e-geo-dörtgenler

ÇOKGENSEL BÖLGELERİN ALANI
ÖRNEK:
Çevresi 12 cm. olan bir üçgensel bölgenin
alanı en çok kaç cm2 olabilir?
UYARI:Çevreleri
sabit
üçgensel
bölgelerden alanı en büyük olan, eşkenar
üçgendir.
a=4 ,
a2 3
 4 3 cm2
A(ABC)=
4
ÖRNEK:
Kenar uzunlukları tamsayı ve çevresi
8 br. olan üçgensel bölgenin alanı kaç br2.
dir?
ÇÖZÜM:
Kenar uzunlukları:
a=b=3 , c=2 olmalıdır.
A(ABC)=
u(u  a)(u  b)(u  c)  4.1.1.2  2 2
1
1
1
A( ABC )  b.c. sin A  a.c. sin B  a.b. sin C
2
2
2
A( ABC )  u u  a u  b u  c  
a.b.c
= u.r
4.R
A ABC  AB AC

A ADE  AD AE
- 72 -
Bir üçgende her kenarortay,
üçgeni alanları eşit iki bölgeye ayırır.
Bir üçgende üç kenarortay,
üçgeni alanları eşit altı bölgeye ayırır.
Bir üçgende üç orta taban,
üçgeni alanları eşit dört bölgeye ayırır.
Üçgenin iç bölgesindeki her hangi bir
P noktasından kenarlara paraleller
çizildiğinde:
A ABC  
Yükseklikleri eşit üçgensel
bölgelerin alanlarının oranı, tabanlarının
oranına eşittir.

S1  S 2  S 3

2
dir.
Tabanları aynı üçgensel bölgelerin
alanları oranı, yüksekliklerinin oranına
eşittir.
Benzer üçgensel bölgelerin
alanlarının oranı, benzerlik oranının
karesine eşittir.
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
|BC|=|CD| ,
|DA|=|AE| ,
|EB|=|BF| ,
Herhangi bir P  [AC] için :
BD  DC ve
AK // PD alınırsa
A(DEF)=8.S
1
A ABKP   APKC   A ABC  dir.
2
- 73 -
A(ABC)=A(ACD)=S
A(BDA)=A(BAE)=2.S
A(DEB)=A(DBF)=4.S
ÖRNEK:
ÖRNEK:
Alanı sayıca çevresine eşit olan üçgenin
içteğet
çemberinin
yarıçapı
kaç
birimdir?
ÇÖZÜM:
Pisagor teo.
ÇÖZÜM:
A(ABC)=u.r ,
Ç(ABC)=2u
u.r=2.u ,
r=2
|BC|2=62+82
|BC|=10
b.c 8.6

 24
2
2
A(ABC)=
A(ABC)=u.r=12.r=24
r=u-a=12-10=2
A(BIC)=
,
ÖRNEK:
, r=2 veya
Kenar uzunlukları 11, 13 ve 20 birim olan
üçgensel bölgenin alanı kaç birim
karedir?
a.r 10.2

 10
2
2
ÇÖZÜM:
2.YOL:
A( ABC )  u(u  a)(u  b)(u  c)  22.11.9.2
A( BIC ) A(CIA) A( AIB) A( ABC )



a
b
c
2u
A( BIC ) 24

, A(BIC)=10
10
24
=66 br2
ÖRNEK:
r yarıçaplı bir çemberin dışına, kenarları
bu çembere teğet olan bir üçgen
çiziliyor. Üçgenin çevresi Ç cm. ve alanı
ÖRNEK:
A cm2 ise
Çevresi 4 cm. olan bir ikizkenar dik
üçgenin alanı kaç cm2 dir?
ÇÖZÜM:
Ç=2u
Ç
oranı kaçtır?
A
ve
A=u.r
olduğundan;
Ç 2u 2


A u.r r
ÇÖZÜM:
a=c=x dersek,
(Pisagor teo.)
ÖRNEK:
b=x 2 olur.
x+x+x 2 =x(2+ 2 )=4
4
 2(2  2 )
2 2
x.x [2(2  2 )] 2

 4(3  2 2 )
A(ABC)=
2
2
x=
ÇÖZÜM:
PDB  PKA ve TEC  TFA
A(ABC)=A(KDEF)=6.10=60
- 74 -
(AKA)
ÖRNEK:
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
ABD ve ABC de Pisagor teo.
152=122+|BD|2 ,
|BD|=9
2
2
2
20 =12 +|BC|
,
|BC|=16
|DC|=|BC|-|BD|=16-9=7
ÇÖZÜM:
PBE  FBA
ve PBD  FBC
benzerliklerinden;
A(ADC)=
PE
FA
1
1
|DC|.|AB|= 7.12=42
2
2

BP
BF

PD
FC

1
2
(KAK)
olur.
|PD|=2.|PE| ve A(BPD)=2
A(DCFP)=3.A(BPD)=3.2=6
ÖRNEK:
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
[BP] çizildiğinde;
|AE|=|EB|
olduğundan
A(PAE)=A(PEB)=12
|BD|=|DC|
olduğundan
A(PBD)=A(PDC)=8
A(PEBD)=S=A(PEB)+A(PBD)=12+8=20
,
ÇÖZÜM:
BEC, 30,60,90 dik üçgeni. |BC|=2.|EC|
ACD, 30,60,90 dik üçgeni. |AC|=2.|DC|
,
1
|BC|.|AC|.sin 60o=
2
1
= .2.|EC|.2.|DC|.sin 60o=
2
A(ABC)=
=2.|EC|.|DC|.sin 60o
A(DEC)=
1
|EC|.|DC|.sin 60o=24
2
A(ABC)=4.A(DEC)=4.24=96
S=2. S1 .S 2
- 75 -
ÖRNEK:
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
BED  DFC (AA)
|DC|=3.|BD|
olduğundan;
A(DFC)=9.A(BED)=9.S
|AE|=|DF|=3.|BE|
olduğundan;
A(DAE)=3.A(DEB)
A(DEAF)=2.A(DAE)=6.S
A(ABC)=A(BED)+A(DEAF)+A(DFC)
=S+6.S+9.S=16.S
1
|BC|.|AE|=4 br2
2
1
A(DBC)= |BC|.|AF|=6 br2
2
1
A(EBC)= |BC|.|EH|=2 br2
2
A(ABC)=
A(ABE)+A(ECD)=A(ABC)+A(ABC)2.A(EBC) = 6 br2
A( DEAF ) 6.S 3


A( ABC ) 16.S 8
ÖRNEK:
Sabit bir MON açısı ve içinde sabit bir P
noktası veriliyor.
PMON paralelkenarının alanı 12 cm2 iken
P den geçen değişken doğrular ve açının
kenarlarının
oluşturduğu
üçgensel
bölgelerden alanı en küçük olan kaç cm2
dir?
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
ABP, ACK, ADL, AET üçgenlerinin
benzerliği
(KAK)
ve
benzerlik
oranlarından;
A(ABP)=S dersek,
A(BCKP)=3.S
,
A(CDLK)=5.S
ve
A(DETL)=7.S olur.
A(AET)=S+3S+5S+7S=16S=80
S=5
A(CDLK)=5S=5.5=25 cm2
A(NPK)=S1
,
A(MTP)=S2
A(PMON)=S dersek;
ve
S=2. S1 .S 2 =12 olduğundan,
S1+S2 toplamının en küçük olması için
S1=S2 olmalıdır. Bu durumda;
S=2.S1=2.S2 olacağından A(TOK)=24 cm2
UYARI:
S1=S2 olması için,
|TP|=|PK|
olmalıdır.
TK//MN çizildiğinde, P orta nokta olur.
- 76 -
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
ABD  CAD
AB
r
3
 1 
CA r2 4
ÖRNEK:
(AA) ;
2
,
S1  r1 
9
   
S 2  r2 
16
ÇÖZÜM:
[BF] çizilirse:
A(AFE)=10.S
A(EFB)=6.S
A(BFD)=8.Ü
A(DFC)=10.Ü
A(ABD)=10.S+6.S+8.Ü=16.S+8.Ü=8.X
A(ADC)=10.X=20.S+10.Ü
A(AFC)=20.S
ÖRNEK:
A(AEC)=10.S+20.S=30.S=
ÇÖZÜM:
ADF  ABT ve AFE  ATC
benzerliklerinden;
AF
DF
S=3
1
2
(AA)
A(EBDF)=A(ABD)-A(AEF)= 16.8 -30
=64-30=34
FE
1



AT
BT
TC 2
|DF|=2.|FE| , A(ADF)=2 , A(DBTF)=6
ÖRNEK:
ÖRNEK:
S1.S2 nin en büyük değeri kaçtır?
ÇÖZÜM:
S1+S2=
1
10.18=90
2
a 2 3 42 3

4 3
4
4
ÇÖZÜM:
4.A(ABC)=9.A(DEPK)=9.4
A(ABC)=9
Toplamları sabit iki sayının çarpımlarının
en büyük olması için eşit olmaları
gerekir.
S1=S2= 2 3  S1.S2=12
- 77 -
ÖRNEK:
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
|AG|=2.|GH| ve |GH|=|GF|
ÇÖZÜM:
APL, LKC eş ikizkenar dik üçgenler.
|AB|=2.|PB|
A(BKLP)=441=212
için
|BK|=21
|FH|=
2
|AH|,
3
|TP|=
1
|BC|
3
|AC|=|DF|=42 2
DTM, NSF ikizkenar dik üçgen.
ATP  ABC
|FH|=|TP|
olduğundan,
|AH|=
|DT|=|TS|=|SF|=14 2
A(MNST)=|TS|2=392
BC
2
çıkar ki; ABC ikizkenar dik üçgendir.
BC
1
A(ABC)= |BC|.|AH|=
2
4
2
2
ÖRNEK:
 18
 BC  BC
4.18

A(DEPT)=|DE| = 
 3  = 9  9 8


2
2
UYARI: 4.A(ABC)=9.A(DEPT)
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
ARS,
PQC
ikizkenar
|AR|=|RQ|=|QC|
|AC|= 6 2 ,
ÇÖZÜM:
CDF  CBE (AKA)
|CF|=|CE| , FCE ikizkenar dik üçgen.
dik
A(FCE)=
üçgen.
1
|FC|2=200
2
ve
|FC|=20
A(ABCD)=|DC|2=256 ve |DC|=16
FDC dik üçgeninde Pisagor teo.
202=|DF|2+162
, |DF|=|BE|=12
|RQ|=2 2
A(PQRS)=(2 2 ) =8
2
- 78 -
ÖRNEK:
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
[DE] çizildiğinde;
ÇÖZÜM:
FBC üçgeninde,
Menelaüs teo.
A(CBP ) BP
A( DBP )


A(CPE) PE A( DPE )
olduğundan;
A( DAE ) AE A( BAE )


olduğundan;
A( DEC ) EC A( BEC )
A( DAE ) A( DAE )  4

ve
3
8
=A(ABC)-
S=1+12/5=17/5
PT
1
3
6
1
A(ABC)= A(ABC)
7
7
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
DAF, CBE ikizkenar dik üçgenler.
|AD|=|DF|=|EB|=|BC|=2k , |EF|=k

ait
A(PQR)=A(ABC)-3.A(APC)
ÖRNEK:
PK
kesenine
CP
1 1 CP
. .
 1 ve
6
3 2 PF
PF
6
A(APC)= .A(AFC)
7
1
1
|AF|= .|AB| ve A(AFC)= .A(ABC)
3
3
2
A(APC)= .A(ABC)=A(BQA)=A(CRB)
7
A(DPE)=1 br2 dir.
A(DAE)=12/5 ,
AD
,
A( ABCD )
4
A( ABCD )
A(CFE)=
8
5. A( ABCD) 3. A( ABCD)

A(AFE)=A(ABCD)8
8
A(ADF)=A(ABE)=
|PK|=k/2
1
1 k k2
EF . PK  .k . 
2
2 2
4
2
k
A( PEF )
1
 42 
A( ABCD ) 6k
24
A(PEF)=
=3
A(ABCD)=8
- 79 -
ÖRNEK:
ÖRNEK:
(Kenar uzunlukları tamsayı)
ÇÖZÜM:
202=x2+(y+z)2=x2+y2+z2+2yz
152=x2+z2 ve
y2+2yz=175
, y(y+2z)=175
y=7 , z=9 ve x=12 olmalıdır.
ÇÖZÜM:
EF//AB çizildiğinde;
A(ABCDE)=A(BCDE)+A(ABE)=
24.7+
[EF] orta taban olup, |EF|=1/2
EF
1
.24.9 = 276
2
ÖRNEK:
EM
1


DC
MC 4
A(DMC)=4.A(DME)
A(DEC)=1
A(DMC)=4/5=A(CLB)=A(AKB)=A(DPA)
A(PKLM)=S=4-4.4/5=4/5
UYARI:
S=
A( ABCD )
5
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
DEF  DAC (AA) benzerliğinden;
2
2
EF
EF
2S


2
3S
(12 2 ) 2
AC
ÇÖZÜM:
S2=S3
olduğundan,
|CE|=2.|AE|
|AC|=12 2 ve
|EF|=8 3
S1=2.S2
dir.
|AE|=4 2 olur.
- 80 -
,
ÖRNEK:
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
[AC] çizildiğinde;
A(AGC)=
A( ADC )
2
ve A(CAE)=
A(CAB)
2
A(AGC)+A(CAE)=A(GAEC)
=51+38+A(PQRS)
A( ADC ) A(CAB) 1

 A(ABCD)=150
2
2
2
89+A(PQRS)=150
ÇÖZÜM:
OA
OC

OD
OF

1
olduğundan,
3
A(PQRS)=61
ÖRNEK:
AD//CF ve ADFC bir yamuktur.
|AB|=|BC| ve |DE|=|EF| olduğundan,
A(AEC)=A(DBF)=
,
A( ADFC )
2
ÖRNEK:
Köşegenleri dik kesişen bir dörtgende
köşegenlerin uzunlukları toplamı 12 br.
ise bu dörtgenin alanı en çok kaç birim
kare olabilir?
ÇÖZÜM:
Köşegenleri dik kesişen dörtgenin alanı;
köşegen uzunlukları çarpımının yarısına
eşittir.
Toplamları
12
olan
köşegenlerin
çarpımlarının en büyük olması için 6 şar
birim olması gerekir.
A(ABCD)=
ÇÖZÜM:
|AB|=4 , |AC|=3
olduğundan
ABC dik üçgendir.
, |BC|=5
, 32+42=52
1
2
A(ABC)= 3.4  6
sin x=sin(180-x) olduğundan,
A(EAF)=A(DBT)=A(GCH)=A(ABC)=6
A(DEFGHT)=4.6+16+9+25=74 br2
e. f 6.6

 18 br2
2
2
- 81 -
ÖRNEK:
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
FR//BC çizildiğinde;
ÇÖZÜM:
A(ABC)= 9.4.3.2  6 6
A(TAS)=A(PBU)=A(CQR)=A(ABC)=6 6
A(ABUT)=25
,
A(BCQP)=49
,
A(ACRS)=36
A(PQRSTU)=4. 6 6 +25+49+36
=110+ 24 6
ÖRNEK:
Benzerliklerden:
RF
BE

FP
PB

TF
BC

FK
KB

1
2
3
bulunur ki ;
2
|BP|=6x , |PK|=4x , |KF|=5x olur.
ÇÖZÜM:
ADE üçgeninde Pisagor teo.
42+|DE|2=25 , |DE|=3
|BD|=p , |BE|=p+3 , |DC|=k , |EC|=k-3
n A  b.c  BE . CE
2
,
25=b.c-(p+3)(k-3)
h2=p.k , 16=p.k ve a.h=b.c , (p+k).4=b.c
alınırsa;
k=32-7p ve 16=p(32-7p) denkleminden
P=
4
7
bulunur.
yerlerine
A(CKF)=
A( BCF ) A( ABCD )

3
12
A(BPE)=
A( BCF ) A( ABCD )

5
20
A(PECK)=
A( ABCD )  A( ABCD ) A( ABCD ) 



4
12
20


yazıldığında:
=
A(ABC)=400/7
- 82 -
7. A( ABCD )
60
,
ÖRNEK:
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
FD ye, AP , ET , CS ve BK dikmeleri
çizildiğinde;
ÇÖZÜM:
A(CDE)+A(BAE)=A(FAD)
A(EKFP)=A(AKB)+A(DPC)=16+25=4
A(DEF)=2.A(BDF)
olduğundan,
|ET|=2.|BK|=2x
|BD|=|DC| olduğundan,
CE
EA

AP 
ET  CS
AP  ET
,
A( DEF ) AF BD CE  FB DC EA

A( ABC )
AB . BC . CA
|BK|=|CS|=x
2x  x
3 ,
AP  2 x
7x
3
APF  BKF (AA) benzerliğinden;
AF
FB

AP
BK

7
3
A ABC  AB AC

APDE  AP DE
- 83 -
ÖRNEK:
A(ABCD)=425 br2 ise
A(PQRT)=?
, A(KLMN)=?
P, ABC üçgeni içinde herhangi bir nokta.
PD  BC , PE  AC , PF  AB
|PD|=|BC| , |PE|=|AC| , |PF|=|AB|
ise
A(DEF)=3.A(ABC) dir.
ÇÖZÜM:
A( PQRT ) 9
9

 A( PQRT )  .425  225
A( ABCD) 17
17
A( KLMN ) 1
1

 A( KLMN )  .425  17
A( ABCD) 25
25
ALIŞTIRMA:
A( DEF ) 
A( PQR) 
r.s.t
. A( ABC )
r  1s  1t  1
r.s.t  12
. A( ABC )
r.s  r  1s.t  s  1t.r  t  1
O noktası çevrelçember merkezi,
H noktası diklik merkezi,
|BD|=|DC| |OD|=|DE|
A(AODH)=9 ise |OD|=?
Y: 6
- 84 -
ÇOKGENLER
Ard arda üçü doğrusal olmayan
A1,A2,A3,…,An noktaları için bu noktaları
uç kabul eden doğru parçalarının
birleşimine denir.
ÖRNEK:
Bir iç açısının ölçüsü 144o olan düzgün
çokgen kaç kenarlıdır?
ÇÖZÜM:
    180 ,   144  180 ,   36
n
[A1A2]  [A2A3]  …  [AnA1]=A1A2…An
Bir iç açısının ölçüsü, bir dış açısının
ölçüsünün üç katı olan düzgün çokgen kaç
kenarlıdır?
ÇÖZÜM:
  3 ,
4  180 ,
n
n>4 olmak üzere n köşeli bir yıldızıl
çokgenin köşelerindeki iç açıların ölçüleri
toplamı (n-4)180o dir.
360


360
 8 kenarlı.
45
ÇÖZÜM:
(n  2)180 360

,
2n  m.n  2m
n
m
2n
4
m
 2
eşitliği ,
n2
n2
ÇÖZÜM:
n


n  m için, n kenarlı düzgün çokgenin bir
iç açısının ölçüsü, m kenarlı düzgün
çokgenin bir dış açısının ölçüsüne eşit ise
n+m=?
Bir dış açısının ölçüsü 40o olan düzgün
çokgen kaç kenarlıdır?
,
360
    180 ,
  45
ÖRNEK:
ÖRNEK:
360
n

360
 10
36

ÖRNEK:
n kenarlı konveks bir çokgenin
iç açılarının ölçüleri toplamı;
(n-2)180o,
dış açılarının ölçüleri toplamı;
360o dir.

360
360
9
40
n=6 ve m=3
doğal sayıları için
gerçeklenir.
Düzgün altıgenin bir iç açısının ölçüsü,
eşkenar üçgenin bir dış açısının ölçüsüne
eşittir.
- 85 -
ÖRNEK:
ÖRNEK:
Üç iç açısı geniş açı olan dışbükey çokgen
en çok kaç kenarlıdır?
Bir dörtgenin çizilebilmesi için ;
kaç tane elemanı verilmelidir?
ÇÖZÜM:
(n-2).1800 < (n-3).900+3.1800
n < 7 olmalıdır.
En çok 6 kenarlı olabilir.
ÇÖZÜM:
2n-3=2.4-3=5
tane bağımsız elemanı
verilmelidir.
En az n-2=4-2=2 tanesi uzunluk,
En çok n-1=4-1=3 tanesi açı olabilir.
n kenarlı konveks bir çokgenin ;
bir köşesinden geçen n-3 tane köşegeni
vardır.
Tüm köşegenlerinin sayısı
n(n-3)/2
dir.
ÖRNEK;
Köşegen sayısı, kenar sayısının iki katı
olan çokgen kaç kenarlıdır.
ÇÖZÜM:
n(n  3)
 2.n , n2-7n=0
2
,
n(n-7)=0
ÖRNEK:
n=7 kenarlı.
n kenarlı konveks bir çokgenin
çizilebilmesi için:
2n-3 tane bağımsız eleman gereklidir.
Bunlardan en az n-2 tanesi uzunluk,
en çok n-1 tanesi açı olmalıdır.
|AP|=|CF| , |BP|=|DE| ,
A(PEF)=24 br2 ise A(ABCD)=?
ÖRNEK:
Bir üçgenin çizilebilmesi için ;
kaç tane elemanı verilmelidir?
ÇÖZÜM:
Verilenlerden ;
|PE|=|BD| ve |PF|=|AC|
ÇÖZÜM:
2n-3=2.3-3=3
tane bağımsız elemanı
verilmelidir.
En az n-2=3-2=1 tanesi uzunluk,
En çok n-1=3-1=2 tanesi açı olabilir.
A(ABCD)=
A(EPF)=
1
AC BD sin 
2
1
PE PF sin  =24 br2
2
A(ABCD)=A(EPF)=24 br2
- 86 -
P, K köşegenlerin orta noktaları,
e, f köşegenlerin uzunlukları
a2+b2+c2+d2=e2+f2+4x2 (Euler teo.)
ÖRNEK:
- 87 -
ÖRNEK:
PARALELKENAR:
Köşegen uzunlukları 10 cm. ve 24 cm.,
bir kenarının uzunluğu 13 cm. olan
paralelkenarın çevresi kaç cm.dir?
ÇÖZÜM:
102+242=2(132+x2)
Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgene
paralelkenar denir.
, x=13 , 4x=52
2. YOL: ABC üçgeninde kenarortay teo:
2.52=132+x2-
AB // CD ve BC // AD ise ABCD // dır.
k
24 2
2
, x=13 , 4x=52
ABCD paralelkenarında:
AB  CD ve BC  AD
Karşılıklı kenarlar eştir.
mA=mC ve mB=mD
Karşılıklı açılar eştir.
Komşu açılar bütünler ,
P,Q,R,S kenarların orta noktaları ise;
AO  OC ve BO  OD dir.
PQRS paralelkenardır.
Köşegenler birbirini ortalar.
ÇPQRS   AC  BD
APQRS  
Karşılıklı iki kenarı paralel ve eş
olan dörtgen,
Karşılıklı kenarları eş olan dörtgen,
Karşılıklı açıları eş olan dörtgen,
Köşegenleri birbirini ortalayan dörtgen
Bir paralelkenardır.
A ABCD 
2
A( SDR )  A( PBQ )  A( PAS )  A( RCQ )
E ve F kenarların orta noktaları ise:
DP  PQ  QB dir.
- 88 -
ÖRNEK:
AE  EF EK
2
,
EF
EK

ED
EB
Y.G: DAE , CEB ikizkenar üçgen.
2
|DA|=|DE|=x ,
|DC|=2x=12 ,
2
|CE|=|CB|=x
x=6
ÖRNEK:
Y.G: ABC  PAF (KAK)
|FP|=|AC|=12
AA'  CC '  BB '  DD '
ÖRNEK:
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
DEC ve DAE
benzer.(AA)
x
6

6 5 x
,
(x-4)(x+9)=0 ,
Y.G: CBF , AEB , DEF ikizkenar üçgen.
|AE|=6 , |CF|=4 , |DE|=10
- 89 -
ikizkenar
üçgenleri
x2+5x-36=0
x=4
DİKDÖRTGEN:
ÖRNEK:
Bir açısı dik açı olan paralelkenara
dikdörtgen denir.
ÇÖZÜM:
Küçük dikdörtgenin boyutlarına
x ve y dersek,
4x=3y ve
7.x.y=756 ,
olmaktadır.
Tüm açılarının ölçüleri 90o dir.
Köşegen uzunlukları eşittir.
e2=f2=a2+b2
x=9 ve y=12
Çevre=114 cm.
ÖRNEK:
!!!
Dışındaki
geçerlidir.
bir
P
noktası
içinde
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
Benzerlikten
ÇÖZÜM:
|AK|=|BK|=|CK|=|DK|
|PB|=|BK|=|KP| eşitliklerinden;
|AK|=|KP|
AKP ikizkenar üçgen.
0
mAKP=70
,
x=550
x2-x-1=0
x=
- 90 -
1 5
2
x.y=108
1
x

x 1 1
ve
ÖRNEK:
ÖRNEK:
Ç(ABP)=Ç(APC)=Ç(BPC) ise |BP|=?
ÇÖZÜM:
ABPC dikdörtgen olmalıdır.
|BP|=8 dir.
ÇÖZÜM:
E den, AD ye AP dikmesini çiz.
ÖRNEK:
|AB|= 2 |AD|
APE dik üçgeninde pisagor teo.
22+62=x2
,
x=2 10
ÇÖZÜM:
AFE  CFD
ÖRNEK:
AE
DC

AF
FC
ise
(A.A)

EF
FD
AC  3 AD
AF . AC  AD
DF  AC dir.
UYARI: |PQ|.|AB|=|RS|.|AD|
12.14=|RS|.8
,
|RS|=21
- 91 -
x=?
,
2

1
2
AF 
3 AD
3
eşitliği sağlandığından
x=90o
KARE:
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
AOE ikizkenar.
mA =450 ,
x+y=900 ,
Komşu iki kenarının uzunlukları eşit olan
dikdörtgene kare denir.
y=67,5
x=22,5
ÖRNEK:
Köşegenler dik olarak kesişirler
ve kenarlarla 45o lik açı yaparlar.
e2
A ABCD   a 
2
Y.G: AEP  AED
ea 2
2
(KKK)
mEAP= mEAD =22,5
,
x=450
ÖRNEK:
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
PEB üçgeninde;
Y.G: EBC , EAD ikizkenar üçgen.
0
mB =45 ,
0
0
mCEB =mDEA =750
0
x=45 +80 =125
- 92 -
,
x=1500
ÖRNEK:
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
mCDE =mCED =67,5
CDE ikizkenar üçgen.
|CD|=|CE|=12
ÇÖZÜM:
ABC  CPD (AKA)
|BC|=|DP|=4=|FB|
|AB|=|PC|=9
|DF|=13
ÖRNEK:
ÖRNEK:
Y.G: DCE  FBE  FAD
(AA)
ÇÖZÜM:
mOPE =mOEP =67,5 ,
OPE ikizkenar. |OP|=|OE|
[OP] , ACF de orta taban.
|OP|=12
ÖRNEK:
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
CDF  DAE (KAK)
DPF  DAE (AA)
,
Kare şeklindeki bir bahçenin çevresi,
yine kare şeklindeki başka bir bahçenin
çevresinden 12 m. fazla, alanı ise 105 m2.
fazladır.
Büyük karenin bir kenarının uzunluğu kaç
metredir?
mCPE =90o
2
 a 




DF
A( DPF ) 
3

  1





A( DAE )  DE 
10
10a 


 3 
2
a
a2
A(DAE)=
, A(DPF)=
6
60
2
ÇÖZÜM:
4.a=4.b+12 , a-b=3 ;
(a-b)(a+b)=105
3(a+b)=105 ,
a+b=35
a=19 ,
b=1
- 93 -
a2=b2+105
ÖRNEK:
ÖRNEK:
Üç eş kareden oluşan dikdörtgende;
ÇÖZÜM:
BP  CE çizilirse;
ÇÖZÜM:
Karenin köşegenleri çizildiğinde;
BP
ED

PE
AD

1
2
mP =mD =90o olduğundan
EBP  ADE (KAK) dir.
Öyleyse n=m olur.
x=90-m , y=45+n ,
x+y+z=180o
z=45
;
AOB  BFE (A.K.A) ,
mOBF =60o ,
OBF eşkenar üçgen.
AOF ikizkenar üçgen.
mAOF =150o
mOAF =15o
x=450-150=300
ÖRNEK:
ÖRNEK:
|AP|=|AD|=|DQ|=|PQ|
Q, C, E doğrusal.
x=?
ÇÖZÜM:
DAP ikizkenar. mAPD =mADP =67,5
DAP  DQP (KKK) ,
mQDP =67,5 , mQDC =45
|QD|=|DC|, QDC ikizkenar. mDQC =67,5
DEQ ikizkenar.
mDEQ =45o
ÇÖZÜM:
ACH ikizkenar. mAHC =750
ACP ikizkenar. mCPA =150
- 94 -
,
,
y=300
x=300
ÖRNEK:
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
CD üzerinde, |DP|=4 alınırsa;
ÇÖZÜM:
CBE  ABG (KAK) ,
mGAB +mBEC =x=90o
PDA  EBA (KAK) , |PA|=|AE|
mPFA =mFAP =90-  olur ki ,
ÖRNEK:
PFA ikizkenar.
|PF|=|PA|=|AE|=10
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
APB  BTC  CQD (AKA)
|BT|=7 , |PT|=x=3 ,
|CT|=4 , |CQ|=7 , |QT|=3
ÇÖZÜM:
|AE|= 2a , |DE|= 3a ,
QTP ikizkenar dik üçgen.
DAE de Öklit teo: |EF|=
mAPQ =45o
- 95 -
2a
3
,
EF
ED

2
3
EŞKENAR DÖRTGEN:
ÖRNEK:
Komşu iki kenar uzunluğu eşit olan
paralelkenara eşkenar dörtgen denir.
Köşegenleri birbirini dik
ortalar.
Köşegenleri açıortaydır.
olarak
ÇÖZÜM:
EDC , EKD ikizkenar üçgen. mAKC =900
CAK , 22,5 , 67,5 , 90 dik üçgeninde;
|CK|=1 ,
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
mCAF =180
|AK|=x dersek,
x= 2  1
ÖRNEK:
,
mACB =360
, x=540
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
AOB dik üçgeninde;
|AO|=12 , |OB|=6 , |AB|= 6 5
6 5 .|OH|=6.12 ,
|OH|=
12
5
2
 12 
144
 
5
 5
dairenin alanı=  .r 2   
Y.G: EDC
ve
EKD
ikizkenar üçgen.
o
Y:135
- 96 -
YAMUK:
AB//CD
S
Yalnız iki kenarı birbirine paralel olan
dörtgene yamuk denir.
p.q
a.h
ac
BF  FC ise :
[EF] Orta taban ,
EF // AB // CD
ac
2
KL 
EK  LF 
PQ 
EF .h
AB // PQ // CD
AE  ED ,
EF 
2
rs
x
O  PQ ,
a  c h 
c
2
[EF] orta taban ise;
A(APKD)=A(PBCK)
ac
2
EL  KF 
a
2
2a.c
ac
e2+f2=b2+d2+2a.c
(Euler teo.)
S1 x 2  c 2

S2 a2  x2
- 97 -
S

p q
y

c.h
ac
2
ÖRNEK:
ÖRNEK:
Y.G: BEC dik üçgen,
Hipotenüse ait kenarortayı, orta taban
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
|DE|=x , |CF|=y dersek;
Ç(EFCD)=|EF|+y+3+x ,
Ç(ABFE)=9+6-y+|EF|+4-x
Ç(EFCD)=Ç(ABFE) eşitliğinden
x+y=8 bulunur.
ABCD yamuk,
|CD|=6, |DK|=20, |DE|=5, |AB|=9 ise
|AK|=?, |DF|=?
ÇÖZÜM:
DEC  KEA
6
5

AK 15
DFC  KFB
DC
(A.A)
AK
|AK|=18
DE

EK
|BK|=9
DC
(A.A)
DF
6

9 20  DF
x 4

, 3x=2y olduğundan
y 6
16
x=|DE|=
5
DE
16 4

 4 bulunur.
|EA|=4ve
5 5
EA
BK

DF
FK
ÖRNEK:
|DF|=8
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
CE//DB çizilirse;
ÇÖZÜM:
DPC  BPE (A.A)
|DC|=|AE| ,
A(DAB)=50 ,
DC
EB

DP
PB

3
2
ACE dik üçgeninde:
|AE|=a+c=10
orta taban = 5
5|DC|=3|AB|
A(ABCD)=30+50=80
- 98 -
ÖRNEK:
İKİZKENAR YAMUK:
Paralel olmayan kenarları eşit uzunlukta
olan yamuğa ikizkenar yamuk denir.
ÇÖZÜM:
DEB dik üçgeninde;
|EB|=12
DEA  BFC
(KKK)
eşliğinden
A(DEBF)=A(ABCD)
Tabana komşu açılar eştir.
e2=f2=a.c+b2
Köşegenleri
yamukta :
ac
h
2
,
A(ABCD)=9.12=108
dik
S h
2
olan
ikizkenar
ÖRNEK:
dir.
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
AB ye, ED ve CF dikmeleri inildiğinde;
|AE|=|FB|=8 olur.
Çemberde teğet özelliğinden ,
|AD|=|BC|=17 dir.
AED dik üçgeninde ,
|DE|=15=2r ,
ÇÖZÜM:
AH  BD çizilirse ; |BH|=5
r=15/2
ABD dik üçgeninde Öklit teo.
x2=5.20=100
,
x=10
- 99 -
DİK YAMUK:
ÖRNEK:
Paralel olmayan kenarlarından biri
tabana dik olan yamuğa dik yamuk denir.
ÇÖZÜM:
A(AED)=A(BEC)=12
,
2
8.A(EDC)=12
AEDC)=18
A(ABCD)=8+2.12+18=50
Köşegenleri dik olan dik yamukta:
h2=a.c
dir.
ÖRNEK:
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
h2=a.c den;
ÇÖZÜM:
DAB dik üçgeninde Öklit teo.
|AE|2=8.2 ,
|AE|=4
B’den DC ye dikme inilirse;
62+52=|BC|2
ADC dik üçgeninde Öklit teo.
82=4.|EC| ,
|EC|=16
BEC dik üçgeninde,
|BC|2=22+162 ,
62=|DC|.4 ,
|BC|= 2 65
- 100 -
,
|BC|= 61
|DC|=9
DÜZGÜN BEŞGEN:
DÜZGÜN ALTIGEN:
3a 2 3
2
S
5 2
R 10  2 5  10a 2 25  5
8
Ra ,
a
1
R 10  2 5
2
!!! Altı tane eşkenar üçgenden oluşan
şekil bir düzgün altıgendir.
, r
1
R 62 5
4
r
a 3
2
,
S
ÖRNEK:
ÖRNEK:
Karşılıklı kenarları paralel ve eşit olan
altıgen veriliyor. Köşeleri altıgenin
köşeleri ve alanı altıgenin alanının yarısı
olan üçgen hangisidir?
Y.G: AEF ikizkenar üçgen.
Y.G: Bir P noktası alınarak oluşturulacak
PDEF, PDCB ve PBAF paralelkenarlarının
[DF], [FB] ve [BD] köşegenleri kullanılır.
Y:FDB
ÖRNEK:
ÖRNEK:
Kenar uzunlukları 10 br. olan düzgün
onikigenle, düzgün altıgenin alanları farkı
kaç birimkaredir?
Y.G: Onikigen=600+300 3
Altıgen=150 3
Y.G: DCB ikizkenar üçgen.
Y:600+150 3
- 101 -
ÖRNEK:
ÖRNEK:
Çevreleri eşit bir eşkenar üçgen ve
düzgün altıgenden, üçgensel bölgenin
alanı 2 br2 iken çokgensel bölgenin alanı
kaç br2 dir?
ÇÖZÜM:
Eşkenar üçgenin bir kenarı x ise,
Altıgenin bir kenarı x/2 dir.
[PR], 21 kenarlı düzgün çokgenin
[PQ], 28 kenarlı düzgün çokgenin bir
kenarı iken, [QR] kaç kenarlı düzgün
çokgenin bir kenarıdır?
x2 3
 2 br2 ise
4
2
 x
  3
2
 3 br2 dir.
6.
4
ÇÖZÜM:
2 2 2


21 28 12
,
12 kenarlı
veya;
2 2 2


21 28 84
- 102 -
84 kenarlı
ÖRNEK:
ÖRNEK:
ABCD kare.
A(ABCD)=25 cm2.
DEFC eşkenardörtgen.
A(DEFC)=20 cm2.
Taralı alan kaç cm2.dir?
ABCD kare. A(BCD)=64 cm2.
E,F,G,H,K,L,M,N kenarların orta
noktaları.
Taralı alan kaç cm2.dir?
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
A(BCD)=64 cm2.  |AB|=4
|AE|=2  |HE|= 2 2  |HN|= 2
 |NM|= 2 cm. dir.
A(ABCD)=a.a=25 cm2.  |DC|=5
Taralı alan = 22+2.
A(DEFC)=a.h=20 cm2.  |EH|=4
EHD dik üçgeninde pisagor teo:
|DH|2+42=52  |DH|=3  |HC|=2
Taralı alan bir yamuk olduğundan ;
Taralı alan =
(5  2 ) 4
 14 cm2.
2
- 103 -
2 2
 6 cm2
2
ÖRNEK:
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
DP  EF çizildiğinde ;
DAE  DPE (AKA)
|DA|=|DP| ve |AE|=|EP|=4
A( DEFG)  a.h
A( ABC ) 
|DP|=|DC| bulunduğundan
DPF  DCF olur ki |PF|=|FC|=6 dır.
|EF|=|EP|+|PF|=|AE|+|CF|=4+6=10
ABCD karesinde ; ED açıortay ise ;
|EF|=|AE|+|FC| dir.
- 104 -
1
(2a ).( 2h)  2a.h
2
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER:
1. ÖRNEK:
2. ÖRNEK:
ABC herhangi bir üçgen.
ABDE ve BCGH birer kare.
|DM|=|MH|
|AC|=36 br. ise
|BM|=x kaç br.dir?
Verilenlere göre |EC| kaç cm.dir?
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
EDC dik üçgeninde [EC] hipotenüsüne ait
[DP] kenarortayı çizildiğinde ;
|EP|=|DP|=|PC| (MUHTEŞEM ÜÇLÜ)
DK//BH ve HK//BD çizildiğinde ;
Bir dik üçgende, hipotenüse ait
kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir.
Oluşan BDKH paralelkenarında
Köşegenler biri birini ortalayacağından
|DK|=2|DM|
m(BDK)=m(ABC)
ABC  BDK (K.A.K)
DPC ikizkenar üçgeninin DPC dış açısının
ölçüsü, ACB açısının (DAC açısının)
ölçüsüne eşit bulunur ki
ADP ikizkenar bir üçgendir.
|DK|=AC|=36
|EC|=2.|DP| olduğundan
|DM|=18 birimdir.
|EC|=12 cm.dir.
EK BİLGİ;
MD  AC olduğu da aynı şekilde
görülebilir.
- 105 -