Eliptik Geometri

UZAY GEOMETRİSİ
Ayberk Özgür
21.12.2010
CmpE220 Güz 2010
Geometri
●
●
Matematiğin şekiller, uzunluklar, pozisyonlar ve
uzayın özellikleriyle uğraşan dalı
Öklid (Εὐκλείδης, “Geometrinin Babası” olarak
anılır); M.Ö 300 civarı Elementler (Στοιχε ῖα) adlı
kitabında geometrinin bilimsel temellerini
atmıştır.
Öklid Geometrisi
●
●
●
Öklid'in Elementler kitabındaki 5 postulatı
üzerine kurulu bir geometridir. Tüm çıkarımlar
bu 5 postulat üzerinden yapılabilir.
2 boyutta “Düzlem Geometrisi”, 3 boyutta “Katı
Geometrisi” isimlerini almaktadır.
Nokta: Kalem ucunun kağıda bıraktığı iz “Hiçbir
parçası olmayan şey”
Öklid'in 5 Postulatı
(1)Herhangi iki noktayı birleştiren düz bir doğru
parçası çizilebilir.
(2)Herhangi bir düz doğru parçası, düz bir doğru
oluşturacak biçimde istenildiği kadar uzatılabilir.
(3)Herhangi bir düz doğru parçasının bir ucu
merkez, kendisi de yarıçap kabul edilerek bir
çember çizilebilir.
(4)Tüm dik açılar eşittir.
(5)(Paralel Postulatı) Eğer iki doğru, bir üçüncü
doğruyu kestiğinde üçüncü doğrunun bir tarafında kalan iki açının toplamı iki dik açıdan küçükse, bu iki doğru uzatıldığında o tarafta kesişmek
zorundadırlar.
Veya, bir doğruya, dışındaki bir noktadan geçen
tek bir paralel doğru çizilebilir.
Arşimet'in En Büyük Buluşu
●
●
●
●
Arşimet (M.Ö 287-M.Ö 212), Öklid geometrisinde oldukça
önemli bir isimdir.
Köşeleri bir parabol üzerinde bulunan bir çokgenin köşe
sayısını giderek artırıp parabolün altında kalan alanı
hesaplamıştır.
Aynı yöntemi daire için tekrarlayarak pi'ye etkileyici bir
yakınsama elde etmiştir(3.1429>pi>3.1408).
En büyük buluşu olarak, “Bir kürenin yüzey alanı ve hacmi,
kendi çapıyla eşit taban çapına ve yüksekliğe sahip
silindirin yüzey alanının ve hacminin 2/3'üne eşittir.”i
göstermiştir. İsteği üzerine bu şeklin heykeli, mezarına
konulmuştur.
Eliptik Geometri
●
●
●
Öklid'in ilk 4 postulatı tamamen aynıdır, ancak
Paralel Postulatı şöyle der: “Bir doğrunun
dışındaki bir noktadan geçen hiçbir doğru bu
doğruya paralel değildir.”
En basit formu küresel geometridir. Her bir
doğru, kürenin merkezinden geçen bir düzlemle
kürenin kesişimi şeklinde (büyük çember diye
isimlendirilir) çizilebilir.
Küresel geometride üçgenlerin iç açıları toplamı
180 dereceden fazladır.
Hiperbolik Geometri
●
●
●
Bu sefer de Paralel Postulatı şöyle der: “Bir
doğruya dışındaki bir noktadan geçen en az 2
paralel doğru çizilebilir.”
Üçgenlerin iç açıları toplamı 180 dereceden
azdır.
İç açılarının her biri 0 derece olan “ideal” üçgen
çizmek mümkündür!
Kaynakça
●
http://en.wikipedia.org/wiki/Euclid
●
http://en.wikipedia.org/wiki/Euclid%27s_Elements
●
http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_geometry
●
http://mathworld.wolfram.com/EuclideanGeometry.html
●
http://en.wikipedia.org/wiki/Point_%28geometry%29
●
http://mathworld.wolfram.com/EuclidsPostulates.html
●
http://en.wikipedia.org/wiki/Archimedes
●
http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_geometry
●
http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_geometry
●
http://en.wikipedia.org/wiki/Ideal_triangle