BÖLÜM IV Örnek 1. (1) homojen olmayan çizgisel diferansiyel

BÖLÜM IV
Örnek 1.
(1)
homojen olmayan çizgisel diferansiyel denklemini sağlayan bir özel çözüm bulunuz.
Çözüm:
𝑥𝑝 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝐵𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡
Şeklinde bir çözüm seçelim. Bu fonksiyonun ikinci türevini hesaplayıp yukarıdaki (1) denkleminde
yerine yazalım:
veya
yazabiliriz. Burada
alarak
(2)
elde ederiz. Bu denklemin birinci dereceden çizgisel denklem olduğuna dikkat ediniz. Bu denklemi
çözmenin bir yöntemi, öyle bir 𝜌 = 𝜌(𝑡) fonksiyonu bulmaktır ki, denklem 𝜌 ile çarpıldığında sol taraf
𝜌𝑡 çarpımının türevi biçimine dönüşsün. Yani (2) denklemini 𝜌 ile çarparak
yazar ve 𝜌 üzerine
(3)
koşulunu koymaya çalışırız. (3)’ün sağ tarafını açıp terimleri sadeleştirdiğimizde
Buradan 𝜌’nun sağlaması gerekli koşul olarak
veya
1
(4)
elde ederiz. Bu denklem değişkenlerine ayrılabilen bir denklemdir. Buradan
yazabiliriz. Bu denklemin çözümü için
𝐿𝑛𝜌 = ∫ 𝑃𝑑𝑡 + 𝐿𝑛𝐶
yazabiliriz. Buradan 𝜌 = 𝐶𝑒∫ 𝑃𝑑𝑡 yazılabileceği açıktır. Keyfi olarak C=1 seçebiliriz. Bu durumda
𝜌 = 𝑒∫ 𝑃𝑑𝑡 alınabilir. Bu fonksiyona (2) denkleminin integral çarpanı denir.
Bu durumda
ve
Burada C=1 alınarak
yazılabilir. Ayrıca
kısaltması yapılarak
yazılır. Burada 𝑢 = 𝑒a𝑡 ve 𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡𝑑𝑡 alınır ve ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 kısmi integrasyon yöntemi
uygulanırsa
sonucu yazılabilir (Calculus and analytic geometry; George B. Thomas, Jr. Kitabına bakabilirsiniz). Bu
ifadeden
elde edilir. Burada
değeri yerine yazılır ve gerekli ara işlemler yapılırsa
2
elde edilir. Aşağıdaki dik üçgenden
yazılabilir.
Bu değerler kullanılarak yukarıdaki ifade
veya
sonucu elde edilir. Bu sonuç (1) denklemi için bir özel çözümdür. Konu anlatımında bu sonucu
kullandığımızı hatırlayınız.
Örnek 2.
Periyodik dış kuvvet 𝐹0𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 şeklinde olursa, zoruna salınımlı osilatörün kararlı hal çözümünün (Kalıcı
çözüm, 𝑥𝑝 özel çözümü) nasıl olacağını bulunuz. (French-p4.2)
Çözüm:
Örnek-1’de zorlamalı dış kuvvet 𝐹0𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 şeklinde olduğunda 𝑥𝑝 özel çözümünü elde etmiştik. Dış
kuvvet 𝐹0𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 şeklinde olursa daha önceki problemde karşımıza çıkan ∫ 𝑒a𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡𝑑𝑡 integrali yerine
∫ 𝑒a𝑡 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡𝑑𝑡 integrali gelecektir. Bu integralin çözümü de benzer şekilde yapılırsa
olduğunu göstermek zor değildir. Bu sonucu örnek-1’deki yerine yazarsanız 𝑥𝑝 özel çözümü için
sonucunu elde edersiniz.
3
Örnek 3.
𝑚 = 0.2 𝑘𝑔 , 𝑏 = 4 𝑁. 𝑚−1 . 𝑠 ve 𝑘 = 80 𝑁/𝑚 değerine sahip bir sönümlü osilatör göz önüne alınız.
Bu osilatörün 𝐹 = 2 cos(30𝑡) (𝑁) şeklinde bir dış kuvvetin etkisinde olduğunu farz ediniz. (French
4.11)
a) Sistemin serbest salınımlarının diferansiyel denklemini yazınız. Salınımların periyodunu
bulunuz.
b) 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝛿) ile tanımlanan kararlı halin 𝛿 ve 𝐴 değerlerini bulunuz.
c) Bir salınımda sönüm kuvvetine karşı ne kadarlık enerji harcanır?
d) Bir periyotluk sürede ortalama güç girdisi nedir?
Çözüm:
a) Serbest salınım olduğunda sürücü kuvvet yok demektir. Bu durumda sönümlü hareket yapan
sistemin diferansiyel denklemi
𝜔02
2
𝑘
80
= 𝑚 = 0.2 = 400
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡 2
𝑏 𝑑𝑥
+𝑚
(𝑟𝑎𝑑/𝑠)2
𝑑𝑡
𝑘
+ 𝑚 𝑥 = 0 ifadesi ile verilir. Sistem için verilenlerden
𝑏
4
𝛾 = 𝑚 = 0.2 = 20 𝑠 −1
ve
𝑑 𝑥
𝑑𝑥
+ 20
+ 400𝑥 = 0
2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
2𝜋
Sistemin titreşim frekansı 𝜔 = √𝜔02 − 𝛾 2 /4 = √400 − 100 periyot: 𝑇 = 𝜔 =
b) 𝐴 =
𝐹0 /𝑚
2𝜋
√300
𝜋
= 5√3 𝑠
1/2
2
[(𝜔02 −𝜔2 ) +𝛾2 𝜔2 ]
𝐹 = 2 cos(30𝑡) (𝑁) buradan 𝜔 = 30
𝐴=
𝑟𝑎𝑑
𝑠
𝑣𝑒 𝐹0 = 2 𝑁
2/0.2
≅ 0.013 𝑚 = 1.3 𝑐𝑚
[(400 − 900)2 + 202 302 ]1/2
𝜔𝛾
30∗20
𝑡𝑎𝑛𝛿 = (𝜔2 −𝜔2 ) = (400−900) = −6/5
0
buradan 𝛿 = 130° =
13𝜋
𝑟𝑎𝑑
18
𝑑𝑥
c) 𝐹𝑠ö𝑛ü𝑚 = −𝑏𝑣 = −𝑏 𝑑𝑡 = 𝑏𝐴𝜔𝑠𝑜𝑛(𝜔𝑡 − 𝛿)
𝑃𝑠ö𝑛ü𝑚 = 𝐹⃗𝑠ö𝑛ü𝑚 . 𝑣⃗ = 𝐹𝑠ö𝑛ü𝑚 𝑣 𝑐𝑜𝑠180° = −𝑏𝐴2 𝜔2 𝑠𝑖𝑛2 (𝜔𝑡 − 𝛿)
Sönüm kuvvetine karş dış kuvvetin harcadığı güç: 𝑃 = −𝑃𝑠ö𝑛ü𝑚 = 𝑏𝐴2 𝜔2 𝑠𝑖𝑛2 (𝜔𝑡 − 𝛿) ve dış
kuvvetin bir periyotluk sürede yapmış olduğu iş:
𝑇
𝑇
𝑇
2 2
𝑊 = ∫ 𝑃. 𝑑𝑡 = 𝑏𝐴 𝜔 ∫ 𝑠𝑖𝑛2 (𝜔𝑡 − 𝛿)𝑑𝑡 = 𝑏𝐴2 𝜔2 = 𝑏𝐴2 𝜔𝜋 = 4 ∗ (0.013)2 ∗ 30 ∗ 3.14
2
0
0
= 0.063 𝐽
d) Bir periyotluk (T) süreçte soğrulan ortalama güç
2
2
1 𝑡 +𝑇
𝑤 𝐹 𝛾
𝑃̅(𝑤) = 𝑇 ∫𝑡 0 𝑃(𝑡) 𝑑𝑡 = 2𝑚[(𝑤2 −𝑤02 )2 +𝑤2 2] =
0
0
Bağıntılarından
birisi
kullanılarak
𝐹0 2
𝑤
𝑤 2 1
2𝑚𝑤0 𝑄{( 0 − ) + 2 }
𝑤 𝑤0
𝑄
hesaplanabileceği
,
gibi
𝑄=
𝜔0
𝛾
20
= 20 = 1
𝑇
𝑊 = ∫0 𝑃(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑇𝑃̅(𝑤)
bağıntısından da hesaplanabilir.
𝐼. 𝑦𝑜𝑙:
𝑊
𝑊
0.063∗30
𝑃̅(𝑤) = 𝑇 = 2𝜋 𝜔 = 6.28 = 0.30 𝑊𝑎𝑡𝑡
𝐹0 2
𝐼𝐼. 𝑦𝑜𝑙: 𝑃̅ (𝑤) =
2𝑚𝑤0 𝑄 {(
𝑤0 𝑤 2
1
− ) + 2}
𝑤 𝑤0
𝑄
=
22
20 30 2 1
2 ∗ 0,2 ∗ 20 ∗ 1 {(30 − 20) + 2 }
1
= 0.30 𝑊𝑎𝑡𝑡
4
Örnek 4.
Yatay bir zemin üzerinde yer alan 𝑚 kütleli bir blok, bir ucu duvara tutturulmuş yatay duran bir yayın
ucuna bağlanmıştır. Sistem aynı zamanda bir viskoz mekanizması altındadır. Bu sistem için aşağıdaki
gözlemler tespit edilmiştir.
1) Eğer blok yatay ve mg’ye eşit bir kuvvetle itilirse yayın statik sıkışması h’ye eşit olmaktadır.
2) Eğer blok belli bir u hızı ile hareket ederse viskoz sürtünme kuvveti mg olmaktadır.
a) Komple sistemde (yay ve viskoz sönüm mekanizması ) kütlenin yatay titreşimlerinin diferansiyel
denklemini, m, g, h ve u cinsinden yazınız.𝑢 = 3√𝑔ℎ durumu için aşağıdaki soruları yanıtlayınız.
b) Sönümlü titreşimlerin açısal frekansı nedir?
c) Enerjinin1/e değerine düşmesi için geçen zamanı √𝑔/ℎ ifadesine bağlı olarak bulunuz.
d) Bu osilatörün Q değeri nedir?
e) Osilatör 𝑡 = 0’da durgun iken +𝑥 yönünde hareket eden kütlesi ihmal edilebilen ancak momentumu
ihmal edilemeyen bir mermi tarafından harekete geçiriliyor. Kararlı haldeen sonra herhangi bir 𝑡
𝛾𝑡
anındaki yer değiştirmeyi veren 𝐴0 𝑒 − 2 𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡 − ) ifadesinde verilen  faz sabitinin değerini bulunuz.
f) Eğer sistem 𝐹 = 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 ile verilen bir dış kuvvetle sürülürse ( Burada 𝜔 = √2𝑔/ℎ dir) sistemin
kararlı halinin genliği nedir? (French-p4.4)
Çözüm:
Sözü edilen sistemi aşağıdaki şekilde temsil edebiliriz.
a)
1. Gözlemden
2. gözlemden
elde edilir.
elde edilir.
Sönümlü harmonik hareketin diferansiyel denkleminin
olduğunu biliyorsunuz. 1. ve 2. gözlemlerden elde edilen sonuçları kullanarak hareketin diferansiyel
denklemi için
ifadesini yazabiliriz.
b)
Sönümlü hareketin frekansını 𝜔𝑠 ile gösterirsek
5
𝑏2
𝑔
𝑔2
𝜔𝑠 = √𝜔02 − 4𝑚2 = √ℎ − 4𝑢2
𝑢 = 3√𝑔ℎ olarak veriliyor, bunu yerine yazarak
elde edilir.
c)
Enerjinin zamanla değişiminin 𝐸 = 𝐸0𝑒−𝛾𝑡 ifadesi ile verildiğini biliyorsunuz. Buradan
enerjinin 1/e’sine düşmesi için geçen zaman
elde edilir.
d)
Sistemin Q kalite faktörünün 𝑄 =
𝜔0
𝛾
ile verildiğini biliyorsunuz.
değerlerini kullanarak
bulunur.
e)
Zorlamalı sönümlü hareketin kararlı hal çözümü
𝑥 = 𝐴(𝜔) cos(𝜔𝑡 − 𝛿)
ifadesi ile veriliyor. 𝑡 = 0 anında 𝑥 = 0 olduğu veriliyor. Bu durumda
0 = 𝐴𝐶𝑜𝑠(0 − 𝛿) ⇒ 𝑐𝑜𝑠𝛿 = 0 ⇒ 𝛿 = 𝜋/2
bulunur.
f)
Zorlamalı sönümlü hareketin kararlı hal çözümünün genliğinin
ifadesi ile verildiğini biliyorsunuz. Burada 𝐹0 sürücü kuvvetin genliğidir. Sürücü kuvvet olarak 𝐹 =
𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 verildiğine göre 𝐹0 = 𝑚𝑔 yazabiliriz. Burada daha önce elde
ettiğimiz
değerlerini kullanarak A genliği için
6
elde edilir.
Örnek 5.
Aşağıdaki grafik, 𝐹(𝑡) = 𝐹0𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 kuvveti ile sürülen bir mekaniksel sistemin güç rezonans eğrisini
göstermektedir. 𝐹0 sabit, 𝜔 ise değişkendir.
a) Bu sistemin Q ve 𝜔0 değerlerini bulunuz.
b) Dış kuvvetin etkisi yok edilirse, kaç salınım sonunda sistemin enerjisi ilk
1 değerinin
1
𝑒5
’ine düşer (𝑒 ≅ 2,718 ve iyi bir yaklaşımla serbest salınımların
periyodu 2𝜋 olarak alınabilir). (French-p4.13)
𝜔0
Çözüm:
a)
b) Sönümlü hareketin genliği için
ifadesini yazabiliriz. Sistemin mekanik enerjisi için ise
yazıldığını biliyoruz. Buradan
yazılır.
7
yukarıda bulunan t süresi içindeki periyot sayısı (n) için
bulunur yani sistem 2,5 s süresince yaklaşık 16 salınım yapar.
Örnek 6.
Yatay düzlemde kütlesi 0,15 kg olan bir blok, kuvvet sabiti k=0,90 N/m olan bir yayın ucuna bağlıdır.
Sisteme sürtünmeler nedeniyle hız ile orantılı bir sönüm kuvveti etkimektedir. Sönüm sabiti b=0,20 kg/s
dir. Bu sisteme 𝐹(𝑡) = 𝐹0𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 ile verilen bir harmonik dış kuvvet etki ettiriliyor. Burada 𝐹0 = 3,0 𝑁
dır.
a) Rezonans frekansını (𝜔𝑅) hesaplayınız.
b) Rezonans durumunda kararlı durumun genliğini hesaplayınız.
c) Rezonans durumunda sürücü dış kuvvetin sisteme uyguladığı ortlama gücü hesaplayınız.
d) Hızın rezonansta olduğu frekansta, dış kuvvetin sisteme uyguladığı gücü hesaplayınız.
e) c ve d şıklarında bulduğunuz değerleri karşılaştırın.
Çözüm:
Genlik rezonans frekansının
ifadesi ile verildiğini biliyoruz (Ders notlarına bakınız).
Verilen 𝑚 = 0,15 𝑘𝑔 , 𝑘 = 0,90 𝑁/𝑚 değerleri kullanılarak
ve
elde edilir. Bu sonuçlar kullanılarak 𝜔𝑅 frekansı için
bulunur.
b) Rezonans durumda genlik
bulunur.
8
c) Sürücü kuvvet tarafından sisteme aktarılan ortalama gücün
ifadesi ile verildiğini biliyoruz. Bu ifade yeniden düzenlenerek
veya
veya
yazılabilir. Buradan
bulunur.
d) Kararlı durumda uzanımın
𝑥(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝛿)
ifadesi ile verildiğini biliyoruz. Buradan hız için
yazabiliriz. Hızın genliği (𝑣0) için ise
ifadesinin yazılacağı açıktır. Hızın rezonansta olduğu frekans değerini hesaplamak gerekecek. Yani hızın
genliğini maksimum yapacak frekans değerini bulacağız.
Buradan
9
Buradan 𝜔 = 𝜔0 olması gerektiği anlaşılır. Başka bir deyişle hızın rezonansta olduğu frekans 𝜔𝑣𝑅 = 𝜔0
dır. Bu frekansta aktarılan güç
Burada 𝐴𝑣 için A’nın 𝜔 = 𝜔0’daki değerin alınacağına dikkat edelim.
e) Burada (𝑃𝑜𝑟𝑡)𝑣 > (𝑃𝑜𝑟𝑡)𝑥 olduğuna dikkat ediniz. Bu sonuç sadece bu özel problem için geçerli
değildir. Yani güç aktarımı, hızın rezonansta olduğu frekansta, maksimum olur.
Örnek 7.
Kütlesi 𝑚 = 0,1 𝑘𝑔 olan bir blok kuvvet sabiti 𝑘 = 40 𝑁/𝑚 olan yayın ucuna bağlıdır. Bu sistem sönüm
sabiti 𝑏 = 0,1 𝑘𝑔/𝑠 olan bir kuvvetin etkisindedir.
a) Bu kütleyi 𝑥 = 0 denge konumundan 𝑥 = 15 𝑐𝑚 noktasına getirecek sabit 𝐹1 kuvvetinin değerini
bulunuz.
b) Sisteme genliği 𝐹2 ve frekansı 𝜔 olan 𝐹(𝑡) = 𝐹2 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 sürücü dış kuvveti uygulanıyor. Hız
rezonansı durumunda kararlı durum hareketinin genliğinin 𝐴 = 15 𝑐𝑚 olması için sürücü
kuvvetin genliği olan 𝐹2’nin değeri ne olmalıdır?
Çözüm: Veriler
a) 𝐹1 = 𝑘𝑥 = 40𝑥0,15 = 6 𝑁
b) Kararlı durum çözümünün
𝑥𝑝 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜙)
bağıntısı ile verildiğini biliyorsunuz. Burada A için
yazabiliriz. Sürücü kuvvet 𝐹(𝑡) = 𝐹2𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 şeklinde verildiği için 𝐹0 = 𝐹2 olur.
Hız rezonansı durumunda 𝜔 = 𝜔0 olduğunu biliyoruz. Bu durumda
10
Statik 𝐹1 = 6 𝑁’luk kuvvet yayı 15 cm geriyor. Buna karşı sisteme 𝐹(𝑡) = 0,30𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 şeklinde
harmonik bir kuvvet uygulandığında, kuvvetin frekansı 𝜔 = 𝜔0 olduğunda, yay 15 cm gerilebiliyor.
Ancak harmonik dış kuvvetin genliğinin 0,30 N olduğuna dikkat ediniz. Kuvvetler oranı için
yazabiliriz . Başka bir deyişle, hız rezonansı durumunda, genliği küçük harmonik bir kuvvetle yayı
uzatmak daha kolay olmaktadır.
11