveti
etkimektedir. Sönüm sabiti b=0,20 kg/s dir. Bu sisteme 𝐹(𝑡) = 𝐹0𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 ile verilen bir
harmonik dış kuvvet etki ettiriliyor. Burada 𝐹0 = 3,0 𝑁 dır.
a) Rezonans frekansını (𝜔𝑅) hesaplayınız.
b) Rezonans durumunda kararlı durumun genliğini hesaplayınız.
c) Rezonans durumunda sürücü dış kuvvetin sisteme uyguladığı ortlama gücü
hesaplayınız.
d) Hızın rezonansta olduğu frekansta, dış kuvvetin sisteme uyguladığı gücü
hesaplayınız.
e) c ve d şıklarında bulduğunuz değerleri karşılaştırın.
Çözüm:
Genlik rezonans frekensının
ifadesi ile verildiğini biliyoruz (Ders notlarına bakınız).
Verilen 𝑚 = 0,15 𝑘𝑔 , 𝑘 = 0,90 𝑁/𝑚 değerleri kullanılarak
ve
elde edilir. Bu sonuçlar kullanılarak 𝜔𝑅 frekansı için
bulunur.
32
b) Rezonans durumda genlik için
bulunur.
c) Sürücü kuvvet tarafından sisteme aktarılan ortalama gücün
ifadesi ile verildiğini biliyoruz. Bu ifade yeniden düzenlenerek
veya
veya
yazılabilir. Buradan
bulunur.
d) Kararlı durumda uzanımın
𝑥(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠( 𝑡 − )
ifadesi ile verildiğini biliyoruz. Buradan hız için
yazabiliriz. Hızın genliği (𝑣0) için ise
ifadesinin yazılacağı açıktır. Hızın rezonansta olduğu frekans değerini hesaplamak
gerekecek. Yani hızın genliğini maksimum yapacak frekans değerini bulacağız.
Buradan
33
Buradan 𝜔 = 𝜔0 olması gerektiği anlaşılır. Başka bir deyişle hızın rezonansta olduğu
frekans 𝜔𝑣𝑅 = 𝜔0 dır. Bu frekansta aktarılan güç
Burada 𝐴𝑣 için A’nın 𝜔 = 𝜔0’daki değerin alınacağına dikkat edelim.
e) Burada (𝑃̅𝑜𝑟𝑡)𝑣 > (𝑃̅𝑜𝑟𝑡)𝑥 olduğuna dikkat ediniz. Bu sonuç sadece bu özel
problem için geçerli değildir. Yani güç aktarımı, hızın rezonansta olduğu
frekansta , maksimum olur.
ÖRNEK-8
Kütlesi 𝑚 = 0,1 𝑘𝑔 olan bir blok kuvvet sabiti 𝑘 = 40 𝑁/𝑚 olan yayın ucuna bağlıdır.
Bu sistem sönüm sabiti 𝑏 = 0,1 𝑘𝑔/𝑠 olan bir kuvvetin etkisindedir.
a) Bu kütleyi 𝑥 = 0 denge konumundan 𝑥 = 15 𝑐𝑚 noktasına getirecek sabit 𝐹1
kuvvetinin değerini bulunuz.
34
b) Sisteme genliği 𝐹2 ve frekansı 𝜔 olan 𝐹(𝑡) = 𝐹2𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 sürücü dış kuvveti
uygulanıyor. Hız rezonansı durumunda kararlı durum hareketinin genliğinin 𝐴 =
15 𝑐𝑚 olması için sürücü kuvvetin genliği olan 𝐹2’nin değeri ne olmalıdır?
Çözüm:
Veriler
a) 𝐹1 = 𝑘𝑥 = 40𝑥0,15 = 6 𝑁
b) Kararlı durum çözümünün
𝑥𝑝 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜙)
bağıntısı ile verildiğini biliyorsunuz. Burada A için
yazabiliriz. Sürücü kuvvet 𝐹(𝑡) = 𝐹2𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 şeklinde verildiği için 𝐹0 = 𝐹2 olur.
Hız rezonansı durumunda 𝜔 = 𝜔0 olduğunu biliyoruz (Örnek-7’ye bakınız). Bu durumda
Statik 𝐹1 = 6 𝑁’luk kuvvet yayı 15 cm geriyor. Buna karşı sisteme 𝐹(𝑡) = 0,30𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡
şeklinde harmonik bir kuvvet uygulandığında, kuvvetin frekansı 𝜔 = 𝜔0 olduğunda, yay
15 cm gerilebiliyor. Ancak harmonik dış kuvvetin genliğinin 0,30 N olduğuna dikkat
ediniz. Kuvvetler oranı için
yazabiliriz . Başka bir deyişle, hız rezonansı
durumunda, genliği küçük harmonik bir kuvvetle yayı uzatmak daha kolay olmaktadır.
35