DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODEL KURMA SORULARI 1. Renk

DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODEL KURMA SORULARI
1. Renk Ltd. Şti., M1 ve M2 hammaddelerinin karışımından elde edilen iç ve dış duvar boyaları üretmektedir.
Aşağıdaki tabloda problemin temel verileri sunulmuştur.
M1 hammaddesi
M2 hammaddesi
Ton başına kar (1000 pb)
Ton başına hammadde miktarı Günlük maksimum kullanılabilirlik (ton)
(ton)
Dış boyada
İç boyada
6
4
24
1
2
6
5
4
Ayrıca yapılan bir Pazar araştırmasında da, günlük iç boya talebinin en çok 2 ton olduğu belirlenmiştir. Yine aynı
araştırmadan günlük iç boya talebinin, günlük dış boya talebinden fazla olduğu ve bu fazlalığın günde en çok 1 ton
olduğu saptanmıştır. Renk Ltd. Şti., günlük karını maksimum kılacak şekilde, dış ve iç boyanın optimum üretim
miktarlarını belirlemek istemektedir.
DP modeli bir YA problemi olarak düşünüldüğünde üç temel elemanı olacaktır:
1. Belirlenecek karar değişkenleri
2. Optimum kılacağımız amaç (hedef)
3. İçinde bulunduğumuz kısıtlar
Renk Ltd. Şti. için üretilecek iç ve dış boya miktarlarının belirlenmesi gerekir. Modelin değişkenleri
𝑥1 : dış boyanın günlük üretim miktarı (ton)
𝑥2 : iç boyanın günlük üretim miktarı (ton)
Renk Ltd. Şti. için mantıklı bir amaç, iç ve dış boyadan elde edilecek günlük karı maksimum kılmaktır.
𝑧 = max 𝑓(𝑥) = 5𝑥1 + 4𝑥2
Hammadde ve taleple ilgili olarak içinde bulunulan duruma ait kısıtlar:
6𝑥1 + 4𝑥2 ≤ 24
𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 6
𝑥2 ≤ 2
−𝑥1 + 𝑥2 ≤ 1
𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0
2. Bir çiftçinin buğday, mısır ve arpa ürünlerinin ekimi için 300 hektarlık arazisi vardır. Çiftçi hektar başına buğdaydan
150 TL, mısırdan 220 TL ve arpadan da 180 TL kar etmektedir. İşgücü yönünden durum ele alındığında buğday
için 150 hektardan ve arpa ekimi için 120 hektardan daha fazla yer ayıramamaktadır. Verimlilik yönünden ise en az
80 hektar buğday için yer ayırmalı ve mısır ekimi için arazinin % 30’dan fazlası ayrılmamalıdır. Çiftçi karını en
büyüklemek için hangi ürüne ne kadar yer ayırmalıdır.
3. Doğrusal programlamanın en önemli uygulamalarından biri de, en az masrafla en iyi gıdayı elde edebilmek için
besinlerin optimal karışımının incelenmesinde kullanılmasıdır. Her karışımın besin değeri bilinmektedir. Modeldeki
sınırlamanın şunları içermesi gerekmektedir:
1. Hayvanların günlük gıda ihtiyacı
2. Fiziksel veya besin değeri sınırlamaları (örneğin besin karışımı veya doyma sınırı gibi)
Amaç fiziksel ve besin değeri sınırlarını dikkate alarak verilen besin karışımının fiyatını düşürmektir. Bir
pişirimlik diyet için günlük besin karışımının 100 pound ağırlığında olacağını kabul edelim. Bu diyet,
1. en az % 0.8, en çok %1.2 kalsiyum içermeli
2. en az %22 protein içermeli
3. en çok %5 ham lif içermeli
Temel karışımların ise kireç taşı (kalsiyum karbonat), mısır ve soya fasulyesi yemeği olduğunu kabul edelim.
Bu karışımların besin değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.
karışım
kireç taşı (kalsiyum karbonat)
mısır
soya fasulyesi
karışımın her poundu için
kalsiyum protein fiber(lif)
0.380
0.00
0.00
0.001
0.09
0.02
0.002
0.50
0.08
fiyat($/pound)
0.0164
0.0463
0.1250
Verilen bilgileri en iyi kullanacak uygun bir amaç fonksiyonu seçerek problemi bir DP modeliyle formüle
ediniz.
4. Üç farklı tip ve büyüklükte uçağın, dört rotaya tahsisi söz konusudur. Aşağıdaki tablo her bir uçak tipinin
kapasitesinin (yolcu koltuğu) ve her bir tipten kaç adet bulunduğunu, verilen rotada her bir uçağın kaç adet uçuş
yapabileceğini ve her bir rotada günlük beklenen yolcu sayısını göstermektedir.
Uçak tipi Kapasite Uçak sayısı
1
50
5
2
30
8
3
20
10
Günlük müşteri sayısı
Rotalardaki günlük uçuş sayıları
1
2
3
4
3
2
2
1
4
3
3
2
5
5
4
2
1000
2000
900
1200
Farklı rotalardaki her uçuş için işletme maliyetleri ile beraber servisi yapılamayan müşterilerin ceza maliyetleri (kar
kaybı) aşağıdaki tabloda özetlenmiştir.
Her bir rota için işletme maliyeti
Uçak tipi
1.rota 2. rota 3. rota 4.rota
1000
1100
1200
1800
1
800
900
1000
1000
2
600
800
800
900
3
50
45
70
Müşteri başına ceza maliyeti 40
Sistemin toplam maliyetini minimize etmek için hangi uçakların, hangi rotaya verileceğini bulan doğrusal programlama
(DP) modelini kurunuz.
5. High-Dec firması, içinde dirençler, kondansatörler ve chipler olan iki farklı elektronik alet üretmektedir. Aşağıdaki
tabloda bu durumla ilgi veriler özetlenmiştir. Buna göre doğrusal programlama (DP) modelini kurunuz.
Birim başına kaynak ihtiyacı
Model 1 (birim) Model 2 (birim)
Kaynaklar
Direnç
2
3
Kondansatör 2
1
Chip
0
4
Birim kar ($) 3
4
Maksimum kullanım (adet)
1200
1000
800
6. Büyük bir gıda imalatçısı ürettiği yeni ürünün pazarlanması için bir reklam kampanyası planlamaktadır. Firmanın
beklentisi kampanya vasıtasıyla satışların artmasıdır. Önceden belirlenmiş reklam bütçesini 50.000$ olarak sabit
tutarken maksimum sayıda müşteriye ulaşmayı istemektedir. Firmanın reklam ajansı kampanya esnasında iki TV
kanalı, iki günlük gazete, iki haftalık magazin ve bir radyo istasyonu ile çalışmayı teklif etmiştir. Reklam ajansının
araştırma bölümü her bir reklamın maliyetini dikkatlice tahmin etmiş ulaşılacak potansiyel müşteri sayısı ve yüksek
gelir sahibi potansiyel müşteri sayılarını aşağıdaki şekilde belirlemiştir. 30 saniyelik televizyon spotu bir birim
olarak alınır ve PT (prime time) ve nonPT (non prime time) reklamları maliyet ve ulaşılabilirlik bakımdan farklılık
gösterdiklerinden farklı işlem görürler. Ajansın teklifi kampanya sırasında en az 2.000.000 yüksek gelir sahibi
potansiyel müşteriye ulaşmaktır. Televizyon reklamlarına en fazla 30.000$ ve yazılı medyaya da 20.000$ harcamak
istemektedir. Dahası yönetici her TV kanalına ve her gazeteye bu işletmelerle iyi ilişkilerini sürdürmek için en az
iki reklam vermek istemektedir. Diğer taraftan kampanya süresi 3 hafta olduğundan her bir magazinde en fazla 3
reklam yer alabilir.
Verilen problemi bir doğrusal programlama problemi olarak formüle ediniz.
Medya Her bir reklamın Ulaşılabilecek potansiyel Ulaşılabilecek yüksek gelir sahibi
tipi
maliyeti
müşteri sayısı
potansiyel müşteri sayısı
TV1 (PT)
3000 $
5.000.000
75.000
TV1
2000 $
3.000.000
60.000
TV2 (PT)
2700 $
4.000.000
100.000
TV2
1800 $
2.500.000
75.000
Radyo
500 $
400.000
24.000
Gazete 1
1600 $
2.300.000
50.000
Gazete 2
1200 $
1.300.000
49.000
Magazin1
750 $
500.000
60.000
Magazin2
700 $
600.000
55.000
7. Bir üretim tesisi iki temel işlem (torna ve matkap) kullanarak 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 , 𝑥5 gibi 5 mamul üretmektedir. Bu
operasyonlar yoluyla herbir ürünün birim işlem zamanları ve firmaya olan kârlılığı aşağıdaki tabloda gösterilmiştir.
İmal edilen bütün mamüllerin satılabildiği ve hammadde maliyetleri ve diğer işlem/imalat masraflarının
hesaplanabildiği varsayılmaktadır.
Torna
(dak/birim)
Matkap
(dak/birim)
Kâr $/birim
x1
x2
x3
x4
x5
12
20
-
25
15
10
8
16
-
-
55
60
35
40
20
Bundan başka imal edilen her birim 20 adam-dakikalık montaj süresine ihtiyaç göstermektedir. Torna ve matkap
bölümleri haftada 6 gün ve 8 saatlik iki vardiya halinde faal iken tesiste 3 torna ve 2 matkap vardır. Montaj hattında
haftanın 6 günü 8 saatlik tek vardiyada çalışan 8 işçi vardır. Bu problemi bir doğrusal programlama problemi olarak
formüle ediniz.
8. Bushville şehri üç okul bölgesi içermektedir. Azınlık ve azınlık olmayan öğrenci sayıları aşağıda Tablo 1'de
verilmiştir. Bütün öğrencilerin % 25'i (200/800) azınlıklara mensuptur. Bölgesel mahkeme her bir kasabanın iki
lisesinin (Cooley High and Walt Whitman High) yaklaşık olarak aynı oranda (± %5 farkla) azınlığa mensup öğrenci
ihtiva etmesini şart koşmuştur. Okul bölgeleri ile liseler arasındaki mesafeler (mil olarak) aşağıda Tablo 2'de
verilmiştir. Her bir lise 300-500 arası öğrenci kayıt etmelidir. Öğrencilerin okula gitmek için katedeceği mesafeyi
minimize edecek şekilde okullara öğrenci tahsisini bir lineer programlama problemi olarak formüle ediniz.
Bölge
Azınlık
öğrenciler
Azınlık olmayan
öğrenciler
Bölge
Cooley
High
1
2
3
50
50
100
Tablo 1
200
250
150
1
2
3
1
2
1
Walt
Whitman
High
2
1
1
Tablo 2
9. Kuşgözü Emlakçılık A.Ş.’nin Bolu Dağlarında, göl manzaralı bakir bir alanda 800 dönümlük bir arazisi vardır.
Geçmişte göl kıyısına tek tük evler yapılırken dikkat edilmeyen çevre koşulları, ev sayısı arttıkça bozulmaya
başlamış ve bölge yöneticilerini birtakım önlemler almaya zorlamıştır. Eskiden yapılmış evlerin fosseptiğinin
olmaması, kanalizasyonunun kötülüğü gibi çevre sağlığını bozan faktörler bu önlemler içinde değerlendirilmiştir.
Örneğin, su kalitesindeki bozukluğun önüne geçmek için geleceğe yönelik bazı sert önlemler uygulamaya
konmuştur. Buna göre,
1. Sadece müstakil, dubleks ve tripleks evlere iskan izni verilecektir. Bir haneli müstakil evler toplamın %50’sini
oluşturacaktır.
2. Fosseptik çukuru sayısını sınırlandırmak amacıyla bir haneli müstakil evlerin en az 2 dönüm, dubleks evlerin
en az 3 dönüm, tripleks evlerin de en az 4 dönümlük arazi parçasına sahip olması şart koşulmuştur.
3. Her biri 1 dönüm olan eğlence ve dinlenme alanları 200 aile başına 1 adet olarak belirlenmiştir.
4. Göldeki ekolojik dengeyi korumak için yer altı suları ev ve bahçe kullanımına sunulmayacaktır.
Emlak firmasının yönetimi, şirketin sahip olduğu 800 dönümlük arazinin kullanım olanaklarını araştırmaktadır.
Firmanın burada kurmayı düşündüğü sitede müstakil, dubleks ve tripleks tipte evlerden oluşacak ve toplam arazinin
%15’i cadde, yol ve diğer kullanım alanları için ayrılacaktır. Bundan başka, farklı tip evlerin getirilerinin de farklı olması
amaçlanmıştır. Bu getiriler bir tablo halinde aşağıda verilmiştir.
Ev tipi
Müstakil Dubleks Tripleks
Ev başına net getiri (pb) 10000
12000
15000
Su getirmenin maliyeti ise yapılacak ev sayısıyla orantılıdır. Bununla birlikte, ilçe yönetimi projenin ekonomik
olabilmesi için minimum 100000 pb’lik bir bağlantı olması şartını da koşmaktadır. Bunlardan başka, su harcaması gün
başına en çok 200000 kg ile sınırlandırılmıştır. Aşağıdaki veriler her bir ailenin ortalama su tüketimine ait varsayımlara,
hem de su getirme maliyetlerine aittir:
Ev tipi
Müstakil Dubleks Tripleks Dinlenme alanı
Birim başına su getirme maliyeti (bp) 1000
1200
1400
800
Birim başına su tüketimi (kg/gün)
400
600
840
450
Verilen problemi bir doğrusal programlama problemi olarak formüle ediniz.
10. A ve B alaşımları dört farklı metalden aşağıdaki özelliklerle oluşmaktadır.
Alaşım Özellik
A
En fazla %80 1. metal
En fazla %30 2. metal
En fazla %50 4. metal
B
%40 ile %60 arası 2. metal
En az %30 3. metal
En fazla %70 4. metal
Dört metal de üç farklı maden filizinden çıkartılmaktadır. Bu metallerdeki bileşim yüzdeleri, mümkün olan maksimum
miktarları ve ton başına maliyet aşağıdaki tabloda verilmiştir.
Maden filizi
1
2
3
Maksimum miktar
1000
2000
3000
1
20
10
5
2
10
20
5
3
30
30
70
4
30
30
20
diğerleri
10
10
0
Fiyat ($/ton)
30
40
50
Ton başına alaşımların (A ve B) satış fiyatları sırasıyla 200$ ve 300$’dır. Verilen bilgileri en kullanacak uygun bir amaç
fonksiyonu seçerek problemi DP modeliyle formüle ediniz.
11. 24 saat açık olan bir kafeteryada aşağıdaki sayıda garson kıza ihtiyaç vardır.
Günün saatleri
2-6 6-10 10-14 14-18 18-22 22-2
Minimum garson sayısı 4
8
10
7
12
4
Her bir garson işe başladığı andan itibaren 8 saat çalışacaktır. Amaç yukarıdaki ihtiyacı karşılayacak minimum
sayıyı bulmaktır. Problemi bir doğrusal programlama problemi olarak formüle ediniz
KAYNAK: TAHA, A. Hamdy, Yöneylem Araştırması, Literatür Yayınları, 2009.