tc pamukkale üniversitesi fen bilimleri enstitüsü ağırlıklı uzaylarda

T.C.
PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
AĞIRLIKLI UZAYLARDA KOROVKİN TİPLİ YAKLAŞIM
YÜKSEK LİSANS TEZİ
DENİZ KOÇ
DENİZLİ, HAZİRAN-2014
T.C.
PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
AĞIRLIKLI UZAYLARDA KOROVKİN TİPLİ YAKLAŞIM
YÜKSEK LİSANS TEZİ
DENİZ KOÇ
DENİZLİ, HAZİRAN-2014
İÇİNDEKİLER
ÖZET........................................................................................................................... ii
SUMMARY ............................................................................................................... iii
1.GİRİŞ........................................................................................................................1
2. TEMEL KAVRAMLAR ... ………………………………………………………2
3. KLASİK KOROVKİN TEOREMİ………………………………………….. ….8
3.1 Bohman –Korovkin Teoremi...............................................................................8
3.2  - Normunda Korovkin Teoreminin Varlığı...................................................9
3.3 C  IR  Uzayında Yakınsaklık Teoremi…….……………………………...12
4. AĞIRLIKLI UZAYLARDA YAKLAŞIM TEOREMLERİ ……………….14
4.1 Tek Değişkenli Yaklaşım Teoremi…….……………………………………...14
4.2 Çift Değişkenli Yaklaşım Teoremi……………….…………….……………..19
5. AĞIRLIKLI UZAYLARDA A -TOPLAM SÜRECİ ....................................... 27
6. YAKINSAKLIK ORANI ................................................................................... 34
7. KAYNAKLAR ..................................................................................................... 37
8. ÖZGEÇMİŞ……………………...…………………..………………………….39
i
ÖZET
AĞIRLIKLI UZAYLARDA KOROVKİN TİPLİ YAKLAŞIM
Bu tez altı bölümden oluşmaktadır. İlk bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölüm
de temel tanım ve kavramlar verilmiştir. Üçüncü bölümde klasik Bohman-Korovkin
yaklaşım teoremleri ve ispatları verilmiştir. Ayrıca buna ilişkin bazı örnekler
incelenmiştir. Dördüncü bölümde Ağırlıklı uzaylarda verilen Bohman-Korovkin
Teoreminin yakınsaklığın gerçeklenmemesi durumunda matris toplanabilme metodu
kullanılarak geliştirilen yaklaşım teoremleri verilmiştir. Beşinci bölümde Korovkon
tipli yaklaşım teoremleri A -toplam süreci yardımıyla geliştirilmiştir. Son bölümde
ise, verilen teoremler için yaklaşım oranı hesaplanmıştır.
Anahtar Kelimeler: Korovkin Teoremi, pozitif lineer operatörler, Matris
Toplanabilme Yöntemi, Ağırlıklı süreklilik modülü.
ii
SUMMARY
KOROVKIN TYPE APPROXIMATION IN WEIGHTED SPACE
This thesis consists of six chapters. The first chapter has been devoted to the
introduction. The second chapter, the basic definitions and consepts have been
recalled. The third chapter, classic Bohman-Korovkin approximation theorems and
proofs have been given. Moreover, examples concerning these theorems have also
been analysed. The fourth chapter, the Korovkin type approximation theorems
developed with use of matrix summability method has been analysed. The fifth
chapter, the Korovkin type approximation theorems has been extended via A summation process.
In the final chapter, the rate of convergence has been examined for theorems given in
chapter four.
Keywords: Korovkin Theorem, positive linear operators, matrix summability
method, modulus of continuity weighted.
iii
ÖNSÖZ
Bu tez çalışmamda beni yönlendiren ve bana yardımcı olan çok değerli hocam Yrd.
Doç. Dr. Özlem GİRGİN ATLIHAN’a ve desteklerini benden hiç esirgemeyen
aileme teşekkür ederim.
Deniz KOÇ
iv
1.GİRİŞ
Klasik Yaklaşım Teorisi, Alman matematikçi Karl Weierstrass’ın sonlu
aralıkta sürekli olan her fonksiyona bu aralıkta yakınsayan bir polinom olacağını
ispat etmesiyle başlamıştır. Birçok matematikçi bunun ispatını farklı şekilde ele
almıştır. Örneğin Bernstein polinomlarının C  0,1 uzayındaki fonksiyonlara düzgün
yakınsadığını ispatlamıştır. Daha sonraları lineer pozitif operatör dizilerinin yaklaşım
özellikleri üzerine çalışılmıştır. Dolayısıyla  Ln nN dizisinin sürekli bir fonksiyona
düzgün yakınsak olması için gerekli şartlar nelerdir sorusu akla gelmektedir. Bu
sorunun cevabını iki matematikçi Bohman (1952) ve Korovkin (1953) birbirinden
bağımsız olarak bulmuşlardır. Bu sonuçlar birçok matematikçinin bu yaklaşımları
farklı uzaylara genişletmesine kaynak sağlamıştır. Böylelikle Yaklaşım Teorisi’nin
özel bir dalı olan Korovkin Tipi Yaklaşım Teorisi ortaya çıkmıştır.
Kompakt bir aralıkta sürekli fonksiyonların yaklaşımı hakkındaki klasik Korovkin
Teoremi, bir lineer pozitif operatör dizisinin birim operatöre yakınsayıp
yakınsamayacağına ilişkin şartları belirler. Klasik Korovkin teoremindeki pozitif
lineer operatör dizisinin birim operatöre yakınsamaması durumunda, toplanabilme
metodlarını kullanmak yakınsaklık kaybını gidermekte etkilidir.
Bu tezde, Atlıhan ve Orhan (2007, 2008) tarafından verilen ve matris toplanabilme
metodları kullanılarak geliştirilen Korovkin tipli yaklaşım teoremleri ve ispat
teknikleri incelenmiştir.
1
2.TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR
Bu bölümde ihtiyaç duyacağımız temel tanım ve kavramları vereceğiz.
2.1 Lineer Pozitif Operatörler
Tanım 2.1.1 X boştan farklı bir küme, F reel veya kompleks sayıların bir cismi
olsun.
: XX  X
. : FX  X
fonksiyonları aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa, X kümesine F cismi üzerinde bir lineer
uzay ( vektör uzayı ) denir.
x, y, z  X ve a, b  F için
L1 ) x  y  y  x ,
L2 ) ( x  y)  z  x  ( y  z ) ,
L3 ) x      x olacak şekilde   X
vardır,
L4 ) x  X için x  ( x)  ( x)  x   olacak şekilde bir  x  X vardır,
L5 ) 1.x  x ,
L6 ) a( x  y)  ax  ay ,
L7 ) (a  b) x  ax  bx ,
L8 )
a(bx)  (ab) x .
Tanım 2.1.2 Lineer uzaylar üzerinde tanımlı dönüşümlere operatör denir.
2
Tanım 2.1.3 X ve Y aynı cisim üzerinde iki lineer uzay olmak üzere L : X  Y
operatörü verilmiş olsun. Eğer, x, y  X ve a, b  F için
L  ax  by   aL  x   bL  y 
şartları sağlanıyorsa L' ye lineer operatör denir (Maddox, 1978).
Tanım 2.1.4 X ve Y reel değerli fonksiyonların uzayı olmak üzere L : X  Y lineer
operatör olsun. L operatörünün x noktasındaki değeri
L  f ; x   g ( x) şeklinde
gösterilsin. X tanım uzayından alınan her f  0 fonksiyonu için L  f   0 koşulu
gerçekleniyor ise bu durumda L operatörüne "pozitif lineer operatör" adı verilir.
Pozitif lineer operatörler aşağıdaki özellikleri gerçekler.
1. f  g  L  f ; x   L  g; x 
2. L  f ; x   L  f ; x 
Tanım 2.1.5 X boştan farklı bir küme ve d: X х Х→IR fonksiyonu, aşağıdaki
özellikleri sağlıyorsa bu fonksiyona X üzerinde bir metrik ve (X,d) ikilisine de
metrik uzay denir. x, y, z  X olsun.
M 1 ) d  x, y   0  x  y,
M 2 ) d  x, y   d  y, x  ,
M 3 ) d  x, y   d  x, z   d  z, y  (Maddox, 1978).
Tanım 2.1.6 (X,d) metrik uzayındaki her Cauchy dizisi X ' in bir elemanına
yakınsıyorsa (X,d) ye tam metrik uzay denir (Maddox, 1978).
Tanım 2.1.7 X kompleks veya reel lineer uzay olmak üzere
: X  IR fonksiyonu
aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa bu fonksiyona X üzerinde bir norm ve
ikilisine de normlu uzay denir. x, y  X ve a  F olsun.
N1 ) x  0  x  0,
N2 )  x   x ,
N3 ) x  y  x  y .
Tanım 2.1.8 Tam ve normlu bir lineer uzaya Banach uzayı denir.
3
X, 
Tanım 2.1.9  X , d1  ve Y , d 2  iki metrik uzay ve f : X  Y bir fonksiyon a  X
olsun.   0 sayısı için d1  x, a    olduğunda d2  f ( x), f (a)    olacak şekilde
 ( )  0 sayısı varsa
f fonksiyonu a noktasında süreklidir denir. Eğer,
f
fonksiyonu x  X için sürekli ise f , X uzayında süreklidir, kısaca f süreklidir
denir.
Tanım 2.1.10  fonksiyonu, IR reel sayılar kümesi üzerinde sürekli reel değerli ve
i) lim  ( x)  
x 
ii)  ( x)  1
 x  IR 
koşullarını sağlıyorsa IR üzerinde ˝ ağırlık fonksiyonu˝ olarak adlandırılır. (Gadjiev,
1976)
Tanım 2.1.11  bir ağırlık fonksiyonu olsun. x  IR için
f  x   M f .  x 
koşulunu sağlayan IR üzerinde tanımlı reel değerli f fonksiyonlarının uzayına
˝ ağırlıklı uzay ˝ denir ve B ile gösterilir.
C ağırlıklı uzayı ise,
C  { f  IR : f fonksiyonu IR 'de sürekli }
şeklinde tanımlıdır. Bu uzaylar üzerindeki norm,
f  x
f   sup
xIR   x 
şeklinde tanımlıdır.
Tanım 2.1.12 A   ank  , k , n  1, 2,... ,
sonsuz bir matris ve bir x  ( xk ) dizisi
verilsin. Reel ya da kompleks terimli x dizisinin “ A  dönüşüm “ dizisi,
Ax :   Ax n  ile gösterilir ve

 Ax n   ank xk
k 1
şeklinde tanımlıdır (Burada her bir n için seri yakınsak kabul edilmektedir) (Hardy
1949, Boos 2000).
4
   
Tanım 2.1.13 A : A n  akj n , k , j  1, 2,3,... sonsuz matrislerin bir dizisi olmak
üzere, verilen bir  x j  dizisi için

lim  akj( n ) x j  L , ( n e göre düzgün )
j 1
k
ise  x j  dizisi L değerine “A toplanabilir “ denir ( Stieglitz,1973 ).
Eğer n  IN için A n  A ise A toplanabilme klasik matris toplanabilmeyi verir.
I birim matris olmak üzere, n  IN için A n  I ise A toplanabilme klasik
yakınsaklığa indirgenir.
    reel terimli sonsuz matris dizisi olsun.
Tanım 2.1.14 A : A n  akj n
L j : C1  B2 lineer pozitif operatör olsun. Eğer f  C1 için
L  f 
j
j için
dizisi f
fonksiyonuna A  Toplanabilir ise yani f  C1 için,

lim  akj( n ) L j f  f
j 1
k
koşulu gerçekleniyorsa

 0 , (n' e göre düzgün)
(2.1.1)
2
L  dizisine
j
C1 üzerinde “A toplam süreci “ adı verilir
(Nishishiraho, 1983).
Burada her k, n ve f için (2.1.1) içindeki seri yakınsak kabul edilecektir. L j  , C1
uzayını B2 uzayına dönüştüren ve her bir n, k  IN için

a
j 1
(n)
kj
L j 1
2

(2.1.2)
koşulunu sağlayan pozitif lineer operatörlerin bir dizisi olsun. Bu durumda her bir
n, k  IN ve f  C1 için

Bk( n )  f ; x    akj( n ) L j  f (t ); x 
j 1
ile tanımlı operatörü alalım. O halde
sup
xIR
Bk( n )  f ; x 
 2 ( x)

1  (n)  f
 sup
 akj L j  .1; x 
xIR 2 ( x) j 1
 1

5
 f
 f
1
1  (n)
 a L   ; x
2 ( x) j 1 kj j 1
sup
xIR

a
 
1
j 1
(n)
kj
L j  1 
2
elde edilir. Şimdi (2.1.2) göz önüne alınırsa Bk( n ) operatörü her bir n, k  IN için
anlamlı olup B2 uzayına aittir. Dolayısıyla

(n)
k
C1  B2
B
 B
(n)
k
 1  
 sup
2
xIR
a
j 1
(n)
kj
L j  1 ; x 
 2 ( x)
şeklinde yazılabilir.
Tanım 2.1.15 f  C  a, b olsun. f fonksiyonunun süreklilik modülü w  f ,   olup
w  f ,    sup f  t   f  x 
t  x 
şeklinde tanımlıdır (Altomare and Campiti, 1994).
Süreklilik modülü aşağıdaki özellikleri sağlar.
(i)
w f ,   0
(ii)
1   2  w  f , 1   w  f ,  2 
(iii)
w f  g,   w  f ,   w  g, 
(iv)
w  f , m   m.w  f ,  
(v)
  R  için w  f ,       1 .w  f ,  
(vi)
w  f , t  x   f t   f  x 
(vii)
 tx

f t   f  x   
 1 .w  f ,  
 

Tanım 2.1.16 1 , IR üzerinde bir ağırlık fonksiyonu ve
f  C1 olsun. f
fonksiyonunun f  C1 "ağırlıklı süreklilik modülü", 1  f ;   ile gösterilir ve
6
 f (t )  f ( x) 

1 ( x) 
x t  
  f ,    sup 
1
şeklinde tanımlıdır. Burada  pozitif bir sabittir.
Ağırlıklı süreklilik modülü aşağıdaki özellikleri gerçekler.
i ) x, t  IR olmak üzere her f  C1 için
f (t )  f ( x)  1 ( x)1  f , t  x 
(2.1.3)
ii )  c  , c' nin tam değerini göstermek üzere herhangi bir c  0 sayısı her f  C1
için
  f , c   1   c     f ,  
1
1
7
(2.1.4)
3. KOROVKİN TEOREMLERİ
Şimdi yaklaşımlar teorisinde önemli bir yeri olan literatürde "Bohman - Korovkin
Teoremi " olarak bilinen aşağıdaki sonucu hatırlatalım.
3.1 Bohman – Korovkin Teoremi
Teorem 3.1.1 Ln : C  a, b  C  a, b lineer pozitif operatörler olsun.
 f  C  a, b için
lim Ln fi  fi  0 , fi  t i ,(i  0,1, 2)
n
lim Ln f  f  0
n
(Bohman 1952, Korovkin 1953).
Şimdi Korovkin teoreminin şartlarını sağlayan bir örnek verelim.
Örnek 3.1.2 C  0, r  uzayında verilen Szasz Operatörünün Korovkin Teoreminin
şartlarını sağladığını gösteriniz.
Çözüm. C  0, r  ’ de verilen Szasz Operatörü

 k   nx 
Sn ( f ; x)  e nx  f  
 n  k!
k 0
k
şeklinde tanımlı olup
Sn 1; x   e
 nx


 nx 
k!
k 0
k
 e nx enx  1
bulunur. O halde lim Sn1  1  0 olduğu açıktır.
n
Sn  t ; x   e
 nx
k  nx 

k!
k 0 n

k
n k 1 x k
k 1  k  1 !

 e nx 
nk x k 1
k!
k 1

 e nx 
8
 x.e


 nx
 nx 
k
k!
k 0
x
olduğundan lim maks Sn  t; x   x  0 elde edilir.
n
0 x  r

k
Sn  t 2 ; x   e nx   
k 0  n 

 e nx  k
k 1
2
 nx 
k
k!
nk 2 x k
 k  1!

 e nx   k  1
k 1

nk 2 x k
nk 2 x k
 e nx 
 k  1!
k 1  k  1 !

nk x k 2
nk 1 x k 1
 e nx 
k!
k!
k 0
k 0

 e nx 

nk x k x  nx  nk x k
 e 
n
k 0 k !
k 0 k !
 x 2e nx 
 x2 
x
n
eşitliği gerçeklenir. O halde, lim maks Sn  t 2 ; x   x 2  0 elde edilir.
n
0 x  r
3.2   Normunda Korovkin Teoreminin Varlığı
Teorem 3.2.1 Keyfi m  1 için Ln : C ( IRm )  B ( IR m )
lineer pozitif operatör
dizisi verilsin.  ( x)  1  x olmak üzere
2
lim Ln 1; x   1   0
(3.2.1)
n 
lim Ln  t j ; x   x j
n 


lim Ln t ; x  x
n 
2

0
2

j  1, 2,3,..., m (3.2.2)
0
(3.2.3)
şeklindeki (m+2) şartı sağlasınlar. Bu durumda C  IR m 
fonksiyonu bulabiliriz ki n   için,
Ln  f * ; x   f * ( x)
elde edilir.
9

1
uzayında öyle bir f *
İspat. Ln operatörler dizisini şu şekilde tanımlayalım,
2

1 x
 f ( x* )  f ( x)  ,
 f ( x) 
Ln  f ; x   
1  2n 2 

f ( x),

x n
x n
 x 1
x 1
Burada, x*  
,...,
 olsun.
m 
 m
Ln ler lineer pozitif operatörler olduğu açıktır. Diğer taraftan  ( x)  1  x
2
ve
x  n için
Ln   ; x    ( x) 
1 x
2
  ( x* )   ( x) 
1  2n
2
1 x  * 2
2
  ( x) 
x  x 
2 

1  2n 
2
  ( x) 
1 x
2
1  2 x 
1  2n 2 
 1 x  2  x
2

 3 1 x
2
2

 3 ( x)
elde edilir. Böylece Ln , her bir n için C ’ dan B ya tanımlıdır. Şimdi (3.2.1),
(3.2.2) ve (3.2.3) şartlarına bakalım.
Ln 1; x   1 olduğundan (3.2.1) gerçeklenir.
Ln  t j ; x   x j 
1 x
2
 x*j  x j 
1  2n 2 
2
1  x 1  x  mx j 
 xj 


1  2n 2 
m

 xj 
1 x
2
1  2n 2
2 1  x 
10
eşitsizliği elde edilir. Buradan
Ln  t j ; x   x j
sup
1 x
x n

2
2 1  n 
1  2n 2
olup (3.2.2) şartı sağlanır. Son olarak (3.2.3) koşulunun sağlandığını görelim.
1 x  * 2
2
Ln t ; x  x 
x  x 
2 

1  2n 

2

2
2
1 x 
2
2
 x 
1 x   x 
2 

1  2n
2
2
 x 
2
1 x
2
1  2n 2
1  2 x 
gerçeklenir. Bu durumda


Ln t ; x  x
sup
2
1 x
x n
2

2
1  2n
1  2n 2
elde edilir. Buradan (3.2.3)' ün gerçeklendiği görülür.
Şimdi, f * ( x)  x cos  x fonksiyonunu göz önüne alalım. f *  C dur ve x  n
2
için,
1 x  * 2
2
Ln  f ; x   f ( x) 
x cos  1  x   x cos  x 
2 

1  2n 
2
*
*
 f ( x) 
*
x
1  2n
1 x
2
* 2
2
x
2
 cos  x
olur. Dolayısıyla
sup
Ln  f * ; x   f * ( x)
xR
1 x
2
 sup
x n
1 2 x  2 x
2
1  2n 2
sağlanır. Böylece
lim Ln f *  f *
n 
gerçeklenir. Bu ise ispatı tamamlar.
11

1
1  2n  2n 2
cos  x 
1  2n 2
3.3 C  IR  Uzayında Yakınsaklık Teoremi
Şimdi Gadjiev (1976) tarafından, ağırlıklı uzaylar üzerinde verilen Korovkin tipli
yaklaşım teoremini ifade edelim.
Teorem 3.3.1 Ln : C1  B2 tanımlı ve Ln : C1  B1 için düzgün sınırlı olmak
1  x 
 0 olsun. Eğer bir s0 için x  s0 olmak üzere
x    x 
2
üzere lim
limsup Ln  f ; x   f  x   0
n
x  s0
koşulu sağlanıyor ise f  C1 için
lim Ln f  f
n
2
0
gerçeklenir.
1  x 
 0 şartını sağlayan keyfi bir
x    x 
2
Teorem 3.3.2 Kabul edelim ki   x  , lim
fonksiyon, Ln : C1  IR   B2  IR  lineer pozitif operatör dizisi olsun. Bu taktirde
Fj  C1 için ,
lim Ln Fj  Fj
n 
1
0
 j  0,1, 2
koşulunu sağlayan f  C1 için,
lim Ln f  f
n 
2
0
olmasıdır.
Buradan x  IR için,
Fo  x  
F1  x  
1
1 x
2
.  x 
(3.3.1)
2
.  x 
(3.3.2)
x
1 x
12
F2  x  
x
2
1 x
2
.  x 
(3.3.3)
eşitlikleri ile alınacaktır.
13
4. AĞIRLIKLI UZAYLARDA YAKLAŞIM TEOREMLERİ
4.1 Tek Değişkenli Yaklaşım Teoremi
Gadjiev (1976) tarafından Ağırlıklı uzaylarda verilen Korovkin Teoreminin
yakınsaklığın gerçeklenmemesi durumunda ne yapılabilir sorusu akla gelir. Bu
durumda Atlıhan ve Orhan (2007)' de matris toplanabilme metodunu kullanarak bu
yaklaşım teoremini geliştirmişlerdir. Bu bölümde biz bu çalışmadaki teoremleri ve
ispatları inceleyeceğiz.
Lemma 4.1.1 A   A( n )  negatif olmayan reel terimli sonsuz matrislerin bir dizisi
olsun. L j  , C1 uzayını B2 uzayına dönüştüren pozitif lineer operatörlerin bir dizisi
olsun. 1 ve  2 ağırlık fonksiyonları da
1 ( x)
 0 (4.1.1) koşulunu
x   ( x )
2
lim
gerçeklesin. Ayrıca

M  sup  akj( n ) L j
j 1
n,k
C1  B1

(4.1.2)
gerçeklensin. Eğer herhangi bir s  0 reel sayısı için

lim  akj( n ) sup sup
k
j 1
f
1
Lj  f ; x
1 ( x)
1 x  s
 0 , (n' e göre düzgün)
(4.1.3)
ise bu durumda

limsup  akj( n ) L j
k
n
j 1
C1  B2
0
gerçeklenir.
İspat. (4.1.1) koşulu nedeniyle her   0 için x  s0 olduğunda 1 ( x)  2 ( x)
olacak şekilde bir s0  0 sayısı vardır. 1 ve  2 fonksiyonlarının sürekli olması
14
nedeniyle
x  s0 için 1 ( x)  H 2 ( x) olacak şekilde bir H  0 sayısı vardır.
Ayrıca

L j  f ; x

(n)
  a ( n ) sup sup
 akj L j
j 1
C1 B2 j 1 kj f 1 xIR
2  x 
1

L j  f ; x
L j  f ; x 


  a
sup  sup
 sup

kj
2  x  
j 1
f 1  x s0 2  x 
x

s
0
1 


(n)
L j  f ; x

( n)
  a
sup sup
kj
j 1
f 1 x  s0
1  x 
1

( n)
H  a
sup sup
kj
j 1
f 1 x s0
L j  f ; x
1  x 
1


   akj( n ) L j
 H  akj( n ) sup sup
j 1
j 1
C1 B1
f 1 x s0
1
L j  f ; x
1  x 
eşitsizliği gerçeklenir. Buradan (4.1.2) nedeniyle

sup  akj( n ) L j
n
j 1

C1  B2
  sup  akj( n ) L j
n ,k
j 1

C1  B1
 H sup  akj( n ) sup sup
n j 1
f 1 x s0
1

  M  H sup  akj( n ) sup sup
n j 1
f 1 x s0
1
L j  f ; x
1  x 
L j  f ; x
1  x 
elde edilir. Eşitsizliğin her iki tarafının k   için limitini alırsak (4.1.3)
bağıntısından ve de   0 keyfi olduğundan sonuç elde edilir.
Lemma 4.1.2 A   A( n )  negatif olmayan reel terimli sonsuz matrislerin bir dizisi ve

H  sup  akj( n )  
n,k
j 1
15
(4.1.4)
koşulu gerçeklensin. L j : C1  B2 lineer pozitif operatörlerin dizisi olsun. Ayrıca
(4.1.1) ve (4.1.2) sağlansın. Eğer herhangi bir s  0 reel sayısı için

lim  akj( n ) sup sup L j  f ; x   f ( x)  0 , ( n' e göre düzgün )
k
j 1
f
1
(4.1.5)
1 x  s
ise her f  C1 için

lim  akj( n ) L j f  f
k
2
j 1
 0 , ( n' e göre düzgün )
gerçeklenir.
 
Teorem 4.1.3 A  A n , (4.1.4) koşulunu sağlayan negatif olmayan reel terimli
sonsuz matrislerin bir dizisi olsun. L j  , C1 uzayını B2 uzayına dönüştüren pozitif
lineer operatörlerin bir dizisi olsun. Ayrıca 1 ve  2 ağırlık fonksiyonları (4.1.1)
koşulunu gerçeklesin. Eğer her bir v=0, 1, 2 için Fv  x  

lim  akj  L j Fv  Fv
k
n
1
j 1
x v 1  x 
1  x2
olmak üzere,
 0 , ( n' e göre düzgün )
(4.1.6)
ise her f  C1 için

lim  akj  L j f  f
n
j 1
k
2
 0 , ( n' e göre düzgün )
(4.1.7)
gerçeklenir.
İspat. Önce (4.1.6) koşulunun sağlandığını kabul edelim. Bu durumda her bir j için
Lj
C  B
1
 L j 1  1  1
1
1
1 t2
1 t2
 L j 1
 1
1 t2
1 t2
 
t 2 1   1
t 2 1 
 Lj  1 2 


2  
2
2 
 1 t 1 t   1 t 1 t 
 L j F2  F2
1
 L j F0  F0
elde edilir. (4.1.6) nedeniyle
16
1
1
 1
1
1
1
1

sup  akj  L j

n
n , k j 1
C1  B1

 sup  akj  L j F2  F2
n
1
n , k j 1
 sup  akj  L j F0  F0

n
n , k j 1
1
 sup  akj   
n
n , k j 1
olduğundan (4.1.6) nedeniyle (4.1.2) koşulu gerçeklenir.
Şimdi (4.1.5) ifadesinin sağlandığını gösterelim. (Gadjiev, 1976)


L j  f  t  ; x   f  x   L j f  t   f  x  ; x  f  x  L j 1; x   1
(4.1.8)
eşitsizliği gerçeklenir.
f  C1 ve x  s olsun. f fonksiyonu R üzerinde sürekli olduğundan   0 için
t  x   koşulunu sağlayan
f  t   f  x    olacak şekilde   0
t , x için
sayısı vardır.
t  x  
tx

1
tx

2
 1 olmak üzere,
f  t   f  x   f  t   f  x   M f 1  t   M f 1  x   M f  1 t   1  x  
 2M f 1  x  1  t 
1 t2
 2M f 1  x  F0  t  1  t 2 
2
1 t
 K 1  x  t  x  F0  t 
2
 1 t2 
Burada K 1  x   4M f 1  x   2  1 dir.
 

t  R ve x  s için
f  t   f  x     K 1  x  t  x  F0  t 
2
Herhangi
bir
s0
için
H1  H1 (s)  sup 1 ( x) ,
(4.1.9)
H 2  H 2 (s)  sup K 1 ( x) ,
x s
x s
H 3  H 3 (s)  sup f ( x) olmak üzere Gadjiev (1976) ' in düşüncelerini kullanarak,
x s
v j  sup sup L j ( f (t ); x)  f ( x)  H1 L j .1
f
1
1 x  s
1
x s
 H 3 sup L j 1; x   1
x s
17

 H 2 sup L j  t  x  F0 (t ); x
2

(4.1.10)
gerçeklenir. Diğer yandan


L j  t  x  F0  t  ; x  L j  t 2 F0 (t );   2 xL j  tF0 (t ); x   x 2 L j  F0 t  ; x 
2
 L j  F2  t  ; x   2 x L j  F1  t  ; x   x 2 L j  F0 t  ; x 
 L j  F2  t  ; x   F2  x   2 x L j  F1  t  ; x   F1  x 
 x 2 L j  F0  t  ; x   F0  x 


elde edilir. B  B  s   maks sup 1  x  , 2sup x 1  x  ,sup x 2 1  x  olmak üzere
x s
x s
 x s



u j  sup L j  t  x  F0  t  ; x  sup
x s
2
L j  F2  t  ; x   F2  x 
1  x 
x s
 sup
1  x 
2 x L j  F1  t  ; x   F1  x 
1  x 
x s
x L j  F0  t  ; x   F0  x 
1  x 
2
 sup
1  x 
x s

 B L j F2  F2
1
 L j F1  F1
1
1  x 
 L j F0  F0
1
 (4.1.11)
eşitsizliği sağlanır. Diğer yandan,
Lj
1
 L j 1
1
 Lj
C1  B1
(4.1.12)
olup (4.1.10), (4.1.11) ve (4.1.12) den j için
v j  H1 L j
C1  B1
 H 2u j  H 3 sup L j 1; x   1
x s
elde ederiz.
F0  x  L j 1; x   1  L j  F0  t   F0  x  ; x   L j  F0  t  ; x   F0  x 
yazabiliriz. F0  C1 ve (4.1.9) göz önünde bulundurulursa
18
(4.1.13)
 L j  F0  t  ; x   F0  x    L j 1; x  


L j 1; x   1 


2
F0  x   K   x  L j  t  x  F0  t  ; x

1


1


(4.1.14)
eşitsizliği sağlanır. Şimdi (3.1.14) den herhangi bir s  0 ve j  IN için

sup L j 1; x   1  H 4 L j F0  F0
x s
gerçeklenir. Burada H 4  H 4  s   sup
x s
1
1  x 
F0  x 
  Lj
C1  B1
 H u
5
(4.1.15)
j
ve H 5  H 5  s   sup
K 1  x 
x s
F0  x 
olmak
üzere (4.1.13) eşitsizliğinde (4.1.15) ve (4.1.11) göz önüne alınırsa
K  maks H1  H3 H 4 , B  H 2  H3 H5   H3 H 4  olmak üzere


 
 
 akj v j   K  akj L j
n
j 1

n
j 1

C1  B1
K  akj  L j F0  F0
 K  akj  L j F1  F1

n
j 1
n
j 1
1
1
 K  akj  L j F2  F2
n
j 1
1
bulunur. k   için limit alırsak (4.1.2) ve (4.1.6) bağıntıları nedeniyle,

lim  akj  sup sup L j  f  t  ; x   f  x   0 , (n' e göre düzgün)
k
j 1
n
f
1
1 x  s
elde edilir. O halde Lemma 4.1.2 den f  C1 için

lim  akj  L j f  f
k
j 1
n
2
 0 , (n' e göre düzgün)
elde edilir.
4.2 Çift Değişkenli Yaklaşım Teoremi
Bölüm 4.1' de verilen yaklaşım teoremleri Liu ve Cao (2011) tarafından çift
değişkenli lineer pozitif operatör dizileri için verilmiş olup bu bölümde söz konusu
yaklaşım teoremleri ve ispat teknikleri incelenmiştir.
L  ,
j
C1 den B2 lineer pozitif operatörlerin dizisi olsun. Bk( n )  f ; x, y  ile çift
dizileri gösterelim.
19

Bk( n )   akj( n ) L j  f ; x, y 
j 1
n=1, 2, ...
Teoremin ispatı için öncelikle aşağıdaki iki lemmaya ihtiyacımız olacak.
  negatif olmayan sonsuz matrislerin dizisi ve L  ,
Lemma 4.2.1 A  A n
j
C1
uzayından B lineer pozitif operatörlerin bir dizisi olsun. 1 ve  2 fonksiyonları
2
1 ( x, y)
 0 (4.2.1) koşulunu gerçeklesin. Kabul edelim ki,
  2 ( x, y )
lim
x2  y 2

sup  akj( n ) L j

C1 B1
n , k j 1
(4.2.2)
Eğer herhangi bir s  IR için,

L j  f ; x, y 

lim  akj( n ) sup  sup
k j 1
f 1 x2  y2 s 1  x, y 
1

0


(4.2.3)
ise bu durumda,

lim  akj( n ) L j
0
k
j
C1 B2
gerçeklenir.
x 2  y 2  s0 için 1  x, y   2  x, y  olacak şekilde bir
İspat.   0 verildiğinde
s0 sayısı vardır.
1
sürekli olduğundan
2
x 2  y 2  s0 için 1  x, y   M 2  x, y 
olacak şekilde bir M  0 sayısı vardır.


(n)
  akj( n )
 akj L j
j 1
C1 B2 j 1

 a
j 1
(n)
kj

L j  f ; x, y 

sup  sup
f 1  x, y IR 2 2  x, y 
1







L j  f ; x, y 

sup 
sup
f 1 x2  y2 s0 2  x, y 
1

20







L j  f ; x, y 

sup 
sup
f 1 x2  y2 s0 2  x, y 
1

 a
(n)
kj
j 1

   akj( n )
j 1

M  a
j 1

(n)
kj

Lj
  sup  a
n , k j 1

L j  f ; x, y 

sup  sup
f 1  x, y IR 2 1  x, y 
1

(n)
kj






L j  f ; x, y 

sup 
sup
f 1 x2  y2 s0 1  x, y 
1

C1 B1

L j  f ; x, y 

sup 
sup
f 1 x2  y2 s0 1  x, y 
1






(n)
kj

L j  f ; x, y 

sup 
sup
f 1 x2  y2 s0 1  x, y 
1






Ma
j 1

Lj
C1  B1
Ma
j 1





(n)
kj

a
j 1
(n)
kj





k   için limit alınırsa (4.2.2) ve (4.2.3) den istenen elde edilir.
 
Lemma 4.2.2 A  A
n
negatif olmayan sonsuz matrislerin dizisi olsun. Kabul
edelim ki

sup  akj( n )  
n , k j 1
(4.2.4)
olsun. L j  , C1 ’ den B2 ’ ye tanımlı pozitif lineer operatörlerin bir dizisi olsun.
(4.2.1) ve (4.2.2) koşullarını gerçeklesin. Eğer herhangi bir s  IR için

lim  a
k
j
(n)
kj



sup
sup
L j  f ; x, y   f  x, y    0 , (n' e göre düzgün)


2
2
f 1 x  y s

1
ise f  C1 için

lim  akj( n ) L j f  f
k
j
2
 0 , (n' e göre düzgün)
gerçeklenir.
21
(4.2.5)
İspat. Önceki lemma da T j  L j  E alalım. E birim operatör,



sup  akj( n ) T j
 sup  akj( n ) L j
 sup  akj( n )  
C1 B1 n,k j
C1 B1 n,k j
n,k j
1  1 iken, herhangi bir s  R için aşağıdaki sonuca varabiliriz.

a
j
(n)
kj

T j  f ; x, y 

sup  sup
f 1 x2  y2 s 1  x, y 
1




  (n)

T j  f ; x, y  
  j akj sup  sup

2
2
f 1 x  y s


1




  akj( n ) sup  sup
L j  f ; x, y   f  x , y  

j
f 1 x2  y2 s


1
(4.2.5) den,

lim  a
k
j
(n)
kj

T j  f ; x, y 

sup  sup
f 1 x2  y2 s 1  x, y 
1



0


olur. T j  , Lemma 4.2.1 in koşullarını sağlar. Buradan,

lim  akj( n ) T j
0
k
j
C1 B2
olur. f  C1 için

(n)
 akj L j f  f
j

2
  akj( n ) T j
f
j
C1 B2
1
Buradan da Lemma 4.2.2 nin ispatı tamamlanır.
 
Teorem 4.2.1 A  A
n
koşulunu sağlayan negatif olmayan reel terimli
(4.2.4)
sonsuz matrislerin bir dizisi olsun. L j  , C1 den B2 ' ye lineer pozitif operatörlerin
bir dizisi olsun. 1 ve  2 (4.2.1) koşulunu gerçeklesin.
Fi ' nin tanımı, F0 ( x, y) 
F3 ( x, y ) 
1 ( x, y)
1 x  y
2
2
, F1 ( x, y) 
x 1 ( x, y)
y 1 ( x, y )
, F2 ( x, y ) 
2
2
1 x  y
1  x2  y 2
( x 2  y 2 ) 1 ( x, y)
şeklinde olmak üzere
1  x2  y 2
22

lim  akj( n ) L j Fi  Fi
k
j
0
1
(i=0, 1, 2, 3)
(4.2.6)
koşulu gerçeklenirse bu takdirde f  C1 için,

lim  akj( n ) L j f  f
k
j
2
0
(4.2.7)
gerçeklenir.
İspat. (4.2.6) koşulunun gerçeklendiğini kabul edelim.
Lj
C1 B1
 L j 1
1
 L j 1  1
1
 1  L j F3  F3
1
 L j F0  F0
1
1
(4.2.6) koşulu nedeniyle,


sup  akj( n ) L j
 sup  akj( n ) L j F3  F3
C1 B1 n,k j
n,k j

 sup  akj( n) L j F0  F0
1
n,k j

1
 sup  akj( n)  
n,k
j
(4.2.2) yı elde ederiz. Şimdi (4.2.5) koşulunun sağlandığını gösterelim.


L j  f ; x, y   f  x, y   L j f  u, v   f  x, y  ; x, y  f  x, y  L j 1; x, y   1 (4.2.8)
f  C1
ve
x2  y 2  s
olsun. f sürekli olduğundan   0 için
  0
 u  x   ve v  y   koşulunu sağlayan   u, v   IR 2 için
f  u, v   f  x, y   
gerçeklenir.
u  x   ya da v  y   olduğunda,
f  u, v   f  x, y   2M f 1  x, y  1 u, v   2M f 1  x, y  F0 u, v  1  x 2  y 2 
2
2
 4M 1  x, y  F0  u, v  1  x 2  y 2   u  x    v  y  
f




1  x2  y 2
2
2
 4M 1  x, y  F0  u, v   u  x    v  y   

1

f

   u  x 2   v  y 2 


2
2
 K 1  x, y   u  x    v  y   F0  u, v 


23
Buradan,
 1  x2  y 2 
K 1  x, y   4M f 1  x, y  
 1
2


şeklindedir. Böylece   u, v   IR 2 ve
x 2  y 2  s için,
2
2
f  u, v   f  x, y     K 1  x, y   u  x    v  y   F0  u, v 


(4.2.9)
olduğu görülür.


L j f  u, v   f  x, y  ; x, y   L j 1; x, y 
 K 1  x, y  L j
   u  x    v  y   F  u , v  ; x, y 
2
2
0
2 xL j  uF0  u, v  ; x, y    x 2  y 2  L j  F0  u, v  ; x, y 
 L j  F3  u, v  ; x, y   2 yL j  F2  u, v  ; x, y 
2 xL j  F1  u, v  ; x, y    x 2  y 2  L j  F0 u, v  ; x, y 
 L j  F3 ; x, y   F3  x, y   2 y L j  F2 ; x, y   F2  x, y 
2 x L j  F1 ; x, y   F1  x, y 
  x 2  y 2  L j  F0 ; x, y   F0  x, y 
Burada,
 sup
1  x, y  , sup 2 x 1  x, y  ,

2
2
 x2  y 2  s

x  y s


B  max 

2
2
2 y 1  x, y  , sup  x  y  1  x, y  
 sup
 x2  y2 s

x2  y 2  s
olmak üzere herhangi bir s  IR için,
vj 
sup
Lj
x2  y 2  s

 B  L j F3  F3

   u  x    v  y   F  u , v  ; x, y 
2
2
0
 L j F2  F2
1
 L j F1  F1
1
24
 L j F0  F0
1


1 
(4.2.10)
yazılabilir.
L j 1; x, y 
1
 L j  1; x, y 
1
ve F0  C1 olduğundan,
 Lj
C1 B1
F0  x, y  L j 1; x, y   1  L j  F0 ; x, y   F0  x, y   L j  F0 u, v   F0  x, y  ; x, y 
(4.2.9) dan ,
 L j  F0 ; x, y   F0  x, y    L j 1; x, y  
1

L j 1; x, y   1 

F0  x, y   K   x, y  L j  u  x 2   v  y 2 F0  u , v  ; x, y
 1


Buradan herhangi bir s  IR ve j  IN için, C1 
C2 
1  x, y 
,
sup
x2  y2 s F0  x, y 
sup
K 1 olmak üzere,
x2  y 2  s


sup
L j 1; x, y   1  C1  L j F0  F0

x2  y 2  s



 Lj
 C2v j 
1
C1 B1


elde edilir. Buradan (4.2.8)' e geçersek,
C3 

f  x, y 
sup
1  x, y  , C4  sup
2
2
2
x  y s
x  y s
olmak üzere,
2


u j  sup  sup
L j  f ; x, y   f  x, y  

f 1 x2  y2 s


1
  C3 L j 1; x, y 
C4
1
 C2
sup
Lj
x2  y 2  s
   u  x    v  y   F  u , v  ; x, y 
2
2
0
sup
L j 1; x, y   1
2
x  y s
2
 C3 L j
 C2v j  C4
sup
L j 1; x, y   1
C1 B1
x2  y 2  s
sağlanır. (4.2.9), (4.2.10) ve (4.2.11) den,
C  max M  C3  C1C4  , BC2  C1C4  BC1C2C4  olmak üzere ,
25
(4.2.11)

u j  C L j
 C  L j F3  F3
C1 B1

 L j F2  F2
1
 L j F1  F1
1
 L j F0  F0
1


1 
(4.2.12)
Bu son eşitsizlikte her iki tarafın  toplamını alırsak,
j

 (n)

(n)
C  akj( n ) L j F0  F0
 akj u j   C  akj L j
j 1
j 1
j 1
C1 B1

C  akj( n ) L j F2  F2
j 1

C  akj( n ) L j F1  F1
j 1
1
1

C  akj( n ) L j F3  F3
j 1
1
1
olduğu görülür. Buradan k   için limit alınırsa (4.2.5) elde edilmiş olur.
Lemma 4.2.2 den f  C1 için,

lim  akj( n ) L j f  f
k
j
gerçeklenir
26
2
0
5. AĞIRLIKLI UZAYLARDA A- TOPLAM SÜRECİ
Bu bölümde Atlıhan ve Orhan (2008) tarafından A- toplam sürecini kullanılarak
geliştirilen Korovkin tipi yaklaşım teoremlerini inceleyeceğiz.
 
negatif olmayan sonsuz matrislerin bir dizisi olsun. L j  ,
Lemma 5.1 A  A n
C
1
uzayını B
uzayına dönüştüren (2.1.2) koşulunu sağlayan lineer pozitif
2
operatörlerin bir dizisi olsun. 1 ve  2 ağırlık fonksiyonları da (4.1.1) koşulunu
sağlasın. Ayrıca
sup Bk( n )
n,k
C1  B1

(5.2)
gerçeklendiğini kabul edelim. Eğer herhangi bir s  0 reel sayısı için
lim sup sup
k
f
1
Bk( n )  f ; x 
1 x  s
1 ( x)
 0 , (n' e göre düzgün)
(5.3)
ise bu durumda
lim Bk( n )
k
C1  B2
 0 , (n' e göre düzgün)
gerçeklenir.
İspat. (4.1.1) koşulu nedeniyle her   0 için x  s0 olduğunda 1 ( x)  2 ( x)
olacak şekilde bir s0  0 sayısı vardır. Diğer taraftan 1 ve  2 ağırlık fonksiyonları
x  s0 için 1 ( x)  H 2 ( x) olacak şekilde bir H  0 sayısı
sürekli olduğundan
vardır. Böylece

(n)
k
C1  B2
B
 sup B
f
1
1
(n)
k
f
2
 sup sup
f
1
1 xIR
Bk( n )  f ; x 
 2 ( x)
27
 sup sup
f
1
1 xIR
a
j 1
(n)
kj
Lj  f ; x
 2 ( x)

 akj(n) L j  f ; x 
j 1
 sup sup
f
1
 2 ( x)
1 x  s0

 H sup sup
f
1
a
j 1
(n)
kj

 sup sup
f
j 1
(n)
kj
Lj  f ; x
 2 ( x)
1 x  s0
Lj  f ; x
  Bk( n )
 ( x)
1 x  s0
1
a
C1  B1
eşitsizliği gerçeklenir. Burada önce n üzerinden supremum daha sonra da k  
için limit alınırsa (5.2) ve (5.3) nedeniyle ispat tamamlanır.
 
Lemma 5.2 A  A n
negatif olmayan reel terimli sonsuz matrislerin bir dizisi
olmak üzere

lim  akj( n )  1 , (n' e göre düzgün)
k
(5.4)
j 1
koşulu gerçeklesin. L j  , C uzayını B
1
uzayına dönüştüren (2.1.2) koşulunu
2
sağlayan lineer pozitif operatörlerin bir dizisi olsun. Ayrıca (4.1.1)
ve (5.2)
gerçeklesin. Eğer herhangi bir s  IR için
lim sup sup Bk( n )  f ; x   f ( x)  0 , (n' e göre düzgün)
k
f
1
1 x  s
(5.5)
ise bu durumda her f  C1 için
lim Bk( n ) f  f
k
2
 0 , (n' e göre düzgün)
gerçeklenir.
İspat. E, C1 uzayı üzerinde tanımlı birim operatör olsun. Tj : L j  E alalım.

Pk( n )  f ; x    akj( n )T j  f (t ); x 
j 1
Şeklinde tanımlı operatör her k ve n için (2.1.2) ve (5. 4) nedeniyle anlamlı olup B2
uzayına aittir. O halde
Pk( n )
C1  B1
 sup Pk( n ) f
f
1
1
28
1
 sup sup
f
1
1 xIR
Pk( n )  f ; x 
1 ( x)
 sup sup
f
1
B
1 ( x)
1 xIR
 Bk( n )
 f ; x
(n)
k
C1  B1

 sup sup
f
 sup f
f
1
1
1
j 1
1 ( x)
1 xIR

1
(n)
 akj f ( x)
 akj
(n)
j 1
yazabiliriz. Buradan (5. 2) ve (5. 4) koşulları nedeniyle
sup Pk( n )
n,k
C1  B1

olduğu görülür. O halde Pk( n ) için (5. 2) gerçeklenir. Şimdi (5. 3) ifadesinin
gerçeklendiğini gösterelim. IR üzerinde 1  1 olduğundan herhangi bir s  0 için



(n)
a
f
(
x
)

f
(
x
)
( n)

kj


P  f ; x
 Bk  f ; x   f ( x)
j 1

sup sup
 sup sup 
 sup sup

1 ( x)
1 ( x)
1 ( x)
f  1 x  s
f  1 x  s
f  1 x  s


1
1
1




(n)
k
 sup sup Bk( n )  f ; x   f ( x)  sup f
f
1
1 x  s
f
1
1

1
(n)
 akj  1
j 1
elde ederiz. k   için limit alırsak (5. 4) ve (5. 5) koşulları nedeniyle
lim sup sup
k
f
1
Pk( n )  f ; x 
1 x  s
1 ( x)
 0 , (n' göre düzgün)
gerçeklenir. O halde Pk( n ) operatörleri Lemma 5. 1 in koşullarını gerçekler. Böylece
lim Pk( n )
k
C1  B2
 0 , (n' göre düzgün)
(5. 6)
elde ederiz. 1 ve  2 ağırlık fonksiyonları sürekli olduğundan ve (4.1.1) koşulu
  ( x) 
gerçeklendiğinden sup  1   M olacak biçimde bir M  0 sayısı vardır. O
xIR   2 ( x ) 
halde
Bk( n ) f  f

2
  akj( n ) L j f  f
j 1
2
  akj( n )  L j f  f 

j 1
29
 f
2

2
(n)
 akj  1
j 1
  akj( n )  L j f  f 

j 1
 Pk( n )
M f
2

1
(n)
 akj  1
j 1

C1  B2
 M  akj( n )  1
j 1
eşitsizliğini elde ederiz. Buradan (5. 4) ve (5. 6) koşulları nedeniyle her f  C1 için
lim Bk( n ) f  f
2
k
 0 , (n' e göre düzgün)
gerçeklenir. Şimdi bu bölümün temel teoremini verebiliriz.
Teorem 5.3 A   A( n )  , (5.4) koşulunu sağlayan negatif olmayan reel terimli sonsuz
matrislerin bir dizisi olsun. L j  , C1 uzayını B2 uzayına dönüştüren ve (2.1.2)
koşulunu sağlayan pozitif lineer operatörlerin bir dizisi olsun. Ayrıca 1 ve  2
(4.1.1) koşulunu gerçeklesin. Eğer her bir   0,1, 2 için
ağırlık fonksiyonları
F ( x) 
x 1 ( x)
olmak üzere
1  x2
lim Bk( n ) F  F
k
1
 0 , (n' e göre düzgün)
(5.7)
ise her f  C1
lim Bk( n ) f  f
k
2
 0 , (n' e göre düzgün)
(5.8)
gerçeklenir.
İspat. Lemma 5. 2' nin koşullarının sağlandığını göstereceğiz. Önce (5.7)
koşullarının sağlandığını kabul edelim. Bu durumda
Bk( n )
C1  B1
 Bk( n ) 1  1  1
 Bk( n ) 1
1 t2
1 t2


1
1 t2
1 t2
 Bk( n ) F2  F2
elde ederiz. (5.7) koşulu nedeniyle
30
1
1
 1
1
 Bk( n) F0  F0
1
1
1
sup Bk( n )
n,k
C1  B1
 sup Bk( n ) F2  F2
n,k
1
 sup Bk( n ) F0  F0
n ,k
1

gerçeklenir. Böylece (5. 2) koşulunu elde ederiz. Şimdi ise (5. 5) koşulunun
sağlandığını göstereceğiz. Şimdi f  C1 ve s  0 olmak üzere x  s olsun. f
fonksiyonu IR üzerinde sürekli olduğundan her   0 için t  x   koşulunu
sağlayan her t,x için
f (t )  f ( x)  
olacak şekilde   0 sayısı vardır. t  x   olduğunda da
f (t )  f ( x)  2M f 1 ( x) 1 (t )
 2M f 1 ( x) F0 (t ) 1  t 2 
 K 1 ( x)  t  x  F0 (t )
2
 1  x2 
gerçeklenir; burada K 1 ( x)  4M f 1 ( x)  2  1 şeklinde tanımlıdır. O halde her
 

t  IR ve x  s için
f (t )  f ( x)    K 1 ( x)  t  x  F0 (t )
2
(5.9)
yazabiliriz. Diğer yandan
Bk( n)  f ; x   f ( x)  Bk( n)  f (t )  f ( x) ; x   f  x  Bk( n) 1; x   1
eşitsizliği gerçeklenir. Buradan (5.9) nedeniyle herhangi bir s  0 için
H1  H1 (s)  sup 1 ( x) , H 2  H 2 (s)  sup K 1 ( x) , H 3  H 3 (s)  sup f ( x)
x s
x s
x s
olmak üzere
sup sup Bk( n )  f ; x   f ( x)   H1 Bk( n ) 1
f

1 x  s
1
1
 H 3 sup sup Bk( n ) 1; x   1
f  1
x s
1
31

 H 2 sup sup Bk( n ) F0 (t )  t  x  ; x
f  1
x s
1
2

(5.10)
elde edilir. Diğer taraftan herhangi bir s  0 için


B  B  s   maks sup 1  x  , 2sup x 1  x  ,sup x 2 1  x  ile verilmek üzere
x s
x s
 x s


uk( n )  sup Bk( n ) F0 (t )  t  x  ; x
x s
2

(5.11)


 sup Bk( n )  t 2 F0 (t ); x   2 xBk( n )  tF0 (t ); x   x 2 Bk( n )  F0 (t ); x 
x s

 sup Bk( n )  F2 ; x   F2 ( x)  2 x Bk( n )  F1; x   F1 ( x)  x 2 Bk( n )  F0 ; x   F0 ( x)
x s
 Bk( n ) F2  F2  Bk( n ) F1  F1
1

sup sup Bk( n )  f ; x   f ( x)  H 
f  1 x  s
 Bk( n ) F0  F0   Bk( n )

1
1
1

1






eşitsizliği gerçeklenir. Yine
F0  x  Bk( n ) 1; x   1  Bk( n )  F0  t  ; x   F0  x   Bk( n )  F0 (t )  F ( x) ; x 
yazabiliriz. F0  C1 olduğu ve (5.9) göz önünde bulundurulursa
(n)
k
B
 Bk( n )  F0  t  ; x   F0  x    Bk( n ) 1; x  


1; x   1 


2
(
n
)
F0  x   K   x  Bk  t  x  F0  t  ; x

1


1


elde ederiz. Herhangi bir s  0 ve her k , n  N için H 4  H 4  s   sup
x s
H 5  H 5  s   sup
x s
K 1  x 
1  x 
F0  x 
ve
olmak üzere
F0  x 

sup Bk( n ) 1; x   1  H 4 Bk( n ) F0  F0
x s
1
  Bk( n ) 1
C1  B1
 H u
(n)
5 k
(5.12)
gerçeklenir. Diğer taraftan
Bk( n )
1
 Bk( n )  1 
1
 Bk( n)
C1  B1
olup (5.10) eşitsizliğinde (5.11), (5.12) ve (5.13) göz önüne alınırsa
32
(5.13)
(n)
k
sup sup B
f

1 x  s
1
 Bk( n )  Bk( n ) F2  F2

1
 f ; x   f ( x)  H  ( n) 1
( n)
 Bk F1  F1  Bk F0  F0

1





1 
elde edilir. Burada H  maks H1  H3 H 4 , B  H 2  H3 H5   H 3 H 4  olup (5.2) ve
(5.7) nedeniyle
lim sup sup Bk( n )  f ; x   f ( x)  0 , (n' e göre düzgün)
k
f
1
1 x  s
elde edilir. Böylece Lemma 5.2' den L j  , C1 üzerinde bir toplam süreci olur. Yani
her f  C1 için
lim Bk( n ) f  f
k
2
 0 , (n' e göre düzgün)
gerçeklenir.
33
6. YAKINSAKLIK ORANI
Bu bölümde Teorem 5.3 de verilen yakınsamanın ağırlıklı süreklilik modülü
yardımıyla oranı incelenmiştir.
Burada 1 ağırlık fonksiyonu IR üzerinde 1 ( x)  1  x 2 olarak kabul edeceğiz.
Aşağıdaki Lemma 6.1, Teorem 5.3 de verilen lineer pozitif operatörlerin dizisi için
yakınsaklık oranını verir.
 
Lemma 6.1 A  A n negatif olmayan sonsuz matrislerin bir dizisi olsun ve
C uzayını
1
B
L  ,
j
uzayına dönüştüren ve (2.1.2) koşulunu sağlayan lineer pozitif
2
operatörlerin dizisi olsun. Ayrıca
(4.1.1)
ve
(5.2)
koşulunu sağlasın.
 x (t )   t  x  ve Fo (t )  1 olmak üzere her bir j için L j x  C ve L j Fo  C
2
1
olsun. Bu durumda  k( n ) 
Bk( n )  x 
1
1
ve H, s ye bağlı sabit olmak üzere herhangi
bir s  0 ve k , n  N için,


sup sup Bk( n )  f ; x   f ( x)  H  sup   f ;  k( n )   Bk( n ) Fo  Fo
1
f  1 x  s
 f 1 1
1




1


(6.1)
eşitsizliği gerçeklenir.
İspat. k , n  N için Bk( n ) operatörleri pozitif ve lineer olduğundan herhangi bir
  0 için,
Bk( n)  f ; x   f ( x)  Bk( n)  f (t )  f ( x) ; x   f  x  Bk( n) 1; x   1
 Bk( n)  f (t )  f ( x) ; x   f ( x) Bk( n)  Fo ; x   Fo ( x)

  tx
 Bk( n )  1 ( x)  f ,

1



34
 
(n)
 ; x   f ( x) Bk  Fo ; x   Fo ( x)
 
(6.2)
 1 ( x)
1

tx  
(n)
 ; x   f ( x) Bk  Fo ; x   Fo  x 


 
 f ,   Bk( n) 1  

  t  x 2 
(n)
f
,

B
  k 1  2 ; x   f ( x) Bk( n)  Fo ; x   Fo  x 
1



 1 ( x)
 1 ( x)
1
 f ,    Bk( n)  1; x  

 f ( x) B
(n)
k

Bk( n )  x ; x  


1
2
 Fo ; x   Fo  x 
(6.2) eşitsizliğinden herhangi bir s  0 ve k , n  N için
H1  H1 (s)  sup 1 ( x)  1  s 2 ve H 2  H 2 ( s)  sup
x s
x s
sup sup Bk( n )  f ; x   f ( x)  H12 sup 
f

1 x  s
f
1
1

1
 f , x
Bk( n )
f ( x)
1 ( x)
olmak üzere,
C  B
1
1
1
 H12 sup 
f

1
1
 f , 
1
 H 2 Bk( n ) Fo  Fo
gerçeklenir. Hipotezden
1

2
Bk( n )  x 
(6.3)
1
k , n  N için
Bk( n )
C  B
1
   k( n ) 
Bk( n )  x 
1
1
 M olup son eşitlikte
1
alınırsa H  maks 1  M  H12 , H 2  olmak üzere


sup sup Bk( n )  f ; x   f ( x)  H  sup   f ,  k( n )   Bk( n ) Fo  Fo
1
f  1 x  s

1
 f 1 1



1


gerçeklenir. Artık aşağıdaki yaklaşım teoremini verebiliriz.
Teorem 6.2 A   A( n )  ve
L 
j
Lemma 5.2 deki gibi tanımlansın. 1 ve  2
ağırlık fonksiyonları da (4.1.1) koşulunu gerçeklesin.  x (t )   t  x 
olmak üzere her j için L j x  C1 ve L j Fo  C olsun. Eğer,
1
i ) lim Bk( n ) F0  F0
k
0
 0 , (n' e göre düzgün )
35
2
ve Fo (t )  1


(n) 

ii ) lim sup 1  f ,  k   0 , (n' e göre düzgün )

k 
 f 1


 1

ise f  C için,
1
lim Bk( n ) f  f
k
2
 0 , (n' e göre düzgün )
gerçeklenir.
İspat. (6.1) eşitsizliği, i ve ii hipotezleri nedeniyle
lim sup sup Bk( n )  f ; x   f ( x)  0 , (n' e göre düzgün )
k
f 1 x s
1
sağlanır. Lemma 5.2 nedeniyle
L  , C
j
1
tamamlanır.
36
üzerinde bir A- Toplam süreci olup ispat
7. KAYNAKLAR
Altomare, F. and Campiti, M. 1994. Korovkin type Approximation Theory and its
Application, Walter de Gruyter Publ. , Berlin, Germany.
Atlıhan, Ö. G. and Orhan, C. 2007. Matrix Summability and Positive Linear
Operators. Positivity. 11; 387-398.
Atlıhan, Ö. G. and Orhan, C. 2008. Summation Process of and Positive Linear
Operators. Computers and Math with Appl. 56;1188-1195
Bohman, H. 1952. On approximation of continuous and analytic functions. Ark.
Mat. , 2; 43-56.
Boos, J., 2000. Classical and Modern Methods in Summability. Oxford
Mathematical Monographs, Oxford Science Publ., London.
Gadjiev A.D, 1976. Theorems of the type of P.P. Korovkin’s theorems. Mat.
Zametki, 20; 781-786.
Gadjiev, A. D. and Orhan, C. 2002. Some approximation theorems via statistical
convergence. Rocky Mountain J. Math. , 32 (1); 129- 137.
Hacıyev, A. ve Hacısalihoğlu, H. H., 1995. Lineer Pozitif Operator Dizilerinin
Yakınsaklığı. Ankara Üniversitesi Yayınları.
Hardy, G. H. 1949. Divergent Series. Oxford Univ. Press, London.
King, J. P. and Swetits, J. J., 1970. Positive linear operators and summability. J.
Austral. Math. Soc., 11; 281-290.
Korovkin, P. P., 1953. On convergence of linear positive operators in the space of
continuos functions. Doklady Akad. Nauk SSSR. 90; 961-964.
Korovkin, P. P., 1960. Linear Operators and Theory of Approximation. Hindustan
publ. Co., Delhi.
Liu Y. and Cao F. 2011. Approximation Theorems by Positive Linear Operators in
Weigghted Spaces. Positivity 15, no:1,87-103.
Lorentz, G. G., 1948. A contribution to the theory of divergent sequences. Acta
Math., 80; 167-190.
Maddox, I. J., 1978. A new type of convergence. Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 83;
61-64.
37
Mohapatra, R. N., 1977. Quantitative results on almost convergence of a
sequence of positive linear operators. J. Approx. Theory. 20; 239250.
Nishishiraho, T., 1981. Quantitative theorems on linear approximation processes
of convolution operators in Banach spaces. Tohoku Math. J., 33;
109-126.
Nishishiraho, T., 1983. Convergence of positive linear approximation process.
Tohoku Math. J., 35; 441-458.
Stieglitz, M., 1973: Eine verallgenmeinerung des begriftts festkonver-genz.
Japonica, 18; 53-70
38
Math.
8. ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı
: DENİZ KOÇ
Doğum Yeri ve Tarihi
: ŞİŞLİ / 12.06.1989
Lisans Üniversite
: PAMUKKALE
Elektronik posta
: [email protected]
İletişim Adresi
: Gazi Mah.Toki Konutları Kat:3 No:13
Kepez/ ANTALYA
39