10. Sunum: Laplace Dönüşümünün Devre Analizine Uygulanması

10.Sunum:
LaplaceDönüşümününDevre
AnalizineUygulanması
Kaynak:TemelMühendislikDevreAnalizi,
J.DavidIRWIN-R.MarkNELMS,Nobel
AkademikYayıncılık
1
LaplaceDevreÇözümleri
•  AşağıdakidevreninanaliziLaplacedönüşümü
kullanılarakgerçekleşSrilebilir.
•  İndüktörünbağlangıçakımdeğerii(0)=0ise,
ise
olur.
2
LaplaceDevreÇözümleri
•  BuifadenintersLaplacedönüşümühesaplanarak
akımınzamandomenindekiifadesieldeedilebilir.
•  Elemandeğerlerininyerineyazılmasıileaşağıdaki
sonuçeldeedilir.
3
DevreElemanModelleri
•  Direnç,kondansatörveindüktörünsdomenindekiifadelerieldeedilerekdevrelerin
analizigerçekleşSrilebilir.
•  Zamandüzlemindedirençiçinakımgerilim
bağın^sıν(t)=Ri(t)şeklindedir.Bubağın^Laplace
dönüşümükullanılaraks-düzlemindeV(s)=RI(s)
şeklindeyazılır.Dolayısıylabirdirençiçinzaman
domenivekarmaşıkfrekans(s)domeni
gösterimleriaşağıdakişekildekigibidir.
4
DevreElemanModelleri
•  Birkondansatörünzamandomenibağın^larışu
biçimdedir.
•  BuifadelerinLaplacedönüşümleriaşağıdaki
gibidir.
•  Dolayısıylakondansatörünzamanvesdomeni
ifadeleriaşağıdakigibidir.
5
DevreElemanModelleri
•  Birindüktöriçingerilim-akımbağın^larıaşağıdaki
gibidir.
•  BuifadelerinLaplacedönüşümleriaşağıdaki
gibidir.
•  Dolayısıylaindüktörüns-domenigösterimi
aşağıdakigibiolur.
6
DevreElemanModelleri
•  ŞekildegösterilenmanyeSkbağlaşımlı
indüktörleringerilim-akımbağın^larıaşağıdaki
gibiyazılabilir.
•  Buifadelerins-domenindekigösterimleri
aşağıdakigibieldeedilir.
7
DevreElemanModelleri
•  DolayısıylamanyeSkbağlaşımlıindüktörlerin
gösterimiaşağıdakişekildegösterildiğigibiolur.
•  Bağımlıvebağımsızgerilimveakımkaynaklarının
Laplacedönüşümüaşağıdakigibidir.
8
DevreElemanModelleri
•  ν1(t)=Ai2(t)şeklidekiakımbağımıgerilim
kaynağınınLaplacedönüşümüiseV1(s)=AI2(s)
şeklindeolur.
•  Dönüştürülmüşdevredekigerilimkaynaklarıve
akımkaynakları,kondansatörünveindüktörün
başlangıçkoşullarınınbirsonucudur.Başlangıç
akımınıyönüveyabaşlangıçgerilimininpolaritesi
tersçevrilmişse,dönüşümsonucueldeedilen
devrede,başlangıçkoşullarınedeniyleoluşan
kaynaklardatersçevrilmelidir.
9
DevreElemanModelleri
•  Açıklama:s-domenindeişlemyapılırkengöz
analizi,düğümanalizi,süperpozisyon,kaynak
dönüşümü,TheveninteoremiveNortonteoremi
gibiyöntemlerkullanılabilir.
•  Örnek:Şekildekidevrenins-domenindekieşdeğer
devresinieldeedinizveçıkışgeriliminisvezaman
domenindehesaplayınız.
10
DevreElemanModelleri
11
DevreElemanModelleri
•  Örnek:Şekildekidevrenins-domenindekigöz
denklemleriniyazınız.
12
DevreElemanModelleri
13
DevreElemanModelleri
•  Örnek:Şekildekidevrenins-domenindekidüğüm
denklemleriniyazınız.
14
DevreElemanModelleri
15
DevreElemanModelleri
•  Örnek:Şekildekidevredeν0(t)gerilimini
hesaplayınız.
16
DevreElemanModelleri
17
DevreElemanModelleri
•  Açıklama:s-domenindeişlemyapılırkengöz
analizi,düğümanalizi,süperpozisyon,kaynak
dönüşümü,TheveninteoremiveNorton
teoremigibiyöntemlerkullanılabilir.
18
DevreElemanModelleri
19
DevreElemanModelleri
•  Açıklama:DahaöncekibölümlerdebelirSldiğigibi
devreleringeçicidurumanalizindeLaplace
dönüşümükullanılabilir.
•  Örnek:Aşağıdagösterilendevrenint>0içinçıkış
geriliminihesaplayınız.
20
DevreElemanModelleri
21
TransferFonksiyonu
•  Transferfonksiyonuhesaplanırkentüm
başlangıçkoşullarısıiraayarlanır.Ayrıca
devreninçıkışbüyüklüğübirdenfazlakaynak
taraindanüreSliyorsasüperpozisyontekniği
kullanılarakherbirgirişiçinayrıbirtransfer
fonksiyonuüreSlir.
•  Budurumuincelemekiçindoğrusalbir
devreningiriş/çıkışbağın^sınınaşağıdakigibi
olduğunudüşünelim.
22
TransferFonksiyonu
•  Eğertümbaşlanğıçkoşullarısıirisebudenklemin
Laplacedönüşümüaşağıdakigibieldeedilir.
•  Yo(s)’ninXi(s)’yeoranıH(s)olarakgösterilirve
transferveyadevrefonksiyonuolarakadlandırılır.
•  Yani;veolur.
23
TransferFonksiyonu
•  xi(t)=δ(t)yanibirimdürtüolmasıdurumundaXi(s)=1
olurevdolayısıylaYo(s)=H(s)olur.Birdevrenindürtü
tepkisibiliniyorsabaşkagirişleriçindedevreninçıkışı
kolaylıklahesaplanabilir.
•  Sadecebirenerjidepolayanelamanbulunduranbirinci
mertebedendevrenindoğaltepkisix(t)=Xoe-t/τ
şeklindir.Buradax(t),akımveyagerilimolabilirveXo,
x(t)’ninbaşlangıçkoşuluveτdevreninzamansabiSdir.
•  İkincimertebedenbirdevrenindoğaltepkisiise
karakterisSkdenkleminkökleriilebelirlenir.
KarakterisSkdenkleminyapısıaşağıdakigibidir.
•  Buradaζsönümkatsayısıdırveωosönümsüzdoğal
frekans^r.
24
TransferFonksiyonu
•  Dahaönceaçıklandığıgibibudenkleminköklerinegöre
üçfarklıdurumortayaçıkmaktadır.
•  1.Durum:ζ>1ise,aşırısönümlüdevre(denklemin
köklerigerçelvefarklıdır),
•  2.Durum:ζ<1ise,eksiksönümlüdevre(denklemin
köklerikompleksveeşlenikSr),
•  3.Durum:ζ=1ise,kriSksönümlüdevre(köklergerçel
veaynıdır)olur.
25
TransferFonksiyonu
•  Grafikselformdadevreninkutupvesıirları
karmaşıkdüzlemveyas-düzlemiüzerineyapılan
çizimlerkullanarakgerçekleşSrilebilir.
•  Karmaşıkdüzlemdeyatayeksenσvedüşeyeksen
jω’dır.Buçizimlerdesıirlar0ilekutuplariseXile
gösterilir.Rasyonelbirfonksiyondaaynısayıda
sıirvekutupbulunmaktadır.
•  n>misesonsuzdan-msıirolduğusöylenir.
•  n<misesonsuzdam-nkutupolduğusöylenir.
•  Birdevreninkutupkonumlarının,devrenindoğal
tepkisininasıletkilediğiaşağıdakiçizimlerden
kolaylıklagörülebilir.
26
TransferFonksiyonu
•  İkincimertebedenbirdevreninbuüçfarklıdurumuiçin
kutuplarıvedoğaltepkisiaşağıdakigibidir.
•  Aşırısönümlü
•  Eksiksönümlü
•  KriSksönümlü
27
TransferFonksiyonu
•  Açıklama:Aşağıdaikincimertebedenbir
devreninkarakterisSkdenklemininköklerinin
kompleksdüzlemdeçizimlerigösterilmektedir.
28
TransferFonksiyonu
•  Örnek:Birdevrenindürtütepkisih(t)=e-t
şeklindedir.vi(t)=10e-2tu(t)Vgirişgerilimiiçin
vo(t)çıkışgeriliminihesaplayınız.
29
Kutup-SıirÇizimi/BodeÇizimiBağın^sı
•  YüksekgeçirenRLCfiltresinintransferfonksiyonu
aşağıdakigibidir.
•  Yandakidevrede
gösterilendeğerler
kullanılarakbudenklem
şuşekildeyazılır.
30
Kutup-SıirÇizimi/BodeÇizimiBağın^sı
•  Bufonksiyonunstandartkutupsıirçizimiyandakigibidir.
•  AyrıcaGv(s)genliğininüç
boyutlus-düzlemiçizimisonraki
sayfadagösterilmektedir.
•  Buçizimdens=0içinGv(s)=0ve
s=-1±j2içinGv(s)=∞olduğu
görülebilir.
31
Kutup-SıirÇizimi/BodeÇizimiBağın^sı
32
Kutup-SıirÇizimi/BodeÇizimiBağın^sı
•  Birtransfer
fonksiyonunun
genliğininBode
çizimi,s=jωile
tanımlanan
frekans
düzlemidir.Yani
s’ningerçelkısmı
olanσsıir
alınmaktadır.
•  Yandakişekilde
budurum
görülmektedir.
33
Kutup-SıirÇizimi/BodeÇizimiBağın^sı
•  Yukarıdaçiziminsimetrikolduğugörülür
dolayısıylabilgikaybıolmadanyalnızcapoziSf
frekanslarkullanılabilir.Buçizimindaha
ayrın^lıhaliaşağıdagösterilmektedir.
34
Kutup-SıirÇizimi/BodeÇizimiBağın^sı
•  Buşekildentransferfonksiyonunun
maksimumdeğerinin,karmaşıkkutup
frekansınıngenliğiolanω=√5=2.24rad/s=’de
oluştuğugörülür.
•  BuSpçizimlerdefrekansbirimiolarakrad/s
yerinegenellikleHztercihedilir.Ayrıca
genellikletransferfonksiyonungenliğidB
cinsindeyazılırvefrekansiçinlogaritmikeksen
kullanılır(yukarıdakiçizimlerdefrekansbirimi
olarakrad/sbirimikullanılmış^r).
35
KalıcıDurumTepkisi
•  Birdevrenintamtepkisit=∞içinkaybolangeçici
durumterimlerindenveherzamanmevcutolan
kalıcıdurumterimlerindenoluşur.
•  Birdevreninkalıcıdurumtepkisidoğrudan
hesaplanabilir.
•  Y(s)=H(s)X(s)olarakyazılabildiğidahaönce
açıklanmış^.BuifadedeX(s)girişfonksiyonu
(zorlayanfonksiyon)veH(s)isedevre
fonksiyonudur.
36
KalıcıDurumTepkisi
•  Y(s)tepkisiningeçicidurumkısmıH(s)’nin
kutuplarından,tepkininkalıcıkısmıisegiriş(veya
zorlayan)fonksiyonununkutuplarından
kaynaklanır.
•  x(t)=XMejωoolduğunudüşündüğümüzdey(t)’nin
kalıcıdurumtepkisiaşağıdakiifadeileelde
edilebilir.
•  Girişfonksiyonununbirθfazaçısınasahipolması
durumundaΦ(jωo)’aθeklenirvetepkininfazı
Φ(jωo)+θolur
37