Fiz 201 Fizik Lab III

advertisement
FİZİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
FİZ-202 FİZİK LABORATUVARI IV
Elektrik devreleri deneyleri için
ön bilgiler
(Berkeley Fizik Laboratuvarı-2’nin içeriği uyarlanmıştır)
Şubat-2017
Prof. Dr. Hüseyin Çelik
Elektrik Devreleri
Bu deney serisinde, gerilim ve akımın zamana bağlı olarak değiştiği çeşitli elektrik
devrelerinin davranışlarını inceleyeceksiniz. Bu seride yapılacak deneyler:
1.
ED – 1: Direnç - Sığa Devreleri (RC devreleri)
2.
ED - 2 : Direnç - İndüksiyoncu Kangal Devreleri (RL devreleri)
3.
ED - 3 : LRC Devreleri ve Salınımlar
4.
ED - 4 : Çiftlenimli Salınganlar
5.
ED - 5 : Periyodlu Yapılar ve İletim Yolları
Bu deneylerde kullanılacak devre elemanları:
1. Direnç
2. Kondansatör,
3. İndüksiyoncu kangalı,
4. Doğru gerilim (DC) güç kaynağı, alternatif gerilim (AC) güç kaynağı ,
osilatör ve osiloskop.
DİRENÇ
Kusursuz bir direncin özelliği, uçları arasında bir V potansiyel farkı
uygulandığında dirençten geçen I akımının V ile doğru oranlı
olmasıdır:
V = IR
(1)
R ile gösterilen orantı sabitine devre elemanının direnci denir. Sabit
sıcaklıkta bu bağıntı Ohm yasası olarak bilinir.
V’nin volt (V), I’nin amper (A) olarak ölçüldüğü MKSA (SI) birim
sisteminde direncin birimi ohm’dur ve Ω ile gösterilir.
Şekil-1
Dirençlerin değeri, çoğu kez Şekil-1’deki gibi renk halkaları kullanılarak
işaretlenirler. Aşağıdaki tabloda dirençlerin renk kodlaması verilmiştir.
Direnç Renk Kodları
RENKLER
KATSAYI değeri
1. band 2. band 3. band
Çarpan Tolerans
Sıcaklık
katsayısı
Siyah
0
0
1
Kahverengi
1
1
1
10
± %1
100 ppm
Kırmızı
2
2
2
100
± %2
50 ppm
Turuncu
3
3
3
1k
15 ppm
Sarı
4
4
4
10k
25 ppm
Yeşil
5
5
5
100k
± %0.5
Mavi
6
6
6
1M
± %0.25
Mor
7
7
7
10M
± %0.10
Gri
8
8
8
Beyaz
9
9
9
± %0.05
Altın
0.1
± %5
Gümüş
0.01
± %10
Renksiz
± %20
4, 5 ve 6 band kodlu dirençlerin değerlerinin okunması
KONDANSATÖR (SIĞA, KAPASİTÖR)
Çeşitli kondansatör örnekleri
Bir kondansatör içinde yük biriktirilen bir aygıt olarak düşünülebilir. +Q yük
bir levhaya, – Q yükü de ötekine yüklenince levhalar arasında oluşan V
potansiyel farkı Q ile oranlı olur. Bu ilişki
Q = CV
(2)
bağıntısı ile verilir. Burada C orantı katsayısı olup aygıt için belirtgen bir
sabittir ve buna aygıtın sığası denir.
MKSA (SI) birim sisteminde sığanın birimi farad (kısaltılmışı F)’dır. Farad,
son derecede büyük bir sığa birimidir; bu nedenle genellikle daha küçük µF
(=10–6 F), nF (=10–9 F) ve pF (=10–12 F) birimleri kullanılır.
Kondansöterler sığasından başka uygulanabilecek bir anlık büyük
gerilime göre de değerlendirilirler. Bu gerilimin aşılması, levhalar
arasındaki dielektriğin (yalıtkanın) delinmesine başka bir deyişle
kondansatörün işe yaramaz hale gelmesine yol açar. Bu nedenle bir
kondansatörlere üzerinde yazılan değerden daha büyük gerilim (veya
elektrik alan) uygulamamak gerekir.
Aradaki dielektrik malzemenin yıkıma uğramadan dayanabileceği en
yüksek elektrik alan şiddetine dielektrik kuvvet denir. Çok
kullanılan bazı yalıtkanların dielektrik kuvvetleri Tablo-1’de
verilmiştir.
KONDANSATÖRLERİN BAĞLANMASI
Kondansatörler seri, paralel veya karışık bağlanarak istenilen değerde sığalar elde edilir.
İNDÜKTANS
Diğer bir devre elemanı indüktansdır. İndüktans ferromanyetik çekirdek (ferrit
gibi) üzerine sarılmış veya içinde hiçbir şey bulunmayan bir tel kangaldır.
Aşağıda çeşitli indüktans örneklerinin fotoğrafları verilmiştir.
Özindüktans
Eğer bobindeki i akımı değişiyorsa, bobinden geçen manyetik
akı değişimi bobinde bir indüksiyon emk’sı oluşturur.
Bir telin çevrelediği kapalı devreden geçen manyetik akı, telden geçen I akımı ile orantılıdır.
Orantı sabiti özindüktans olarak tanımlanır ve L ile gösterilir. I akımının geçtiği tek bir devre
için özindüktans, devrenin sınırladığı alan içinden geçen manyetik akı B ile tanımlanır;
B = LI
(3)
Faraday yasasına göre, bu devrede meydana gelen özindüksiyon emk’i , devreden geçen
manyetik akının değişim hızıdır:
 = -d B /dt = -LdI/dt
(4)
Buradaki eksi işareti Lenz yasasından gelmektedir. Özindüksiyonun birimi (MKS birim
sisteminde) henry (H)’dir. Genellikle mH (=10–3 H) ve µH(=10–6 H) birimleri kullanılır.
a ve b uçları arasında i akımı olan bir direnç:
potansiyel a’dan b’ye azalır.
a ve b arasında sabit i akımı olan bir indüktans :
hiçbir potansiyel fark yok
a ve b arasında artan i akımı geçen bir indüktans :
potansiyel a’dan b’ye düşer.
a ve b arasında azalan i akımı geçen bir indüktans :
potansiyel a’dan b’ye artar.
İdeal selonoid için L’nin
L = 0AN2/l
(5)
ifadesi ile verildiğini biliyorsunuz. Burada N sarım sayısı, l selonoidin uzunluğu ve A ise kesit
alanıdır.
İndüktans bir ferromanyetik malzeme üzerine sarılırsa 0 yerine manyetik maddenin  geçirgenliği
alınır:
 = 0 (1+m)
(6)
Demir için m = 5.5x103 olduğu dikkate alınırsa, demir çekirdek üzerine sarılmış bir selonoidin
indüktansının çok büyük olacağı anlaşılır.
İndüktansların seri ve paralel bağlanması
Seri bağlı indüktanslar:
Paralel bağlı indüktanslar:
GÜÇ KAYNAĞI (Üreteç)
Kusursuz bir güç kaynağı (DC gerilim), çıkış uçları arasında aygıtın içinden geçen
akıma bağlı olmayan sabit bir gerilim farkı oluşturan bir aygıttır. En çok kullanılan
DC güç kaynağı pillerdir. Deneylerde kullanacağımız üreteçlerde gerilim, akımdan
büsbütün bağımsız değildir. Üreteçlerin bu davranışı, gerilimi sabit olan kusursuz bir
bataryaya iç direnç denilen belli bir direncin seri bağlanması ile anlatılabilir. Bir kuru
pilin iç direnci yeni iken 0,1 µΩ basamağındadır ve bu direnç zamanla ve kullanma ile
artar. Deneylerde kullanacağınız bir DC güç kaynağının fotoğrafı aşağıda verilmiştir.
OSİLOSKOP
Bu serideki deneylerde ölçü aleti olarak osiloskop kullanacaksınız. Katod - ışını
osiloskobunu oluşturan temel işleyiş birimleri aşağıda şekilde özetlenebilir:
Katod-ışını tübü (KIT): Elektron tabancası, saptırıcı levhalar ve elektron demetinin
gözle görülebilmesini sağlayan bir flüoresant perdeden oluşur.
Güç kaynağı: Katodu ısıtmaya yarayan akımla birlikte elektron tabancasının kafes
ve anoduna uygun gerilimleri verir. Tipik hızlandırıcı gerilimi 2000 V’dur.
Testere dişi üreteci: Testere dişi üreteç, değişebilen bir frekansla zamanla değişen
bir gerilim verir ve frekansı tekrarlayan giriş gerilimi ile zamandaş olacak şekilde
ayarlanabilir. Sinyalin şekli testere dişlerine benzediği için bu adlandırma
yapılmıştır.
İşaret yükselteçleri: Elektronu perdenin yarıçapı kadar düşeyine saptırmak için
gerekli gerilim 2000 V kadardır. 0,1 V’luk küçük işaretleri gösterebilmek için birkaç
binlik ek bir büyütme gereklidir.
Osiloskobun işlemesini gösteren bir blok çizge ve tipik bir komuta tablası da
aşağıdaki şekillerde gösterilmiştir.
Osiloskobun işlemesini gösteren bir blok çizim.
Tipik Bir Osiloskop
http://www.doctronics.co.uk/scope.htm#what
Laboratuvarda kullanacağınız iki osiloskobun resmi
ED – 1: Direnç - Sığa (R-C) Devreleri
Bu deneyde, seri bağlı direnç ve kondansatörlerden oluşan devrelerin davranışı
incelenecektir.
Önce bir batarya, bir direnç, bir kondansatör ve bir voltmetre ile bir anahtardan
oluşan Şek.1.1’deki devreyi ele alalım. Burada Rv voltmetrenin iç direncidir.
Şekil-1.1
S anahtarı kapatılınca kondansatör, bataryanın potansiyeline erişinceye kadar çabucak
yüklenir; her iki levhadaki yükünün büyüklüğü:
Q = CV0
dir.
(1.1)
Anahtarın açıldığı andaki durum Şekil-1.2’de gösterildiği
gibidir. Kondansatördeki gerilim voltmetre direnç kolu
üzerinde de görülür ve bu koldan bir akımın geçmesine yol
açar. Bu akım kondansatördeki yükü azaltır, bu da,
kondansatörün gerilimini ve dolayısı ile de akımını azaltır.
ŞEKİL-1.2
Bir anlık yükü, akımı ve gerilimi sırası ile Q, I ve VC ile gösterelim.
I akımı, kondansatörün boşalmasından ileri geldiğinden yalnızca yükün aktarılma hızıdır ve
I = -dQ/dt
(1.2)
denklemi yazılabilir.
Akım bir anlık V gerilimine ve devrenin direncine bağlıdır. Seri bağlı direnç (R1) ve
voltmetrenin direnci (RV) toplamı R = R1+RV olduğundan,
denklemi yazılabilir.
I = VC / R
(1.3)
Son olarak VC gerilimi herhangi bir anda kondansatör üzerindeki Q yüküne
VC = Q/C
(1.4)
dQ/dt = -Q/ RC
(1.5)
ile bağlıdır.
Denk. (1.2) ve (1.3)’nın sağ yanlarını eşitleyip Denk (1.4)’den bulunan VC’yi yerine koyarak
denklemini elde ederiz.
Türevi kendisi ile oranlı olan tek fonksiyon üstel (eksponansiyel ) fonksiyondur.
Denk. (11)’i sağlayan fonksiyon:
Q = Q0e–t/RC
(1.6)
olur. RC’ye devrenin zaman sabiti veya gevşeme (relaxation) zamanı denir.
C = RC= (R1+RV)C
Eşitlik-1.6’nın gösterdiği gibi, RC’ye eşit bir t süresi sonunda yük, başlangıçtaki
değerinin Q/Q0 = e–1 = 0,368 veya %36,8’ine düşer.
Bununla ilgili ve genellikle deneyle daha kolay ölçülebilen başka bir nicelik, Q’nun
ilk değerinin yarısına düşmesi için gerekli zamandır. Bu zamanı T1/2 ile göstererek
½ = e– T1/2/ RC
(1.7)
denklemini elde ederiz. Her iki tarafın e tabanına göre logaritmasını alıp yeniden
düzenlersek
T1/2 = RCLn2 = 0,693 RC
buluruz. Burada R=(R1+RV) dir. T1/2 süresine yarı ömür denilir.
(1.8)
Başlangıçta V0 gerilimi altında yüklenmiş bir kondansatörün bir direnç üzerinden
boşalması Şekil-1.3‘de gösterilmiştir. Düşey ekseni, VC , Q ve I olarak
düşünebilirsiniz. Yatay eksen devrenin zaman sabiti (RC) cinsinden
ölçeklendirilmiştir.
Düşey eksenin akım
için negatif olduğuna
dikkat edelim.
0,368Q0
0,368V0
0,368I0
t = RC = C
Şekil-1.3
Bir kondansatörün bir direnç üzerinden yüklenmesi sırasında akım ve yükün
zamanla değişimi aşağıdaki gibidir. Zaman ekseni RC cinsinden ölçeklenmiştir. Sol
düşey eksen akımı (I), sağ düşey eksen yükü (Q) göstermektedir.
Vb-IR-Q/C =0
veya
Vb-RdQ/dt-Q/C =0
Çözüm:
Q = CVb(1-e-t/RC)
I=(Vb /R)e-t/RC
T1/2 = RC Ln2 = 0,693 RC
ELEKTRO MEKANİKSEL BENZETİŞLER
Elektrik devreleri ve mekanik sistemler arasında ilginç ve yararlı birçok
benzerlikler vardır. Bunlardan en basiti, bir kapı kapayıcısının basitleştirilmiş
şekli olan Şekil-1.4’de gösterilen mekanik sistem ile RC devresi arasındaki
benzerliktir. Delikli piston harekette iken yağ deliklerden geçmek zorundadır.
Bunun bir sonucu olarak yalnız yağ viskozluğundan doğan hıza bağlı bir karşı
koyma kuvveti ortaya çıkar.
Çok yüksek olmayan hızlar için bu kuvvet, hız ile oranlıdır ve
F = – bv
ile gösterilebilir. Burada b bir orantı sabitidir ve eksi işaret, kuvvetin harekete
hep karşı koyduğunu anlatır.
Şekil-1.4
Hareketli pistona yay da bir kuvvet uygular. Denge konumundan bir x uzaklığa
kadar ayrıldığında yay bir F = – kx kuvveti uygular. İkinci Newton yasasına
göre, pistona etkiyen bu iki kuvvetin toplamı pistonun kütlesi ile ivmesi
çarpanına eşit olmalıdır. Eğer kütle önemsenmeyecek kadar küçükse iki
kuvvetin toplamı sıfırdır ve
bdx/dt +kx = 0
veya
dx/dt +(k/b)x = 0
(1.9)
elde ederiz .
Bu diferensiyel denklemin şekli kondansatördeki yük için yazılan eşitlik ile
aynıdır:
dQ/dt +(1/RC)Q = 0
(1.10)
Burada mekanik sistem ile elektrik sistem parametreleri arasındaki ilişkiye
dikkat ediniz.
xQ
v I
b R
k  1/C
Bu çözümleme, kapı kapayıcısının denge konumundan bir x0 ilk yer
değiştirmesi ile ayrılmış olması halinde denge konumuna doğru b/k’ya
eşit bir zaman sabiti ile
x = x0e–(k/b)t
(1.11)
denklemine göre üstel olarak yaklaştığını gösterir.
Eğer pistonun kütlesi ihmal edilecek kadar küçük değilse çözümlemede
bu durum göz önüne alınmalıdır. Kütle olması pistonun denge
konumunu aşıp sönümlü bir salınım yapabilmesini sağlar. Deney ED3’de göreceğimiz gibi, sönümlü harmonik salıngan, seri bağlı direnç,
kondansatör ve indüksiyoncudan oluşan elektrik devresinin tam bir
benzeridir.
• Yukarıda, RC devresinin yük gevşemesi olarak da adlandırılan
davranışı, RC zaman sabitinin yeterince uzun diyelim birkaç saniye
veya daha uzun süreler kadar olması halinde bir voltmetre ile
doğrudan gözlenebilir.
• Analog voltmetre ve ampermetrelerin ibresi, hareket ettiren
mekanizmanın eylemsizliği ve sönüm etkileri nedeniyel, gerilim ve
akımdaki son derece çabuk değişmelere uyum sağlayamaz, uysa bile
bu hareket gözle izlenemez. Bu durumda gevşemeyi daha çabuk
ölçmek için osiloskop kullanılır.
• Tekrarlanan bir gevşeme olayı elde etmek için osilatörün kare dalga
veren çıkışı ile devre beslenir ve kondansatörün uçları osiloskopa
bağlanarak kondansatörün dolma ve boşalma eğrisinin grafiği
çizilebilir (Şekil-1.5)
Osilatörün kare dalga çıkışı kullanılarak bir kondansatörün dolma ve
boşalma eğrisinin osiloskopta gözlenmesi (Şekil-1.5).
Kare dalga
Şekil-1.5
V
Kondansatörün
Boşalma eğrisi
Kondansatörün
dolma eğrisi
SİNÜSSEL GERİLİM
Osiloskop, RC devrelerinin bir başka önemli davranışını incelemede yani sinüssel
giriş gerilimi ile sürülünce tepkisini incelemede kullanılabilir. Şek.1.6’da
gösterilen devreyi gözönüne alalım; uygulanan sürücü gerilim, genliği V0 , açısal
frekansı ω olan zamanın sinüssel bir fonksiyonudur.
Laboratuvarda kullanacağınız bir osilatörün resmi.
Şekil-1.6
Devreye Kirchoff’un gerilim kuralını uygulayarak,
V0 cos ωt = IR + Q/C = RdQ/dt +Q/C
denklemini elde ederiz.
(1.12)
Q’nun sinüssel olarak gerilim ile aynı frekansla değiştiğini ve aralarında  kadar bir faz farkı
bulunduğunu varsayalım. Yani Q,
Q = Q0 cos (ωt + )
(1.13)
denklemi ile verilsin. Q0, Q’nun bir dönemde eriştiği en büyük değerdir. Burada ’ye faz açısı denir. Eğer
Q’nun zamanla değişimi V’nin bir çeyrek dönem önünde olduğu anlaşılırsa  = π/2 olur ve bu böyle gider.
Şimdi, Kirchhoff’un ilmek kuralı uyarınca Eşitlik-1.13’in Eşitlik- 1.12’yi sağlaması için gerekli Q0 ve 
değerlerini bulalım. Eşitlik-1.13’den dQ/dt’yi hesaplayıp Q ve dQ/dt’yi Eşitlik-1.12’de yerlerine yazarak
V0 cos ωt = – ωRQ0 sin (ωt + ) + (Q0/C) cos (ωt + ) (1.14)
bağıntısını elde ederiz. Bir sonraki adım,
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
trigonometri özdeşliklerini kullanarak sin (ωt + ) ile cos (ωt + )’yi açmaktır. İşlemlerden sonra Eşitlik(1.14)’nü sin ωt ve cos ωt parentezlerine alarak
cos ωt [– ωQ0R sin  + (Q0/C) cos – V0 ] + sin ωt [– ωQ0R cos  (Q0/C) sin ] = 0
(1.15)
elde ederiz.
Eşitlik-1.15’in her an için doğru kalması gerekir. Bu durumda ikinci parantezi
sıfıra eşitlediğimizde
tan = – ωRC veya  = -arctan(ωRC)
(1.16)
denklemini buluruz. Aynı şekilde ilk parantezi sıfıra eşitleyip yeniden
düzenleyerek
1
𝐶
Q0 = V0/[– ωR sin  + cos ]
denklemini elde ederiz. Bu ifadenin
Q0 = CV0 cos  = CV0/(tan2  +1)1/2 = CV0 /[1+(ωRC)2]1/2
şeklinde yazılabileceğini göstermek zor değildir.
(1.17)
Aşağıda Şekil-1.7’de R=10 k, V=10 volt ve C=0,1 F alınarak Q0 ve ’nin ’ya
bağlı davranışları verilmiştir.
 iken Q00
Şekil-1.7a
 iken   -/2
Şekil-1.7b
I akımının frekans ile nasıl değiştiğini gözlemek de ilginçtir. Eşitlik-1.13’ün
zamana göre türevini alıp cos(A +π/2) = – sin A özdeşliğini kullanarak
I = dQ/dt = – ω Q0 sin (ωt + ) = ω Q0 cos (ωt +  +π/2 )
denklemini elde ederiz. I0 ile gösterilen I’nın en büyük değeri ωQ0 ile verilir.
Eşitlik-1.17’yi kullanarak bunu aşağıdaki gibi çeşitli yollardan gösteribiliriz:
I0 = ωQ0 = ωCV0 cos  = ωCV0 /[(ωRC)2 + 1]1/ 2 = V0/[R2 + (1/ωC)2]1/2
I0 =V0/[R2 + (1/ωC)2]1/2
(1.18)
Aşağıda Şekil-1.8’de R=10 k, V=10 volt ve C=0. 1F alınarak I0’ın
’ya bağlı davranışı verilmiştir. Alçak frekans sınırında I0’ın değeri 0’a
yaklaşır. Yüksek frekans sınırında I0’ın değeri V/R’ye yaklaşır.
Şekil-1.8
Seri bağlı RC devresinde empedans ve faz açısı ilişkisi:
• Empedans değeri: Z = R2 + X2C
• Faz açısı:  = tan-1(XC/R)


• Bir devrede sadece direnç olduğunda gerilim ile toplam akım arasındaki faz farkı
sıfırdır.
• Bir devre sadece kapasitif olduğunda gerilim ile toplam akım arasındaki faz farkı
900 dir. Sığaç üzerinde akım, gerilimin 900 ilerisindedir (Şekil-1.9a).
• Hem direnç ve hem kapasitans bir devre içinde bir arada olduğunda, uygulanan
gerilim ve toplam akım arasındaki faz açısı direncin ve kapasitansın göreceli
değerlerine bağlı olarak, 00 ve 900 arasında bir yerdedir (Şekil-1.9b)
• RC devresinde empedans faz ilişkisi (Şekil-1.9c)
Yüksek frekans sınırında akım gerilim ile aynı fazdadır ve genliği V0/R olur
(Şekildeki Vm=V0 dır). Yani yüksek frekanslarda RC-devresindeki kondansatör
yokmuş gibi davranır. Tersine, alçak frekans sınırında devrenin davranışı R olmaması
hali gibidir. Başka bir deyişle kondansatör yüksek frekanslarda kısa devre, alçak
frekanslarda ise açık devre olarak davranır.
R  0 ise
R = 0 ise
Gerilim akımdan  açısı
kadar geridedir.
Gerilim akımdan
900 geridedir
Deney ED - 2 :Direnç - İndüksiyoncu Kangal (RL) Devreleri
Deney ED-1’de seri bağlı direnç ve kondansatörden oluşan devrelerin davranışı inceledik. Bir direnç
üzerinden boşalan kondansatördeki yükün üstel olarak azaldığını gördük ve bu devrenin uygulanan sinüssel
bir sürücü gerilime karşı tepkisini inceledik.
Bu deneyde, bir direnç ve bir indüktans’dan oluşan bir devreyi aynı şekilde inceleyeceğiz. Arada bazı
önemli farklar olsa da RC devresi ile bu devre arasında birçok benzerlikler bulunduğunu göreceğiz. Şekil2.1’deki devreyi göz önüne alalım.
Şekil-2.1
Üretecin gerilimi V0 dır ve indüktansın direnci ihmal edilebilirse devreden
I0 = V0/R
(2.1)
ile verilen düzgün bir I0 akımı geçer (Kararlı duruma geldikten sonra). Belli bir anda diyelim
üretici devreden çıkarmak üzere anahtarı 2 konumuna çevirdiğimizde ne olur?
t = 0’da
Akımı I(t) ile gösterelim, ve bu fonksiyonun ne olduğunu bulmak için RC devresinde
olduğu gibi RL ilmeğine Kirchoff’un gerilim kuralını uygularız. R üzerindeki gerilim
düşmesi IR ve L’deki ise LdI/dt’dir, böylece ilmek denklemi şu şekilde yazılır:
RI + L dI/dt = 0
(2.2)
Bu denklemin çözümünü
I(t) = I0 e–t/(L/R)
(2.3)
fonksiyonu sağlar.
Deney ED-1’de verilen yöntem izlenirse bu yeni durumda zaman sabitinin
L = L/R
(2.4a)
ile verildiği ortaya çıkar. L/R’ye eşit bir zaman sonunda akım, başlangıç değerinin
1/e’sine düşer.
Deney ED-1’de tanımlanan T1/2 yarı-ömür tanımını burada da yapabiliriz:
T1/2 = (In2) L/R = 0,693 L/R
(2.4b)
RL devresinin elektro-mekaniksel benzetişimi:
RC devresinde olduğu gibi RL devresinin de elektro-mekaniksel benzerlerini inceleyebiliriz. Hız
kutusu (hidrolikli kapı tutucusu) durumunu göz önüne alalım, fakat şimdi yayın çıkarıldığını ve
m piston kütlesinin ihmal edilemediğini düşünelim. Bu durumda piston üzerindeki tek kuvvet,
kütle ile ivmenin çarpımına yani mdv/dt’ye eşitlenen –bv viskozluk kuvvetidir. Buna göre
hareket denklemi
(2.5)
olur.
Bu denklem ile Eşitlik-2.2’nin karşılaştırılması bunların tam özdeş biçimde olduklarını gösterir:
v, I’nın, b, R’nin ve m de L’nin yerini alır. v – I ve b – R benzerlikleri RC devresinde olduğu
gibidir ve bu durumda m’nin L indüksiyon katsayısına karşılık geldiğine dikkat ediniz.
Bu benzetmeyi izleyerek, pistona bir v0 başlangıç hızı verilir ve serbest bırakılırsa hızın m/b’ye
eşit belirtgin bir sönme zamanı ve T1/2 = (Ln2) m/b’lik bir yarı-ömür ile
v(t) = v0 e–(b/m)t
denklemine göre zamanla değiştiğini görürüz.
(2.6)
RL devresinde akım ve gerilimin zamana göre değişimi.
Şimdi RL devresine yeniden dönelim ve Şekil-2.2’de gösterilen devrenin uygulanan
sinüssel gerilime karşı tepkisini, RC devresinde kullanılan ana yol uyarınca izleyelim.
Şekil-2.2
Şekil-2.2’deki devrenin denklemi, Eşitlik-2.2’ye sürücü gerilim için bir terim ekleyerek
bulunabilir. Eğer sürücü gerilim V(t) = V0cosωt ile verilirse devre denklemi
RI + L dI/dt = V0cosωt
(2.7)
olur. Sürücü gerilim ile aynı ω frekanslı fakat aralarında bir faz farkı olabilen bir çözüm
ararız. Şu halde;
I(t) = I0 cos (ωt + )
(2.8)
şeklinde bir çözüm deneyelim.
I0 ile ’yi bulmak için yapılacak işlem bunun karşılığı olan Deney ED1’deki hesabın benzeridir.
Eşitlik-2.8 ‘deki ifade Eşitlik-2.7’de yerlerine konularak
tan  = - ωL/R
I0= V0 /[R2 +(ωL)2)]1/2
(2.9)
sonuçlarını elde etmek zor değildir (Bu işlemi yapmanızı öneririz).
• Çok alçak frekanslarda (ωL << R) sanki indüksiyoncu kısa devre edilmiş gibi,  hemen hemen
sıfırdır, I0 ise V0/R’e eşittir.
• Çok yüksek frekanslarda (ωL >> R), sanki direnç kısa devre olmuş gibi , – π/2’e ve I0’da
V0/ωL’ye ulaşır.
• Orta frekansta her zaman akımın fazı gerilimden sıfır ile –π/2 arasında bir açı kadar geridedir.
• [R2 +(ωL)2]1/2 niceliğine devrenin empedansı denir ve Z ile gösterilir. Böylece herhangi bir
frekansta I0 = V0/Z’dir.
• Herhangi bir frekansta R ve L’den şimdi olduğu gibi aynı akım geçiyorsa L’nin uçları arasındaki
gerilim R’deki gerilimden bir çeyrek dönem π/2 öndedir.
•L, çok alçak frekanslarda kısa devre, çok yüksek frekanslarda ise açık devre olur.
Deney ED - 3 : LRC Devreleri ve Salınımlar
Bu deneyde, hormanik salınganın elektrikteki benzeri olan elektrik
devresini inceleyeceğiz. Temel düşünceleri tanıtmak için önce, Deney
ED-1’in Şekil-1.1’deki devresine çok benzeyen Şekil- 3.1’deki LC
devresini ele alalım.
Şekil-3.1
Anahtar-1’i aniden kapatarak kondansatörü bir Q0 yükü ile yükledikten sonra
anahtar-1’i açalım. Daha sonra t = 0 anında anahtar-2’nin kapatıldığını
varsayalım. Böylece kondansatör indiksiyoncu üzerinden boşalmaya başlar.
Akımın yönünü Şekil-3.1’deki gibi tanımlar ve Kirchhoff’un ilmek kuralını
uygularsak
LdI/dt + Q/C = 0
(3.1)
bağıntısını elde ederiz. Burada dI/dt = d2Q/dt2 olduğunu kullanırsak
L d2Q/dt2 + Q/C = 0
(3.2)
buluruz.
Bu denklemin şekli, kütlesi m ve kuvvet sabiti k olan bir harmonik salınganın
hareket denklemi ile aynıdır.
m d2x/dt2 +kx = 0
(3.3)
Eşitlik 3.2 ve Eşitlik-3.3 karşılaştırıldığında 1/C’nin k yay sabitinin ve L
indüktansının da mekanik sistemdeki m kütlesinin yerini aldığını görürüz.
Yukarıdaki bağıntıyı enerjinin korunumu ilkesinden hareket ederek de elde
edebiliriz.
Bir LC salınım devresinde toplam enerji herhangi bir anda
U = UB + UE = (1/2)LI2 + (1/2)Q2/C
ifadesi ile verilir. Toplam enerji herhangi bir anda, indüktans alanında depo edilen
manyetik enerji ile kondansatör alanında depo edilen elektriksel potansiyel enerjin
toplamına eşittir. Şayet devrenin dirençsiz olduğunu varsayarsak, toplam enerjiden ısı
enerjisine bir geçiş yoktur. Dolaysıyla I ve Q zamanla değişmesine karşın U değişmez.
Bu durumda
dU/dt = d[(1/2)LI2 + (1/2)Q2]/dt = LIdI/dt + (Q/C)dQ/dt = 0
yazabiliriz. dI/dt = d2Q/dt2 yazarak
L d2Q/dt2 +Q/C = 0
sonucunu elde ederiz. Bu Eşitlik-3.2 ile aynıdır.
Başlangıçtaki yer değiştirmesi x0 olan bir harmonik salınganın hareket denkleminin çözümünün
x = x0 cos (ω0t +)
ile verildiğini biliyoruz. Buradaki ω0 açısal frekansdır ve
ω0 = (k/m)1/2
(3.4)
ile verilir.
Benzetişe devam edersek, kondansatördeki yükün de zaman ile
Q = Q0 cos (ω0t +)
denklemine göre salındığını görürüz. Buradaki açısal frekans
ω0 = 1/(LC)1/2
(3.5)
ile verilir.
Harmonik salıngandaki enerji, hareket sırasında potansiyelden kinetiğe ve kinetikten yeniden
potansiyele dönüşür. Yer değiştirmenin en çok, hızın sıfır olduğu noktalarda enerji tüm
potansiyeldir; yer değiştirmenin sıfır, hızın en büyük olduğu noktalarda ise tüm kinetiktir.
Benzer şekilde LC devresinde kondansatör yükünün en çok, akımın sıfır olduğu anlarda enerji
tüm kondansatörde; yükün sıfır, akımın en fazla olduğu anlarda ise indüksiyoncunun manyetik
alanında toplanır. Böylece kondansatörün elektrik alan enerjisi potansiyel enerjiye,
indüksiyoncunun manyetik alan enerjisi de kinetik enerjiye benzer.
Dirençsiz bir LC devresi ile benzeri olan kütle-yay sisteminde bir dönünün çeşitli
aşamaları aşağıdaki şekilde verilmiştir. 1) Yük (Q) ve Akımın (I); ve 2)
Kondansatördeki enerji (UC) ile İndüktanstaki enerjinin (UL) zamanla değişimi
verilmiştir.
1) Yük ve akımın
zamanla değişimi
2) Kondansatördeki ve
indüktanstaki enerjinin
zamanla değişimi
SÖNÜMLÜ HARMONİK SALINGAN
Burada, sönümlü bir harmonik salınganın elektrikteki benzerinin, bir direnç, bir indüktans ve
bir kondansatörden oluşan bir elektrik devresi olduğunu görmek zor olmayacaktır. Harmonik
salıngan için geçerli Eşitlik-3.3’ün, hız ile orantılı, zıt yönde olduğu düşünülen bir sönüm
kuvvetini veren –bdx/dt teriminin eklenmesi ile değiştirilmesi gerekir. Böylece sönümlü
harmonik salınganın hareketinin diferensiyel denklemi
md2x /dt2 + bdx/dt + kx = 0
(3.6)
(35)
olur.
Şekil-3.2’de gösterilen devre için Kirchhoff’un
ilmek kuralı
Q/C-LdI/dt–IR = 0
Şekil-3.2
denklemini verir. Bu, (I = – dQ/dt’i kullanarak) Q cinsinden yeniden yazılabilir:
L d2Q/dt2 +RdQ/dt +Q/C =0
(3.7)
Bu denklem Eşitlik-3.6 ile biçimce aynıdır. Önceki gibi, L, m’ye; 1/C, k’ya ve R de b’ye eş
düşer.
Denklem-3.7’nin çözümü için
yazabiliriz. Burada Q0 sığanın başlangıçtaki yüküdür. Bu eşitliği, ω0 = 1/(LC)1/2 ve
τ = 2L/R alarak
Q = Q0 e–t/τ cos [(ω02 -1/τ2)1/2 t + ]
(3.8)
formunda yazabiliriz. Bu durum sönümlü harmonik hareketi incelerken b2 <4km
koşuluna karşı gelmektedir (Kritik altı çözüm). Elektro-mekaniksel benzetişimi dikkate
alırsak RLC devresinde bu koşulun R2<4L/C veya R2/4L2<1/LC olacağı açıktır.
Özetlersek:
• R2/4L2 <1/LC koşulu sağlandığında kritik altı sönüm
• R2/4L2 =1/LC koşulu sağlandığında kritik sönüm
• R2/4L2>1/LC koşulu sağlandığında kritik üstü sönüm
Bunlar grafiksel olarak Şekil-28’de verilmiştir.
(H.Çelik , Fiz 217 Titreşimler ve dalgalar ders notlarına bakınız).
Şekil-3.3
Sönümlü harmonik salıngan ile LRC devresi arasındaki benzerliğin başka bir yönü
iki sistemdeki enerji bağıntılarının göz önüne alınması ile ortaya çıkar:
• Sönümsüz harmonik salınganın toplam mekanik enerjisi sabittir; sönüm
kuvvetinin etkisi enerjiyi sürekli olarak azaltmaktır.
• Benzer şekilde dirençsiz bir LC devresinin toplam enerjisi sabittir; indüksiyoncu
ile sığa enerji biriktirir, fakat elektrik enerjisini devreden çıkarıp eksiltmez.
Direncin eklenmesi I2R güç kaybı ile dizgenin enerji kaybetmesine yol açar.
Enerjinin dirençte ısıya dönüşmesi ile devredeki elektrik enerjisi sürekli olarak
azalır.
• Tam sönümsüz bir harmonik salınganın gerçekleştirilmesi ideal bir durumdur.
Örneğin, doğrusal hava rayında yapılan deneyler, kızağı taşıyan hava
tabakasının viskozluğu yaklaşık hız ile oranlı, küçük, fakat ihmal edilmeyen bir
sönüm kuvveti oluşturduğunu gösterir. Aynı şekilde dirençsiz bir LC devresi de
bir idealdir. Devrede hiç direnç olmasa bile indüksiyoncu sargı telinin ve
bağlama tellerinin direnci hiç bir zaman tamamen ihmal edilemez.
Harmonik salınganlar üzerindeki deneysel çalışmalar sönüm kuvvetinden ileri gelen
enerji kaybı ile birlikte salınımların genliğinde de düzgün bir azalma olduğunu
gösterdiğini hatırlayınız. Benzer şekilde Şekil-27’deki gibi bir LRC devresinde,
kondansatör üzerindeki Q yükünün salınım genliğinin küçülmesini bekleriz.
Salınımların ne çabuklukla söndüğü b sönüm sabitinin (veya R direncinin)
büyüklüğüne bağlıdır. Bu niceliklerin daha büyük bir değer alması salınımların daha
çabuk sönmesine yol açar. Aşağıdaki şekil, L= 0.08 H, C = 25x10-8 F, R = 50, 100,
150 ve 250  alınarak çizilmiştir.
SİNÜSSEL SÜRÜCÜ KUVVETE KARŞI TEPKİ
Bir LRC devresinin sinüssel sürcü bir gerilime verdiği tepkiyi inceleyeceğiz.
Şekil-3.4’daki devreyi göz önüne alalım ve
V = V0 cos ωt
ile verilen sinüssel bir sürücü gerilim ile devrenin beslendiğini düşünelim.
(3.9)
Şekil-3.4
Şekil-3.4’daki devreye Kirchoff’un ilmek kuralını uyguladığımızda, Eşitlik-3.7’den tek farkın
V0 cos ωt teriminin eklenmesi olduğu görülür. Bu durumda geçerli diferensiyel denklem:
L d2Q/dt2 + R dQ/dt + Q/C = V0cos ωt
(3.10)
dir.
Kondansatörün Q yükünün zamanla değişimi, Eşitlik-3.10’nun çözümü olan bir fonksiyon
ile anlatılır. Çözüm, tıpkı Deney ED-1’in RC devresindeki gibi bulunur. Çözümün, frekansı
sürücü geriliminki ile aynı olan fakat aralarında bir faz farkı bulunan
Q = Q0 cos (ωt + )
(3.11)
şeklinde bir kosinüs fonksiyonu olduğunu düşünelim (Kalıcı çözümü dikkate alacağız)
Şimdi bu bağıntının çözüm olabilmesi koşulunu, Q’nın birinci ve ikinci türevlerini ve
kendisini Eşitlik-3.10’da yerlerine koyarak bulalım. sin(ωt + ) ve cos(ωt + )
fonksiyonlarını açıp terimleri sinωt ve cosωt parantezlerine alalım. Buradaki katsayılar
Deney ED-1’deki nedenlerle ayrı ayrı yok olmalıdır. Bu koşulu uyguladığımızda
– Q0 ω2L cos(ωt + ) – Q0 ωR sin(ωt + ) +(Q0/C) cos(ωt + ) = V0 cosωt
veya
Q0 [(1/C– Lω2) (cosωt cos– sinωt sin) – ωR (sinωt cos + cosωt sin)] = V0 cosωt
veya
Q0[(1/C– Lω2) cos– Rω sin] cosωt + Q0[-(1/C– Lω2) sin - Rω cos] sinωt = V0 cosωt
elde ederiz. cos ωt ve sin ωt’nin katsayılarını sıra ile eşitleyerek
Q0[(1/C– Lω2) cos– Rω sin] = V0
(3.12a)
Q0[-(1/C– Lω2) sin - Rω cos] = 0
(3.12b)
yazabiliriz (Buradaki ara işlemleri yapınız).
Eşitlik-52b’yi yeniden düzenleyerek:
tan = R/[ωL-1/(ωC)]
(3.13)
Eşitlik-52a’yı sin  ile bölüp Eşitlik-53’ü yerine koyalım ve Q0 yı çözelim:
Q0= – [V0/ (ω R)]sin
(3.14)
buluruz. Q0, içinde  bulunmayacak şekilde de belirtilebilir:
Q0= (V0/ω) / [R2 + [ωL-1/(ωC)]2]1/2
(3.15)
Q0 ‘nın ω’ya bağlı davranışı L=0,025 H, C=0,001 F, R = 1000  ve V0 = 10 volt
değerleri için aşağıda verilmiştir.
Rezonans
frekansı
Bu Q0 genliği ω ile ilginç biçimde değişir; (ωL –1/ωC)’nin sıfır olduğu  = -π/2
durumunda
(Q0)max = V0/(ωR)
(3.16)
en büyük değerine ulaşır. Bu, ω = (1/LC)1/2 olduğu zaman gerçekleşir; bu da
devrenin ω0 sönümsüz frekansından başka bir şey değildir. Yani, ω sürücü
frekansın ω0 doğal sönümsüz frekansa eşit olması (ω = ω0 ) halinde devrenin
tepkisi en büyüktür. Belli bir frekansta tepkinin “tepe değerine ulaşmasına”
rezonans denir (Bu konuda Titreşimler ve dalgalar ders notuna bakınız).
Devredeki I akımı Denk (3.11)’in zamana göre türevinden başka bir şey değildir.
I = dQ/dt = -(V0 / [R2 + (ωL-1/(ωC))2]1/2 )sin(ωt + )
(3.17)
Akımın fazı her zaman Q’dan π/2 öndedir. Rezonans durumunda I ile V aynı
fazdadır ve R’den L ile C sanki kısa-devre yapılmış gibi akım geçer. Bu nedenle
ω0, R’de en çok güç harcamasına yolaçan frekanstır.
Z = [R2 + (ωL-1/ωC)2]1/2
(3.18a)
büyüklüğüne devranin empedansı denir. XL = L indüktif reaktans, XC = 1/C’ye de
kapasitif reaktans denir. Bu gösterimle empedans
Z = [R2 + (XL – XC)2]1/2
(3.18b)
şeklinde yazılır.
Seri RLC devresinin empedansını vektör gösterimi ile
şeklinde temsil edebiliriz (XL> XC durumu için) . Bu gösterim faz ilişkilerini kolay
analiz etme imkanı vermesi bakımından faydalıdır.
Seri LRC devresinde XL> Xc ve XL< Xc durumları için fazör diyagramı
a)Seri bağlanmış R-L-C devresi
b)XL> Xc için fazör diyagramı
Kaynak voltaj fazörü VR ,VL ,VC ‘nin
vektörel toplamıdır
indüktans
voltaj
fazörü,
akım
fazörünün
90 derece
önündedir.
Tüm devre
elemanlarının
akım fazörü
aynıdır.
Direnç voltaj
fazörü, akım
fazörüyle aynı
fazdadır.
Sığaç voltaj fazörü,
akım fazörünün 90
derece arkasındadır.
Daima VL fazörüne
anti paraleldir.
c) XL< Xc için fazör diyagramı
XL< Xc ise, kaynağın voltaj fazörü akım
fazöründen geridedir.
R, C ve L elemanlarında V gerilimi ile I akımı arasındaki faz ilişkisi
1. Direnç üzerinde akım ile
gerilim aynı fazdadır.
2. Sığaç üzerinde akım,
gerilimin 900 ilerisindedir.
2.indüktans üzerinde akım,
gerilimin 900 gerisindedir.
ÖZET
Deney ED - 4 :Çiftlenimli Salınganlar
Bu deneyde, mekaniksel harmonik salınganlar veya LC devreleri
gibi salıngan iki sistemin davranışını inceleyeceğiz. Temel
kavramları alışık olduğumuz mekanik sistemlerde ele alacağız
(Şekil-4.1). Deneysel inceleme elektrik devreleri üzerinde
olacaktır.
ŞEKİL-4.1 Çiftlenimli kütle-yay sistemi.
Not: Bu konunun iyi anlaşılması için H. Çelik FİZ-217 Titreşimler ve
Dalgalar ders notlarına bakabilirsiniz.
x1 ve x2 koordinatları kütlelerin denge konumundan uzaklaşmalarını göstermektedir.
Birinci kütleye sol yaydan doğan -kx1 ve orta yaydan ileri gelen k'(x2 –x1) kuvvetleri
etkimektedir. Böylece birinci kütle için
md2x1/dt2 + kx1+ k'(x1– x2)=0
(4.1a)
yazabiliriz.. Benzer şekilde ikinci kütlenin hareket denklemi için
md2x2/dt2 + kx2+ k'(x2– x1)=0
(4.1b)
yazılabilir.
NOT: Genel ifadenin
𝑚𝑝 𝑥𝑝 +𝑘𝑝 (𝑥𝑝 - 𝑥𝑝−1 ) + 𝑘𝑝+1 (𝑥𝑝 - 𝑥𝑝+1 )=0
(4.2)
olduğunu biliyorsunuz (H. Çelik,Titreşimler ve Dalgalar ders notlarına bakınız).
Bu iki denklemi tekrar düzenlersek,
m d2x1/dt2 + (k + k') x1 - k'x2 = 0
m d2x2/dt2 +(k + k')x2 - k'x1 = 0
(4.3)
elde ederiz . Burada
x1 = A1 cosωt
x2 = A2 cosωt
(4.4)
Şeklinde bir çift harmonik çözüm deneyelim. Bu deneme çözümlerini türevleri ile birlikte Eşitlik-4.3’de
yerlerine koyarak çözüm olup olmadığını, yani diferensiyel denklemleri sağlayıp sağlamadıklarını buluruz.
Bunları yerlerine koyup cosωt ortak katsayısı ile böldüğümüzde;
– m ω2 A1 + kA1 – k' (A2 – A1) = 0
– m ω2 A2 + kA2 + k' (A2 – A1) = 0
(4.5)
buluruz. Bu iki denklemi yeniden (A1 ve A2 parantezlerine alarak )
[(ω2–(k+ k')/m] A1+ (k'/m)A2 = 0
(k'/m)A1 + [(ω2–(k+ k')/m] A2 = 0
(4.6)
şeklinde yazabiliriz. A1 ve A2 genlikleri Eşitlik-4.6’yı sağlayınca Eşitlik-4.4, Eşitlik-4.3’ün
çözümü olur.
Eşitlik- 4.6 eşzamanlı homojen çizgisel denklem takımıdır. Çözümün olabilmesi için katsayı determinantının sıfır olması
gereklidir yani,
𝜔2 − (𝑘 + 𝑘 ′ )/𝑚
𝑘 ′ /𝑚
Buradan
𝑘 ′ /𝑚
𝜔2 − (𝑘 + 𝑘 ′ )/𝑚
=0
(𝜔2 − (𝑘 + 𝑘 ′ )/𝑚)2 = (𝑘 ′ /𝑚)2
veya
𝜔2 −
𝑘+𝑘 ′
𝑚
=±
𝑘′
(4.7)
𝑚
yazabiliriz. Buradan iki tane kök buluruz . Köklerin büyüğü ve küçüğü için ω+ ve ω – gösterimlerini kullanarak
𝜔+ =
𝑘+2𝑘′ 1/2
𝑚
ve
𝜔− =
𝑘 1/2
𝑚
(4.8)
yazabiliriz.
ω+ veya ω- değerleri kullanılarak genlikler arasındaki bağıntı bulunabilir.
ω+ için
A1 = -A2
- için ise
sonucunu elde ederiz.
Şimdi bu sonuçları yorumlayabiliriz:
A1 = A2
(i) ω+ kökü için genlikler eşit fakat zıt işaretli olduklarından, aralarında yarım dönemlik bir faz farkı vardır. Bu halde çiftlenim yayı (
k' ) geri çağırıcı ek bir kuvvet oluşturduğundan ω + frekansı çiftlenimsiz dizgelerin frekansından daha büyüktür.
(ii) ω- kökü, iki kütlenin aynı frekans ve aynı genlik ile titreşmesine karşılık gelir. Bu durumda k' çiftlenim yayının hiç bir etkisi
yoktur.
Hareket denklemleri çizgisel diferensiyel denklemler olduğundan çözümlerin bir
toplamı da bir çözümdür. Elde ettiğimiz genlikler arasındaki bağıntıları bir araya
getirerek sistemin olası bütün hareketlerini kapsayan en genel çözüm için
x1 = A cosω- t + B cosω+ t
x2 = A cosω- t - B cosω+ t
(4.9)
yazabiliriz. Burada A ve B, başlangıç koşullarına bağlı gelişigüzel sabitlerdir.
Tek frekanslı hareketin herbirine normal mod (kip) denir; genel olarak hareket
normal mod hareketlerinin bir karışımıdır.
İlginç bir durum, özellikle k' çiftlenim yayının öteki ikisinden çok zayıf (yani
k' << k) olması halinde A ve B genliklerinin eşit olması ile ortaya çıkar. O
zaman Eşitlik-4.9, ilginç ve öğretici bir şekle sokulabilir. Bu halde ω+ ve ω–
normal mod frekansları hemen hemen eşittir. Bu durumda
(4.10)
gösterimlerinin kullanılmasında yarar vardır. Burada ω0, normal mod frekanslarının
ortalaması, ∆ω herbirinin ortalamadan olan farkıdır. Açıkça görüldüğü gibi, eğer
k' << k ise o zaman ∆ω <<ω0 dır. Örneğin k =100, k' = 10 ve m = 0,1 alınırsa
0=45,8 ve  = 1,1 olacağını buluruz
Şimdi bu gösterimi A = B varsayımı ile birlikte Eşitlik- (4.9)’de kullanalım ve
her kosinüsü cos(a ± b) = cosa cosb ± sina sinb formülüne göre açalım:
x1 = A cos(ω0– ∆ω)t + A cos(ω0+ ∆ω)t
= A (cosω0t cos∆ωt + sinω0t sin∆ω t + cosω0t cos∆ωt – sinω0t sin∆ω t)
= [2A cos(∆ω t)] cosω0t
yazabiliriz. x2 ifadesi de aynı şekilde açılırsa
x2 = A cos(ω0– ∆ω)t – A cos(ω0+ ∆ω)t
= A (cosω0t cos∆ωt + sinω0t sin∆ω t – cosω0t cos ∆ωt + sin ω0t sin∆ω t)
= [2A sin(∆ω t)] sinω0t
elde edilir.
x1 ve x2 için bulunan sonuçları tekrar yazalım:
x1 = [2A cos(∆ω t)] cosω0t
x2 = [2A sin(∆ω t)] sinω0t
(4.11)
Hareket basit sinüssel hareket değildir, çünkü koordinatların her biri zamanla iki sinüssel fonksiyonun
çarpımı şeklinde değişmektedir. Bununla birlikte fonksiyonlardan biri zamanla, frekansı ∆ω olmak
üzere ağır değişirken öteki iki normal mod frekansı arasında ω0 frekansı ile daha hızlı değişir.
Bunun için bu hareketlerin frekansının ω0 olduğunu ve genliğinin de sıfır ile 2A arasına değiştiğini
düşünebiliriz. Bundan başka x1 genliği en büyük olduğu sırada (yani cos∆ωt = ± 1 iken) x2 genliğinin
sıfır olduğu ve aynı şeklide bunun tersinin de olabileceği görülmektedir. Başlangıçta 2. kütle
hareketsizdir, 1. kütle, 2A genliği ile titreşmektedir. 2. kütle’nin 2A genliği ile titreşmeğe koyulduğu
∆ωt = π/2 ile verilen bir süre sonunda bu genlik azalmış sıfır olmuştur. Bu hareket, x1 ve x2 grafiklerini
zamanın fonksiyonu olarak veren Şekil-35’de grafik halinde gösterilmiştir.
x1 = [2A cos(∆ω t)] cosω0t
ŞEKİL-4.2
x2 = [2A sin(∆ω t)] sinω0t
ENERJİ BAĞINTILARI
Bu durumu enerji bağıntıları yönünden ele alabiliriz. t = 0 anında bütün enerji salıngan 1’dedir.
k' yayı ile sağlanan çiftlenimden dolayı enerjinin tümü salıngan 2’de toplanıncaya kadar enerji
salıngan 2’ye aktarılır. Sonra enerji yeniden salıngan 1’e geçmeğe başlar. Enerjinin 1’den 2’ye
gidip geri dönmesi için geçen alışveriş zamanı olarak adlandırabileceğimiz talışveriş zamanı
∆ωtalışveriş = π bağıntısı ile verilir.
Periyotlu enerji alış verişinin açısal frekansı
ωalışveriş = 2/talışveriş = 2 ∆ω
ile verilir.
(4.12)
ELEKTRİKSEL BENZERLİK
ED-1’den ED-4’e kadar olan deneylerde tartıştığımız elektromekanik benzerlikleri
kullanarak çiftlenimli iki harmonik salınganın elektrikteki benzerini bulabiliriz. Kütleyay (m-k) dizilimi indüksiyon-sığa (L-C) dizilimine, çiftlenim yayı da çiftlenim
kondansatörüne karşılık gelir. Özel olarak, elektriksel benzer dizge Şekil-4.3’de
görülen devredir.
Şekil-4.3
Bunun gerçekten biraz önce tartışılan mekanik dizgenin bir benzeri olduğunu ayrıntılı bir
şekilde doğrulamak için Kirchoff’un ilmek kuralını her ilmeğe iki kez uygulayarak devre
denklemlerini yazalım. Çeşitli yük ve akımlar şekilde gösterildiği gibi işaretlenmişlerdir. C'
çiftlenim kondansatöründeki yük ± (Q1 – Q2) olup bunun karşılığı olan gerilim ± (Q1– Q2)/C'
‘dir. Şekil-4.3’de gösterilen yük ve akımların tanımlarından akımlar I1 = dQ1/dt ve I2 = dQ2/dt
ile verilir. İndüksiyoncuların uçları arasındaki gerilimler, I2 için de aynı olmak üzere, L dI1/dt =
-L d2Q1/dt2 ile verilir. Devre denklemleri şöyledir:
md2x1/dt2+ kx1+k'(x1– x2)=0
md2x2/dt2 + kx2+k'(x2– x1)=0
Bu son iki denklemi çiflenimli harmonik salınganların Eşitlik-4.1 ile karşılaştırdığımızda
bunların şekilce özdeş olduklarını görürüz. Buradaki elektromekaniksel benzerlikler önceki
deneylerde bulduklarımızın aynıdır:
L ↔ m, 1/C ↔ k, Q ↔ x ve I ↔ v
Şu halde, her iki kip birlikte bulunduğu zamanki enerji aktarılması, dizgenin iki parçası
çiftlenimsiz olduğu zaman davranışı ve normal kiplerin anlatımını da ekleyerek yukarıda
çiftlenimli harmonik salınganlar için söylenilen her şeyi çiftlenimli LC rezonans
devreleri için de tekrarlayabiliriz.
Burada k' = 0, sonsuz derecede büyük C' çiftlenim sığası karşılığıdır. Böyle bir
kondansatörün özeliği, kondansatör ne kadar yüklenirse yüklensin uçları arasındaki
gerilimin sıfır olmasıdır. Genel olarak bir kondansatör için V = Q/C’dir. Buna göre,
Q’nün herhangi belli bir değeri için V sıfırdır. Bu nedenle C' bir kısa devre gibi davranır
ve iki LC devresi çiftlenimsiz olur. ∆ω << ω0 zayıf çiftlenim koşulu C' ‘nün C’den çok
daha büyük olmasıdır.
Deney ED - 5 :Periyodlu Yapılar ve İletim Yolları
Deney ED-4’de incelediğimiz çiftlenimli salınganları bu deneyde genişleteceğiz.
Çiftlenimli iki kütle-yay veya indüksiyoncu-kondansatör dizgeleri yerine bunlardan
birçoğunun birlikte çiftlenimli halde oluşturduğu tekrarlı yapıları inceleyeceğiz.
İlerde göreceğimiz gibi böyle yapılar, geçirdikleri atmaları, zamanca geciktirmek
için kullanılabilir ve bazı frekansları geçirip ötekilerine kapalı olan süzgeçler
şeklinde işlemek gibi ilginç özellikleri de varadır.
Şekil-5.1’de gösterilen periyodlu yapılın oluşturduğu basit mekanik örnek ile
tartışmaya başlayalım.
Şekil-5.1
Uçtaki iki kütlenin değerleri m/2’dir.
Eğer iletim yolunun ucundaki bir kütle boylamasına sertçe sarsılarak bırakılırsa,
bu şekilde oluşan yerdeğiştirme atması yol boyunca yayılır. Atma öteki uca
çarpınca geri yansır. Böylece iletim yolu boyunca geriye dönen ikinci bir atma
türer. Uç yaylarını sabit duvar yerine hız kutularına bağlayıp atmaların bir kısmını
veya tümünü soğurarak yansımaları önleyebiliriz. Yansımaların önlenmesi bu
dizgenin elektrikteki benzerinde büyük önem taşır.
Bütün kütlelerin sayısı N ise o zaman n indisi 1’den N’ye dek değişir. n’inci kütlenin
diferensiyel denklemi yalnız x’n ye değil yayların etkisinden dolayı aynı zamanda xn–1 ve
x’n+1 e de bağlıdır. İletim yolunun ucunda olmayan tipik bir kütle için
𝑚𝑛 𝑥𝑛 = −𝑘 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 − 𝑘 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛+1 = 𝑘 𝑥𝑛−1 − 2 𝑥𝑛 + 𝑥𝑛+1
(5.1a)
yazabiliriz.
Uçtaki kütleler için ise
1
𝑚𝑥1
2
1
𝑚𝑥𝑁
2
= −𝑘 𝑥1 − 𝑥2
(5.1b)
= −𝑘 𝑥𝑁 − 𝑥𝑁−1
(5.1c)
yazabiliriz (Bu konu için H. Çelik, Titreşimler ve Dalgalar ders notlarına bakabilirsiniz).
Bu denklemlerin çözümlerini bulmak için iletim yolunun bir ucundan başlatılan bir
atmanın biçim değiştirmeden sabit bir hızla yayıldığını düşünelim. Bu varsayımı
simge halinde göstermek için, sağa doğru yol alan bir atma düşünelim. Eğer belli bir n
numaralı kütle, zamanla xn(t) fonksiyonu ile verilen bir yerdeğiştirmeye uğrarsa bir
sonraki (n + 1) numaralı kütle aynı yerdeğiştirmeye daha sonraki bir t + T anında
uğrar. Burada T, Şekil-5.2’de görüldüğü gibi bir atmanın bir kesimlik yolu alması
için gereken zamandır.
Şekil-5.2
Öyle ise
𝑥𝑛−1 (𝑡) = 𝑥𝑛 (𝑡 + 𝑇)
𝑥𝑛+1 (𝑡) = 𝑥𝑛 (𝑡 − 𝑇)
(5.2)
olduğunu düşünebiliriz.
Bu bağıntıları basitleştirmek için Taylor serisi açılımını kullanarak xn(t ± T) fonksiyonlarını xn
ve xn ‘nin t anındaki türevleri cinsinden aşağıdaki gibi yazabiliriz.
1
𝑥𝑛 𝑡 + 𝑇 = 𝑥𝑛 𝑡 + 𝑥𝑛 𝑡 𝑇 + 2 𝑥𝑛 𝑡 𝑇 2 + ⋯
ve
1
𝑥𝑛 𝑡 − 𝑇 = 𝑥𝑛 𝑡 − 𝑥𝑛 𝑡 𝑇 + 2 𝑥𝑛 𝑡 𝑇 2 − ⋯
(5.3)
Yukarıdaki bağıntılarda n’yi sıra ile (n – 1), veya (n + 1) ile değiştirerek aynı bağıntıları
xn–1 (t ± T) ve xn+1 (t ± T) için yazabiliriz. Aşağıdaki çözümlemede, bu sonsuz serilerin ilk üç
terimi dışındaki bütün terimlerinin önemsenmeyecek kadar küçük olduğunu düşünebiliriz. Bu
yaklaşıklık, atmanın tümünün verilen bir noktadan geçmesi için gerekli zamanın T’ye göre çok
büyük alınması halinde geçerlidir. Bu durumda her bir x, T zaman aralığında oldukça az
değişir; xn(t) ve xn (t + T) arasındaki fark küçük olur ve seri hızla yakınsaklaşır.
Eşitlik-5.2’yı Eşitlik-5.1a’da yerine yazalım ve ondan sonra Eşitlik-5.3 ile verilen seri açılımlarını
kullanalım:
𝑚𝑥𝑛 𝑡 = 𝑘 𝑥𝑛 𝑡 + 𝑇 − 2𝑥𝑛 𝑡 + 𝑥𝑛 𝑡 − 𝑇
1
2
1
2
= 𝑘 𝑥𝑛 𝑡 + 𝑥𝑛 𝑡 𝑇 + 𝑥𝑛 𝑡 𝑇 2 − 2𝑥𝑛 𝑡 + 𝑥𝑛 𝑡 − 𝑥𝑛 𝑡 𝑇 + 𝑥𝑛 𝑡 𝑇 2 = 𝑘𝑥𝑛 𝑡 𝑇 2
(5.4)
elde ederiz. Sağ taraftaki T3 ve daha büyük üslü terimler atıldı. Çünkü bunlar bırakılan terimlerden çok
daha küçüktürler.
Bu denklem, kütlelerin hareketinin nasıl olduğunu ayrıntı ile göstermez. Bunu bulmak için ilk atmanın
biçimini bilmeliyiz. Fakat bu, çözümler üzerindeki ilk varsayımımızın, Eşitlik-5.2, mekanik yasaları ile
uyuştuğunu gösterir. Bundan başka, Eşitlil-5.4’ün bu yasalara uyması için bir özdeşlik olması
gerektiğinden 𝑚𝑥𝑛 𝑡 ≡ 𝑘𝑥𝑛 𝑡 𝑇 2 veya 𝑚 = 𝑘𝑇 2 olmalıdır. Bu durumda “kesim başına gecikme”
zamanının
T = (m/k )1/2
(5.5)
ile verildiğini görürüz. Şimdiye dek söylenilen her şeyin sağa olduğu kadar sola doğru yayılan, bir atma
için de geçerli olduğunu belirtelim. Bu durumda Eşitlik-5.2’deki işaretleme zıt olur ve Eşitlik-5.4’da da
buna karşılık değişmeler olduğu için çözümlerin herhangi bir toplamı da bir çözümdür. Bu nedenle hareket
zıt yönlerde yol alan atmaların üst üste binmesi olabilir. Gerçekten bir atma bir uçtan yansıdığında böyle
bir durum ortaya çıkar, şimdi bu yansımaları tartışacağız.
YANSIMALAR
Sönüm kuvvetleri olmayınca sağ uçtaki koordinatı xN olan m/2 kütlesinin hareket denklemi
Eşitlik-5.1c’dir. Bununla birlikte sözü edildiği gibi yansıyan atmanın değişmesini veya
tamamen önlenmesini sağlayacak enerji soğurumu için bir yol arayabiliriz. Bu nedenle bu
kütleye –b𝑥𝑁 değişken sönüm kuvvetini ekleyerek (Şekil-5.3)
Şekil-5.3
1
𝑚𝑥𝑁
2
= −𝑘 𝑥𝑁 − 𝑥𝑁−1 − 𝑏𝑥𝑁
(5.6)
hareket denklemini şeklinde yazabiliriz. Buradaki b sönüm sabiti olarak adlandırılır. Bu
denklem, bir atmanın iletim yolunun ucunda yansımasını incelemek için kullanılabilir.
Yansıma ve Geçme Katsayıları
Belirli bir gerilme altında olan ip, birim uzunluk başına kütlesi farklı bir ip ile
birleştirilirse, birleşme noktasında oluşan süreksizlikte ikinci ortama geçme
yanında, yansıma da ortaya çıkar (Şekil-5.4).
Şekil-5.4
Boyca kütle yoğunlukları 𝜇1 ve 𝜇2 olan iplerin Şekil-5.4’deki gibi 𝑥 = 0 noktasında
birleştiğini kabul edelim. Bu durumda aşağıdaki bağıntıları yazabiliriz:
Gelen dalga (+x yönünde)
Yansıyan dalga (-x yönünde)
Geçen dalga (+x yönünde)
𝑦𝐼 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘1 𝑥 − 𝑤𝑡)
𝑦𝑅 𝑥, 𝑡 = 𝐵𝑐𝑜𝑠(𝑘1 𝑥 + 𝑤𝑡)
𝑦𝑇 𝑥, 𝑡 = Ccos(𝑘2 𝑥 − 𝑤𝑡)
(5.7a)
(5.7b)
(5.7c)
Sol taraftaki bileşke dalga
Sağ taraftaki bileşke dalga
𝑦1 𝑥, 𝑡 = 𝑦𝐼 𝑥, 𝑡 + 𝑦𝑅 𝑥, 𝑡
𝑦2 𝑥, 𝑡 = 𝑦𝑇 𝑥, 𝑡
(5.8a)
(5.8b)
i) x=0 noktasında iplerdeki enine yer değiştirmeler eşit olmalıdır:
veya
veya
𝑦1 0, 𝑡 = 𝑦2 0, 𝑡
𝑦𝐼 0, 𝑡 + 𝑦𝑅 0, 𝑡 = 𝑦𝑇 0, 𝑡
𝐴𝐶𝑜𝑠 −𝑡 + 𝐵𝐶𝑜𝑠𝑡 = 𝐶𝐶𝑜𝑠 −𝑡
veya
𝐴𝐶𝑜𝑠𝑡 + 𝐵𝐶𝑜𝑠𝑡 = 𝐶𝐶𝑜𝑠𝑡
yazabiliriz. Burada her iki taraf 𝑐𝑜𝑠𝑡’ye bölünerek gelen, yansıyan ve geçen
dalgaların genlikleri arasında
𝐴+𝐵 =𝐶
ilişkisi elde edilir.
(5.9)
𝒙 = 𝟎 noktasında ipler üzerindeki enine kuvvetler (gerilme kuvvetleri) her
an eşit olmalıdır:
Bu koşuldan
𝑇
𝜕𝑦1 (𝑥,𝑡)
𝜕𝑥
𝑥=0
=𝑇
𝜕𝑦2 (𝑥,𝑡)
𝜕𝑥
𝑥=0
+𝑇
𝜕𝑦𝑅 (𝑥,𝑡)
𝜕𝑥
𝑥=0
veya
𝑇
𝜕𝑦𝐼 (𝑥,𝑡)
𝜕𝑥
𝑥=0
=𝑇
𝜕𝑦𝑇 (𝑥,𝑡)
𝜕𝑥
𝑥=0
yazabiliriz. Burada Eşitlik-5.2’deki değerler kullanılarak
veya
veya
−𝑇𝐴𝑘1 sin −𝑡 − 𝑇𝐵𝑘1 sin(𝑡) = −𝑇𝐶𝑘2 sin(−𝑡)
𝑇𝐴𝑘1 − 𝑇𝐵𝑘1 = 𝑇𝐶𝑘2
𝐴𝑘1 − 𝐵𝑘1 = 𝐶𝑘2
elde edilir.
(5.10)
Şimdi (5.9) ve (5.10) denklemlerini yeniden yazalım:
𝐴+𝐵 =𝐶
𝐴𝑘1 − 𝐵𝑘1 = 𝐶𝑘2
Birinci denklemi 𝑘1 ile çarpalım ve ikinci denklem ile taraf tarafa toplayalım:
Buradan
𝑘1 𝐴 + 𝑘1 𝐵 = 𝑘1 𝐶
+ 𝑘1 𝐴 − 𝑘1 𝐵 = 𝑘2 𝐶
2𝑘1 𝐴 = 𝑘1 + 𝑘2 𝐶
𝐶
𝐴
=
2𝑘1
𝑘1 +𝑘2
(5.11)
sonucunu elde ederiz. Eşitlik-5.9’dan
𝐵
𝐶
𝐵 = 𝐶 − 𝐴 𝑣𝑒𝑦𝑎 𝐴 = 𝐴 − 1
yazabiliriz ve (5.11) denklemini burada kullanırsak
𝐵
2𝑘1
2𝑘1 − 𝑘1 − 𝑘2 𝑘1 − 𝑘2
=
−1=
=
𝐴 𝑘1 + 𝑘2
𝑘1 + 𝑘2
𝑘1 + 𝑘2
veya
𝐵
𝐴
sonucunu elde ederiz.
=
𝑘1 −𝑘2
𝑘1 +𝑘2
(5.12)
İpteki dalganın ilerleme hızının 𝑣 =

𝑘
𝑇
𝜇
=
olduğunu biliyoruz. Buradan
𝜇
𝑇
𝑘=
=

𝑇
𝜇
(5.13a)
yazabiliriz. Birleşme noktasında dalgaların açısal frekansı () ve ipteki gerileme
kuvveti (𝑇) eşit olacağından
𝑘1 =
𝑘2 =

𝑇

𝑇
𝜇1
(5.13b)
𝜇2
yazabiliriz.
𝐶
𝐵
Bu değerleri (5.12) ve (5.13) denklemlerinde kullanarak ve oranları için
𝐴
𝐵
𝐴
𝐶
𝐴
yazabiliriz.
=
=
𝜇1 − 𝜇2
𝜇1 + 𝜇2
2 𝜇1
𝜇1 + 𝜇2
𝐴
(5.14a)
(5.14b)
𝑇
𝑣
oranına karakteristik empedans diyeceğiz ve Z ile göstereceğiz. Burada v hızı
için 𝑣 =
𝑇 𝜇 değerini kullanırsak karakteristik empedans için
𝑇
𝑍=𝑣=
𝑇
𝑍=𝑣=
veya 𝜇 =
𝜇1 =
𝑍1
𝑇
𝑍
𝑇
𝑇
𝑇 𝜇
𝜇𝑣 2
=
𝑣
𝑇 𝜇
𝑇
=
𝜇𝑇
(5.15)
𝜇𝑣
yazabiliriz. İpin her yerinde T gerilimleri eşittir ve bundan dolayı
ve 𝜇2 =
kullanılarak
=
𝑍2
𝑇
yazılabilir. Bu değerler (5.14a) ve (5.14b) ifadelerinde
𝐵
𝐴
𝐶
𝐴
sonuçları elde edilir.
=
=
𝑍1 −𝑍2
𝑍1 +𝑍2
2𝑍1
𝑍1 +𝑍2
(5.16a)
(5.16b)
𝐵
𝐴
𝐶
oranına yansıma katsayısı ve oranına ise geçme katsayısı adı verilir. Birinci
𝐴
ortamdan ikinci ortama gelen bir dalganın yansıma katsayısını R12 ile, birinci
ortamdan ikinci ortama geçen dalganın geçme katsayısını 𝑇12 ile göstereceğiz. Bu
tanımlama kullanılırsa (5.16a) ve (5.16b) ifadelerinden
yazabiliriz.
𝑅12 =
𝐵
𝐴
=
𝑍1 −𝑍2
𝑍1 +𝑍2
(5.17a)
𝑇12 =
𝐶
𝐴
=
2𝑍1
𝑍1 +𝑍2
(5.17b)
Burada verilen yansıma (𝑅12 ) ve geçme (𝑇12 ) katsayılarının genlik yansıma ve geçme
katsayıları olduğuna dikkat ediniz.
Yukarıda tartıştığımız kütle-yay modelinde her bir hücrenin uzunluğunu 𝑎 alalım. Bu
durumda boyca kütle yoğunluğu yerine 𝜇 = 𝑚/𝑎 yazabiliriz. Bunu Eşitlik (5.15)’de
kullanırsak, karakteristik empedans için
𝑍=
𝜇𝑇 =
𝑚𝑇
𝑎
(5.18)
yazabiliriz. Burada 𝑇/𝑎 oranı ise 𝑘 yay sabiti olarak alınabilir. Bu durumda
karakteristik empedans için
𝑍 = 𝑚𝑘
(5.19a)
yazabiliriz. Bu durumda Z1 ve Z2 empadansları için
𝑍1 = 𝑚𝑘
ve
𝑍2 = b
(5.19b)
alabiliriz.
Buradaki b, Eş. 5.6 ile tanımlı sönüm sabiti olup empedans boyutundadır.
Bu durumda yansıma ve geçme katsayıları için
𝑅 =
𝐵
𝐴
𝑇 =
𝐶
𝐴
=
𝑍1 −𝑍2
𝑍1 +𝑍2
=
2𝑍1
𝑍1 +𝑍2
=
𝑚𝑘−𝑏
𝑚𝑘+𝑏
=
2 𝑚𝑘
𝑚𝑘+𝑏
=
1−𝑏/ 𝑚𝑘
1+𝑏/ 𝑚𝑘
(5.20a)
=
2
1+𝑏/ 𝑚𝑘
(5.20b)
ve
ifadeleri yazılabilir.
İlginç birkaç özel durumu ele alalım:
1. Eğer b = Z2 =0 ise R = B/A = 1 olur ve atmanın tümü yansıtılır.
2. b = Z2 = Z1 = (mk)1/2 için R ’nin sıfır olduğunu belirtelim. Bu
durumda sönüm nedeniyle atmanın tümü soğurulur, hiç yansımış
atma yoktur ve uç kütlenin yer değiştirmesinin tepesi ötekileri ile
aynıdır.
3. Son olarak, b = Z2 empedansı Z1’e göre çok büyük ise R yansıma
katsayısı –1’e yaklaşır. Yani yansımış atma tersine çevrilir ve
uçtaki kütle hiç hareket etmez.
Sonuç olarak yansıma ve geçme katsayısı b’nin büyüklüğüne
kritik şekilde bağlıdır.
ELEKTRİKSEL BENZERİ
Daha önce incelediğimiz m ile L, k ile 1/C ve b ile R arasındaki benzerlikleri kullanarak bu dizgenin elektrikteki
benzerini bulabiliriz.. Şekil5.5’deki devreyi ele alalım.
Şekil-5.5
L/2
L/2
Qn–1 ve Qn yüklerini içine alan ilmeğe Kirchhoff’un ilmek kurallarını uyguladığımızda
Qn-1/C - Qn/C = LdIn/dt
(5.21)
buluruz. Benzerince Qn ve Qn+1 i içine alan ilmek için
Qn/C - Qn+1/C = LdIn+1/dt
(5.22)
elde ederiz. Qn in üstündeki kavşağa Kirchhoff’un akım kuralını uygularsak
dQn/dt = In– In+1
veya
d2Qn/dt2 = dIn/dt– dIn+1/dt
(5.23)
elde ederiz. Eşitlik-5.21’den Eşitlik-5.22’yi çıkarıp Eşitlik-5.23’de yerlerine koyduğumuzda
L d2Qn/dt2 = (1/C) (Qn–1 – 2Qn + Qn+1)
buluruz.
(5.24)
Eşitlik-5.24 ile Eşitlik-5.1a’nın karşılaştırılması bunların tam aynı yapıda olduklarını dolayısı ile
elektriksel benzerin geçerli olduğunu gösterir.
m d2xn/dt2 = k(xn–1 – 2xn + xn+1)
L d2Qn/dt2 = (1/C) (Qn–1 – 2Qn + Qn+1)
Elektro-mekaniksel benzetişimin incelenmesini bitirmiş olmak için denklemleri uçlar için de elde
edip bunları Eşitlik-5.1c ve Eşitlik-5.6 ile karşılaştırmamız gerekmektedir. Yukarıdaki mekaniksel
çözümlemenin en önemli sonucu Eşitlik-5.5 ve Eşitlik-5.20a’ dır. Bunların elektriksel benzerinin
𝑇 = 𝐿𝐶
R
=
𝐵
𝐴
(5.25)
=
1−𝑅/ 𝐿/𝐶
1+𝑅/ 𝐿/𝐶
(5.26)
olacağı açıktır. Empedans boyutunda olan (L/C)1/2 niceliğine dizgenin belirtgin (karakteristik) empedansı denir
ve Z ile gösterilirse yansıma katsayısı için
R
=
𝐵
𝐴
=
𝑍−𝑅
𝑍+𝑅
yazabiliriz. Özellikle, atmanın R direnci ile kapalı uçta tümünce soğurulması için gerekli koşul (R = 0):
R=Z
dir.
(5.27)
Yani uç direnç belirtgin impendansa eşit olunca iletim yolunun ucundan hiç bir yansıma
olmaz gibi önemli bir sonuca varırız.
DAĞILMA (DİSPERSİYON)
Şimdi biçimi ne olursa olsun bir atmanın iletim yolunda biçim değiştirmeksizin sabit hızla yol alıp almadığı
sorusuna dönelim. Bir atma Fourier analizi ile her zaman sinüssel bileşenlerin bir toplamı olarak
gösterilebildiğini biliyoruz. Eğer bütün sinüssel bileşenler aynı hızla yol alırlarsa o zaman atmanın bütün
kısımlarının aynı hızla yol almasını bekleyebiliriz. Fakat sinüssel dalgaların hızının frekanslarına bağlı olduğu
ortaya çıkarsa o zaman genel olarak bir atmanın belirli bir hızla yayıldığı doğru olmayacaktır.
O halde yapılacak iş, kesimler arasında sabit faz farkı olmak üzere Eşitlik-5.24 için bir sinüssel çözüm almak,
onun çözüm olup olmadığını denemek ve kesim başına T gecikme zamanını hesaplamaktır.
Bir deneme çözümü:
Qn = Q0 cosω(t – nT)
(5.28)
alınabilir. n’inci yükün birinciye bakınca bir nT zamanı kadar geciktiği düşünülebilir. Q0 bir genlik sabiti olup
bütün yükler için aynıdır. Bunu Eşitlik-5.24’de yerine koyunca
LC d2Qn/dt2 = (Qn+1 – 2Qn + Qn-1)
– LCω2Q0 cosω(t – nT) = Q0 cosω[t – (n + 1)T] – 2Q0 cosω(t – nT) + Q0 cosω[t – (n – 1)T]
(5.29)
elde ederiz. Yalnız ωT ve ω(t – nT) niceliklerinin kosinüsleri olan terimleri elde etmek için kosinüs
fonksiyonlarını açalım ve Q0 cos ω(t – nT) ortak katsayısına bölelim:
– LCω2Q0 cosω (t – nT) = Q0 cosω(t – nT) cosωT + Q0 sinω(t – nT) sinωT
– 2Q0 cosω(t –nT) + Q0 cosω(t – nT) cosωT
– Q0 sinω(t – nT) sinωT
Buradan
LC ω2 = 2(1 – cosωT) = 4 sin2 (ωT/2)
veya
T= (2/)sin-1 (LC2 /4)1/2
(5.30)
elde ederiz .
Demek ki, Eşitlik-5.28 tipinde çözümler vardır, bunlarda her yük aynı frekansta
fakat kesimler arasındaki  = ωT ile verilen sabit bir faz farkı ile sinüssel olarak
salınır.
Bununla beraber yaklaşıklık dışında kesim başına T gecikme zamanı, T = (LC)1/2
(Eşitlik-5.25) ile verilmez ve genellikle frekanstan bağımsız değildir. Eğer ω’ya
karşılık gelen periyod, kesim başına T gecikmesinden uzun ise o zaman ωT çok
küçük olduğundan komşu kesimler arasındaki faz farkı çok küçüktür. Bu durumda
Eşitlik-5.30’daki sinüs fonksiyonu kuvvet serisine açılabilir.
Serinin yalnız ilk terimi bırakılırsa
LCω2 = 4(ωT/2)2
veya
T = (LC)1/2
(5.31)
elde ederiz. Böylece yalnız düşük frekans sınırında T frekanstan bağımsız olarak
Eşitlik-5.31 ile verilir. Bunun tersine sinüs fonksiyonu 1’i aşamadığından
LCω2 = 4
veya
ω = 2/(LC)1/2
(5.32)
ile verilen bir üst frekans sınırı vardır. Frekans bu kritik değerden büyükse
Eşitlik- (5.24)’ün Eşitlik-5.28 şeklinde hiç bir sinüssel çözümü yoktur.
Şekil-5.6, T’nin ω’ya bağlı davranışını göstermektedir (Eşitlik-5.30 ile verilen).
Şekilden görüldüğü gibi küçük frekanslarda T, ω’dan bağımsızdır ve (LC)1/2 ye
eşittir; fakat ω arttıkça T’de artar ve kesilim (cutoff) frekansında π(LC)1/2/2
değerine ulaşır. Bu frekansa karşılık gelen periyod 2π/ω veya π(LC)1/2 olup kesilim
frekansındaki kesim başına gecikme zamanının iki katına eşittir.
T= (2/)sin-1(LC2 /4)1/2
Şekil-5.6
Şu halde periyodu kesim başına gecikmenin iki katından büyük olan bir sinüssel
dalga yapı boyunca yayılamaz.
Sonuç
Yukarıdaki tartışma bir atmanın iletim yolundan bozulmadan geçebilmesi için
çeşitli frekans bileşenlerinin kesilim frekansından küçük olması gerektiğini
gösteriyor. Yoksa biraz bozulma olacak ve eğer temel bileşenler kesilimin
üstünde ise atma büyük ölçüde bozulacak ve zayıflayacaktır. Atmanın yayılma
hızının frekansa bağlı oluşundan ileri gelen zayıflama ve bozulma olayının
tümüne dağılım (dispersion) denir. Fiziğin dalga olaylarının işe karıştığı ses,
optik ve kuantum mekaniği gibi öteki kollarında buna benzer çok olay vardır.
İLETİM YOLLARI (HATLARI)
İletim yolları (hatları) noktadan-noktaya enerji ve bilginin verimli bir şekilde iletimi
için kullanılır. Burada kısaca bu konuya değinilecektir. Laboratuvardaki mevcut
aletlerin yetersizliği nedeniyle deneysel çalışma yapılmayacaktır.
İletim yolunun her kesimindeki L ile C’yi azaltarak kesilim frekansının
yükselebileceği Eşitlik-5.32’den görülmektedir. Örneğin, eğer L ile C önceki
değerlerinin yarısıra indirilirse kesilim frekansı 2 katına çıkar, fakat belirtgin
empedans değişmez. Bu gözlem, indüksiyon katsayısı (L) ve sığası ( C ) yol boyunca
sürekli olarak dağılmış olan bir iletim yolu olabileceğini gösterir. Böyle bir iletim
yolunun bir yüksek frekans kesilimi olmaması ve tam dağılmasız olması gerekir.
Böyle bir dizge gerçekten olabilir ve belli sınırlar içinde kullanışlıdır. Basit bir iletken
çifti böyle bir dizge oluşturur ve buna dağılmış-parametreli yol veya iletim yolu denir.
Örneğin, bir çift paralel doğru iletken birim uzunluğu başına belli bir indüksiyon
katsayısı vardır. Bu düşünceler Şekil-5.7’de gösterilmiştir.
Şekil-5.7
Uygulamada iletim yolları çoğu kez aynı eksenli silindirler şeklinde yapılır; dış iletken,
iletkenler arasındaki boşluk için elektrostatik bir perde gibi iş görür. Böylece iletim yolu
çevredeki iletkenlerden doğan alanların etkisi altında değildir. Böylece iletim yoluna,
aynı eksenli yol veya koaksiyel (Coaxial ) denir. Telefon, TV ve hassas yüksek-frekans
ölçüm cihazlarında bu türden kablolar kullanılır. Bu yapının önemli yararı, elektrik ve
manyetik alanların tümüyle dielektrik bölgeye hapsedilmesi ve hatta çok az dış girişim
bağlaşmasıdır.
Toplu-parametreli yol için yapılan analizler, L ve C’yi birim uzunluk başına
indüksiyon katsayısı ve sığa olarak yorumlayarak dağılmış-parametreli yol için de
yapılabilir. Belirtgin empedans yine Z=(L/C)1/2 ile verilir ve T gecikme zamanı
birim uzunluk başına gecikme olur. O zaman bu niceliğin tersi birim zamanda alınan
yol yani gerçek yayılma hızıdır.
Kusursuz halde iletim yolunda hiç dağılım yoktur ve yayılma hızı frekanstan
büsbütün bağımsızdır.
Gerçek iletim yolları iki nedenle hiç bir zaman bu kusursuz davranışı kazanamazlar:
• Birincisi iletkende enerji yitirmeye yol açan dirençlerin bulunmasıdır.
• İkincisi iletkenler arasındaki boşluğun bir kısmının tele destek için dielektrik bir
madde ile doldurulmuş olmasıdır. Dielektriklerin özellikleri hep frekansa bağlıdır
ve bir dielektrik yüksek frekanslarda enerji yayar, yani bir şönt direnci gibi
davranır. Bu nedenle aynı eksenli iletim yollarının bile yüksek frekans kesilimi
vardır; maddenin dikkatlice seçilmesi ile bu frekans 1010 Hz ve daha yükseğe
çıkarılabilir.
İç ve dış yarıçapları sıra ile a ve b olan aynı eksenli l uzunlığında silindirlerden oluşan bir
iletim yolu için indüktans ve sığa hesabı:
Birim uzunluk başına sığa ve indüktans ise (aradaki kısım  ve µ olan madde ile dolu ise)
C = 2π/ln(b/a)
L = (µ/2π)ln(b/a)
olacaktır.
(5.33a)
(5.33b)
Elektromanyetik dalganın dilektrik ortamda yayılma hızının v = 1/( µ)1/2 ile verildiğini
biliyoruz (Titreşimler ve Dalgalar ders notlarına bakınız). Eşitlik-5.33 kullanılarak LC =
µ olduğunu görebiliriz. Bu durumda yayılma hızı için
v = 1/( µ)1/2 = 1/( LC)1/2
(5.34)
yazabiliriz. Bu, iletkenlerin boyutlarından bağımsızdır ve yalnız iletkenler arasındaki
maddenin elektrik ve manyetik özelliklerine ( ve µ) bağlıdır. Özellikle, eğer  ve µ
boşluktaki değerlere (0 ve µ0) yakınsa o zaman yayılma hızı ışığın boşluktaki hızı
c = 1/(µ0 0)1/2 ‘ye yakındır. Fakat, eğer dielektrik sabiti birden epeyce büyükse yani ,
0’dan epey büyükse o zaman
Belirtgin empedans R = (L/C)1/2
R = (1/2π) (µ/)1/2 ln(b/a)
(5.35)
ile verilir. Böylece, iletkenlerin b/a yarıçap oranlarını değiştirerek iletim yolunun belirtgin
empedansını kolayca değiştirebiliriz.
Dağınık-parametreli iletim yolunun tam çözümlenmesi, iletkenler arasındaki alanlar ile bu
bölgedeki dalgaların yayılmasından giderek de yapılabilir. O zaman çözümlemenin ayrıntıları
büsbütün farklıdır. Fakat yayılma hızı ve belirtgin empedans ile ilgili sonuçlar aynıdırlar.
İletim Hattı Karakteristik Empedansı
Karakteristik empedans
İletim hattı eşdeğer devresi
İki telli ve eş eksenli
iletim hattı parametreleri
R: birim uzunluk başına direnç (her iki iletken) /m
L: birim uzunluk başına indüktans (her iki iletken) H/m
G: iki iletkeni arasındaki dielektrik malzemenin birim uzunluk başına iletkenliği S/m
C: birim uzunluk başına kapasitans F/m
R ve L seri elemanlar; G ve C ‘nin ise paralel elemanlar olduğuna dikkat edilmelidir.
İletim hattı çıkışına rezistif bir yük bağlandığında yansıma:
Bir iletim hattının karakteristik empedansı
Z0 = V(x)/I(x)
ifadesi ile tanımlanır. x =0 giriş ucuna ve x = l çıkış ucuna karşı gelir.
İletim hattının çıkışına karakteristik empedansa eşit olmayan rezistif bir yük
bağlandığında girişten gönderilen sinyalin bir kısmı yansır bir kısmı ise yük
tarafından soğrulur.
Yansıma katsayısı
rV= Vr /Vi
ile tanımlıdır.
Burada Vr = yansıyan gerilim, Vi = giriş gerilimidir.
Burada rV alt indisi voltaj için yansıma katsayısını temsil etmektedir.
Yukarıdaki devrede yük (load) üzerindeki gerilim ve akım için
Vyük = Vi + Vr
ve
Iyük = Ii + Ir
yazabiliriz. Burada
Vi = Z0 Ii
ve
Vr = -Z0 Ir
dir. Buradan
Vyük = ZL Iyük = ZL(Ii + Ir ) = Vi + Vr = (ZL/ Z0) (Vi - Vr )
yazabiliriz. Buradan
Vi + Vr = (ZL/ Z0) (Vi - Vr )
eşitliği kullanılarak yansıma katsayısı için
rV= Vr /Vi = (ZL – Z0)/(ZL + Z0 )
ifadesini elde ederiz. Bu ifadeye voltaj yansıma katsayısı denir.
Akım yansıma katsayısı ise
rI = Ir /Ii = (Z0 – ZL)/(ZL + Z0 )
ile tanımlıdır. Burada rI alt indisi akım için yansıma katsayısını temsil etmek için kullanılmıştır.
Voltaj ve Akım yansıma katsayıları zıt işaretlidir yani rV = - rI olacaktır.
Mekanik eşdeğerin yansıma katsayısını akım için verilen yansıma katsayısı ile karşılaştıracağız.
Bazı özel yük direnci için yansıma katsayısı
Aşağıdaki şekildeki veriler voltaj için olan yansıma katsayısı içindir. Akım için verilen yansıma
katsayısının bunun ters işaretlisi olacağını tekrar hatırlatalım. Ayrıca mekanik eşdeğeri için
yansıma katsayısını akım için olanla karşılaştıracağımızı da tekrar belirtelim.
NOT: İletim hatları için daha fazla bilgi için, “Mühendislik Elektromanyetiğinin Temelleri, David K.
Cheng. Çev: Adnan Köksal ve Birsen Saka”
kitabına bakabilirsiniz.
Eş eksenli (Koaksiyel) kabloların bazı uygulama yerleri
Bazı tipik koaksiyel kablo ölçüleri
Çeşitli koaksiyel kablo bağlantıları
Download