elementer geometri

56
İKİNCİ BÖLÜM
GEOMETRİ YAPMANIN YOLLARI
2. 1 GİRİŞ
PROCLUS DIADOCHUS İstanbul’da, M.S. 410 da
doğdu. 75 yaşında iken Atina’da öldü. Atina’daki
Plato-Eflatun’nun Akademi’sinin başkanı oldu. Bugün
eski zamanların geometrisinin gelişiminin bir
görünümünü temin etmek için bilinen en iyi kaynaktır.
“Euclid’in Kitap 1 Üzerine Yorum”u, Euclid’in
farkına varamadığı bazı ayrıntılara işaret eden
“Elemanlar”ın bir kritiğidir. “Eudemian Summary”
olarak bilinen “Commentary-Yorum”nin bir kısmı,
Euclid’den önce ortaya çıkan geometrideki gelişmeleri
irdeler ve Yunan geometrisinin ilk tarihi hakkındaki en
büyük kaynağımızdır. Euclid’in (on üç kitaptan
oluşan) “Elemanlar”ı telif ettiği takriben altı asır
sonra Commentary’yi yazmış olmasına rağmen
kaybolalı beri Elemanlar’ın birkaç kitabına ulaşmış ve
bu kitapları referans vermiştir. Yorumları, Thales’le
başlayarak Pythagoras, Hippocrates ve diğerlerinin
katkılarını dahil ederek geometrik düşüncenin geliştiği
tarzın daha iyi bir anlamını sağlayan tarihi
anekdotları birlikte birleştirmemize izin vermektedir.
Tarihsel bir perspektiften bakıldığında geometrinin gelişimi,
tümevarımlı (endüktif) keşiflerden fazlasıyle sofistike olan
tümdengelimli (dedüktif) süreçlere bir geçiş olarak karakterize
edilebilir.
İlk geometriciler, sadece günlük projelere faydalı olduğu ölçüdeki
konu ile ilgilenmişlerdir. Bu durum, matematiğin diğer alanları için
57
de böyle idi. Mesela eski Babilliler, alışveriş ve ticaretle yoğun bir
şekilde ilgili olduklarından kendi zamanları için gelişkin bir aritmetik
sistemine sahiplerdi.
Çoğu aynı sebepten eski Mısırlılar, pratik mülahazalardan dolayı
(yani arazi kanallarını yıkan ve bunları yeniden inşa için sık sık
gözden geçirmeyi gerektiren Nil nehrinin düzgün akışının sağlanması
vb) geometride ileri gittiler. Geometrilerinin gerisindeki yani
dayandığı teori için ilgileri ya azdı veya hiç yoktu. Geometrilerinin
niçin iş gördüğü, onlar için ilginç değildi. Sadece metotlarının başarılı
olduğuna bakıyorlardı ve tekniklerinin geçerliliğini desteklemek
üzere bir yaşantısal (empirical) olay bolluğuna sahiplerdi. Mısır
geometrisinin çoğu, denemeye ve dolayısıyla hataya dayanıyordu.
Sonuçlarının çoğu, yaklaşımlar şeklinde idi. Mısırlılar, yalnızca
geometrik fikirlerin uygulanmasıyla ilgili olduklarından bunların
hiçbiri, bir kusur olarak görülmüyordu.
Yunan matematikçi ve filozofları, Akdeniz havzası boyunca diğer
toplumlara nazaran daha etkili olurlarken geometrinin incelemesini,
içinde pür mantığın idmanının yapılabildiği bir zemin gibi iş gören ve
idealize edilen bir model anlamında reel dünyanın bir soyutlaması
olarak mütalaa etmişlerdir. Pratiksel mütalaalar-düşünceler, öneme
sahip değildi ve konunun önemi, uygulanan mantıksal süreçlerin
sağlamlığında yatıyordu. Bütün bunlar, takriben M.Ö. 250 de Euclid
anıtsal çalışması Elemanlar adlı kitabını yayımladığı zaman büyük
ölçüde gerçekleşerek ortaya çıkmıştır. Euclid'in Elemanlar'ı, modern
matematikçilerin gözden kaçırılmış, sakınılmış, önemsenmemiş olan
tartışma konuları hakkındaki soruları ortaya çıkarmağa ve
cevaplamağa başladığı oldukça yakın bir zaman öncesine kadar 2000
yıldan fazla zamandan beri geçen süre zarfında geometrideki en etkili
çalışma olarak devamlılığını sürdürmüştür.
Bu Bölüm’de formal bir aksiyomatik sistem olarak Euclid’in
Elemanlar kitabı, informal bir şekilde değerlendirecek ve onu
ondokuzuncu yüzyıl esnasında ileri sürülen alternatif sistemlerle
karşılaştıracak veya ileride 3. Bölüm'den 6. Bölüm'e kadar olan
58
Bölüm’lerde takdim edilecek olan Euclidyen ve Euclidyen-olmayan
geometrilerin daha formal bir gelişimi için hazırlıkta bulunacağız.
Kullanacağımız malzeme, çoğunlukla tabiatları gereği hazırlık
niteliğinde olduğundan sunulan birkaç ispat, oldukça kaba üstünkörü
bir biçiminde verilecektir. Benzer olarak bu Bölüm’de verilen
alıştırmaların, titiz bir şekilde hazırlanmalarına gerek görülmemiştir.
3. Bölüm'den 7. Bölüm'e kadar karşılaşacağımız geometrilerin daha
kesin bir gelişmesini sağlamak için yeter zaman vardır. Kronolojik
olarak geometrinin ilk önemli dedüktif (tümdengelimli-çıkarsamalı)
takdimi, Elemanlar‘da verilmiş olduğundan geometriye, Euclid
tarafından algılanmış olması gerektiği gibi bir bakışla başlayacağız.
2. 2 EUCLID’İN GEOMETRİSİ VE
EUCLID’İN “ELEMANLAR”I
THOMAS LITTLE HEAT (1861-1940) Asırlar
boyunca Euclid’in “Geometrinin Elemanları” kitabı,
pek çok sayıda dile tercüme edilmiştir. İngilizce'ye
yapılan tercümeler arasında bilinenlerin en iyisini
1908 de vermiştir. Hem matematik ve hem de klasikte
bir bilim adamı idi. 1879 da Trinity College
Cambridge'de çalışmağa başladı ve bu her iki alanda
dereceler kazandı. Daha sonra British Treasury'de ve
buradan National Dept Office'te yüksek dereceden bir
memur oldu. 1926 da emekli oldu. Britanya hükümeti
için çalışırken matematik tarihi üzerindeki bir dünya
eksperine-ustasına götüren olarak ikinci bir kariyeri
kazandı. Özellikle Yunan matematiği ile ilgilendi ve
Pappus, Diophantus, Appolonius, Archimedes,
Euclid’in dersleri üzerinde makaleler ve denemeler
yayımladı. 1912 de Royal Society'e üye seçilmiştir. İlk
olarak 1921 de hazırladığı “Yunan Matematiği
Tarihi” klasiği, hala “altın çağ” dönemindeki
(Perikles devri) matematiğin gelişimine yegane olan
bir bakışı sağlamaktadır.
Euclid’in zamanındaki Yunan matematikçileri, geometriyi içinde
yaşadıkları reel dünyanın soyut bir modeli olarak düşünmüşlerdi.
Nokta, doğru, düzlem (veya yüzey) vb kavramlar, insani algılamalar
ile uyumlu-tutarlı olmak anlamına geliyordu. Postulatlar ve
59
aksiyomlar (veya ortak kavramlar), tartışmağa çok az sebebiyet veren
(bu ve diğer Bölüm’lerde ilerde ayrıntılı olarak tartışacağımız bir
büyük ve bir küçük istisna ile) en sağduyulu fikirler kısmı içindi.
Euclid’in geometri yapmak üzere kendisine görev addettiği iş, görmüş
olduğu gibi, gerekli bütün terimleri tanımlamak, gerekli postulatları
ifade etmek ve geometriyi oluşturan teoremleri türetmek için güvenilir
olan mantığı uygulamaktı.
Modern geometriciler (kısaca tartışacağımız David Hilbert ve
G.D. Birkhoff vb.), Euclid’in geometrisine (yani Euclid tarafından
türetilen teoremlerin kümesine) farklı aksiyom kümeleri ve terimlerin
tanımlarına farklı yaklaşımlar kullanan bakışaçıları önermişlerdir
Bunun aksine diğer matematikçilerin, Euclidyen-olmayan
geometrileri (yani Euclid’in ispat ettiği teoremlerle çelişik teoremler
ihtiva eden geometrik sistemleri) inşa etmiş olduklarını göreceğiz. Bu
durum, tamamiyle bu geometrilerdeki postulatların Euclid tarafından
kabul edilen bazı postulatlarla çelişmelerinden dolayı mümkündür.
Euclid’in geometrisinin bir tartışmasına, ilk olarak 2200 yıl önce
aynen Elemanlar’da takdim etmiş olduğu hali ile başlayacağız. Bu
çalışmanın tamamı için kesin bir duygu-fikir elde etmek üzere
Elemanlar’ın birinci kitabı eski Kitap 1 i okuma zorunluluğu yoktur.
Bu şekilde davranmak, biraz haksızlık gibi ise de bu Kesim’de, 1.
Bölüm'de tartıştığımız kriteri (yani aksiyomatik yöntemi) kullanarak
Elemanlar’ın birinci kitabı olan Kitap 1 i bir aksiyomatik sistem gibi
ele alıp değerlendireceğiz.
Euclid, anlatımına 2 tanesi aşağıda sunulan 23 adet tanımını
sıralayarak başlar (Euclid’in Kitap 1 deki diğer tanımları, bu kitabın
sonundaki Ek A da bulunabilir).
Tanımlar:
1. Bir nokta, parçasız (şey)dir.
60
2. Bir doğru, ensiz uzunluktur.
Euclid’in zamanında tanımsız terimler için olan ihtiyaç, henüz
tanınmıyordu (Bu, Tanım 1 den açıktır). Eğer bir nokta, parçası
olmayan şey olarak tanımlanacaksa parça, tanımsız bırakılmış olur.
Bu problemin üstesinden gelmeğe çalışmak istersek parça için bir
tanım verir ve yeni bir tanımlanmamış terimi (Bir parça, alan işgal
eden şeydir gibi) sunar veya bu şekilde devam ederek sonunda nokta
terimini bir biçimde içeren bir sirküler (kısır döngülü) tanıma (Bir
parça, noktaların bir koleksiyonudur gibi) ulaşırız. Böylece sonuçta
nokta terimi, nokta ile tanımlanmış olur ki bu, bir ikilemdirdilemmadır. Bu ikilem, bazı geometrik terimleri tanımsız bırakma
ihtiyacına işaret etmektedir.
Çoğumuz, bir parçanın (veya alanın ve diğerlerinin) geometrik
kavramına nazaran bir noktanın geometrik kavramı hakkında daha iyi
bir sezgisel duyguya sahip olduğumuz konusunda hem fikir olabiliriz.
Bundan dolayı modern geometricilerin çoğu, tanımsız bırakmak üzere
parça, alan gibi diğer terimleri değil nokta terimini seçmişlerdir.
Benzer bir problem, önceden hiçbiri tanımlanmamış olan ensizlik
ve uzunluğa dayanarak hareket edildiğinden yukardaki Tanım 2 de de
aynen ortaya çıkar.
Bütün bunlardan Euclid’in belli bazı terimlerin tanımsız
bırakılmasının gerekliliğine ait olan ihtiyacı tanımayı, başaramadığını
görürüz. Bu, şaşırtıcı olmamalıdır. Çünkü aksiyomatiğe ilk Yunan
yaklaşımı, tanımsız terimlerin (veya ilkellerin) bir listesini
gerektirmiyordu. Euclid’in bir noktayı algılaması, yaşadığı zamanlar
esnasında reel terimler cinsinden düşünülebilen hiçliğe-yokluğa
büzülen bir fiziksel nokta idi. Sonuç olarak Euclid’in bu tanımı,
büyüklüğü (veya boyutu) olmayan bir fiziksel varlık fikrini tasvir etme
girişimiydi. Euclid zamanının Yunan matematikçi ve filozofları, bu
iki fikir (yani tanımlar ve tasvirler) arasındaki farkı ayırt etme
ihtiyacını tanımamış iseler de bu ve diğer tanımlar, daha doğru olarak
tanımdan çok tasvir diye adlandırılabilir. Bölüm 1 de tartıştığımız
61
aksiyomatik metodun gereklilikleri üzerinde matematikçilerin hem
fikir olmaları, çok uzun zaman sonrasına kadar hiç olmamıştır.
Tanımsız terim kavramı, gerçekte nispeten yeni bir fikirdir.
Tanımsız terimler için gerekliliği tanımadaki başarısızlığından
dolayı Euclid’i kolayca affedebiliriz (Zira Euclid’in kendisinin, içinde
yaşamış olduğu çevresinin bir ürünü olduğu unutulmamalıdır). Buna
karşılık sistemi geliştirmede kullanılan terimlerin karşılıklı bir
anlaşılması için olan gerekliliği, yani tanım ihtiyacını, tanımasından
dolayı kendisine itibar etmemiz gerekir.
Formal bir aksiyomatik sistemin başka bir temel bileşeni olan
aksiyomlara veya postulatlara gelince Euclid, kabullerin bu iki tipi
arasında bir ayırım yapmıştır. Postulat terimini, geometriye has
kabulleri refere etmek için kullanmıştır. Matematiğin her dalında
kullanılan ve özellikle geometriye bağlı olmayan kabullere, ortak
kavramlar (çoğunlukla aksiyomlar diye isimlendilirler) adını
vermiştir. Euclid’in kabullerinin bu her iki kümesi, bu kitabın
sonundaki Ek A da bulunabilir. Burada uygunluk için sadece
postulatlar, sıralanacaktır.
Postulatlar:
1. Herhangi bir noktadan başka bir noktaya bir düz çizgi
(doğru) çizmek (çizilebilir).
2. Bir düz çizgide (doğruda) sürekli olarak bir düz çizgi
(doğru) çizmek (çizilebilir).
3. Herhangi bir merkez ve bir yarıçapla herhangi bir
çemberi tanımlamak (tanımlanabilir-çizilebilir).
4. Bütün dik açılar, birbirlerine eşittir (eştir).
5. Eğer iki düz çizgi (doğru) üzerine düşen bir düz çizgi
(doğru), aynı tarafta iki dik açıdan küçük iç açılar yapar
62
ve bu devamlı olarak üretilirse bu iki düz çizgi (doğru),
bu açıların iki dik açıdan küçük olduğu tarafta kesişir.
Bu durumda bir aksiyom kümesinin tutarlı, bağımsız ve tam
olmasını gerektiren çağdaş standartlar (yani bir aksiyomatik sistem
olma) açısından bu aksiyom kümesinin durumunun ne olduğu
sorulabilir. Bu soruyu cevaplamaya, tamlığın bir tartışması ile
başlayabiliriz.
1.Bölüm’de belirtildiği gibi bir aksiyom kümesi, eğer kendi
aksiyomlarıyla uyuşan (yani tutarlı olan) yeni bir bağımsız aksiyomu
ilave etmeyi imkansız kılıyor ve yeni tanımsız terimler ihtiva etmiyor
ise tamdır. Bunu akılda tutarak aşağıdaki altıncı postulatı alalım ve
Euclid'in postulat kümesine eklenip eklenemeyeceğini inceleyelim:
6. Aynı doğru üzerinde olmayan en az üç nokta vardır.
(i) Bu kabul, diğer postulatlardan bağımsız mıdır? Euclid’in bu
beş postulatında noktaların varlığı, hiç zikredilmediğinden bu
postulatlar, noktaların varlığını ve doğrudaş olup olmadıklarını tesis
etmek için kullanılamazlar. Bu durum, Postulat 6 nın Euclid’in
postulatlardan bağımsız olduğunu ima ettiğinden Euclid’in postulat
kümesinin tam olmadığını gösterir.
(ii) Postulat 6, diğer postulatlarla uyumlu (yani tutarlı) mudur?
Eğer böyle ise bütün bu altı aksiyomu aynı anda gösteren bir model
inşa edebilmemiz gerekir. Tutarlılığı göstermek için Euclidyen düzlem
diye normal olarak (bir model gibi) düşünülen şeyi kullanacağız:
sonsuz uzunluk ve genişlikte bir kağıt parçası. Eğer bu düzlemde
üçgenlerin var olduğuna ve köşelerinin tek bir doğru üzerinde
olmadığına dikkat edersek, açık olarak bütün bu altı postulatı tek tek
hemen sergileyen bir model elde ederiz. Bundan bu altıncı postulatın,
diğerleriyle uyumlu olduğu sonucunu çıkarırız.
(iii) Bu aksiyom, herhangi yeni tanımsız terimler ihtiva ediyor mu?
Açık olarak hayır.
63
Önemli Not: Postulat 6, bir anlamda yeni bir terim “üzerinde”yi
(veya noktanın doğruya isabetini yani “konum”unu) ihtiva eder!
“Elemanlar” kitabında “ konum bağıntısı”nın bir anlayışı başından
sonuna kabul edilmesine rağmen Euclid, “ konum bağıntısı” için de
bir tanım sağlamada başarısız olmuştur.
Bütün bunlardan Euclid’in önerdiği aksiyom kümesinin, yeni
tanımsız terim kullanmadan, diğerleriyle uyumlu bir altıncı bağımsız
postulatı ekleyebileceğimiz anlamında, tam olmadığı sonucunu
çıkarabiliriz. Ne var ki Postulat 6 yı Euclid’in postulat kümesine ilave
etmenin, Euclid’in postulat kümesini tam yaptığı anlamına da
gelmediğine dikkat edilmesi önemlidir.
Ancak yukardaki tartışma, son zamanların birçok geometricisinin
kaydetmiş olduğu üzere Euclid tarafından yapılan şu dikkatsizliğe
işaret etmektedir: Bir geometrik sistem önerildiği zaman modern
geometriciler, teoremlerin trivial (aşikar) olmayan bir modele
uygulamalarını garanti etmek amacıyla, noktaların varlığını bir şekilde
her zaman postule ederler.
Önemli Not: Açık olarak postule edilmedikçe noktaların varlığı,
kabul edilmeyebilir ve bunun bir sonucu olarak noktaların varlığını
eksik bırakan geometriler, anlamsız yani boş farzedilir.
Euclid’in bir tam olmayan aksiyom kümesi ile başlamadaki
başarısızlığı, çalışmasının büyük bir eksikliği idi. Çeşitli postulatların
yokluğunda (noktaların varlığı vb gibi) açık-aşikar olduklarını
hissettiği veya düşündüğü ilgili şeyleri Euclid, çoğu kez açıklıkla
söylemeden kabul etmiştir. Şüphesiz buradaki problem, bu kabullerin
geçersizliği değil aksine açık olarak belirtilmemiş yani postule
edilmemiş (başka bir deyimle bir postulat halinde verilmemiş)
olmalarıdır.
Buna örnek olarak Elemanlar’ın ilk kitabı Kitap 1 de verdiği ilk
önermesi gösterilebilir. Bu önerme, ispatı ile birlikte aşağıdadır:
Not: Euclid, “ teorem” terimi yerine “propozisyon” (önerme) kullanmştır.
64
Önerme 1 (Euclid, Kitap I). Herhangi verilen bir doğru parçası
üzerinde bir eşkenar üçgen inşa etmek (edilebilir).
İspat. Bu önerme için Euclid’in ispatı, aşağıdaki gibi (Şekil 2.2.1 e
dayanarak) özetlenebilir:
C
A
B
Şekil 2.2.1
Euclid, bir kenarı verilen AB doğru parçası olan bir eşkenar
üçgen inşa etmek amacıyla önce A noktasını merkez ve bir yarıçap
olarak AB doğru parçasını sonra B noktasını merkez ve bir yarıçap
olarak yine AB doğru parçasını kullanarak kendi 3. Postulat’ından
sırasıyla A çemberini ile B çemberini inşa eder. A ve B çemberlerinin
iki kesim noktasından birini C ile gösterir. Kendi 1. Postulat'ından A
dan C ye ve B den C ye olan AC ve BC doğrularını çizerek ΔABC
üçgenini oluşturur.
Not: Euclid, doğru, doğru parçası ve ışın terimleri arasında bir ayırım
yapmadı. Bu, Postulat 2 den açıkça görülebilir.
C, aynı yarıçaplı bu her iki çember üzerinde olduğundan AC = BC
= AB dir. Buradan ΔABC üçgeni, üç kenarının uzunlukları eşit
olduğundan eşkenardır (Burada “AB” notasyonu, A ile B arasındaki
uzaklığı veya eşdeğer olarak AB doğru parçasının uzunluğunu
göstermek için kullanılmıştır).▄
Not: Yarıçap teriminin iki kullanımı aşağıdaki gibidir:
65
(i) Bir doğru parçası.
(ii) Pozitif bir reel sayı.
Mesela AB doğru parçası, bir çemberin r yarıçapı gibi iş görürüken
AB nin uzunluğu yani AB de aynı çemberin yarıçapıdır. Bunlardan
yarıçap olarak hangisinin kastedildiği içerikten anlaşılır.
Euclid’in bu muhakemesi, doğru mudur? Bulunan bu geometrik
model, sezgimize uygun geldiğinden evet! Başka bir deyişle bu
tartışma, eğer geleneksel Euclidyen düzlemde çalışıyorsak doğrudur.
Ne yazık ki Euclid'in yukarıda sıralamış olduğu postulatlar, bu
geometrinin Euclidyen tabiatlı olduğunu garantilemek için yeterli
değildir (Kesim 1.4 deki Alternatif 2 ve onu takip eden açıklamaları
hatırlayınız). Mesela bir koordinatlandırılmış düzlem modelini (yani
bir grafik kağıt parçasını) aldığımızı ve tanımsız terim olan noktayı,
rasyonel koordinatlı nokta olarak yorumladığımızı farz edelim. Söz
gelimi A yı (0,0) orijin noktası ve B yi de (1,0) birim noktası
biçiminde düşünebiliriz. Bu taktirde C nin ( 1 ,
3
2
) koordinatlarına
sahip olduğunu kolayca gösterebiliriz. Ne var ki
3
2
sayısı, irrasyonel
2
olduğundan C, bu düzlem modelimizin bir noktası olamaz. Bu da A ve
B çemberlerinin kesişmediği anlamına gelir. Dolayısıyla Euclid'in bu
ispatı, bu modelde var olmayan bir noktanın varlığını kabul ettiğinden
başarısız yani geçersizdir.
Şüphesiz içinde çalışmakta olduğumuz düzlemin, irrasyonel
koordinatlı noktaları ihtiva ettiğini söyleyerek bu görüşe karşı
çıkılabilir. Bu da çoğunlukla Euclidyen geometri olarak
düşündüğümüz geometride çalışıyorsak doğrudur. Buna karşılık
Euclid’in postulat kümesinde bunu garantileyen hiç bir şey yoktur.
Eğer sadece postulatlardan muhakeme yürütecek
ve sezgiye
dayanmayacaksak postulatlar, sezgilerimize algılaması kolay somut
içerik verme ihtiyacını karşılamalıdırlar. Gerek görülen bütün
postulatları belirleme, Euclid dahil herkes için ilk anda
düşünülebilecek kadar kolay değildir. İlerde bu Bölüm’ün sonlarına
66
doğru Hilbert ve Birkhoff’un postulat kümelerini tartışacağımız
zaman bunun hakkında daha çok söz edeceğiz.
Not: “Euclid’in geometrisi” terimi ile “Euclidyen geometri” terimi
karıştırılmamalıdır. “Euclid’in geometrisi”, bizzat Euclid’in kendisinin
yaptığı yani “Elemanlar” adlı kitabında takdim ettiği geometri iken
“Euclidyen geometri”, Euclid’in sistemine dayanarak Euclid’den başka
kimselerin yapmış olduğu geometrinin adıdır.
Euclid, bazı ispatlarında açıkça ifade edilmemiş olan başka
kabuller de yapmıştır. Buna örnek olarak aşağıdaki Kitap 1 de ifade ve
ispat ettiği ikinci önermesi verilebilir:
Önerme 2 (Euclid, Kitap I). (Bir uç olarak) verilen bir noktada,
verilen bir düz çizgiye (doğruya) eş bir düz çizgi (doğru) çizmek
(koymak).
İspat (Euclid). Bu önerme için Euclid’in yaptığı ispat, aşağıdaki gibi
devam eder (Şekil 2.2.2 ye bakınız):
C
D
A
B
H
L
G
F
E
Şekil 2.2.2
Verilen nokta A ve A noktasından itibaren bir eşini çizeceğimiz
verilen düz çizgi (doğru parçası) BC olsun. Euclid, 1. Postulattan
67
AB yi çizdikten sonra Önerme 1 i uygulayarak AB üzerinde ∆ABD
eşkenar üçgenini inşa eder.
2. Postulat gereğince DA ve DB düz çizgilerini (ışınlarını) E ve
F noktalarına doğru keyfi olarak uzatır (Burada “ DA ” notasyonu, D
den farklı A noktasını ihtiva eden ışını göstermek için kullanılmıştır).
Daha sonra B merkezli ve yarıçap uzunluğu BC olan B çemberini inşa
eder (Bunu hangi postulat, garanti eder?) ve bu çember ile DB
ışınının kesişimini temsil için G yi kullanır.
D merkezli ve DG yarıçaplı ikinci bir çember inşa eder (Hangi
postulat, buna izin verir?). Bu ikinci çemberin DA ile kesişimini L ile
gösterir.
Buradan sonuç olarak ∆ABD eşkenar üçgeninin kenar uzunlukları
olduğundan DA = BD, B merkezli çemberin yarıçapları olduğundan
BC = BG, ve D merkezli çemberin yarıçapları olduğundan DL = DG
bulur. Diğer taraftan DL = DA + AL, DG = DB + BG veya DA + AL
= DB + BG dir ve AL = BG = BC dir. Böylece AL , ucu A ve
uzunluğu BC olan bir doğru parçası yani AL  BC olur ki ispat,
tamamlanmış olur.▄
Bu ispat, Şekil 2.2.2 de gösterilen konfigürasyon için doğrudur.
Fakat eğer noktalar, farklı konumda yer alsalardı acaba durum ne
olurdu?
Bu ispata ilk itirazı, Proclus yapmıştır ve Commentary’sinde
“Geometricimiz (yani Euclid), söz konusu doğrunun üzerinde olmayan
ve bir tarafında bulunan bir noktayı almıştır; ancak biraz sabır
göstererek bütün halleri göz önüne almamız gerekir…” diye yazmıştır.
Mesela eğer A noktası, BC nin üzerinde ise Euclid’in yukarıda
verdiği ispat, doğrudan uygulanamaz (A nın diğer muhtemel
konumları: B nin A ile C arasında ve C nin B ile A arasında olduğu A,
B, C noktalarının doğrudaş olmaları halidir).
68
Euclid, Elemanlar’da bu önerme için yapılabilecek muhtemel
birçok çizimden sadece biri olan Şekil 2.2.2 deki konfigürasyonu
kullanarak ispatını yapmıştır. Eğer bu önerme, bütün haller için ispat
edilecek ise daha genel bir demonstrasyona (gösterime veya ispata)
ihtiyaç vardır. Sonuçta bazı değişiklerle bu tartışmanın, herhangi üç
nokta A, B ve C nin seçimine uygulanabileceği ve bu teoremin, bu
noktaların yerlerine bakmaksızın ispat edilebileceği açıklıkla ortaya
çıkarılabilir. Ancak ispat yaparken bize rehberlik etsin diye çizdiğimiz
resimler (veya şekiller), ispat konusunun her zamanki hali (veya
görünümü) olduğu anlamına gelmez. Özellikle tamamen şekilleri veya
diyagramları esas alarak ispat yapmak, bazen çok vahim sonuçlar
doğurabilir. Bunun ne demek olduğunu anlamak üzere aşağıdaki
sözde teoremin sözde ispatını göz önüne alalım:
Teorem. Bütün üçgenler, ikizkenardır!
İspat. ∆ABC de  A nın açıortayı, BC nin orta dikmesini D de
kessin. DF ve DE , D den AB ve AC ye dikmeler olsun. DA , DB
ve DC yi çizelim (Şekil 2.2.3). Liseden bilinen Euclidyen eşlik
bağıntılarını kullanarak kolayca ∆ADF  ∆ADE, ∆BGD  ∆CGD yi
gösterebilir ve dolayısıyla ∆BDF  ∆CDE olduğunu ispatlayabiliriz.
Bu taktirde eğer bu kongrüent üçgenlerin karşılıklı eş olan parçalarını
toplarsak AF = AE ve FB = EC olacağından AF + FB = AE + EC
veya AB = AC buluruz ki bu, hakkında hiçbir şey (?) bilmediğimiz
bir ∆ABC üçgeninin ikizkenar olduğu (!) anlamına gelir.▄
A
F
E
D
B
G
Şekil 2.2.3
C
69
Bu ispattaki hata, yürütülen mantıktan çok şekle dayanarak
yapılan kabullerde yatmaktadır. Buradaki kabul, ustaca gizlenmiştir ve
belirlenmesi, bir alıştırma olarak bırakılacaktır.
Bütün bunlardan özet olarak Euclid’in düzlem geometrisini
takdimi, en az üç konuda kusurlu olmuştur:
1. Tanımsız terimler için ihtiyacı tanıma eksikliği.
2. Teoremlerin ispatında ustaca gizlenmiş fakat ifade
edilmemiş postulatların kullanımı.
3. İspatların inşasındaki mantığa rehberlik için şekillerediyagramlara güvenme.
Bu tartışmayı, Euclid’in eleştiriye fazlaca açık olduğu biçiminde
yani “Euclid’e karşı bir darbe” olarak asla yorumlanmamalıdır.
Euclid’in Geometrinin Elemanları çalışması, çok önceden geometriyi
sistematize etmenin ilk girişimiydi ve 2000 den fazla yıldan beri
zamanın testine karşı durmuş dikkate değer çok iyi bir çaba olmuştur.
Kabul edilebilir aksiyomatik sistemlerin yapısı hakkındaki kurallar,
M.Ö. 250 den beri alabildiğine değişmiş olduğundan günümüzde
kabul edilebilen standartları kullanarak o zamanın periyodundaki bir
işi yargılamak, haksızlık etmekten çok daha fazla bir şeydir.
Gerçekten modern geometricilerin Euclid’in geometrisi için tutarlı ve
bağımsız aksiyom kümeleri inşa etmeğe muktedir olmaları, 1800 lere
kadar sürmüştür [Euclidyen aksiyomlarının bir kümesinin tutarlılığı
problemi, zordur. Relatif tutarlılık (Bölüm 1), ümit edilebilinenin en
iyisidir. Bu sorun, Bölüm 6 da tartışılacaktır]. Bundan sonraki iki
Kesim’de böylesi aksiyom kümelerinden ikisini, sırayla, tartışacağız.
Euclid’in Elemanları’nın daha fazla tartışma ihtiyacı gösteren
başka bir görünüşü, beşinci postulatı Postulat 5 in ifadesinin tabiatı ile
ilgilidir. Kitap 1 den beş postulata kısa bir bakış, Postulat 5 in
diğerlerinin herhangi birinden çok daha karmaşık olduğunu gösterir.
70
İlk dört postulat, Postulatlar 1-4, çoğu kimse için apaçık iken Postulat
5, anlamı açık hale getirilene kadar birkaç kez okunmayı gerektirir.
Postulat 5 in ifadesi, doğrudan doğruya “iki doğru, bir kesenle bu
kesenin sağında oluşan iç açıların ölçüleri toplamı iki dik açıdan
(180°) küçük olmak şartıyla kesilirse, bu kesenin sağında kesişirler”
ve benzer şekilde “bu doğrular, kesenin solundaki iç açıların ölçüleri
toplamı 180° den küçük ise, kesenin solunda kesişirler” biçimindedir.
Euclid, iç açıların ölçülerinin toplamı kesinlikle l80° iken bu kesişimin
vuku bulmayacağını ispat ettiği zaman bu imaları, Elemanlar’ındaki
Önerme 27 de değerlendirmiştir. Bu postulatın dallara ayrılması
(Bölüm 1, Kesim 1.4), ilerde göreceğimiz üzere aşırı derecede
önemlidir. Her zaman elde hazır olmamasına rağmen bu postulatın
sonuçlarından birkaçı, aşağıdadır:
1. Verilen bir doğruya, dışındaki verilen bir noktadan geçen,
yalnızca bir paralel çizilebilir.
2. İç açılarının ölçüleri toplamı, 180° olan en az bir
üçgen vardır.
3. Paralel doğrular, her yerde eş-uzaklıktadırlar.
4. Benzer fakat eş olmayan bir çift üçgen vardır.
5. Üç farklı noktadan eş-uzaklıklı olan doğruların bir çifti
vardır.
6. Her üçgen, çevrelenebilir (çevrel çemberi çizilebilir).
7. İç açıların ölçüleri toplamı, bütün üçgenler için aynıdır.
8. Dikdörtgenler, bir pergel ve bir cetvel kullanarak inşa
edilebilir.
71
Postulat 5 in karmaşıklığından dolayı birçok matematikçi, bu
postulatın Euclid’in çok daha açık olduğunu düşündükleri diğer
postulatlarının bir sonucu (teorem gibi) olarak türetilebileceğini
zannetmişlerdir. Gerçekten Euclid’den sonra 2000 i aşkın yıl boyunca
geometriciler, Postulat 5 in bir teorem olduğunu göstermeğe
çalışmışlardır. Nitekim yukarıda direkt olarak verilen 1 den 8 e kadar
olan sonuçlardan her biri, bu postulata eşdeğer olduğundan (Bölüm
3 e bakınız) bunlardan herhangi biri, Postulat 5 olmaksızın ispat
edilebilir olsaydı (ki bu, bir miktar çaba ile geri doğru çalışarak
başarılabilir) Euclid’in postulatları, gerçekten dörde indirilebilirdi.
Bunu aklımızda tutarak “bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı
180° dir”in aşağıdaki ispatını, göz önüne alalım:
Teorem 2. 2. 1. Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı, 180° dir.
İspat. Bir üçgen alalım ve bu üçgeni bir köşesinden karşı kenara bir
doğru çizerek iki üçgene bölelim (Şekil 2.2.4).
4
3
2
5 6
1
Şekil 2.2.4
Soldaki üçgenin iç açılarını  3 ,  4 ,  5 ve sağdaki üçgenin iç
açılarını  1,  2,  6 ile gösterelim. x, bu üçgenlerden birinin iç
açılarının ölçüleri toplamını temsil ederse oluşturduğumuz bu iki
üçgenin iç açıları ölçüleri toplamı için sırayla
m 3 + m 4 + m 5 = x
ve
m 1 + m 2 + m 6 = x
72
yazılabilir (Burada açı ölçüsü, mesela  1 açısının ölçüsü, “m  1” ile
temsil edilmektedir). Bu iki eşitlik taraf tarafa toplanırsa
m  1 + m  2 + m  3 + m  4 + m  5 + m  6 = 2x
elde ederiz. Öte yandan esas (yani büyük) üçgenin iç açıları ölçüleri
toplamı,
m 1 + m2 + m4 + m 3 = x
ve
m  5 + m  6 = 180°
dır. Bu son iki bağıntı, bir önceki eşitlikte kullanılırsa
x + 180° = 2x
veya
x = 180°
bulunur.▄
Dikkat edilirse bu ispatın hiçbir yerinde, paralel doğrulardan
herhangi bir şekilde söz edilmemiştir. Ancak durum, gerçekte bunun
aksinedir. Çünkü bu ispatta, aslında yukarıda Postulat 5 in önceden
doğrudan (ispatsız olarak) sıralanan ilk altı sonucundan biri, incelik ve
ustalıkla gizlenerek kullanılmıştır. Ustalıkla saklanan bu kabul, nedir
(Alıştırma 2.2-12 ye bakınız)?
ALIŞTIRMALAR 2. 2
1. İçinde Euclid’in beşinci postulatının geçerli olmadığı bir geometri
örneği bulunuz (Bölüm 1 e baş vurabilirsiniz).
2. Bütün üçgenlerin ikizkenar olduğu doğru mudur? Yukarıda bütün
üçgenlerin ikizkenar olduğuna dair verilen ispatta saklanan kabulü
açıklayınız.
3. Euclid’in Elemanlar-Kitap 1 deki üçüncü önermesi, aşağıdaki
gibidir:
73
Önerme 3 ( Euclid). Eşit olmayan iki düz çizgi (doğru
parçası ) için büyük olanından küçüğüne eşit bir düz çizgi
(doğru parçası) kesmek.
(a) Burada Euclid, eşit olmayan düz çizgiler (doğrular) kavramına
dayanmaktadır. Yeni terminolojide İki doğrunun eşit olması için gerek
ve yeter şart, aynı noktalara sahip olmalarıdır (Eşdeğer olarak iki
doğru, eşittir yalnız ve yalnız aynı noktalara sahip ise) tanımı
geçerlidir. Euclid, eşit olmayan doğrulardan söz ederken neye
dayanmış olduğu hakkındaki düşüncelerinizi açıklayınız.
(b) Daha kesin bir terminoloji kullanarak bu Önerme 3 ü, tekrar
ifade ediniz.
(c) Sadece Önerme 1, Önerme 2 ile Euclid’in postulatları ve
aksiyomlarının sonuçlarını kullanarak Önerme 3 için bir ispat temin
ediniz.
4. Nokta, doğru, (nokta ve doğrunun) üzerinde olma, (noktalar
arasında bir ilişki olarak) arada olma ve kongrüans-eşlik terimlerinin
tanımsız terimler olarak alındığını farz edelim. Aşağıdaki terimlerin
her biri için bir tanım veriniz.
(a) Paralel doğrular
(b) Dik doğrular
(c) Doğru parçası
(d) Işın
(e) Çember
(f) Kare.
Başlamadan önce tanımlanması gereken diğer terimler var mıdır? Eğer
varsa, bu terimler nelerdir ve onları tanımlayabilir misiniz? Eğer
yoksa, bundan nasıl emin olabilirsiniz? Açıklayınız.
5. Euclid’in üçüncü postulatı, bir çemberin herhangi bir noktayı
merkez ve herhangi bir uzunluğu yarıçap olarak kullanmak suretiyle
çizilebildiğini ileri sürer. Ne yazık ki “uzaklık” terimi, tanımların
kümesinde olmadığından uzunluk ve yarıçap, bu tanımda bir anlama
sahip değildir.
(a) Uzaklık terimi için tatmin edici bir tanım elde etmeğe çalışınız.
74
(b) Çemberin, uzaklık için bir tanım gerektirmeyen, tatmin edici
bir tanımını elde etmeğe çalışınız.
(c) Yarıçap, uzunluk, veya uzaklık terimlerinin herhangi birini
kullanmaksızın Postulat 3 ü yeniden ifade etmeğe çalışınız.
(d) İki çemberin kongrüent-eş olmasını nasıl belirtirsiniz?
Açıklayınız.
6. Euclid’in beşinci postulatını, anlamının tamamını değiştirmeksizin
daha anlaşılır bir şekilde yeniden ifade ediniz.
7. Kitap 1 de Euclid’in üçgenler için KAK (Kenar-Açı-Kenar) eşlik
şartını ifade eden. dördüncü önermesi, aşağıdaki gibidir:
Önerme 4 (Euclid). Eğer iki üçgen, sırasıyla eşit (eş) iki
kenara sahip ve bu iki kenar (düz çizgi) ile ihtiva edilen
açıları eşit (eş) ise bu iki üçgen, aynı zamanda eşit (eş)
tabana da sahiptirler; bu iki üçgen birbirlerine eşittir (eştir)
ve geri kalan açıları da eşittir ki bu açılar, eşit kenarların
karşılarında bulunurlar.
İspatı, üçgenlerin birini diğerinin üzerine kongrüent-eş kenar ve açılar
çakışacak şekilde (kaydırıp döndürmek suretiyle) yerleştirerek yapılır.
Bu taktirde geri kalan kenar ve açıların da çakışması gerektiğini ve
dolayısıyla ölçü bakımından eşit olacaklarını tartışır. Bu tartışma,
geçerli midir? Niçin veya niçin geçerli değil? Açıklayınız.
8. Bu Kesim’in başlarında Euclid’in postulat kümesine, bir bağımsız
ve tutarlı postulatı yeni tanımsız terimler takdim etmeksizin
eklenebileceğini görmüştük. Bu, Euclid’in postulat kümesinin tam
olmadığını gösterir. Aşağıdaki postulatların eğer varsa hangisinin,
aynı zamanda Euclid’in postulat kümesinin tam olmadığını göstermek
için kullanılabileceğini düşünürsünüz?
(a) En az iki nokta vardır.
(b) Bütün noktalar, doğrudaş değildir.
(c) Farklı noktaların her bir çifti arasında diğer ikisinden farklı
olan üçüncü bir nokta vardır.
75
(d) Her doğru en az iki nokta ihtiva eder.
(e) Verilen bir doğru ve bu doğrunun üzerinde bulunmayan bir
nokta için bu doğruya paralel olan ve bu noktadan geçen bir tek doğru
vardır.
(f) Üçgenler için KAK (Kenar-Açı-Kenar) kongrüans-eşlik şartı.
(g) Bir üçgenin iki açısı, 60° ise üçüncü açısı da 60° dir.
9. Aşağıdaki postulatı göz önüne alınız:
Verilen farklı herhangi iki A ve B noktaları için A ve B
arasında olan üçüncü bir C noktası vardır.
(a)
Bu postulat, herhangi yeni bir terim ihtiva ediyor mu?
Açıklayınız.
(b) Bu postulatın, Euclid’in beşinci postulatından bağımsız
olduğunu düşünüyor musunuz? Niçin veya niçin değil? Açıklayınız.
10. Aşağıdaki ifadeyi okuyunuz:
Verilen bir ℓ1 doğrusu ve ℓ1 üzerinde olmayan bir P
noktası için P  ℓ2 ve ℓ1  ℓ2 =  olacak şekilde en
fazla bir ℓ2 doğrusu vardır.
Bu ifadenin, Euclid’in postulat kümesinden bir teorem olarak ispat
edilebileceğini düşünüyor musunuz? Düşünüyorsanız bu ifade için bir
ispat tasarlayınız. Düşünmüyorsanız sebebini açıklayınız.
11. Aşağıdaki ifadeyi okuyunuz:
Verilen bir ℓ doğrusu ve ℓ üzerinde olmayan bir P noktası
için P den geçen ve ℓ ye paralel bir doğru vardır.
Bu ifade-önermenin, Euclid’in beşinci postulatı Postulat 5 e mantıksal
olarak eşdeğer olduğunu düşünür müsünüz? Açıklayınız (Eğer iki
ifade-önermedenden biri, diğerinin ve aksiyomatik sistemin geri kalan
76
ifadelerinin bir sonucu olarak türetilebiliyor ise bu iki ifadeye,
mantıksal eşdeğerdirler denir).
12. Bir üçgenin iç açıları ölçüleri toplamının 180° olduğu hakkında
yukarıda verilen ispatta, saklanan kabul nedir?
2. 3 MODERN EUCLİDYEN GEOMETRİLERE BİR GİRİŞ
FELIX
CRISTIAN
KLEIN
(1849-1925)
Almanya’daki Düsseldorf’da doğdu ve Göttingen’de
öldü. Hayatı boyunca geometri başta olmak üzere
matematiğin çeşitli dallarına önemli katkılarda
bulundu. Geometrideki en önemli başarısı, belki
“Erlanger Programı”dır (1872). O zamanlar gurup
teorisi, matematikte önemi yükselen bir alan olarak
doğuyordu. Bir geometrinin temel tabiatının, farklı
transformasyon gurupları altında invaryant-değişmez
kalan özellikler cinsinden nasıl incelenebildiklerini
tanımlamağa muktedir oldu. Bunu yapmakla soyut
cebir ile geometrinin incelemesini irtibatlandırdığı gibi
Euclidyen ve Euclidyen-olmayan geometrilerin
incelemesine bir birlik sağlamıştır. Aynı zamanda
topolojinin incelemesini göze almış Klein şişesi olarak
bilinen tek-taraflı, kapalı bir yüzey tanımlamıştır. Oysa
Klein şisesi, bir süreksizlik doğurmaksızın kendi
kendisinden geçen bir yüzeyi gerektirdiğinden Euclid
uzayında inşa edilemez. Klein şişeleri, belli Euclidyenolmayan geometrilerde inşa edilebilirler. Bu imkan,
matematikçiler için çok büyük önemi haizdir ve aynı
zamanda bilim kurgu yazarları için de imkanlar sağlar.
1885 te Londra’nın Kraliyet Cemiyeti’ne (Royal
Society) seçilmiştir ve 1912 de Copley Madalyası’nı
almıştır. Hala modern geometrinin en büyük katkı
sağlayıcılarından birisi olarak durmaktadır.
Euclid’in bizzat kendisinin bile Elemanlar’ın noksanlıklarından en az
birini tanımış olduğu hakkında kesinlik vardır. Kitap 1 de ifade edilen
beş postulata bakıldığında beşinci (veya paralellik) postulatının,
kavranması en zor postulat olduğu açıktır. Euclid, bu postulatını ilk
kez uyguladığı Önerme 29 a kadar kullanımından sakınmış ve
kullanma konusunda gönülsüzlük göstermiştir.
77
Proclus, Commentary’de postulatların listesinden paralellik
postulatının çıkarılıp bir teorem olarak eklenmesi gerektiği pozisyonu
almıştır. Aynı gayret, Elemanların takdimini takip eden 2000 yıllık
devir boyunca birçok matematikçi tarafından ortaya konmuştur.
Postulat 5 i inceleyen hemen hemen herkes, Euclid’in diğer dört
postulatının açık tabiatını eksik bıraktığına dikkat çekmişlerdir. Bunun
sebeplerinden ikisi:
1) okuyucuyu, sonsuza yaklaşırlarken doğruların davranışlarını
hayal etmeye zorlaması;
2) paralellik kavramını ifade etme şeklinin çeşitliliğidir.
Mantığı hakkında birçok tahmin yapılmış olmasına rağmen
Euclid’in beşinci postulat için bu formu niçin seçtiği uzun zamandan
beri bir sır olmuştur. 3.Bölüm'de Euclid’in beşinci postulatının, Alman
John Playfair’e (1795) atfedilen ve yaygın olarak Playfair Postulatı
diye bilinen aşağıdaki daha doğru ifadeye mantıken eşdeğer olduğunu
göstereceğiz.
Playfair Postulatı. Her ℓ doğrusu ve ℓ üzeride olmayan her P
noktası için P yi ihtiva eden ve ℓ ye paralel olan bir tek m
doğrusu vardır.
Çoğu kimse bu ifadeyi, Euclid’in Postulat 5 inden daha kolay
anlaşılır bulmaktadır. Buna rağmen bu iki postulatın birbirlerini
gerektirdikleri gösterilebileceğinden bunların her biri, Elemanlar’daki
teoremlerin tümünün geçerli olacağı bir model inşa etmek üzere,
kullanılabilir (Görünüşte bağımsız gibi görünen -aslında değil- birkaç
ifade, Euclid’in beşinci postulatına eşdeğer oldukları gösterilebilir.
Bunlardan bazıları, Bölüm 3 te açıklanacaktır).
Bununla birlikte Playfair’in postulatı bile diğerlerinden daha az
açıktır. Çünkü bu postulat dahi, doğruların sınırsız olarak uzayıp
giderkenki davranışlarını hayal etme ile fazlasıyla ilgilidir. Euclid’in
78
paralellik postulatını aydınlatmağa yardım etmiş iken Playfair’in
katkısı, bu postulatın Euclid’in diğer dört postulatından bağımsız olup
olmadığı meselesini çözmemiştir. On sekizinci asırdaki
matematikçiler, çabalarının zorunlu olarak boş olacağını bilmeden ilk
dört postulatı Postulatlar 1-4 ü kullanarak paralellik postulatı için bir
arayışı sürdürmüşlerdir.
Bu girişimlerin birkaçında kullanılan tekniklerden biri, Postulat 5
in yanlış olduğunu kabul eden bir dolaylı yaklaşımdan sonra bu
kabulün bir çelişkiye götürdüğünü gösterme girişimi idi. Bu sonuç,
Postulat 5 in (veya eşdeğerinin) Postulatlar 1-4 ü kabul eden bir
geometri için paraleller hakkında yegane tutarlı ifade olduğunu ima
edebilecekti.
İlerde bu girişimlerin bazılarını, çok ayrıntılı olarak tartışacağız
ancak son olarak şimdilik Postulat 5 in diğerlerinden bağımsız
olduğunu, tutarlı geometrilerin ya Postulat 5 i (veya Playfair Postulatı)
veya bunun uygun bir değilini kullanarak türetilebildiklerinin
gösterilmiş olduğunu söylemek, yeterli olacaktır. Şüphesiz çelişik
paralellik postulatlarının seçimi, birbirleriyle çelişen geometrilerde
ortaya çıkar. Buna rağmen hasıl olan geometrilerin, tutarlı birer
aksiyomatik sistemler olduğu gösterilebilir. Bu problemi,
derinlemesine incelendiği Bölüm 6 ya havale edeceğiz.
Çoğumuz, düzlem geometrinin Euclidyen modeli ile uygun gelen
sezgisel kavramlara sahip olduğumuzdan Postulat 5 i reddeden geçerli
bir modelden üretilen teoremlerin bazıları, bize çelişkili olarak
gözükürler. Ne var ki böylesi bir geometrinin içinde gerçekte
çelişkiler yoktur. Bu geometriler, matematiksel olarak geçerlidirler.
Bu Bölüm’ün geri kalan son beş Kesim’de geometri için üçü,
Euclidyen model üreten ve diğer ikisi Euclid’in beşinci postulatını
reddettiğinden Euclidyen-olmayan tabiatlı olan beş tip aksiyom
kümesini, kısaca tartışacağız. Bundan sonraki Kesim’e, Elemanlar’ın
çeşnisini (üretilen teoremleri, özellikleri vs) başarılı şekilde koruyan
79
fakat bir önceki Kesim’de zikredilen eksiklikleri gideren oldukça yeni
(bir asrı birkaç yıl aşkın) bir çabayı takdim ederek başlayacağız.
ALIŞTIRMALAR 2. 3
1. Kendi paralellik postulatını ifade etmek için Euclid’in, Playfair
Postulatı gibi daha açık bir ifadeyi kullanmak yerine, niçin yapmış
bulunduğu yolu seçmiştir? Açıklayınız.
2. Euclid’in, Postulat 5 in Playfair Postulatı’nın anlamını ima ettiğini
fark etmemiş olduğu muhtemel midir?
3. Euclid’in beşinci postulatına eşdeğer olan bir şartlı ifade (yani
“Eğer P ise Q dur” formunda bir ifade) yazınız.
4. Euclid’in beşinci postulatının tersine (inversine değil!) eşdeğer
olan şartlı bir ifade yazınız. İnversinin, Euclidyen geometride geçerli
bir ifade olduğunu düşünür müsünüz? Niçin düşünür veya niçin
düşünmezsiniz? Açıklayınız.
5. Playfair Postulatı’na eşdeğer olan bir şartlı ifade yazınız.
6. Playfair Postulatı’nın tersine (inversine değil!) eşdeğer olan şartlı
bir ifade yazınız. Bunun, Euclidyen geometride geçerli olduğunu
düşünür müsünüz? Niçin düşünür veya niçin düşünmezsiniz?
Açıklayınız.
7. Yukarda 1 den 4 e kadar ki alıştırmalarda (yani Alıştırmalar 1-4 te)
şartlı ifadelerin her biri için “değillerini” yazınız. Alıştırma 1 ve
Alıştırma 3 ün değillerinin, iki farklı Euclidyen-olmayan geometriye
nasıl izin verdiğini açıklayınız.
8. Bir önceki Kesim’de zikredildiği gibi Postulat 5 i “ispat etmek”
için birçok girişim, “dolaylı olarak”yürütülmüştür. Bu dolaylı
argümanların mantıksal yapısı, aşağıdaki tarzda sürdürülmüştür:
80
İlk dört postulat Postulatlar 1-4 ün, Postulat 5 i ima ettiğini
[yani P(1-4)  P(5)] göstermek amacıyla matematikçiler
Postulat 5 in değilinin [yani ~P(5) in], Postulatlar 1-4 ün
değilleri [yani ~P(1), ~P(2), ~P(3), ~P(4)] içinde bir
tutarsızlık ima ettiğini göstermeğe çalışmışlardır.
Bu ispat tekniği ile bir ifadenin ve kontrapositifinin (tam devriği de
denir) doğruluk değerleri arasındaki ilişkiyi açıklayınız.
9. Hiperbolik geometride Playfair Postulatı (yani Eucldyen paralellik
postulatı), aşağıdaki ifade ile yer değiştirir:
Eğer ℓ, bir doğru ve P, ℓ nin üzerinde olmayan bir nokta
ise P den geçen ve ℓ ye paralel olan en az iki doğru
vardır.
(a) Bu ifade, Euclidyen paralellik postulatı ile çelişir. Bu,
Euclidyen geometrideki teoremlerin hiçbirinin hiperbolik geometride
geçerli olmadığı anlamında mıdır? Açıklayınız.
(b) Yukarda ifade edilen hiperbolik paralellik postulatı, “P den
geçen, ℓ ye paralel olan en az iki doğrunun var olduğunu” ima eder.
“Kesinlikle P den geçen, ℓ ye paralel olan iki doğrunun var olduğu”
muhtemel midir? Niçin muhtemeldir veya niçin değildir? Açıklayınız.
10. Lise geometrisinden iç ters açı teoremi diye bilinen bir teoremin
ifadesi şöyledir:
Eğer iki doğru, bir kesenle iç ters açılar eş olacak biçimde
kesilirse bu doğrular, paraleldirler.
(a) Bu teoremin tersini ifade ediniz.
(b) Bu iki ifadeden hangisi, Euclidyen geometride doğrudur?
(c) Eğer varsa bu iki ifadeden hangisinin, Euclid’in beşinci
postulatına eşdeğer olduğunu düşünürsünüz? Cevabınızı açıklayınız.
(d) Eğer varsa bu iki ifadenin hangisi, Playfair Postulatı’na
eşdeğerdir? Cevabınızı açıklayınız.
81
2. 4 EUCLİDYEN GEOMETRİ İÇİN HILBERT MODELİ
DAVID HILBERT (1862 - 1943) On dokuzuncu
asrın son kısmı ile yirminci asrın ilk kısmı esnasında
matematikteki en önemli simalarından biri olarak
tanınmıştır.
Bu
zaman
zarfında
Göttingen
Üniversitesi, birçoklarınca matematiksel dünyanın
merkezi olarak düşünülmüştür ve 1895 te oradaki
Matematak Bölümü başkanlığına atanmıştır. Cebirsel
sayılar teorisi, küme teorisi, soyut lineer uzaylar,
topoloji, genel relativite sadece birkaçı olmak üzere
matematiğin birçok alanında geniş bir şekilde ilgili
olmuştur. 1899 da Euclidyen geometrinin bir
takdimini “Grundlagen der Geometrie-Geometrinin
Temelleri” yayımlandığında hayrete şayan olmuştur.
Bu çalışmasını, kabul edilebilir bir formal aksiyomatik
bir sistem olarak Euclidyen geometriyi takdim etmek
gayretiyle sunmuştur. Gerçekten Grundlagen der
Geometrie, Euclidyen geometri gibi matematiksel
aksiyomatik sistemlerin tutarlı, bağımsız ve tam
olacakları bir şekilde oluşturulabileceğini tesis etmeği
ümit ettiği çok geniş bir ajandanın parçası olmuştur.
1931 de Avusturya'lı Kurt Gödel, bu amacın imkansız
olduğunu göstermiştir. Buna rağmen yukardaki
Kesim'lerde erkenden tartıştığımız Elemanlar’daki
eksikliklerden
arınmış
olduğundan
Euclidyen
geometrisi için Hilbert'in bu takdimi, matematikte
ileriye doğru çok önemli bir adım olarak durmaktadır.
On dokuzuncu asır esnasında geometri ile ilgilenen matematikçilere,
bir tek (yani evrensel) geometri modeli doğuran bir aksiyom
kümesinin var olmadığı aşikar olmuştur. Geometrik bir aksiyom
sisteminin geçerliliğinin, üzerinde inşa edildiği aksiyom kümesinin
tutarlılığı, bağımsızlığı ve tamlığına bağlı olduğu konusunda epeyce
bir konsensüs (mutabakat = fikir birliği) gelişmişti. Farklı aksiyom
kümelerinin, farklı modellerde ortaya çıkabileceği fakat geometrinin
incelenmesinin, artık o zamana kadar üretilen modelin Euclidyen
modeli kabul etmek ve ona uymak zorunda kalacağı gibi bir kavram
ile sınırlanmadığı artık biliniyordu. Buna rağmen geometri için
Euclidyen modeli, fazlasıyla en sezgisel olandı ve en geniş tarihsel
82
tabanlı model olmasından dolayı da matematikçiler, Euclid’in
teoremlerini ortaya çıkarabilecek olan fakat önceden zikredilen
kusurların vuku bulmayacağı bir aksiyom kümesini inşa etme işine
başlamışlardı. Bu çalışmalardan en iyi bilineni, içinde Euclid’in
işlediği bakış açısını doğrulayan Grundlagen der Geometrie
(Geometrinin Temelleri) adlı çalışma, devrinin tartışmasız olarak en
göze çarpan matematikçilerinden biri Alman David Hilbert tarafından
1899 da yayımlanmıştır.
Hilbert, Euclid’in aksine modern aksiyomatiklerin gereklilikleri
üzerinde daha tecrübeli idi. Modelini aşağıdaki gibi tasarlamıştır.
Tanımsız terimleri:
1. Nokta
2. Doğru
3. Düzlem
4. Üzerinde olma (noktaların doğru üzerine konumu gibi)
5. Arasında-Arada Olma (üç farklı nokta hakkında bir bağıntı
olarak)
6. Kongrüans-Eşlik
olarak seçmiştir. Hilbert’in, Euclidyen geometrinin gerekli bütün
terimlerini, ilkellerin (tanımsız terimlerin) bu basit kümesiyle
başlayarak tanımlanabileceğini bilmeğe muktedir olması, dehasının
(ve azminin) bir vergisi olmuştur. Mesela aşağıdaki tanımı kullanarak
doğrular ve doğru parçaları arasındaki farkı (ki bunu Euclid, eksik
bırakmıştır), ayırt edebilmiştir:
83
Tanım 2. 4. 1. AB Doğru Parçası. A ve B noktaları arasında olan
bütün noktaların kümesidir. A ve B noktalarına, bu doğru parçasının
uç noktaları denir.
Geometricilerin çoğu, doğru parçası terimini, uç noktalarını ihtiva
edecek şekilde tanımlarlar fakat Hilbert, uç noktalarını bu terimden
hariç tutmuştur.
Hilbert’in, aşağıdaki gibi beş guruba ayırarak ifade ettiği
Aksiyomları:
I. Gurup : Konneksiyon (veya konum) aksiyomları
II. Gurup : Sıra aksiyomları
III. Gurup : Eşlik aksiyomları
IV. Gurup : Paralellik aksiyomu (Playfair Postulatı)
V. Gurup : Süreklilik aksiyomları.
Aksiyomlarının tamamı, bir liste halinde ayrıca bu kitabın sonundaki
Ek B de bulunabilir. Bu aksiyomları, yukarıda verilen sırada ele alıp
inceleyeceğiz.
I. Gurup : Konneksiyon (veya Konum) Aksiyomları
I-1. Herhangi iki farklı A ve B noktalarından geçen daima
bir m doğrusu vardır (Farklı iki noktadan en az bir
doğru geçer).
I-2. Herhangi iki farklı A ve B noktalarından geçen bir
m doğrusundan fazla doğru yoktur (Farklı iki noktadan
en çok bir doğru geçer).
84
I-3. Her doğru üzerinde en az farklı iki nokta vardır.
Aynı bir doğru üzerinde olmayan en az üç nokta
vardır.
I-4. Aynı doğru üzerinde olmayan herhangi üç noktadan
geçen bir ve yalnız bir düzlem vardır.
Bu dört aksiyomu, Euclid’in konumu imalı-kapalı olarak bildiren
yegane postulatı “Herhangi bir noktadan başka bir herhangi noktaya
bir doğru çizmek” ile karşılaştıralım:
Euclid, tabiatiyle Hilbert gibi aynı fikri ima etmek maksadını
gütmüştür ancak bunu tam olarak başaramamıştır. Hilbert, sadece
herhangi iki nokta arasında bir doğrunun varlığını değil aynı zamanda
o doğrunun tekliğini de postule etmiştir (Euclid, başından sonuna
kadar bunu kabul eder ama bu fikri postule etmede başarısız kalır).
Ayrıca Postulat I-3, noktaların varlığını şart koştuğundan Euclid’in
görmemzlikten geldiği bir formalite olan iş görecek doğrulara sahip
olmamızı güvence altına alır.
Hilbert’in aksiyom kümesi, geleneksel Euclidyen geometrinin
bazını (tabanını) sağlamak amacını güttüğünden düzlemin geometrisi
hakkındaki bütün sezgisel fikirlerimizin, bu aksiyomatik sistemde
geçerli olacağını beklememiz gerekir. Mesela ℓ ve m nin, doğrular
olduğunu farz edelim. ℓ ile m nin, birden fazla noktada kesişmesi
mümkün müdür? Doğru terimine ait anlayışımız, tipik olarak düz
çizgi demek olduğundan çoğumuz, bu soruya “hayır, doğrular birden
fazla noktada kesişmemesi gerekir” cevabını verecektir. Nitekim
bunun oluşumunu, açık olarak yasaklayan bir aksiyom yoktur. Bu
taktirde bu özelliğin, bir teorem olarak dahil edilebileceğini
beklememiz gerekir. Bunu akılda tutarak aşağıdaki teoremi, göz
önüne alalım.
Teorem 2. 4. 1. İki farklı doğru, birden fazla noktada kesişemez.
85
İspat. Euclidyen geometri, aynen Dört-Nokta geometrisi gibi bir
konum geometrisi (bunu doğruayınız) olduğundan bu geometrye ait
Tanım 1.3.1 gereğince kesişen iki doğrunun en az bir noktada
kesiştiklerini söyleyebiliriz. Bu teoremin ispatı için bu doğruların en
çok bir noktada kesiştiklerinin de gösterilmesi gerekir.
Dolaylı ispat yöntemini uygulayalım ve teoremin aksini kabul
edelim. Yani iki farklı doğru ℓ ve m nin, iki farklı nokta A ve B de
kesiştiklerini farz edelim. Bu taktirde A ve B noktaları, iki farklı
doğru tarafından ihtiva edilen iki farklı nokta olurlar. Bu durum,
Aksiyom I-2 ile çelişir. Dolayısıyla bizi çelişkiye götüren bu
kabulümüzün yanlış, teoremin doğru olduğu çıkar. Buna göre ℓ ve m
nin, birden çok noktada kesişmesinin geçerli olamayacağından farklı
doğruların biden fazla noktada kesişmeyecekleri sonucu elde edilir.▄
Bu ispat hakkında yapılması gereken iki nokta vardır:
Birincisi; bu teorem, Euclid geometrisinde bir aksiyom gibi
nitelenmiş olarak gözükebilecek şekilde açıkça doğrudur. Ne var ki
bu ifadenin ispat edilebilmesi keyfiyeti bile, diğer aksiyomlardan
bağımsız olmadığını gösterir. Eğer Hilbert, bunu bir aksiyom olarak
ifade etse idi aksiyomlarının kümesi, bağımsız olmayabilirdi. Her
zaman Hilbert statüsündeki matematikçiler için bir bağımsız aksiyom
kümesi inşa etmenin meydan okuyuşu, bu ilave sıkıntıdan ağır
gelmektedir.
İkincisi, bu ispatın indirekt-dolaylı tabiatına bir göz atalım:
(1) Kabul edelim ki teorem, yanlıştır.
(2) Bu kabulden bir çelişki türetelim.
(3) Bu çelişkiden kurtulmak için teoremin doğru olması
gerektiğini çıkaralım.
86
Bu teknik, Bölüm 1 de sonlu geometrilerdeki ispatların bir çoğunda
uygulanmıştı. Eğer hala bu tarzdaki muhakemeden rahatsız iseniz bu
problemin hakkından gelmeğe doğru çalışmanız gerekir. Bu çeşitten
ispatlar, hem Euclidyen hem de Euclidyen-olmayan geometrilerdeki
tartışmaların bir çoğunun özünde bulunur. Bu Kesim’in sonundaki
alıştırmaların kümesi, bunun gibi indirekt-dolaylı ispatları inşa
etmedeki hünerinizi geliştirmek için size sayısız fırsat sağlayacaktır.
Hilbert’in konneksiyon-konum aksiyomları, kolayca kavranırlar
iken ileri sürdüğü diğer aksiyomlarından bazıları (ve onlardan
çıkarılabilen imalar-sonuçlar), daha az açıktırlar. Özellikle bundan
sonra verilecek sıra (arada olmalık) aksiyomlarına bakalım.
II. Gurup : Sıra Aksiyomları
II-1. B, eğer A ile C noktaları arasında bir nokta ise (bunu,
A – B – C yazarak göstereceğiz) A, B, C, aynı bir doğru
üzerinde farklı noktalar ve C – B – A dır.
II-2. Herhangi iki farklı A ve C noktaları için AC doğrusu
üzerinde A – C – B şeklinde en az bir B noktası vardır.
II-3. Eğer A, B ve C, aynı doğru üzerinde farklı üç nokta ise
kesinlikle bunlardan sadece biri, diğer ikisi arasındadır
(Doğrudaş üç noktadan kesinlikle sadece biri, diğer ikisi
arasındadır).
II-4. A, B, C, aynı doğru üzerinde olmayan üç nokta ve
bu üç noktayı ihtiva eden düzlemde bu üç noktanın
herhangi birinden geçmeyen bir doğru, m olsun. Eğer m,
söz gelimi AB doğru parçasının bir noktasını ihtiva
ederse aynı zamanda AC veya BC doğru parçasının
da bir noktasını ihtiva eder (Bir doğru, bir üçgenin bir
kenarını keserse bu üçgenin diğer iki kenarından birini
de keser).
87
Sıra aksiyomlarının maksadı, tanımsız arada olma terimine anlam
vermektir. Arada olma, bir ilkel olduğundan bu terimin, sistemin
aksiyomları hariç kendimize ait arada olmalık kavramına uyduğunu
garanti edecek bir şeye sahip değiliz. İlk bakışta açık olamıyor ise de
bu aksiyomlarla imalı-kapalı olarak tanımlanan arada olmalık
bağıntısı, beklentilerimizle uyum içindedir.
Sıra aksiyomları, bir Euclidyen modelde beklediğimiz lineerdoğrusal sıralama hakkındaki bütün sonuçları ima ederler. Mesela
Aksiyom II-2, bize A ve C noktalarını bir doğru üzerine yerleştirirsek
(ki buna Aksiyom I-3 ile muktedir olabiliriz) bu doğru üzerinde C den
ziyade A dan daha ilerde olan üçüncü bir B noktasını bulabilmemize
izin verir (Henüz daha ilerde teriminin ne kastettiğini tanımlamadık
ancak bu terimi, şimdilik alışılagelen anlamı kabul edeceğiz).
Şüphesiz B nin varlığını garanti ettikten sonra dördüncü bir nokta,
beşinci bir nokta vs üretmek üzere Aksiyom II-2 yi yeniden tekrar
tekrar uygulayabiliriz. Bu fikirler ile aşağıdaki teoremi verebiliriz:
Teorem 2. 4. 2. Her doğru, sonsuz sayıda nokta ihtiva eder.
İspat. Bir alıştırma olarak bırakılacaktır.▄
Benzer bir tartışma, doğruların herhangi bir noktada sona
ermediklerini ve bir doğru üzerindeki noktaların devirliden (dairesel)
ziyade tabiat olarak sıra halinde (serisel olarak) yayıldıklarını ifade
eden teoremleri tesis etmek için kullanılabilir. Bu, ayrıca bize bir
doğru üzerindeki noktaların, bir küre yüzeyinin üzerindeki büyük
çemberlerde olduğu gibi saracak şekilde dolanmayacaklarını da
garanti eder.
Not: Doğruların herhangi bir noktada bitmemiş (başka bir deyimle sona
ermemiş) olduğunu söylemek, her ne kadar A dan daha ilerde-ötede bir
noktayı her zaman bulabileceğimiz anlamına geliyorsa da bu,“doğruların
sonsuz uzun olduğu”nu söylemenin tam aynısı değildir. Diğer bir deyim
ile doğruların sonsuz sayıda noktaya sahip olmaları, sonsuz uzunlukta
ile olmalarını gerektirmez. Bu durum, Euclidyen-olmayan geometrinin
iki dalı hiperbolik ve eliptik geometrilerin arasındaki farkı vurgulamak
88
için kullanılabilen çok ince bir ayırımdır.
Sıra aksiyomlarının bazı sonuçları, apaçıktır. Mesela aşağıdaki
aşikar olan teoremi, ispat edebiliriz.
Teorem 2. 4. 3. A ve B, noktalar ise A – C – B olacak şekilde daima
üçüncü bir C noktası vardır.
İspat. Bu ifade, Aksiyom II-2 nin tam aynısı olmadığına dikkat
edilmelidir (bu eğer açık değilse Aksiyom II-2 yi yeniden okuyunuz)
fakat kesinlikle geometride olmasını beklediğimiz bir özelliktir.
Bunu göstermek için işe keyfi bir AB doğru parçasını seçerek
başlayabiliriz (Şekil 2.4.1). Aksiyom I-3, A ve B noktaları ile
doğrudaş olmayan üçüncü bir D noktasının varlığını garanti eder.
Aksiyom II-2, AD doğrusu üzerine bize A – D – E olacak şekildeki
bir E noktasını yerleştirmemize izin verir. Aksiyomlar I-1 ve I-2, tek
olan EB doğrusunu çizmemizi garanti ederler ve Aksiyom II-2 nin bir
yeniden uygulanması, bu doğrunun üzerine E – B – F olacak şekildeki
F noktasını yerleştirmemize yol verir.
E
D
A
C
B
F
Şekil 2.4.1
89
Bu durumda doğrudaş-olmayan üç A, E, B noktalarını köşe kabul
eden ΔABE üçgenini ile D, F noktalarından geçen ve tek olan DF
doğrusunu düşünelim. Aksiyom II-4 den eğer DF , ΔABE nin bir
kenarı AE nin bir noktası olan D yi ihtiva ederken aynı zamanda
diğer iki kenar AB ve EB den birinin de bir noktasını ihtiva
etmelidir. DF , EB yi EB ye ait olmayan F noktasında kestiğinden
ikinci bir noktada daha kesemez (bu ihtimali, hangi aksiyom hariç
tutar?). Bundan dolayı DF , diğer kenar AB yi kesmek zorundadır.
Eğer bu kesim noktasını C ile gösterirsek AB nin üzerinde
DF  AB = C olacak şekilde bir C noktası vardır . Böylece Tanım
2.4.1 den AB doğru parçası, A ve B arasında bulunan noktaları
ihtiva ettiğinden A – C – B olacak şekildeki bir C noktasını
yerleştirme başarısını göstermiş oluruz [Teknik olarak buna benzer
durumlarda DF  AB = {C} yazmamız gerekir. Sadeliğin hatırı için
burada {C} = C alıyoruz]. Böylece AB , A ve B noktaları arasında
bulunan noktaları ihtiva ettiğinden AB üzerine A – C – B olacak
şekildeki bir C noktasını yerleştirme başarısını göstermiş oluruz.▄
Aksiyom II-4, Euclid tarafından bırakılan önemli bir boşluğu
doldurur. Elemanlar’daki ispatların bir çoğu, diyagramlardan hasıl
olan görsel ip uçlarından yapılan kabullere dayanır. Euclid’in bu
şekilde ispatladığı bütün teoremler, doğru olmuş ise de daha sonraları
yanlış ifadelerine ait ispatlarının, nerede ise aynı tipten muhakemeyi
kullanarak inşa edilebildikleri görülmüştür (“Bütün üçgenler, ikiz
kenar üçgendir”in (!) ispatını hatırlayınız. Oradaki ispat (!),
diyagramlara aşırı derecede vurgu yapılmasından yani şekillere
güvenle dayanılmasından üretilen gizlenmiş kabuller ihtiva ediyordu).
Bu yüzden Pasch Aksiyomu, açık görünebiliyor iken (nihayette bir
kabuldür) kendisi veya kendisine eşdeğer bir postulat, Euclid’in
birkaç teoremini ispatlamanın geçerli vasıtalarını sağlamak için
gereklidir.
Hilbert’in aşağıda sıralanan üçüncü gurup aksiyomları, kongrüanseşlik aksiyomları, büyük ölçüde kendiliklerinden açıklayıcıdırlar.
90
III. Gurup : Kongrüans (Eşlik) Aksiyomları
III-1. A ile B, bir a doğrusu üzerinde iki (farklı) nokta ve
A′, aynı a veya başka bir a ′ doğrusu üzerinde bir
nokta ise AB nin, AB doğru parçasına eş olacak
şekilde daima A′ den geçen a veya a nün verilen
bir tarafında bir B′ noktası vardır (Verilen bir doğru
parçasına eş bir doğru parçası, verilen bir noktadan
çizilebilir).
III-2. Bir AB doğru parçası ile bir AB doğru parçası,
aynı AB doğru parçasına kongrüent-eş ise AB , aynı
zamanda AB ye eştir (Aynı bir doğru parçasına eş
olan iki doğru parçası, birbirlerine eştir).
III-3. a doğrusu üzerinde B hariç hiçbir ortak noktaya
sahip olmayan iki doğru parçası AB ve BC olsun.
Ayrıca aynı a veya başka bir a doğrusu üzerinde AB
ve BC , B′ hariç ortak noktaları olmayan iki doğru
parçasını göstersin. Bu halde AB  AB ve BC  BC
ise AC  AC  dür (Bu aksiyom, doğru parçalarının
toplamsallığını ifade eder).
III-4. Eğer ABC , bir açı ve BC bir doğru ise
ABC  ABC olacak şekilde BC nün her iki
tarafında bir tek A′ noktası vardır. Ayrıca her açı,
kendisine kongrüent-eştir (Bu aksiyoma, çoğunlukla
açı inşa aksiyomu olarak bakılır).
III-5. ∆ABC ve ∆ ABC için AB  AB , AC  AC  ve
BAC  BAC eşlikleri geçerli ise bu üçgenlerin
eşliği yani ∆ABC  ∆ ABC de sağlanır (İki üçgenin
karşılıklı ikişer kenarı ve bu kenarları dahil eden
91
karşılıklı açıları, eş ise bu üçgenler, eştir).
Aksiyom III-4, bir dereceye kadar dolaylı bir şekilde herhangi bir
açının, verilen bir ışın ile o ışını ihtiva eden doğrunun her bir
tarafında hemen kopyalanabileceğini ifade eder.
Aksiyom III-5, üçgenler için aslında Kenar-Açı-Kenar (veya kısa
olarak KAK) eşlik şartıdır (Bu Kesim’in sonundaki Alıştırma 2.4-16
ya bakınız). Euclid, KAK ı bir teorem olarak sıralamıştır; bununla
birlikte bu teorem için verdiği ispatı, geometrik şekilleri, bozmaksızın
düzlem boyunca (kaydırp döndürerek) taşıma yeteneğini kabul
ettiğinden hatalıdır. Üst üste getirmenin-çakıştırmanın bu kullanımı,
makul iken bu tekniği kullanan herhangi bir ispat, bu şekilde yapmayı
garanti eden bir postulatı dahil etmedikçe formal aksiyomatik
sistemlerin kurallarını bozar.
Nihayetinde çok sayıda geometrici, bu tekniği pek çok teoremin
ispatında kullanılması için geometrik şekillerin görüntülerine izin
veren geometrik transformasyonların (dönüşümlerin) varlığını formal
bir şekilde postule ederek meşrulaştırmışlardır (5.Bölüm'e bakınız).
Bu sonuçlar, açık olarak Euclidyen olmalarına rağmen Euclidyen
transformasyonlarına dayanan bir aksiyom kümesi, Euclidyen
geometrinin tabiatını değiştireceğinden Hilbert, “transformasyon
rotası”nda (yani transformasyon veya dönüşüm kullanma yöntemi
ile) geometri yapmayı tercih etmedi. Euclidyen transformasyonlar,
geometrinin önemli bir görünümünü kazanmış olduklarından
5.Bölüm'de ayrıntılı olarak tartışılacaklardır.
Hilbert, itibarına üçgenler için KAK kongrüans-eşlik şartının en
azından bir kısmının, diğer geleneksel Euclidyen postulatlarından
tamamen bağımsız olduğunu tanımış olmayı kazandırmıştır. Sonuç
olarak üçgenlerin kongrüansı (eşliği) hakkında bir postulatın gerekli
olacağını sonuçlandırmıştır. KAK, belki de Euclidyen eşlik şartlarının
en açığı olmasından dolayı Hilbert, üçgen kongrüansı (eşliği)
hakkında kendi aksiyomu olarak bunu seçmiştir. Bundan sonraki 3.
92
Bölüm'de göreceğimiz gibi diğer bilinen üçgen kongrüans (eşlik)
şartları, teoremler halinde türetilebilirler.
Hilbert’in Euclidyen geometrideki çalışmasını takdim ettiği
sırada, geometriye ait geleneksel postulatlardan paralellik postulatının
diğerlerinden bağımsız olduğu, kendi gibi Alman olan Felix Klein
tarafından tesis edilmişti. Hilbert, aksiyom kümesini tamamlamak
amacı ile bir paralellik postulatına ait bir form seçme ihtiyacını
duydu. Uygunluk için kendi paralellik postulatı olarak (Aksiyom IV-1)
aşağıda yeniden ifade edilecek olan (Grundlagen der Gometrie’de
buna Euclid aksiyomu demiş olmasına rağmen) Playfair Postulatı’nın
bir bir formunu seçmiştir.
IV. Gurup : Paralellik aksiyomu
IV-1. a , herhangi bir doğru ve A, a nın üzeride olmayan bir
nokta olsun. Bu taktirde a ile A nın belirttiği düzlemde A
dan geçen ve a yı kesmeyen en fazla bir doğru vardır.
Euclidyen geometride kesinlikle bir paralel bulmayı beklememize
rağmen bu aksiyomun, “kesinlikle a ya paralel bir doğru”dan çok
“ a ya paralel en fazla bir doğru”yu postule ettiğine dikkat ediniz.
Bunun sebebi, Bölüm 3 te ispat edeceğimiz üzere, diğer postulatların
en az bir paralelin varlığını ima etmelerinden dolayı “kesinlikle bir”i
postule etmenin, bir dereceye kadar gereksiz olmasıdır. Aksiyomların
bağımsızlığını muhafaza etmek için Hilbert, Playfair Postulatının
daha zayıf olan bu versiyonunu tercih etmiştir.
Euclid’in geometrisinde doldurulması gereken ardına kadar açık
bir boşluk daha bırakılmıştır: doğruların sürekliliği meselesi. Buna
uygun olarak Hilbert, aşağıdaki iki süreklilik postulatını açıklamıştır.
V. Gurup : Süreklilik Aksiyomları
V-1. Archimedes (Arşimet) Aksiyomu. Eğer AB ve CD ,
herhangi doğru parçaları ise A dan itibaren AB ışını
93
boyunca CD nin bitişik olarak inşa edilen n tane
kopyası, B nin ötesine geçecek şekilde bir n tam sayısı
vardır (Bir doğru parçasının n tane kopyası bir
doğru üzerine bitişik şekilde konarak inşa edilen bir
doğru parçasının uzunluğu, istenilen keyfi uzunluktaki
bir doğru parçasından daha uzun olacak şekilde bir n
tam sayısı vardır).
V-2. Doğruyu Tamamlama Postulatı. Aksiyom Gurupları I,
II, III ve V deki aksiyomlardan çıkan lineer sıralama ve
kongrüansın temel özellikleri gibi orijinal elemanlar
arasında var olan ilişkileri koruyabilecek olan kendi
sıra ve kongrüans bağıntılarıyla bir doğrunun üzerinde
bulunan noktaların bir kümesinin bir genişletilmesi,
imkansızdır (Bir doğru üzerine yerleştirmek üzere I, II,
III ve V aksiyom guruplarından çıkarılan noktalardan
başka yerleştirilebilecek nokta yoktur) .
Aksiyom V-1 in gerisindeki fikir, ifadenin kendisi başlangıçta
şaşırtıcı ise de tamamen doğrudur. Bu postulatın özü, uzunlukların
keyfi büyüklükten birimlerle ölçülebilmeleridir.
On dokuzuncu asır esnasında birçok matematikçi, sınırlanmamış
fakat sonlu olan uzayları kuşatan geometrileri incelemişlerdi.
Bunlarda ve diğer geometrilerde uzaklık, Euclidyen düzlemdekinden
çok farklı şekillerde ölçülmüştü. Aksiyom V-1, alışılagelen (yani
Euclidyen) tipten ölçümü garanti etmiştir.
Not: Arşimet aksiyomu (Arşimet özelliği de denir), “her reel sayıdan
daha büyük bir tam sayı vardır” şeklinde ifade edilebilir. Aksiyom V-1
te keyfi bir AB doğru parçasının uzunluğu AB = r ve CD doğru
parçası birim uzunluklu yani CD = 1 olarak alınırsa CD nin n tane
kopyasını bitişik biçimde yan yana getirerek oluşturulan doğru
parçasının uzunluğu n.CD = n.1 = n için n.CD > AB olduğundan
bu aksiyomdan Arşimet aksiyomunun ifadesi olan n > r elde edilir.
Bu yüzden Aksiyom V-1 e, Arşimet aksiyomu adı verilmektedir.
94
Aksiyom V-2, Euclid’in çalışmasının bir ıslahı olarak Hilbert’in
geometrisine ait tartışmamızda bizi doğrudan doğruya ilgilendirmez.
Bu tamlık postulatı, Euclidyen geometrideki teoremlerden herhangi
birinin ispatı için gerekli değildir. Hilbert, bunu dahil etmekle kendi
geometrisi ile devrinde ince bir düzen verilen aritmetiğin formal
sistemleri arasında bir bağlantı kurulmasına imkan sağlamıştır.
Hilbert’in gündemi, herhangi bir doğru üzerindeki noktalar ve reel
sayılar arasında bir birebir tekabül kurma ile ilgili olmuştur. Bu,
kendisine geometri sisteminin reel sayılar cismi (alanı) kadar tutarlı
olduğunu söyleyebilme iznini vermiştir. Hilbert, şüphesiz reel
sayıların tutarlılığının tesis edilebilmiş olmasından dolayı aynı
zamanda kendi sisteminin de tutarlı olabileceğine böylece sahip
olmuştur. Bu durum, o devirde ne yazık ki Hilbert ve diğer bir
çoklarını tatmin edecek şekilde çözülmemiş olan matematiksel olduğu
kadar felsefi de bir mesele idi.
Not: Hilbert, kendi sistemini takdim etmeden önce reel sayılar sisteminin
tutarlı bir sistem olduğu gösterilmişti. Kendi aksiyomatik sisteminin
tutarlığını, relatif tutarlılık ile göstermek yolunu seçmiştir. Bunu,
Aksiyom V-2 sayesinde reel sayılarla bir doğrunun noktaları arasında
bir izomorfizm kurarak başarmıştır. Doğal sayıların aksiyomatiğini, ilk
olarak İtalyan matematikçi Peano (1858-1912) tarafından yapılmış ve
1899 da yayımlanmıştır. Peano’nun sistemi, gerek esası oluşturması ve
gerekse farklı bir örnek olması bakımından ilginç olur düşüncesiyle
aşağıda ifade edilmiştir:
Peano’nun Aksiyomatik Sistemi
Tanımsız (İlkel) Terimler:
1) 0 (Sıfır)
2) Sayı
3) Ardıl (=ardışık)
Burada “0” ilkel terimi, bilinen “sıfır” sayısını temsil eden semboldür.
“Sayı” ilkel terimi, {1, 2, 3, …} doğal sayılarını bilinen anlamları ile
belirler. Ardıl veya ardışık terimi ile n gibi bir doğal sayıyı hemen
izleyen doğal sayı kastedilmektedir ve bu sayı n' ile gösterilmektedir.
Aksiyomlar:
95
P 1. 0, bir sayıdır.
P 2. Bir sayının ardılı (ardaşığı) da bir sayıdır.
P 3. Aynı sayının iki farklı ardılı olamaz.
P 4. 0, hiçbir sayının ardılı değildir.
P 5. x gibi bir özellik,
(i) 0 a aitse
(ii) n gibi bir doğal sayıya ait olduğundan n' ye (yani n nin
ardılına) de ait ise bütün sayılara aittir.
Hilbert’in geometrisi, Euclid’in çalışmasındaki gedikleri
yamayarak kapatmanın ötesinde matematiksel öneme sahiptir.
Modern aksiyomatik metodun klasik bir örneği olmuştur. Yirminci
asrın başlarında ortaya çıkmasından dolayı bu asırdaki matematiksel
düşüncenin çoğuna ait olan tonu (niteliği) ortaya koymaya yardım
etmiştir.
ALIŞTIRMALAR 2. 4
İnformal ispatları desteklemek üzere Euclidyen geometrisi için
Hilbert’in aksiyomlarını kullanınız.
1. Elemanlar’da Euclid tarafından ispatlanan teoremlerden herhangi
biri, Euclidyen geometride yanlış olarak gösterilmiş midir?
Gösterilmişse hangileridirler? Gösterilmemişse niçin Hilbert,
Euclid’in çalışmasını yeni bir biçime sokma ihtiyacını duymuştur?
2. Bir ikizkenar üçgenin taban açılarının kongrüent-eş olduğunu ispat
etmek için (KAK şartının tamamının tesis edilmiş olduğunu kabul
edebilirsiniz) Hilbert’in aksiyomlarını kullanınız (Yol gösterme:
∆ABC üçgeninin, ∆CBA üçgenine kongrüent-eş olduğunu ispat
ediniz).
3. X in, W ile Y ve Y nin, W ile Z arasında olacağı şekilde W, X, Y,
Z nin, noktalar olduğunu farz edelim. Hilbert aksiyomlarını
96
kullanarak W, X, Y ve Z, doğrudaş farklı noktalar olduğunu ispat
ediniz.
4. Geometride eğer bir doğru üzerinde bir nokta seçer ve bu noktanın
bir tarafındaki bütün noktalar boyunca baktığımızı düşünürsek
genellikle neye bir ışın dendiğini elde ederiz. “Işın” terimi için daha
fazla formal olan bir tanım veriniz.
5. Bir doğru parçası üzerinde kaç nokta vardır? Cevabınızı
destekleyen bir tartışma sağlayınız.
6. Size iki farklı X, Y noktaları ve bir ℓ doğrusunun verildiğini farz
edelim. Bu iki noktanın, aynı veya farklı yarım-düzlemlerde olup
olmadığını belirtmek için kullanılabilen bir kriter bulunuz.
7. Aşağıdaki ifade ile ne kast edildiğini açıklayınız:
Bir düzlemdeki her doğru, düzlemi kesinlikle iki ayrı yarım
düzlemlere ayırır.
Bu ifade, doğru mudur? Eğer bu ifadedeki “doğru”nun yerine “doğru
parçası” veya “ışın” yahut “çember” yazılsa idi ifade, yine doğru olur
muydu? Açıklayınız.
8. Bir doğru için bir üçgenin her üç kenarını kesmek, mümkün
müdür? Eğer mümkün ise bu, Aksiyom II-4 ile çelişir mi? Değilse
sebebini açıklayınız.
9. X, Y ve Z, Y nin X ile Z nin arasında olacak şekildeki noktalar ise
(a) XY  YZ = Y ve
(b) XY  YZ = XZ
olduğunu ispat ediniz (Doğru parçalarının, uç noktalarını ihtiva ettiği
hakkındaki tanımı kullanabilirsiniz).
10. Aynı doğruya paralel olan iki doğrunun, birbirlerine paralel
olduğunu ispat ediniz (Yol gösterme: Doğrudan doğruya ilerleyiniz).
97
11. “Bir üçgenin içi” terimiyle ne kast edilir? Bu terim, formal olarak
nasıl tanımlanabilir? Eğer bir doğru, bir üçgenin bir köşesini ve bu
üçgenin iç noktalarını ihtiva eder ise ihtiva ettiği köşenin karşı
kenarını kesmeli midir? Niçin kesmeli veya niçin kesmemelidir?
Açıklayınız.
12. Bir doğru, bir dikdörtgenin bir kenarını keserse bu dikdörtgenin
başka bir kenarını da kesmeli midir? Niçin kesmeli veya niçin
kesmemelidir? Açıklayınız.
13. Eğer bir doğru, bir dikdörtgenin üç kenarını keserse bir köşesini
de kesmeli midir? Niçin kesmeli veya niçin kesmemelidir?
Açıklayınız.
14. Hilbert, geometrisinde uzaklığı tanımlamadı. Bununla birlikte
doğru parçaları için aşağıdaki “<” bağıntısını tanımlayarak
uzaklıkların karşılaştırılabilmelerine izin vermiştir:
WX < YZ olması için gerek ve yeter şart, WX  YP olacak
biçimde Y ve Z arasında bir P noktasnını var olmasıdır
Bu tanımı kullanarak W, X, Y ve Z noktalarının her kümesi için
aşağıdaki ifadelerden birinin doğru olduğunu gösteriniz:
(i) WX < YZ
(ii) WX  YZ
(iii) YZ < WX .
15. Alıştırma 14 te tanımlanan “<” bağıntısının, geçişken olduğunu
gösteriniz.
16. Eşlik aksiyomlarından Aksiyom III-5 i yeniden okuyunuz. KAK
kongrüans-eşlik şartının, tam olarak postule edilmediğine ancak
sadece açıların bir ikinci çiftinin eş olması gerektiğinin farz edildiğine
dikkat ediniz. B, C ve B´, C´ noktalarının isimlerini aralarında yer
değiştirerek geri kalan açıların eş olduklarını, sonuçlandırabiliriz.
98
Buna rağmen geri kalan kenarların eş-kongrüent olduklarını hemen
çıkaramayabiliriz. Diğer aksiyomları kullanan bir teorem olarak ispat
edilebildiğinden dolayı Hilbert, bu son kongrüansı-eşliği postule
etmemiştir. Bu ispat, şu tarzda yürür: Geri kalan kenarlar BC ve BC
nin, kongrüent-eş olmadığını farz edelim (Şekil 2.4.2 ye bakınız).
B'
B
A
C
A′
D'
B′
Şekil 2.4.2 Verilen AB  AB , AC  AC ,
 BAC   BAC için BC  BC olduğunu gösteriniz.
(a) Bu hipotez altında DC  BC olacak şekilde BC ışını
üzerinde bir tek D noktası vardır. Bunu, hangi aksiyom garanti eder?
(b) Bundan sonra ∆ABC ve ∆A′B′C′ üçgenlerini alalım. Aksiyom
III-5 in bu üçgenlere bir uygulamasının, bize  D′A′C′   A
olduğunu sonuçlandırmamıza izin verdiğini ve bu sonucun “verilen”
ile birlikte, Aksiyom III-4 ile çeliştiğini doğrulayınız.
17. Üçgenler için AKA eşlik şartının, KAK şartından bir teorem
olarak çıktığının bir ispatının taslağını yapınız.
18. Üçgenler için kendi kongrüans-eşlik postulatı olarak Hilbert’in
KAK ın seçimi, fazlasıyla bir zevk meselesi idi. Bunun yerine AKA
şartını postule etmeyi seçebilirdi. Aksiyom III-5 i, üçgenler için AKA
kongrüans-eşlik şartını postule edeceği şekilde ifade ediniz. Böyle
yapmada Hilbert’in, KAK şartıyla yaptığı gibi, bu ifadeyi mümkün
olduğu kadar zayıf yapmağa girişiniz. AKA nın zayıf bir
99
versiyonunun, ilgili üçgenlerin bütün kenar ve açılarının eşliğini nasıl
ima edebileceğini açıklayınız.
19. Üçgenler için KAK eşlik şartının, AKA şartından bir teorem
olarak çıkacağının bir ispatının taslağını yapınız.
20.
Arşimet (Archimedes) aksiyomuna ait Hilbert’in ifadesi
aşağıdadır:
V-1 . (Arşimet-Archimedes Aksiyomu) Eğer AB ve CD ,
herhangi doğru parçaları ise AB ışını boyunca A dan
itibaren B noktasından öteye geçen CD nin n tane
kopyasını sürekli olarak inşa edecek şekilde bir n tam
sayısı vardır.
Bu aksiyomda evvelce tanımlanmamış iken kullanılmış olan herhangi
bir terim var mıdır? Eğer böyle ise onları belirleyiniz ve bu
aksiyomun anlamını verebilecek geçerli tanımları inşa ediniz.
2. 5 EUCLİDYEN GEOMETRİ İÇİN BIRKHOFF MODELİ
GEORGE DAVID BIRKHOFF (1884-1944)
İstidatlı bir öğretmen ve yirminci asrın ilk yarısı
esnasında
Princeton, Harward, Wisconsin
Üniversitesi’nde çalışan bir matematik araştırmacısı
idi. Başlıca ilgileri, dinamik ve argodik teori
alanlarında oldu. Aynı zamanda relativite, kuantum
mekaniği çalıştı ve Poincare’nin “Son Geometrik
Teorem”ini çözerek 1913 te geniş bir tanınma
kazandı. Kariyerinin sonuna doğru Hilbert’in yaklaşık
önceden yarım asır boyu yapmış olduğunun çok aynı
bir tarzda Euclidyen geometrisi için bir model
sağlamış fakat can alıcı kısım olarak ölçümleri
kullanıp dikkate değer bir şekilde farklı bir
perspektiften hareket etmiştir.
Bir önceki Kesim’de Hilbert’in, Euclid’in aksiyom kümesini
genişleterek ve teoremlerin mantıksal gelişmelerinde titiz davranarak
Euclidyen geometriyi kesinleştirdiğini gördük. Hilbert’in eklemiş
100
olduğu bu kesinlik için ödediği ücret, Euclid’inkinden dikkat çekecek
derecede daha geniş bir aksiyom kümesi ve muhtemelen arada
olmalık alanında en göze çarpan birkaç açık sonuç için oldukça zor
ispatlar sağlama ihtiyacı idi. Hilbert’in hayatı esnasında diğer
geometricilerin birçoğu, aynı zamanda bu araştırma alanı ile ilgili
idiler ancak Hilbert’in çalışması, çoğu nerede ise Euclid’in
yaklaşımına en yakın olarak uyan gayret olarak hayatta kalmıştır.
Bir Amerikan matematikçi olan G.D.Birkhoff, 1932 de Euclidyen
geometrinin dikkate değer bir gelişmesini sağlamıştır (A Set of
Postulates for Plane Geometry-Düzlem Geometrisi İçin Bir Postulat
Kümesi). Birkhoff’un Hilbert’inkine benzeyen çalışması, Euclid’in
çalışması ile uyumlu olarak inşa edildiğinden teoremler açısından
yeni sonuçlar sağlamamıştır. Daha doğrusu önemi, temelinden
geometrinin gelişmesinde kullanmak üzere seçtiği aksiyomların
kümesinin farklılığında yatmaktadır. Birkhoff’un aşağıda tanımsız
terimleri ile birlikte sunulan aksiyom kümesi, Hilbert’inkinden (ve
hatta Euclid’inkinden bile) daha küçüktür.
Tanımsız-İkel terimleri:
1) Nokta
2) Doğru
3) Uzaklık
4) Açı
Postulatları:
Postulat I. Herhangi bir doğrunun A, B, … noktaları, her A ve B
noktaları için xb - xa = d(A,B) olacak şekildeki x reel sayıları ile
1:1 tekabül içine konabilir (Burada A ile B arasındaki uzaklığı temsil
etmek için d(A,B) notasyonunu ve A ile B ye karşılık gelen reel
sayıları temsil etmek için de, sırayla, xa ile xb yi kullanmıştır).
101
Postulat II . Bir ve yalnız bir ℓ doğrusu, herhangi farklı iki P ve Q
noktalarını ihtiva eder.
Postulat III . Herhangi bir O noktasından çıkan ℓ, m, n, … yarımdoğruları (veya ışınları) alalım. Bunlardan mesela ℓ, m nin birer
noktaları (O dan farklı) sırasıyla A, B ise ℓ ve m doğrularına sırasıyla
eşlik eden aℓ , am reel sayılarının farkı
aℓ - am (mod 2π) = m  AOB
olacak şekilde bu ℓ, m, n,… yarım-doğruları (veya ışınları), a(mod2π)
reel sayıları ile 1:1 tekabül içine konabilir (Burada “m  AOB”,
 AOB açısının ölçüsünü göstermektedir).
Postulat IV . İki ∆ABC ile ∆A′B′C′ üçgenlerinde ve bir k > 0 sabiti
için d(A′,B′) = kd(A,B), d(A′,C′) = kd(A,C) ve
m  B′A′C′ =
m  ABC ise aynı zamanda d(B′,C′) = kd(B,C), m  C′B′A′ ve
m  A′C′B′ = m  ACB dir (Bu postulata, üçgenler için KAK
benzerlik şartı olarak bakılır).
Hepsi bu kadar!.. Halbuki Hilbert, Euclid’in sonuçlarını türetmek
için 16 postulata ihtiyaç duymuştur ve Birkhoff, bu listeyi 4 e kadar
daraltmağa muktedir olmuştur.
Şüphesiz Birkhoff’un ifade ettiği 4 postulat içinde
1) her doğrunun noktalarının , reel sayılarla 1:1 tekabül içine
konabileceği,
2) açıların, 0 - 2π veya 0° - 360° aralığından alınacak
ölçülerle tek türlü olarak tayin edilebileceğinin,
postule edilmesinin bir sonucu olarak ortaya çıkan özelliklerin bir
zenginliği bulunur.
Not: Hilbert’in postulatları, yıllarca tekrar tekrar gözden geçirilmiştir
102
ve Grundlagen der Geometrie’de Hilbert, üç boyutlu geometri için bazı
aksiyomları dahil etmiştir. Bu yüzden postulatlarının sayısı, değişebilir.
Kesim 2.4 te takdim edilen aksiyom kümesi, 16 postulat ihtiva etmektedir.
Birkhoff’un postulat kümesinde mesela arada olmalık
kavramından hiç söz edilmemiştir. Buna rağmen arada olma bağıntısı
hakkındaki gerekli bütün sonuçlar, Birkhoff’un aradayı aşağıdaki
gibi tanımlamış olmasından dolayı kolayca çıkarlar.
Tanım 2. 5. 1. A, B, C, noktalar olsun. B nin, A ile C arasında
olması ve A – B – C yazılması için gerek ve yeter şart,
d(A,B) + d(B,C) = d(A,C)
olmasıdır.
Arada olmalık hakkında gerekli bütün sonuçlar, bu tanım ve reel
sayılara uygulanan cisim özelliklerinden hemen çıkar. Şüphesiz bu
modeli, Euclid’in geometrisine tamamlamak için ihtiyaç duyulan
gücü, cisim özellikleri vermektedir.
Postulat I, genellikle lineer-doğrusal ölçünün postulatı veya
cetvel postulatı olarak ele alınır. Çünkü ölçüleri (veya uzunlukları)
her bir doğru parçasına bağlamaya izin vermektedir. Bu postulatın bir
sonucu, her doğrunun bir sayı doğrusu gibi düşünülebileceğidir.
Doğru parçalarının eşliğinin tartışmasında gerekli olan fikirler, bu
postulattan gelir.
Benzer şekilde açılara ölçüler tahsis etmenin bir yolunu temin
ettiğinden. Postulat III, iletki (açı ölçer) postulatı olarak biline
gelmiştir. Bu taktirde bu iki postulat, bize eşlik kavramını
tanımlamaya ve tamamen geliştirmeğe izin verir. Hilbert’in eşlikkongrüans terimini tanımsız bıraktığını ve Aksiyomlar (III-1)-(III-5) i
kullanarak ona anlam verdiği hatırlanabilir.
Postulat IV, geometrik şekillerin benzerlik kavramı için olanın
aynısını yapar.
103
Geometriyi Euclidyen tabiatlı yapacak olan bir aksiyom (yani
Euclidyen paralellik özelliği), görünüşe göre bu aksiyom kümesinden
yok edilmiştir. Birkhoff, paralellik fikrini ifade eden bir aksiyomu
(açık olarak) dahil etmez. Bunun yerine Euclid’in paralellik
postulatını bir teorem olarak elde etmek için bir temeli bu dört
aksiyomun içinde sağlar. Birkhoff’un bu teoreme ait ispatı, aşağıdaki
tarzda sürdürülür (Şekil 2.5.1 e bakınız):
Teorem 2. 5. 1. Eğer iki düz çizgi (doğru) üzerine düşen bir düz çizgi
(doğru), aynı tarafta iki dik açıdan küçük iç açılar oluşturur ve bu
durum, diğer üzerlerine düşen doğrularla bu şekilde devamlı olarak
üretilirse bu iki düz çizgi (doğru), bu açıların iki dik açıdan küçük
olduğu tarafta kesişirler.
İspat. A nın, ℓ doğrusu üzerinde olmayan bir nokta ve B nin, A dan ℓ
ye çizilen bir dikmenin ayağı olduğunu farz edelim.  BAC bir dar
açı olacak şekildeki herhangi bir nokta, C olsun. Bu taktirde AB nin
C tarafındaki iç açıların toplamının iki dik açıdan küçük yani
m  CAD + m  ABE < 180°
olduğu açıktır. Euclid’in beşinci postulatını ispat etmek için AC nin,
AB nin C tarafında ℓ yi kestiğini göstermeliyiz.
A
C
E
D
B
Şekil 2.5.1
ℓ
104
Bunu başarmak için CD yi, Şekil 2.5.1 de gösterildiği gibi AB ye
dik inşa edelim. Bundan sonra AD : DC = AB : BE oranı geçerli
olacağı şekilde ℓ nin üzerine E yi yerleştirelim. AE doğrusunu inşa
edelim. Böylece elde etmiş olduğumuz şey, ∆ADC  ∆ABE olacak
biçimde üçgenler için KAK benzerlik şartıdır (yani Postulat IV).
Sonuç olarak m  BAE = m  DAC dir. İletki postulatı, bize AB
nin C tarafında bunu yapacak olan sadece bir ışının var olduğunu
garanti eder. Bundan dolayı AC , AE ile çakışması gerekeceğinden
aynı zamanda AC , ℓ doğrusunu E de keser.▄
Bu teorem, üçgen benzerliği hakkındaki postulatın (Postulat IV),
Euclid’in paralellik postulatını tesis etmek için kullanılabileceğini
göstermektedir. Buradan benzerliği bu tarzda postule eden herhangi
bir geometrinin, Euclidyen tabiatlı olması gerektiği sonucu elde
edilmiş olur.
Bu durumda Birkhoff’un, Euclid’in veya Hilbert’in yapmış
olduğundan dikkate değer şekilde farklı olan bir postulat kümesini
seçmesine rağmen elde edilecek olan sonuçlarının (teoremlerin),
Euclid’in veya Hilbert’inki ile aynı olduğunu görürüz. Hilbert,
Euclid’in daha doğru ve daha yakın bir tarzı olmasına rağmen modern
biçime daha uygun tabiatından dolayı Birkhoff’un postulat kümesi,
birçok matematikçi tarafından çok daha çekici bulunmuştur.
Gerçekten diğer konular arasından arada olmalık, eşlik ve benzerlik
konularını ifade edebilme kolaylığını sağlaması, Birkhoff’un bu
yaklaşımını birçok bakımdan Hilbert’inkine pedagojik olarak daha
tercih edilebilir yapmıştır. Gerçekten cetvel ve iletki postulatları, orta
öğretim kitaplarının çoğunda standarttırlar. Çünkü bu postulatlar,
geometrideki birçok standart konunun kesin fakat kullanışsız olmayan
tartışmasına izin verirler.
Bundan sonraki Kesim’de, başından sonuna kadar fikirlerinin
çoğunun Hilbert tarafından postule edilmiş olan Okul Matematiği
Çalışma Gurubu’nun (OMÇG’nin) önerdiği bir aksiyom kümesini
inceleyeceğiz. Bu aksiyom kümesi, görüleceği üzere bağımsız
105
değildir. Çünkü aksiyomlarının bazıları, diğer aksiyomların kullanımı
ile ispat edilebilir. Buna karşılık bu iki aksiyom kümesini, yapılması
gerekli olan küçük bir matematiksel ödün ile, birleştirmenin
avantajlarının dikkat çekecek biçimde değerli olduğunu hissedeceğiz.
ALIŞTIRMALAR 2. 5
1. Işın terimi için Birkhoff’un postulat kümesi ile uyuşan geçerli bir
tanım veriniz.
2. Birkhoff, kendi iletki postulatını radyan ölçüsüne göre ifade etti.
Bu postulatı, derece ölçüsünü kullanarak yeniden ifade ediniz. Bu
postulat için radyan ölçüsünden ziyade derece ölçüsünü kullanmanın,
herhangi bir avantajı var mıdır? Açıklayınız.
3. Doğru parçalarının benzerliğinin, aşağıdaki şekilde tanımlandığını
farz edelim:
İki AB ve CD doğru parçası, eğer d(A,B) = kd(C,D)
olacak şekilde bir k sabiti var ise benzerdirler.
(a) Bu tanımı kullanarak bütün doğru parçalarının benzer olup
olmadığını açıklayınız.
(b) Hangi şartlar altında benzer doğru parçalarının çifti, eş olur?
(c) Varsa hangi kısıtlamalar, bu tanımdaki k nın alabileceği
değerler için konabilir?
4. Üçgenler için benzerliği tanımlayınız. Genelde çokgenler için
benzerliği tanımlayınız.
5. Genelde üçgenlerin ve çokgenlerin kongrüansını-eşliğini
tanımlamak için Alıştırma 2.5-4 teki benzerlik için tanımınızı
kullanınız.
6. Birkhoff’un aksiyomlarını kullanarak aşağıdakileri ispat ediniz:
(a) Bütün dik açılar, ölçüde eşittirler.
106
(b) Üçgenler için benzerlik, geçişken bir bağıntıdır.
(c) Üçgenler için benzerlik, bir denklik bağıntısıdır.
7. Birkhoff’un aksiyom kümesinin bağımsız olduğunu düşünür
müsünüz? Niçin veya niçin değil? Açıklayınız.
8. Birkhoff’un geometrisinin, Hilbert’inkine izomorf olduğunu
düşünür müsünüz? Niçin düşünür veya niçin düşünmezsiniz?
9. Euclid’in beşinci paralellik postulatının Birkhoff’a ait ispatında
(a) hangi aksiyom, bize AD:DC=AB:BE olacak şekilde bir F
noktasının var olduğunun garantisini verir?
(b) hangi aksiyom, bize ∆ADC ve ∆ABE nin benzer olduğunu
çıkarmak için izin verir?
2. 6 EUCLİDYEN GEOMETRİ İÇİN OKUL MATEMATİĞİ
ÇALIŞMA GURUBU (= OMÇG)'NUN POSTULATLARI
EDWARD G. BEGLE
1950 lilerin sonu soğuk
savaşın
ortası
esnasında
Amerika
Birleşik
Devletleri’nin, temel araştırma ile matematik ve fen
bilimlerinin eğitiminde Sovyetler Birliği’nden geri
kalmış olduğu konusunda bir algılama vardı. 1958 de
NSF = National Science Foundation (Milli Bilim
Kurumu), orta öğretim matematik proğramının bir
revizyonunu başlatmak için 100.000 dolar temin etti.
Bu proje, Okul Matematiği Çalışma Gurubu = OMÇG
(School Mathematics Study Group) diye adlandırılmış
ve çalışmaları yönlendirmek üzere ABD’deki Yale
Üniversitesi’nden Edward G.Begle’ye sorumluluk
verilmiştir. OMÇG, millet çapında 1960 ların başları
sırasında test edilen alanlar olan K-12 sınıfları (ana
okulu, ilköğretim ve lise) için örnek ders kitapları
geliştirmiştir. Teklif edilmiş olan revizyonların bir
çoğu, kritisizm-eleştirinin hedefi oluyorken (mesela
Morris Kline, Why Johny Can’t Add, New York:
Vintage Books l973) geometri için OMÇG postulat
kümesi, Amerika ve Kanada’da baştan başa çeşitli
formlarda genişliğine kullanılır olmuş ve olumlu
görüşler almıştır. 1978 de ölümüne kadar Begle,
107
matematikte ve Yale ile Stanford Üniversitelerinde
aktif kalmıştır.
Son iki Kesim’de Euclidyen geometriye birbirlerinden çok farklı olan
iki yaklaşımla karşılaşmıştık:
(1) Hilbert’in aksiyomları, Euclid’in Elemanlar’ındaki bütün
önermeleri (teoremleri) sentetik olarak yani konstraktif-inşacı bir
şekilde elde etmek için noktalar, doğrular ve düzlemler hakkında
ihtiyaç duyulan niteleyici karakteristikleri sağlarlar. Bu yüzden bu
aksiyom kümesi, geometriye sentetik bir yaklaşım (sentetik geometri)
adı verilme sebebinin temelini oluşturur.
(2) Birkhoff’un aksiyom kümesi, Hilbert’inkinin aksine tabiat
olarak daha analitiktir. Çünkü postulatları, bu hususta bize hem nokta,
doğru, açı terimlerini ifade etmek ve hem de bunlarla reel sayılar
arasında yer alan birebir tekabüller yoluyla (Postulat I ve III e
bakınız) bu terimleri sayısal niceliklerle ilişkilendirmemize izin
verirler.
Bu iki aksiyom kümesi, dikkat çekecek derecede Euclid’in
geometrisini oluşturan teoremlerinin özünün aynısını üretirler.
1960 lardan önce Euclidyen geometri için başka bir aksiyom
kümesi, Amerika Birleşik Devletleri’ndeki Okul Matematiği Çalışma
Gurubu (OMÇG) tarafından meydana getirilmiştir. Bu gurup,
matematikçiler ve matematik eğitimcilerinin çalıştığı bir büyük
organizasyonun bir parçası olup temel bilim ve matematik
alanlarında, dünya çapında yarışmak üzere, bazı bakımlardan
Amerika Birleşik Devletleri’nin başarısız kaldığının algılandığını
bildirmek için kurulmuştur.
1950 lerin sonlarında Sovyetler Birliği, Birleşik Devletler’e
nispetle teknolojik üstünlüğünün işaretlerini göstermeğe başladığı
zaman Kongre (A.B.D.’nin Meclisi), Birleşik Devletler’de matematik
ve temel bilimlerin eğitimini düzeltme gayesine sonuna kadar sağlam
temelli bir fon (ödenek) tahsis etmiş olan Milli Bilim Kurumu’nu
108
(National Science Foundation veya kısa olarak NSF) oluşturmuştur.
Bu kuruma ait proğramın tamamının küçük bir kısmı, okul
matematiğinde müfredat reformu idi. OMÇG, ilköğretim okulu ve
liseler için bir yeni matematik tanımlama konusu ile yükümlü
kılınmıştır. Yeni matematiğin çoğu, pek başarılı olarak ikmal
edilmemiş ise de Euclidyen geometri için ürettiği aksiyom kümesi,
günümüze kadar bütünüyle eksiksiz olarak hayatiyetini sürdürmüştür
ve bundan sonra takip edecek olan Bölüm’lerde hem Euclidyen hem
de Euclidyen-olmayan geometriler için bir baz-temel gibi iş
görecektir. Bu Kesim’de OMÇG aksiyomları ile Hilbert ve
Birkhoff’un aksiyomları arasındaki ilişkileri tartışacağız.
OMÇG’nin tanımsız terimleri (Ek D ye bakınız):
1) Nokta
2) Doğru
3) Düzlem
OMÇG’nin aksiyomları (Ek D ye bakınız):
Aşağıda belirtidiği gibi sekiz gurup altında toplanmışlardır:
I. Gurup
: Konum aksiyomu; Postulat 1.
II. Gurup
: Uzaklık hakkında aksiyomlar; Postularlar 2-4.
III. Gurup : Uzay ilişkileri hakkında aksiyomlar; Postulatlar
5-8.
IV. Gurup : Ayırma hakkında aksiyomlar; Postulatlar 9-10.
V. Gurup
: Açısal ölçünün aksiyomları; Postulatlar 11-14.
VI. Gurup : Kongrüans (eşlik) aksiyomu; Postulat 15.
109
VII. Gurup : Paralellik aksiyomu; Postulat 16.
VIII. Gurup: Alan ve hacım hakkında aksiyomlar; Postulatlar
17-22.
OMÇG aksiyomlarının amacı, (mümkün olduğu kadar genişlikte)
tam ve pedagojik olarak mükemmel bir aksiyom kümesi sağlamanın
yanısıra aynı anda geometrinin formal incelemesine başlayan
öğrencilerce kabul edilebilir olmaktı. Bu amaçların ikincisini yerine
getirmek için OMÇG yazarları, aksiyomatik sistemlerin sahip olduğu
karakteristiklerden biri olan bağımsızlığı feda etmeği kararlaştırmıştır.
Bu kararın alınmasında esas alınan bir mantık, bağımsız aksiyom
kümelerinin baş sonuçlarının (teoremlerin) ispatlarından önce, çok
sayıda ön (ve aşikar olarak doğru olan) teoremlerin ispatını
gerektirmesidir (Hilbert’in aksiyomlarını tartışırken arada olmalık
hakkında verilen ispatı hatırlayınız. Hilbert’in modeli içinde herhangi
özlü sonuçların tesis edilebilmelerinden önce bu tipten başka pek çok
ispatlar vardır). Formal mantığın uygulamasında iyi bir alıştırma
olmasına rağmen Hilbert’in modelinde start almak için ihtiyaç
duyulan zaman ve çaba, öğrenciye geometri içinde yeni bir kavrayış
vermez. Sonuç olarak OMÇG kümesinde dahil edilen aksiyomların
bazıları, diğerlerinin kullanımı ile elde edildiklerinden gereksizdirler.
Bu, küçük bir kusurdur ve bu kusur, OMÇG aksiyom kümesini
kullanarak önemli sonuçlar üzerinde hareket etme kolaylığına
erebilme durumu ile karşılıklı olarak dengelenir.
Yukarıda tanımlanan aksiyomlardan Gurup III (Ek-D ye bakınız)
ve Gurup VIII in bir kısmı, bu kitapta ele alamayacağımız üç-boyutlu
geometrideki (yani uzay geometrisindeki) ilişkileri belirttiklerinden
bizi ilgilendirmeyecektir. Geri kalan diğer aksiyomlar, Hilbert
ve/veya Birkhoff
tarafından ifade edilen aksiyomlar ile
ilişkilendirilebilirler.
Mesela aşağıda Postulat 1 olarak verilen konum aksiyomu,
(konum aksiyomları arasında) Hilbert’in ve (Postulat II olarak)
110
Birkhoff’un her ikisi tarafından çok aynı bir şekilde ifade edilir.
OMÇG deki karşılığı, aşağıdadır:
Postulat 1. Konum Aksiyomu. Verilen herhangi farklı iki nokta için
her ikisini ihtiva eden kesinlikle bir tek doğru vardır.
Bu postulatı, bundan önceki iki Kesim’de verilenlerle
karşılaştıralım. Noktaların varlığına dair açık bir zikir olmamasına
rağmen OMÇG kümesi, Birkhoff’un aksiyomlarının yaptığının çok
aynı tarzda noktalarla doğruların varlığını garanti eder (Alıştırma 2.61 e bakınız). Bundan dolayı OMÇG kümesi, sadece bir tek konum
aksiyomu ihtiva ederken Hilbert’in dört bağlantı-konum aksiyomu,
geometriye birleştirilmiştir.
Uzaklık hakkındaki OMÇG aksiyomları, Birkhoff’un lineer ölçüm
postulatına dayanır. Bu gurubu içine alan üç postulat, tartışmaları ile
birlikte aşağıdadır.
Postulat 2. Uzaklık Postulatı. Farklı noktaların her bir çiftine bir
tek pozitif sayı karşılık gelir (OMÇG postulat kümesinin bazı
versiyonları, bu postulatı şöyle ifade ederler: Farklı noktaların her
bir çiftine, uzaklık denen bir tek pozitif sayı karşılık gelir).
Postulat 2 ile şart koşulan tek olan pozitif sayı, çok açık olarak bu
noktalar arasındaki uzaklıktır. Bu ilişki, Postulat 3 te daha net hale
getirilmiştir.
Postulat 3. Cetvel Postulatı. Bir doğrunun noktaları, reel sayılar ile
birebir bir tekabül içine aşağıdaki şekilde konabilir:
(i) her noktaya, kesinlikle bir reel sayı karşılık gelir;
(ii) her reel sayıya, doğrunun kesinlikle bir noktası karşılık
gelir;
(iii) iki nokta arasındaki uzaklık, bu noktalara karşılık gelen
111
sayılar farkının mutlak değeridir.
Bu postulat, gerçekten Birkhoff’un lineer ölçüm postulatının bir
yeniden ifadesidir. (i) ve (ii) maddeleri, birebir tekabülü tesis eder ve
(iii) maddesi, Birkhoff’un maksadı ile uyuşan uzaklığı belirlemenin
bir yolunu sağlar. Reel sayıları cisim özelliklerini herhangi A ve B
noktalarının koordinatlarına uygulayarak d(A,B) nin, gerçekten tek
olduğunu gösterebiliriz; dolayısıyla OMÇG Postulat 2, Postulat 3
kullanılarak ispat edilebilir. Ancak bu ispat, tabiat olarak geometrik
olmayabilir. Bu da,
Postulat 2 nin OMÇG kümesine dahil
edilmesinin çok muhtemel olma sebebini teşkil etmektedir. Bunun
gibi aşağıda ifade edilecek olan Postulat 4 te, diğer aksiyomlardan
bağımsız değildir.
Cetvel postulatının başkabir sonucu, Arşimedyen prensibidir
(Hilbert Aksiyomu V-1 e bakınız. Buna Arşimet özelliği de denir). Bu
özellik (veya eşdeğerlerinden biri), reel sayılar için postule edilmesi
gerektiğinden cetvel postulatından “serbest”tir.
Postulat 4. Cetvel Yapma Postulatı. Bir doğrunun verilen iki P ve Q
noktaları için koordinat sistemi (yani bu doğrunun noktaları ile reel
sayılar arasındaki birebir tekabül), P nin koordinatı sıfır ve Q nun
koordinatı pozitif bir sayı olacak biçimde seçilebilir.
Postulat 4, bir doğrunun keyfi olarak seçilen herhangi bir
noktasında sıfırın ve seçime göre pozitif sayılar ile negatif sayıları
yerleştirerek bir sayı doğrusu yapılabileceği anlamındadır. Bu durum,
çoğunlukla Bölüm 5 te tartışıldığı gibi analitik ispatlarda bir düzlemi
koordinatlaştıracağımız zaman uygundur.
OMÇG nin Uzay ilişkileri hakkındaki (Ek D de sıralananlar)
aksiyomları Postulatlar 5-8, önemli iseler de üç-boyutlu geometri ile
ilgili olduklarından burada ilgi alanımız içinde değillerdir. Bu yüzden
tartışmamızı ayırma hakkındaki aksiyomlarla sürdüreceğiz.
112
Postulat 9. Düzlemi Ayırma Postulatı. Verilen bir ℓ doğrusu ve ℓ yi
ihtiva eden bir düzlem için ℓ nin üzerinde bulunmayan bu düzlemin
noktaları, aşağıda belirtildiği şekilde iki küme oluştururlar:
(i) Bu kümelerin her biri, konvekstir (konveks küme teriminin
uygun bir tanımı için bu Kesim’in sonundaki Alıştırma
2.6-4 e bakınız).
(ii) Eğer P noktası, bu kümelerin birinde ve Q noktası,
diğerinde ise PQ ile ℓ kesişir yani PQ  ℓ   dir.
Postulat 10. Uzayı Ayırma Postulatı. Verilen bir  düzleminde
bulunmayan uzayın noktaları, aşağıda belirtildiği şekilde iki küme
oluşturular:
(i) Bu kümelerin her biri, konvekstir.
(ii) Eğer P noktası, bu kümelerden birinde ve Q noktası,
diğerinde ise PQ     dir.
Ayırma postulatları, noktalar için (doğrudaş noktalar için belli
birinin veya düzlemdeş noktalar için belli bir doğrunun) aynı bir
tarafta veya ters araflarda olma bağıntısı ile ilgilidirler.
Postulat 10, üç-boyutlu geometriye uygulandığından müteakip
tartışmada ele alınmayacaktır ancak Postulat 9, Bölüm 3 te türetilecek
birkaç sonucun esasını oluşturur. Düzlemi Ayırma Postulatı, Hilbert
modelinde Pasch aksiyomunun (Aksiyom II-4) oynadığı rolün aynısını
OMÇG kümesinde oynar. Bu postulat, noktaların verilen bir doğruya
göre aynı veya ters tarafta olup olmadıklarını belirtmemize imkan
verir. Bölüm 3 te Postulat 9 u kullanarak iyi bilinen sürgü teoremi
(Teorem 3.2.6) dahil diğer birkaç önemli teoreme sebebiyet verecek
olan Pasch aksiyomunu, bir teorem olarak ispat edebiliriz. Pasch
aksiyomunu ispat etmek, paradoksal gibi görünebiliyor ise de
aksiyomlar ile teoremler arasındaki fark, en geniş derecede ne kabul
ettiğinizin bir sonucudur. OMÇG yazarları, düzlemi ayırmanın Pasch
113
aksiyomundan daha kökten bir fikir olduğunu düşünmüşlerdir.
Bununla birlikte bunlardan birini postule etme, diğerini ispat etme
iznini verir.
Postulatların bundan sonraki gurubu, açıların ölçüsü ile ilgilidir.
Postulat 11. Açı Ölçüm Postulatı. Her  ABC açısına (bu açının
ölçüsü adı verilen), 0 ile 180 arasında bir tek reel sayı karşılık gelir.
Postulat 12. Açı İnşa Postulatı. AB , H yarı-düzleminin kenarı
üzerindeki bir ışın olsun. 0 ile 180 arasındaki her r reel sayısı ve H
deki bir P noktası için m  PAB = r olacak şekilde, kesinlikle bir tek
AP ışını vardır.
Postulat 13. Açı Toplama Postulatı. D,  ABC açısının içinde bir
nokta ise m  ABD + m  DBC = m  ABC dir.
Postulat 14. Bütünleme Postulatı. Eğer iki açı, bir lineer çift
oluşturuyorlarsa bu açılar, bütünler açılardır.
Postulat 11 ve 12 birlikte, Birkhoff’un açı ölçüm postulatının
karşılığını oluştururlar. OMÇG ile Birkhoff’un yaklaşımları
arasındaki fark, açıktır. Çünkü Birkhoff, açı ölçüsüne 0  2π (veya
0°  360°) aralığında izin verirken OMÇG takdimi, açı ölçüsünü
0  π (veya 0° ile 180°) aralığına kısıtlar. OMÇG yaklaşımı, son
zamanlarda daha standart olmuştur. Zira bu kısıtlama ile her açının
içi, noktaların bir konveks kümesi olur (Alıştırma 2.6-4 e bakınız).
Postulat 13, diğer postulatlar kullanılarak ispat edilebilir fakat bu
ifade sezgisel olarak açıktır ve ispatı açık olmadığından uygunluk için
postule edilmiştir. Benzer şekilde neredeyse bir tanım olan Postulat
14 te, açık olan bir sonucun ihtiyaç duyulan sıkıcı bir ispatını elimine
etmek için dahil edilmiştir.
Eşlik aksiyomu (Aksiyom 15), üçgenler için standart KAK (Kenar
Açı Kenar) eşlik şartıdır.
114
Postulat 15. Üçgenler İçin KAK Eşlik Şartı. İki üçgen arasında
(veya bir üçgen ile kendisi arasında) bir tekabül verilsin. Eğer birinci
üçgenin iki kenarı ve bu kenarların dahil ettikleri açı, ikinci üçgenin
karşılık gelen parçalarına eş ise bu tekabül, bir kongrüans-eşliktir
(yani bu üçgenler, eştir).
Not: İki üçgen arasında bir tekabül ile bu iki üçgenin noktaları arasındaki
bir birebir eşleme kasdedilir. Bu eşleme, yaygın olarak üçgenlerin köşeleri,
kenarları ve açıları arasında veya sadece köşeleri arasında yapılarak
belirtilir.
Bu ifadenin mutlaka gerekli olandan daha fazlasını sağladığını,
Hilbert’in buna karşılık gelen Postılat III-5 in tartışmasından
hatırlayabilirsiniz (Alıştırma 2.4-16 ya bakınız) fakat OMÇG
yazarları, bir kere daha bağımsızlıktan çok uygunluğu seçmişlerdir.
Şimdiye kadar sıralamış olduğumuz bu 15 postulat, nötral
geometri olarak bilinme sebebinin temelini oluştururlar (Bölüm 3 e
bakınız). Buraya kadar paralellik hakkında herhangi bir şey postule
edilmediğinden Postulatlar 1-15, Euclidyen ve hiperbolik
geometrilerin her ikisinin gelişmesinde kullanılabilirler. Bölüm 3 te
bu postulatların imalarını (gerektirdiklerini), ayrıntılı olarak
araştıracak ve bunlardan çıkarılan teoremlerin bir koleksiyonunu ispat
edeceğiz.
OMÇG paralellik postulatı, Playfair postulatının bir formudur.
Postulat 16. Paralellik Postulatı. Verilen bir doğrunun dışında,
verilen bir noktadan geçen ve bu doğruya paralel olan en fazla bir
doğru vardır.
Bu, önceden zikredildiği üzere Euclidyen geometriyi karakterize
eden postulattır. Bölüm 4 te sadece bu ifade (veya buna eşdeğer
olanlardan biri), kabul edilmişse doğru olan bir çok geometrik
ifadeleri araştıracağız.
115
Alan ve hacım hakkındaki postulatların (Postulatlar 17-22)
hiçbiri, Euclidyen veya Euclidyen-olmayan geometrilerin gelişmesi
için mutlak olarak gerekli değildir. Bu nicelikler hakkındaki sonuçlar,
sayısal-olmayan olarak Euclid ve Hilbert’in her ikisi tarafından
bildirilmiştir. Bununla birlikte alan ve hacim ölçümlerinin
tartışmasını kolaylaştırıp çabuklaştıracağından bunları, Bölüm 4 te
kullanacağız.
Postulat 17. Her çokgensel bölgeye, (bu çokgensel bölgenin alanı
adı verilen) bir tek pozitif sayı karşılık gelir.
Postulat 18. İki üçgen, kongrüent ise bu üçgenlerin belirlediği
üçgensel bölgeler, aynı alana sahiptir.
Postulat 19. R bölgesinin, iki R1 ve R2 bölgelerinin birleşimi
olduğunu farz edelim. Ayrıca R1 ve R2 nin, sonlu sayıda doğru
parçaları ve noktalarda kesiştiklerini kabul edelim. Bu taktirde R nin
alanı, R1 ve R2 nin alanları toplamıdır.
Postulat 20. Bir dikdörtgensel bölgenin alanı, bir köşesinden çıkan
kenarların (veya tabanının ve yüksekliğinin) uzunlukları çarpımına
eşittir.
Postulat 21. Bir dikdörtgensel paralelyüzlünün hacmı, yüksekliğinin
uzunluğu ile taban alanının çarpımına eşittir.
Postulat 22. Cavalieri Prensibi. İki katı cisim ve bir düzlem verilsin.
Eğer bu katı cisimleri kesen ve verilen düzleme paralel olan her
düzlem için oluşan her iki kesişim, aynı alana sahip bölgeleri belirtir
ise bu iki katı cisim, aynı hacme sahiptir.
Böylece OMÇG postulatlarının listesi tamamlanmış olur. Bu
durumda bizi Euclid’den bugüne yani Euclidyen geometriye geçiren
teoremlerin aynı bir kümesini belirtmek ve elde etmek için dört
postulat kümesini görmüş bulunuyoruz:
116
1. Euclid’in Elemanlar'ı. 2000 den fazla zamandan beri
geometri olarak bilinen disiplini tanımlamış olan ilk
fakat noksan ve kusurlu açıklama.
2. Hilbert’in Grundlagen Der Geometrie (Geometrinin
Temelleri). Çağdaş standartlar altında kabul edilebilir
bir aksiyom kümesini kullanan ve Euclid’in ruhuna
uygun olan Euclidyen geometrinin modern bir işleyişi
(1899).
3. Birkhoff’un A Set of Postulates for Plane Geometry
(Based on Scale and Protractor)-Düzlem Geometrisi
İçin Bir Postulat Kümesi (Cetvel ve Pergele Dayalı).
Esasen ölçüye dayanan bir farklı yaklaşımı kullanarak
Euclidyen geometriyi sağlam temelli bir baza oturtan
ikinci modern girişim.
4. School Mathematics Study Group’s Geometry (Okul
Matematiği Çalışma Gurubu veya kısaltılmış şekli ile
OMÇG nin Geometrisi). Euclidyen geometrinin etkili bir
gelişimine izin verecek şekilde Hilbert ve Birkhoff 'dan
özellikleri (bağımsızlığı feda ederek) birleştiren pedagojik
olarak yönlendirilmiş bir postulat kümesi.
Euclidyen geometri için diğer başka aksiyom kümeleri, yıllardan
beridir sunula gelmektedir fakat burada sıraladıklarımız, muhtemelen
en tarihi önemde olanlarıdır. Bölüm 5, Kesim 5-7 de bir başka birini
daha takdim edeceğiz. Geometri için tabiat olarak farklı diğer başka
aksiyom kümeleri de mümkündür. Bunların bazıları, Euclidyenolmayan geometrileri tanımlar. İkisini, bundan sonraki Kesim’de kısa
olarak ve daha sonra Bölüm 6 da ayrıntılı olarak tartışacağız.
ALIŞTIRMALAR 2. 6
1. Euclidyen geometri için Hilbert’in aksiyom kümesi, doğrudaş
olmayan en az üç noktanın varlığını garantileyen bir aksiyom dahil
117
etmektedir. OMÇG aksiyomları, böylesi bir aksiyomu en azından
doğrudan olarak ihtiva etmezler. OMÇG aksiyomlarından hangisinin,
geometrinin boş-anlamsız olmadığını garanti ettiğini açıklayınız.
2. OMÇG Postulat 2 nin, Postulat 3 ten nasıl türetileceğini açıklayınız.
3. OMÇG Postulat 4 ün, diğer OMÇG Postulatları’ndan nasıl
çıkarılabildiğini belirten bir ispatın taslağını yapınız.
4. Noktaların bir S kümesine, eğer A  S, B  S nin AB  S yi ima ettiği
daima doğru ise konvekstir (dışbükeydir) denir. Eğer açı ölçüleri, 0° ve
180° arasındaki değerlere kısıtlanır ise her açının içi konveks midir?
Eğer Birkhoff’un yaptığı gibi açı ölçülerini, 0° ve 360° arasında almağa
izin verirsek her açının içi, konveks midir? Niçin konvekstir veya niçin
konveks değil değil? Açıklayınız.
5. Birkhoff’un aksiyomlarının hangisi, OMÇG Postulat 15 i ima eder?
Açıklayınız.
6. Komşu açılar terimi ne demektir? Aşağıdaki ifadeyi tamamlayınız:
İki açının komşu olması için gerek ve yeter şart, ...
olmasıdır. (Eşdeğer olarak iki açı komşudur yalnız ve
yalnız … ise).
7. OMÇG Postulat 14 ü, yeniden okuyunuz: Lineer çift sözünden ne
kastediyorsunuz? Açılara göre bütünler terimini nasıl tanımlayabilir
siniz? Eğer komşu açıların bir çifti, bir lineer çift oluşturur ise
birleşimleri bir açı mıdır? Niçin veya niçin değil? Açıklayınız.
8. OMÇG Postulatları’nı yeniden okuyunuz ve her birini Hilbertyen,
Birkhoffyan veya her ikisi yahut hiçbiri olarak sınıflandırınız.
9. Kütüphanede geometrinin temellerini tartışan bir ders kitabı
bulunuz. İfade edilen-var sayılan aksiyomların bir listesini yapınız.
118
(a) Her bir aksiyomu, Hilbertyen, Birkhoffyan, her ikisi veya
hiçbiri olarak sınıflandırınız.
(b) Bu aksiyom setiniz tam mıdır? Tutarlı mıdır? Bağımsız mıdır?
(c) Bu Bölüm’de şimdiye kadar tartışılanlardan esas olarak farklı
olan herhangi aksiyomlar var mıdır? Varsa, onları sıralayınız ve
sebebini açıklayınız
(d) Hilbert’in aksiyomlarını kullanarak ispat edilemeyen herhangi
teoremleri (bu kitaptan aksiyomlar kullanarak) ispat edilebileceklerini
düşünür müsünüz? Birkhoff’un ve OMÇG’nin aksiyomları için aynı
soru. Niçin düşünür veya niçin düşünmezsiniz? Açıklayınız.
10. Bölüm 1 de konum geometrisi teriminden ne kastedildiğini
tartışmıştık. OMÇG modeli, bir konum geometrisi midir? Hilbert’in
modeli bir konum geometrisi midir? Konum geometrisi için önceden
ispat edilen sonuçlar, OMÇG modeline uygulanır mı? Niçin uygulanır
veya niçin uygulanmaz? Açıklayınız.
11. Aşağıdaki ifadeyi göz önüne alınız:
Bir doğru, ∆ABC nin A köşesini ve ∆ABC nin içindeki
bir noktayı ihtiva ederse B ve C noktaları arasındaki bir
noktayı ihtiva eder.
(a) ∆ABC nin içinde olan noktaları nasıl tanımlayabilir misiniz?
(b) Bu ifadenin, Euclidyen geometrisinde doğru olduğunu düşünür
müsünüz?
(c)
Bu ifadenin, OMÇG aksiyomlarını kullanarak ispat
edilebileceğini düşünür müsünüz? Düşünüyorsanız OMÇG’nin hangi
aksiyomları, ispatı tamamlamak için gereklidir?
2. 7 EUCLİDYEN-OLMAYAN GEOMETRİLER
NICOLAI LOBACHEVSKI (1793-1856) Euclidyenolmayan geometrilerin gelişimini çağrıştıran birçok
matematikçi arasında konumu, bu konunun tam bir
gelişimini-metnini ilk yayımlayan olarak gözükür.
Bununla birlikte Gauss’un da aynı sonuçları
yayımlamaksızın daha önce keşfetmiş olduğu çok
119
muhtemeldir. Dahi bir çocuktu ve 21 yaşında Rusya’daki
Kazan Üniversitesi’nde matematik profesörü oldu. 1826
da Euclidyen paralellik postulatı ile çelişen tutarlı
geometrilerin ihtimaliyatı-olasılığı üzerine ders vermeğe
başladı. 1829 da Über die Principien der Geometrie
çalışmasını yayımlamağa başladı. Daha sonra bunu
Geometrische Untersuchunken zur Theorie der
Paralellien (1840) takip etti. Bir doğruya dışındaki bir
noktadan çok paralelin çizilebileceğini kabul etmenin
sonuçlarını, ayrıntılı olarak inceledi. Bu sezgiselolmayan kabul, beklenmeyen bir çok sonuçlara yol verdi
fakat bu sonuçların geometrinin bütün postulatları ile
uyuşmuş olduklarını ortaya koydu. Katkılarından dolayı
saygı gereği bu geometri,“Lobachevskian geometri”
diye adlandırılmıştır.
2. 7. 1 Hiperbolik Geometri
Hilbert ve Birkhoff’un çalışmaları, Euclid’in kitabı Elemanlar’daki
eksiklikleri gidermiştir. Bununla birlikte bu çalışmalar, 2000 yılı aşkın
zamandan beri geometricilere sıkıntı vermiş olan başka bir meseleyi ele
almamıtır: Tartışmalı olan beşinci postulat hakkında ne yapılmalıdır?
Geometrinin gelişimini daha sağlam temel üzerine yerleştirmek için
sarfedilen çabalar, 1800 ler esnasında başlamış olmasına rağmen (bu
zamandan önce bir iki matematikçi, Elemanlar’ın kusursuzluğunu
sorgulamaya cüret etmiştir) ilk matematikçilerin büyük bir kısmı,
paralellik postulatı meselesinin çözülmesine teşebbüs etmişlerdir.
Gerçekten muhtemeldir ki Euclid’in bizzat kendisi, bunlar arasında bu
mesele ile ilk ilgilenmiş olandır. Çünkü paralellik hakkındaki bazı
teoremleri ispar etmek üzere bu postulatı kullanmayı tercih etmesi, bu
postulatı ilk kullandığı Önerme 29 a kadar hiç olmamıştır. Önerme 16,
Euclid’in paralellik postulatının kullanımına karşı olmağa meyletmiş
olduğunun ileri bir delilini verir. Bu önermenin ifadesi, aşağıdadır:
Önerme 16 (Euclid). Bir üçgenin bir dış açısının ölçüsü,
kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçülerinin her birinden
daha büyüktür.
120
Bu önerme, bir üçgenin her bir dış açısının, kendisine komşu
olmayan iç açıların ölçüleri toplamına eşit bir ölçüye sahip olmasının
bir Euclidyen özellik olmasından dolayı şüphesiz bu haliyle daha özel
bir biçimde ifade edilebilir. Daha güçlü olan bu ifade, 3. ve 4.
Bölüm’lerde göreceğimiz gibi beşinci postulat yani paralellik
postulatının bir sonucudur. Bundan dolayı Euclid, kendi postulat
kümesinde zayıf bağ-halka olarak farz etmiş olması gerektiğinin
aceleye getirilmiş bir takdiminden çok işi, bu önermenin daha kuvvetli
bir versiyonuna tehir etmeyi arzuluyormuş görünümünü vermektedir.
Euclid’in vermiş olduğu beş postulat arasında gerçekten
diğerlerinden öz olarak farklı duran iki postulatı vardır: Postulat 2 ve
Postulat 5. Bu postulatların her ikisi, doğruların sürekli olarak veya
belirsiz olarak uzayıp gittikleri şeklindeki davranışlarını hayal
etmemizi gerektirirler. Postulat 2, sadece bu uzamanın mümkün
olduğunu postule ettiğinden, daha az ihtilaflıdır. Fakat Postulat 5,
karmaşıklığından dolayı başından beridir şüphe uyandırmıştır (çünkü
paralellik, farklılık arzeden çok çeşitli şekillerde yorumlanmaktadır).
Postulat 5 in ifadesi, bir aksiyomdan çok bir teorem tabiatına sahiptir.
Sonuç olarak çok sayıda matematikçi, diğer dört postulatın temeli
üzerinde, Postulat 5 i ispat etme konusunun telaşına tutulmuşlardır.
Bu yönde belki ilk önemli çalışma, Girolamo Saccheri adında bir
İtalyan papazı tarafından 1733 te yayımlanan Euclides ab Omni Naevo
Vindicatus (Bütün Noksanlıklarından-Kusurlarından Arınmış Euclid)
kitabıdır. Saccheri, Postulat 5 i inkar etmenin (yok saymanın) mantıksal
sonuçlarını izleyerek kendisini Euclid’in geometrisini geçerli
kılınmasına bağladı. Euclid tarafından ifade edildiği şekli ile paralellik
postulatının, her bir doğruya dışındaki herhangi bir noktadan geçen bir
tek paralelin var olduğunu ima ettiğini biliyordu. Postulat 5 i inkar
etmek, bir doğruya dışındaki bir noktadan geçen ya herhangi bir
paralel yoktur veya çok paralel vardır ihtimallerden birini kabul etmek
anlamına gelmektedir. Bu ihtimallerden birincisi, kendi paralellik
postulatını kullanmaksızın Euclid’in tesis ettiği Önerme 27 ile
çeliştiğinden Saccheri, bu olasılığı kolayca çıkarıp atabilmiştir:
121
Önerme 27 (Euclid). İki doğru, bir kesenle iç ters açıların
kongrüent-eş olacağı şekilde kesilirise bu doğrular, paraleldir
(Bu önermeye, çoğunlukla İç Ters Açı Teoremi adı verilir).
Bu teoremi kullanarak bir doğruya, dışındaki herhangi bir noktadan
geçen bir paralel çizebiliriz. İkinci ihtimal, kaldırması kolay bir durum
değildi ve Euclid’in Vindicatus’unun (yukarda adı geçen kitabı) çoğu,
çok paralel vardır ile ilgili hipotezinden üretilen teoremler hakkındadır.
Bu hipotez, hiperbolik paralellik postulatı olarak biline gelmiştir:
Hiperbolik Paralellik Postulatı. Bir P noktasından geçen ve bir ℓ
doğrusuna paralel olan en az iki farklı doğru olacak şekilde bir ℓ
doğrusu ile bir P noktası vardır.
Saccheri’nin planı, hiperbolik paralellik postulatının diğer
Euclidyen postulatlardan birine (veya daha fazlasına) bir çelişki
doğurduğunu göstermekti. Bu, hiperbolik postulatını kabul eden bir
geometrinin Euclid tarafından verilen ilk 28 adet önerme (teorem) ile
uyuşmadığı (tutarlı olmadığı) anlamına gelebilir. Saccheri, değiştirilen
postulat kümesine ve bundan bazı önemli teoremlerin çıkarılmasına
dedüksiyonu (çıkarsamayı) uygulamak için dikkate değer bir yeteneği
gösterdi. Bölüm 3 te çok önemli olan Saccheri-Legendre Teoremi, ispat
edilecektir. Bu teoremde de gayesi, her zaman beşinci postulatın inkar
edilmesinden doğan bir tutarsızlığı belirlemekti. Saccheri, bu gayeyi
dini olarak sürdürdü fakat sonuçlarının bazılarının, Euclid’in
teoremlerinin konusundan çok uzak olmasından dolayı (Saccheri’nin
kelimeleriyle düz bir çizginin tabiatına muhalif idiler) meydana gelen
geometrinin, tutarsız olması gerektiğini hatalı olarak sonuçlandırmıştır.
Saccheri tarafından gözlenen görünüşteki tutarsızlık, gerçekten
tanımsız terimlerin ilişkileri hakkındaki ön yargıda bulunduğu
kavramların bir sonucu idi. Saccheri’nin hikayesi, sahiden çok üzüntü
vericidir. Çalışmasının sonuçlarını daha objektif olarak değerlendirmek
istiyor olsaydı, Euclidyen-olmayan geometriyi ilk geliştirmiş olan kişi
olabilirdi ki bu da kendisini matematik tarihinde büyük isimlerin
arasında yer aldırabilen büyük bir maharet olurdu.
122
Bununla birlikte ortaya çıktığı gibi Saccheri, gerçekte Euclid’in ve
beşinci postulatın bir savunması olduğunu düşünerek çalışmasını
yayımlamıştır. Ancak gerçek, düşündüğü gibi değildi. Buna rağmen bu
çalışma, içinde bir asır sonra matematiksel düşüncede bir inkılabadevrime götürecek olan bazı farklı radikal-köklü sonuçları gömülü
olarak bulunduruyordu..
Euclid’in beşinci postulatın reddinin (değillerini kabul etmenin)
tutarlı bir geometri içinde var olabileceğini tanıyan ilk matematikçi,
seçkin Alman matematikçisi, Karl Friedrich Gauss olmuş olabilir.
Gauss, takriben on dokuzuncu asrın başlarında bir buçuk asır önce
Saccheri’nin yaptığı gibi aynı muhakeme çizgisini izledi. Çok paralellik
hipotezini, Elemanlar’ın sonuçları ile açık olarak çatışmış olan
mantıksal sonuçların bir varyetesine (çeşitliliğine) kadar takip etti.
Diğer taraftan Saccheri’nin aksine, elde ettiği sonuçların tutarsız
olmadıklarını ve Euclid’inkinden başka bir geometrinin kendi
doğrusunda geçerli olabileceğini gerçekleştirmek için gerekli
matematiksel sofistikasyona (ileri incelikli düşünce ve davranışa)
sahipti.
Ne yazık ki önceki asırlarda Copernicus (Kopernik) ve Galileo
(Galile)’nin duçar olduğu muamele ile gösterildiği gibi o zaman
periyodu içinde “fincancı katırcılarını ürkütmek”, genellikle tavsiye
edilmiyordu. On dokuzuncu asır Batı’lı filozoflarının en ünlüsü
İmmanuel Kant, insanlığın Euclid’inkinden başka akıllarından geçen
bir geometri idrak etmediklerinden dolayı başka bir geometrinin
olamayacağını kuvvetli bir şekilde savunmuştur. Gauss’un Kantian
(Kant’çı) duruşun (bakış açısının) gücü tarafından etkilenmiş olduğu,
çok muhtemeldir. Çünkü Euclidyen-olmayan geometri alanındaki
çalışmasını, yayımlayıp halka duyurmak istememiştir.
Kısa bir zaman sonra (1831) Janos Bolyai adında genç bir Macar
matematikçi, hiperbolik paralellik postulatına dayanan Euclidyenolmayan bir geometrinin kısa bir açıklamasını, babası Wolfgang Bolyai
tarafından bir çalışmaya ek olarak, yayımladı. Genç Bolyai’nin
çalışması, babası tarafından Gauss’a gönderilmişti. Gauss, zaten aynı
123
sonuçları bağımsız olarak türetmiş olduğunun haberi ile cevap verdi. Bu
haber ile genç Bolyai, büyük hayal kırıklığı yaşadı ve matematiksel
araştırmadan devamlı olarak çekildi.
Dikkat çekecek şekilde nerede ise aynı zamanlarda (1829) Rus
matematikçi Nicolai Lobachevski, aynı Euclidyen-olmayan geometrinin
bağımsız bir gelişimini yayımlamıştır. Ne yazık ki bu çalışma, Rusça
olarak yayımlandığı ve Rusya’da iyi anlaşılmamış olduğundan ancak
minimal düzeyde dikkat çekmiştir. 1840 tan sonra Gauss, hem Bolyai
ve hem de Lobachevski’nin çalışmalarından haberdar olmuştu ve bu
çalışmalar, kendi sonuçlarını yansıtmış olmalarına rağmen Gauss, yine
de Euclidyen-olmayan geometrilerin varlığına açık destek vermede
başarılı olmadı.
Gauss’un tereddüdünü anlamak için kendisi, J.Bolyai ve
Lobachevski’nin türetmiş oldukları sonuçların bir fikrine sahip olmak
yardımcı olabilir. Bu Bölüm’ün başında Euclidyen paralellik
postulatının sonuçlarının bazıları ile karşılaşmıştınız. Eğer “çok
paralelli postulatı” (yani hiperbolik paralellik postulatı) kullanılır ise
sonuçlardaki fark, çarpıcıdır. Mesela (bunları önceden sıralanan
Euclidyen sonuçlar ile karşılaştırınız),
1. Verilen bir doğruya, üzerinde olmayan verilen bir
noktadan geçen sonsuz sayıda paraleller çizilebilir.
2. İç açı ölçülerinin toplamı 180° olan üçgenler, yoktur.
3. Benzer olan fakat eş olmayan üçgenler, yoktur.
4. Her yerde eş-uzaklıklı olan doğrular, yoktur.
5. Çevrelenemeyen (çevrel
vardır.
çemberi olmayan) üçgenler,
6. Üçgenlerin iç açılarının ölçüleri toplamı, üçgenlere göre
değişir.
124
Bunlara ek olarak Euclidyen-olmayan geometride ki diğer bazı tuhaf
sonuçlar, aşağıdadır:
7. Dikdörtgenler, yoktur.
8. Bir üçgenin alanının üst limiti, yoktur.
9. Bir üçgenin alanının büyüklüğü, iç açılarının ölçüleri
toplamının küçüklüğüne karşılıktır.
10. Paralel doğruların belli çiftleri arasındaki uzaklık, bir
doğrultuda sıfıra yaklaşır ve diğer doğrultuda sonsuz olur.
11. Eğer iki paralel doğru, bir kesenle kesilir ise oluşan iç
ters açılar, kongrüent olabilir veya olmayabilir.
Açık olarak bu geometri, tuhaf bir geometridir. Buna rağmen bu
sonuçlar, her ne kadar duygusal veriler ile takviye edilmemiş iseler de
bunları üreten aksiyomatik sistem içinde tutarlıdırlar. İlk sefer için bu
çeşitten sonuçlar ile karşılaştığı zaman halk, genellikle bu sonuçların
anlamsız olduğu ve içinde yaşadığımız dünyada pratik olarak yer
edinmedikleri hissine kapılırlar.
Gauss’un kendisinin, üç dağın zirvelerine ölçü aletleri koyduğu ve
zirveler arasındaki açıları bir üçgenin iç açıları gibi ölçtüğü bir fiziksel
deneyi kullanarak bu meseleyi ele almak zorunda kaldığı söylenir.
Anlamlı olarak (ölçüm hatasına dayandırılabilecekten daha fazla) 180°
den küçük bir açı toplamı, fiziksel uzayın gerçekten Euclidyen-olmayan
tabiatlı olduğunu gösterebilir. Bu çalışmaların, sonuç vermediğini
söylemek gereksizdir. Buna rağmen günümüzde bile bu, bir açık soru
olarak durmaktadır.
Newtonian fizik (Newton fiziği), içinde yaşadığımız evrenin
Euclidyen olduğu hipotezi altında türetilmiştir. Einstein’nin relativite
teorisi, Euclidyen-olmayan bir tipin varlığını kabul eder ve fizikteki
125
asırlar boyu fizikçi ve matematikçilerin sıkıntı çekmiş oldukları bazı
olayları açıklamak üzere iş görmektedir. Bu, Euclidyen-olmayan
evrende yaşıyoruz anlamına mı gelmektedir? Muhtemelen. Fakat böyle
olsak bile bütün geometriler, nispeten küçük bölgeler (yani yer
yüzeyine yakın bölgeler) için çok benzer sonuçlar üretirler.
Gauss, J.Bolyai ve Lobachevski tarafından geliştirilen geometri,
genellikle hiperbolik geometri diye adlandırılır. Hiperbolik geometriyi
açıklamak için çokça
kullanılan bir model, Poincaré yarım
düzlemidir (Şekil 2.7.1). Bu modelin içinde tanımsız terimlerden
olan hiperbolik nokta, bir Euclidyen yarım düzleminde ihtiva edilen
nokta gibi yorumlanır.
Not. Bir düzlemdeki herhangi bir doğru, bu düzlemi ayrık iki yarım
düzleme ayırır (OMÇG, Postulat 9).
Bu modeldeki hiperbolik doğrular, iki şekilde gözükürler:
1) Ayırma (sınır) doğrusuna dik olan bir doğru üzerindeki
hiperbolik noktaların herhangi bir bir kümesi, bu modelde
bir hiperbolik doğru oluşturur (Şekil 2.7.1 a).
2) Merkezi, ayırma (sınır) doğrusunun üzerinde bulunan
bir Euclidyen çemberdeki hiperbolik hiperbolik noktaların
herhangi bir kümesi, bir hiperbolik doğru teşkil eder
(Şekil 2.7.1 b).
(a)
(b)
Şekil 2.7.1
126
Bu yorumlar, tuhaf görünmelerine rağmen geçerlilikleri için sadece
hiperbolik geometrinin aksiyomlarını yani nötral postulatları (OMÇG
Postulatları 1-15) ve hiperbolik paralellik postulatını sağlamalarına
ihtiyaç vardır.
Bölüm 6 da Poincaré diski denen bir model olan yarım-düzlem
modelinin bir değişikliği (modifikasyonu) için hiperbolik aksiyomların
geçerliliğini doğrulayacağız. Bununla birlikte şimdilik hiperbolik
aksiyomların, yarım-düzlem modelinde geçerli olduklarını kabul
edelim. Şekil 2.7.2 a, bir ℓ hiperbolik doğrusunu ve ℓ ye paralel birkaç
doğrunun geçtiği bir P hiperbolik noktasını göstermektedir ki bu,
karakteristik olarak hiperbolik olan bir fenomendir. Şekil 2.7.2 b,
hiperbolik bir ∆ABC üçgenini gösterir. Bu modelde A, B ve C
noktalarındaki açıların ölçüleri, bu noktalardaki yarım-çemberlerin
teğetleri ile oluşan açıların ölçüleridir. Bundan dolayı bir hiperbolik
üçgenin iç açılarının ölçüleri, görünüşe göre 180° den azdır ki bu da
başka bir Euclidyen-olmayan özelliktir.
Yukarıdaki tartışma, informaldir ve hiçbir şey ispatlamaz. Bununla
birlikte modellerin, bütün hiperbolik aksiyomların geçerli olacağı
şekilde meydana getirilebildiklerine bir açıklık sağlamış olması gerekir.
Formal bir tartışma, 6.Bölüm'de verilmiştir.
ℓ
A
P
B
C
(a)
(b)
Şekil 2.7.2
127
2. 7. 2 Eliptik Geometri
Hiperbolik geometri terimi, çok paralelin var olduğu Euclidyenolmayan geometriye dayanıyor iken eliptik geometri terimi, paralellerin
varlığının reddedildiği üçüncü bir ihtimale dayanır. Eliptik paralellik
postulatının bir formu, aşağıdadır:
Eliptik Paralellik Postulatı. Verilen bir ℓ doğrusu ve ℓ üzerinde
olmayan herhangi bir P noktası için P den geçen ve ℓ ye paralel olan
doğru yoktur.
Saccheri bu paralellik alternatifini, paralellerin var olduğunu ispat
etmek üzere Euclidyen postulatların sadece ilk dördünü (ve bazı
söylenmeden anlaşılan Euclidyen kabullerin) kullanarak ve mümkün
olduğunu kaydederek ortaya çıkan mülahazalardan elimine
edebilmiştir. Özellikle Elemanlar’da ispat edilen iki önermenin (veya
teoremin) ifadeleri şöyledir:
Önerme 12 (Euclid). Bir doğrunun üzerinde bulunmayan
bir noktadan bu doğruya bir dikme inilebilir.
Önerme 27 (Euclid). Eğer iki doğru, bir kesen ile iç ters
açılar eş olacak şekilde kesilirse bu doğrular, paraleldir.
Bu önermelerin ilki, dışındaki noktalardan bir doğruya dikmelerin
çizilebileceğine izin vermektedir. Bu yüzden eğer ℓ doğrusunu alır ve
ona üzerinde olmayan iki noktadan m, n dikmelerini inşa eder isek iç
ters açıların eş olduğu (her ikisi de dik açıdır) bir kesen ile (yani ℓ ile)
kesilen iki doğru (yani m ve n) elde ederiz. Sonuç olarak ikinci
önermeden bu doğrular, paraleldirler. Bundan dolayı eliptik postulatın
geçerli bir alternatif değilmiş gibi bir görünüm, ortaya çıkar. Hem evet,
hem hayır. Bu çelişkiyi görmek için noktaların küre yüzeyinin noktaları
ve doğruların küre yüzeyi üzerine çizilen büyük çemberler olduğu küre
yüzeyi üzerideki geometriyi düşünelim (Şekil 2.7.3 e bakınız).
128
Şekil 2.7.3
Eğer bir doğru seçer (mesela ekvator, uygun bir seçim olur) ve ona
iki dik doğru (iki büyük çember yani iki meridyen) inşa edersek bu
dikmelerin paralel olmadığını fakat bir kesim noktası olarak kuzey
kutupta (ve güney kutupta) kesişen doğrular olduklarını görürüz.
Bundan dolayı 1 den 4 e kadar olan Euclidyen postulatlardan türetilen
bir önermenin geçerli olmadığı bir model elde ederiz. Bu, nasıl
mümkün olmaktadır?
Önceden zikredildiği gibi gerçekten Euclid’in postulat kümesinde
“itiraz edilebilen” iki postulat vardı. Beşinci postulatın yanı sıra
Postulat 2 de (ve buna eşdeğer ifadeler), sonsuza yaklaşırlarken
doğruların davranışını tahayyül etmemizi gerektirdiklerinden dolayı
sorgulanabilir
(reddedilebilir).
Bu,
deneysel
olarak
asla
doğrulayamayacağımız bir kabuldür. Bir küre üzerindeki geometri,
doğrularının ucu olmamasına rağmen doğruları sonsuza uzatmamıza
imkan vermez. Tanımsız terim olan “doğru” kavramımızı, eliptik
geometride uçsuz fakat sınırlı veya sonlu olan doğrulara izin vermek
üzere değiştiririz. Geometrinin bu alandaki incelemesinin çoğu, on
dokuzuncu asrın ortalarında Alman matematikçisi Bernhard Riemann
tarafından yapılmıştır.
Eliptik geometrinin bu modelini kullanmayı ifade ettirmeye ihtiyaç
duyan başka bir problem, doğruların (yani büyük çemberlerin) iki
129
noktada kesişmeleri (yani ekvatora dik herhangi iki doğrunun
kutuplarda kesişmeleri) keyfiyetinden doğmaktadır. Bu fenomendenolgudan ortaya çıkan problemlerin üstesinden gelinebilir ve bunlar,
eliptik paralellik postulatı kullanılarak ispat edilecekleri Bölüm 6 da
ifade edileceklerdir.
Eliptik paralellik postulatının sonuçlarının bir yeniden gözden
geçirilişi olarak bir üçgende açı toplamı sorunu düşünülebilir. Bunun
için ilk olarak ekvatoru ele alacak ve üzerinde bir üçgen bina edeceğiz.
Bu üçgeni, ekvatora her biri büyük çemberin bir çeyreği olan iki dikme
çizerek inşa edelim. Bu dikmeler, kutupta 90° lik bir açı altında
kesişebilirler. Taban açılarının her biri 90° olduğundan bu üçgenin açı
toplamı, 270° olur ki bu, açık olarak Euclidyen ve hiperbolik
geometrilerinin sonuçlarının aksine bir sonuçtur. Eliptik geometride
üretilen sonuçlar, Bölüm 6 da tartışılacaktır fakat bu kısa takdimden
bile üçgenlerin açı toplamı cinsinden bu üç farklı geometriyi
karakterize edebiliriz:
Hiperbolik geometri: üçgenlerin açı toplamı < 180°.
Euclidyen geometri : üçgenlerin açı toplamı = 180°.
Eliptik geometri
: üçgenlerin açı toplamı > 180°.
Bu durum, bu üç geometrideki üçgen modellerini bir arada gösteren
Şekil 2.7.4 teki konfigürasyon ile tasvir edilebilir. Kalın çizgilerle
çizilen üçgen, Euclidyen üçgeni, içinde kesik çizgilerle belirtilen üçgen,
hiperbolik üçgeni ve dışında kalın kesik çizgilerle belirtilen üçgen,
eliptik üçgeni temsil etmektedir.
Şekil 2.7.4
130
Şüphesiz diğer büyük farklar, bu üç geometriyi birbirlerinden ayırt
ederler. Onları, bu geometrileri Bölüm 6 da çok daha derinlemesine
geliştireceğimiz zaman tartışışacağız.
ALIŞTIRMALAR 2. 7
1. Aşağıdaki özelliklerin her birini hangi geometrilerin (Euclidyen,
hiperbolik, eliptik) sergileyebileceğini düşünür sünüz? Açıklayınız.
(a) Doğruların çiftleri, bir alanı kuşatırlar.
(b) Benzer üçgenler, kongrüenttirler.
(c) Dikdörtgenler vardır.
(d) Bir beşgenin iç açılarının ölçüleri toplamı, 540° dir.
(e) Bütün doğrular, en az bir kere kesişirler.
(f) Aynı doğruya paralel doğrular, birbirlerine paraleldirler.
(g) İki doğru, birden fazla ortak dikmeye sahip olamaz.
(h) Bir paralkelkenarın açılarının toplamı, iki doğru açıdan
küçüktür.
(i) A, B ve C, bir doğru üzerinde noktalar ise biri, diğer ikisi
arasında olmalıdır.
(j) Paralel doğrular arasındaki uzaklık, bu doğrular üzerinde farklı
noktalar seçersek değişir.
2. Euclidyen geometride bir üçgenin bir dış açısının ölçüsü, uzağındaki
(kendisine komşu olmayan) iç açıların ölçüleri toplamına eşittir.
(a) Geometrinin ilk çalışmalarından hatırlayacağınız Euclidyen
sonuçlardan bu keyfiyet için bir ispat taslağı yapınız.
(b) Bu teoremin, hiperbolik geometride doğru olduğunu düşünür
müsünüz? Niçin veya niçin değil? Açıklayınız.
(c) Bu teoremin, eliptik geometride doğru olduğunu düşünür
müsünüz? Niçin veya niçin değil? Açıklayınız.
3. OMÇG Postulat 1, herhangi iki nokta ihtiva eden birtek doğrunun
var olduğunu ifade eder. Bu postulat hiperbolik geometrinin Poincaré
yarım-düzlem modelinde geçerli midir? Niçin geçerli veya niçin geçerli
değil? Açıklayınız (Not: Yarım-düzlem modeli, bir Euclidyen düzlemde
131
gömülü olduğundan
kullanabilir).
bu
doğrulama-ispat,
Euclidyen
sonuçları
4. Poincaré modelinde yarım-düzlemi tanımlayan doğrunun, bir
çember etrafında dolanmış olduğunu hayal ediniz. Meydana gelen
geometri, Şekil 2.7.4 gibidir.
(a) Bu durumda bu çembere göre eski ayırma doğrusuna dik olan
doğrular, hangi rolü oynarlar?
(b) Eski yarım-çemberlerin Şekil 2.7.4 teki çemberi kestiği
noktaları göz önüne alınız.Bir kesim noktasında bu çembere ve bu
yarım-çembere teğet çizmiş olsaydınız bu doğrular arasında hangi
ilişkinin var olduğunu düşünür sünüz?
(c) Şekil 2.7.4 te gösterilen geometriye, hiperbolik geometride
Poincaré diski modeli denir. Bu model içinde bir üçgen çiziniz. Bu
üçgenin 180° den büyük, küçük veya eşit bir açıya sahip olduğu
gözüküyor mu? Cevabınızı doğrulayınız.
(d) Poincaré diski, hiperbolik geometri için bir model ise herhangi
bir doğruya dışındaki bir noktadan geçen çok paralelin var olması
gerekir. Şekil 2.7.4 teki çemberin herhangi bir çapını ve bu çapın
herhangi bir dış noktasını seçiniz. Bu çapa, bu dış noktayı ihtiva eden
iki paralel çiziniz. Böylesi kaç paralel vardır? Açıklayınız.
Şekil 2.7.4
5. Eliptik geometri için bir küresel model kullanırsak (Şekil 2.7.3 e
bakınız) bir üçgen için en büyük muhtemel açı toplamı ne olabilir?
Açıklayınız.
132
6. Euclidyen geometride çok kere üç nokta ile ilgili “arada olmalık”
denen bağıntıyı kullanırız.
(a) Euclidyen düzlemde biri, diğer ikisi arasında olan noktadan ne
kastedilir?
(b) Hiperbolik geometri için yarım-düzlem modelinde noktaların
arada olmalığı bağıntısı belirlenebilir mi? Açıklayınız.
(c) Eliptik geometrinin küresel modelinde noktaların arada olmalığı
belirlenebilir mi? Açıklayınız.
2. BÖLÜM’ÜN ÖZETİ
2. 8
2. 2 Euclid'in Geometrisi ve Euclid'in “Elemanlar”ı
Euclid'in postulatları (Ek-D ye bakınız)
1. Herhangi bir noktadan başka bir noktaya bir düz çizgi
(doğru) çizmek.
2. Bir düz çizgide (doğruda) sürekli olarak bir düz çizgi
(doğru) çizmek.
3. Herhangi bir merkez ve bir yarıçapla herhangi bir
çemberi tanımlamak.
4. Bütün dik açılar, birbirlerine eşittir (eştir).
5. Eğer iki düz çizgi (doğru) üzerine düşen bir düz çizgi
(doğru), aynı tarafta iki dik açıdan küçük iç açılar yapar
ve bu devamlı olarak üretilirse bu iki düz çizgi (doğru),
bu açıların iki dik açıdan küçük olduğu tarafta kesişir.
2. 4 Euclidyen Geometri İçin Hilbert Modeli (Ek D ye bakınız)
Hilbert’in Aksiyom Gurupları:
I. Gurup : Konneksiyon (veya konum) aksiyomları
133
II. Gurup : Sıra aksiyomları
III. Gurup : Eşlik aksiyomları
IV. Gurup : Paralellik aksiyomu (Playfair Postulatı)
V. Gurup : Süreklilik aksiyomları.
Tanım 2. 4. 1. AB Doğru Parçası. A ve B noktaları arasında olan
bütün noktaların kümesi. A ve B noktalarına, bu doğru parçasının uç
noktaları denir.
Teorem 2. 4. 1. İki farklı doğru, birden fazla noktada kesişemez
Teorem 2. 4. 2. Her doğru, sonsuz nokta ihtiva eder.
Teorem 2. 4. 3. A ve B, noktalar ise A-C-B olacak şekilde daima
üçüncü bir C noktası vardır.
2. 5 Euclidyen Geometri için Birkhoff Modeli (Ek D ye bakınız)
Tanım 2. 5. 1. A, B, C, noktalar olsun. B nin, A ile C arasında
olması ve A-B-C yazılması için gerek ve yeter şart,
d(A,B) + d(B,C) = d(A,C)
olmasıdır.
Teorem 2. 5. 1. Eğer iki düz çizgi (doğru) üzerine düşen bir düz çizgi
(doğru), aynı tarafta iki dik açıdan küçük iç açılar oluşturur ve bu bu
şekilde devamlı olarak üretilirse bu iki düz çizgi (doğru), bu açıların
iki dik açıdan bulunduğu tarafta kesişir.
2. 6 Okul Matematiği Çalışma Gurubu (OMÇG) Aksiyom
Gurupları (Ek D ye bakınız)
134
I. Gurup
: Konum aksiyomu; Postulat 1.
II. Gurup
: Uzaklık hakkında aksiyomlar; Postularlar 2-4.
III. Gurup : Uzay ilişkileri hakkında aksiyomlar; Postulatlar
5-8.
IV. Gurup : Ayırma hakkında aksiyomlar; Postulatlar 9-10.
V. Gurup
: Açısal ölçünün aksiyomları; Postulatlar 11-14.
VI. Gurup : Kongrüans (eşlik) aksiyomu; Postulat 15.
VII. Gurup : Paralellik aksiyomu; Postulat 16.
2. 7 Euclidyen-Olmayan Geometriler
Hiperbolik Paralellik Postulatı. Bir P noktasından geçen ve bir ℓ
doğrusuna paralel olan en az iki farklı doğru olacak şekilde bir ℓ
doğrusu ile bir P noktası vardır.
Hiperbolik geometrinin bazı ilginç sonuçları:
1. Verilen bir doğruya, verilen bir noktadan geçen sonsuz
sayıda paraleller çizilebilir.
2. Açı ölçülerinin toplamı 180° olan üçgenler, yoktur.
3. Benzer olan fakat eş olmayan üçgenler, yoktur.
4. Her yerde eş-uzaklıklı olan doğrular, yoktur.
5. Çevrelenemeyen (çevrel çemberi olmayan) üçgenler,
vardır.
6. Üçgenlerin iç açılarının ölçüleri toplamı, üçgenlere göre
135
değişir.
7. Dikdörtgenler, yoktur.
8. Bir üçgenin alanının üst limiti, yoktur.
9. Bir üçgenin alanının büyüklüğü, açılarının ölçüleri
toplamının küçüklüğüne karşılıktır.
10. Paralel doğruların belli çiftleri arasındaki uzaklık, bir
doğrultuda sıfıra yaklaşır ve diğer doğrultuda sonsuz
olur.
11. Eğer iki paralel doğru, bir kesenle kesilir ise oluşan iç
ters açılar, kongrüent olabilir veya olmayabilir.
Eliptik Paralellik Postulatı. Verilen bir ℓ doğrusu ve ℓ üzerinde
olmayan herhangi bir P noktası için P den geçen ve ℓ ye paralel olan
doğru yoktur.
Eliptik geometrinin bazı ilginç sonuçları:
1. Dışındaki verilen bir noktadan bir doğruya paralel doğru
çizilemez.
2. İç açılarının ölçüleri toplamı, 180º ye eşit veya küçük olan
üçgenler yoktur.
3. Bir üçgende bir dış açının ölçüsü, komşu olmayan bir iç
açının ölçüsüne eşit olabilir.
4. Aynı bir doğruya dik olan iki doğru paralel değildir.
Geometrilerin açı toplamına göre sınıflandırılması:
Hiperbolik geometri: üçgenlerin açı toplamı <180°
136
Euclidyen geometri : üçgenlerin açı toplamı = 180°
Eliptik geometri
: üçgenlerin açı toplamı > 180°