özel ege lġsesġ - Özel Ege Lisesi
advertisement
ÖZEL EGE LĠSESĠ KUANTUM TÜNELLEME OLAYININ MĠKRODALGA DENEY DÜZENEĞĠ KULLANILARAK ĠNCELENMESĠ HAZIRLAYAN ÖĞRENCĠLER: Berkay Çuhadar M. Emin Tos 2014 ĠZMĠR ĠÇERĠK TABLOSU PROJENĠN AMACI ................................................................................................................ 2 1.GĠRĠġ .................................................................................................................................. 2 1.1 KUANTUM MEKANĠĞĠNĠN BAġLANGICI ................................................................................. 2 1.1.1 Karacisim IĢıması ................................................................................................... 2 1.1.2 Fotoelektirik Olay.................................................................................................... 4 1.1.3 Compton Olayı ....................................................................................................... 5 1.2 MADDESEL PARÇACIKLARIN DALGA ÖZELLĠĞĠ ................................................................... 7 1.2.1 de Broglie Hipotezi ................................................................................................. 7 1.2.2 Heisenberg’in Belirsizlik Ġlkesi................................................................................ 7 1.2.3 Kuantum Dalga Fonksiyonu.................................................................................... 8 1.3 SCHRÖDĠNGER DALGA DENKLEMĠ .................................................................................... 9 1.3.1 Potansiyel Engeli .................................................................................................. 10 1.4 KUANTUM TÜNELLEME .................................................................................................. 12 1.4.1 Kuantum Tünelleme Uygulamaları ........................................................................ 14 1.5 ELEKTROMAYETĠK SPEKTRUM ........................................................................................ 16 1.6 YANSIMA VE KIRILMA YASALARI ...................................................................................... 17 1.6.1 Yansıma ............................................................................................................... 17 1.6.2 Kırılma .................................................................................................................. 18 1.6.3 Tam Yansıma ....................................................................................................... 18 2.YÖNTEM .......................................................................................................................... 19 3.SONUÇLAR VE TARTIġMA ............................................................................................. 26 TEġEKKÜR ......................................................................................................................... 27 KAYNAKLAR ...................................................................................................................... 28 1 PROJENĠN AMACI Bu projedeki amacımız, Kuantum dünyasında gözlenen tünel etkisinin Ģartlarını makro dünyada mikrodalga deney düzeneği kullanarak modellemek ve kuantum tünel olayını sınıf ortamında gözlemlenebilir bir olgu haline getirerek, yansıma ve geçme katsayılarını bulmaktır. 1. GĠRĠġ Daha önceden de belirtildiği gibi deneyimizin temel amacı kuantum tünelleme olayını makro boyutta modellemek ve karmaĢık görünen kuantum mekaniksel bir olgunun somut bir Ģekilde anlaĢılmasını sağlamaktır. Makro boyutlarda çevremizde gerçekleĢen pek çok olay fizik algımızı kütle kavramı üzerine kurmamıza sebep olmuĢtur. Öyle ki bu algı hem makro boyutta hem de atom altı boyutlarda dalga mekaniğinin özelliklerinin insanlar tarafından kavranabilmesini zorlaĢtırmaktadır. Bu bakıĢ açısına sahip, her Ģeyi kütle kavramı üzerinden düĢünen bir öğrenci için, deprem dalgalarının, ses dalgasının yayılma Ģeklini veya bir radyonun çalıĢma prensibini hayal etmek ne kadar zor ise, atom altı boyutlarda kütleye eĢlik eden dalganın ortaya çıkardığı olguları da anlamak aynı derecede zordur. Bir de iĢin içine kuantum dünyasındaki beklenmedik olaylar girdiğinde durum büsbütün içinden çıkılmaz bir hal almaktadır. Bu yüzden atom altı ölçeklerde gerçekleĢen olayları daha görsel hale getirmek anlaĢılır olmalarını sağlayabilir. 1.1 Kuantum Mekaniğinin BaĢlangıcı 20.yüzyılda pek çok deneysel ve teorik problem klasik mekanik ve özel görelilik ile çözülebilmekteydi. Ancak 20. yüzyılın sonlarına doğru klasik fiziğin teorik bir cevap bulamadığı problemler ortaya çıktı. Atomik boyutlarda maddenin davranıĢını açıklamak için klasik fizik yetersiz kalıyordu. Açıklanması gereken belli baĢlı problemler Ģunlardı[3]: 1) Karacisim IĢıması 2) Fotoelektrik Olay 3)Atomların Kararlılığı ve Boyutu Bu problemlere çözüm arayıĢları kuantum mekaniği denen yeni bir yaklaĢımın doğmasına sebep oldu. Bu yeni yaklaĢım atom, molekül ve çekirdeklerin davranıĢını açıklamada oldukça baĢarılı oldu. Kuantum kuramın temel fikirleri Max Planck tarafından ortaya atıldı. Fakat sonraki matematiksel geliĢmelerin ve açıklamaların çoğu Einstein, Bohr, Schrödinger, de Broglie, Heisenberg, Born ve Dirac’ın aralarında bulunduğu çok sayıda seçkin fizikçi tarafından yapıldı[9]. 1.1.1 Karacisim IĢıması 1900’lü yılların baĢında, fizikteki temel sorunların baĢında ısıtılan bir metalin nasıl ve neden ıĢıma yaptığı gelmekteydi. Herhangi bir metali sürekli ısıtırsanız metal önce kızarır, sıcaklığı arttıkça da rengi beyaza doğru kayar. Maddelerin yaptığı bu ıĢımanın karakteristiği klasik fizik yaklaĢımları ile tam olarak açıklanamamaktadır. Çünkü yüksek frekanslara doğru gidildikçe 2 ıĢımanın enerjisi sonsuz olmakta ve bu durum deneysel verilerle uyuĢmamaktadır. Fizikçiler bu sorunu daha kolay çözebilmek için ideal bir soğurucu kullanılması durumunda ne olacağını düĢündüler. Buradaki ideal soğurucu, üzerine düĢen tüm ıĢığı soğuran karacisimdir. Karacisim, üzerine düĢen bütün ıĢınları soğuran, hiçbir ıĢını yansıtmadığı veya geçirmediği için de siyah görünen bir cisimdir. ġekil 1’deki gibi üzerinde delik bulunan içi oyuk bir cisim, karacisim için iyi bir modellemedir. Burada cisimden yayınlanan ıĢıma yalnızca oyuk duvarlarının sıcaklığına bağlıdır. Fakat unutulmamalıdır ki bu tanıma uyan gerçek bir cisim yoktur. ġekil 1: Karacisim modeli ġekil 2: Karacisim spektrumu Klasik fizik yasalarının kullanılmasıyla elde edilen karacisim ıĢıması dağılımı ile deneysel veriler, yüksek dalga boyları için birbiriyle uyuĢurken düĢük dalga boylarında uyuĢmamaktadır. Ayrıca, klasik fizik yasalarına göre tüm dalga boyları için ıĢıma enerjilerinin toplamı sonsuz olmalıdır. Bu durum ġekil 2’deki grafiğin incelenmesi ile daha rahat anlaĢılabilir. Grafik incelendiğinde klasik fizik yasaları olarak adlandırılan eğrinin altında kalan alanın sonsuz olmasını gerektiği görülür. Oysa bu durum, deneysel verilerle kesinlikle uyuĢmamaktadır (Morötesi Felaket). Bu sorun 1900’lü yıllarda Planck tarafından ortaya atılan yeni bir modelle çözülmüĢtür. Planck, karacisim ıĢımasında ortaya çıkan grafikleri incelemiĢ ve böyle bir grafiğin nasıl bir denklemle elde edilebileceği üzerinde araĢtırmalar yapmıĢtır. Sonuçta soruna fizikte yeni bir çığır açacak yaklaĢımla cevap bulmuĢtur[8]. IĢığı, klasik yaklaĢımların öngördüğü Ģekilde yani dalga olarak değil de kuantalardan oluĢmuĢ bir parçacık gibi düĢünmüĢtür. Planck’a göre ıĢık, her bir parçacığının enerjisi ℎ𝜈olan enerji paketleri hâlinde uzayda ilerlemektedir. Burada; ℎ, 6,62.10-34J.s değerine sahip ve Planck sabiti olarak bilinen evrensel bir sabittir. 𝜈ise parçacığın frekansıdır. Planck’ın ortaya attığı bu yeni kurama göre, kara cismin iç yüzeyindeki moleküller; 1. 𝐸𝑛 = 𝑛ℎ𝜈 olarak verilen kesikli enerji değerlerine sahip olabilirler. Burada; 𝑛 : Kuantum sayısı olarak verilen pozitif bir tamsayıyı, 𝜈 : Moleküllerin doğal titreĢim frekansını ifade eder. 2. Moleküller, kesikli paketler hâlinde enerji yayınlar ve soğururlar. 3 1.1.2 Fotoelektrik Olay Metal bir yüzey üzerine ıĢık düĢürüldüğünde yüzeyden elektronların sökülmesi olayına fotoelektrik olay denir. Bu olay ilk kez Hertz tarafından fark edilmiĢtir. Hertz yaptığı deneylerde havası boĢaltılmıĢ ortamda bulunan metal üzerine ıĢık düĢürüldüğünde kıvılcımların çıktığını gözlemiĢ, ancak bunun üzerinde detaylı bir çalıĢma yapmamıĢtır. Fotoelektrik olayın açıklaması Einstein tarafından yapılmıĢtır. Einstein fotoelektrik olayı, metal üzerine yeterli frekansa sahip ıĢınlar düĢürüldüğünde ortaya çıkan kıvılcımların belirli enerjiye sahip elektronlar olduğunu ortaya koymuĢtur. Fotoelektrik olayı açıklamakta kullanılan basit bir deney düzeneği ġekil 2.3’te gösterilmiĢtir. Düzenek havası boĢaltılmıĢ cam kabın içine yerleĢtirilen anot (pozitif yüklü) ve katottan (negatif yüklü) oluĢur. Anot ile katot arasına bir potansiyel fark uygulanırsa, ampermetrede bir akım ölçülebilir[3,12]. ġekil 3: Fotoelektirik olay deney düzeneği ve fotoelektirik olaya ait akım gerilim grafiği Bu deneyden aĢağıdaki sonuçlar çıkarılabilir[12]: Herhangi bir metal katot için fotoelektronların salıverilmesi katot üzerine düĢürülen ıĢığın belli bir frekansı geçmesinden sonra meydana gelir. Bu frekansa eĢik frekansı denir ve her metal için bu değer farklıdır. Katodun birim zamanda serbest bıraktığı fotoelektronların sayısı, katot üzerine düĢürülen ıĢığın Ģiddetiyle doğru orantılıdır. Katot üzerine düĢürülen ıĢığın Ģiddeti değiĢtirildiğinde, fotoelektronların kinetik enerjisi değiĢmez. Fotoelektronların kinetik enerjisi, düĢen ıĢığın frekansı değiĢtiğinde değiĢir. Fotoelektrik akım, katodun kimyasal bileĢimiyle ilgilidir. Bu deneysel sonuçların ikinci ve beĢincisini klasik kurama göre açıklamak mümkündür. Ancak diğerlerini klasik kurama göre açıklamak mümkün değildir. Klasik kurama göre katottan elektronların koparılabilmesi, katot üzerine düĢürülen ıĢığın Ģiddetine bağlıdır, baĢka bir deyiĢle katot yüzeyinden bir elektron koparabilmek için yüzey birimi baĢına belirli bir ıĢık enerjisinin yüzeye aktarılması gerekir, bunun için de çok uzun süre gereklidir. Aksine sonuçlarda da ifade edildiği gibi, ıĢığın düĢürülmesi ile fotoelektronların oluĢması arasında bir zaman farkı gözlenmemektedir. Bu durumda yukarıdaki deney sonuçlarını klasik kuramın dıĢında kuantum kuramı ile açıklamak gerekir. Einstein, Planck’ın ortaya attığı kuantum kuramından da yararlanarak fotoelektrik olayı Ģöyle açıklamıĢtır[12]. Katottan fotoelektronların salıverilmesi katottaki elektronların düĢürülen ıĢıktan bir foton soğurmasıyla oluĢur. 4 Frekansı 𝜈 olan fotonun enerjisi 𝐸 = ℎ𝜈 eĢitliğiyle verilir. Elektronu katottan koparabilmek için gerekli minimum enerjiye iĢ fonksiyonu adı verilir. Eğer foton iĢ fonksiyonundan fazla enerjiye sahip ise, bu fazla enerji fotoelektrona kinetik enerji kazandırır. Bu sonuçlar; 𝐸 = ℎ𝜈 = 𝑊 + 𝐾 (1) eĢitliğiyle ifade edilir. Burada katot üzerine düĢen fotonun enerjisi ℎ𝜈 , 𝑊 katodun iĢ fonksiyonu, 𝐾 ise katottan salıverilen fotoelektronların kinetik enerjisidir. Özetle fotoelektrik olay, ıĢığın doğasında var olan, ıĢığın parçacık özelliğini ortaya koyan deneylerden biridir. IĢığın metal yüzeyinden elektron koparabilmesi için, frekansının belirli bir değerden daha büyük olması gerekir. Metal üzerine gönderilen ıĢığın enerjisinin bir kısmı elektronları yüzeyden koparmaya harcanırken, geri kalan kısmı kopan elektronların kinetik enerjisinde kullanılır. 1.1.3 Compton Olayı Compton’un yapmıĢ olduğu ve Compton Olayı olarakadlandırılan deney, yüksek enerjili ıĢık fotonlarının atomdakiserbest elektronlara çarparak saçılması esasına dayanır.Compton olayı fotoelektrik olaya göre, ıĢığın tanecik özelliğihakkında daha kesin deliller sunmaktadır. Çünkü bu olay taneciklerarasındaki etkileĢimin yanı sıra esnek çarpıĢma özelliklerini deiçermektedir[8]. Deneyde dalgaboyu küçük, yüksek frekanslı dolayısıyla yüksek enerjili X-ıĢınları, karbon elementinin serbest elektronu ile çarpıĢmaktadır. Deney esnasındaki çarpıĢmadan sonra hedefteki elektron, kinetik enerjisi 𝐸𝑒 ve momentumu da 𝑃𝑒 olacak Ģekilde 𝛼 açısı ile saçılmıĢtır. Compton bu deneyde gerçekleĢen olayların sadece iki taneciğin çarpıĢması olarak değerlendirilemeyeceğini ortaya koyarak enerjinin ve momentumun korunumunun ele alınması gerektiğini vurgulamıĢtır.ġekil 4’dede görüldüğü gibi enerji ve momentumun korunduğu göz önünde bulundurulursa, Compton’un deney esnasında karbon atomundan saçılan X-ıĢınlarının neden gönderdiğinden farklı dalgaboyuna sahip olduklarını açıklayabildiği görülür. ġekil 4: Compton saçılmasının bir gösterimi ve momentumların vektörel diyagramı 5 Serbest elektronun enerjisi X-ıĢını fotonunun enerjisinden çok küçük olduğu için, serbest elektron durgun kabul edilebilir. Yüksek enerjili X-ıĢını fotonunun, serbest elektrona çarpmadan önce sahip olduğu enerjiyi 𝐸0 , frekansı 𝜈0 , dalga boyunu 𝜆0 ve momentumunu𝑃0 olarak tanımlayalım. Aynı Ģekilde çarpıĢmadan sonra geliĢ doğrultusundan 𝜃 kadarlık açı ile saçılan fotonun enerjisini 𝐸ˈ, frekansını 𝜈ˈ dalga boyunu 𝜆ˈ ve momentumunu da 𝑃ˈ olarak gösterelim. Enerjinin korunumu ilkesinden yola çıkarak; 𝐸 = 𝐸ˈ + 𝐸𝑒 (2) ℎ𝜈 = ℎ𝜈ˈ + 𝐸𝑒 (3) ℎ𝑐 ℎ𝑐 = + 𝐸𝑒 𝜆 𝜆ˈ (4) eĢitliğini elde edebiliriz. Yine eĢitlik; veya Ģeklinde yazılabilir. Momentumun korunumu ilkesini göz önünde bulundurduğumuzda; (5) 𝑃 = 𝑃′ + 𝑃𝑒 eĢitliği elde edilir. Compton, matematiksel olarak elde ettiği eĢitliklerin deneylerle tamamen uyuĢtuğunu gördü. Deneyde; saçılan fotonun dalgaboyunun, saçılma açısına bağlı olduğu sonucuna ulaĢtı. Bunun için X-ıĢınlarının üç değiĢik açıda nasıl saçıldığını gözlemledi. Fotonun dalga boyundaki değiĢimin saçılma açısına bağlı olarak arttığını gördü. Elde ettiği verileri kullanarak; ℎ (6) 𝛥𝜆 = 𝜆′ − 𝜆 = 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑚𝑒 𝑐 𝛥𝜆 = 0,024. 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 eĢitliğini türetti. Burada; 𝑚𝑒 elektronun kütlesini, 𝑐 ıĢık hızını, (7) ℎ 𝑚𝑒𝑐 = 0,024Å ise Compton dalga boyunu ifade eder. Dalga teorisine göre, 𝜈 frekansı ile gelip serbest elektrona çarpan foton, elektrona 𝜈 frekanslı bir titreĢim yaptırır. 𝜈frekansı ile titreĢen elektron, frekansı 𝜈 den küçük olan yeni bir foton yayar ve bu foton her yönde salınabilir. Aynı zamanda dalga teorisine göre, salınan bu fotonun frekansı çarpıĢma süresine de bağlıdır. Fakat Compton deneyinde olayın böyle olmadığını fotonun bir tanecik gibi davrandığını ve enerji ve momentum korunduğunu göstermiĢtir[8]. 6 1.2 Maddesel Parçacıkların Dalga özelliği 1.2.1 de Broglie Hipotezi IĢık hem dalga, hem de tanecik yapısından dolayı ikili karaktere sahiptir. Bu ikili karakter özelliği doğal olarak elektron ve diğer maddesel parçacıkların da dalga özelliğine sahip olabileceğini akla getirmektedir. Maddesel parçacıklara hareket halindeyken bir dalga eĢlik ettiğini ileri süren Louis de Broglie olmuĢtur. Buna göre de Broglie sadece fotonun değil, momentuma sahip her parçacığa eĢlik eden bir dalganın olduğunu ve bu dalgaların dalga boyunun, ℎ (8) 𝜆= 𝑚𝜗 ile ifade edilebileceğini öne sürmüĢtür. Bu dalga boyuna, de Broglie dalga boyu, bu dalgalara ise madde dalgaları adı verilir. De Broglie ayrıca, fotonlara benzer Ģekilde madde dalgalarının, 𝐸 = ℎ𝑓 Ģeklindeki Einstein bağıntısına uygun olarak 𝑓= 𝐸 ℎ (9) frekansına sahip olması gerektiğini önermiĢtir[13]. 1927 yılında Davisson ve Gremer adındaki iki deneysel fizikçi, nikel kristalini incelemek için yaptıkları deneyde X-ıĢınları yerine elektron demeti kullandıklarında elektronların da tıpkı ıĢık gibi giriĢim yaptıklarını gözlemlemiĢ ve böylece de Broglie’nin hipotezini deneysel olarak ispatlamıĢlardır[6]. 1.2.2 Heisenberg'in Belirsizlik Ġlkesi Elektron gibi bir parçacık hareket halindeyken onun konumunu ve momentumunu aynı anda tam bir doğrulukla ölçmek mümkün müdür? Bu soruya verilebilecek tek yanıt hayırdır. Çünkü parçacıkların dalga özelliği, bizim onların konumlarını ve hareketlerini tam ve mükemmel tanımlamamıza engel olmaktadır. Bu durum Belirsizlik Ġlkesi olarak Werner Heisenberg tarafından 1929’da ortaya atılmıĢtır. Bu ilke Ģöyle ifade edilir: Bir parçacığın aynı anda konumunu ve momentumunu tam bir doğrulukla ölçmek olanaksızdır. Bu değerlerden bir tanesi ne kadar duyarlılıkla belirlenirse diğeri o derece belirsizleĢir. Belirli bir anda bir parçacığın konumundaki 𝛥𝑋 belirsizliği ile aynı anda momentumundaki 𝛥𝑃 belirsizliğinin çarpımı en az Planck sabiti kadar olmalıdır[3, 9]. ∆𝑋. ∆𝑃 ≥ ℎ 4𝜋 (10) Belirsizlik ilkesi bütün taneciklere uygulanabilir. Ancak makroskobik ölçekte bu ilke kullanılırken ℎ sabiti çok küçük kaldığından belirsizlik prensibinin ölçüler üzerindeki etkisi önemsizdir. Fakat mikroskobik ölçekte yani atomik boyuttaki olayların analizinde belirsizlik ilkesi, tüm anlamıyla etkilidir. 7 Örnek olarak; bir atomda bir elektronun konumunu belirlemek için atoma gönderilen fotonun dalgaboyu son derece küçük olmalıdır. Bu fotonun elektronun de Broglie dalgası ile yapacağı giriĢim incelendiğinde, elektronun konumu hakkında tam bir bilgi elde ederiz. Buna karĢılık dalgaboyu küçük olan fotonun enerjisi yüksek olduğu için elektronun momentumunda büyük değiĢimler yarattığından momentum ölçümündeki belirsizlik iyice artar. Bu olayın tam tersi olarak, momentumdaki belirsizliği azaltmak için bu sefer uzun dalga boylu foton kullandığımızı düĢünelim. IĢının dalgaboyu büyüdüğünden enerjisi küçülür ve elektronun momentumuna olan etkisi azalır. Böylece momentumu tam bir doğrulukla belirleyebiliriz. Ancak bu fotonların dalgaboyu büyük olduğu için elektronun dalgası ile giriĢimi etkili olmayacağından konumu tam olarak belirlenemez. Belirsizlik ilkesinin bir baĢka Ģekli enerji ve zaman ile ilgilidir. Atomik bir boyutta 𝛥𝑡 zaman aralığı içinde enerji ölçümündeki belirsizlik 𝛥𝐸 dir. Bu iki belirsizliğin çarpımı en az Planck sabiti kadar olmalıdır[3,9]. ∆𝐸. ∆𝑡 ≥ ℎ 4𝜋 (11) Atomik boyutlarda bir parçacığın enerjisinin sonlu bir ölçüm süresi içerisinde tam bir doğrulukla ölçülemez. Buna bağlı olarak da enerjinin belli bir süre içerisinde korunduğunu söyleyemeyiz. 1.2.3 Kuantum Dalga Fonksiyonu Klasik mekaniğin ve elektromanyetizmanın tüm bağıntıları Newton ve Maxwell'in denklemlerine dayanır. Kuantum mekaniği içindeki olayları klasik fiziğin denklemleri ile ifade edemeyiz. Klasik mekanik, atomik ve atom altı parçacıklar ile ilgilenildiğinde yetersiz kalır. Bu durumda bu parçacıklara eĢlik eden de Broglie dalgaları atomik boyutlardadır. O nedenle atomik boyutlarda artık kuantummekaniği, baĢka bir adla söylemek gerekirse dalga mekaniğigeçerlidir. Madde dalgalarının varlığı de Broglie tarafından bulunduktan sonra Alman fizikçi Ervin Schröndinger parçacığın dalga yapısına uygun ve parçacığın dinamik yapısını tümüyle ortaya koyan bir denklem ortaya attı. Schröndinger Dalga Denklemi adı verilen bu denklem kuantum mekaniğinin temelinde yer almaktadır. Örneğin denklem, hidrojen atomunun elektronu için çözüldüğünde bir dizi dalga fonksiyonları elde edilir. Bu dalga fonksiyonlarından herbiri elektronun belli bir enerji durumuna karĢılık gelir ve aynı zamanda dalga fonksiyonu elektronun çekirdekten ne kadar uzakta olabileceği bilgisini de içerir[3]. Bir dalgayı tam olarak inceleyebilmek için dalga fonksiyonu incelemek gerekir. Örneğin ses dalgaları bir ∆𝑃 basınç değiĢimiyle ve yaylar üzerindeki dalgalar enine bir yerdeğiĢtirme (y) ile temsil edilebilir. Benzer Ģekilde madde dalgaları veya de Broglie dalgaları 𝜓 dalga fonksiyonu ile temsil edilir. Genel olarak 𝜓 fonksiyonu, fiziksel bir sistemde bulunan bütün taneciklerin konumlarına ve zamanına bağlıdır ve bu yüzden çoğu zaman 𝜓 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 Ģeklinde yazılır. Bir parçacık için 𝜓 bilinirse, bu parçacığın kendine özgü özellikleri belirlenebilir. 8 Eğer serbest bir parçacık kesin olarak bilinen bir momentuma sahip ise, onun dalga fonksiyonu, 𝜆 = ℎ 𝑝 dalgaboylu sinüzoidal bir dalgadır. 𝑥 ekseni boyunca hareket eden böyle serbest bir parçacık için dalga fonksiyonunun gerçel kısmı, 𝜓 𝑥 = 𝐴𝑠𝑖𝑛 2𝛱𝑥 = 𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑥 𝜆 (12) Ģeklinde yazılabilir. Burada 𝑘 = 2 𝛱 𝜆 dalga sayısı ve A bir sabittir. 𝜓, bizzat ölçülebilen bir nicelik olmamasına rağmen 𝜓 2 niceliği ölçülebilir. 𝜓 2 , 𝜓 nin mutlak değerinin karesi anlamına gelir. 𝜓, bir tek parçacığı temsil ederse, 𝜓 2 niceliği parçacığın verilen bir noktada birim hacimde bulunma olasılığıdır ve aĢağıdaki gibi ifade edilebilir. 𝑂𝑙𝑎𝑠ı𝑙ı𝑘 = 𝜓 2 𝑑𝑉 (13) Sistemi bir boyutlu olarak düĢünürsek, 𝑥noktası komĢuluğunda sonsuz küçük 𝑑𝑥 aralığında parçacığın bulunma olasılığı 𝑝 𝑥 ile gösterilir ve 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 = 𝜓 2 𝑑𝑥 (14) ile verilir. Parçacık 𝑥ekseni üzerinde herhangi bir yerde bulunmak zorunda olduğundan, 𝑥 in tüm değerleri üzerinden olasılıkların toplamı 1 olmalıdır[9]. Bir elektromanyetik dalgaya özgü elektrik alanın Maxwell denklemlerini sağladığı dalga denklemindeki gibi 𝜓 dalga fonksiyonu da bir dalga denklemini sağlar. 𝜓 nin sağladığı dalga denklemine Schrödinger denklemi denir. Bu denklem hiçbir temel yasadan elde edilemez. Fakat 𝜓 nin hesaplanabildiği bir denklemdir. 𝜓 nin kendisi ölçülebilir bir nicelik olmamasına rağmen bir taneciğin enerjisi ve momentumu gibi ölçülebilen bütün nicelikler 𝜓 nin bilinmesiyle elde edilebilirler[9]. 1.3 Schrödinger Dalga Denklemi Kuantum mekaniğinin temel uğraĢı belirli Ģartlar altında (örneğin kuyu içinde bir parçacık) Schrödinger denkleminin bir çözümünü bulmaktır. Söz konusu çözüm, incelenen sistemin izinli dalga fonksiyonlarını ve enerji düzeylerini verir. Dalga fonksiyonlarının kullanılması ile bütün sistemin bütün ölçülebilir niceliklerini hesaplamak mümkün olur. 𝑥 ekseni boyunca ilerleyen dalgalar için dalga denkleminin genel biçimi Ģöyledir[9]: 𝜕2 𝜓 1 𝜕2 𝜓 = 𝜕𝑥 2 𝑣 2 𝜕𝑡 2 (15) Burada 𝑣 dalga hızıdır ve 𝜓 dalga fonksiyonu 𝑥 ve 𝑡 ’ye bağlıdır. deBroglie dalgalarının tanımını 𝐸 toplam enerjisi sabit kalan sistemlerle sınırladığımızda, 𝐸 = ℎ𝜈 olduğundan de Broglie dalgasının frekansı da sabit kalır. Bu halde 𝜓 𝑥, 𝑡 dalga fonksiyonu biri yalnız 𝑥’e diğeri yalnız 𝑡’ye bağlı iki terimin çarpımı olarak aĢağıdaki gibi ifade edilebilir. 𝜓 𝑥, 𝑡 = 𝜓 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 9 (16) Bu bir sicim üzerinde duran dalga haline benzer. Bu eĢitlik, üstteki ifadede yerine yazılırsa, 𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡 𝜕2 𝜓 𝑤2 = − 𝜓𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 𝜕𝑥 2 𝑣2 (17) veya 𝜕2 𝜓 𝑤2 = − 𝜓 𝜕𝑥 2 𝑣2 (18) ifadeleri bulunur. 𝑤 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋𝑣 𝜆ve de Broglie dalgaları için 𝑝 = ℎ 𝜆 olduğundan, eĢitlikler kullanılarak 𝑤 2 𝑣 2 yeniden düzenlenirse, 𝑤2 2𝜋 = 2 𝑣 𝜆 2 = 4𝜋 2 2 𝑝2 𝑝 = 2 ℎ2 ℏ (19) elde edilir. Ayrıca, 𝐸 toplam enerjisi, kinetik enerji ve potansiyel enerjinin toplamı olarak ifade edilebilir: (20) 𝑝2 𝐸 =𝐾+𝑈 = +𝑈 2𝑚 Bu eĢitlikten 𝑝2 çekilerek (19) eĢitliğinde yerine yazılırsa, 𝑤 2 𝑝2 2𝑚 = = 2 𝐸−𝑈 𝜓 𝑣 2 ℏ2 ℏ (21) elde edilir. Bu sonuç (18) de yerine yazılırsa, Ģu ifade bulunur. 𝜕 2 𝜓 −2𝑚 = 2 𝐸−𝑈 𝜓 𝜕𝑥 2 ℏ (22) Bu denklem 𝑥 ekseni boyunca hareket eden bir parçacığın Schrödinger dalga denklemidir. Bu denklem zamandan bağımsız olduğundan zamandan bağımsız Schrödinger dalga denklemi olarak bilinir. Eğer sistemin U(x) potansiyel enerjisi bilinirse (22) eĢitliği çözülebilir ve izinli durumlar için dalga fonksiyonları ve enerjileri elde edilebilir. 1.3.1 Potansiyel Engeli Bir parçacık sonlu yükseklik ve geniĢliğe sahip bir potansiyel engeline çarptığında parçacığın enerjisine göre değiĢik durumlar oluĢur. 𝑉0 yüksekliğindeve 𝑎 geniĢliğinde bir engel üzerine gelen 𝐸 enerjili bir parçacığı ele alalım. 𝐸 > 𝑉0 ise parçacığa ait Schrödingerdalga denkleminin çözümleri her üç bölgede de düzlem dalga Ģeklindedir [6]. 1. ve 3. bölgelerde𝐸 − 𝑈 farkı eĢit olduğundan; 𝜕 2 𝜓 −2𝑚 𝐸 − 𝑉0 2𝑚𝐸 = 𝜓 = −𝑘 2 𝜓; 𝑘 = 2 2 𝜕𝑥 ℏ ℏ 10 (23) ġekil 5: Bir boyutta potansiyel engeli Ģeklinde yazabileceğimiz dalga denkleminin genel çözümleri, 𝜓1 = 𝐴𝑒 𝑖𝑘𝑥 + 𝐵𝑒 −𝑖𝑘𝑥 (24) 𝜓3 = 𝐸𝑒 𝑖𝑘𝑥 + 𝐹𝑒 −𝑖𝑘𝑥 (25) Ģeklindedir. Çözüm için seçilen fonksiyon, göz önüne alınan bütün bölge üzerinde sonlu kalmalıdır. 𝑥 > 𝑎 olan 3 bölgesinde sadece pozitif yönde ilerleyen dalga oluĢabilir. Bu nedenle 𝐸katsayısı sıfır olmalıdır. Böylece 1 ve 3 bölgelerinde çözümler Ģöyle olurlar: 𝑥 < 0 𝑖ç𝑖𝑛 𝜓1 = 𝐴𝑒 𝑖𝑘𝑥 + 𝐵𝑒 −𝑖𝑘𝑥 (26) 𝑥 > 𝑎 𝑖ç𝑖𝑛 𝜓3 = 𝐹𝑒 −𝑖𝑘𝑥 (27) 2 bölgesinde ise çözümler benzer Ģekilde; ′ ′ 𝜓2 = 𝐶𝑒 𝑖𝑘 𝑥 + 𝐷𝑒 −𝑖𝑘 𝑥 (28) denklemiyle ifade edilir. Dalga fonksiyonu ve onun 1.türevi sürekli olması gerektiğinden, bu koĢul 𝑥 = 0 ve 𝑥 = 𝑎sınırına uygulanırsa; 𝑥 = 0 için 𝜓1 𝑥 = 0 = 𝜓2 𝑥 = 0 ⟶ 𝐴 + 𝐵 = 𝐶 + 𝐷 𝑑𝜓1 𝑑𝑥 = 𝑥=0 𝑑𝜓2 𝑑𝑥 ⟶ 𝑖𝑘 𝐴 − 𝐵 = 𝑖𝑘 ′ 𝐶 − 𝐷 𝑥=0 11 (29) (30) 𝑥 = 𝑎 için ′𝑎 + 𝐷𝑒 −𝑖𝑘 ′𝑎 − 𝐷𝑒 −𝑖𝑘 𝜓2 𝑥 = 𝑎 = 𝜓3 𝑥 = 𝑎 ⟶ 𝐶𝑒 𝑖𝑘 𝑑𝜓2 𝑑𝑥 = 𝑥=𝑎 𝑑𝜓3 𝑑𝑥 ⟶ 𝑖𝑘 ′ 𝐶𝑒 𝑖𝑘 ′𝑎 ′𝑎 = 𝐹𝑒 𝑖𝑘𝑎 = 𝑖𝑘𝐹𝑒 𝑖𝑘𝑎 (31) (32) 𝑥=𝑎 olur. Bu dört denklem arasında 5 sabitten 4’ü 𝐴 cinsinden çözülebilir. Bu katsayılardan yansıma ve geçme katsayılarında gerekli olan 𝐵ve 𝐹 için sonuç; 𝐵= 𝐹= 𝑒 𝑖𝑘𝑎 𝑘 2 − 𝑘 ′2 𝑠𝑖𝑛𝑘 ′ 𝑎 𝐴 𝑘 2 + 𝑘 ′2 𝑠𝑖𝑛𝑘 ′ 𝑎 + 2𝑖𝑘𝑘 ′ 𝑐𝑜𝑠𝑘 ′ 𝑎 2𝑘𝑘 ′ 𝐴 2𝑘𝑘 ′ 𝑐𝑜𝑠𝑘 ′ 𝑎 − 𝑖 𝑘 2 + 𝑘 ′2 𝑠𝑖𝑛𝑘 ′ 𝑎 (33) (34) olarak bulunur. Buradan yansıma ve geçme katsayıları, 𝑘 ve 𝑘’nün 𝐸 ve 𝑈 = 𝑉0 cinsinden değerlerini de kullanarak yazılırsa; 𝐵 𝐴 2 𝐹 𝑇= 𝐴 2 𝑅= = 1+ 4𝐸 𝐸 − 𝑉0 −1 (35) 𝑉0 2 𝑠𝑖𝑛2 𝑘 ′ 𝑎 𝑉0 2 𝑠𝑖𝑛2 𝑘 ′ 𝑎 = 1+ 4𝐸 𝐸 − 𝑉0 −1 (36) elde edilir. Kolayca görülebileceği gibi parçacığın engelden yansıma ve 3. bölgeye geçme olasılığı toplamları beklendiği gibi 1’e eĢittir. 0 < 𝐸 < 𝑉 olduğunda, klasik olarak parçacık engeli aĢamaz ve 𝑥 = 0 dan geri döner. Kuantum mekaniksel çözüm ise oldukça ĢaĢırtıcıdır. Kuantum mekaniğine göre parçacığın 3. bölgede de bulunma olasılığı vardır. 1.4 Kuantum Tünelleme Tünelleme, klasik fiziğe göre parçacıkların üzerinden aĢması imkansız olan bir engel içinde hareket edebildiklerini söyleyen bir kuantum olgusudur. Bu engel, fiziksel olarak geçilemez bir ortam örneğin bir yalıtkan, bir vakum ortamı ya da yüksek potansiyel enerjili bir bölge olabilir[1]. Klasik mekenikte, eğer parçacığın enerjisi potansiyel engelini aĢmak için yeterli değilse parçacık engeli aĢamaz. Kuantum mekaniğine göre ise tanecik için bütün bölgeler kabul edilebilirdir. Çünkü parçacığa bağlı madde dalgalarının genliği her yerde sıfır değildir. Bu duruma ait bir dalga biçimi ġekil 6'da gösterilmiĢtir. Engelin solunda (1.bölge) ve sağında (3.bölge) dalga fonksiyonları sinüzoidaldir ve engel içinde (2.bölge) ise üstel azalan bir 12 fonksiyon formundadır. Genlikteki bu azalma engel içinde izlediğimiz bir parçacığın bulunma olasılığındaki azalmaya karĢılık gelir[1, 7, 9]. ġekil 6: Bir potansiyel engelinde 𝐸 < 𝑉 halinin dalga fonksiyonu[10] Gelen parçacık, ya engelden yansıyacak ya da engeli geçeceğinden yansıma ve geçme katsayılarının toplamı 1 olmalıdır. Yansıma ve geçme katsayılarını bulmak için üç bölge içinde Schrödinger denklemlerini 1 ve 3 bölgeleri için tekrar;[9] 𝜕2 𝜓 2𝑚𝐸 + 𝑘 2 𝜓 = 0; 𝑘 = 2 𝜕𝑥 ℏ (37) Ģeklindeyazılabiliz. 37 denkleminin 1 ve 3 bölgeleri için genel çözümü 𝜓1 = 𝐴𝑒 𝑖𝑘𝑥 + 𝐵𝑒 −𝑖𝑘𝑥 (38) 𝜓3 = 𝐹𝑒 𝑖𝑘𝑥 (39) olarak bulunur. 2 bölgesinde de dalga denklemi; 𝜕2 𝜓 − 𝛼 2 𝜓 = 0; 𝛼 = 𝜕𝑥 2 2𝑚 𝑉 − 𝐸 ℏ (40) Ģekilde yazılabilir ve en genel çözüm; 𝜓2 = 𝐶𝑒 𝛼𝑥 + 𝐷𝑒 −𝛼𝑥 (41) olur. 2. bölgede 𝑒 ±𝛼𝑥 reel üstel fonksiyonların ikisini de almak zorunludur. Çünkü 0 < 𝑥 < 𝑎aralığında sonsuza gitme sorunu olmaz. 41 denklemi Bölüm 1.3.1 de incelediğimiz E>V0 durumu çözümlerini gösteren 28 denklemi ile benzerdir. Ġki denklem sistemi arasındaki tek fark 𝑖𝑘′ yerine 𝛼 gelmiĢ olmasıdır. Bu durumda yansıma ve geçme katsayıları için bulduğumuz ifadelerde 𝑘′ ⟶ 𝑖𝛼 değiĢikliği yaparak kullanabilir ve bu değiĢtirme sonucu oluĢan kompleks fonksiyonları da Ģu özdeĢlikler yardımıyla indirgeyebiliriz: 𝑠𝑖𝑛ℎ𝑖𝑦 = 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑦 𝑣𝑒 13 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑖𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑦 (42) Bu eĢitlikler yardımıyla E<V durumunun yansıma ve geçme katsayıları Ģöyle elde edilir: 𝑅 = 1+ 4𝐸 𝑉 − 𝐸 −1 (43) 𝑉0 2 𝑠𝑖𝑛ℎ2 𝛼𝑎 𝑉0 2 𝑠𝑖𝑛ℎ2 𝛼𝑎 𝑇 = 1+ 4𝐸 𝑉 − 𝐸 −1 (44) Tünelleme olasılığı(yani T geçiĢ katsayısı), parçacığın enerjisine ve engelin geniĢliğine bağlı olarak değiĢir. 𝐸enerjisi𝑉’ye ne kadar yakınsa ve engelin geniĢliği ne kadar darsa, parçacığın engeli aĢma ihtimali o kadar yüksektir. Çok yüksek veya geniĢ bir engel olduğu zaman 44 denklemiyle verilen geçme katsayısı aĢağıdaki ifadeye indirgenebilir. 𝑇 = 𝑒 −2𝛼𝑎 (45) Yani parçacığın potansiyel engelini geçme olasılığı eksponansiyel olarak azalır Ne kadar hızlı azalacağını parçacığın enerjisi ile potansiyel duvarının yüksekliği belirler. 1.4.1. Kuantum Tünelleme Uygulamaları Tünellemenin çok önemli olduğu, atomik ve nükleer ölçekte doğada pek çok örnek vardır. Bunlardan bazıları aĢağıda verilmiĢtir[9,2, 10]. Tünel Diyot: Tünel diyot, iki zıt yüklü bölgenin çok dar nötr bir bölgeyle ayrılmasından ibaret olan yarı iletken bir aygıttır. Bu aygıt içinde akım daha ziyade, nötr bölgeye doğru elektronların tünellemesi yüzünden oluĢur. Akım veya tünelleme hızı, engelin yüksekliğini değiĢtiren ön(bayes) gerilimi değiĢtirmek suretiyle geniĢ bir aralık üzerinde kontrol edilebilir. Josepshon Eklemi:Josepshon eklemi 1-2 nm kalınlığında yalıtkan ince bir oksit tabakayla ayrılmıĢ, iki süperiletkenden oluĢur. Uygun koĢullar altında, süperiletkenlerin içindeki elektronlar, çiftler halinde hareket eder ve oksit tabaka üzerinden bir süperiletkenden diğerine tünelleme yaparlar. Josepshon eklemleri süperiletken elektroniğinde, kuantum bilgisayarlarında yaygın olan bileĢenlerdendir. Aynı zamanda son derece zayıf manyetik alanları ölçen süperiletken kuantum giriĢim aygıtlarında(SQUID) kullanılır. Alfa Bozunması: Alfa bozunumu kararsız ağır çekirdekler tarafından alfa tanecikleri(Helyum çekirdekleri) yayınlanmasıdır. Klasik fiziğe göre bu mümkün değildir. Çekirdekten alfa taneciğinin kaçması için o alfa taneciği ve çekirdeğin geri kalan kısmı arasındaki Coulumb itmesi ve çekici çekirdek kuvvetinin toplamından ileri gelen bir kuvveti aĢması gerekir. Parçacık her engele çarptığında engelden tünellemesi için küçük de olsa belirli bir olasılık vardır. Dolayısıyla kuantum mekaniği kuantum tünelleme ile alfa bozunumunu açıklayabilmektedir. 14 ġekil 7: Taramalı tünelleme mikroskobu[10]. Taramalı Tünelleme Mikroskobu: Taramalı Tünelleme Mikroskobu(STM), bir tek atomun boyutuyla karĢılaĢtırılabilecek ayırma gücü ile yüzeylerin görüntüsünü oluĢturmak için tünelleme olayını kullanan önemli bir alettir. Çok ince uçlu küçük bir sonda(probe) bir örneğin yüzeyinde çok yakın gezdirilerek tarama yapılır. Sonda ve numune arasında bir tünelleme akımı uygulanır. Akım, sonda ve numune arsındaki uzaklığa çok duyarlıdır. Tünelleme akımının sabit tutulmasıyla, yüzey inceden inceye taranırken sondayı yukarı çıkarmak veya aĢağı indirmek için kullanılan bir geri besleme sinyali elde edilir. Sondanın yüzey üzerinde düĢey hareketi örneğin dıĢ çizgisini izlediği için yüzeyin bir görüntüsü elde edilir. USB Bellekler: USB bellekler üzerindeki veriler “floating-geçit” transistörlerinden yapılan bir hafıza hücreler ağında depolanır. Ġki metal geçitten oluĢur, biri kontrol geçidi diğeri floating(yüzen) geçit. Floating geçit, bir yalıtkan metal oksit tabakası içinde tutulur. Normal durumdaki bir floating-geçit transistör ikili kod sisteminde bir “1”’i kaydeder. Bir elektron floating geçide eklendiğinde, elektron oksit katmanında tuzaklanmıĢ olur. Böylece kontrol geçidin gerilimindeki değiĢimin etkilenmesiyle bu durumdaki bir ikili kod sisteminde bir “0” ı kaydetmiĢ olur. Veriler USB bellekten silindiğinde, kontrol geçidine uygulanan güçlü pozitif bir yük yalıtkan katman boyunca tuzaklanan elektronun tünellemesine neden olur. Böylece hafıza hücresi “1” durumuna geri dönmüĢ olur. ġekil 8:USB Bellek [10] 15 1.5 Elektromanyetik Spektrum Elektromanyetik dalgalar ġekil 9’te görüldüğü gibi birbirine dik elektrik ve manyetik alanlardan oluĢur. Ġlerleme doğrultusu ise bu iki bileĢene de dik yöndedir. Örneğin; düzlem bir elektromanyetik dalgada elektrik alan +𝑥 yönünde, manyetik alan +𝑦 ekseni üzerinde salınım yapıyorsa, dalganın ilerleme yönü bu iki eksene dik olan +𝑧 ekseni yönünde olacaktır. ġekil 9: Elektromanyetik dalga Elektromanyetik spektrum, gama ıĢınlarından radyo dalgalarına kadar bilinen tüm elektromanyetik dalgaları içeren dizilimdir. Elektromanyetik dalgalar, atmosfer, su ve baĢka ortamlardan değiĢik oranlarda geçebildikleri gibi uzay boĢluğundan da yayılabilen tek enerji türüdür. BoĢlukta hareket etme yetenekleri, elektromanyetik dalgaları su ve ses dalgalarından ayıran bir özelliktir. Uzayda ıĢık hızı ile yol alırlar. Frekansı ne olursa olsun tüm elektromanyetik dalgalar aynı hızda hareket ederler. Dolayısıyla değiĢen, dalgaların hızları değil frekanslarıdır. Bununla birlikte, radyo dalgaları, görünür ıĢık ve X-ıĢınları gibi ıĢınlar, gerçekte aynı yapının yani aynı elektromanyetik dalganın farklı frekans grubunda yer alan titreĢimleridir. BaĢka bir deyiĢle, ortak özellikleri yanında, kendi özelliklerinin ortaya çıkıĢı tamamıyla her biri belli değerler arasındaki farklı frekanslarda olmalarından kaynaklanmaktadır. Elektromanyetik dalgalar, foton adı verilen paketler veya küçük demetler halinde taĢınırlar.Foton, ıĢıma dalga enerjisi taĢıyan bir parçacıktır. En güçlü mikroskopla bile görülemeyecek kadar küçüktür.Elektromanyetik dalgalar, sadece dalgaboylarına göre değil, aynı zamanda frekans ve enerjilerine göre de tanımlanmaktadır. Bu üç nicelik aĢağıda verilen matematiksel ifadelerle birbirlerine bağlıdır[5]. 𝐸= ℎ𝑐 𝜆 (46) Bu denklemde 𝐸 elektromanyetik dalganın enerjisini, ℎ Planck sabitini( ℎ = 6,64. 10−34 m2kg/s), 𝑐 ıĢık hızını, 𝜆 ise dalgaboyunu belirtir. ġekil 10’da tüm elektromanyetik dalgaların, dalgaboyuna ve frekansa göre diziliĢi görülmektedir. Bir elektromanyetik spektrumu en kısa dalgaboyundan en uzun dalgaboyuna sırasıyla ifade edersek, gamaıĢınları, X-ıĢınları, morötesi, görünür bölge, kırmızıaltı(kızılötesi), mikrodalga ve radyo dalgaları biçiminde sıralanmaktadır. 16 ġekil 10: Elektromanyetik dalga spektrumu Mikrodalgalar, elektromanyetik spektrumda 1m-1mmarasındaki dalgaboyuna sahip elektromanyetik dalgaları ifade eder. Frekansları 300MHz-300GHz arasında değiĢir. Mikrodalga bölgesinin baĢlangıcını oluĢturan dalgalar, bir mikrodalga fırınında bulunan yiyeceklerimizi ısıtan dalgalardır. Ayrıca mikrodalgalar, bilgileri içinde bulunduran sinyalleri, bir yerden baĢka bir yere taĢımak için oldukça iyi bir taĢıyıcı görevleri yaparlar. Çünkü mikrodalga enerjileri, sisli ortamlara, hafif yağmurlu ve karlı ortamlara, bulutlu ve sigara dumanının bulunduğu ortamlara çok iyi bir Ģekilde nüfus edebilmektedir. Kısa dalgaboylarına karĢılık gelen mikrodalgalar, hava tahminlerinde kullanılan doppler radar sistemlerindeki gibi, radar olarak kullanılmaktadır. Yine bu dalgalar, yaklaĢık boyları birkaç inç boyutunda olan dalgalarla bildiğimiz radar sistemleri içinde kullanılmaktadır[5]. 1.6 Yansıma ve Kırılma Yasaları 1.6.1. Yansıma Yansıma olayı farklı iki ortamı ayıran bir ara yüzeye gelen ıĢının bu yüzeyden, yüzeyin normali ile aynı açıda geri dönmesidir. Ortamlar arasında kırılma indeksi farkı ne kadar farklı olursa ıĢının yansıyan bölümü de o kadar fazla olur. ġekil 11: Yansıma 17 Yansıma olayında ıĢının hızı, frekansı, rengi yani hiçbir özelliği kaybolmaz. Sadece hareket yönü değiĢir. 1.6.2 Kırılma IĢık ıĢınları saydam bir ortamdan baĢka bir saydam ortama geçerken ıĢınların bir kısmı yansıyarak geldiği ortama dönerken bir kısmı da ikinci ortama, doğrultusu ve hızı değiĢerek geçer. IĢığın ikinci ortama geçerken doğrultu değiĢtirmesine ıĢığın kırılması denir. ġekil 12: Kırılma Gelme açısının sinüsünün, kırılma açısının sinüsüne oranı her zaman sabittir. Bu sabit, ikinci ortamın birinci ortama göre kırılma indisine eĢittir. ġekil 12’deki açılara göre, 𝑠𝑖𝑛𝜃1 𝑛2 𝑣1 = = 𝑠𝑖𝑛𝜃2 𝑛1 𝑣2 (47) Ģeklinde ifade edilir. Bu bağıntıya Snell bağıntısı denir. Bağıntıdaki sabit değere ıĢığın havadan saydam maddeye giriĢte kırılma indisi veya sadece ortamın kırılma indisi denir. Kırılma indisi saydam maddelerin ayırt edici bir özelliğidir[4]. 1.6.3 Tam Yansıma Tam yansıma olayı yoğun ortamlardan az yoğun ortamlara doğru gelen dalgaların geri yansıması olayıdır. ġekil-12’de yoğun ortamdan az yoğun ortama doğru gelen dalgalar belli bir açıya kadar kırılarak diğer ortama geçerler, kritik açı denen belli bir açıda dalgalar yüzeyin ġekil 13: Tam yansıma 18 normali ile 90º lik kırılma yaparlar, bu kritik açıdan itibaren dalgalar az yoğun ortamın yüzeyinden yansıyarak yoğun ortama geri dönerler. Bu olaya tam yansıma denir[4]. ġekil 13’ de ıĢınların gelme açısı 𝜃𝑎 dır. Kırılma açısı 𝜃𝑏 = 900 olduğunda, 𝜃𝑎 kritik açı olarak tanımlanır. Kritik açı 𝜃𝑘𝑟𝑖𝑡 . ile gösterilirse bu durumda Snell yasası; 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑘𝑟𝑖𝑡 . 𝑛𝑏 𝑛𝑏 = ⟹ 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑘𝑟𝑖𝑡 . = 𝑠𝑖𝑛90 𝑛𝑎 𝑛𝑎 (48) olarak yazılır. 2. YÖNTEM Lise eğitiminde karĢılaĢılan fotoelektirik olay, Compton saçılması vb. bazı temel kuantum mekaniksel olaylardan daha önce bahsetmiĢtik. Kuantum dünyasında karĢımıza çıkan bir baĢka ilginç olgu da kuantum tünellemedir. Hayatımızın pek çok alanında etkisini gördüğümüz kuantum tünelleme olgusunu modellemek için bir optik deney setinden faydalandık. Bilindiği gibi tünel olayında normalde potansiyel engelini aĢamayacak bir parçacık belirli bir olasılıkla engelin diğer tarafına geçerken, belirli bir olasılıkla da engeli geçemeyip geriye yansımaktadır. Daha öncede bahsettiğimiz gibi bu olay ancak dalga mekaniği ile açıklanabilir. Dolayısıyla bu olayı makro boyutta gerçekleĢtirebilmek için öncelikle bir potansiyel engeline ve bu engele doğru hareket edecek bir dalgaya ihtiyacımız vardır. Benzer bir dalga hareketi bir elektromanyetik dalga kaynağı kullanılarak oluĢturulabilir. Fakat elektromanyetik spektrumun hangi bölgesi böyle bir deney için uygun olabilir? Bu sorunun en ideal cevabı mikrodalgalardır. Daha önce de bahsettiğimiz gibi mikrodalgalar 1mm ile 1m arasında bir dalgaboyuna sahiptir. Dalgaboyu 1mm den daha küçük dalga ile çalıĢsaydık bu dalgaya uygun bir potansiyel duvarı bulmakta ve bu duvarın geniĢliğini ayarlamakta baya zorluk yaĢardık. Benzer Ģekilde dalgaboyu 1m den büyük bir dalga için ise kullanacağımız deney malzemeleri ve deney için gerekli olan alan biraz sorun olabilirdi. Bu durumda en uygunu santimetre mertebesinde dalgaboyuna sahip bir dalga kullanmaktır. Bu sebepten mikro dalgalar optik deneylerinde çok sık kullanılır. Deneyin YapılıĢı Deneyde kullanılan malzemeler Ģunlardır: 1) Mikrodalga verici: vericinin yaydığı mikrodalgaların dalgaboyu2.8 cm dir. 2) Ġki adet mikrodalga alıcı. 3) Bir güç kaynağı. 4) Ġki adet dijital multimetre. 5) Prizmalar için ikizkenar üçgen prizma Ģeklinde iki adet kap. 6) Bu kapları doldurmak için toplam 10 litre parafin 7) Cetvel. 19 8) Açılı döner tabla Yukarıda verilen malzemeler kullanılarak hazırlanan deney düzenekleri ġekil 15 ve ġekil 16’da gösterilmiĢtir. Deneyimiz teorik olarak Ģu Ģekildedir. Bir mikro dalga vericiden çıkan mikrodalgalar içi parafin dolu ikizkenar dik üçgen prizma bir tanka kısa kenarlardan birine dik olacak Ģekilde gönderilir. Prizmanın bu yüzeyinden tanka giren mikrodalga uzun kenarın normali ile 45° açı yapacak Ģekilde bu kenara ulaĢır. Yoğun olan parafin ortamından daha az yoğun olan hava ortamına geçemeyen mikrodalga geldiği açıyla yansıyarak tankı üçgen prizmanın diğer kısa kenarından terk eder. Bu olaya iç tam yansıma adı verilir. Ġç tam yansıma koĢulundan ve kritik açıdan daha önce bahsetmiĢtik. ġekil 14: Ġç tam yansıma Ġçi parafinle doldurulmuĢ ikizkenar dik üçgen bir prizma ilk prizmaya simetrik olacak Ģekilde ġekil 16’da görüldüğü gibi yerleĢtirilirse, ilk prizmanın uzun kenarına gelen mikro dalgalar hava ortamı yerine diğer prizmanın parafin ortamı ile karĢılaĢacaklarından herhangi bir kırılma veya yansımaya uğramadan yollarına devam ederek karĢıya geçerler. Bu iki prizmanın arasındaki mesafe sıfırdan baĢlayarak yavaĢ yavaĢ açılırsa iki prizma arasındaki hava katmanı mikrodalgalar için bir potansiyel engeli görevi görür. BaĢta da belirttiğimiz gibi parafin-hava sınırında iç tam yansıma sebebiyle mikrodalgaların yayılma doğrultularında devam ederek karĢıya geçememeleri beklenir. Tam bu noktada kuantum tünelleme benzeri bir olgu ile karĢı karĢıya kalırız. Prizmaların arasındaki hava ortamının kalınlığına göre hem yansıyan hem de geçen mikrodalgalar mevcuttur. Teorik olarak yukarıda anlatılan deneyi iki aĢamada gerçekleĢtirdik. . 20 ġekil 15: Ġç tam yansıma deney düzeneği Tam Yansıma: Tam yansıma olayının gözlemlenebilmesi için içi parafin ile doldurulmuĢ 45º lik ikizkenar dik üçgen bir prizma kullanıldı. Üçgen prizma döner tablanın üzerine yerleĢtirilerek ġekil 15’de görülen düzenek kuruldu. Burada mikrodalga alıcısı ve vericisinin doğrultuları arasında 90º olması sağlandı. Döner tabla üzerindeki üçgen prizma hareket ettirilerek mikrodalga alıcısına bağlı bir multimetreden akımın maksimumdeğeri arandı, maksimum akım değerinin tam olarak hangi açıda meydana geldiği değerlendirildi Piyasada satılan parafinlerin kırıcılık indisi genelde 1.4-1.7 aralığında değiĢmektedir. Havanın kırılma indisinin 1 olduğu göz önüne aldığında tam yansıma için kritik açının yaklaĢık 38° − 45° dereceler arasında olması beklenir. Farklı açılarda yaptığımız ölçümlerde 45° civarında akımın maksimum olduğunu gözlemledik. Bu durumda yüzeyden yansıyarak geçen mikrodalgaların alıcıda oluĢturdukları akım maksimum olmakta iken beklenenin aksine karĢı tarafa koyduğumuz mikrodalga alıcısında da az miktarda akım gözlemledik. Kritik açının doğru ayarlanmamıĢ olma ihtimali göz önünde bulundurularakverici ve bir numaralı 21 alıcı (verici ile iki numaralı alıcının oluĢturduğu doğruya dik olan) arasındaki açının farklı değerlerine karĢılık iki numaralı alıcının (mikro dalga vericisinin tam karĢısına yerleĢtirdiğimiz alıcı) akım değerini sıfır yapan bir açı elde etmeye çalıĢtık. Fakat çok yüksek olmasa da iki numaralı alıcıda bir akım gözlemeye devam ettik. Bu durumun vericiden çıkan mikrodalgaların tek bir hat üzerinden gelmek yerine sağa sola dağılarak ve ortamda bulunan metal yüzeylerden saparak gelmesinden kaynaklanmadığından emin olmak için vericiyi prizma yüzeyine dayayarak aynı Ģeyleri tekrarladık ve sonuç değiĢmedi. Yaptığımız ölçümlerde multimetreskalasını mikroamper mertebesine ayarladığımızdan zaten ölçüm yaptığımız değerler anlık olarak dalgalanma göstermekteydi. Ampermetredeki bu dalgalanma çoğu zaman iki numaralı alıcının ölçtüğü değerin yarısından daha fazla olarak gözlendi. Tüm bu denemelerde iki numaralı alıcıda ölçülen akım hiç sıfır olarak gözlenmediği gibi, bir numaralı alıcıda ölçülen akımın % 10’unu da geçmemiĢtir. Ġki numaralı alıcıda minimum akım değeri yine baĢlangıçta bahsettiğimiz ve bir numaralı alıcı ile verici arasında ki açının 90° olduğu durumda gözlenmiĢtir. Kullanılan prizmanın ham maddesinin mika olması sebebiyle mikrodalganın direkt parafin hava yüzeyinden değil üçüncü bir maddeden de etkilenmiĢ olması tam yansıma olayını bir nebze etkilemiĢtir. Fakat bu durum kuantum tünel olayını gerçekleĢtirilmesine engel teĢkil etmemiĢtir. Bu durum tünelleme deneyinden bahsedilirken tekrar ele alınarak açıklanacaktır. Kuantum Tünelleme Olayının İncelenmesi Yukarıda teorik olarak kuantum tünelleme olayının nasıl gerçekleĢeceğini anlatmıĢtık. Birinci aĢamada tam yansıma açısını tayin ettikten sonra bu aĢamada deney düzeneğine ġekil 16’da görüldüğü gibi ikinci bir prizma daha ekledik. Prizmaları birbirlerine simetrik yerleĢtirerek tam bir kare Ģekli elde ettik. Prizmalardan birinin yan yüzeyinden belirli bir uzaklığa mikrodalga kaynağımızı yüzeye dik olacak Ģekilde yerleĢtirdik. Kaynağımızın tam karĢısına ikinci prizmanın yan yüzeyinden belirli bir mesafeye ve bu yan yüzeye dik Ģekilde bir mikrodalga alıcısı konumlandırdık. Bu alıcı bundan sonra iki numaralı alıcı olarak adlandırılacaktır. Verici ile iki numaralı alıcının oluĢturduğu çizgiye dik bir konuma ise bir numaralı alıcı olarak adlandıracağımız mikrodalga alıcısını yerleĢtirdik. Ġki prizmadan oluĢan karenin tam merkez noktasını kurĢun kalemle iĢaretleyerek vericinin ve alıcıların tam konumunu bu noktadan 25santimetre uzaklıkta olacak Ģekilde ayarladık. Deney boyunca mikrodalga kaynağını ve alıcıları hep aynı konumda tutarak mikrodalganın aldığı yolun her iki mikrodalga alıcısı içinde eĢit olmasını sağladık. Bunu yaparak yol farkından kaynaklanabilecek hatalı ölçümlerin önüne geçmeyi amaçladık. Çünkü aynı ortamda vericiden 𝑥 kadar uzaktaki bir alıcı 2𝑥 mesafesindeki alıcıdan daha büyük bir akım değeri gösterir. Tüm bunları hazırladıktan sonra mikrodalga kaynağımızı 12 V gerilim veren bir güç kaynağına bağlayarak çalıĢtırdık. Prizmalar arasındaki mesafeyi sıfırdan baĢlayarak 0.2 santimetre aralıklarla 2 santimetreye kadar değiĢtirerek birinci ve ikinci mikrodalga alıcılarından akım değerlerini ölçtük. Burada bir numaralı alıcı potansiyel engeline çarpıp yansıyan dalgaların, iki numaralı alıcı ise engeli aĢarak karĢıya geçen dalgaların genliğini dolayısıyla alıcıda oluĢturdukları akımı göstermektedir. Tablo 1’den de görüldüğü gibi baĢlangıçta prizmalar arasında hiç mesafe yokken, baĢka bir ifade ile potansiyel engeli yokken (engelin geniĢliği sıfırken) gelen dalgaların neredeyse tümü yoluna devam etmiĢtir. Bir numaralı alıcının, tıpkı tam yansıma olayında iki numaralı alıcıda olduğu gibi, hiç akım göstermemesini beklerken çok zayıf bir akım gözlenmiĢtir. Bu durum mikadan yapılmıĢ olan 22 ikizkenar üçgen prizmaların her ikisinin de uzun kenarlarının çok az içe doğru kavisli olmasından kaynaklanmıĢtır. Öyle ki prizmaların kenarları birbirine tam değdiği halde orta kısımları arasında 0.3 𝑐𝑚 boĢluk kalmaktadır. Bu boĢluk her ne kadar üst kısımdan sıkıĢtırılarak giderilmeye çalıĢılmıĢsa da dikdörtgen Ģeklindeki yan yüzeylerin tam merkezi için mesafe hiç sıfırlanamamıĢtır. ġekil 16: Tünel olayı deney düzeneği 23 Potansiyel engelinin geniĢliği (cm) Bir numaralı alıcıdan (yansıyan dalgalar için) okunan akım(𝜇𝐴) Ġki numaralı alıcıdan (geçen dalgalar için) okunan akım(𝜇𝐴) Toplam Akım Yansıma Katsayısı (Olasılığı) Geçme Katsayısı (Olasılığı) 0 27 628 655 0.041 0.959 0.2 103 590 693 0.149 0.851 0.4 261 526 787 0.332 0.668 0.6 450 450 900 0.500 0.500 0.8 562 342 904 0.622 0.378 1.0 675 264 939 0.719 0.281 1.2 737 218 955 0.772 0.228 1.4 770 178 948 0.812 0.182 1.6 802 149 951 0.843 0.157 1.8 833 111 944 0.882 0.118 2.0 849 82 931 0.912 0.088 Tablo 1: Potansiyel engeli geniĢliğine göre yansıyan ve geçen dalgaların alıcılardaki akım değerleri ve buna karĢılık gelen yansıma ve geçme katsayıları Tablo 1’den ve ġekil 17’den görüldüğü gibi bu küçük açıklık kendisini 0.4santimetre civarına kadar belli etmiĢ sonrasında ise potansiyel engelinin geniĢliği bombeden kaynaklı açıklıktan fazla olunca otomatik olarak etki ortadan kalkmıĢtır. ġekil 17’den de görüldüğü gibi potansiyel engelinin geniĢliği arttıkça birinci alıcıda ki akım değeri artarken ikinci alıcının akım değeri düĢmüĢtür. Fakat her iki alıcıdan okunan toplam akım yaklaĢık sabit kalmıĢtır. Engelin geniĢliği 2 santimetreye ulaĢtığında ise tam yansımadakine benzer Ģekilde karĢıya geçen mikrodalgaların alıcıda oluĢturduğu akım neredeyse sıfır olmuĢtur. Daha önce denklem (43) ve (44) te çıkarmıĢ olduğumuz yansıma geçme katsayılarına baktığımızda bu katsayıların dalgaların genliklerinin karesinden türetildiği görülür. Mikrodalga alıcısında akım olarak gözlemlediğimiz olguda dalganın genliğinin karesi ile orantılı olduğundan, bu akımlar toplam akıma bölünürse mikrodalgalar için yansıma ve geçme katsayıları elde edilir. Bu katsayılar mikrodalganın engelden geri yansıma ve geçme olasılıklarına karĢılık gelir. ġekil17’de potansiyel engeli geniĢliğine göre her iki alıcıdan ölçülen akım değerleri görülmektedir. Yine ġekil 18’ea ise potansiyel engelinin geniĢliğine karĢılık yansıma ve geçme katsayıları baĢka bir ifade ile olasılıkları görülebilir. 24 ġekil 17: Potansiyel engeli geniĢliğine göre akımlar a) Mavi çizgi: Ġki numaralı alıcıdan ölçülen akım, engelden geçen dalgaların genliğinin karesi ile orantılıdır, b) Kırmızı çizgi: Bir numaralı alıcıdan ölçülen akım, engelden geri yansıyan dalgaların genliğinin karesi ile orantılıdır, c) Siyah çizgi: Her iki alıcıdan ölçülen toplam akım. Her iki grafiğe ait bu değerler Tablo 1’de hem alıcılardan okunan akım değerleri olarak hem de bu akımların toplam akıma oranlanmasıyla elde edilen olasılıklar cinsinden verilmiĢtir. Çünkü görüldüğü gibi toplam akımda küçük dalgalanmalar mevcuttur. Bu tablo olasılık üzerinden verilseydi toplam olasılık hep 1olacağından bu dalgalanmalar gözlerden gizlenmiĢ olurdu. Oysaki laboratuvar ortamındaki ölçümler bu derece mükemmel olmaktan uzaktır. Multimetreden akım okunurken akım değeri büyüdükçe 80𝜇𝐴 düzeyine kadar çıkabilen bir dalgalanma gözlenmiĢtir. Bu etkiden kurtulmak için her iki multimetre üzerindeki “hold” düğmesine aynı anda basılarak akım değerleri okunmuĢtur. Sonuç olarak potansiyel engeli görevi gören hava tabakasının kalınlığı artırıldıkça beklendiği gibi gelen dalganın engeli aĢma olasılığı azalmıĢtır. 25 ġekil 18: Potansiyel engeli geniĢliğine göre olasılık grafiği: a) Mavi çizgi: Gelen dalganın engeli geçme olasılığı, b) Kırmızı çizgi: Gelen dalganın engelden yansıma olasılığı, c) Siyah çizgi: Yansıma ve geçme olasılıklarının toplamı 3. SONUÇLAR VE TARTIġMA Sonuç olarak kuantum tünelleme olgusu mikrodalga deney düzeneği kullanarak makro boyutlarda tekrarlanmıĢ ve kuantum tünel olayının kavranabilmesi için modellenmiĢtir. Deney tamda kuantum tünelleme olayındakine benzer Ģekilde çalıĢmaktadır. BaĢlangıçta engel geniĢliği sıfır iken gelen dalgaların neredeyse tümü bir engel yokmuĢ gibi karĢıya geçmiĢtir. 27𝜇𝐴 olarak ölçülen yansıyan dalgaların genliğini temsil eden akım ise prizmaların yüzeylerinin orta noktada tam olarak birbirine değmemesinden (engel geniĢliğini tam olarak sıfır yapılamamasından) kaynaklanmaktadır. Potansiyel engelinin geniĢliği yani prizmalar arasındaki mesafe arttıkça engeli geçen dalgaların genliğini temsil eden akım değeri düĢerken yansıyan dalgaları algılayan alıcıya bağlı akım değerleri artmıĢtır. Her iki akım değerlerinin toplamı yaklaĢık sabit kalmıĢtır. Yansıyan ve geçen dalgalar için okunan akım toplam akıma oranlanarak Tablo 1’de verilen geçme ve yansıma katsayıları (olasılıkları) elde edilmiĢtir. Katsayıların potansiyel engeli geniĢliği ile olan değiĢimi kuantum tünelleme denklemlerinden beklenildiği gibi gözlenmiĢtir. Artık deneyin yapılıĢını anlattığımız bir önceki bölümde karĢılaĢılan bazı durumları yorumlamak mümkündür. Ġlk kısımda iç tam yansıma olayında neden tüm dalgaların geri yansımadığına bir bakalım. Tünel olayında potansiyel engeline gelen dalgalar ġekil 6’da da 26 görüldüğü gibi engele çarpar çarpmaz tamamen geri yansımazlar, bir kısmı engelin içinde hareketine devam eder. Bu hareket 2. bölgede yani engelin içinde dalga formunda değil üstel olarak azalan bir formdadır. Engelin geniĢliği büyüdükçe karĢı tarafa (3. bölge) geçen dalganın genliği sıfıra gider. Genlikteki bu azalmada engelin geniĢliği kadar yüksekliği de önemlidir. Gelen parçacığın enerjisi ile potansiyel engelinin yüksekliği arasında çok fazla fark yoksa dalga engel içerisinde daha uzun mesafeler yol alabilir. Engel geniĢliği artırıldığında geçen dalgaların genliğinin sıfıra gidiĢi gözlemlenebilir. Deneyimizde engel görevi gören hava olduğundan potansiyel engeli geniĢletilerek genliğin nerede sıfır olduğu aranmıĢtır. Engel geniĢliğinin ilk 2 santimetresinden sonra genlikteki azalma hızı düĢtüğünden ve ampermetredeki dalgalanmalarında etkisi ile temiz bir ölçüm yapmak mümkün olmasa da genliğin tam olarak sıfır olduğu mesafe 1 metre civarında gözlenmiĢtir. Dolayısıyla ilk karĢılaĢtığımız zorluk olan tam yansıma olayında bir miktar radyasyonun karĢıya geçmesinin aslında kuantum tünellemenin özünde var olan bir durum olduğunu ve gelen dalganın bir kısmının engele çarptığında yüzeyden yansımak yerine engelin içinde yol almasından kaynaklandığını ortaya koymuĢ olduk. Bu durum ġekil 6’da görüldüğü gibi gerçekleĢmektedir. Ampermetredeki dalgalanmaların etkisi ölçüm hassaslığını etkilediği için ölçümler potansiyel engelini 2 santimetreye kadar artırılarak alınmıĢtır. Bu mesafeden sonra iki numaralı alıcıdan okunan akım düĢmesi multimetrede meydana gelen dalgalanmalarının altında kaldığından anlamlı olmaktan çıkmıĢtır. TEġEKKÜR Bu proje, Ege Üniversitesi Fen Fakültesi Fizik Bölümü laboratuarlarında gerçekleĢtirilmiĢtir. ÇalıĢmalarımız sırasında bize danıĢmanlık yapan, bilgi ve deneyimlerini paylaĢan ArĢ. Gör. Dr. Ahmet Çelikoğlu’na, Bilim Kurulu Üyemiz Dr. Meltem Gönülol Çelikoğlu’na ve bizi bilimsel çalıĢmalara teĢvik eden ve bu konuda her türlü desteği veren okul yöneticilerimize teĢekkür ederiz. 27 KAYNAKLAR [1]Atmaca, G., Kuantum Tünelleme Nedir?, http://www.kuark.org/2013/01/ kuantumtunelleme-nedir/, son eriĢim 20. 01. 2014. [2]Atmaca, G., Kuantum Tünellemenin Uygulamaları, <http://www.kuark.org/ 2013/05/kuantum-tunellemenin-uygulamalari/>, son eriĢim 20. 01. 2014. [3]Cemil, A., (2011), 12. Sınıf Fizik, Palme Yayıncılık, Ankara. [4]Enstrümental Analiz, Absorbsiyon ve Emisyon, Elektromagnetik IĢının Özellikleri, <http://www.bayar.edu.tr/besergil/1_emi_ozellikler.pdf>, eriĢim 20.01.2014. [5]Kalkan, H., (2011), <http://gozlemevi.omu.edu.tr/depo/elektromanyetik spektrum.pdf>, son eriĢim 20.01.2014. [6]Karaoğlu, B., (1998), Kuantum Mekaniğine GiriĢ, Güven Yayınları, Ġstanbul. [7]Kav, B., (2013)Engelleri Kuantumla AĢmak, Açık Bilim Dergisi, Makale 1. [8]Komisyon, (2011), Ortaöğretim Fizik 11 Ders Kitabı, MEB yayınları. [9]Serway, R. A, (1996), Fen ve Mühendislik için Fizik,PalmeYayıcılık, Ankara. [10]Soutter, W., An IntroductiontoquantumTunelling, <http://www.azoquantum.com/Article. aspx?ArticleID=12>, son eriĢim 20. 01. 2014. [11]ġenyel, M., Aybek, A.,ġ., Modern Fiziğin DoğuĢu. [12]Taylor, J. R., Zafaritos, (1996), C., Fizik ve Mühendislikte Modern Fizik, Güven Yayınları, Ġstanbul. 28
