Bölüm 30 - WordPress.com
advertisement
Biot-Savart Yasası – Giriş Bölüm 30 Manyetik Alan Kaynakları Biot-Savart Yasası – Kurulum z z z Bir P noktasındaki r manyetik alan dB Parçanın uzunluğu r ds z z Biot-Savart Yasası – Gözlemler r r r dB vektörü hem ds hem de ds den P ye r̂ birim vektörüne diktir. yönelen r z dB nin büyüklüğü r2 ile ters orantılıdır, burada r r, ds nin P ye uzaklığıdır. r r z dB ‘nin büyüklüğü, akımla ve ds uzunluk z Please replace with fig. 30.1 Tel I kararlı akımını taşıyor z Biot-Savart Yasası – Denklem z z Biot ve Savart, elektrik akımının yakındaki bir mıknatısa uyguladığı kuvvet hakkında deneyler yaptı Uzaydaki bir noktada akımdan ileri gelen manyetik alanı veren bir matematik ifadeye ulaştılar Gözlemler, Biot-Savart yasası denilen matematik eşitlikle özetlenir: r µ I dsr × ˆr dB = o 4π r 2 elemanının büyüklüğü ds ile orantılıdır. r dB ‘nin r büyüklüğü, sinθ ile orantılıdır, burada θ , ds ve r̂ vektörleri arasındaki açıdır. Serbest Uzayın Geçirgenliği z z µo sabiti serbest uzayın geçirgenliği olarak adlandırılır µo = 4π x 10-7 T. m / A Yasa ile tanımlanan manyetik alan, akımtaşıyan iletkenden kaynaklanan alandır z Bu alanı iletken dışındaki bir alanla karıştırmayın 1 Biot-Savart Yasası – Son Notlar Toplam Manyetik Alan z z r dB , ds uzunluk parçasındaki akımın oluşturduğu alandır r Toplam alanı bulmak için, bütün I ds akım elemanlarının katkılarını toplarız r µ I dsr × ˆr B= o ∫ 2 4π r z z z z Mesafe z z z Örneğin, bu bir TV deki elektron demetine uygulanabilir İntegral akım dağılımının tamamı üzerinden alınır r r B ve E ‘nin kıyaslanması, 2 r r B ve E ‘nin kıyaslanması z Yasa uzayda akan yüklerden oluşan bir akım için de geçerlidir r ds , yüklerin aktığı küçük bir uzay parçasında uzunluğu temsil eder z Manyetik alanın büyüklüğü, kaynaktan mesafenin karesiyle ters olarak değişir Bir nokta yükten ileri gelen elektrik alanı da, yükten mesafenin karesiyle ters olarak değişir Doğrultu z z Bir nokta yükün ürettiği elektrik alan, doğrultuda radyaldır (yükten çıkan doğru bıyunca) Bir r akım elemanının ürettiği manyetik alan, hem ds uzunluk elemanına hem de r̂ birim vektöre diktir r r B ve E ‘nin kıyaslanması, 3 Örnek 1 Kaynak z z z Bir elektrik alanı, izole bir elektrik yüküyle kurulur Manyetik alan üreten akım elemanı, uzatılmış bir akım dağılımının parçası olmalıdır z Bu nedenle tüm akım dağılımı üzerinden integral almalısınız Uzun, Düz bir İletken için z z r B İnce, düz tel sabit bir akım taşıyor r ds ׈r = ( dx sin θ ) kˆ Tüm akım elemanları üzerinden integral alınırsa B= θ2 µ0 I sin θ dθ 4πa θ∫ 1 = µ0 I (cos θ1 − cos θ 2 ) 4πa 2 Uzun, Düz bir İletken için Özel Durum z z r B, Eğer iletken sonsuz uzun düz bir tel ise, θ1 = 0 ve θ2 = π Alan olur µ I B= o 2πa r Kavisli bir Tel Parçası için B Tel parçasının O noktasında oluşturduğu alanı bulalım dB = z I ve R sabittir z z z Dairesel bir Tel İlmeği için z z θ = 2π µo I µ I µ I θ = o 2π = o 4πa 4πa 2a Bu ilmeğin merkezindeki alandır µ0 I µI s= 0 θ 2 4πa 4πa θ , radyan cinsindendir (s=aθ) İlmeklerin kıyaslanması z µ I ds cos θ Bx = ∫ dB cos θ = 0 ∫ 2 4π x + a 2 z z Önceki sonucu tam bir daire için bakarsak z İlmeğin yarıçapı a dır ve I kararlı akımı taşır B=Bxi ve z r B B= r Dairesel bir akım İlmeği için B z Manyetik alan çizgileri, telle aynı eksenli dairelerdir Alan çizgileri tele dik düzlemlerde bulunurlar Alanın büyüklüğü, a yarıçaplı herhangi bir dairede her noktada aynıdır Alanın doğrultusunu belirlemek için sağ-el kuralı gösteriliyor Örnek 3 µ0 I ds 4π a 2 z B= z z Örnek 2 z r Uzun, Düz bir İletken için B , Doğrultu z Akım ilmeğinin merkezindeki akımı dikkate alalım Bu özel noktada, x = 0 Böylece, Bx = P noktasındaki alan Bx = z µo I a 2 ( 2 a +x 2 2 ) 3 2 µo I a 2 ( 2 a +x 2 2 ) 3 = 2 µo I 2a Bu eğri telden elde edilen sonuçla tamamen aynıdır 3 Bir ilmek için manyetik alan çizgileri İki paralel iletken arasındaki manyetik kuvvet z z z z z Şekil (a) bir akım ilmeğini saran manyetik alan çizgilerini gösteriyor Şekil (b) demir tozlarıyla alan çizgilerini gösteriyor Şekil (c) alan çizgilerini bir çubuk mıknatısınki ile kıyaslıyor Kararlı akım taşıyan iki paralel tel 2. teldeki r akımdan ileri gelen B2 manyetik alanı 1. tele bir kuvvet uygular; F1 = I1ℓ B2 PLAY ACTIVE FIGURE İki paralel iletken arasındaki manyetik kuvvet, devam z r B2 yi denklemde yerine yazarsak µ I I F1 = o 1 2 l 2πa z z z z z Aynı yönde akım taşıyan paralel iletkenler birbirlerini çekerler Zıt yönde akım taşıyan paralel iletkenler birbirlerini iterler Amper tanımı z İki paralel iletken arasındaki manyetik kuvvet, son İki paralel tel arasındaki kuvvet amper tanımı için kullanılabilir Özdeş akım taşıyan ve 1 m aralıklı iki uzun, paralel tel arasındaki birim uzunluktaki kuvvetin büyüklüğü 2 x 10-7 N/m olduğunda, her bir teldeki akım 1 A olarak tanımlanır Sonuç, genellikle iki tel arasındaki manyetik kuvvet olarak ifade edilir, FB Bu, birim uzunluktaki kuvvet olarak ta verilir: FB µo I1 I 2 = l 2πa Coulomb tanımı z z SI de yük birimi, coulomb’dur, amper cinsinden tanımlanır Bir iletken 1 A lik kararlı bir akım taşırken, iletkenden 1 s ‘de akan yük miktarı 1 C ‘dur 4 Andre-Marie Ampère z z z 1775 – 1836 Fransız fizikçi Elektromanyetizmanın keşfi z z Bir telin manyetik alanı z z Elektrik akımı ve manyetik alan arasındaki ilişki z Matematik de çalıştı Bir pusula manyetik alanı tespit etmek için kullanılabilir Telde akım yoksa, akımdan ileri gelen alan yoktur Tüm pusula iğneleri Yerkürenin kuzey kutbunu gösterir z Bir telin manyetik alanı, 2 z z z z Yerkürenin manyetik alanı nedeniyle Bir telin manyetik alanı, 3 Burada tel yüksek bir akım taşıyor Pusula iğneleri daireye teğet yönde sapıyor Bu, telin ürettiği manyetik alanın yönünü gösterir Akımı değiştirmek için aktif şekli kullanın z Tel etrafındaki dairesel manyetik alan, demir tozlarıyla gösteriliyor PLAY ACTIVE FIGURE Ampere Yasası r r z B ⋅ d s çarpımı, uzun düz tel için pusula z iğneleriyle tanımlı dairesel yörüngedeki küçük r uzunluk elemanları ds ile değerlendirilebilir Ampere yasasına göre; bir kapalı r herhangi r yörünge civarındaki B ⋅ d s ‘nin çizgi integrali µoI ‘ya eşit olur; burada I kapalı yörüngenin sardığı herhangi bir yüzeyden geçen toplam kararlı akımdır: µ0 I Ampere yasası, devam z Ampere yasası, tüm sürekli akım düzenlemelerinde manyetik alanların üretilmesini tanımlar z z Akım düzenlemesi yüksek simetri derecesine sahipse çok kolaylık sağlar Sağ elinin baş parmağını amper ilmeğinde akım yönünde koyun ve ilmek civarında integral alacağın yönde parmaklarınızı bükün ∫ B ⋅ ds =B ∫ ds = 2πr (2πr ) = µ I 0 5 Örnek 4 Uzun Düz bir Telden kaynaklanan Alan –Amper Yasasından z z Kararlı bir I akımı taşıyan bir telin merkezinden r mesafesindeki manyetik alanı hesaplayalım Akım telin kesitinde düzgün olarak dağılır Uzun Düz bir Telden kaynaklanan Alan – Sonuçların Özeti z z z Alan, tel içinde r ile orantılıdır Alan tel dışında 1/r ile değişiyor Her iki denklem r = R ‘de eşittir Uzun Düz bir Telden kaynaklanan Alan –Amper Yasasından Sonuçlar z z Telin dışında, r > R r r ∫ B ⋅ ds = B( 2πr ) = µo I z z Bir selenoid (akım kangalı), heliks biçimli uzun bir tel sarımıdır Makul düzgünlükte bir manyetik alan, tel sarımlarıyla çevrili uzayda elde edilebilir z µo I 2πr Telin içinde (r<R), amper dairesi içindeki I’ akımına ihtiyacımız var r r r2 B s ( 2 ) I ' I ' I ⋅ d = B πr = µ → = o ∫ R2 µ I B = o 2 r 2πR Örnek 5 Bir Toroid’in Manyetik Alanı z z Toroidin merkezinden r uzaklığında bir noktadaki alanı bulalım Toroid N tel sarımı var r r ∫ B ⋅ ds = B( 2πr ) = µ N I B= Bir Selenoidin Manyetik Alanı → B= o µo N I 2πr Bir Selenoidin Manyetik Alanı, Tanım z İç kısımdaki alan çizgileri z z z z Birbirlerine yaklaşık paraleldir Düzgün dağılmıştır Birbirlerine yakındır Bu, alanın kuvvetli ve hemen hemen düzgün olduğunu gösterir Selenoidin iç kısmı 6 Sıkı Sarılı bir Selenoid’in Manyetik Alanı z z Alan dağılımı bir çubuk mıknatısınkine benzer Selenoidin uzunluğu arttıkça z z z Amper yasası, selenoidin iç manyetik alanını bulmak için kullanılabilir İç alana paralel ℓ kenarlı ve alana dik w kenarlı bir dikdörtgen düşünelim z z z Bu, şekildeki 2. ilmektir z z r r r r B ⋅ ds = B path 1 z ∫ ds = Bl path 1 Dikdörtgen yol boyunca toplam akım, bir sarımdan geçen akımın sarım sayısıyla çarpımına eşittir r r B ∫ ⋅ ds = Bl = µo NI Manyetik Akı z Manyetik alan için Amper yasası çözülürse N B = µo I = µo n I l z z z z Bu sadece çok uzun bir selenoidin merkezi civarındaki noktalarda geçerlidir n = N / ℓ , birim uzunluktaki sarım sayısıdır Amper yasasını uygularsak ∫ B ⋅ ds = ∫ Bu, şekildeki 1. kenardır Bir Selenoid’in Manyetik Alanı, Son sarımlar yakın olmalıdır uzunluk sarımların yarıçapından çok daha uzun olmalıdır Amper Yasasının bir Selenoid’e Uygulanması, devam Selenoidin içindeki uzun ℓ kenarı alana katkı yapar z İdeal bir selenoid ‘e yaklaşmak için: z iç alan daha düzgün hale gelir dış alan zayıflar Amper Yasasının bir Selenoid’e Uygulanması z İdeal Selenoid – Özellikleri Manyetik alanla ilişik manyetik akı, elektrik akıya benzer tarzda tanımlanır Keyfi şekilli bir yüzey üzerinde bir dA alan elemanı düşünelim 7 Bir Düzlemden Geçen Manyetik Akı, 1 Manyetik Akı, devam z z z z z r Bu r elemandaki manyetik alan B dir dA , yüzeye dik bir vektördür r dA , büyüklüğü dA alanına eşittir Manyetik akı r r Φ B = ∫ B ⋅ dA Manyetik akı birimi T.m2 = Wb z z z z Wb; weber Özel bir durum; r A alanlı bir düzlem, dA ile θ açısı yaparsa olur Manyetik akı: ΦB = BA cos θ Bu durumda, alan düzleme paraleldir ve Φ = 0 dır. PLAY ACTIVE FIGURE Bir Düzlemden Geçen Manyetik Akı, 2 z z z z Manyetizmada Gauss Yasası Manyetik akı: ΦB = BA cos θ Bu durumda, alan düzleme dik ve Φ = BA dır Bu akının maksimum değeridir Farklı açıları görmek için aktif şekli kullanın z Manyetik alanlar herhangi bir noktada başlamaz veya bitmez z z Bir yüzeye giren çizgilerin sayısı, yüzeyden ayrılan çizgilerin sayısına eşittir Manyetizmadaki Gauss yasası’ na göre, herhangi bir kapalı yüzeyden geçen manyetik akı daima sıfırdır: r r ∫ B ⋅ dA = 0 PLAY ACTIVE FIGURE Problem 1, p.968 Problem 16, p.970 Neils Bohr’un 1913 de önerdiği hidrojen atomu modelinde bir elektron, protonun etrafında 5.3x10-11 m yarıçaplı bir dairesel yörüngede 2.2x106 m/s süratle dolanır. Elektronun hareketinin, protonun bulunduğu konumda oluşturduğu manyetik alanın şiddetini bulunuz. Aralarında 10 cm uzaklık bulunan iki uzun paralel iletkenden aynı yönde akım geçmektedir. Birinci iletkenden geçen akım I1=5A, ikinciden I2=8A dir. (a) I1 in I2 nin bulunduğu yerde oluşturduğu manyetik alanın büyüklüğü nedir? (b) I1 in I2 ‘ye birim uzunluk başına etkiyen kuvvet nedir? (c) I2 nin I1 ‘in bulunduğu yerde oluşturduğu manyetik alanın büyüklüğü nedir? (d) I2 nin I1 ‘e birim uzunluğu başına uyguladığı kuvvet nedir? ÇÖZÜM Dairesel bir tel ilmeği için manyetik alan şiddeti: (R: yarıçap) Sabit akım: q qv qv I= = = t x 2πR B= µ0 I 2R ÇÖZÜM İlki y=0, ikincisi y=10cm deki tellerin ikisi de x-yönünde akım taşısınlar. (a) B = (b) B= 4π x 10 −7 x 1.6 x 10 −19 x 2.2 x 106 = 12.5 T 4π (5.3 x 10 −11 ) 2 sayfadan dışa FB = I 2 LxB = 8(1i x 1 x 10 −5 k ) = 8 x 10 −5 N(− j) birinci tele doğru (c) B = (d) µ0 I 4π 10 −7 (5) k= k = 1 x 10 −5 T 2πr 2π (0.1) 4π 10 −7 (8) µ0 I (-k) = (-k) = 1.6 x 10 −5 T sayfadan içe 2πr 2π (0.1) FB = I1LxB = 5[1i x 1.6 x 10 −5 (-k )] = 8 x 10 −5 N( j) ikinci tele doğru 8 Problem 23, p.971 Problem 33, p.972 Bir füzyon reaktörünün manyetik alan kangalları, iç yarıçapı 0.7 m ve dış yarıçapı 1.3 m olan bir toroid biçimindedir. Toroidin kalın tellerden oluşan 900 sarımı varsa ve bunların her birinden 14 kA geçiyorsa, toroidin (a) iç yarıçapı boyunca (b) dış yarıçapı boyunca manyetik alanın büyüklüğünü bulunuz. Kenar uzunluğu l=2.5 cm olan bir küp, şekildeki gibi, B=(5i+4j+3k) Tesla ifadesi ile verilen düzgün bir manyetik alan içine yerleştirilmiştir. (a) Küpün boyalı yüzünden geçen akıyı hesaplayınız. (b) Küpün altı yüzünden geçen toplam akı nedir? ÇÖZÜM (a) (b) Biçteki = Bdistaki µ 0 NI 4π (10 −7 )(900)14000 = = 3. 6 T 2πr 2π (0.7) µ NI 4π (10 −7 )(900)14000 = 0 = = 1.94 T 2πr 2π (1.3) ÇÖZÜM (a) Φ B = B ⋅ dA =B ⋅ A = (5i + 4 j + 3k )(2.5 x 10 −2 ) 2 i ∫ Φ B = 3.13 Tm 2 = 3.13 x 10 −3 Wb (b) (Φ ) = B ⋅ dA = 0 B top ∫ (manyetizmada Gauss yasası gereği; herhangi kapalı bir yüzey için) 9
