BOLUM-3sc

advertisement
BÖLÜM III
Örnek 1.
 kütleli bir cisim, yay sabiti  olan homojen yaylara şekillerdeki gibi asılmıştır. Her iki asılma
biçimi için periyot değerlerini bulunuz.
Çözüm:
a)  = −(1  + 2 ) = −2 , (1 = 2 = )
2
 2 + 2 = 0




1
2
b) 1 =  ve 2 = 

2 =

2
,

=
 +
 = 1 + 2 = − [ +  ] = − [ 1  2 ] = −
1
2
2 
 2+ =0

2

1 2
2 =

,
2
2

= 2√

2
2

=
,
(1 = 2 = ),  = −

2
2
2
= 2√


Örnek 2.
Bir platform düşey yönde saniyede 10⁄ titreşim ve 5 cm genlikle BHH
yapmaktadır. Küçük bir blok platform üzerine konuyor.
a) Blok hangi noktada platformu terk eder?
b) Blok, platformun ulaştığı en üst noktadan ne kadar yukarıya
yükselecektir? (French-p3.2)
Çözüm:
a) Sistem BHH yaptığı için
() = 
yazabiliriz. Bu durumda sistemin ivmesi
olacaktır. Platformun ivmesi yer çekim ivmesine eşit olduğunda blok ile platformun teması
kesilir. Bu andaki konuma 0 diyelim.
1
b) Blokun platformdan ayrıldığı anda 0=2,5 cm olacaktır. Bu anda
0,025  = 0,0520
yazabiliriz. Buradan
bulunur. Blokun platformdan ayrıldığı andaki hızına 0 diyelim,  = 
Bağıntısı kullanılarak
elde edilir. Blok platformdan ayrıldığı anda 0 hızı ile yukarı doğru atılmış cisim gibi davranır. Konumun
zamana bağlı değişiminin
bağıntısı ile verildiğini biliyorsunuz. Blok en yüksek noktaya çıktığında hızı sıfır olacaktır,
Bu durumda
sonucu elde edilir ve buradan blokun çıkabileceği en yüksek noktanın koordinatı için
değeri bulunur. Platformun çıkabileceği yükseklik en fazla  = 0,05  = 5  genliği
kadar olur. Bu durumda blok en yüksek noktaya ulaştığında platform ile arasındaki mesafe
ise 6,25 − 5,00 = 1,25 cm olur.
Örnek 3.
Uzunluğu L olan homojen bir çubuk belli bir amaç için
uzunluğunun
2/3’ünden şekildeki gibi asılmış halde iken titreşim hareketi
yapmaktadır.
L/3

d
K
Çubuğun küçük titreşimlerinin periyodunu bulunuz. (Frenchp3.3)
 = 
 = 

2
Çözüm:
Problemin çözümüne uygun bir şekil yukarıda verilmiştir.
Şekilde KM’nin asılma noktasına uzaklığı d ile gösterilmiştir. Bu şekilden
yazabiliriz. Çubuğun ağırlığı KM’ine etkir. Bu kuvvetin çubağa dik bileşeni olan  = 
kuvveti çubuğu döndürmeye çalışacaktır. Bu kuvvetin
uyguladığı tork () için
olacaktır. Burada eksi işareti torkun geri çağırıcı olduğu anlamındadır. Dönen cisimleri incelerken
tork ile eylemsizlik momenti (I) arasındaki ilişkinin
 = 
bağıntısı ile verildiğini biliyorsunuz. Burada  açısal ivmedir. Bu durumda tork için
ifadesi yazılabilir.
veya
yazılabilir. Küçük titreşimlerde  ≅  alınabilir ve bu durumda yukarıdaki eşitlik
şeklinde yazılabilir. Burada
alınarak
yazılabilir. Bu denklem daha önce incelediğimiz BHH’in denklemi ile aynıdır.
Buradan periyod için
3
yazabiliriz. Bu çubuğun dönme eksenine göre eylemsizlik momentini paralel eksen teoremini
kullanarak
yazılabilir. Bu değer yukarıda verilen periyot ifadesinde kullanılırsa
sonucu elde edilir. Periyodun kütlesinden bağımsız olduğuna dikkat ediniz.
Örnek 4.
Yarıçapı R ve kütlesi M olan homojen bir disk, uzunluğu L ve kütlesi m olan homojen bir çubuğun
ucuna bağlıdır. Çubuğun diğer ucu, sürtünmesiz bir mile asılıdır. Bu sistemin küçük titreşimler
yapması durumunda periyodunu bulunuz.
Çözüm:
Problemin çözümüne uygun bir şekil yanda verilmiştir.
 ve  kuvvetleri sistemi P noktası etrafında döndürmeye
çalışacaktır. Geri çağırıcı tork için
ifadesini yazabiliriz. Tork ile eylemsizlik momenti (I) arasındaki
ilişkinin
 = 
bağıntısı ile verildiğini biliyorsunuz. Burada  açısal ivmedir. Bu
durumda tork için
ifadesi yazılabilir. Buradan
yazılır. Küçük titreşimlerde  ≅  alınabilir ve bu durumda yukarıdaki
eşitlik
4
veya
Burada I eylemsizlik momenti için
ifadesini yazabiliriz. Bu durumda hareket denklemi
olacaktır. Burada
alınabilir ve periyot için
ifadesi yazılabilir.
Örnek 5.
Kütlesi m ve boyu L olan homojen ince bir çubuk, bir ucundan serbestçe dönecek şekilde, duvara
menteşelenmiştir. Çubuğun diğer ucu kütlesi ihmal edilebilen ve kuvvet sabiti k olan bir yaya şekildeki gibi
bağlıdır. Çubuk yatay durumdayken,
yayın boyu serbest haldekine göre 0
kadar uzamıştır. Daha sonra çubuğun yaya
bağlı ucu y kadar aşağı çekilip bırakılıyor.
Çubuğun basit harmonik hareket (BHH)
yapacağını, hareket denklemini yazarak
gösteriniz
ve
hareketin
titreşim
periyodunu bulunuz. Problemi çözerken y
ve ’nin küçük olduklarını kabul ediniz.
1
Çubuk için  = 12 2 .
5
Çözüm:
Sistem denge durumundayken yayın boyunun 0 kadar
uzadığını kabul edelim.Bu durumda sistem dengede olduğuna
göre çubuk üzerine etki eden net tork sıfır olur.

 = 0 
2
Yayı şekildeki gibi  kadar aşağı çekip bırakırsak, yaya etki
edecek geri çağırıcı tork için

 =  − ( + 0 ) = −
2

Küçük salınımlar için
 ≅  ≅  ≅ 
 =

 = − ≅ −2 
2 

  2 + 2  = 0 
2 
 2
+
2

=0
Çubuğun bir ucundan sabitlenerek döndürülmesi durumunda eylemsizlik momenti:
2


1
 =  + (2)2 =  12 + (2)2 = 3 2
Çubuğun açısal momentumu:
2
2 = 1
3
2

= 3

Periyot:  = 2√3
Örnek 6.
Kütlesi , yarıçapı  olan bir tekerlek, şekildeki gibi bir ucu duvara bağlanmış
ve yay sabiti  olan bir yayın diğer ucuna bağlı olarak yatay doğrultuda
kaymadan yuvarlanarak basit harmonik kareket yapmaktadır. (Yayın kütlesi
ihmal edilecek, tekerlek için  =  2 ).
Bu sistemin küçük genlikli titreşimler yapması durumunda periyodunu bulunuz.  = 0 anında
tekerlek yayın denge noktasından ( = 0) itibaren sağa doğru bir tur hareket edecek şekilde
çekilerek serbest bırakılıyor. Tekerleğin kütle merkezinin () yer değiştirme ifadesini ,  ve 
cinsinden elde ediniz.
Çözüm: I.Yol
Tekerlek kaymadan yuvarlandığı için tekerleğin kütle merkezi yatayda  kadar hareket ettiğinde,
tekerleğin dönme açısı  =


kadar olacaktır. Açısal hız  =


=
1 
 
olacağından, tekerleğin
kütle merkezinin hızı  = ’ dir.
a) Tekerlek ve yay sisteminin toplam mekanik enerjisi
1
1
1
1
1
1 ̇ 2 1
1
1
̇ 2
 =  2 +  2 + 2 =  2 + ̇ 2 +  2 =  2 + ̇ 2 +  2 2
2
2
2
2
2
2 
2
2
2

1 2
=  + ̇ 2
2

Sistemin mekanik enerjisi korunur, dolayısıyla  = 0 ‘dır.

=  + 2̈ = 0

6

Sistemin hareket denklemi: ̈ + 2  = 0,

hareketin açısal frekansı 2 = 2
2
periyot ise  = 2√
dır.

b) Bu denklemin çözümü () = 0 ( + ∅) şeklinde olacaktır.
Başlangıç koşulu:  = 0’da  = 0 = 2 ve  = 0 olarak verilmektedir. Başlangıç koşullarını
çözüm ifadesinde kullanarak faz sabitini bulabiliriz.
(0) = 0 (∅) = 0  ∅ = 0 olarak bulunur.
() = 0 ( ) = 2(√/2 )
II: Yol.
Tekerlek üzerine etki eden kuvvetler: − ve statik sürtünme  kuvveti.
Tekerleğin dönmesini sağlayan kuvvet statik sürtünme  kuvveti
2
=
−
⏟
= − 2 =  

 öü ö
Yatay yönde kayma olmadan ötelenme var. Tekerleğin kütle merkezinin lineer ivmesi 
olacaktır.
∑  =  = − +    =  +  = ̈ + 
̈
Lineer yer değiştirme ile açısal yer değiştirme arasındaki ilişki:  =  ve ̈ =

2 

−  2 =  

−̈ =  

2 = 2
̈ + 2  = 0 ;
̈
 −  = (̈ + ) 
̈
 2 
+ ̈ +  = 0
2
periyot ise  = 2√ 
Örnek 7.
4 g kütleli bir cisim, bir yaya asılmış halde titreşim hareketi yapmaktadır. Cismin  = 0 anındaki
yer değiştirmesi 43.785 , ivmesi ise −1.7514 / 2 dir. Yay sabitinin değeri nedir?
Çözüm: () = ( + ) ,
() =


= −( + ) , () =
 

= − ( + )
 = ’da ( = ) =  = .   ve ( = ) = − ⏟
   = −.  /
.
=
1.7514

= 0.2
,
43.785

2 =

,

 = 2 = 4(0.2)2 = 0.16 /
Örnek 8.
 = −
ifadesinin,
 


+   + 02  = 0 denkleminin bir çözümü olabilmesi için
sağlanması gereken koşulları belirleyiniz ve buradan  ve ’yı bulunuz.
Çözüm:
Verilen fonksiyonun çözüm olabilmesi için fonksiyonun


 
  türevlerini alarak verilen
diferansiyel denklemde yerine yazdığımızda denklemi sağlaması gerekir.
Birinci türev için
7
yazılabilir. İkinci türev için
ise
veya
veya
yazılabilir. Bunlar verilen diferansiyel denklemde yerine yazılırsa
−[(2 − 2) + 2 −  −  + 02 ] = 0
veya
−[(2 − 2 −  + 02) + (2 − ) ] = 0 elde edilir. Bunun her
zaman sağlanabilmesi için büyük parantez içindeki  ve ’in katsayılarının sıfır olması
gerekir yani,
2 −  = 0
olmalıdır. Bu iki eşitlikten
sonuçlarını elde ederiz. Bu sonuçları daha önce anlatılanlardan da biliyorsunuz.
Örnek 9.
Kütlesi m olan bir cisim şekilde görüldüğü gibi kuvvet sabiti k olan ve
gerilmemiş haldeki uzunlukları 0 olan iki özdeş yaylara bağlanmıştır.
Sistem sürtünmesiz bir masa üzerindedir. Her iki yay 0’dan daha
büyük l uzunluğuna kadar uzayabilmektedir. m kütlesinin denge
konumunda yatay yer değiştirmesi x ile ve düşey yer değiştirmesi y ile
gösterilmiştir.
8
a)  doğrultusundaki küçük yer değiştirmelere karşılık gelen hareketin diferansiyel denklemini
yazınız.
b)  doğrultusundaki küçük yer değiştirmelere karşılık gelen hareketin diferansiyel denklemini
yazınız ( ≪  kabul ediniz).
c)  ve 0 vasıtasıyla  ve  boyunca titreşim periyotlarının oranını hesap ediniz.
d)  = 0 da m kütlesi  =  = 0 noktasından sıfır hızla harekete geçerse, herhangi bir t anında
cismin  ve  koordinatları nedir? (French-p3.19)
Çözüm:
a) Denge halinde yayların ikisi de a kadar gerilmiş durumda olsun (Yayların serbest boyu 0 ).
m kütlesini sağa doğru x kadar çektiğimizi düşünelim. Bu durumda m kütlesine etkiyen
bileşke kuvvet
 = −2 olacağı açıktır. 2. Newton yasasından
veya
veya
alarak
yazabiliriz. b)
m kütlesini şekildeki gibi y doğrultusunda hafifçe çektiğimizi düşünelim. Yayların eşit miktarda
uzayacağı açıktır. Yayların yeni boyunun L olduğunu kabul edersek, yaylardaki uzama miktarı
∆ =  − 0
olacaktır. Bu durumda yayların kütleye uygulayacağı geri çağırıcı kuvvet
 = −( − 0)
olacaktır. T gerilimlerinin yatay bileşenleri () eşit ve zıt yönlüdür. Bu nedenle kütleye yatay
doğrultuda net bir kuvvet etkimez. T gerilimlerinin düşey bileşenleri () eşit ve aşağı doğrudur.
Bu nedenle m kütlesine düşey doğrultuda etkiyen bileşke kuvvet
 = −2
olacaktır. Bu durumda
9
yazabiliriz. Şekilden
yazılabilir. Bunu yukarıdaki ifadede kullanırsak
veya
yazılabilir. Şekilden
2 = 2 + 2
olduğu açıktır. Bu değeri yukarıda yerine yazarsak
elde ederiz. Burada y’nin katsayısı sabit olmadığı için bu denklem BHH denklemi değildir. Ancak
 ≪  yaklaşımında olaya baktığımız için
yazılabilir. Bu durumda y’nin katsayısı
seriye açılarak
için
alınabilir ( ≪  olduğu için). Bu yaklaşımda y doğrultusunda hareket denklemi için
ifadesini yazabiliriz. Burada y’nin katsayısı pozitif olduğu için
alınabilir. Bu durumda
yazabiliriz. Bu denklemin BHH’in hareket denklemi olduğuna dikkat ediniz.
c) x-doğrultusundaki hareket denkleminden
ve y-doğrultusundaki hareket denkleminden
elde etmiştik. Buradan periyotlar için
10
ifadelerini yazabiliriz. Buradan periyotlar oranı için
sonucunu elde ederiz.
d) Kütlenin x ve y doğrultusundaki hareketi BHH olduğu için
ve
yazabiliriz.
Örnek 10.
Kütlesi m olan küçük bir top uzunluğu 1 ve 2 olan iki tel ile şekildeki gibi duvara bağlanmıştır.
Denge durumunda her iki teldeki gerilim 0’dır. m kütlesi düşey doğrultuda hafifçe çekilip serbest
bırakılıyor. Küçük titreşimlerin periyodunu bulunuz.
Çözüm:
1 ve 2gerilimlerinin yatay bileşenleri birbirine zıt yöndedir ve kütlenin yatay doğrultuda
titreşimine bir katkı sağlamaz. 1 ve 2 gerilimlerinin düşey bileşenleri aşağı doğrudur. Bu
bileşenlerin toplamı m kütlesine geri çağırıcı kuvvet uygular. Bu kuvvet
 = −11 − 22
şeklinde yazılabilir. Küçük salınımlar için
alınabilir. Ayrıca küçük titreşimler için 1 = 2 = 0 alınabilir. Bu durumda F kuvveti için
yazabiliriz. Bu durumda m kütlesinin hareket denklemi için
veya
veya
11
Burada
alarak
yazabiliriz. Buradan Periyot için
ifadesi elde edilir.
Örnek 11.
0.2 kg kütleli bir cisim yay sabiti 80 N/m olan bir yaya asılıdır. Bu cisim –  ile verilen bir sürtünme (sönüm)
kuvvetine maruz kalırsa (burada cismin hızıdır),
a) Sistemin serbest salınımlarının diferansiyel denklemini yazınız.
b) Eğer sönümlü harmonik hareketin frekansı, sönüm olmadığı zamanki frekansın √3/2 ’si ise b
sabitinin değeri nedir?
c) Sistemin  kalite faktörü nedir, 10 salınım sonunda titreşimin genliği hangi faktör (kaç kat) ile
azalır? (French-p3.14)
Çözüm:
a)  = − −  sisteme etkiyen net kuvvet
2 

  2 +   +  = 0 sistemin hareket denklemi
2 
 

+   +   = 0
 2

buradan
80
2 
 2

+   + 02  = 0

02 =  = 0.2 = 400 (/)2 ,  = 
b)  = √02 − 2 ⁄4 =
√3
2
0
3
ise 02 − 2 ⁄4 = 4 02
,
 2 = 02 ,  = 0 = 20  −1
 =  = 20 ∗ 0.2 = 4 /
c)  =
0

=1 , =
γt
√3
2
0 =
√3
2
∗ 20 = √300 ,  = 10 = 10
2

=
20
√300
≅ 3.63 
20∗3.63
() = 0 e− 2 = 0 e− 2 0 (1.72 × 10−16 ) , () ≪ 0 hareket tamamen sönmüş kabul
edilebilir. Başka bir deyişle sistem çok kısa sürede sönüme gider.
12
Örnek 12.
Bir çok titreşen sistemde depolanan enerji zamanla  = 0− şeklinde üstel azalır. Böyle bir

titreşim hareketi için Q ifadesi  = 0 ile verilir. Burada 0 titreşimlerin doğal frekansıdır.
a) Bir piyanonun orta C’sine vurulduğu zaman titreşim enerjisi 1s’de ilk değerinin yarısına
düşer. Orta C’nin frekansı 256 Hz’dir. Sistemin Q değeri nedir?
b) Daha yüksek oktavlı bir notasında (f=512Hz) enerji azalması aynı sürede oluyorsa Q değeri
nedir?
c) 0,1 kg kütlesindeki bir cisim yay sabiti k=0,9 N/m olan bir yaya asılıdır.
Bu sistem sönüm sabiti b (öü = −)olan bir akışkan içinde hareket ederek 4 s’de
enerjisi ilk değerinin 1/e’sine düşüyor. Q ve b değerlerini bulunuz. (French-p3.15)
Çözüm:
a)  = 0−
ifadesi
yazabiliriz. Buradan
ve
verilenler
kullanılarak
0,50
=
0−.1
 = 2 ⇒  = 2 elde edilir.
b)
c)
 =  = 0,10,25 =
0,025 kg/s
√
Örnek 13.
Şekildeki LRC devresindeki C sığası başlangıçta 0 yükü ile yüklüdür.
Devredeki S anahtarı kapandıktan sonra Krichhoff’un ilmek kuralını kullanarak devre denklemini ( yükü
cinsinden) yazınız. Bu denklemi mekanik sistemdeki sönümlü harmonik osilatörün devre denklemi ile
karşılaştırarak , ,  ve ’nin mekanik karşılıklarını belirleyiniz.
b) Mekanik benzerlikten yararlanarak  yükünün zamana bağlı değişimini veren ifadeyi yazınız.
c) Şekildeki devre elemanlarının değeri  = 10  ,  = 1.0  ve  = 2.0 Ω ’dur. Salınımların açısal
frekansının yaklaşık değeri nedir? Sistemin  kalite faktörünün değeri nedir? Bu devrede yük
salınımlarının genliği ne kadar süre sonra dörttebirine düşer. Bu sürede kaç periyotluk salınım olur?
a)
13
Çözüm:
LRC devresindeki  sıgası başlangıçta 0 yükü ile yüklüdür.
S anahtarı kapatılırsa, Krichhoff’un ilmek (çevirim) kuralını kullanarak devre denklemini
a)


  +  +  = 0
şeklinde yazabiliriz.  =
2 



2 

  2 +   +  = 0 



 2
=
2 
 2
 
eşitlikleri yerine konulursa,

+   +  = 0 
2 
 2

+   + 02  = 0
denklemi elde edilir. Bu denklem sönümlü harmonik hareket denklemi olan,
2 
2 

 

  2 +   +  = 0   2 +   +   = 0 
2 
 2

+   + 02  = 0
Mekanik
Elektrik
sistem
sistemi





1/


 = /
 = /
denklemi ile aynıdır.
Bu iki denklem karşılaştırıldığında, mekanik sistemdeki büyüklükler ile LRC elektrik devresindeki büyüklükler arasında
benzerlikler yandaki tabloda verilmiştir.
Bu benzetişimden yararlanarak, sönümlü harmonik hareket için verilmiş olan çözüm ifadesini devre
denkleminin çözümü için kullanabiliriz.
b)

() = 0 e−2 cos(ω) = ()cos()
Burada 0 , başlangıçta kondansatör üzerinde depolanan yük, () ise devrede salınan yükün genliğidir. Yine
2
1
1/2
benzerlikten yararlanarak, sistemin açısal frekansı için  = [ − 42 ]
ifadesini yazabiliriz.
Devre elemanlarının değeri  = 10 ,  = 1.0  ve  = 2.0 Ω’dur.
Salınımların açısal frekansı :
c)
1
=
1
[
2 2
− 42 ]
1
1
[10−2 ∗10−6
=
4
− 4∗10−4 ]2
1
= [108 − 104 ]2 ≅ 104


Devrede /2 ≪ 1/ olduğu görülmektedir. Bu nedenle sönüm çok yavaş olmakta ve frekansda LC devresinin doğal
titreşim frekansına yaklaşık eşit çıkmaktadır (0 ≅ √1/).
Devrenin  değeri:  =
0

=
√1/
/
=
√/

10−2
1
= 2 √10−6 = 50
Devrede salınan yükün genliğinin başlangıç değerinin ¼’üne düşmesi için geçen zamana 1 diyelim. Bu durumda

1
() = 0 e−2  (1 ) = 0 e− 2 =
1
e 2 = 4 
1
2
= ln(4)
Bu süredeki salınım sayısı:  =
1



1 =
1
= 2/
=
0
4
olacaktır.
2 ln(4)

=
2∗10−2 ∗1.386
2
13.86×10−3 ∗104
6.28
= 13.86 
≅ 22
14
Örnek 14.
Sönümlü salınım yapan bir LRC devresinde bir devirlik sürede enerji kayıp oranı
olması durumunda yaklaşık olarak
2

∆

’ın R’nin küçük
ile verilebileceğini gösteriniz.
Çözüm:
Şekildeki LRC devresinde S anahtarı kapandıktan sonra kondansatör
üzerindeki yük harmonik hareket yapar. Bu LRC devresinde yük için
ifadesini türetmiştik. R’nin küçük olduğu durumda bu ifadeyi
şeklinde yazabiliriz. Başlangıçta anahtar açık iken kondansatör yüklüdür ve devreden akım geçmez.
Bu durumda kondansatördeki enerji
ifadesi ile verilir. Anahtar kapandıktan sonra kondasatördeki yük yukarıda verilen bağıntıyla tanımlı
osilasyon yapar. Bir periyotluk süre sonunda yük için
ifadesini yazabiliriz (
kondansördeki enerjiyi U ile gösterirsek,
olduğuna dikkat ediniz). Bu anda
yazabiliriz. Buradan
15
yazabiliriz. Buradan
elde ederiz. x ifadesini seriye açılımının
ifadesi ile verildiğini biliyoruz. Burada x’in küçük değerlerinde x ≅ 1 +  alabiliriz. Bu bilgiden
yararlanarak
yazabiliriz. R’nin küçük değerlerinde açısal frekans  =
periyot için  =
2

1
√
ifadesi ile verilebilir. Bu durumda
yazabiliriz ve değeri yukarda elde ettiğimiz sonuçta kullanırsak,
sonucunu elde ederiz.
Örnek 15.
Kütlesi 0,5 kg olan bir blok, kuvvet sabiti k=12,5 N/m olan bir yayın ucuna bağlı olarak kritik altı sönümlü
hareket yapıyor. Hareketin frekansı, sönümsüz hareketin frekansından % 0,2 daha az olduğu gözlemleniyor.
a) Hareketin sönüm sabiti b’nin değerini bulunuz.
b) Hareketin genliğinin zamana bağlı değişimini bulunuz.
c) Mekanik enerjinin başlangıç değerinin %1’ine düşmesi için geçen süreyi bulunuz.
d) Sistemin kritik sönüm durumunda hareket edebilmesi için sönüm sabiti () ne olmalıdır?
Çözüm:
a) Sönümlü harmonik hareketin açısal frekansının
ile verildiğini biliyorsunuz. Buradan sönüm sabiti  için
yazılabilir. Verilenler kullanılarak sönüm sabiti b için
16
elde edilir.
b)
elde edilir.
c) Sönümlü hareketin toplam enerjisinin genliğin karesi ile orantılı olduğunu biliyoruz (Ders notlarına
bakınız)

0
= 0,01 olması için geçen süre soruluyor.
d) Kritik sönüm halinde
olduğunu hatırlayınız. Buradan
elde edilir.
17
Download