4. Noktasal Cisim Sistemlerinin Kineti ği

4. Noktasal Cisim Sistemlerinin Kinetiği
Daha önceki bölümlerde dinamiğin prensiplerini noktasal cisme uygulamıştık. Bu
bölümde bu prensipleri noktasal cisim sistemi için genişleteceğiz.
4.1 Newton’un Đkinci Kanununun Genelleştirilmesi
Şekilde izole edilmiş, dış F1, F2, F3 kuvvetleri
ve f1, f2, f3 iç kuvvetlerinin etki ettiği mi
noktasal cismini göz önüne alalım.
NOT: Sistem ayrık maddesel cisimlerden veya
sürekli maddesel noktalardan oluşmaktadır.
NOT: Σfi = 0 Etki tepki prensibine göre
oluşurlar.
Eğer sistemin kütle merkezi G noktasında
ise m d2r/dt2 = Σ mi d2ri/dt2 (m = Σ mi ).
Z
ri
rG = r
Y
X
1
Newton’un ikinci kanununu mi noktasal
cismine uygularsak:
F1 + F2 + ... + Fn + f1 + f 2 + ... + f n = miɺɺ
ri = mi ai
TÜM SĐSTEM ĐÇĐN:
∑ F + ∑ f = ∑ m ɺrɺ (***)
n
n
i
i=1
i
i i
i=1
∑
Sistemin G kütle merkezinin tanımından
mrG = ∑ miri
rG = miɺɺ
ri elde edilir (m sabit).
Türev alınarak mɺɺ
(***) Denkleminde yerine yazılırsa
∑F = ∑F
i
+ 0 = mɺɺ
rG veya ∑ F = ma
∑m
i
= m dir.
Bu eşitliği tüm noktasal cisimlere uygulayıp sistem içim toplarsak ve kütle merkezinin
tanımını kullanırsak Σ F = m d2rG/dt2 veya Σ F = m aG elde ederiz. Bu eşitlik Newton’un
ikinci kanununun noktasal cisimlerden oluşmuş bir sistem için genelleştirilmiş halidir.
2
Bu kanun kütle merkezinin hareket prensibi diye de adlandırılır.Kartezyen x-y-z
koordinat siteminde
∑ F = ma
G
⇒ ∑ Fx = ma x
∑F
y
= ma y
∑F
z
= ma z
yazılır.
ΣF//ma olup ΣF’nin G den geçme zorunluluğu
F2
Yoktur. Sisteme etkiyen toplam dış kuvvet,
Sistemin toplam kütlesi ile G kütle merkezinin
Đvmesinin çarpımına eşittir.
F1
F3
. ..
. . .
.G .
Fn
3
ΣF
Fi
m aG
ΣF//ma G
4.2 Enerji
Yeniden daha önce çizdiğimiz şekli göz önüne alalım, mi noktasal cismi için iş enerji
bağıntısı (U1-2)i = Ti idi. Bu eşitlikte (U1-2)i, i noktasal cismine Fi = F1 + F2 + F3 +… (tüm
dış kuvvetler) ve fi = f1+ f2 + f3 +…(tüm iç kuvvetler) tarafından yapılan iş idi. Ti ise mi
noktasal cisminin kinetik enerjisi idi. Tüm sistem için iş-enerji denklemini aşağıdaki gibi
yazılabilir,
Σ (U1-2)i =i Σ ∆ Ti
mi
z
∆Ti = T2 -T1
ri
1
Ti = mi Vi2
2
1
y
O
mi
ρi
rG = r
.G
T1
x
4
2
.G
T2
Tüm sistem için
∑ (U
∑ (U
) = ∆T = ∑ ∆Ti ⇒ U1-2 = ∆T = T2 − T1 bulunur.
n
1-2 i
i =1
) = U1-2
1-2 i
işi sisteme etkiyen tüm iç ve dış kuvvetlerin işini temsil eder. Katı
cisimler ve katı cisimler sistemleri için (sürtünmesiz bağlı) iç kuvvetler iş yapmazlar ve
moment oluşturmazlar. Sadece DIŞ
KUVVETLERĐN ĐŞĐ ve momenti söz konusudur.
5
Sürtünmesiz ideal sistemler için iç kuvvetlerin yaptığı işerin toplamı sıfırdır. Böylece U1-2
sisteme dış kuvvetlerin yaptığı iş anlamına gelir.
Eğer iş terimine yerçekimi ve elastik kuvvetlerin yaptığı işi dahil etmezsek
'
U1-2
= T2 -T1 = ∆E , ∆E mekanik enerjisindeki değişim. Yay ve ağırlık kuvvetlerinin
işini de göz önüne alırsak
'
'
= ∆T + ∆Vg + ∆Ve = ∆E
U1-2
= ∆E U1-2
veya
T1 + Vg1 + Ve1 + U1'− 2 = T2 + Vg 2 + Ve 2
elde ederiz.
Şimdi sistem için T = Σ (1/2) mi vi2 KE (Kinetik Enerji) terimini inceleyelim.
Not: Bir cismin kütle merkezi ile ilgili bir büyüklük gösterilirken ya o büyüklügün üstü
çizilir veya G indisi kullanılır. Örneğin kütle merkezinin hızı vG veya
6
v ile gösterilir.
Bir noktasal cismin hızını
vi = v + ρɺi
z
ri = rG + ρi
Z
mi
ri
rG
O
=r
ρi
G
y
x
Y
X
dri drG dρi
=
+
dt
dt
dt
v i = v G + ρɺ i
şeklinde yazabiliriz. Burada vG sistemin kütle merkezinin hızı ve ρi, G ile beraber hareket
eden (ötelenen) eksen takımına göre noktasal cismin bağıl hızı idi,
1
1
1
1
2
T=Σ m i vi vi = Σ m i (v + ρɺ i ) ⋅ (v + ρɺ i ) = Σ m i v 2 + Σ m i ρɺ i + Σm i v.ρɺ i
2
2
2
2
3. terim
1.terim
Σm i v.ρɺ i = v.Σm iρɺ i = v.
2. terim
d
( Σmiρi ) olur. ρi kütle merkezinden ölçülüyor.
dt
Yukarıdaki formülde 3. Terim sıfıra eşittir dolayısıyla toplam kinetik enerji;
7
1
1
T= mv 2 + Σ m i |ρɺ i |2
2
2
şeklindedir. Bu formül sistemin toplam kinetik enerjisinin, kütle merkezinin bir bütün
olarak öteleme kinetik enerjisi artı tüm noktasal cisimlerin kütle merkezine göre bağıl
hareketinin kinetik enerjisi olduğunu söyler.
ρG =
Σm iρi Σm iρi
=
idi. Eksen takımı G de olduğu için ρ G = 0 , Σm iρ i = 0
Σm i
m
olmalı.
Vi
z
O
Gi = mi Vi
.
mi
y
.G
x
8
4.3 IMPALS-MOMENTUM
a) Liner Momentum
Bir noktasal cismin liner momentumu Gi = mivi olarak tanımlanır. Sistemin liner
momentumu onu oluşturan tüm noktasal cisimlerin liner momentumlarının vektörel
toplamıdır.
G = Σ mi vi
Vi
Burada vi = vG + dρi/dt ve Σ mi ρi = m ρG = 0
Z
ρi
yazarsak
G = Σmi (v + ρɺ i ) = Σmi v +
ri
d
Σm i ρ i
dt
O
d
= vΣmi + (0)
dt
X
9
z
rG
VG
G
x
Y
y
G = Σmv G = mv G = mv = Σmi v i
elde ederiz.
Bu eşitlik sabit kütleli bir sistemin liner momentumunun sistemin kütlesi ile kütle
merkezinin hızının çarpımına eşit olduğunu söyler. Yukarıdaki eştliğin zamana göre
türevini alırsak
dG d
dG
= (mv G ) = ma G ⇒ ΣF =
bulunur.
dt dt
dt
ɺ ile aynıdır.
Bu ifade bir tek maddesel cisim için daha önce elde ettiğimiz ΣF = G
Newton’un hareket denkleminin değişik bir ifadesidir. Kütle sabittir.
b) Açısal Momentum
Şimdi bir noktasal cisim sisteminin açısal momentumunu sabit bir O noktasına, kütle
merkezine (G) ve herhangibir P noktasına göre belirleyeceğiz.
10
z
= ρG
r = rG
x
O (sabit)
y
O noktasına göre:
Noktasal cisim sisteminin açısal momentumunun sabit bir O noktasına göre (sabit
Newton referans sistemine göre) yazarsak,
H O = Σ(ri × m i v i )
Bu ifadenin zamana göre türevini alırsak,
11
0
ɺ = Σ(rɺ × m v ) + Σ(r × m vɺ ) = Σ(rɺ × m v ) + Σ(r × m a ) = Σr × F = ΣM
H
0
i
i i
i
i i
i
i i
i
i i
i
i
0
Yukarıdaki formülde ilk ifade yok olur ve
ɺ
ΣM 0 = H
0
elde ederiz.
Bu eşitlik sabit bir noktaya göre sisteme etki eden tüm dış kuvvetlerin momentinin,
sistemin açısal momentumunun zamana göre değişme oranına (türevine) eşit olduğunu
söyler. Eğer sistemin kütlesi zamanla değişiyorsa bu eşitliği uygulayamayız.
G noktasına göre:
Noktasal cisim sisteminin kütle merkezi G’ye göre açısal momentumu her bir noktasal
cismin liner momentumunun G noktasına göre momentlerinin toplamıdır.
H G = Σρi × mirɺi ......................... (A)
12
yukarıdaki eşitlikte
rɺi yerine ( rɺ + ρɺ i ) yazarsak,
H G = Σρi × m i ( rɺ + ρɺ i ) = Σρi × m i rɺ + Σρi × m iρɺ i
0
elde ederiz. Yukarıdaki eşitliklerdeki birinci ifade kütle merkezinin tanımından dolayı
sıfıra eşittir. Böylece
H G = Σρi × miρɺ i ……………………………(B)
(NOT: Σρi × mi rɺ = − rɺ × Σmi ρi yazılır. Σm i ρi = 0 olur. Kütle merkezi tanımından)
elde edilir. (A) eşitliği mutlak açısal momentum eşitliğidir (çünkü mutlak hız kullanıldı).
(B) eşitliği bağıl açısal momentum eşitliğidir (çünkü bağıl hız kullanıldı).
Kütle merkezi G’ye göre sistemin mutlak ve bağıl açısal momentumu aynıdır, bu
herhangi bir P noktası için geçerli değildir. (A) eşitliğinin zamana göre türevini alırsak;
rɺi = rɺ + ρɺ i kullanılarak ( ri = rG + ρi idi ) , rG = r idi
13
Σmiɺɺ
ri
ɺ = Σρɺ × m (rɺ + ρɺ ) + Σρ × m ɺɺr = Σρ × (F + f ) = Σρ × F = ΣM
H
G
i
i
i
i
i i
i
i
i
i
i
G
0
Burada Fi noktasal cisme etki eden dış kuvvetleri fi ise noktasal cisme etki eden iç
kuvvetleri temsil ediyor. Böylece Σ ρi × Σ Fi = Σ MG elde ederiz. Buradan Σ MG =
dHG/dt olduğu görülür.
ɺ Denklemleri Dinamiğin önemli denklemleri olup, sabit
ɺ ve ΣM = H
NOT: ΣM 0 = H
G
G
0
kütleli rijid veya rijid olmayan belirli maddesel sistemlere uygulanır.
P noktasına göre:
Herhangi bir P noktasına göre sistemin açısal momentumu, ρ′i = ρ + ρi kullanılarak;
H p = Σρ′i × mi rɺi = Σ ( ρ + ρi ) × mi rɺi = Σ ρ × mirɺi + Σρi × miri
(ilk terim: Σ ρ × mi rɺi = ρ × Σmi rɺi = ρ × Σmi v i = ρ × mv
14
ÖTELEME YAPAN EKSENLERDE Σm i v i = mv idi )
diye tanımlarız. Burada ilk terimi ρ × mv şeklinde ve ikinci terimi
Σρi × m i rɺi = H G şeklinde yazarsak aşağıdaki eşitliği elde ederiz.
H p = H G + ρ × mv
Bu eşitlik herhangi bir P noktasına göre açısal mutlak momentumun, kütle merkezi G
noktasına göre açısal momentumu artı kütle merkezinin Liner momentumunun P
noktasına göre momenti diye de okunabilir.
Şimdi Statikte elde ettiğimiz (bildiğimiz) moment prensibini kullanacağız.
15
mi
z
ρ
ri
'
i
ρi
.G
rG
x
ρG
y
O
rp
.P
.
A Denklemine benzer bir momentum bağıntısını, P’ye göre MOMENTUM’u kullanarak
yazalım:
( H p ) b = Σρ′i × m i ρɺ ′i , ρɺ ′i : m i 'nin P'ye göre hızıdır.
ρ′i = ρG + ρi ⇒ ρɺ ′i = ρɺ G + ρɺ i kullanılarak
( H p ) bağıl = ΣρG × m iρɺ G + ΣρG × m iρɺ i + Σρ i × m iρɺ G + Σρ i × m iρɺ i
Birinci terim:
ΣρG × m iρɺ G = ρG × mv b
16
Đkinci terim:
ΣρG × miρɺ i = ρG × mvb
Üçüncü terim:
Σρ i × m iρɺ G = −ρɺ G × Σm iρ i = 0
Σρi × miρɺ i = (H G ) b
Dördüncü terim:
(H ) = (H )
p b
G b
+ ρG × mv b
P noktasına göre Moment, P noktasına göre AÇISAL MOMENTUM cinsinden
yazılabilir.
(H p ) b = Σρ′i × m iρɺ ′i tanımından türev alarak
ɺ ) = Σρɺ ′ × m ρɺ ′ + Σρ′ × m ɺɺ
ɺɺ ɺɺ ɺɺ′
(H
i i
i ρ i ; ri = rp + ρ i kullanılarak
p b
i
i
0
ɺ ) = Σρ′ × m (ɺɺ
ɺɺ
ɺɺ
ɺɺ
′
′
(H
p b
i
i ri − rp ) = Σρ i × m i ri − Σρ i × m i rp
ΣM p
17
ɺ ) − a × Σm ρ′ ⇒ ΣM = (H
ɺ ) − a × mρ
ΣM p = (H
p b
p
i i
p
p b
p
G
Σm i ρ i
ρG =
Σm i
mρG = Σmiρ′i
ɺ ) + ρ × ma = (H
ɺ ) + ρ × ma
ΣM p = (H
p b
G
p
p b
p
NOT: Moment merkezi olarak seçilen p noktasının
yararlıdır.
1o ap = 0 ise
ɺ ) 2o ρ = ρ = 0 ise
NOT: ΣM p = (H
p b
G
3o ρ ve a paralel ise
p

18
a p ivmesi bilindiği zaman bu bağıntı
Moment nakil teoreminden
ΣM p = ΣM G + ρ × ΣF yazılır.
ɺ konularak
ΣM G = H
G
ɺ + ρ × ΣF veya
ΣM = H
p
G
ɺ + ρ × Σma elde edilir.
ΣM p = H
G
G
Bu bağıntı bize herhangi bir P moment merkezine göre moment yazma şansını verir. Katı
cisim kinetiğinde önemlidir.
Şekilde G noktasına etki eden bileşke kuvveti ve onun oluşturduğu moment görülüyor. P
noktasına göre momentlerin toplamını
ɺ + ρ × ma
ΣM p = ΣM G + ρ × ΣF veya ΣMp = H
G
şeklinde yazabiliriz.
19
4.4 Enerjinin ve Momentumun Korunumu
Bir noktasal cisim sisteminde toplam mekanik enerjinin ve toplam momentumum
belli bir zaman aralığında değişmediği durumlar hareket problemlerinde sık sık görülür.
Şimdi bunları ayrı ayrı inceleyelim:
a) Enerjinin Korunumu:
Bir noktasal cisim sistemi eğer, iç sürtünmeler ve elastik olmayan elemanlar
tarafından sönümlenerek enerji kaybetmiyorsa bu sistemin konservatif (saklayıcı,
koruyucu sistem) olduğu söylenir.
Eğer bir zaman aralığında dış kuvvetler tarafından sisteme bir iş yapılmamışsa
(ağırlık ve elastik kuvvetler hariç) bu sistemde bir enerji kaybı yoktur.
′ = ∆T + ∆VG + ∆Ve = ∆E idi.
U1-2
∆E = 0 veya Eilk = Eson böylece
20
∆T + ∆Vg + ∆Ve = 0 veya T1 + Vg1 + Ve1 = T2 + Vg2 + Ve2 yazabiliriz. Buna dinamik
enerjinin korunumu kanunu denir.
b) Momentumun Korunumu
Eğer herhangi bir zaman aralığında bir noktasal cisim sistemine etki eden toplam dış
ɺ idi ) G1 = G2’dir.
kuvvetlerin bileşkesi 0 ise dG/dt = 0 ve bu zaman aralığında ( ΣF = G
Buna liner momentumun korunumu prensibi denir.
Eğer benzer şekilde herhangi bir noktasal cisim sistemine, herhangi bir sabit O
noktasına veya G kütle merkezine göre etki eden dış kuvvetlerin momentlerinin toplamı 0
ise,
ɺ veya ΣM = H
ɺ bağıntılarından
ΣM O = H
O
G
G
(H O )1 = (H O ) 2 veya (H G )1 = (H G ) 2
Buna açısal momentumun korunumu prensibi denir.
21
Problem 4/1: m kütlesindeki üç topun herbiri, kütlesi ihmal edilebilen bir açısal kafese
kaynak edilmiştir. Eğer ani bir F kuvveti şekilde gösterildiği gibi bir çubuğa uygulanırsa
a) O noktasının ivmesini
b)
Çubuk sisteminin açısal ivmesini hesaplayınız.
Sistem sürtünmesiz yatay bir düzlemde bulunuyor.
22
Çözüm 4/1 :
1° Sistemin kütle merkezi O noktasıdır.
ΣF = maa = ma ⇒ Fi = 3ma
aG = a 0 = a =
F
i bulunur.
3m
2°
dr
dθ
er + r eθ
dt
dt
ɺɺ
ɺ moment prensibinden elde edebiliriz.
θ ' yi ΣM G = H
G
v=
23
H G = H 0 = Σρi × mirɺi ⇒
dθ 
dθ
 dr
H 0 = Σrer × 3m  er + r eθ  = 3mr 2 e z
dt 
dt
 dt
H 0 = 3mr 2θɺ e z ⇒ H 0 = 3mr 2θɺ elde edilir.
ɺ = d (3mr 2θɺ e )
ΣM G = H G ⇒ ΣM 0 = H
0
z
dt
−Fb
ΣM G = ΣM 0 = −Fb e z = 3mr 2ɺɺ
θe z ⇒ ɺɺ
θ=
3mr 2
Fb
- işareti açısal ivmenin yönünü belirtir. Büyüklüğü θɺɺ =
dir.
2
3mr
24
Problem 4.2: 4/1 deki sistemde O noktasında kaynak yerine menteşe kullanılırsa ne fark
eder ? açıklayınız.
Çözüm 4/2: Newton’un hareket kanunu her maddesel sistem için geçerlidir. Yani G kütle
merkezinin aG = a ivmesi 4/1 deki gibi olur.
a = aG =
F
i fark yok.
3m
Kütleler O etrafında serbestçe dönerken,
O menteşesi artık sistemin G kütle
merkezi değildir. ΣM G ve Hɺ G ifadeleri
her iki problemde aynıdır. Çubukların
(parmaklıkların) açısal hızları (hareketleri)
birbirinden farklıdır. Kolayca hesaplanamaz.
25
Problem 4/3: 20 kg kütlesindeki bir bomba 0 noktasında x-y düşey düzleminde 300 m/s
ilk hızı ile şekilde gösterildiği eğimle fırlatılıyor. Bomba yörüngenin en yüksek noktasına
eriştiğinde patlayıp A, B ve C parçalarına bölünüyor. Patlamadan sonra A parçasi dikey
olarak 500 m. yükseliyor, B yatay vB hızına sahip ve Q noktasında yere çarpıyor. A, B ve
C’nin kütleleri 5kg, 9kg. Ve 6kg. oldukları parçalar bulunduktan sonra tespit ediliyor.
C’nin patlamadan hemen sonraki hızını bulunuz. Atmosferik sürtünmeyi ihmal edin.
26
Çözüm 4/3: v z =-gt+v 0 (düşey atış), P noktasında v z =0 (P maksimum nokta)
0 = −gt mak + uz ⇒ t mak
uz usinθ
= =
g
g
 Mz 
 Mz 
1
1
z = − gt 2 + (v z )0 t ⇒ P noktasında h = − (9,81).
+
M
z


2
2
g
g




2
A'nın hızı v A = 2gh A = 2(9,81)(500) = 99,0 m/s
B'nin hızı ise v B =
yol
400 m
=
= 163,5 m/s
zaman 24,5 s
Patlama kuvveti, bomba ve üç parçadan oluşan sistem için bir iç kuvvet olup patlama
anında değişmez.
ΣF = Σf i = 0
⇒ Momentum korunumludur.
G1 = G 2 = G ⇒ m v = mA v A + m B v B + mC vC
27
3
20 (300)   i = 5(99,0)k + 9(163,5)( cos 45 i + sin 45 j) + 6v C
5
6v C = 2560 i − 1040 j − 495k ⇒ vC = (427i − 173 j − 825k ) m/s
v C = (427) 2 + ( −173) 2 + (−82,5) 2 = 468 m/s
cos α =
cos β =
cos β =
vCx 427
 427 
=
⇒ α = arccos 
 = 24,16
vC 468
 468 
vCy
vC
=
−173
 −173 
⇒ β = arccos 
 = 113,96
468
 468 
vCz −82,5
 −82,5 
=
⇒ γ = arccos 
 = 100,15
vC
468
 468 
28
Problem 4/4: 16 kg kütleli A vagonu 1.2 m/s hızı ile kendi yatağında yatay olarak
hareketlidir. Vagon, O noktasında mafsallı iki çubuğa tespit edilen dört topu taşıyor.
Topların kütleleri 1,6 kg’dır. 1 ve 2 topu verilen yönde 80 dev/dak ; 3 ve 4 topu 100
dev/dak hızı ile dönüyor. Tüm sistem için
a) T kinetik enerjiyi
b) |G|=G Liner momentumunu
c) |HO|=HO açısal momentumunu hesaplayınız.
29
Çözüm 4/4: Kinetik enerji:
| ρɺ i |= v bağ ⇒ vi =
dri
dθ
er + ri eθ
dt
dt
80(2π )
(vi )1−2 = ri θɺ = (0, 450)
= 3,77 m/s
60
 100(2π ) 
(vi )3−4 = ri θɺ = (0,300) 
 = 3,14 m/s
 60 
Sistemin kinetik enerjisi T =
1
1
mv G2 + Σ mi (ρɺ i ) 2 idi
2
2
30
1
1
1
2
2
T = [16 + 4(1,6)](1, 2) + 2[ (1,6)(3,77) ]1−2 + 2[ (1,6)(3,14) 2 ]3−4
2
2
2
T = 54,66 J
20 G = mv G ⇒ G = [16 + 4(1,6)](1, 2)i = (26,88i ) kgm/s
30 + տ H 0 = Σri × mi v i = r1 × m1 v1 + r2 × m 2 v 2 +
r3 × m3 v 3 + r4 × m 4 v 4
H 0 = 2[0, 45er + (1,6)(3,77)eθ ]1−2 +
2[0.300er + (1,6)(−3,14)eθ ]3−4
H 0 = (5, 43e z − 3,02e z ) kgm 2 /s
H 0 = 2, 41kgm 2 /s
31