BİRİNCİ AŞAMA DENEME SINAVI 1. Bir kenarortayı 2, diğeri 3 olan

BİRİNCİ AŞAMA DENEME SINAVI
1. Bir kenarortayı 2, diğeri 3 olan bir üçgenin alanı en fazla kaç olabilir?
√
√
A) 2 3
B) 3
C) 3 2
D) 4
E) 6
2. 90’a bölünen ve tam 20 tane pozitif tam böleni bulunan kaç tane pozitif
tam sayı vardır?
A) 12
B) 6
C) 2
D) 1
E) 0
3. {1, 2, 3, . . . , 2004} kümesinin, hiçbir iki elemanının toplamı 3’e bölünmeyen bir alt kümesinin eleman sayısı en fazla kaç olabilir?
A) 668
B) 669
C) 1002
D) 1003
E) 1000
4. a, b, c pozitif gerçel sayılar olmak üzere
√
3
abc +
1 1 1
+ +
a b c
ifadesini alabileceği en küçük değer nedir?
√
√
√
A) 2
B) 3
C) 2 3
D) 3
√
E) 3 2
5. ABCD karesinin [CD] kenarının orta noktası E olsun. Karenin içinde,
[ = m(LBC)
[ = m(BLE)
[ = x olacak şekilde bir L noktası
m(LAB)
alınmıştır. x acısı kaç derecedir?
A) 60
B) 65
C) 70
D) 75
E) 80
6. Her beş ardışık pozitif tam çift sayının çarpımı n’ye bölünüyorsa, n
pozitif tam sayısı en fazla kaç olabilir?
A) 120
B) 240
C) 480
D) 1920
1
E) 3840
7. 40 bilye yaşları en az 1 olan 10 çocuk arasında, her çocuk yaşı kadar
bilye alacak şekilde dağıtıldı. Çocuklar yaşlarına göre gruplara ayrılırsa,
en fazla kaç farklı yaş grubu olacak?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
√
1
8. Her n pozitif tam sayısı için, an = 4n2 + n olmak üzere, an −Jan K <
m
ise, m’nin alabileceği en büyük pozitif tam değer kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
√
9. Yarıçapı 4 3 olan daire, her birinin yarıçapı r olan üç daire ile örtülmüştür. r en az kaç olabilir?
√
√
4 3
A) 2 3
C) 4
D) 5
E) 6
B)
3
10. (m2 + n)(m + n2 ) = (m + n)3 denklemini sağlayan
m 6= 0, n 6= 0 olmak üzere kaç tane (m, n) tam sayı ikilisi bulunur?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 4
E) 8
11. Satranç tahtasının siyah hanelerine 8 dama, tüm damalar farklı satır
ve farklı sütun üzerinde bulunacak şekilde kaç yolla yerleştirilebilir?
A) 288
12.
B) 576
C) 10080
D) 20160
1
5
1
y 2 (1 − z 2 ) =
5
1
z 2 (1 − u2 ) =
5
1
u2 (1 − x2 ) =
5
denklem sisteminin kaç tane çözümü bulunur?
x2 (1 − y 2 ) =
A) 0
B) 1
C) 16
D) 32
2
E) 256
E) 40320
√
13. KP M H yamuğunda (KHkP M ) |M H| = 7 2’dir. K, P, M noktalarından geçen çember KH doğrusunu E noktasında kesiyor.
\
|P E| = 14, m(P
EK) = 45◦ ise, |KH| nedir?
√
√
7 6
D) 14
E) Hiçbiri
C) 7 2
A) 7
B)
2
14. 2xy = z(x2 + y 2 ) denklemini sağlayan (x, y, z) pozitif tam sayı üçlülerinden kaç tanesi x < 10 eşitsizliğini sağlar?
A) 1
B) 2
C) 6
D) 8
E) 9
15. Bir sayı kümesinden alınmış üç elemandan ikisinin toplamı üçüncüye
eşitse, bu üçlüye "iyi üçlü" diyelim. Birbirinden farklı 20 pozitif tam
sayıdan oluşan bir kümede en fazla kaç tane "iyi üçlü" olabilir?
A) 70
16.
B) 90
1
2004−10
+
D) 210
1
2004−9
B) 2004
+1
+ ... +
E) 1330
1
C) 11,5
2004−1
+
1
+
20040 + 1
+1
1
1
1
+ ... +
+
1
9
2004 + 1
2004 + 1 200410 + 1
toplamını bulunuz.
A) 10,5
+1
C) 105
D) 12,5
E) 11
17. ABC ikizkenar üçgeninde (|AB| = |BC|) CD açıortayı çizilmiştir.
CD’ye dik olan ve D noktasında geçen doğru AC’yi E noktasında kesiyor. |AD| = 1 ise, |EC|’yi bulunuz.
√
√
√
3
B) 1
C) 2
A)
D) 3
E) 2
2
18. (n + 1)k − 1 = n! eşitliğini sağlayan kaç tane (n, k) pozitif tam sayı
ikilisi bulunur?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
3
E) 5
19. Her adımda (a, b, c) üçlüsünün yerine (c + 5b, 3c − 5a, 2b − 3a) veya
(2a + 3b, b + 3c, 4c + 2a) üçlüsü alınabilir. Başlangıçta (a, b, c) = (1, 2, 4)
ise, bu işlemlerle aşağıdaki üçlülerden hangisi elde edilebilir?
A) (2001, 2002, 2003)
B) (2002, 2003, 2004)
D) (2004, 2005, 2006)
E) Hiçbiri
C) (2003, 2004, 2005)
1
20. x1 = ve her n ≥ 1 için xn+1 = x2n + xn olarak tanımlanan xn dizisi
3
için
1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
+
x1 + 1 x2 + 1 x3 + 1
x2003 + 1 x2004 + 1
toplamı hangi iki ardışık tam sayı arasındadır?
A) 1 ve 2
B) 2 ve 3
C) 3 ve 4
D) 4 ve 5
E) 5 ve 6
21. ABCD dikdörtgeninin [BC] kenarının orta noktası M , [CD] kenarının
|AB|
’yi bulunuz.
orta noktası N ’dir. m(AN M ) = 90◦ ise,
|BC|
√
√
√
A) 2
B) 3
C) 2
D) 2 2
E) 3
22. Ters yazıldığında değişmeyen (örneğin 20402) ve 101’e bölünen en büyük beş basamaklı pozitif tam sayının basamakları toplamı kaçtır?
A) 34
B) 36
C) 38
D) 42
E) 45
23. Birbirinden farklı 5 pozitif sayıdan oluşan A kümesinin iki elemanı
toplandığında elde edilen sayılar kümesi B olsun. B kümesinin eleman
sayısı kaç farklı sayı olabilir?
A) 1
B) 4
C) 7
D) 10
E) 20
24. a, b, c pozitif gerçel sayılarının çarpımı 1 ise,
a b c
+ + −a−b−c
b c a
ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?
√
√
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) −1
4
25. [AB] ve [CD] tabanlarının uzunlukları sırasıyla 5 ve 1 olan bir yamuk
verilmiştir. M N , AB’ye paralel ve ABN M dörtgeninin alanı CDM N
dörtgeninin alanının iki katı olacak şekilde, [AD] ve [BC] üzerinde
sırasıyla M ve N noktaları alınmıştır. |M N | nedir?
√
√
B) 3
C) 2
D) 3
E) 4
A) 2
26. Kaç tane p asal sayısı için 5p + 4p4 sayısı bir tamkare olacak?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) Sonsuz sayıda
27. Yanyana n tane yıldız çizilmiştir. Ayşe ile Betül sırayla birer yıldız silip
yerine bir rakam yazıyorlar. Yıldızlar bittikten sonra elde edilen sayı
(başta sıfırlar varsa, sıfırlar bunlar silindikten sonra) 13’e bölünüyorsa,
Ayşe, bölünmüyorsa, Betül kazanmış olacak. Ayşe ve Betül en iyi şekilde
oynarsa aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
A) n = 60 ise ve Ayşe başlıyorsa, Betül kazanır
B) n = 61 ise ve Betül başlıyorsa, Ayşe kazanır
C) n = 30 ise ve Ayşe başlıyorsa Ayşe kazanır
D) n = 31 ise ve Ayşe başlıyorsa, Betül kazanır
E) Hiçbiri
√
28. n pozitif tam sayısı J nK’e bölünüyor. Bu özelliğe sahip ve 2004’ten
büyük olan en küçük n sayısının rakamları toplamını bulunuz.
A) 8
B) 9
C) 10
D) 18
E) Hiçbiri
29. Dar açılı ABC üçgeninin [AC] kenarı üzerinde bir D noktası alınmıştır.
[AL] kenarortayı [CH] yüksekliğini ve [BD] doğru parçasını, sırasıyla
|AN |
N ve K noktalarında kesiyor. N ∈ [AK] ve |AK| = |BK| ise,
|KL|
nedir?
√
√
√
A) 1
B) 2
C) 3
D) 2
E) 2 2
30. 9 rakamı içermeyen dörtbasamaklı bir sayı tam karedir. Bu sayının
tüm basamakları birer artırıldığında yine bir tam kare elde ediliyor. Bu
koşulları sağlayan kaç tane dörtbasamaklı sayı bulunur?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
5
E) 4
31. 8 kişinin katıldığı bir satranç turnuvasının sonunda tüm katılımcıların
puanları farklı olduğu bilinirse, turnuvanın şampiyonunun puan sayısı
en az kaç olabilir?
Not: Satrançta her maçta kazanan 1, kaybeden 0 puan alıyor; beraberlik
durumunda her biri 0,5 puan alıyor.
A) 4,5
B) 5
C) 5,5
D) 6
E) 6,5
32. f : R+ → R fonksiyonu her x ∈ R+ için
1
= 3x
f (x) − 3f
x
eşitliğini sağlar. f (2) nedir?
√
√
√
6+3 3
3+ 3
2
A) 3 B) −
C) −
D) −1 − 3
4
2
√
9+3 3
E) −
8
33. ABCD karesinin C köşesinden, [BD] köşegenini bir K noktasında,
[AB] kenarının orta dikmesini de L noktasında kesen bir doğru çizil\ = m(ALB)
[ ise, DCK
miştir. L noktası [CK] üzerinde ve m(AKB)
açısı kaç derecedir?
A) 15
B) 20
C) 25
D) 30
E) 35
s
{
rnz rnz
2n
34. n +
=
+
eşitliğini sağlamayan n pozitif tam sayıları
6
2
3
kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {n|n ≡ 1 (mod 2)}
C) {n|n ≡ 1 (mod 6)}
B) {n|n ≡ 1 (mod 3)}
D) {n|n 6≡ 0 (mod 6)}
E) Hiçbiri
35. Aynı aralıkla 2n tane yatay ve 2n tane dikey doğru çizilmiştir. Tam n
tane kırmızı yatay ve n tane kırmızı dikey bulunacak şekilde doğruların
herbiri kırmızı veya siyah renge boyanıyor. Boyanma şekli ne olursa
olsun, kenarları aynı renge boyanmış bir kare bulunduğu biliniyorsa, n
en az kaç olabilir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
36. y 4 + 2x4 + 1 = 4x2 y denkleminin kaç tane çözümü bulunur?
A) 8
B) 6
C)4
D) 2
6
E) 1