İLKÖĞRETİM 1. KADEME MATEMATİK EĞİTİMİNDE HANGİSİ? KÜTLE Mİ, AĞIRLIK MI? Murat SÖNMEZ Orta Doğu Teknik Üniversitesi, MYO, ANKARA ÖZET: Ülkemizde ilköğretim 1. kademe matematik derslerinde, öğrencilere günlük hayatta alınan, satılan, yenilen, paylaşılan v.b. şeylerin miktarları ile ilgili hesaplamalar yapma becerilerinin verilmesi amacına yönelik olan, ölçüler hakkındaki kısımlar, Milli Eğitim Bakanlığı’ ca belirlenmiş olan ders programları gereğince, son yıllarda kütle kavramı kullanılarak işlenmektedir. Özellikle de ikinci ve üçüncü sınıf öğrencileri için hazırlanan ders kitapları ve notlarında konu öğretiminde görsellik bir zorunluluk olduğundan, yazılı kısmın yanında söz konusu mal ne ise onu tartı aleti ile miktarı ölçülürken gösteren bir de resim/ fotoğraf verilmektedir. Ancak, günlük hayatta ve geleneksel mühendislik hesaplamalarında ağırlık ölçüm birimi olarak, çağdaş bilimsel ve teknolojik hesaplamalarda ise kütle ölçüm birimi olarak aynı birim ifadesinin, [ kg ], kullanıldığı Türkiye gibi bir ülkede henüz daha kütlenin ne olduğunu, ağırlıkla arasında ne fark bulunduğunu öğrenmemiş olan 1. kademe öğrencileri için bu çeşit görsel döküman, tartı aletleri ile esasen doğrudan kütle ölçülemeyeceği için son derece yanıltıcı olmakta ve kütle ile ağırlık kavramlarını karıştırmalarına, birbiri yerine kullanılabilir sanmalarına ve ileride örneğin mühendislik öğrenimi ve uygulamalarında da kütle olarak verilen değeri ağırlık olarak ele almalarına yol açabilmektedir. Bu bildiride, gerekli fizik kanunlarını öğrenmemiş 1. kademe öğrencilerinin matematik derslerinde kütle değil, eskiden olduğu gibi ağırlık kavramının kullanılmasının uygun olacağı vurgulanmaktadır. 1.AĞIRLIK VE KÜTLE KAVRAMLARI Bir cismin ağırlığı, o cismin her zerresine dünya tarafından uygulanan çekim kuvvetlerinin bileşkesidir. Ağırlık bir vektördür. Bu bileşke kuvvetin, dünyanın merkezine yönelik bir doğrultusu, ve cismin sahip olduğu madde miktarı ile orantılı bir büyüklüğü vardır. Ağırlığın ölçme birimi kuvvet büyüklüklerini ölçme/kıyaslama da kullanılan birimdir. Bu, Uluslararası Birim Sisteminde ( Syste’me International d’Unites, SI Units) “ Newton” [N], geleneksel Amerikan birimler sisteminde “pound” [lb], İngiliz birimler sisteminde “ poundal”, geleneksel Türk birimler sisteminde “kilogram” [kg] dır. Kütle, bir cismin eylemsizliğinin ölçülmesi/kıyaslanmasında kullanılan bir kavramdır. Eylemsizlik ise, cismin hızındaki değişimlere gösterdiği bir dirençtir. Cismin eylemsizliği onun özelliklerinden biridir. Bir cismin hızı o cisme dengelenmemiş bir kuvvet uygulanması halinde değişebilir. Bir cismin eylemsizliği ile o cismin sahip olduğu madde miktarı arasında doğru orantı olduğu için, bazı yazarlar kütleyi, cismin sahip olduğu madde miktarının bir ölçüsü olarak tanımlarlar. Einstein’ nın ünlü eşitliği, E= m c2 ifadesine göre ise kütle enerjidir! Kütle için henüz daha pratikte kullanılabilir atomik bir ölçüm birimi standardı bulunmamaktadır. Günümüzde uluslararası kütle kıyaslama standardı, kütlesi, +4[0C]da 1 [dm3] suyun kütlesine eşit olan platin-iridyum alaşımından yapılmış bir silindirin kütlesidir. SI birim sisteminde, kütle temel bir kavramdır ve ölçü birimi kilogram [kg]dır. İngiliz birimler sisteminde kütlenin standard birimi pound [lb] dur. Geleneksel Amerikan birimler sisteminde pound kuvvet birimi olduğundan, İngiliz kütle birimi ile Amerikan kuvvet biriminin karıştırılmaması için bilimsel/ mühendislik hesaplamalarında birim indisli olarak, lbmass , lbforce şeklinde kullanılır. Amerikan birimler sisteminde, 1[lb]’ luk kuvvetin büyüklüğü, kütlesi 1[lb] olan cisme dünyanın uyguladığı çekim kuvvetinin büyüklüğü olarak alınır. Yani kütlesi 1[lbmass] olan cismin ağırlığı 1[lbforce] dur. Benzer şekilde, günlük yaşamda hala kullanılan geleneksel Türk birimler sisteminde kuvvet birimi kilogram [kg] dır. Ağırlık da bir kuvvet olduğu için ağırlığın da birimi [kg] dır. Bu standard kuvvet birimi, kütlesi 1 [kg] olan bir cismin ağırlığı olarak alınır. Kütle ve kuvvet birimleri için aynı kelimenin kullanıldığı ülkelerde kütle ve ağırlık kavramlarının karıştırılması ve birbirinin yerine kullanılabilir zannedilmesi daha olasıdır. Bu yanılgı, bir tartı aletinin doğrudan kütle ölçüm cihazı olduğu yanlış bilgisi ile yetiştirilme durumunda ( ki şu anda Türkiye’de 1. kademe matematik dersleri ölçüler kısmında farkında olunmadan bu yapılmaktadır) kaçınılmaz olabilecektir. 1.2 Ağırlık ve Kütle Arasındaki Bağıntı Newton’un çekim kanununa göre, kütleleri M ve m olan iki cisim birbirlerini karşılıklı olarak zıt yönlü, F ve -F kuvvetleri ile çekerler. Bu kuvvetlerin eşit olan büyüklükleri, aşağıdaki ifade kullanılarak bulunabilir: F= G Mm 2 r (1) Burada, r, cisimlerin kütle merkezleri arasındaki uzaklık, G ise orantı katsayısıdır. Bu kanunun bir uygulaması olarak, cisimlerden birisi M kütlesinde dünya, diğeri ise hacmi dünyanınkine göre çok küçük olan ve dünyanın yüzeyi civarında bulunan bir cisim ele alındığında, r uzaklığı dünyanın yarıçapı olarak alınabilir. Bu durumda yukarıdaki ifadedeki GM/r2 kısmı belirli bir değere eşit olmakta ve uygulamada bu kısmın değeri yer çekimi ivmesi, g , olarak tanımlanmaktadır. Bu tanımlama ile dünyanın cisme etki ettirdiği kuvvetin büyüklüğü mg şeklinde yazılabilmektedir. Literatürde dünyanın cisimlere uyguladığı çekim kuvveti için W harfi kullanıldığı ve bu kuvvete o cismin ağırlığı adı verildiğinden, bir cismin ağırlığı ile kütlesi arasındaki ilişki, W=mg (2) olarak yazılmaktadır. Burada g’ nin değeri, ağırlığı söz konusu olan cismin dünyanın yüzeyinden olan uzaklığına bağlıdır. Eğer cisim dünyanın yüzeyinden, dünyanın yarıçapına göre ihmal edilemeyecek uzaklıklara hareket ediyorsa bu değer sabit olarak ele alınamaz. Örneğin kütlesi 74 [kg] olan bir adamın deniz seviyesinde bir tartı aleti üzerinde dururkenki ağırlığı 726 [N] iken, bu adam 6400 [km] yükseklikte aynı şekilde tartıldığında ağırlığı 181 [N] olmaktadır. Görüldüğü gibi kütlesi değişmeyen bir cismin böyle bir durumda ağırlığı değişebilmektedir. Bu değişkenlik bir sonraki kısımda başka durumlar ele alınarak daha ayrıntılı olarak irdelenecektir. 2. AĞIRLIĞIN ÖLÇÜLMESİ Uygulamada yaygın olarak kullanılan ağırlık ölçme yöntemlerinde tek kefeli mekanik/ elektronik göstergeli tartı aletleri ya da eşit kollu, iki kefeli tartı aletleri kullanılmaktadır. Tartı aletleri, tartılan cismin kütlesini değil, o cismin üzerinde bulunduğu kefeye uyguladığı kuvvetin büyüklüğünü algılayabilir. İlk olarak basit bir yaylı tartı aletini ele alalım ( Şekil 1). Bu tür bir tartı aletinin esas elemanı, ucuna ağırlığı ölçülecek cismin takıldığı bir yaydır. Cismin uyguladığı kuvvetin etkisiyle olan yayın uzama miktarı, bu kuvvetin büyüklüğü ile orantılı olduğundan, uzamanın ölçülmesi ile cismin → → Fyay A yay mezur FA +G → Fcisim → W Ağırlığı ölçülecek cisim (a) (b) (c) Şekil 1. (a) Yaylı terazi, (b) ağırlığı ölçülen cismin serbest cisim diyagramı, (c) yayın serbest cisim diyagramı. (Fyay: yayın cisme uyguladığı kuvvet, W: cisme dünyanın uyguladığı çekim kuvveti, Fcisim: cismin yaya uyguladığı kuvvet, FA: yayın diğer ucuna, yayın tartı aletinin gövdesine bağlandığı noktada etki eden kuvvet, G: cismin kütle merkezi) ağırlığı tespit edilebilmektedir. Cismin, Şekil1b’de verilen serbest-cisim diyagramı için kuvvetlerin dengesi denklemi, ( ΣF=0), yazılırsa buradan Fyay= W elde edilir. Newton’un 3. kanununa göre, cismin yaya uyguladığı kuvvet, Fcisim , yayın cisme uyguladığı kuvvete, Fyay , eşittir. Bu kuvvetlerin doğrultuları aynı, yönleri ise zıttır(etki-tepki kuvvetleri).Yay denge konumuna geldiğinde, Fcisim aynı zamanda FA kuvvetine de eşit olur. FA ve Fcisim kuvvetlerinin etkisiyle (Şekil 1c), doğrusal karakterli bir yayın, yüksüz durumundakine göre boyundaki uzama ∆L; ∆L= Fcisim Fyay W mg = = = k yay k yay k yay k yay (3) eşitliğini sağlar. Burada, kyay yay sabitidir. Bu uzama miktarı, görüldüğü gibi kütle ile değil cismin yaya uyguladığı kuvvetin büyüklüğü ile orantılıdır. Uzama miktarı mezur ile ölçülebilir ve eğer ölçümün yapıldığı yer için geçerli olan yerçekimi ivmesi biliniyorsa yukarıdaki eşitlikten kütle dolaylı olarak bulunabilir. Ya da mezur o yörede geçerli olan g’nin değerine göre kalibre edilebilir. Tartım işlemi yukarıya doğru ivmeli hareket yapan bir ortamda, örneğin bir asansör içinde yapılırsa, yukarıdaki eşitlikten kütle hesaplanamaz. Bu durumda cismin serbest-cisim diyagramı için hareket denklemi yazılarak, Fyay= W+ mcisim aG cisim ifadesi elde edilir Yayın serbest-cisim diyagramı için ise FA=Fcisim+myay aG yay eşitliği yazılabilir.(Burada, aG cisim: cismin kütle merkezinin ivmesi, myay: yayın kütlesi, aG yay : yayın kütle merkezinin ivmesidir.) Yayın kütlesinin, cismin kütlesine göre ihmal edilebilir olduğu durumlarda FA , Fcisim ‘e yaklaşık olarak eşit alınabilir ve ∆L için aşağıdaki ifade yazılabilir: ∆L≅ W + mcisim aGcisim mcisim = ( g+ aG cisim) k yay k yay (4) Böyle bir hareket halinde tartı aletinin kalibre edilmiş göstergesinden ya da mezur kullanarak ağırlığın elde edilmesi mümkün olmamaktadır. Örneğin, kütlesi 74[kg], deniz seviyesindeki ağırlığı ise 726[N] olan bir insanın 4[m/s2] lik bir ivme ile yükselen bir asansörde tartılması halinde tartı aleti kişinin ağırlığını 1022[N] olarak gösterecektir. Esasında bu değer kişinin ağırlığı değil, o kişinin tartı aletine uyguladığı kuvvetin büyüklüğüdür. Tek kefeli elektronik/mekanik göstergeli bir tartı aletinin de çalışma prensibi aynı şekildedir ve göstergenin kalibrasyon bağıntıları için benzer şeyler söylenebilir. Şimdi de birçoklarının “ kütle ölçümünde doğrudan kullanılabilir” diye bildiği, Şekil 2a daki gibi eşit kollu, bıçak sırtı destekli bir tartı aletini, eş kefelerinden birinde ağırlığı ölçülecek cisim diğerinde ise standard ağırlıkla birlikte ele alalım: Şekil 2 deki kuvvetlerden W dünyanın cisme uyguladığı bileşke kuvveti (yani ağırlığını); FC, C kefesinin cisme uyguladığı bileşke kuvveti; Fcisim, cismin C kefesine uyguladığı kuvveti (Newton’un 3. Kanununa göre Fcisim ve FC etki-tepki kuvvetleridir.); Wkefe C, C kefesinin ağırlığını; FA, terazi kirişinin kefeye A noktasında uyguladığı kuvveti; FD, D kefesinin standard ağırlığa uyguladığı kuvveti; WSA, standard ağırlığın ağırlığını; Wkefe D, D kefesinin ağırlığını; FSA, standard ağırlığın kefeye uyguladığı kuvveti ( FD ve FSA etki-tepki kuvvetleridir); FB, terazi kirişinin sağ kefeye B noktasında uyguladığı kuvveti; Fsol kefe, sol kefenin terazi kirişine uyguladığı kuvveti; Fsağ kefe, sağ kefenin terazi kirişine uyguladığı kuvveti ( Fsol kefe ile FA ve Fsağ kefe ile de FB etki-tepki kuvvetleridir); Fo ise terazi gövdesinin kirişe uyguladığı destek kuvvetini göstermektedir. Şekil 2b ve c deki serbest-cisim diyagramları için kuvvetler denge denklemi yazılarak sırasıyla FC=W ve FA=Fcisim+Wkefe C eşitlikleri elde edilir. Newton’un 3. Kanununa göre Fcisim=FC olduğundan FA= W+Wkefe C şeklinde yazılabilir. Benzer şekilde Şekil 2d ve e deki serbest-cisim diyagramları için kuvvetlerin dengesi denklemi yazılarak ve FD ile FSA nın, FA ile Fsol kefe nin ve FB ile de Fsağ kefe nin etki-tepki kuvvetleri olduğunu göz önüne alınarak, Fsol kefe=W+Wkefe c ve Fsağ kefe= WSA+Wkefe D şeklinde ifade edilebilir.Terazi kirişinin Şekil 2f de gösterilen serbest-cisim diyagramı için momentlerin dengesi denklemi yazılırsa; → Σ M =0 AO Fsol kefe= BO Fsağ kefe ya da AO (W+Wkefe C) = BO (WSA+Wkefe D) (5) elde edilir. Kirişin kol uzunlukları eşitse ve kefe ağırlıkları aynı büyüklükte ise, yukarıdaki eşitlikten W= WSA olarak elde edilir.( Bu durumda kiriş yatay konumda durur.) Yer çekimi ivmesi her iki cisim için de aynı olduğu için bu eşitliğin her iki tarafı g’ye bölündüğünde kütlelerin eşitliği elde edilir. Dikkat edilirse yukarıdaki kuvvet analizlerinde terazinin bulunduğu ortamdaki akışkanın (örneğin atmosferik hava) kaldırma etkisi ihmal edilmiştir. Bir akışkanın, çevrelediği cisme uyguladığı kuvvet sisteminin, cismin hacim merkezi (sentroid)den geçen ve dünyanın merkezine göre radyal doğrultulu olan, dünya yüzeyinden yukarıya doğru yönelik bileşkesi, akışkanın kaldırma kuvveti olarak bilinir. Bu kuvvetin büyüklüğü cismin akışkan içinde kapladığı hacmin, akışkanın yoğunluğu ve yer çekimi ivmesi ile çarpımına eşittir (Archimedes prensibi). Hassas bir ağırlık ölçümü gerektiğinde, özellikle standard ağırlığın malzeme yoğunluğunun, tartılan cisminkine göre çok büyük olduğu durumlarda, ve/ veya ortam akışkanının yoğunluğu büyük olduğunda ( örneğin sıvı suyun yoğunluğu, ρsu , atmosferik havanın yoğunluğundan yaklaşık olarak 1000 kat daha fazladır) akışkanın kaldırma kuvvetlerinin de analizde göz önünde bulundurulması gerekir. Bu yapıldığında şu çok bilinen, “1[kg] demir mi ağırdır yoksa 1[kg] pamuk mu?”sorusunun, cevabı doğru olarak verilecektir. Eğer hassas bir ölçüm yapılırsa demirden yapılmış standard ağırlığın olduğu kefenin aşağıya indiği yani demir daha ağırmış gibi sonuç alındığı görülecektir. Bu deney de gösterir ki eşit kollu terazi ile bile doğrudan kütle ölçümü yapmak mümkün değildir. Teraziler kütleyi değil, duyarlı kısımlarına etkiyen kuvetin büyüklüğünü göstere -bilirler. Aşağıdaki kuvvet analizi bu gerçeği göstermektedir (Şekil 3). Bu şekildeki serbest-cisim diyagramlarında görülen, Fkal. 1, ortam akışkanının ağırlığı ölçülecek cisme uyguladığı kaldırma kuvvetini ( Fkal. 1= ρakışkan g ∀cisim dir. Burada ∀cisim, cismin hacmidir.) , Fkal. 2 ise ortam akışkanının → FA A B o → +G Fcisim → W C → D Ağırlığı ölçülen cisim FC → Standard ağırlık (referans cisim) Wkefe,C (c) (b) (a ) → FB +G B A O → WSA → FD → → FSA → → Fsolkefe Fo Fsagkefe → Wkefe, D (d) (f) (e) Şekil 2. (a) Eşit kollu terazi, (b) ağırlığı ölçülen cismin serbest-cisim diyagramı, (c) C kefesinin serbest-cisim diyagramı, (d) standard ağırlığın serbest-cisim diyagramı, (e) D kefesinin serbest cisim diyagramı, (f) terazi kirişinin serbest-cisim diyagramı. standard ağırlığa uyguladığı kaldırma kuvvetini ( Fkal. 2= ρakışkan g ∀SA ‘dır. Burada ∀SA, standard ağırlığın hacmidir.) göstermektedir. Bu kuvvetlerin de denge denklemlerinde kullanılmasıyla, standard → Styrofoam blok Standard ağırlık A O + → WSA Wcisim B ρcisim ,∀cisim (a) → Fkal .2 +G,C → D C Fkal .1 → FkefeC (b) → Fkefe, D (c) Şekil 3. (a) Eşit kollu terazide yoğunluğu standard ağırlığın malzemesininkine göre çok az olan bir cismin tartılması, (b) ortam akışkanının kaldırma kuvvetinin de ele alındığı, cismin serbest-cisim diyagramı (buradaki c harfi cismin hacim sentroidini göstermektedir) , (c) standard ağırlığın serbest-cisim diyagramı. ağırlıkla kıyaslanan ağırlık arasındaki bağıntı aşağıdaki şekli alır: Wcisim= WSA+ ρakışkan g (∀cisim - ∀SA) (6) Bu ifadeden anlaşılacağı üzere, terazi kirişinin yatay dengelenmiş konumu ağırlıkların eşit olduğunu gösteremez. Sağ taraftaki ilave kısmın önemi ∀cisim∀SA olduğunda ve/veya ortam akışkanının yoğunluğunun, ρakışkan, büyük olması halinde artacaktır.(Örneğin kütlesi 1[kg] olan styrofoam blok atmosferik hava ortamında tartıldığında, cismin ağırlığı yaklaşık 0.5[N] kadar daha az zannedilecektir. Bu ölçüm sıvı su içinde yapılsaydı ilave terimin değeri 390[N] kadar olacağından teraziyi dengelemek mümkün bile olmayacaktı.) 3.SORUN VE SONUÇ Yukarıda anlatılan gerçekler nedeniyle öğrenciye öğretilmesi gereken, tartı aletlerinin doğrudan kütle ölçmediği, ölçülen şeyin aletin duyarlı kısmına etkiyen kuvvetin büyüklüğü olduğudur. Ancak maalesef 1998 yılından sonra MEB nca yapılan bir değişiklikle (MEB İlköğ.Mat.Prg.,1998), matematik derslerinin ölçüler kısmında öğrencilere, alınan, satılan, değiştirilen v.s. şeylerin miktarları ile ilgili hesaplar yapma becerisi vermeye yönelik işlemlerin gösterildiği kısımlarda bu öğretimin kütle kavramı kullanılarak yapılması istenmiştir. Özellikle küçük yaş grupları için matematik kitap ve ders notlarının anlatım ve soru kısımlarında bir şekil ve/veya resim verilmesi bir zorunluluktur. Alınan/satılan şeyleri tartı aletinde gösteren bu çeşit görsel elemanla ( Bkz. Şekil4.) birlikte sorulan şey “şekilde görülen cisimlerin kütlesi ne kadardır?” şeklinde olduğunda öğrencilerde, hele özellikle günlük hayatta ağırlık birimi olarak hala [kg] ın (ki bu 1. kısımda açıklandığı gibi SI sisteminde kütle birimidir.) kullanıldığı ülkemizde, kütlenin ağırlıkla aynı şey olduğu, ve/veya tartının gösterdiği şeyin kütlenin değeri olduğu yanılgısı oluşmaktadır. Henüz daha mekaniğin temel kavramlarını öğrenmemiş 1.kademe öğrencileri için matematik ders programlarında, bu nedenlerle kütle kavramı kullanılmamalıdır. Ortam akışkanının kaldırma kuvvetinin etkisinin önemsiz olabileceği durumlarda ya da tek (a) (b) (c) Şekil 4 İlköğretim Matematik kitaplarından alınmış bazı şekiller. (a) şeklinin sorusu, kişinin kütlesinin ne kadar olduğu hakkındadır.(b) şeklinin verildiği soruda, terazinin göstergesine bakılarak elmaların kütlesinin ne kadar olduğu sorulmaktadır.(c) şeklinin verildiği sayfada kişinin kütle ölçmekte olduğu telkin edilmektedir (Çağlar, Doğancıoğlu, 1999),(Çetin, Cansu, Çalışkan, 1999). kefeli terazilerde ayrıca ivmeli bir hareket sırasında tartım yapılmaması şartıyla, ancak ağırlığın doğrudan ölçülmesinin olanaklı olması nedeniyle konularda ağırlık kavramı kullanılmalıdır. Bu yapılırkende keşke günlük kullanımda da ağırlık birimi olarak [Newton] kullanılmaya başlansa ve dolayısıyla sorular sorulurken “ kaç [kg]dır?” ibareleri yerine “kaç [N] dur?” denilebilse... Unutulmamalıdır ki “ağaç yaşken eğilir!”. Çocuklarımıza kavramları doğru öğretelim, yanılgıların oluşmasına yol açmayalım. KAYNAKLAR Ohanian, H.(1989). Physics.(2nd.Ed.,expanded). N.Y.: W.W.Norton&Company Beer, F., Johnston, E.R. (1984).Vector Mechanics for Engineers.Singapore: McGraw-Hill Book Com. MEB (1998). İlköğretim Okulu Programı. Ankara: İlköğretim G.M. MEB Yayınları. ÇağlarM., Doğancıoğlu, Ü. (1999). Matematik Gezegeni, 3.Sınıf 6. sayı, (3. Basım), 5.Sınıf 5.sayı.Ankara: ODTÜ Geliştirme Vakfı Eğitim Yayınları. Çetin,M., Cansu, Ş., Çalışkan, Z.(1999). İlköğretim Matematik Ders Kitabı, 3.sınıf.İstanbul: Başarı Yayımcılık.