Slide 1 - Ninova

Hatırlatma
1. Mertebeden Lineer Devreler
RTH iC  vC  vTH E.T.B+KGY
dvC
iC  C
 CvC
dt
vC
vTH

vC  

RTH C RTH C
E.T.B+KAY GN vL  iL  iN
diL
 LiL
dt
i
i
iL   L  N
GN L GN L
vL  L
Durum Denklemleri, Kalman (1960)
x  ax  bu,
x(0)  x0
L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York
Hatırlatma
1. Mertebeden Diferansiyel Denklem Çözümü
x  ax
dx
 ax
dt
x(0)  x0
x (t )

C
t
dx
  adt
x
0
Inx (t )  InC  at
x(t )
In
 at
C
x(t )  Ceat
t
x (0)  Cea 0
x(t )  eat x0
x  ax  u
x(0)  x0
varsayım: x(t )  S (t )e at
d
( S (t )e at )  a ( S (t )e at )  u(t)
dt
dS(t) at
at
aS (t )e 
e  aS (t )e at  u(t)
dt
t
dS(t) at
e  u(t)
dt
dS(t)
 e  atu(t)
dt
varsayım: x(t )  S (t )e
at
t
S (t )   e  a u()d  S (0)
0
t
x(t )  S (0)e at   e a (t  )u ( ) d ,
0
0
0
x(0)  S (0)e a 0   e a (t  )u ( )d ,
0
t
x(t )  e at x(0)   e a (t  )u ( ) d
0
t
x(t )  e at x(0)   e a (t  )u ( ) d
öz çözüm
0
zorlanmış çözüm
t
t
Durum Denkemlerinin Elde Edilmesi
I- İki uçlu direnç, endüklenmiş kapasite bağımsız akım ve gerilim
kaynaklarının oluşmuş devrelerde durum denklemlerinin elde edilmesi
Amaç:
x  Ax  Bu
y  Cx  Du ,
x (0)  x0
x  Rn durum değişkenleri - kapasite gerilimleri, endüktans akımları
y  R r çıkış büyüklükleri
- ilgilenilen eleman akımları ve gerilimleri
u  R p giriş büyüklükleri
- bağımsız akım kaynağının akımı ve bağımsız
gerilim kaynaklarının gerilimleri
Yöntem:
1. Adım: Uygun Ağaç Seçimi
a-) gerilim kaynaklarını dal elemanı olarak seçiniz, ağaç
tamamlanmamışsa (b)’ye geçiniz
b-) kapasiteleri dal elemanı olarak seçiniz, ağaç tamamlanmamışsa
(c)’ye geçiniz
c-) dirençleri dal elemanı olarak seçiniz, ağaç tamamlanmamışsa
(d)’ye geçiniz
c-) endüktansları dal elemanı olarak seçiniz
2. Adım: Durum değişkenlerini belirleme
Dallardaki kapasite gerilimleri, kirişlerdeki endüktans akımları
durum değişkenleridir.
Durum değişkenlerini belirleyiniz ve uç denklemlerini yazınız.
C
dvc (t )
 ic (t )
dt
L
3. Adım: Durum denklemlerini yazma
diL (t )
 vL (t )
dt
Lineer bağımsız akım denklemlerini yazınız
(Temel kesitlemelere ilişkin denklemler)
Lineer bağımsız gerilim denklemlerini yazınız
(Temel çevrelere ilişkin denklemler)
Yazdığınız denklemlerden yararlanarak dallardaki kapasitelerin
akımları ile kirişlerdeki endüktansların gerilimlerini, durum
değişkenleri ve girişler cinsinden belirleyiniz.
Hangi devre büyüklüklerine karşı
gelmekteler.
II- Çok uçlu direnç, endüklenmiş kapasite bağımsız akım ve gerilim
kaynaklarının oluşmuş devrelerde durum denklemlerinin elde edilmesi
Yöntem:
1. Adım: Uygun Ağaç Seçimi
Bir önceki durumdaki adımlar atılmadan önce
• Devrede bulunan çok uçluların yazılabilen tüm uç denklemlerini
gözönüne alınız
• Her bir denklem için gerilim büyüklüğüne karşı gelen ucu grafa dal
olarak , akım büyüklüğüne karşı gelen ucu grafa kiriş elemanı olarak
yerleştiriniz.
Bir önceki durumdaki adımları izleyerek ağacı belirleyiniz.
Farklı uç denklemlerinden hangisi daha fazla durum değişkeni veriyorsa o
duruma ilişkin ağacı uygun ağaç olarak seçiniz.
Diğer Adımlar: devrede 2-uçlu direnç elemanı, kapasite,
endüktans ve bağımsız kaynaklar varken ki durum ile aynı
2. Mertebeden Diferansiyel Denklemlerin Çözümü
 x1   a11
 x   a
 2   21
a12   x1   b1 
  u ,



a22   x2  b2 
x  Ax  Bu ,
x(t0 )  x0
x(t0 )  x0
Çözüm, 1. mertebeden diferansiyel denklemlerin çözümlerine benzer
şekilde
x (t )  x (t )  x (t )
T
h
özel
Homojen kısım: x
  Ax,
xh (t )  Set
x(t0 )  x0
 S1  t
  e
 S2 
Set  ASet
S  AS
I  AS  0
detI  A  0
Çözüm Tahmini
belirlememiz gereken kaç
büyüklük var?
sıfırdan farklı çözüm erin
olması nasıl mümkün olur?
2  a  b  0
Karakteristik
Denklem
Karakteristik denklemin kökleri:
1, 2 özdeğerler
Belirlememiz gereken S özvektör
Hangi uzayın elemanı?
O uzaya ait neyi belirlersek
aradığımızı bulmuş oluruz?
1I  AS1  0 1‘e ilişkin özvektör
2 I  AS2  0 2‘e ilişkin özvektör
S1  c1V1
S2  c2V2

1t
xh (t )  e V1

 c1 
 c1 
e V2    M (t )  
c2 
c2 
2t
M (t )
Özel çözüm:
 x1ö zel (t ) 
xözel (t )  

x
(
t
)
 2ö zel 
Tam çözüm:
Temel Matris
Nasıl belirleyeceğiz?
x(t )  M (t )C  xözel (t )
C  M (t0 )1x(t0 )  xözel (t0 )
x(t )  M (t )M 1(t0 )x(t0 )  xözel (t0 )  xözel (t )
x(t0 )  M (t0 )C  xözel (t0 )
x(t )  M (t )M 1(t0 )x(t0 )  xözel (t0 )  xözel (t )
 (t )
Durum Geçiş
Matrisi
x(t )  (t ) x(t0 )  xözel (t )  (t ) xözel (t0 )
x(t )  (t ) x(t0 )  xözel (t )  (t ) xözel (t0 )
öz çözüm
zorlanmış çözüm
t
x(t )  e At x(t0 )   e A(t  ) Bu ( )d
öz çözüm
t0
zorlanmış çözüm