Kartezyen Vektörler
advertisement
Kartezyen Vektörler • Vektör işlemleri, üç boyutlu problemlerin çözümüne uygulanırken vektörler kartezyen vektör formunda ifade edilirse işlem basitleşir. • Sağ El Koordinat Sistemi: – Vektör cebri işlemlerinde sağ el koordinat sistemi kullanılacaktır. KT 1 Bir vektörün kartezyen bileşenleri • Bir A vektörünün x, y, z koordinat eksenlerinde bileşenleri olabilir. Paralelkenar kuralını iki kez ard arda uygulayarak; r r A = A′ + Az r r r A′ = Ax + Ay r r r r A = Ax + Ay + Az KT 2 Kartezyen birim vektörler • Üç boyutlu uzayda, i, j, k kartezyen birim vektörleri sırasıyla x, y, z eksenlerinin doğrultusunu göstermek için kullanılır. ekilde verilen vektörler, pozitif birim vektörlerdir. KT 3 Kartezyen vektör gösterimi • Vektörleri kartezyen bileşenler cinsinden yazmak önemli bir avantaj sağlar. Her bir bileşen vektörün şiddeti ve yönünü belirtir. r A = Ax iˆ + Ay ˆj + Az kˆ KT 4 Kartezyen vektörün büyüklüğü • Kartezyen vektör formunda ifade edilen bir A vektörünün şiddetini bulmak için: A = A' + Az 2 2 A' = Ax 2 + Ay KT 2 5 Kartezyen vektörün yönleri • A vektörünün doğrultusu, A’nın başlangıç noktası ve bu noktada yer alan pozitif x, y, z eksenleri arasında ölçülen α(alfa), β(beta), γ(gama) doğrultu açıları ile tanımlanır. Bu açılar 0° ile 180° arasındadır. • α, β ve γ’yı belirlemek için A’nın x, y, z eksenleri üzerindeki izdüşümleri kullanılır. KT 6 Yön kosinüsleri KT 7 • A vektörünün doğrultu kosinüslerini elde etmenin kolay bir yolu, A doğrultusunda bir birim vektör oluşturmaktır. uA’nın büyüklüğü 1 olduğundan; KT ** Eğer bir vektörün şiddeti ve yön kosinüsleri biliniyorsa, A vektörü kartezyen koordinatlarda ifade edilebilir. 8 Kartezyen vektörlerin toplanması KT 9 Örnek 4 F kuvvetini kartezyen vektör olarak ifade ediniz. Fx (+x) yönünde olduğu için α 60° olmalı KT 10 Ödev 5 • F kuvvetini kartezyen vektör olarak ifade ediniz ve F kuvvetinin yön kosinüslerini bulunuz KT 11 Pozisyon (Konum) Vektörleri • Pozisyon vektörü uzaydaki herhangi iki nokta arasında yönelen bir kartezyen kuvvet vektörünü formüle etmek açısından önemlidir. • r pozisyon vektörü, bir noktanın uzaydaki konumunu diğer bir noktaya göre belirleyen sabit bir vektördür. KT 12 • Daha genel bir halde, pozisyon vektörü uzaydaki A noktasından B noktasına da yönelebilir. Vektör toplamı KT 13 • r konum vektörü, i, j, k bileşenleri, vektörün başlangıcının koordinatları A (xA, yA, zA), ucuna karşı gelen koordinatlardan B (xB, yB, zB) çıkartılarak bulunabilir. • Ayrıca, bu üç bileşenin uç uca eklenmesi r’yi verir. A’dan başlıyarak B’ye ulaşılıyor. KT 14 KT 15 Bir doğru boyunca yönelen kuvvet vektörü • Üç boyutlu statik problemlerinde, bir kuvvetin doğrultusu genellikle etki çizgisinin geçtiği iki nokta ile belirlenir. ekildeki F kuvveti buna bir örnektir. Doğrultusu A’dan B’ye olan F kuvveti kartezyen vektör şeklinde ifade edilebilir. KT 16 Bir doğru boyunca yönelen veya iki nokta arasında uzanan kuvvet vektörü KT 17 Örnek 5 • ekilde gösterilen çatı, AB ve AC zincirleriyle taşınmaktadır. A noktasına etki eden bileşke kuvveti kartezyen vektör olarak ifade edin. KT 18 KT 19 Ödev 6 • A noktasına etki eden kuvveti kartezyen vektör olarak ifade edin. KT 20
