istatistiğe giriş ve olasılık

İSTATİSTİĞE GİRİŞ VE OLASILIK
ÇALIŞMA SORULARI
Yrd.Doç.Dr.Fatma BÜYÜKSARAÇOĞLU SAKALLI
1.
52 iskambil kağıdı ile oynanan bir kağıt oyununda çekilen kart vale ya da kız ise 3$,
papaz ya da as ise 5$ kazanılmaktadır. Başka herhangi bir kartın çekilmesi durumunda oyun
kaybedilmektedir. Oyunun adil olup olmadığını anlamak için ne kadar ödeme yapılmalıdır?
ÇÖZÜM:
c= oyun oynamak için gerekli miktar
y= kazanılan miktar
y
f(y)
5-c
2/13
3-c
2/13
-c
9/13
E(Y)=(5-c)(2/13)+(3-c)(2/13)+(-c)(9/13)=0
13c=16
c=1.23$
2. Rassal değer X için verilen olasılık dağılımı şu şekildedir:
x
f(x)
-3
1/6
6
1/2
9
1/3
için
ÇÖZÜM:
x
-3 6
9
f(x) 1/6 1/2 1/3
g(x) 25 169 361
İSTATİSTİĞE GİRİŞ VE OLASILIK
ÇALIŞMA SORULARI
Yrd.Doç.Dr.Fatma BÜYÜKSARAÇOĞLU SAKALLI
3. X ve Y’nin ortak olasılık fonksiyonu şu şekildedir:
f(x,y)
1
y 3
5
a-)
x
2
0.10
0.20
0.10
4
0.15
0.30
0.15
‘nin beklenen değeri nedir?
b-)
ÇÖZÜM:
a-)
b-)
4. X ve Y’nin ortak olasılık fonksiyonu şu şekildedir:
‘nin beklenen değeri nedir?
ÇÖZÜM:
İSTATİSTİĞE GİRİŞ VE OLASILIK
ÇALIŞMA SORULARI
Yrd.Doç.Dr.Fatma BÜYÜKSARAÇOĞLU SAKALLI
5.
X ve Y rassal değişkenleri için verilen ortak yoğunluk fonksiyonuna göre X ve Y’nin
covaryans’ını hesaplayınız.
ÇÖZÜM:
İSTATİSTİĞE GİRİŞ VE OLASILIK
ÇALIŞMA SORULARI
Yrd.Doç.Dr.Fatma BÜYÜKSARAÇOĞLU SAKALLI
6.
X ve Y rassal değişkenleri için verilen ortak yoğunluk fonksiyonu şu şekildedir:
a-) X ve Y’nin bağımsız olup olmadığına karar veriniz.
b-) E(X+Y)=?
E(XY)=?
c-) Var(X)=? Var(Y)=? Cov(X,Y)=?
d-) Var(X+Y)=?
ÇÖZÜM:
a-)
olduğundan X ve Y bağımsız değildir.
b-)
c-)
d-)
İSTATİSTİĞE GİRİŞ VE OLASILIK
ÇALIŞMA SORULARI
Yrd.Doç.Dr.Fatma BÜYÜKSARAÇOĞLU SAKALLI
7.
Bir kişinin kendi gelir vergisi beyannamesini hazırlarken ortalama 1000 sayısal hata
yaptığı farzedilmektedir. Buna göre rasgele seçilen 10000 beyanname içinde 6, 7 veya 8 hatalı
beyanname bulunma olasılığı nedir?
ÇÖZÜM:
8. Bir füze sisteminin başarılı olarak çalışabilmesi için iki elektronik bileşene ihtiyacı
bulunmaktadır. X ve Y bu iki bileşenin saat bazındaki çalışma süreleridir. X ve Y’nin
ortak yoğunluk fonksiyonu şu şekildedir:
a-) Her iki bileşenin marjinal yoğunluk fonksiyonları nedir?
b-) Her iki bileşenin 2 saatten fazla çalışması olasılığı nedir?
ÇÖZÜM:
a-)
b-)
İSTATİSTİĞE GİRİŞ VE OLASILIK
ÇALIŞMA SORULARI
Yrd.Doç.Dr.Fatma BÜYÜKSARAÇOĞLU SAKALLI
9.
Bilimsel sistemlerin ölçümü sırasında oluşabilecek ölçüm hataları için bir yoğunluk
fonksiyonu tanımlanmıştır. Fonksiyon şu şekildedir;
a-) Fonksiyonun geçerli bir yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için k ne olmalıdır?
b-) Olası bir ölçüm hatasının 1/2’den daha az olma olasılığı nedir?
c-) Özel bir ölçüm için tanımlanan
durumu için eğer ölçülen hata 0.8’i aşıyorsa bu
durum istenmeyen durum olarak nitelendirilmektedir. Böyle bir durumun meydana
gelme olasılığını bulunuz.
ÇÖZÜM:
10.
Bir kalp ameliyatından kurtulma olasılığı 0.8’dir.
a-) Ameliyat olacak bir sonraki 3 hastadan kesin olarak 2’sinin kurtulma olasılığı nedir?
b-) Ameliyat olacak bir sonraki 3 hastanın hepsinin kurtulma olasılığı nedir?
ÇÖZÜM:
R kurtulan hastayı temsil etmektedir. P(R) = 0.8’dir.
a.
P(R1 ∩ R2 ∩ R′3) + P(R1 ∩ R′2 ∩ R3) P(R′1 ∩ R2 ∩ R3) =
P(R1)P(R2)P(R′3) + P(R1)P(R′2)P(R3) + P(R′1)P(R2)P(R3) =
(3)(0.8)(0.8)(0.2) = 0.384.
b. P(R1 ∩ R2 ∩ R3) = P(R1)P(R2)P(R3) = (0.8)3 = 0.512.
İSTATİSTİĞE GİRİŞ VE OLASILIK
ÇALIŞMA SORULARI
Yrd.Doç.Dr.Fatma BÜYÜKSARAÇOĞLU SAKALLI
11.
Deneysel bir uçakta her arka lastiğin santimetrekare başına 40 kiloluk bir basınçla dolu
olması gerekmektedir. X sağ lastik için, Y sol lastik için gerçek hava basıncını ifade
etmektedir. X ve Y ortak yoğunluk fonksiyonunda rassal değişkenlerdir ve fonksiyon
aşağıdaki gibidir;
a-) k = ?
b-) Her iki lastiğin de yetersiz basınçta olma olasılığı nedir?
ÇÖZÜM:
12.
Aşağıdaki olaylar ABD’deki nehir kirliliği için söylenmektedir.
A={ Nehir kirlidir}
B={İncelenen su örneğinde kirlilik tespit edilmiştir}
C={Balıkçılık yapılabilir}
P(A) = 0.3
P(B|A) = 0.75
P(B|A') = 0.20
P(C|A'∩B) = 0.15
P(C|A∩B') =0.80
P(C|A' ∩ B') = 0.90 ise
a.
b.
c.
d.
P(C|A∩B) = 0.20,
P(A∩B∩C)=?
P(B'∩C)=?
P(C)=?
Avcılığa izin verilen ve incelenen su örneğine göre kirlilik tespit edilmemiş
nehirin kirli olma olasılığı nedir?
İSTATİSTİĞE GİRİŞ VE OLASILIK
ÇALIŞMA SORULARI
Yrd.Doç.Dr.Fatma BÜYÜKSARAÇOĞLU SAKALLI
ÇÖZÜM:
13.
Ulusal bir ajans olasılıkları sırasıyla 0.40, 0.35, 0.25 (A,B,C) olan üç danışmanlık
şirketiyle çalışmaktadır. Geçmiş deneyimlere dayanarak her üç firma için maliyet aşımı
olasılıkları ise sırasıyla 0.05, 0.03 ve0.15 şeklindedir. Ajansın maliyet aşımı yaşadığı
varsayılarak;
a-) C şirketinin maliyet aşımına neden olma olasılığı nedir?
b-) A şirketinin maliyet aşımına neden olma olasılığı nedir?
ÇÖZÜM:
O: maliyet aşımı
a-)
b-)
İSTATİSTİĞE GİRİŞ VE OLASILIK
ÇALIŞMA SORULARI
Yrd.Doç.Dr.Fatma BÜYÜKSARAÇOĞLU SAKALLI
14.
İlaç ile dolu iki kutudan birinde 2 şişe aspirin ve 3 şişe troid ilacı, diğerinde 3 şişe
aspirin, 2 şişe troid ilacı ve 1 şişe de mide ilacı bulunmaktadır. Her iki kutudan bir şişe rassal
olarak seçildiğine göre;
a. İkisinin de troid ilacı olma olasılığı nedir?
b. İkisinin de troid ilacı olmama olasılığı nedir?
c. İki şişenin birbirinden farklı ilaç içerme olasılığı nedir?
ÇÖZÜM:
A1 = 1. Torbadaki aspirinler
A2 = 2. Torbadaki aspirinler
L2 = 2. Torbadaki mide ilacı
T1 = 1. Torbadaki troid ilacı
T2 = 2. Torbadaki troid ilacı
a-)
b-)
c-)
15.
X ve Y’nin ortak olasılık dağılımı şu şekilde verilmektedir:
a)
b)
c)
d)
İSTATİSTİĞE GİRİŞ VE OLASILIK
ÇALIŞMA SORULARI
Yrd.Doç.Dr.Fatma BÜYÜKSARAÇOĞLU SAKALLI
ÇÖZÜM:
(X,Y)’ nin ortak olasılık dağılımı şu şekildedir:
x
f(x,y)
0
1
2
3
0
1/30 2/30 3/30
0
y 1 1/30 2/30 3/30 4/30
2 2/30 3/30 4/30 5/30
a)
b)
c)
d)
16.
3 portakal, 2 elma ve 3 muzun bulunduğu meyve kasasından rassal olarak 4 meyve
seçiliyor. X portakal sayısını ve Y elma sayısını temsil ettiğine göre;
a) X ve Y’nin ortak olasılık dağılımını bulunuz.
b)
, A bölgesi şu şekilde veriliyor:
ÇÖZÜM:
a)
b)
İSTATİSTİĞE GİRİŞ VE OLASILIK
ÇALIŞMA SORULARI
Yrd.Doç.Dr.Fatma BÜYÜKSARAÇOĞLU SAKALLI
17.
x ve y değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde tanımlanmıştır;
Buna göre;
ÇÖZÜM:
18.
IQ test skorlarına ait dağılım ortalamasının 100 ve standart sapmasının 16 olduğu
biliniyor. Rassal olarak seçilmiş bir bireyin IQ’sunun 52’nin altında veya 148’in üstünde
olması olasılığının en çok 1/9 olduğunu gösteriniz.
ÇÖZÜM:
x = IQ testi skor değerleri
İSTATİSTİĞE GİRİŞ VE OLASILIK
ÇALIŞMA SORULARI
Yrd.Doç.Dr.Fatma BÜYÜKSARAÇOĞLU SAKALLI
x’in olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekildedir;
19.
a.
b.
c.
ÇÖZÜM:
a.
b.
olarak tanımlanan y’nin olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz.
ve
olasılıklarını bulunuz.
ve
’yi hesaplayınız.
İSTATİSTİĞE GİRİŞ VE OLASILIK
ÇALIŞMA SORULARI
Yrd.Doç.Dr.Fatma BÜYÜKSARAÇOĞLU SAKALLI
c.
20.
Bir hava üssünde tehlike olduğu zaman alarm sisteminin çalışması olasılığı 0.99,
tehlike olmadığında alarm vermemesi olasılığı 0.98 ve herhangi bir anda tehlike olması
olasılığı ise 0.003’tür.
a-) Hava üssündeki alarm çalıştığına göre, tehlike nedeniyle çalmış olması olasılığı
nedir?
b-) Tehlike olması ve alarm sisteminin çalışmaması olasılığı nedir?
ÇÖZÜM:
A: Alarm sisteminin çalışması
B: Tehlike olması
İSTATİSTİĞE GİRİŞ VE OLASILIK
ÇALIŞMA SORULARI
Yrd.Doç.Dr.Fatma BÜYÜKSARAÇOĞLU SAKALLI
21.
Bir şekerleme şirketinin sattığı çikolata kutularındaki çikolatalar krema, kakao ve likör
karışımından olmaktadır. Her bir kutunun ağırlığı 1 kilogramdır. Ancak krema, kakao ve
likörün bireysel ağırlıkları kutudan kutuya farklılık göstermektedir. X krema, Y kakao
ağırlığını temsil etmek üzere rasgele seçilen bir kutu için ortak olasılık fonksiyonu şöyle
tanımlanmıştır;
a-) Seçilen bir kutudaki likör ağırlığının kutu ağırlığının yarısından fazla olması olasılığı
nedir?
b-) Krema ağırlığı için kullanılacak fonksiyon nedir?
c-) Kremanın kutu ağırlığının 3 / 4’ünü oluşturduğu biliniyorsa seçilen bir kutudaki kakao
miktarının 1 / 8’den daha az olması olasılığını bulunuz.
a.
b.
c.
İSTATİSTİĞE GİRİŞ VE OLASILIK
ÇALIŞMA SORULARI
Yrd.Doç.Dr.Fatma BÜYÜKSARAÇOĞLU SAKALLI
22.
Rasgele seçilen bir günde X ve Y sırasıyla restorana arabayla ve yürüyerek gelen
müşterileri temsil etmektedir. Ortak yoğunluk fonksiyonu şu şekildedir;
Restorana arabayla gelen bir müşterinin yarım saatten daha az servis beklemesi olasılığı
nedir?
ÇÖZÜM:
23.
Hileli bir paranın Yazı gelme olasılığı Tura gelme olasılığının 3 katıdır. İçinde Kırmızı
ve Beyaz tavla pullarının olduğu iki torba vardır. Bu torbalardan birincisinde 4 Beyaz, 5
Kırmızı; ikincisinde ise 3 Beyaz, 6 Kırmızı pul vardır. Hileli para atılacak ve eğer Tura gelirse
birinci torbadan bir pul, Yazı gelirse ikinci torbadan bir pul seçilecektir. Bu kurala uygun
olarak seçilen pulun renginin Kırmızı olduğu biliniyorsa, atılan paranın Tura gelmiş olma
olasılığı nedir?
ÇÖZÜM:
İSTATİSTİĞE GİRİŞ VE OLASILIK
ÇALIŞMA SORULARI
Yrd.Doç.Dr.Fatma BÜYÜKSARAÇOĞLU SAKALLI
24.
Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu x, y, z değişkenleri için şu şekilde
tanımlanmaktadır;
a-) y ve z değişkenleri için marjinal yoğunluk fonksiyonlarını bulunuz.
b-) y değişkeni için marjinal yoğunluk fonksiyonunu bulunuz.
c-)
d-)
ÇÖZÜM:
a.
b.
c.
d.
İSTATİSTİĞE GİRİŞ VE OLASILIK
ÇALIŞMA SORULARI
Yrd.Doç.Dr.Fatma BÜYÜKSARAÇOĞLU SAKALLI
25.
x, belirli bir uyarana saniye olarak reaksiyon zamanını, y ise belirli bir reaksiyonun
gerçekleşmesi için başlangıç sıcaklığını (° F) ifade etmektedir. Bu ifadeler için ortak
yoğunluk fonksiyonu şu şekilde verilmiştir;
a-)
b-)
ÇÖZÜM:
a.
b.
26.
Pilotluk lisansı için yapılan sınavdan bir öğrencinin başarılı olma olasılığı 0.7’dir.
Öğrencinin sınavdan geçme olasılığını şu şartlara göre bulunuz.
a-) Üçüncü denemede başarılı olma olasılığı
b-) Dördüncü denemeden önce başarılı olma olasılığı nedir?
ÇÖZÜM:
Geometrik dağılım kullanılarak;
a-)
b-)