Sayılar Teorisi kitabımızın örnek sayfaları için TIKLAYINIZ

İÇİNDEKİLER
Ön Söz..................................................................................2
Tam Sayılarda Bölünebilme...................................................3
Kongrüanslar.......................................................................13
Primitif (İlkel) Kökler ve İndeksler .........................................26
Genel Tarama Sınavı........................................................... 34
ÖABT Sayılar Teorisi
Primitif (İlkel) Kökler ve İndeksler
Örnek: 7 nin 18 modülüne göre mertebesini bulalım.
Tanım: a, m  Z , m > 1 ve (a, m) = 1 olmak üzere,
n
(18) = (21 . 32) = (21 - 1) . (32 - 31) = 6
a  1 (mod m)
kongrüansını sağlayan en küçük n sayma sayısına
olduğundan 6 nın pozitif tam sayı bölenlerinden biri
a nın m modülüne göre mertebesi denir.
7 nin 18 modülüne göre mertebesi olacaktır. 6 nın
pozitif tam sayı bölenleri 1, 2, 3 ve 6 olduğundan
Örnek: 3 ve 4 ün 5 modülüne göre mertebelerini
1
2
3
6
7 , 7 , 7 ve 7 kuvvetlerine bakmak yeterli olacaktır.
bulalım.
1
7  7 (mod 18)
1
3  3 (mod 5)
2
7  13 (mod 18)
2
3  4 (mod 5)
3
7  1 (mod 18)
3
3  2 (mod 5)
olduğundan 7 nin 18 modülüne göre mertebesi 3 tür.
4
3  1 (mod 5)
Tanım: a, m  Z, m > 1 ve (a, m) = 1 olmak üzere,
olduğundan 3 ün 5 modülüne göre mertebesi 4 tür.
a nın m modülüne göre mertebesi
(m) ise a ya
1
m modülüne göre bir ilkel ( primitif ) kök denir.
2
Örnek: 5 in 7 modülüne göre bir ilkel kök olduğunu
4  4 (mod 5)
4  1 (mod 5)
gösterelim.
olduğundan 4 ün 5 modülüne göre mertebesi 2 dir.
(7) = 7 - 1 = 6
+
Teorem: a, m  Z , m > 1 , (a, m) = 1 , k, n  N ve
1
5  5 (mod 7)
a nın m modülüne göre mertebesi k olsun.
2
n
i) a  1 (mod m)  k  n
5  4 (mod 7)
ii) k (m)
5  6 (mod 7)
3
6
5  1 (mod 7)
5 in 7 modülüne göre mertebesi (7) = 6 ya eşit olduğundan 5 sayısı 7 modülüne göre bir ilkel köktür.
26
ÖABT Sayılar Teorisi
Primitif (İlkel) Kökler ve İndeksler
+
Teorem: a, m  Z , m > 1 , n  N ve a, m modülüUYARI: İlkel kökler her pozitif tam sayı için yoktur.
ne göre bir ilkel kök olsun.
n
Örnek: 8 modülüne göre ilkel kök yoktur. Gerçekten
a in m modülüne göre bir ilkel kök olması için gerek
8 den küçük ve 8 ile aralarında asal olan sayılar
ve yeter şart (n, (m)) = 1 olmasıdır.
1, 3, 5 ve 7 olduğundan
Örnek: 2 sayısı 5 modülüne göre bir ilkel köktür.
1
1  1 (mod 8)
Gerçekten
2
1
3  1 (mod 8)
2  2 (mod 5)
2
2
5  1 (mod 8)
2  4 (mod 5)
2
3
7  1 (mod 8)
2  3 (mod 5)
4
1 in mertebesi 1; 3, 5, 7 nin mertebesi 2 ve (8) = 4
2  1 (mod 5)
olduğundan 8 modülüne göre ilkel kök yoktur.
tir. Burada (3,
NOT: p tek asal, n  Z  olmak üzere, pozitif tam
n
n
sayılardan sadece 2, 4, p , 2p sayıları için ilkel
kök vardır.
(5)) = 1 olduğundan 23 sayısı da 5
modülüne göre bir ilkel köktür.
+
Teorem: a, m  Z , m > 1 , (a, m) = 1 , k, n  N ve
a, m modülüne göre bir ilkel kök olsun.
Örnek: 2 modülüne göre 1 in mertebesi 1 ve  (2) = 1
olduğundan 1 bir ilkel köktür. 4 modülüne göre 3 ün
n
k
i)
a  a (mod m)  n  k (mod (m)) dir.
ii)
a  1 (mod m)  (m) n dir.
mertebesi 2 ve (4) = 2 olduğundan 3 bir ilkel köktür.
n
Teorem: m  Z  olmak üzere, m modülüne göre
2
3
(m)
iii) a, a , a , …., a
ilkel kök varsa birbirine kongrüent olmayan bu ilkel
oluşturur.
köklerin sayısı ((m)) tanedir.
Örnek: (7) = 6
Örnek: 5 modülüne göre ilkel köklerin sayısı
((5)) = (4) = 2 tanedir. Gerçekten bu ilkel kökler
1
3  3 (mod 7)
2 ve 3 tür.
2
3  2 (mod 7)
3
3  6 (mod 7)
27
sayıları bir asal kalan sistemi
ÖABT Sayılar Teorisi
Primitif (İlkel) Kökler ve İndeksler
4
3  4 (mod 7)
NOT: İndeksler, pozitif bir reel sayı ile logaritması
arasındaki bağıntıya benzer birtakım özellikler
gösterir.
5
3  5 (mod 7)
6
3  1 (mod 7)
Teorem: a, m  Z, m > 1, (a, m) = 1 , n  Z  ve g
m modülüne göre bir ilkel kök olsun.
olduğundan 3 sayısı 7 modülüne göre bir ilkel köktür.
9
indg a
i)
g
ii)
a  b (mod m) ise indg a = indg b dir.
 a (mod m)
3
3  3 (mod 7)  9  3 (mod 6)
n
3  1 (mod 7) kongrüansında n = (7) .k olacağın-
iii) indg 1  0 (mod (m))
dan (7) n
indg g  1 (mod (m))
3, 2, 6, 4, 5 ve 1 kalanları 7 modülüne göre asal


kalan sınıfını Z *7  1, 2, 3, 4, 5, 6  oluşturur.
iv) indg (a . b)  indg a + indg b (mod (m))
Tanım: a, m  Z , m > 1, (a, m) = 1 ve g, m modüv)
n
indg a  n . indg a (mod (m))
lüne göre bir ilkel kök olsun.
Örnek: 7 modülüne göre 3, bir ilkel köktür.
k
1  k  (m), g  a (mod m)
1
3  3 (mod 7)
olacak şekildeki en küçük k pozitif tam sayısına
g ilkel köküne göre a nın indeksi denir ve indg a = k
2
3  2 (mod 7)
biçiminde gösterilir.
3
3  6 (mod 7)
Örnek: 5 modülüne göre 3 bir ilkel köktür. Gerçekten
1
4
3  3 (mod 5)
3  4 (mod 7)
2
3  4 (mod 5)
5
3  5 (mod 7)
3
3  2 (mod 5)
6
3  1 (mod 7)
4
3  1 (mod 5)
ind3 1  6, ind3 5 = 5, ind3 4 = 4
olduğundan ind3 1 = 4 , ind3 2 = 3 , ind3 4 = 2 ve
ind3 3 = 1 dir.
ind3 6 = 3, ind3 2 = 2, ind3 3 = 1
28
ÖABT Sayılar Teorisi
Primitif (İlkel) Kökler ve İndeksler
3 ind3 6  6 (mod 7)
Sonuç: a  Z, p tek asal sayı ve (a, p) = 1 olmak
üzere,
4
ind3 2  4 . ind3 2 (mod 6)
2
i)
a
2
 a (mod p) kongrü-
2
 a (mod p) kongrü-
 1 (mod p) ise x
ansının çözümü vardır.
 2 (mod 6 )
ind3 6  ind3 3 + ind3 2 (mod 6)
1
p 1
2
ii)
2
a
p 1
2
1 (mod p) ise x
ansının çözümü yoktur.
 3 (mod 6)
Örnek: 3 sayısı 11 modülüne göre bir kuadratik
+
Tanım: a, m  Z , m > 1 , (a, m) = 1 ve k  N ol-
2
rezidü müdür? Diğer bir ifadeyle x  3 (mod 11)
mak üzere,
kongrüansı çözülebilir midir?
k
x  a (mod m)
10
3 2  3 5  1 (mod 11)
kongrüansının çözümü varsa a ya m modülüne göre
2
olduğundan x  3 (mod 11) kongrüansının çözümü
k. kuvvetten rezidü (kalan) denir.
vardır ve bir çözüm x  6 (mod 11) dir. Dolayısıyla 3
Özel olarak k = 2 ise kuadratik, k = 3 ise kübik ve
sayısı, 11 modülüne göre bir kuadratik rezidüdür.
k = 4 ise bikuadratik rezidü adını alır.
Örnek: 2 sayısı 11 modülüne göre bir kuadratik
Teorem: a  Z, p tek asal sayı ve (a, p) = 1 olmak
rezidü müdür? Diğer bir ifadeyle x  2 (mod 11)
üzere,
kongrüansı çözülebilir midir?
i)
a
p 1
2
2
10
 1 (mod p) ise a, p modülüne göre bir
2 2  25  1 (mod 11)
kuadratik rezidüdür.
olduğundan 2 sayısı 11 modülüne göre bir kuadratik
ii)
a
p 1
2
2
rezidü değildir. Dolayısıyla x  2 (mod 11) kongrüansının
 1 (mod p) ise a, p modülüne göre bir
çözümü yoktur.
kuadratik rezidü değildir.
29
ÖABT Sayılar Teorisi
Primitif (İlkel) Kökler ve İndeksler
2
Örnek: 5 modülüne göre kuadratik ve kuadratik
Örnek: x  2 (mod 7) kongrüansında x  3 (mod 7)
olmayan rezidüleri bulalım.
bir çözüm olduğundan 2 sayısı 7 modülüne göre bir
2
kuadratik rezidüdür. Buradan    1 dir.
7
2
1  1 (mod 5)
2
2  4 (mod 5)
2
x  5 (mod 7) kongrüansının çözümü olmadı2
ğından 5 sayısı 7 modülüne göre bir kuadratik rezidü
2
5
olmayıp    1 dir.
7
3  4 (mod 5)
4  1 (mod 5)
olduğundan
Teorem: a, b  Z, p tek asal, (a, p) = 1 ve (b, p) = 1
2
olsun.
x  1 (mod 5)
2
x  4 (mod 5)
a
i)    a
p
kongrüansları çözümlü
2
x  2 (mod 5)
p1
2
(mod p)
 ab   a   b 
ii)        
 p  p p
2
x  3 (mod 5)
 1
iii)    1
p
kongrüansları çözümlü değildir. Dolayısıyla 5 modülüne göre kuadratik rezidüler 1 ve 4, kuadratik olmayan rezidüler 2 ve 3 tür.
p 1
 1
iv)      1 2
 p
NOT: p tek asal olmak üzere, p modülüne göre
p 1
kuadratik ya da kuadratik olmayan rezidüler
2
tanedir.
 a2
v) 
 p

 1


Tanım: a  Z, p tek asal sayı ve (a, p) = 1 olmak üzere,
a b
vi) a  b (mod p) ise      dir.
p p
 1, p modülüne göre a, kuadratik rezidü ise
a 
   
 p   1,
 p modülüne göre a, kuadratik rezidü değilse
biçiminde tanımlanan
a
 
p
ifadesine Legendre
sembolü denir.
30
ÖABT Sayılar Teorisi
1.
KONU TESTİ
7 nin 11 modülüne göre mertebesi kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
4.
Primitif (İlkel) Kökler ve İndeksler
a, b, m  Z , m > 1 , (a, m) = 1 ve g, m modülüne bir ilkel kök olsun.
E) 10
k
1  k  (m) , g  a (mod m)
olacak şekildeki k pozitif tam sayısına a nın g
ilkel köküne göre indeksi denir ve indga = k biçiminde gösterilir. Buna göre,
ind a
g
I.
g
 a (mod m)
II.
indgg  1 (mod (m))
+
n
III. n  Z , indga  n . indga (mod (m))
yargılarından hangileri doğrudur?
2.
9 modülüne göre mertebesi 3 olan kaç sayı
A) Yalnız I
vardır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
B) Yalnız II
D) I ve III
E) 5
5.
C) I ve II
E) I, II ve III
73 modülüne göre birbirine kongrüent olmayan
kaç tane ilkel kök vardır?
3.
+
a, m  Z , m > 1 , (a, m) = 1 , k, n  N ve a nın
A) 18
B) 20
C) 24
D) 36
E) 72
m modülüne göre mertebesi k olsun.
n
I.
a  1 (mod m)  k n dir.
II.
a  a (mod m)  n  k (mod (m)) dir.
n
III. k =
k
(m) ise a, m modülüne göre bir ilkel
köktür.
Yargılarından hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
D) I ve III
B) Yalnız II
C) I ve II
6.
E) I, II ve III
Aşağıdaki sayılardan hangisinin ilkel kökü vardır?
A) 8
31
B) 9
C) 12
D) 15
E) 24
ÖABT Sayılar Teorisi
7.
KONU TESTİ
Aşağıdakilerden hangisi 18 modülüne göre bir
10. 5 modülüne göre bikuadratik rezidüler kaç ta-
primitif (ilkel) köktür?
A) 2
8.
B) 3
C) 5
nedir?
D) 7
E) 8
A) 0
13 modülüne göre kuadratik rezidüler kaç tane-
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
11. 17 modülüne göre kuadratik olmayan kaç tane
dir?
A) 3
Primitif (İlkel) Kökler ve İndeksler
rezidü vardır?
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
12. 11 modülüne göre kübik olmayan kaç tane
rezidü vardır?
9.
A) 0
7 modülüne göre kübik rezidüler kaç tanedir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
E) 5
32
1. E
2. B
7. C
8. D
CEVAP ANAHTARI
3. E
4. E
5. C
9. B
10. B
11. D
6. B
12. A
ÖABT Sayılar Teorisi
1.
KONU TARAMA SINAVI - 3
11 modülüne göre mertebesi 2 olan kaç sayı
4.
vardır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
101 modülüne göre birbirine kongrüent olmayan
kaç tane ilkel kök vardır?
A) 20
E) 5
5.
Primitif (İlkel) Kökler ve İndeksler
B) 32
C) 40
D) 48
E) 60
a, b, m  Z , m > 1, (a, m) = 1 , (b, m) = 1 ve
a ile b nin m modülüne mertebeleri sırasıyla
k ve n olsun.
I. a . b  1 (mod m) ise k = n dir.
2.
II. Her asal sayı için ilkel kök vardır.
Aşağıdakilerden hangisi 6 modülüne göre bir
III. m modülüne göre İlkel kök varsa bu ilkel
ilkel köktür?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
köklerin sayısı ((m)) tanedir.
E) 5
Yargılarından hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) II ve III
6.
C) I ve II
E) I, II ve III
a, m  Z , m > 1, (a, m) = 1 ve a nın m modülüne göre mertebesi k olsun.
3.
23 modülüne göre kaç tane kuadratik rezidü
4
I. k 4 ise a  1 (mod m) dir.
vardır?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
II. k (m) dir.
E) 14
III. k = (m) ise a, m modülüne göre bir ilkel
köktür.
Yargılarından hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) I ve II
D) II ve III
1. A
33
2. E
C) Yalnız III
E) I, II ve III
CEVAP ANAHTARI
3. B
4. C
5. E
6. E
ÖABT Sayılar Teorisi
1.
GENEL TARAMA SINAVI
4.
a, b, c, d, x, y  Z
I.
a  b ve a  c ise a  bx + yc dir. (a  0)
II.
a  b ve c  d ise ac  bd dir. (a  0, c  0)
50 den küçük tam sayılar içerisinde kaç tane
ikiz asal vardır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
III. a  b ve a + b = c ise a  c dir. (a  0)
Yargılarından hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) II ve III
2.
C) I ve II
E) I, II, ve III
5.
377 ve 493 sayılarının en büyük ortak böleni
Konjüktürü gerçeklenir?
kaçtır?
A) 13
3.
B) 17
C) 19
D) 23
Aşağıdaki sayılardan hangisi için Goldbach
A) 13
E) 29
B) 15
C) 18
D) 21
E) 27
x, y  Z
6.
115x + 95 y = 5
toplamı kaçtır?
olduğuna göre, (x + y) toplamı aşağıdakilerden
A) 3
hangisidir?
A) -2
B) -1
C) 0
İki basamaklı Mersenne asalının rakamları
D) 1
E) 2
34
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
ÖABT Sayılar Teorisi
99
37.
1
99
GENEL TARAMA SINAVI
99
99
+ 2 + 3 + ……. + 100
40. Aşağıda beş lambadan oluşan bir pano gösterilmiştir.
toplamının 99 ile bölümünden elde edilen kalan
kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 49
E) 98
S
K
M
Y
T
Panodaki lambalar sarı (S) lambadan başlayarak soldan sağa doğru kırmızı (K), mavi (M),
yeşil (Y), turuncu (T); turuncu (T) lambadan tekrar sağdan sola doğru devamlı olarak yanıp
sönmektedir. Örneğin lambalar
S - K - M - Y - T - Y - M - K - S - K …..
sırasında yanıp söndüğünden 6. sırada yanıp
sönen lamba Y lambasıdır.
Buna göre, 2015. sırada yanıp sönen lamba
aşağıdakilerden hangisidir?
38. 7 sayı tabanını göstermek üzere,
A) K
B) S
C) M
D) Y
E) T
(123456)7
sayısının 8 ile bölümünden elde edilen kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
9999
41. 11
sayısının 1000 ile bölümünden elde edi-
len kalan kaçtır?
A) 77
B) 91
 3
 7


 
42.
5
C) 143



3




D) 269
E) 371
5....
sayısının birler basamağının alabileceği farklı
değerler çarpımı kaçtır?
39. Z7 de kaç farklı sayının karekökü vardır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
A) 3
B) 6
C) 15
D) 21
E) 24
E) 7
40
1. E
2. E
CEVAP ANAHTARI
3. B
4. C
5. C
8. D
9. E
10. A
15. D
16. C
22. E
23. B
29. A
36. E
6. B
7. D
11. D
12. E
13. D
14. A
17. D
18. B
19. C
20. B
21. B
24. E
25. D
26. D
27. E
28. E
30. C
31. B
32. C
33. C
34. C
35. C
37. B
38. D
39. B
40. C
41. B
42. D