bölüm sonu klasik tip sorular

BÖLÜM SONU KLASİK TİP SORULAR:
1. x, y  IR olmak üzere
x+y=?
6.
1.1!+2.2!+3.3!+…….+2005.2005! =?
( x  y  3) 2  ( y  1) 2  0 ise
2. (AÜMO-99) A=999……9 (81 adet) ise
toplamı kaçtır?
A 2 nin rakamları
3.
1.2+2.3+3.4+4.5+…………….+100.101=?
4.
T  12  2 2  3 2  ......  n 2 toplamının her terimi
7.
Bir davete katılan 21 kişinin her birisi diğeri ile bir
defa tokalaştığında toplam kaç tokalaşma
gerçekleşmiştir?
8.
(UİMO-99) 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,……….
100 terim toplamını hesaplayınız.
9.
1.2+2.3+3.4+4.5+……………+71.72 toplamının 71 e
bölümünden kalan kaçtır?
Dizisinin ilk
1 artırılırsa bu toplam kaç artar?
5.
(UİMO-2003) üç basamaklı bir sayının basamakları
toplamına oranı en fazla kaç olabilir?
10. Tam kare olan tüm sayıların 4’e bölümünden
kalanın 0 veya 1 olduğunu ispatlayınız.
11. (UİMO-2001) p ve q asal sayılar olmak üzere
p q  q p sayısının asal olmasını sağlayan kaç (p,q)
ikilisi vardır?
x1  x 2  x3 asal sayılar ve
x1  x 2  x3  68
x1 .x 2  x 2 .x3  x1 .x3  1121
12. (AÜMO-2002)
eşitliği sağlanıyorsa
13.
15.
n  1 olmak üzere
1!+2!+3!+………….+n!=2m eşitliğini sağlayan kaç
farklı (n,m) ikilisi vardır?
16. (AÜMO-2003) (1,2,3,……,22) kümesinin
elemanlarından en az kaçı atılmalı ki geriye
kalanların çarpımı tam kare olsun.
x2  ?
a, b  Z  olmak üzere a 
b!4!
eşitliğini
b3
17. 13!1  p  13!13 eşitliğini sağlayan kaç p asal
sayısı vardır?
sağlayan kaç b tamsayısı vardır?
14. (UİMO-98)
72000 sayısının pozitif
bölenlerinden kaç tanesi 8 ile bölünüp 9 a bölünmez?
.
ÇÖZÜMLER:
Çözüm-1:
x+y-3=0 ve y-1=0 ise y=1 ve x=2 dir.
Çözüm-9:
1.2+2.3+3.4+……+71.72=
=1(1+1)+2.(2+1)+3.(3+1)+….+71(71+1)
= 1  1  2  2  3  3....  71  71
1
 1 dir.
A  (10  1)  10  2.10 81.1  1
Çözüm-2:
2
81
A= 10
81
2
162
A  999....98000....1
2
(980 basamak)
(079 basamak)
(8 ve 1 bir basamak)
2
=( 1  2  3  4...  100 )+( 1  2  3  ....  100 )
2
2
2
2
2
71.72 71.72.143

ifadesi 71 ile tam bölünür cevap=0
2
6
n bir tek sayı olsun.
n 2  (2k  1) 2  n 2  4k 2  4k  1  4(k 2  k )  1
= 1  1  2  2  3  3....  100  100
=
=
Çözüm 10:
n = 2k-1 ise
2
2
2
Çözüm-3:
1.2+2.3+3.4+….100.101=
=1(1+1)+2.(2+1)+3.(3+1)+….+100(100+1)
2
2
=( 1  2  3  4...  71 )+( 1  2  3  ....  71 )
Toplam=9.81 = 729
1
2
2
2
İfadesinin 4 e bölümünden kalan 1 dir.
 çift sayı olsun
n=2k ise
n 2  (2k ) 2  4k 2 ifadesi 4 e tam bölünür kalan 0 dır.
100.101 100.101.201

2
6
Çözüm 11:
p  q ifadesinin asal olabilmesi için p
veya q , 2 olmak zorundadır. (T+T = Ç )
q
T  1  2  3  ............  n
K  (1  1) 2  (2  1) 2 .....(n  1) 2
2
Çözüm-4:
2
2
2
K  T  (n  1) 2  1  n 2  2n
abc
) =?
abc
100a  10b  c
90b  99c
 100 
=
işleminde
abc
abc
Çözüm-5:
max (
p
p q  q p = 17 veya
q
p
p=3 ve q=2 ise p  q =17
p=2 iken q > 3 olan her sayı için q  1(mod 3) çünkü
P=2 ve q=3 ise
her sayı mod3 e göre -1,0,+1 e denktir. 0 ‘ a denk olanlar
3’ün katıdır yani asal değil
 (1)  (1)  1  1  0(mod 3) dolayısıyla
(2,3),(3,2) den başka yok.
q
2
sonucu büyütmek için eksileni en küçük seçeriz. b=c=0
alınırsa cevap=100 olur.
Çözüm 12:
Çözüm-6:
için bir tanesinin çift olması gerekir
k.k!=(k+1)!-k! olduğuna göre
x1  x 2  x3 asal sayılar ve
x1  x 2  x3  68 çift olması için bir tanesinin çift olması
x 2  x3  66 dır.
 2 x 2  x 2 .x3  2 x3  1121
1.1!=2!-1!
2.2!=3!-2!
3.3!=4!-3!
…………………………….
+ 2005.2005!=2006!-2005!
= 2006!-1!
 2( x 2
 x3 )  x 2 .x3  1121
 132+ x 2 .x3
Çözüm 13:
Çözüm-7: davete katılan n kişi olsun;
n.inci kişi n-1 defa tokalaşır
(n-1).inci kişin-2 defa tokalaşır
………………………………….
+
2.inci kişi  1 defa tokalaşır
Toplam=1+2+3+….+(n-1) Tokalaşma
gerçekleşmiştir, n=21 ise cevap=20.21/2=210 dur.
Çözüm-8:
n(n  1)
13.14
 100 ise n=13 için
 91 terim
2
2
yazılmıştır. Geriye kalan 9 terim 14 sayısıdır. O zaman
Toplam= 1  2  3  .......  13  9.14 =945 dir.
2
2
2
x1  2 dir.
2
 1121  x 2 .x3  989 23.43 ise x2  23
a
b!4!
4!
= b.(b  1).(b  2) 
b3
b3
4!=24=3.2.2.2 ise (1+1).(3+1)=2.4=8 tane tam böleni
vardır.
2
6
3
Çözüm 14:
72000=9.8.10.10.10= 3 .2 .5 8’e bölünüp
9’a bölünmeyecekse A=8.K.3 tipinde olmalıdır.
3
3
A= 3.2 .5 tipindedir o zaman
=(1+1).(3+1).(3+1)=32 tane yazılabilir.
Çözüm 15:
n  1 olmak üzere
1!+2!+3!+4!+……….+n!=2m eşitliğinde 1! Terimi
haricindeki tüm terimler çifttir. Çift bir sayıya 1 eklenirse
tek elde edilir dolayısıyla yukarıdaki eşitliği sağlayacak
bir (n,m) ikilisi yoktur.
Çözüm 16:
1.2.3.4…..22=AA=22!
A  2 .3 .5 .7 3.112 .131.171.191 eğer 2,3,7,13,17,19
19
9
4
çarpanları eksilirse ifade tam kare olur. O zaman A
çarpımından 6,7,13,17,19 çarpanları atılırsa ifade tam
kareye dönüşür.
13!1  p  13!13
Çözüm 17:
 2\13! +2
3\13!+3
…….
 13\13!+13 olduğundan bu aralıkta asal olan hiç sayı
yoktur.