hmc_ders5_16

Geçen hafta ne yapmıştık
2. Dereceden, lineer, fark denklemleri, özdeğer problemi, özdeğerler, özvektörler, özdeğerlere
bakarak sistemin davranışını öngörme, norm, lineer olmayan dinamik sistemler için bir fark denklemi
örneği.
Hatırlatma
xn1  Axn , x0 , x  R n (**)
(**) sistemi için:
Tanım:
i  1,2,..., n
 i  1 Çözüm sıfıra yaklaşıyor
lim xk  0
Herhangi bir
i  1
i için
k 
Çözüm büyüyor, sonsuza gidiyor
lim xk  
jω
k 
σ
özdeğerler birim dairenin içinde ve üstünde ise
çözümler sıfıra yakınsar veya salınır.
V vektör uzayı olmak üzere, aşağıdaki dört özelliği
sağlayan fonksiyon . : V  R normdur
x 0
x 0  x0
x   x
x y  x  y
Bu hafta lineer olmayan dinamik sistemler için neler yapılabilir incelemeden önce bazı
önbilgiler verilecek.
Buraya bakınca türev neye ilişkin
bilgi de veriyor?
Önbilgi:
Tanım:
Türev
df
f ( x  x)  f ( x)
 f ( x) ˆ lim
dx
x
x 0
Tanım: Sabit nokta (fixed point)
Fark denkleminin zamanla değişmeyen çözümüne,
fark denkleminin sabit noktası denir.
Bu çözümü nasıl belirleriz?
xn1  f ( xn )
x*  f ( x* )
F ( x* )  x*  f ( x* )  0
cebrik denkleminin çözümü ile sabit
nokta belirlenecek.
https://en.wikipedia.org/wiki/Fixed_point_(mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Derivative
Hatırlatma Baz vektörleri
 a11   a12   a1n  
 b1 

b 
  a   a 
a
21   22 
2n  
 2   gergi


,
,...,


 ... 





...
...
...


 





am1  am2  am n  
bm 


R3 için bir baz vektörü kümesi nedir?
1 0 0 
 x1 
 x   gergi0, 1, 0 
      
 2
0 0 1 
 x3 
      
R3 için bir başka baz vektörü kümesi:
1 0 0 
 x1 
 x   gergi1, 1, 0 
      
 2
0 0 1 
 x3 
      
3. Ders 2. yansı
R3’de herhangi bir vektörü bu
baz vektörleri cinsinden ifade edelim
 2
1 0 0
3  20  31  40
     
Kaç tane baz vektörü  
4
0 0 1
kümesi vardır?
 2
1 0 0
3  21  11  40
 
     
4
0 0 1
Rn için belirlenmiş bir baz vektörü kümesinde kaç tane vektör vardır?
Kaç tane baz vektörü kümesi belirleyebiliriz?
Önbilgiye devam:
Elemanları sürekli fonksiyonlar olan bir vektör uzayının boyutu
 ‘dur.
Bir baz vektörü kümeside polinomlardır.
p1 ( x)  x 2  1, p2(x)  x 5  ax3  1, p3(x)  x 4  x 3  b
Bir baz vektörü kümesi olmak için lineer bağımsız ve uzayı geriyor olmaları gerek bu iki
koşuluda sağlıyorlar.
Herhangi bir sürekli fonksiyonu polinomlar cinsinden yazmak için katsayılarıda belirlememiz
gerek, Taylor serisine açılım katsayıları nasıl belirleyeceğimiz bilgisini verir.
1
f ( x) x  x ( x  xa ) 2  ...
a
a
a
2
Elemanları fonksiyonlar olan bir vektör ile belirtilseydi f (x ) bağıntısı, nasıl Taylor serisine
açabiliriz?
f1  Jacobien matris
 f1 f1
...
 x
x2
xn 
1
 f1 ( x1 , x2 ,..., xn )   f1 ( x1 , x2 ,..., xn ) 


 f ( x , x ,..., x )   f ( x , x ,..., x ) 
 f 2 f 2 ... f 2 
n   2 1 2
n 
 2 1 2

  x1 x2
( x  xa )  ...
xn 




...
...


...

 



f
(
x
,
x
,...,
x
)
f
(
x
,
x
,...,
x
)

f

f

f
n   n 1 2
n  x x
 n 1 2
n
n
 n
a
...
 x1 x2
xn 
x  xa
f ( x)  f ( x) x  x  f ( x) x  x ( x  xa ) 
Bu haftanın konusu:
Lineer olan sistemler için davranışın nasıl olacağına dair bilgiyi özdeğerlere bakarak
edinebiliyoruz. Lineer olmayan sistemler için de böyle bir bilgiden yararlanmanın yolu var mı
acaba?
Lineerleştirme: Sistemin davranışını kritik bazı yerlerde kabaca lineer eşdeğeri ile
inceleyebiliriz.
Nerelerde?
Nasıl elde ederiz
Örneğimize dönersek:
xn1  rxn (1  xn )  xn
Önce sabit noktaları belirleyelim:
x*  rx* (1  x* )  x*
MATLAB ile nasıl yaparız?
İlk değer 0.1 olarak
değiştirilirse
x = -9.6159e-07
degerf =-9.6159e-07
x = 0.3333
degerf =-7.7458e-09
Denge noktaları civarında lineerleştirelim:
f ( x)  rx(1  x)  x
df
 r  1  2rx
dx
df
 r  1  2rx*
dx x x
*
Lineer eşdeğer:


xn1  (r  1)  2rx* xn
Sabit bir sayı
Böylece sistem daha önceden incelediğimiz
sisteme dönüştü
xn 1  axn , x0 , x  R
MATLAB’de lineerleştirip davranışını iki farklı
sabit nokta civarında inceleyelim
Üçüncü ders 4. yansı
Asıl sistem nasıldı?
xn1  rxn (1  xn )  xn
r=3 için 0 ve 0.33 olarak belirlenmiş denge
noktası civarında sistemin dinamik davranışı
%%%%logistic fark denklemini lineerleştirelim%%%
clear all
%%%%%%%%%%%%%%parametreler%%%%%
%%%fonksiyon için%%%
r=3;
%%%%sabit noktaları bulalım%%%%
Daha önce yaptığımız gibi ama
for k=1:10
[x, degerf]= fsolve(@(x) F_logistic_fark(x,r), 0.1+0.01*k);
Bu sefer ilk değerde farklılık var
cozumler_v(k)=[x];
Sizce for döngüsünü neden koyduk?
if cozumler_v(k)~=cozumler_v(1)
yeni_cozum=cozumler_v(k);
else
Bu if döngüsü ne yapmakta?
ilk_cozum=cozumler_v(1);
end
end
if yeni_cozum<0.1*10^-3
yeni_cozum=round(yeni_cozum);
else
yeni_cozum=yeni_cozum;
end
Bu if döngüleri ne yapmakta?
if ilk_cozum<0.1*10^-3
ilk_cozum=round(ilk_cozum);
else
ilk_cozum=ilk_cozum;
end
x1=ilk_cozum
x1 =
x2=yeni_cozum
Bu sonuçları «command window»’da göreceğiz
0
x2 =
0.3333
%%%%lineerleştirelim
Burada ne olmakta?
syms x
f_fonksiyon(x)=(F_logistic_fark(x,r)+x)
Bu sonuçlarıda «command window»’da göreceğiz
df_fonksiyon=diff(f_fonksiyon,x)
%%%%%lineer eşdeğer%%%%
if df_fonksiyon(x1)<0.1*10^-3
f_fonksiyon(x) =
f_lineer_x1=round(df_fonksiyon(x1));
else
- x - 3*x*(x - 1)
f_lineer_x1=df_fonksiyon(x1);
end
df_fonksiyon(x) =
Bu if döngüleri ne yapmakta?
if df_fonksiyon(x2)<0.1*10^-3
f_lineer_x2=round(df_fonksiyon(x2));
2 - 6*x
else
f_lineer_x2=df_fonksiyon(x2);
end
%%%%%%%çözüm%%%%
%%%%%ilkdeğerler%%%%
x_1=0.1;
x_2=0.1;
%%%%iterasyon sayısı%%%
iterasyon=25;
for k=1:iterasyon
x_1(k+1)=f_lineer_x1*x_1(k);
Bu for döngüsüne yapmakta?
x_2(k+1)=f_lineer_x2*x_2(k);
end
subplot(2,1,1), plot(x_1,'r*'),title('birinci sabit nokta civarýnda zamanla deðiþim'),
xlabel('t'),ylabel('x_1')
subplot(2,1,2), plot(x_2,'*'), title('ikinci sabit nokta civarýnda zamanla deðiþim'),
xlabel('t'),ylabel('x_2')