ASAL SAYILAR VE TOPOLOJİ 1. Kısaca Topoloji Bu bölümde

ASAL SAYILAR VE TOPOLOJİ
M. BURÇ KANDEMİR
Özet. Bu makalede, tamsayılar kümesi üzerindeki bir topolojiyi kullanarak asal sayıların sonsuz olduğu gösterilmiştir.
1. Kısaca Topoloji
Bu bölümde kısaca topoloji hakkında bilgi ve gerekli teoremler ispatsız
şekilde verilecektir.
Tanım 1.1. X boştan farklı bir küme ve τ , X’ in altkümelerinin bir ailesi
olsun. Eğer τ ,
(1) ∅, X ∈ τ ,
(2) A, B ∈ τ ⇒
∪ A ∩ B ∈ τ,
(3) A ⊆ τ ⇒ A ∈ τ ,
şartlarını sağlıyorsa, τ ’ ya X kümesi üzerinde bir topoloji denir. (X, τ ) ikilisine topolojik uzay denir. τ ’ nun her elemanına açık küme denir. Tümleyeni
açık olan kümeye de kapalı küme denir.
Kapalı kümeler için aşağıdaki lemma verilir.
Lemma 1.1. Herhangi sonlu sayıdaki kapalı kümelerin birleşimi kapalı ve
herhangi sayıdaki kapalı kümelerin kesişimi kapalıdır.
Boştan faklı X kümesi üzerinde bir topolojik yapı kurmak için, X kümesinin tüm açık altkümelerinin ailesi olan τ ’ yu bilmek gerekir. Oysa, τ ’
yu oluşturan tüm açık altkümeleri gözönüne almaktansa, τ ’ nun tüm elemanlarını belirlemeye yetecek sayıda τ ’ nun açıklarını almak; yani τ ’ nun
bir alt ailesini almak doğal olarak daha kolaydır. Bu düşünceden hareketle
baz tanımı verilir ve aynı zamanda verilen bir küme üzerinde topolojik yapı
kurmanın bir yöntemi verilmiş olur. Dolayısıyla bir topolojik uzay için baz
kavramının tanımı aşağıdaki verildiği gibidir.
Tanım 1.2. (X, τ ) bir topolojik uzay ve X’ in bazı açık altkümelerinin ailesi
B olsun. X’ in her açık altkümesi B’ nin elelmanlarının herhangi bir birleşimi
olarak yazılabiliyorsa, B’ ye (X, τ ) uzayının bir bazı denir.
Baz için çok kullanışlı olan şu aşağıdaki teorem verilir.
Teorem 1.1. (X, τ ) bir topolojik uzay ve B, X’ in altkümelerinin bir ailesi
olsun. Eğer,
∪
(i) B∈B B = X,
1
2
M. BURÇ KANDEMİR
(ii) B’ nin sonlu sayıda elemanın kesişimi yine B’ de ise
B, (X, τ ) topolojik uzayı için bir bazdır.
2. Asal sayılar ve Topoloji
Bu bölümde, öncelikle Z tamsayılar kümesi üzerinde bir topoloji tanımlayacağız. Daha sonra bu topolojiyi kullanarak asal sayıların sonsuz olduğunu
kanıtlayacağız.
2.1. Z üzerinde bir topoloji. Z tamsayılar kümesinin, a, b ∈ Z ve a ̸= 0
olmak üzere
S(a, b) = {a.n + b | n ∈ Z} = a.Z + b
altkümelerini tanımlayalım.
Örneğin, S(3, 5) = {. . . , −1, 2, 5, 8, 11, . . . } şeklindedir.
Buna göre aşağıdaki teoremi verebiliriz.
Teorem 2.1. Z tamsayılar kümesi için,
B = {S(a, b) | a, b ∈ Z, a ̸= 0}
şeklinde tanımlanan küme ailesi Z kümesi üzerinde bir topoloji için bazdır.
Kanıt. Bunu görmek için, Teorem 1.1’ den yararlanalım. Önce (i) şartının
sağlandığını görelim. Eğer a = 1 ve b =∪0 alırsak, S(1, 0) = 1.Z + 0 = Z elde
edilir. Dolayısıyla Z ∈ B’ dir. Böylece B = Z olur.
Şimdi (ii) şartının sağlandığını görelim. A, B ∈ B olsun. Dolayısıyla, a, c ̸=
0 için A = a.Z + b ve B = c.Z + d olacak şekilde a, b, c, d ∈ Z elemanları
vardır. Bu iki kümenin kesişimi A ∩ B = (a.Z + b) ∩ (c.Z + d) şeklindedir.
Burada iki durum söz konusudur. Birincisi obeb(a, c), d − b’ yi bölmüyorsa,
A∩B = ∅’ dır. Buda aşikar durumdur. İkincisi obeb(a, c), d−b’ yi bölüyorsa,
{
}
A ∩ B = okek(a, c).Z + max α | a böler (b + α), c böler (d + α), α ∈ Z+
şeklinde elde edilir. Dolayısıyla A ∩ B ∈ B elde edilir.
Sonuç olarak, Teorem 1.1’ den B ailesi Z üzerindeki bir topoloji için bazdır.
Yukarıdaki teoremden elde edilen bazın ürettiği topoloji,


 ∪

τ=
S(a, b) | M ⊆ Z ∪ {∅}


a,b∈M
ailesidir.
Bu topoloji için aşağıdaki şu iki yorumu yapabiliriz.
(i) Herbir S(a, b) sonsuz eleman içerdiğinden, τ ’ nun her elemanı sonsuz
elemanlıdır.
(ii) Herbir S(a, b)’ nin tümleyeni,
(S(a, b))c = S(a, b + 1) ∪ S(a, b + 2) ∪ · · · ∪ S(a, b + a − 1)
şeklinde olduğundan açık, ve dolayısıyla S(a, b) kapalıdır.
ASAL SAYILAR VE TOPOLOJİ
3
(ii)’ de verilen ifadeye bir örnek verecek olursak, daha önce S(3, 5) =
{. . . , −1, 2, 5, 8, 11, . . . } şeklinde vermiştik.
(S(3, 5))c = {. . . , −3, −2, 0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 14, . . . }
= {. . . , −3, 0, 3, 6, 9, 12, . . . } ∪ {. . . , −2, 1, 4, 7, 10, 14, . . . }
= S(3, 6) ∪ S(3, 7)
şeklinde olur.
2.2. Asal sayılar sonsuzdur. Şimdi yukarıda tanımlanan topolojiyi kullanarak asal sayıların sonsuz sayıda olduğunu gösterelim.
Öncelikle herkes tarafından iyi bilinen ve ilk olarak ispatını Öklit’ in yaptığı aşağıdaki teoremi hatırlayalım.
Teorem 2.2 (Aritmetiğin Temel Teoremi). Her 1’ den büyük doğal sayı
sonlu sayıda asal sayının kuvvetlerinin çarpımı olarak yazılabilir.
Dolayısıyla, “Aritmetiğin Temel Teoremi” nden, −1 ve 1 dışındaki tüm
sayılar, p asal sayı olmak üzere bazı S(p, 0) kümeleri tarafından içerilirler.
Örneğin 15 ∈ S(3, 0) veya 15 ∈ S(5, 0)’ dır. Böylece
∪
(1)
{−1, 1}c =
S(p, 0)
p asal sayı
şeklinde elde edilir.
Artık asal sayıların sonsuz olduğunu kanıtlayabiliriz. Varsayalım ki, asal
sayılar kümesi sonlu olsun. Öyleyse yukarıdaki (1) eşitliğinin sağ tarafı yukarıda yaptığımız yorumun (ii) koşulundan kapalı kümelerin sonlu birleşimi
şeklindedir. Böylece Lemma 1.1’ den bu birleşim kapalıdır. Bu da, {−1, 1}
kümesinin açık olduğunu gösterir. Fakat yukarıda yaptığımız yorumun (i)
koşulunda τ ’ nun her bir elemanı sonsuz eleman içermektedir. Bu bir çelişkidir. Sonuç olarak asal sayılar kümesi sonsuz sayıda eleman içerir.
Kaynaklar
[1] William F. Basener, Topology and Its Applications, John Wiley & Sons Inc., 2006,
pp.342.
[2] Gülhan Aslım, Genel Topoloji, Ege Üniversitesi Fen Fakültesi Yayınları No:109, 1998,
pp.274.
E-mail address, M.B. Kandemir: [email protected]
Muğla Sıtkı Koçman Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, 48000
Muğla, Türkiye