ağırlık merkezi ve alan atalet momenti

AĞIRLIK MERKEZİ VE ALAN ATALET MOMENTİ
AĞIRLIK MERKEZİ (CENTROID)
Ağırlık merkezi paralel kuvvetlerden ortaya çıkan geometrik bir kavramdır. Yalnızca paralel kuvvetlerin
ağırlık merkezi vardır. Ağırlık merkezi bir fiziksel cismin veya parçacıklar sisteminin tüm ağırlığının
toplandığı nokta olarak düşünülür. Düzgün geometrik cisimlerde eğer simetri ekseni varsa ağırlık merkezi bu
simetri ekseni üzerindedir. Eğer cisme ait iki veya üç simetri ekseni varsa ağırlık merkezi bu eksenlerin
kesişim noktasında yer alır.
Bir, iki veya üç boyutlu cisimler analitik fonksiyonlar olarak tanımlanmış ise bunların ağırlık merkezleri
integral yoluyla hesaplanır. Birkaç cismin birleşmesiyle oluşmuş cisimlere kompozit cisim adı verilir. Bu tür
cisimlerin ağırlık merkezleri de aşağıdaki gibi hesaplanır:
Çizgi
(Line-a thin rod)
Alan
(Area-a flat plate with
constant thickness)
Kompozit
Kompozit
Hacim
(Volume-a sphere or a
cone)
Kompozit
x
 xdl
 dl
x
 x i li
 li
x
 xdA
 dA
x
 x i Ai
 Ai
x
 xdV
 dV
x
 x i Vi
 Vi
y
 ydl
 dl
y
 yi li
 li
y
 ydA
 dA
y
 yi Ai
 Ai
y
 ydV
 dV
y
 y i Vi
 Vi
z
 zdl
 dl
z
 z i li
 li
z
 zdA
 dA
z
 zi Ai
 Ai
z
 zdV
 dV
z
 z i Vi
 Vi
BAZI GEOMETRİK ŞEKİLLERİN AĞIRLIK MERKEZLERİ
1. Çeyrek Çember Şeklinde İnce Çubuk
r = Yarıçap
dl  r  d
dl
x el  x  r cos 
yel=y
y el  y  r sin 
d

xel=x
/2
 r cos rd
x 0
/2
 rd
0


r sin  0 / 2

r  0 / 2
2

/2
 r sin rd

2r
x

y
0
/2
 rd

r 2  cos 0 / 2
r
/2
0

y
2r

0
1
2. Çember Yayı
r=yarıçap
y


G
r sin 

x
x
y0
3. Çeyrek Daire
y
 ydA
 dA
y
d
d
A=
r 2
4
dA=dd
R
dA

R
 ydA   ρsinθρdρdθ  
y=sin

x=cos
x


3 R
ρ
3
- cosθ  0π/2
π/2

ρ3
ρ sin dd 
3
0
0

R3
R3
- 0 - 1 
3
3
0
3
R
4
4R


2
3 πR
3π
R
xy
π/2

2
0
sin d
0
4R
3π
4. Yarım Daire
x
 xdA
y
y0
dA
A=
r
/2
 xdA    cos dd   
0
x
 / 2
r 2
2
dA=dd
3
 cos dd 
3
r
/2
0
 / 2

2
x
x
cos d
G
4r
3
5. Üçgen
x?
y
h
y
3
a
dA=w.dy
x
bh
 b 
 dA   wdy  0 b  h y dy  2
h
x  x 
w
2
h
w
dy
h
 a
b
 b

 xdA    h y  2h (h  y)  h (h  y) dy
0
x
ab
3
y
x
x
b
2
6. Parabol
w=bx
y
x2
y
2b
x
 xdA
x
 dA
b x2
b2
 dA   ydx   2b dx  6
0
 ydA
y
 dA
y
x2
2b
y
x2
b3
xdA

xydx

x
dx




8
0 2b
b
b/2

b

b3
40
x
3b
4
7. Bir eğri ile doğru arasında kalan alan

dA  ldx  y üst  y alt dx  a x
 xdA
x
 dA
a


1/2 1/2
 dA   a x  x dx 
0
A
2
2
1/2 1/2
y

3b
20
xsağ
y
y 2  ax
 x dx
a 1/2 x 3/2 a x 2
2 0 
3
2
xsol
a
0
(a, a)

2
2a
a
a


3
2
6


(2)
x
dx
1/ 2 1/ 2 1/ 2
 ydA   wydy   y b  ( y 2 b dy 
0
b/2
dy
l
y=x
yüst
dx
yalt
(3)
dy
x
a
 xdA   x(a
1/2
x
0
1/2
a 1/2 x 5/2 a x 3
 x)dx 
2 0 
5
3
2a 3 a 3 a 3

 
5
3 15
 
(3)
y
 ydA
 dA
a
0
a 3 6 2a
, x  2 
15 a
5
yx
,
y x
y 2  ax
,
x 2  ax
2
y  a 1/2 x1/2
,
y4
4a
a3 6

12 a 2
2
x
,
xa
y2
a
(5)
 ydA   yx sağ  x sol dy  y(y 
a
0
y2
y3
)dy 
a
3
a
0

a
0

, y
a
2
3
ALAN ATALET (EYLEMSİZLİK) MOMENTİ
dA
Etkidikleri alan içerisinde düzgün olarak dağılmış kuvvetlerin
genelde bu alan içinde veya ona dik bir düzlemde yer alan bir
eksene göre momentlerinin hesaplanması gerekir. Çoğunlukla
bu kuvvetlerin birim alan başına şiddetleri (basınç veya
gerilme olarak adlandırılır) kuvvetin etkime doğrultusunun
moment ekseninden olan uzaklığıyla doğru orantılıdır. Bu
şekilde, elemanter bir alana etkiyen elemanter bir kuvvet,
mesafe x diferansiyel alan ile orantılı olur:
dP ≈ d
,
dP=dF/dA
,
dF/dA ≈ d
,
dF
d
dF ≈ ddA
Elemanter moment ise mesafe2  diferansiyel alan ile orantılı olur: dM=d2dA
Böylece toplam moment: ∫dM=∫ d2dA
alan ikinci momenti” adı verilir.
,
M=∫ d2dA . Bu integrale “alan atalet (eylemsizlik) momenti” veya
Atalet momenti hız, ivme veya kuvvet gibi fiziksel bir büyüklük olmayıp yalnızca hesap kolaylığı sağlamaya
yöneliktir; alanın geometrisinin bir fonksiyonudur. Dinamikte bir alanın ataleti gibi bir kavram olmadığından
atalet momentinin herhangi bir fiziksel anlamı yoktur. Fakat mekanikte, bir kirişin eğilmesinde, bir milin
burulmasında, bir makina veya yapı elemanının herhangi bir kesitindeki gerilmelerin hesaplanmasında atalet
momenti kullanılır.
Dik (Kartezyen) ve Polar (Kutupsal) Alan Atalet Momentleri ve Çarpım Alan Atalet Momenti
Tanımı gereği dA alanının x ve y eksenlerine göre alan atalet momentleri sırasıyla dIx=y2dA ve dIy=x2dA ‘dir.
y
Toplam A alanının bu eksenlere göre alan atalet momentleri ise,
dA
x
Ix=y2dA
2
Iy=x dA
A alanının x eksenine göre atalet momenti
A
r
A alanının y eksenine göre atalet momenti
Bu atalet momentlerine dik (kartezyen) alan atalet momentleri adı verilir. O
y
x
z
z eksenine veya O kutbuna göre dA alanının atalet momenti ise yine tanım gereği dIz (veya dIO)=r2dA ‘dır.
Toplam A alanının z eksenine göre atalet momenti ise,
Iz (=Io) =r2dA A alanının z eksenine göre polar alan atalet momenti
z ekseni alanı içeren düzleme dik olup bu düzlemi O noktasında kestiği için bu momente O noktasına göre
atalet momentine kutupsal (polar) atalet momenti de denir. r2=x2+y2 oluğundan Io=Iz=Ix+Iy bağıntısı geçerlidir.
4
( r2dA=y2dA+x2dA )
A alanına ait çarpım alan atalet momenti ise,
Ixy=xydA
olarak tanımlanır.
Alan atalet momentlerine ait özellikler:
1. Bir alanın Io, Ix , Iy atalet momentleri daima (+) değer alır.
2. Ixy ise (), 0 veya (+) olabilir.
3. Tüm atalet momentlerinin birimi uzunluk için alınan birimin 4. kuvvetidir (L4).
4. Bir alanın sahip olabileceği en küçük atalet momenti değeri bu alanın ağırlık merkezinden geçen
eksenlerden birine göre gerçekleşir. Bir alanın bir eksene göre atalet momenti, bu eksen ağırlık merkezinden
uzaklaştıkça büyür.
Bir alanın dağılımı, ağırlık merkezinden geçen eksenlere ne kadar yakın ise alanın atalet momenti değeri o
kadar küçük olur.
y
y
y
y
A
A
A
A=36 L2
A
x
x
x
Ix=108 L4
Ix=103.13 L4
x
Ix=752 L4
Ix=243 L4
Bir Alanın Jirasyon (Atalet – Eylemsizlik) Yarıçapı
x eksenine göre atalet momenti Ix olan A alanının x eksenine göre paralel ince bir şeritte toplandığını
varsayalım. Bu şerit alanın x eksenine göre momenti yine Ix ise şerit x ekseninden Ix=kx2A bağıntısı ile
belirlenecek bir kx uzaklığına konmalıdır. kx uzaklığına “alanın x eksenine göre jirasyon yarıçapı” adı verilir.
y ve z eksenleri için de benzer şekilde jirasyon yarıçapları elde edilir.
Ix  k x A
Iy  k y A
2
Ix
A
kx 
ky 
Ix  I y  Iz
y
y
Iy
A
olduğundan
A
Iz  k z A
2
2
kz  ko 
Io
A
k 2z  k 2x  k 2y
y
A
ky
y
kz
A
O
x
x
O
O
z
O
kx
x
x
A
5
PARALEL EKSENLER (STEINER) TEOREMİ
y
y
Eğer herhangi bir eksene göre bir alanın atalet momenti
belirlenmiş ise, bu eksene paralel olan başka bir eksene göre
alanın atalet momenti Steiner Teoremi ile belirlenebilir:
xo
e
dA
yo
G
Şekilde dA elemanter alanın x eksenine göre atalet momenti:
x
A
dI x  y0  d  dA
Tüm A alanına genişletildiğinde:
2
d
r
I x   y 0  d  dA   y 02 dA  2d  y 0 dA  d 2  dA
2
O
x
burada,
 y dA  x eksenine göre (ağırlık merkezinde n geçen) I
 y dA
2d  y dA  y 
 y dA  yA
dA

2
0
x
atalet momenti
0
0
0
kütle merkezinin G' den olan uzaklığı (alan merkezinin G' den olan uzaklığı y  0),
2d  y 0 dA  0
d 2  dA  d 2 A
Buna göre,
I x  I x  Ad 2
ve benzer şekilde
I x  I y  I z olduğundan
I x  I y  Iz
Çarpım atalet momenti,
I xy  I xy  Ade
I y  I y  Ae 2 , I z  I z  Ar 2
Paralel eksenler teoremi kullanılırken dikkat edilmesi gerekli iki nokta:
1) İki eksen mutlaka birbirine paralel olmalı
2) Eksenlerden biri mutlaka alanın ağırlık merkezinden geçmelidir.
Eğer ele alınan eksenler birbirine paralel ama ikisi de ağırlık merkezinden geçen eksen değil ise bu durumda
atalet momenti önce ağırlık merkezinden geçen eksene taşınmalı daha sonra istenen eksene taşınmalıdır.
Paralel eksenler teoremi jirasyon yarıçaplarına da uygulanabilir:
k 2  k 2  de
6
ASAL ATALET MOMENTLERİ, ASAL ATALET EKSENLERİ VE EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ
y
Mekanikte sıklıkla belirli bir açıda döndürülmüş
bir eksen takımına göre atalet momentlerin
hesaplanması istenir.
y'
xcos
ysin
dA
Çarpım atalet momenti bir alanın eğik düzlemlere
göre atalet momentini hesaplamada kolaylık
sağlar. Bu yaklaşımdan, momentin maksimum ve
minimum olduğu eksenleri belirlemede de
yararlanılır.
x

y
xsin
x
x
A
Iy   x 2 dA   ysin θ  xcosθ dA
cos2θ  1  2sin 2 θ
Trigonometrik bağıntılar kullanılarak,
cos2θ  2cos 2 θ  1
Iy 
y

Ix   y 2 dA   ycosθ  xsin θ dA
Ix 
x'

Şekilden, alanın x' ve y' eksenlerine göre atalet
momentleri,
Ix, Iy ve Ixy cinsinden,
ycos

Ix  Iy
2
Ix  Iy

Ix  Iy
2
Ix  Iy
1  cos2θ
2
1  cos2θ
cos 2 θ 
2
sin 2 θ 
cos2θ - I xy sin2 θ

cos2θ  I xy sin2 θ
2
2
elde edilir. Benzer şekilde eğik düzlemlere göre çarpım atalet momenti,
Ixy   x ydA   ycosθ  xsin θ ysin θ  xcosθ dA
Trigonometrik bağıntılar, cos2θ  cos 2 θ  sin 2 θ
ve
sin2 θ  2 sin θcosθ
, sin θcosθ 
1
sin2 θ
2
Ix, Iy ve Ixy cinsinden çarpım atalet momenti,
Ixy 
Ix  Iy
sin2 θ  I xy cos2θ
2
Toplandığı nda I x  I y  Ix  Iy  I z
verece ktir.
I'x ve I'y ‘yü maksimum ya da minimum yapan açı I'x veya I'y ‘nün ’ya göre türevini alıp sıfıra eşitleyerek
bulunur.
Ix  Iy
dIx
 2sin2 θ
 2I xy cos2θ  0
dθ
2
I y  I x sin2 θ - 2I xy cos2θ
, atalet momentini maksimum / minimum yapan bu kritik açıya  dersek,
sin2 θ

cos2θ
tan2α 
2I xy
Iy  Ix
7
Bu yeni bulunan eksenlere “asal atalet eksenleri” adı verilir.  için iki değer bulunur. Bu değerlerden biri
maksimum alan atalet momenti değerini, diğeri ise minimum alan atalet momenti değerini verir.
Denklemlere 2 yerine 2 yerleştirildiğinde çarpım atalet momenti I'xy sıfır olur. I'x ve I'y ise “asal atalet
momentleri” haline gelirler.
Ix  Iy
 Ix  Iy 
  I xy 2
I maks 
 
2
min
 2 
TEMEL GEOMETRİK ŞEKİLLERİN ALAN ATALET MOMENTLERİ
1. DİKDÖRTGEN
y
2
y
b/2
dA=bdy
b
h
dy
x
h
G
dA=hdx
h/2
dx
x
b
by 3
I x   y dA   y bdy  b  y dy 
3
0
2
h
2
h
2

0
hb 3
I y   x dA   x hdx  h  x dx 
3
0
2
b
2
I x  I x  Ad 2
I y  I y  Ae 2
Ix 
e
h
2

0
hb 3
3
I x  I x  Ad 2 
2
bh 3
bh 3
h
 bh  
3
12
2
2
b
2
I y  I y  Ae 2 
bh 3
3
Iy 
2. KARE
y
h
2
d
bh 3
3
hb 3
3
hb 3
hb 3
b
 bh  
3
12
2
bh 3
12
Ix 
Iy 
hb 3
12
b  h  a olduğundan
y
Ix 
a/2
a4
3
3
a
x
G
a
a/2
x
a4
Iy 
3
a4
Ix 
12
a4
Iy 
12
8
3. ÜÇGEN
y
y
b/3
y
n
hy
h
h
dy
m
h/3
x
b
b
n
b

hy h
Benzer üçgenlerden,
h
b
by 3
I x   y ndy   y h  y dy 
h
3
0
2
h
2
0
n
y4 b

4 h
x
b
h  y 
h
h

0
dx
bh 3
12
I x  I x  Ad 2 
hb 3
I y   x dA 
12
2
bh 3 bh  h 
bh 3


 
12
2 3
36
hb 3
I y  I y  Ae 
36
2
4. DAİRE
dA=n.dy
y
x
G
I x   y 2dA
2
y
y
y
y
dA=2rdr
r
R
dr
x
x
G
G
x
x
z
z
I z   r dA
2
R
dA  2rdr
I z   r 2rdr  2π  r dr
2
3
0
r4
I z  2π
4
R

0
2R 4 πR 4

4
2
Io  I z  I x  I y
Simetriden dolayı; I x  I y 
I x  I x  Ad 2 
πR 4
4
πR 4
5R 4
2
 πR 2 R  
4
4
Ix  Iy 
5R 4
4
9
5. YARIM DAİRE
y
R 4
R 4
4
Ix 

2
8
x
G
I x  I x  Ad 2 
4R/3
O
x
R 4
R 4
Iy  4 
2
8
6. ÇEYREK DAİRE
y
R 4
y
4R/3
2
R 4 R 2  4R 
8 
4 


 R   
8
2  3 
 8 9 
R
Ix  Iy  4 
4
16
4
x
G
4R/3
x
ALAN ATALET MOMENTİ UYGULAMALARI
*
Ix  ?
w=bx
y
Iy  ?
I x   y dA
2
x
 y b  2
b/2
2
1/2
1/2 1/2
b y
0
x2
y
2b
dy
b/2
b/2
 by 3 21/2 b1/2 y1/2 
dy 
 2 
3
7

0

b  b 3 21/2 b1/2b 7/2  2 b 4 b 4
b4



3  23
7  2 7/2
24 
28
168

Ix 
7
y
dx
b
I y   x dA
2
x
Iy 
2
x
dA  ydx 
dx
2b
5 b
1 x

2b 5
0

6
b
2
 x dA   x
2
0
x2
dx
2b
b4
10
10
*
xsağ
y
y  ax
2

 x dA   x a
l
1/2 1/2
x
0
dy
I y 
y=x
yüst
a
 a 1/2 x 7/2
x4 
- x dx  
 2  
4 0
 7

2a 4 a 4 a 4

7
4
  28
7
4
a
 y2 
 y 4 y5 

I x   y dA   y  y - dy   
a 

 4 5 a  0
0
dx
yalt
2
(a, a)

dA  a 1/2 x 1/2 - x dx
a
2
xsol

I y   x 2 dA ,
a
2
x
2
a4 a4 a4
I x 

4 
5 20

*
5
y
b/2
I xy   xydA
I xy  ?
y
b h
I xy
dy
dx
h
G
h/2
y
0
y2
2
h
0
b2h 2

4
b2h 2
 b  h 
- bh    0
4
 2  2 
Eğer ağırlık merkezine ait iki dik eksenden en az biri cismin simetri ekseni ise bu
eksenlere göre çarpım atalet momenti sıfır olur.
x
e
b
dA  dxdy
I xy  I xy  Ade , I xy  I xy - Ade 
x
b
x2
   xydxdy 
2
0 0
4
y
I xy  0
y
e
I xy  0
y
I xy  I xy  Ade

I xy  I xy  Ade

h
G
0
0
x
h
d
x
G
x
b
b
d
x
*
y
b/3
y
y
I xy  ?
x
h
y
x
G
h/3
b
I xy  ?
dA
h
y/2
x
dx
b-x
x
b
11
dA  ydx ,
bu alan için dI xy  0
y
 y
dI xy  ydx x    x dx
2
2
h2
y 2  2 b 2  2bx  x 2
b
dI xy  dI xy  dAde
ve
2

 dI
 I xy
y
h b - x 
b

b
h2 2
h 2  b 2 x 2 2bx 3 x 4 
h 2  b 4 2b 4 b 4 
2
  x 2 b  2bx  x dx  2 

   2  
 
3
4  0 2b  2
3
4 
2b
2b  2
0

b
xy
y
h

b-x b
x cinsinden yazılırsa,


h 2b2 h 2b2 h 2b2 h 2b2


4
3
8
24
  
6
8
I xy  I xy - Ade 
3
h 2 b 2 bh  h  b  h 2 b 2 h 2 b 2
h 2b2
-    
24
2  3  3  
24 
18
72



3
4
Farklı konfigürasyonlar için çarpım atalet momentleri
y
y
y
y b/3
2b/3
I xy 
x
h
h
h/3
b
x
d

x=cos
,
dA  dd
R  /2
I xy  
R

I xy  ?
I xy   xydA
d
dA
h 2b2
72
x
b
I xy  ?
y
I xy 
2h/3
x
G
*
G
h 2b2
8
  cos sin dd
sin2   2sin cos
0 0
y=sin
x

4
4
R  /2
0
R4 1
0 sin  cosd  4  2
 /2
 sin 2d
0
1


  sinaxdx   cosax 
a


4
R4  1 
R4
/2
- 1 - 1  R
   cos2 0  
8  2
16
8
R 4 R 4  4R  4R  R 4 4R 4
I xy  I xy  Ade 



8
4  3  3  8 9
I xy 
12