SÜREKLİ GECİKMELİ YÜKSEK MERTEBEDEN NÖTRAL

A. M. GEÇGEL, 2013
T.C.
NİĞDE ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLER ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
SÜREKLİ GECİKMELİ YÜKSEK MERTEBEDEN NÖTRAL DİFERANSİYEL
DENKLEM SİSTEMLERİ İÇİN SALINIM YAPMAYAN ÇÖZÜMLERİN VARLIĞI
NİĞDE ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLER ENSTİTÜSÜ
AHMET MUTLU GEÇGEL
EYLÜL 2013
T.C.
NĐĞDE ÜNĐVERSĐTESĐ
FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ
MATEMATĐK ANABĐLĐM DALI
SÜREKLĐ GECĐKMELĐ YÜKSEK MERTEBEDEN NÖTRAL DĐFERANSĐYEL
DENKLEM SĐSTEMLERĐ ĐÇĐN SALINIM YAPMAYAN ÇÖZÜMLERĐN VARLIĞI
AHMET MUTLU GEÇGEL
Yüksek Lisans Tezi
Danışman
Doç. Dr. Tuncay CANDAN
Eylül 2013
TEZ BĐLDĐRĐMĐ
Tez içindeki bütün bilgilerin bilimsel ve akademik kurallar çerçevesinde elde edilerek
sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana
ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.
Ahmet Mutlu GEÇGEL
iii
ÖZET
SÜREKLĐ GECĐKMELĐ YÜKSEK MERTEBEDEN NÖTRAL DĐFERANSĐYEL
DENKLEM SĐSTEMLERĐ ĐÇĐN SALINIM YAPMAYAN ÇÖZÜMLERĐN VARLIĞI
GEÇGEL, Ahmet Mutlu
Niğde Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Danışman:
Doç. Dr. Tuncay CANDAN
Eylül 2013, 69 sayfa
Bu çalışmada, sürekli gecikmeli yüksek mertebeden nötral diferansiyel denklem
sistemleri için salınım yapmayan çözümlerin varlığı araştırılmıştır. Schauder sabit nokta
teoremi ve daralma prensibi kullanılarak bu sistemin çözümlerinin varlığı için yeterli
şartlar verilmiştir.
Anahtar Sözcükler: Nötral denklemler, Sabit nokta, Yüksek mertebe, Salınım yapmayan çözüm.
iv
SUMMARY
EXISTENCE OF NONOSCILLATORY SOLUTIONS FOR SYSTEM OF HIGHER
ORDER NEUTRAL DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH DISTRIBUTED
DEVIATING ARGUMENTS
GEÇGEL, Ahmet Mutlu
Nigde University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor:
Associate Proffesor Dr. Tuncay CANDAN
September 2013, 69 pages
In this thesis, we consider the existence of nonoscillatory solutions for system of higher
order neutral differential equations with distributed deviating arguments. We use the
Schauder's fixed point theorem and contraction principle to present new sufficient
conditions for the existence of nonoscillatory solutions of these systems.
Keywords: Neutral equation, Fixed point, Higher order, Nonoscillatory solution.
v
ÖN SÖZ
Bu çalışmanın hazırlanmasında bilgi ve deneyimi ile bana yardımcı olan sayın
danışmanım Doç. Dr. Tuncay CANDAN’a ve bu süreçte manevi desteğini esirgemeyen
aileme ve arkadaşlarıma teşekkür ederim.
Ahmet Mutlu GEÇGEL
vi
ĐÇĐNDEKĐLER
ÖZET ...............................................................................................................................iv
SUMMARY......................................................................................................................v
ÖN SÖZ ...........................................................................................................................vi
ĐÇĐNDEKĐLER ...............................................................................................................vii
SĐMGE VE KISALTMALAR ...................................................................................... viii
BÖLÜM I GĐRĐŞ ..............................................................................................................1
BÖLÜM II ........................................................................................................................2
2.1 Fonksiyonel diferansiyel denklemler ......................................................................2
2.1.1 Gecikmeli (Delay, Retarded) fonksiyonel diferansiyel denklemler...............2
2.1.2 Đleri (Advanced) fonksiyonel diferansiyel denklemler ..................................2
2.1.3 Karma (Mixed) fonksiyonel diferansiyel denklemler ....................................2
2.1.4 Nötral fonksiyonel diferansiyel denklemler...................................................3
2.2 Salınım (Oscillation)...............................................................................................3
2.3 Sınırlılık ..................................................................................................................3
2.4 Sabit Nokta..............................................................................................................3
2.5 Metrik Uzay ............................................................................................................4
2.6 Daralma Dönüşümü ................................................................................................4
2.7 Yakınsama...............................................................................................................4
2.8 Açık ve Kapalı Küme..............................................................................................5
2.9 Cauchy Dizisi..........................................................................................................5
2.10 Tam Metrik Uzay ..................................................................................................5
2.11 Kompaktlık ...........................................................................................................5
2.12 Lineer Uzay (Vektör Uzayı) .................................................................................5
2.13 Konveks Küme......................................................................................................6
2.14 Normlu (Vektör) Uzayı.........................................................................................6
2.15 Süreklilik...............................................................................................................7
2.16 Banach Uzayı ........................................................................................................7
BÖLÜM III GECĐKMELĐ NÖTRAL DĐFERANSĐYEL DENKLEM SĐSTEMLERĐ
ĐÇĐN SALINIM YAPMAYAN ÇÖZÜMLERĐN VARLIĞI ............................................9
vii
BÖLÜM IV YÜKSEK MERTEBEDEN NÖTRAL DĐFERANSĐYEL DENKLEM
SĐSTEMLERĐ ĐÇĐN SALINIM YAPMAYAN ÇÖZÜMLERĐN VARLIĞI ..................25
BÖLÜM V SÜREKLĐ GECĐKMELĐ YÜKSEK MERTEBEDEN NÖTRAL
DĐFERANSĐYEL DENKLEM SĐSTEMLERĐ ĐÇĐN SALINIM YAPMAYAN
ÇÖZÜMLERĐN VARLIĞI .............................................................................................38
BÖLÜM VI SONUÇLAR ..............................................................................................66
KAYNAKLAR ...............................................................................................................67
ÖZ GEÇMĐŞ ...................................................................................................................69
viii
SĐMGE VE KISALTMALAR
ℝ
: Reel sayılar kümesi
ℝ+
: Pozitif reel sayılar kümesi
ℕ
: Doğal sayılar kümesi
ℂ
: Kompleks sayılar kümesi
C ([ a, b ] , ℝ ) : [ a, b ] kapalı aralığından ℝ ’ye sürekli fonksiyonların kümesi
T
: Daralma dönüşümü
τ
: Gecikme parametresi
σ
: Gecikme parametresi
ξ
: Gecikme parametresi
ix
BÖLÜM I
GĐRĐŞ
Adi diferansiyel denklemler fizik, kimya, mühendislik, biyoloji ve ekonomi gibi
alanlarda önemli rol oynayarak geleceğin araştırılmasında vazgeçilmez araçlar olarak
kullanılmaktadır. Ancak, gelecek hakkında bilgi edinebilmek için geçmişin dinamik
yapısı da iyi bir şekilde bilinmeli ve kullanılmalıdır. Geleceğin araştırılmasında,
geçmişin göz ardı edilmesi, gerçekliğin de göz ardı edilmesine neden olmaktadır. Bu
bağlamda modele zaman gecikmelerinin dâhil edilmesi oldukça önem arz etmektedir.
Bu tezin ikinci bölümünde tezle ilgili temel kavramlar verilmiş, üçüncü bölümde
yapılan tez çalışmamıza temel teşkil edecek olan El-Metwally vd.’nin (2003) gecikmeli
nötral diferansiyel denklem sistemleri için salınım yapmayan çözümlerin varlığı üzerine
yapmış oldukları çalışma incelenmiştir.
Tezin dördüncü bölümünde Candan’ın (2013) yüksek mertebeden nötral diferansiyel
denklem sistemleri için salınım yapmayan çözümlerin varlığı üzerine yapmış olduğu
çalışma incelenmiştir.
Tezin beşinci bölümünde ise Candan’ın (2013) yüksek mertebeden nötral diferansiyel
denklem sistemleri için salınım yapmayan çözümlerin varlığı adlı makalesi
genişletilerek gecikmeler sürekli gecikmeli hale getirilmiş ve salınım yapmayan
çözümlerin varlığı incelenmiştir.
1
BÖLÜM II
TEMEL KAVRAMLAR
2.1 Fonksiyonel diferansiyel denklemler
Adi diferansiyel denklemlerde bilinmeyen fonksiyon ve türevleri sadece t anında
hesaplanır. Gerçek hayatta bazı olaylar sadece şuan ki zamana değil geçmiş ve gelecek
zamana da bağlı olabilir. Bu tür diferansiyel denklemlerde sadece t değil de bilinmeyen
fonksiyon ve türevleri t − τ veya t + τ , τ > 0 anında hesaplanır. Bu tür diferansiyel
denklemlere fonksiyonel diferansiyel denklemler denir.
2.1.1 Gecikmeli (Delay, Retarded) fonksiyonel diferansiyel denklemler
x '(t ) = f (t , x(t ), x(t − τ (t ))),
τ (t ) ≥ 0
şeklindeki diferansiyel denklemlerdir. Burada en yüksek dereceden türev t anında,
diğerleri ise t veya t ’den daha önceki zamanlarda hesaplanır.
Örnek 2.1.1 x '(t ) = x(t − 7) + tx(3t ) + 3
denklemi gecikmeli fonksiyonel diferansiyel
denkleme örnektir.
2.1.2 Đleri (Advanced) fonksiyonel diferansiyel denklemler
x '(t ) = f (t , x(t ), x(t + τ (t ))),
τ (t ) ≥ 0
şeklindeki diferansiyel denklemlerdir. Burada en yüksek dereceden türev t anında,
diğerleri t veya t ’den daha ileriki zamanlarda hesaplanır.
Örnek 2.1.2 x '(t ) = − x(t + 9) + x(t + 3 t ) − 5t + 3 denklemi ileri fonksiyonel diferansiyel
denklemlere bir örnektir.
2.1.3 Karma (Mixed) fonksiyonel diferansiyel denklemler
Mixed fonksiyonel diferansiyel denklemler hem gecikmeli hem de ileri terimlerin
bulunduğu denklemlerdir.
Örnek 2.1.3 x '(t ) = 3x(t − 1) − 8x(t + 1) + 2 ve x '(t ) = − x(t − 1) x(t ) − t x(t + 1)
denklemleri karma fonksiyonel diferansiyel denklemlere birer örnektir.
2
2.1.4 Nötral fonksiyonel diferansiyel denklemler
Burada en yüksek dereceden türev sadece t’ ye bağlı değil de hem gecikmeli hem de
ileri terimlere bağlı olabilir.
Örnek 2.1.4 x '(t ) = −
1
x '(t − 4) + x(t − 2) + 3cos t denklemi nötral tipli denklemi
2t + 1
fonksiyonel diferansiyel denklemlere birer örnektir.
2.2 Salınım (Oscillation)
x(t ) , keyfi T > 0 için (T , ∞) aralığında işaret değiştiriyorsa x(t ) aşikâr olmayan
çözümüne salınımlıdır denir.
Örnek
2.1.5
π
x '(t ) + x(t − ) = 0 ve x '(t ) − x(t − π ) = 0
2
denklemlerinin
çözümleri
x(t ) = sint ve x(t ) = cost salınımlıdır.
2.3 Sınırlılık
f : X → Y ve ∀x ∈ X için f ( x) ≤ M olacak şekilde bir M reel sayısı varsa f
fonksiyonuna üstten sınırlıdır denir. M sayısına da bu fonksiyonun bir üst sınırı adı
verilir. ∀x ∈ X için f ( x) ≥ L olacak şekilde bir L reel sayısı varsa bu fonksiyona alttan
sınırlıdır denir, L sayısına da bu fonksiyonun bir alt sınırı adı verilir. ∀x ∈ X için
f ( x) ≤ K olacak şekilde bir K pozitif reel sayısı varsa f fonksiyonuna sınırlı
fonksiyon denir.
2.4 Sabit Nokta
Bir M kümesinin yine M kümesi içine bir dönüşümüne M nin kendi içine bir dönüşümü
denir.
f fonksiyonu M nin kendi içine bir dönüsümü olsun. M nin f (x) = x koşulunu sağlayan
bir x elemanına f nin bir sabit noktası denir.
Örnek 2.1.6 f : ℝ → ℝ
f ( x) = x 2 − 2 x + 2 fonksiyonunun 1 ile 2 olmak üzere iki sabit noktası vardır.
3
2.5 Metrik Uzay
X boştan farklı bir küme olsun.
d: X × X → ℝ
fonksiyonu aşağıdaki şartları sağlar ise d ye X üzerinde bir metrik veya uzaklık
fonksiyonu ve (X,d) ikilisine de bir metrik uzay denir.
(M1) ∀ x.y ∈ X için d(x,y) ≥ 0
(M2) x.y ∈ X için
d(x,y)=0 ⇔ x=y
(M3) ∀ x,y ∈ X için d(x,y)= d(y,x)
(M4) ∀ x,y,z ∈ X için d(x,z) ≤ d(x,z)+d(y,z)
Örnek 2.1.7 d: ℝ × ℝ → ℝ +
(x,y) → d(x,y):= x − y
fonksiyonu ℝ üzerinde bir metriktir.
2.6 Daralma Dönüşümü
( M , d ) bir metrik uzay ve f fonksiyonu M nin kendi içine bir dönüşümü olsun. M deki
her x,y için
d ( f ( x), f ( y ) ) ≤ k .d ( x, y )
ve 0 ≤ k < 1 koşulunu sağlayan bir k sayısı varsa f ye bir daralma dönüşümü denir.
2.7 Yakınsama
( X, d )
bir metrik uzay, (x n ) bu uzayda alınan bir dizi ve x 0 ∈ X olsun. Eğer;
lim d(x n , x 0 ) = 0 ise, başka bir deyişle ∀ε > 0 için n > N(ε) olduğunda d(x n , x 0 ) < ε
n →∞
olacak şekilde bir N(ε) doğal sayısı bulunabiliyorsa (x n ) dizisi x 0 noktasına
yakınsıyor denir ve
x n → x 0 ya da lim x n = x 0
n →∞
olarak ifade edilir.
4
2.8 Açık ve Kapalı Küme
(X,d) bir metrik uzay, x 0 ∈ X ve r > 0 bir reel sayı olsun.
•
B(x 0 ,r) ={x ∈ X: d(x, x 0 ) < r } kümesine x 0 merkezli ve r yarıçaplı açık yuvar veya
açık top,
•
B(x 0 , r) ={x ∈ X: d(x, x 0 ) ≤ r } kümesine x 0 merkezli ve r yarıçaplı kapalı yuvar
veya kapalı top denir.
X bir metrik uzay ve A ⊆ X olsun. Her x ∈ A için B ( x, r ) ⊆ A olacak şekilde bir r
pozitif sayısı varsa A ya X te açık küme denir. X in B altkümesinin X teki tümleyeni
yani B t = X − B , X de açıksa B ye X te kapalı küme denir.
2.9 Cauchy Dizisi
(X, d) bir metrik uzay ve (x n ) bu uzayda alınan bir dizi olsun. ∀ε > 0 için m, n > N(ε )
olduğunda d(x n , x m ) < ε olacak şekilde bir N(ε ) ∈ ℕ bulunabiliyorsa (x n ) dizisine bir
Cauchy dizisi denir.
Bu tanımı daha kısa olarak şöyle yazabiliriz.
∀ε > 0 için ∃N(ε ) ∈ N ∋ ∀m, n > N(ε )
için d(x n , x m ) < ε ⇔ (x n ) dizisi Cauchy
dizisidir.
2.10 Tam Metrik Uzay
(X, d) bir metrik uzay olsun. X te alınan her (x n ) Cauchy dizisi bu uzayda bir limite
yakınsıyorsa (X, d) metrik uzayına tam metrik uzay denir.
2.11 Kompaktlık
X bir metrik uzay olsun. X teki her bir dizi X te yakınsak olan en az bir alt diziye
sahipse X e kompakt denir.
2.12 Lineer Uzay (Vektör Uzayı)
X boş olmayan bir küme ve F cismi ℝ veya ℂ olsun ve toplama ve skalerle çarpma
işlemleri
+ :X×X → X
(x,y) → x+y
5
i : F× X → X
(a,x) → a.x
şeklinde tanımlansın. Aşağıdaki şartlar sağlanıyorsa X’e F üzerinde lineer uzay (veya
vektör uzayı) denir.
A)
X, + işlemine göre değişmeli bir gruptur. Yani,
G1) ∀x, y ∈ X için x + y ∈ F dir.
G2) ∀x, y, z ∈ X için x+(y+z)=(x+y)+z dir.
G3) ∀x ∈ X için x + θ x = θ x + x = x olacak şekilde θ x ∈ X vardır
G4) ∀x ∈ X için x + (− x) = (− x) + x = θ x olacak şekilde − x ∈ X vardır.
G5) ∀x, y ∈ X için x + y = y + x dir.
B)
∀x, y ∈ X ve ∀α, β ∈ F için
L1) α.x ∈ X dir.
L2) α.(x + y) = α.x + α.y dir.
L3) (α + β).x = α.x + β.x dir.
L4) (α.β).x = α.(β.x) dir.
L5) 1F.x = x dir (Burada 1F , F nin birim elemanıdır).
2.13 Konveks Küme
L bir lineer uzay, A ⊆ L ve x, y ∈ A keyfi olmak üzere
B = { z ∈ L : z = α x + (1 − α ) y, 0 ≤ α ≤ 1} ⊆ A
ise A kümesine konveks küme denir.
2.14 Normlu (Vektör) Uzayı
X, F cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun.
i : X → ℝ+
x→ x
dönüşümü ∀x, y ∈ X ve ∀α ∈ F için
(N1) x ≥ 0
(N2) x = 0 ⇔ x = θ
6
(N3) αx = α x
(N4) x + y ≤ x + y
özelliklerini sağlıyorsa X üzerinde norm adını alır ve bu durumda (X, i ) ikilisine bir
normlu (vektör) uzayı adı verilir.
Teorem 2.1.1 Her normlu uzay bir metrik uzaydır.
Örnek 2.1.8 C ([ a, b ] , ℝ ) sürekli fonksiyonların kümesini alalım.
∀f , g ∈ C ([ a, b ] , ℝ ) ve ∀α ∈ ℝ için
( f + g ) (x) = f(x) + g(x)
( αf ) (x) = αf (x)
olarak tanımlanırsa;
(a) C ([ a, b ] , ℝ ) sürekli fonksiyonlar kümesi ℝ üzerinde bir lineer uzaydır.
(b) ∀f ∈ C ([ a, b ] , ℝ ) için
f
∞
:= sup { f (x) : x ∈ [a, b]}
olarak tanımlanırsa
i
∞
: C ([ a, b ] , ℝ ) → ℝ
fonksiyonu bir normdur.
2.15 Süreklilik
X ve Y normlu uzaylar T : X → Y bir dönüşüm olsun. x 0 ∈ X olmak üzere ∀ε > 0 için
bir δ > 0 vardır öyle ki x − x 0
X
< δ olan ∀x ∈ X için T(x) − T(x 0 )
Y
< ε ise T ye x 0
noktasında süreklidir denir. T, X in her noktasında sürekli ise T ye X te süreklidir denir.
Teorem 2.1.1 X sonlu boyutlu bir normlu uzay ve A, X in bir alt kümesi olsun. A nın
kompakt olması için gerek ve yeter şart A nın kapalı ve sınırlı olmasıdır.
2.16 Banach Uzayı
Bir ( X, i
)
normlu uzaydaki her Cauchy dizisi bu uzayda yakınsak ise, ( X, i
uzayına tam normlu uzay veya Banach uzayı adı verilir.
7
)
normlu
12
 n
2
Örnek 2.1.9 ℝ uzayı x 2 :=  ∑ x i 
 i =1

n
normuna göre bir reel Banach uzayıdır.
Teorem 2.1.3 (Schauder Sabit Nokta Teoremi) X bir Banach uzayı, A, X in boş
olmayan herhangi bir kompakt, konveks alt kümesi ve f : A → A sürekli bir dönüşüm
olsun. Bu durumda, f en az bir sabit noktaya sahiptir.
8
BÖLÜM III
GECĐKMELĐ NÖTRAL DĐFERANSĐYEL DENKLEM SĐSTEMLERĐ ĐÇĐN
SALINIM YAPMAYAN ÇÖZÜMLERĐN VARLIĞI
Bu bölümde, yapılan tez çalışmasına temel teşkil edecek olan El-Metwally vd.’nin
(2003) gecikmeli nötral diferansiyel denklem sistemleri için salınım yapmayan
çözümlerin varlığı üzerine yapmış oldukları çalışmalar incelenmiştir.
Burada p ∈ R , x ∈ R n , τ ∈ (0, ∞) , σ ∈ (0, ∞) ve Q sürekli bir matris olmak üzere
gecikmeli nötral diferansiyel denklem sistemi
d
( x (t ) + px (t − τ ) ) + Q(t ) x (t − σ ) = 0
dt
(3.1)
ve B bir nonsinguler n × n matris, x ∈ R n , τ ∈ (0, ∞) , σ ∈ (0, ∞) ve Q , [t0 , ∞)
aralığında n × n boyutunda sürekli bir matris olmak üzere gecikmeli nötral diferansiyel
denklem sistemi
d
( x(t ) + Bx(t − τ ) ) + Q(t )x(t − σ ) = 0
dt
(3.2)
ele alınmıştır.
m = max {τ , σ }
olsun.
y ∈ C ([t1 − m, ∞), R n ) ,
(3.1)
çözümü
ve
(3.2)
denilince
denklemlerinin
[t1, ∞ )
t1 ≥ t0
aralığında
olmak
y + py (t − τ )
üzere
ve
y + By (t − τ ) sürekli diferansiyellenebilir ve t ≥ t1 için sırasıyla (3.1) ve (3.2)
denklemlerinin sağlanması anlaşılmaktadır.
Teorem 3.1 Kabul edelim ki p ≠ −1 ve
∫
∞
, ℝ n de herhangi bir norm olmak üzere
Q( s ) ds < ∞
olsun. Bu taktirde (3.1) denkleminin salınım yapmayan çözümü vardır (El-Metwally
vd., 2003).
Đspat
e, e = 1 olacak şekilde bir vektör olsun.
(a) p ∈ ( 0,1) durumu:
9
t1 yeteri kadar büyük seçilebilir öyle ki
t1 ≥ t0 + σ ,
σ = max{τ , σ }
ve
M 1 < 1 , M 2 > M 1 pozitif sabitler öyle ki
M 1 + M 2 < 2 ve 1 −
M 2 + M1
1 − M1
≤ p<
2
1− M 2
(3.3)
olduğunda
∫
∞
t1
Q( s ) ds ≤
1 − p (1 + M 2 ) − M 1
M2
(3.4)
sağlanır.
X , [t0 , ∞) aralığında tanımlı tüm sınırlı ve sürekli vektör fonksiyonlarının kümesi
olsun.
A = {x ∈ X : M 1 ≤ x(t ) ≤ M 2 , t ≥ t0 } olsun.
T : A → X aşağıdaki gibi tanımlansın.
(1 − p )e − px(t − τ ) + ∞ Q( s )x( s − σ )ds,
∫t
(Tx ) (t ) = 
(Tx ) (t1 ),
t ≥ t1
t0 ≤ t ≤ t1.
Tx dönüşümünün sürekli olduğu aşikardır. ∀x ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere (3.3) ve (3.4)
kullanılırsa
(Tx ) (t )
∞
= (1 − p )e − px(t − τ ) + ∫ Q( s )x( s − σ )ds
t
∫
≤ (1 − p )e + px(t − τ ) +
∞
t
Q( s )x( s − σ )ds
∞
≤ (1 − p ) + p x(t − τ ) + ∫ Q( s )x( s − σ ) ds
t
∞
≤ 1 − p + pM 2 + ∫ Q( s ) x( s − σ ) ds
t
∞
≤ 1 − p + pM 2 + M 2 ∫ Q( s ) ds
t1
≤ M2 .
(3.4) ten dolayı
(Tx ) (t )
{
}
∞
= (1 − p )e − px(t − τ ) − ∫ Q( s )x( s − σ )ds
t
10
∞
≥ (1 − p )e − px(t − τ ) − ∫ Q( s )x( s − σ )ds
t
≥ (1 − p )e − px(t − τ ) −
∫
∞
t
Q( s )x( s − σ )ds
∞
≥ (1 − p ) − p x(t − τ ) − ∫ Q( s ) x( s − σ ) ds
t
∞
≥ (1 − p ) − pM 2 − ∫ Q( s ) x( s − σ ) ds
t
∞
≥ (1 − p ) − pM 2 − M 2 ∫ Q( s ) ds
t1
≥ M1 .
Böylece TA ⊂ A olduğu ispatlanır. A, X’ in sınırlı, kapalı ve konveks alt kümesidir.
Daralma prensibini kullanabilmek için T nin A üzerinde daralma dönüşümü olduğu
gösterilmelidir.
∀x1 , x 2 ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere
(Tx1 ) (t ) − (Tx2 ) (t )
∞
= − p[x1 (t − τ ) − x 2 (t − τ )] + ∫ Q( s )[x1 ( s − σ ) − x 2 ( s − σ )]ds
t
≤ − p[x1 (t − τ ) − x 2 (t − τ )] +
∫
∞
t
Q( s )[x1 ( s − σ ) − x 2 ( s − σ )]ds
∞
≤ p x1 (t − τ ) − x 2 (t − τ ) + ∫ Q( s ) x1 ( s − σ ) − x 2 ( s − σ ) ds
t
≤ p x1 − x 2 + x1 − x 2
∫
∞
t
Q( s ) ds
≤ q1 x1 − x 2 .
Yani,
Tx1 − Tx 2 ≤ q1 x1 − x 2
dir. (3.3) ve (3.4) ten q1 < 1 olur. Bu da T nin bir daralma dönüşümü olduğunu gösterir.
Sonuç olarak x > 0 olmak üzere x, t ≥ t1 için T dönüşümünün sabit noktasıdır. Bu da
(a) nın ispatını tamamlar.
(b) p ∈ (1, ∞ ) durumu:
t1 yeteri kadar büyük seçilebilir öyle ki
t1 + τ ≥ t0 + σ
ve
11
N1 < 1 , N 2 > N1 pozitif sabitler öyle ki
N1 + N 2 < 2 ve
1 + N2
2
< p≤
1 − N1
2 − N1 − N 2
(3.5)
olduğunda
∫
∞
t1
Q( s ) ds ≤
p − 1 − pN1 − N 2
N2
(3.6)
sağlanır.
X , [t0 , ∞) aralığında tanımlı tüm sınırlı ve sürekli vektör fonksiyonlarının kümesi
olsun.
A = {x ∈ X : N1 ≤ x(t ) ≤ N 2 , t ≥ t0 } olsun.
T : A → X dönüşümü aşağıdaki gibi tanımlansın.
 1 
1
1 ∞
1 −  e − x(t + τ ) + ∫t +τ Q( s )x( s − σ )ds,
p
(Tx ) (t ) =  p  p

(Tx ) (t1 ),
t ≥ t1
t0 ≤ t ≤ t1.
Tx dönüşümünün sürekli olduğu aşikardır. ∀x ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere (3.5) ve (3.6)
kullanılırsa
(Tx ) (t )
 1
1
1 ∞
= 1 −  e − x(t + τ ) + ∫ Q( s )x( s − σ )ds
p
p
p t +τ

 1
1
1 ∞
≤ 1 −  e + x(t + τ ) + ∫ Q( s )x( s − σ )ds
p
p
p t

 1
1
1 ∞
≤ 1 −  e + x(t + τ ) + ∫ Q( s )x( s − σ ) ds
p
p
p t

≤ 1−
1 N2 1 ∞
Q( s ) x( s − σ ) ds
+
+
p p p ∫t
≤ 1−
1 N2 N2
+
+
p p
p
∫
∞
t1
Q( s ) ds
≤ N2 .
(3.6) dan dolayı
(Tx ) (t )
 1
1
1 ∞
= 1 −  e − x(t + τ ) + ∫ Q( s )x( s − σ )ds
p
p
p t +τ

 1
1
1 ∞
≥ 1 −  e − x(t + τ ) − ∫ Q( s )x( s − σ )ds
p
p
p t

12
 1
1
1 ∞
≥ 1 −  e − x (t + τ ) − ∫ Q( s ) x ( s − σ ) ds
p
p
p t

≥ 1−
1 N2 1 ∞
Q( s )x( s − σ ) ds
−
−
p p p ∫t
≥ 1−
1 N2 N2
−
−
p p
p
∫
∞
t1
Q( s ) ds
≥ N1 .
Böylece TA ⊂ A olduğu ispatlanır. A, X’ in sınırlı, kapalı ve konveks alt kümesidir.
Daralma prensibini kullanabilmek için T nin A üzerinde daralma dönüşümü olduğu
gösterilmelidir.
∀x1 , x 2 ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere
(Tx1 ) (t ) − (Tx 2 ) (t )
1
1 ∞
= − [x1 (t + τ ) − x 2 (t + τ )] + ∫ Q( s )[x1 ( s − σ ) − x 2 ( s − σ )]ds
p
p t +τ
1
1
≤ − [x1 (t + τ ) − x 2 (t + τ )] +
p
p
∫
∞
t +τ
Q( s )[x1 ( s − σ ) − x 2 ( s − σ )]ds
≤
1
1 ∞
x1 (t + τ ) − x 2 (t + τ ) + ∫ Q( s ) x1 ( s − σ ) − x 2 ( s − σ ) ds
p
p t
≤
1
1
x1 − x 2 + x1 − x 2
p
p
∫
∞
t1
Q( s ) ds
≤ q2 x1 − x 2 .
Yani,
Tx1 − Tx 2 ≤ q2 x1 − x 2
dir. (3.5) ve (3.6) dan q2 < 1 olur. Bu da T nin bir daralma dönüşümü olduğunu gösterir.
Sonuç olarak x > 0 olmak üzere x, t ≥ t1 için T dönüşümünün sabit noktasıdır. Bu da
(b) nin ispatını tamamlar.
(c) p = 1 durumu:
t1 yeteri kadar büyük seçilebilir öyle ki
t1 + τ ≥ t0 + σ
ve P sıfır olmayan sabit vektör ve P1 < P2 pozitif sabitler olmak üzere
13
P1 < P ≤
P1 + P2
2
(3.7)
olduğunda
∞
∑∫
i =0
t + 2 iτ
t1 + (2 i −1)τ
P − P1
Q( s ) ds ≤
(3.8)
P2
sağlanır.
X , [t0 , ∞) aralığında tanımlı tüm sınırlı ve sürekli vektör fonksiyonlarının kümesi
olsun.
A = {x ∈ X : P1 ≤ x(t ) ≤ P2 , t ≥ t0 } olsun.
T : A → X aşağıdaki gibi tanımlansın.
∞
t + 2 iτ

+
P
Q( s )x( s − σ )ds,
∑

∫
(Tx ) (t ) =  i =0 t +(2i −1)τ
(Tx ) (t ),
1

t ≥ t1
t0 ≤ t ≤ t1.
Tx dönüşümünün sürekli olduğu aşikardır. ∀x ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere (3.7) ve (3.8)
kullanılırsa
(Tx ) (t )
∞
= P+∑∫
t + 2 iτ
t + (2 i −1)τ
i =0
∞
≤ P +
∑∫
t + 2 iτ
∞
t + 2 iτ
Q( s )x( s − σ )ds
t + (2 i −1)τ
i =0
≤ P +∑
∫
t + (2 i −1)τ
i =0
∞
≤ P +∑∫
t + 2 iτ
t + (2 i −1)τ
i =0
∞
≤ P + P2 ∑ ∫
i =0
Q( s )x( s − σ )ds
Q( s )x( s − σ )ds
Q( s ) x( s − σ ) ds
t + 2 iτ
t + (2 i −1)τ
Q( s ) ds
≤ P2 .
(3.8) den dolayı
(Tx ) (t )
∞
= P+∑∫
i =0
t + 2 iτ
t + (2 i −1)τ
∞
≥ P −
∑∫
t + 2 iτ
∞
t + 2 iτ
i =0
≥ P −∑
i =0
Q( s )x( s − σ )ds
t + (2 i −1)τ
∫
t + (2 i −1)τ
Q( s )x( s − σ )ds
Q( s )x( s − σ )ds
14
∞
≥ P −∑∫
i =0
t + 2 iτ
Q( s ) x( s − σ ) ds
t + (2 i −1)τ
∞
≥ P − P2 ∑ ∫
i =0
t + 2 iτ
t + (2 i −1)τ
Q( s ) ds
≥ P1 .
Böylece TA ⊂ A olduğu ispatlanır. A, X’ in sınırlı, kapalı ve konveks alt kümesidir.
Daralma prensibini kullanabilmek için T nin A üzerinde daralma dönüşümü olduğu
gösterilmelidir.
∀x1 , x 2 ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere
∞
∑∫
(Tx1 ) (t ) − (Tx2 ) (t ) =
t + 2 iτ
t + (2 i −1)τ
i =0
∞
≤ ∑∫
t + 2 iτ
∞
t + 2 iτ
t + (2 i −1)τ
i =0
≤ ∑∫
t + (2 i −1)τ
i =0
Q( s ) [ x1 ( s − σ ) − x 2 ( s − σ ) ] ds
Q( s ) [ x1 ( s − σ ) − x 2 ( s − σ ) ] ds
Q( s ) x1 ( s − σ ) − x 2 ( s − σ ) ds
∞
≤ x1 − x 2
∑∫
i =0
t + 2 iτ
t + (2 i −1)τ
Q( s ) ds
≤ q3 x1 − x 2 .
Yani,
Tx1 − Tx 2 ≤ q3 x1 − x 2
dir. (3.7) ve (3.8) den q3 < 1 olur. Bu da T nin bir daralma dönüşümü olduğunu gösterir.
Sonuç olarak x > 0 olmak üzere x, t ≥ t1 için T dönüşümünün sabit noktasıdır. Bu da
(c) nin ispatını tamamlar.
(d) p ∈ (−1, 0) durumu:
t1 yeteri kadar büyük seçilebilir öyle ki
t1 ≥ t0 + max{τ , σ }
ve
L1 < 1 , L2 > L1 pozitif sabitler öyle ki
2(1 + p ) < L1 + L2 < 2 ve
L1 − 1
L +L
< p ≤ 2 1 −1
1 + L2
2
(3.9)
olduğunda
∫
∞
t1
Q( s ) ds ≤
1 + p (1 + L2 ) − L1
L2
(3.10)
15
sağlanır.
X , [t0 , ∞) aralığında tanımlı tüm sınırlı ve sürekli vektör fonksiyonlarının kümesi
olsun.
A = {x ∈ X : L1 ≤ x(t ) ≤ L2 , t ≥ t0 } olsun.
T : A → X dönüşümü aşağıdaki gibi tanımlansın.
(1 + p )e − px(t − τ ) + ∞ Q( s )x( s − σ )ds,
∫t
(Tx ) (t ) = 
(Tx ) (t1 ),
t ≥ t1
t0 ≤ t ≤ t1.
Tx dönüşümünün sürekli olduğu aşikardır. ∀x ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere (3.9) ve (3.10)
kullanılırsa
(Tx ) (t )
∞
= (1 + p )e − px(t − τ ) + ∫ Q( s )x( s − σ )ds
t
∞
∫
≤ (1 + p )e + px(t − τ ) +
t
Q( s )x( s − σ )ds
∞
≤ (1 + p ) − p x(t − τ ) + ∫ Q( s )x( s − σ ) ds
t
∞
≤ 1 + p − pL2 + ∫ Q( s ) x( s − σ ) ds
t
∞
≤ 1 + p − pL2 + L2 ∫ Q( s ) ds
t1
≤ L2 .
(3.10) dan dolayı
(Tx ) (t )
{
}
∞
= (1 + p )e − px(t − τ ) − ∫ Q( s )x( s − σ )ds
t
∞
≥ (1 + p )e − px(t − τ ) − ∫ Q( s )x( s − σ )ds
t
≥ (1 + p )e − px(t − τ ) −
∫
∞
t
Q( s )x( s − σ )ds
∞
≥ (1 + p ) + p x(t − τ ) − ∫ Q( s )x( s − σ ) ds
t
∞
≥ (1 + p ) + pL2 − ∫ Q( s ) x( s − σ ) ds
t
∞
≥ (1 + p ) + pL2 − L2 ∫ Q( s ) ds
t1
≥ L1 .
16
Böylece TA ⊂ A olduğu ispatlanır. A, X’ in sınırlı, kapalı ve konveks alt kümesidir.
Daralma prensibini kullanabilmek için T nin A üzerinde daralma dönüşümü olduğu
gösterilmelidir.
∀x1 , x 2 ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere
(Tx1 ) (t ) − (Tx 2 ) (t )
∞
= − p[x1 (t − τ ) − x 2 (t − τ )] + ∫ Q( s )[x1 ( s − σ ) − x 2 ( s − σ )]ds
t
∫
≤ − p[x1 (t − τ ) − x 2 (t − τ )] +
≤ − p x1 (t − τ ) − x 2 (t − τ ) +
≤ − p x1 − x 2 + x1 − x 2
∫
∞
t
∞
t
∫
∞
t
Q( s )[x1 ( s − σ ) − x 2 ( s − σ )]ds
Q( s )[x1 ( s − σ ) − x 2 ( s − σ )]ds
Q( s )ds
≤ q4 x1 − x 2 .
Yani,
Tx1 − Tx 2 ≤ q4 x1 − x 2
dir. (3.9) ve (3.10) dan q4 < 1 olur. Bu da T nin bir daralma dönüşümü olduğunu
gösterir. Sonuç olarak
x > 0 olmak üzere x, t ≥ t1 için T dönüşümünün sabit
noktasıdır. Bu da (d) nin ispatını tamamlar.
(e) p ∈ (−∞, −1) durumu:
t1 yeteri kadar büyük seçilebilir öyle ki
t1 + τ ≥ t0 + σ
ve
H1 ve H 2 pozitif sabitler öyle ki
H1 < H 2 < 1 , H1 + H 2 > 1 ve
1+ H2
2
< p<
H1 + H 2 − 2
H1 − 1
(3.11)
olduğunda
∫
∞
t1
Q( s ) ds ≤
pH1 − 1 − p − H 2
H2
(3.12)
sağlanır.
X , [t0 , ∞) aralığında tanımlı tüm sınırlı ve sürekli vektör fonksiyonlarının kümesi
olsun.
A = {x ∈ X : H1 ≤ x(t ) ≤ H 2 , t ≥ t0 } olsun.
17
T : A → X dönüşümü aşağıdaki gibi tanımlansın.
 1 
1
1 ∞
1 +  e − x(t + τ ) + ∫t +τ Q( s )x( s − σ )ds,
p
(Tx ) (t ) =  p  p

(Tx ) (t1 ),
t ≥ t1
t0 ≤ t ≤ t1.
Tx dönüşümünün sürekli olduğu aşikardır. ∀x ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere (3.11) ve
(3.12) kullanılırsa
(Tx ) (t )
 1
1
1 ∞
= 1 +  e − x(t + τ ) + ∫ Q( s )x( s − σ )ds
p
p
p t +τ

 1
1
1 ∞
≤ 1 +  e + x(t + τ ) + ∫ Q( s )x( s − σ )ds
p
p
p t +τ

 1
1
1 ∞
≤ 1 +  e − x(t + τ ) − ∫ Q( s )x( s − σ ) ds
p
p
p t

≤ 1+
1 H2 1 ∞
Q( s )x( s − σ ) ds
−
−
p p p ∫t
≤ 1+
1 H2 H2
−
−
p p
p
∫
∞
t1
Q( s ) ds
≤ H2 .
(3.12) den dolayı
(Tx ) (t )
 1
1
1 ∞
= 1 +  e − x(t + τ ) + ∫ Q( s )x( s − σ )ds
p
p
p t +τ

 1
1
1 ∞
≥ 1 +  e − x(t + τ ) − ∫ Q( s )x( s − σ )ds
p
p
p t

 1
1
1 ∞
≥ 1 −  e + x(t + τ ) − ∫ Q( s )x( s − σ ) ds
p
p
p t

≥ 1+
1 H2 1 ∞
+
−
Q( s ) x( s − σ ) ds
p p p ∫t
≥ 1+
1 H2 H2
+
+
p p
p
∫
∞
t1
Q( s ) ds
≥ H1 .
Böylece TA ⊂ A olduğu ispatlanır. A, X’ in sınırlı, kapalı ve konveks alt kümesidir.
Daralma prensibini kullanabilmek için T nin A üzerinde daralma dönüşümü olduğu
gösterilmelidir.
18
∀x1 , x 2 ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere
(Tx1 ) (t ) − (Tx 2 ) (t )
=
1
1 ∞
[x1 (t + τ ) − x 2 (t + τ )] − ∫ Q( s )[x1 ( s − σ ) − x 2 ( s − σ )]ds
p
p t +τ
≤
1
1
[x1 (t + τ ) − x 2 (t + τ )] −
p
p
∫
∞
t
Q( s )[x1 ( s − σ ) − x 2 ( s − σ )]ds
≤−
1
1 ∞
x1 (t + τ ) − x 2 (t + τ ) − ∫ Q( s ) x1 ( s − σ ) − x 2 ( s − σ ) ds
p
p t
≤−
1
1
x1 − x 2 − x1 − x 2
p
p
∫
∞
t
Q( s )ds
≤ q5 x1 − x 2 .
Yani,
Tx1 − Tx 2 ≤ q5 x1 − x 2 .
dir. (3.11) ve (3.12) den q5 < 1 olur. Bu da T nin bir daralma dönüşümü olduğunu
gösterir. Sonuç olarak x > 0 olmak üzere x, için T dönüşümünün sabit noktasıdır. Bu
da (e) nin ispatını tamamlar.
 q (t ) q2 (t ) 
Örnek 3.1 Q(t ) =  1
ve q1 (t ) + q2 (t ) = q3 (t ) + q4 (t ) = 2 / (aet + eσ ) , ( a ∈ ℝ )

 q3 (t ) q4 (t ) 
olmak üzere
d
x (t ) + e −τ x (t − τ ) ) + Q(t ) x (t − σ ) = 0 denklem sisteminin [t0 , ∞) aralığında
(
dt
 a + e −τ 
salınım yapmayan çözümü vardır.
x (t ) = 
−τ 
a
+
e


Teorem 3.2 Kabul edelim ki
∫
∞
, ℝ n de herhangi bir norm olmak üzere
Q( s ) ds < ∞
olsun. Bu taktirde (3.2) denkleminin salınım yapmayan çözümü vardır (El-Metwally
vd., 2003).
Đspat
B = p ve e, e = 1 olacak şekilde bir vektör olsun.
19
(a) p ∈ ( 0,1) durumu:
t1 yeteri kadar büyük olsun.
t1 ≥ t0 + σ ,
σ = max{τ , σ }
ve
M 1 < 1 , M 2 > M 1 pozitif sabitler öyle ki
1−
M 2 + M1
1 − M1
< p<
ve 1 − p < M 1 + M 2 < 2
2
1− M 2
(3.13)
olduğunda
∫
∞
t1
Q( S ) ds ≤
1 − p (1 + M 2 ) − M 1
M2
(3.14)
sağlanır.
X , [t0 , ∞) aralığında tanımlı tüm sınırlı ve sürekli vektör fonksiyonlarının kümesi
olsun.
A = {x ∈ X : M 1 ≤ x(t ) ≤ M 2 , t ≥ t0 } olsun.
b bir vektör ve
b = 1 − p olmak üzere T : A → X
dönüşümü aşağıdaki gibi
tanımlansın.
b − Bx(t − τ ) + ∞ Q( s )x( s − σ )ds,
∫t
(Tx ) (t ) = 
(Tx ) (t1 ),
t ≥ t1
t0 ≤ t ≤ t1.
Tx dönüşümünün sürekli olduğu aşikardır. ∀x ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere (3.13) ve
(3.14) kullanılırsa
(Tx ) (t )
∞
= b − Bx(t − τ ) + ∫ Q( s )x( s − σ )ds
t
≤ b + Bx(t − τ ) +
∫
∞
t
Q( s )x( s − σ )ds
∞
≤ 1 − p + B x(t − τ ) + ∫ Q( s )x( s − σ ) ds
t
∞
≤ 1 − p + pM 2 + ∫ Q( s ) x( s − σ ) ds
t
∞
≤ 1 − p + pM 2 + M 2 ∫ Q( s ) ds
t1
≤ M2 .
(3.14) ten dolayı
20
(Tx ) (t )
{
}
∞
= b − Bx(t − τ ) − ∫ Q( s )x( s − σ )ds
t
∞
≥ b − Βx(t − τ ) − ∫ Q( s )x( s − σ )ds
t
≥ 1 − p − Bx(t − τ ) −
∫
∞
Q( s )x( s − σ )ds
t
∞
≥ 1 − p − B x(t − τ ) − ∫ Q( s )x( s − σ ) ds
t
∞
≥ 1 − p − pM 2 − ∫ Q( s ) x( s − σ ) ds
t
∞
≥ 1 − p − pM 2 − M 2 ∫ Q( s ) ds
t1
≥ M1 .
Böylece TA ⊂ A olduğu ispatlanır. A, X’ in sınırlı, kapalı ve konveks alt kümesidir.
Daralma prensibini kullanabilmek için T nin A üzerinde daralma dönüşümü olduğu
gösterilmelidir.
∀x1 , x 2 ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere
(Tx1 ) (t ) − (Tx 2 ) (t )
∞
= −B[x1 (t − τ ) − x 2 (t − τ )] + ∫ Q( s )[x1 ( s − σ ) − x 2 ( s − σ )]ds
t
∫
≤ −B[x1 (t − τ ) − x 2 (t − τ )] +
∞
t
Q( s )[x1 ( s − σ ) − x 2 ( s − σ )]ds
∞
≤ B x1 (t − τ ) − x 2 (t − τ ) + ∫ Q( s ) x1 ( s − σ ) − x 2 ( s − σ ) ds
t
∫
≤ p x1 − x 2 + x1 − x 2
∞
t
Q( s ) ds
≤ r1 x1 − x 2 .
Yani,
Tx1 − Tx 2 ≤ r1 x1 − x 2
dir. (3.13) ve (3.14) ten r1 < 1 olur. Bu da T nin bir daralma dönüşümü olduğunu
gösterir. Sonuç olarak
x > 0 olmak üzere x, t ≥ t1 için T dönüşümünün sabit
noktasıdır. Bu da (a) nın ispatını tamamlar.
(b) p ∈ (1, ∞ ) durumu:
t1 yeteri kadar büyük seçilebilir öyle ki
21
t1 + τ ≥ t0 + σ
ve
N1 < 1 , N 2 > N1 pozitif sabitler öyle ki
N1 + N 2 ≤ 2 ve
1 + N2
2
< p<
1 − N1
2 − N1 − N 2
(3.15)
olduğunda
∫
∞
t1
Q( S ) ds ≤
p − 1 − pN1 − N 2
N2
(3.16)
sağlanır.
X , [t0 , ∞) aralığında tanımlı tüm sınırlı ve sürekli vektör fonksiyonlarının kümesi
olsun.
A = {x ∈ X : N1 ≤ x(t ) ≤ N 2 , t ≥ t0 } olsun.
c bir vektör ve
c = 1−
1
olmak üzere T : A → X
p
dönüşümü aşağıdaki gibi
tanımlansın.
c − B −1x(t + τ ) + B −1 ∞ Q( s )x( s − σ )ds,
∫t +τ
(Tx ) (t ) = 
(Tx ) (t1 ),
t ≥ t1
t0 ≤ t ≤ t1.
Tx dönüşümünün sürekli olduğu aşikardır. ∀x ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere (3.15) ve
(3.16) kullanılırsa
(Tx ) (t )
∞
= c − B −1x(t + τ ) + B −1 ∫ Q( s )x( s − σ )ds
t +τ
∞
≤ c + B −1x(t + τ ) + B −1 ∫ Q( s )x( s − σ )ds
t +τ
≤ 1−
1
+ B −1 x(t + τ ) + B −1
p
≤ 1−
1 N2 1 ∞
+
+
Q( s ) x( s − σ ) ds
p p p ∫t
≤ 1−
1 N2 N2
+
+
p p
p
∫
∞
t1
∫
∞
t
Q( s )x( s − σ ) ds
Q( s ) ds
≤ N2 .
(3.16) dan dolayı
22
(Tx ) (t )
∞
= c − B −1x(t + τ ) + B −1 ∫ Q( s )x( s − σ )ds
t +τ
∞
≥ c − B −1x(t + τ ) − B −1 ∫ Q( s )x( s − σ )ds
t +τ
≥ 1−
1
− B −1 x(t + τ ) − B −1
p
≥ 1−
1 N2 1 ∞
Q( s ) x( s − σ ) ds
−
−
p p p ∫t
≥ 1−
1 N2 N2
−
−
p p
p
∫
∞
t1
∫
∞
Q( s )x( s − σ ) ds
t
Q( s ) ds
≥ N1 .
Böylece TA ⊂ A olduğu ispatlanır. A, X’ in sınırlı, kapalı ve konveks alt kümesidir.
Daralma prensibini kullanabilmek için T nin A üzerinde daralma dönüşümü olduğu
gösterilmelidir.
∀x1 , x 2 ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere
(Tx1 ) (t ) − (Tx2 ) (t )
∞
= −B −1[x1 (t + τ ) − x 2 (t + τ )] + B −1 ∫ Q( s )[x1 ( s − σ ) − x 2 ( s − σ )]ds
t +τ
≤ −B −1[ x1 (t + τ ) − x 2 (t + τ )] + B −1
≤ B −1 x1 (t + τ ) − x 2 (t + τ ) +
≤
1
1
x1 − x 2 + x1 − x 2
p
p
∫
∞
t
∫
t
∞
Q ( s )[ x1 ( s − σ ) − x 2 ( s − σ )]ds
1 ∞
Q( s ) x1 ( s − σ ) − x 2 ( s − σ ) ds
p ∫t
Q( s ) ds
≤ r2 x1 − x 2 .
Yani,
Tx1 − Tx 2 ≤ r2 x1 − x 2
dir. (3.15) ve (3.16) dan r2 < 1 olur. Bu da T nin bir daralma dönüşümü olduğunu
gösterir. Sonuç olarak
x > 0 olmak üzere x, t ≥ t1 için T dönüşümünün sabit
noktasıdır. Bu da (b) nin ispatını tamamlar.
(c) p = 1 için ispat Teorem 3.1 de (c) durumuna benzer şekilde yapılır.
23
Örnek 3.2 α , β ,b ∈ R ve τ > 0, σ ≥ 0 olmak üzere
α
d 
 x(t ) + 
dt 
−β
 1
−α 
  a + 2
x(t − τ )  +
β 
  0


−
1

at ( b(t − σ ) + 1) 
 x(t − σ ) = 0

t −σ

t 2 ( b(1 − σ ) + 1) 
2
Denklem sisteminin ( max{τ , σ } + 1, ∞ ) aralığında
 1
a + t 
x (t ) = 
 salınım yapmayan çözümü vardır.
a + 1

t 
24
BÖLÜM IV
YÜKSEK MERTEBEDEN NÖTRAL DĐFERANSĐYEL DENKLEM
SĐSTEMLERĐ ĐÇĐN SALINIM YAPMAYAN ÇÖZÜMLERĐN VARLIĞI
Bu bölümde, Candan’ın (2013) yüksek mertebeden nötral diferansiyel denklem
sistemleri için salınım yapmayan çözümlerin varlığı üzerine yapmış olduğu çalışma
incelenmiştir.
n ≥ 1 bir pozitif tamsayı P ∈ C ([t0 , ∞), R ) , x ∈ R n , Qi ; [t0 , ∞ ) aralığında sürekli n × n
matris, i = 1, 2. , τ ∈ (0, ∞) , σ 1 ,σ 2 ∈ [ 0, ∞ ) olmak üzere yüksek mertebeden nötral
diferansiyel denklem sistemi
dn
( x(t ) + P(t )x(t − τ ) ) + (−1)n−1 [Q1 (t )x(t − σ 1 ) − Q2 (t )x(t − σ 2 )] = 0
dt n
ve
n ≥1
bir
pozitif
tamsayı,
B
bir
nonsinguler
n×n
(4.1)
matris,
x ∈ Rn ,
Qi ; [t0 , ∞ ) aralığında sürekli n × n matris, i = 1, 2. , τ ∈ (0, ∞) , σ 1 ,σ 2 ∈ [ 0, ∞ ) olmak
üzere yüksek mertebeden matris katsayılı nötral diferansiyel denklem sistemi
dn
x(t ) + Bx(t − τ ) ) + (−1) n −1 [Q1 (t )x(t − σ 1 ) − Q2 (t )x(t − σ 2 ) ] = 0
n (
dt
(4.2)
ele alınmıştır.
m = max {τ , σ 1 , σ 2 }
olsun. (4.1) ve (4.2) denklemlerinin
x ∈ C ([t1 − m, ∞), R n ) , çözümü denilince
[t1, ∞ )
aralığında
t1 ≥ t0
olmak üzere
x + P(t )x(t − τ )
ve
x + Bx(t − τ ) n defa sürekli diferansiyellenebilir ve t ≥ t1 için sırasıyla (4.1) ve (4.2)
denklemlerinin sağlanması anlaşılmaktadır.
Teorem 4.1 Kabul edelim ki 0 ≤ P(t ) ≤ p < 12 ve
∫
∞
t0
s n −1 Qi ( s ) ds < ∞ , i = 1, 2.
(4.3)
olsun. Bu taktirde (4.1) denkleminin salınım yapmayan sınırlı çözümü vardır (Candan,
2013).
Đspat
t1 ≥ t0 + max{τ , σ 1 , σ 2 } olmak üzere t1 > t0 yeterince büyük seçebiliriz öyle ki
25
b sabit vektör, M 1 ve M 2 pozitif sabitler öyle ki
pM 2 + M 1 < b < 2 b ≤ M 2 + M 1
(4.4)
olduğunda
∞
b − pM 2 − M 1
1
( s − t ) n −1 ( Q1 ( s ) + Q2 ( s ) )ds ≤
, t ≥ t1
∫
(n − 1)! t
M2
(4.5)
sağlanır.
Λ, [t0 , ∞) aralığında tanımlı tüm sınırlı ve sürekli vektör fonksiyonlarının kümesi
olsun.
A = {x ∈ Λ : M 1 ≤ x(t ) ≤ M 2 , t ≥ t0 } olsun.
T : A → Λ aşağıdaki gibi tanımlansın.
∞
1

n −1
b − P(t )x(t − τ ) + (n − 1)! ∫t ( s − t ) ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) − Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds,
=
T
t
(
)
x
( )

(Tx ) (t ),
1

t ≥ t1
t0 ≤ t ≤ t1.
Tx dönüşümünün sürekli olduğu aşikardır. ∀x ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere (4.4) ve (4.5)
kullanılırsa
(Tx ) (t )
= b − P(t )x(t − τ ) +
∞
1
( s − t ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) − Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds
∫
(n − 1)! t
≤ b + px(t − τ ) +
1
(n − 1)!
≤ b + px(t − τ ) +
∞
1
( s − t ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) − Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds
∫
t
(n − 1)!
≤ b + p x(t − τ ) +
∞
1
( s − t ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) + Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds
∫
t
(n − 1)!
≤ b + pM 2 +
∞
∫
t
( s − t ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) − Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds
M2 ∞
( s − t ) n −1 ( Q1 ( s ) + Q2 ( s ) ) ds
∫
t
(n − 1)!
≤ M2 .
(4.5) ten dolayı
(Tx ) (t )
= b − P(t )x(t − τ ) +
∞
1
( s − t ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) − Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds
∫
t
(n − 1)!
≥ b − px(t − τ ) −
1
(n − 1)!
∫
∞
t
( s − t ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) − Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds
26
≥ b − p x(t − τ ) −
∞
1
( s − t ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) − Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds
∫
(n − 1)! t
≥ b − pM 2 −
∞
1
( s − t ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) + Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds
∫
(n − 1)! t
≥ b − pM 2 −
M2 ∞
( s − t ) n −1 ( Q1 ( s ) + Q2 ( s ) ) ds
(n − 1)! ∫t
≥ M1 .
Böylece TA ⊂ A olduğu ispatlanır. A, Λ ' in sınırlı, kapalı ve konveks alt kümesidir.
Daralma prensibini kullanabilmek için T nin A üzerinde daralma dönüşümü olduğu
gösterilmelidir.
∀x1 , x 2 ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere
(Tx1 ) (t ) − (Tx 2 ) (t )
= P (t ) [ x1 (t − τ ) − x 2 (t − τ ) ] +
∞
1
( s − t ) n −1 ds
∫
t
(n − 1)!
× Q1 ( s ) ( x1 ( s − σ 1 ) − x 2 ( s − σ 1 ) ) − Q2 ( s ) ( x1 ( s − σ 2 ) − x 2 ( s − σ 2 ) )  ds
≤ P (t ) x1 (t − τ ) − x 2 (t − τ ) +
∞
1
( s − t ) n −1 ds
∫
t
(n − 1)!
× ( Q1 ( s ) x1 ( s − σ 1 ) − x 2 ( s − σ 1 ) + Q2 ( s ) x1 ( s − σ 2 ) − x 2 ( s − σ 2 ) ) ds
∞


1
( s − t ) n −1 ( Q1 ( s ) + Q2 ( s ) ) ds 
≤ x1 − x 2  p +
∫
(n − 1)! t


≤ q1 x1 − x 2 .
Yani,
Tx1 − Tx 2 ≤ q1 x1 − x 2
dir. (4.4) ve (4.5) ten q1 < 1 olur. Bu da T nin bir daralma dönüşümü olduğunu gösterir.
Sonuç olarak x > 0 olmak üzere x, t ≥ t1 için T dönüşümünün sabit noktasıdır. Bu da
ispatı tamamlar.
Teorem 4.2 Kabul edelim ki 2 < p ≤ P(t ) ≤ p0 < ∞ ve (4.3) sağlansın. Bu taktirde (4.1)
denkleminin salınım yapmayan sınırlı çözümü vardır (Candan, 2013).
Đspat
t1 + τ ≥ t0 + max{σ 1 ,σ 2 } olmak üzere t1 > t0 yeterince büyük seçebiliriz öyle ki
b sabit vektör, M 3 ve M 4 pozitif sabitler öyle ki
27
p0 M 3 + M 4 < b < 2 b ≤ pM 4 + p0 M 3
(4.6)
olduğunda
∞
b − M 4 − p0 M 3
1
( s − t − τ ) n −1 ( Q1 ( s ) + Q2 ( s ) )ds ≤
, t ≥ t1
∫
M4
(n − 1)! t +τ
(4.7)
sağlanır.
Λ, [t0 , ∞) aralığında tanımlı tüm sınırlı ve sürekli vektör fonksiyonlarının kümesi
olsun.
A = {x ∈ Λ : M 3 ≤ x(t ) ≤ M 4 , t ≥ t0 } olsun.
T : A → Λ aşağıdaki gibi tanımlansın.
∞
 1 
1
( s − t − τ ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 )
b − x(t + τ ) +

∫
t
(n − 1)!
 P(t + τ ) 

(Tx ) (t ) =  − Q2 ( s)x( s − σ 2 ) ) ds, t ≥ t1

t0 ≤ t ≤ t1.
(Tx ) (t1 ),

Tx dönüşümünün sürekli olduğu aşikardır. ∀x ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere (4.6) ve (4.7)
kullanılırsa
(Tx ) (t )
∞

1
1
n −1
s
−
t
−
τ
Q
s
x
s
−
σ
−
Q
s
x
s
−
σ
ds
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
 b − x(t + τ ) +

1
1
2
2
(n − 1)! ∫t +τ
p

∞

1
1
≤  b + x(t + τ ) +
( s − t − τ ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) − Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds 
∫
+
t
τ
(n − 1)!
p

≤
∞

1
1
( s − t − τ ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) − Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds 
 b + x(t + τ ) +
∫
+
τ
t
p
(n − 1)!

∞

1
1
≤  b + x(t + τ ) +
( s − t − τ ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) + Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds 
∫
+
τ
t
p
( n − 1)!

≤
≤

M4 ∞
1
( s − t − τ ) n −1 ( Q1 ( s ) + Q2 ( s ) ) ds 
 b + M4 +
∫
t
τ
+
(n − 1)!
p

≤ M4 .
(4.7) den dolayı
(Tx ) (t )
∞

1 
1
( s − t − τ ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) − Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds 
 b − x(t + τ ) +
∫
p0 
(n − 1)! t +τ

∞

1 
1
≥  b − x(t + τ ) −
( s − t − τ ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) − Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds 
∫
p0 
(n − 1)! t +τ

≥
≥
∞

1 
1
( s − t − τ ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) − Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds 
 b − x(t + τ ) −
∫
p0 
(n − 1)! t +τ

28
≥
≥
∞

1 
1
( s − t − τ ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) + Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds 
 b − x(t + τ ) −
∫
p0 
(n − 1)! t +τ


1 
M4 ∞
( s − t − τ ) n −1 ( Q1 ( s ) + Q2 ( s ) ) ds 
 b − M4 −
∫
(n − 1)! t +τ
p0 

≥ M3 .
Böylece TA ⊂ A olduğu ispatlanır. A, Λ ' in sınırlı, kapalı ve konveks alt kümesidir.
Daralma prensibini kullanabilmek için T nin A üzerinde daralma dönüşümü olduğu
gösterilmelidir.
∀x1 , x 2 ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere
(Tx1 ) (t ) − (Tx 2 ) (t )
≤
∞
1
1
( s − t − τ ) n −1 ds
[ x1 (t + τ ) − x2 (t + τ )] +
∫
+
t
τ
(n − 1)!
p
× Q1 ( s ) ( x1 ( s − σ 1 ) − x 2 ( s − σ 1 ) ) − Q2 ( s ) ( x1 ( s − σ 2 ) − x 2 ( s − σ 2 ) )  ds
≤
∞
1
1
( s − t − τ ) n −1 ds
 x1 (t + τ ) − x 2 (t + τ ) +
∫
(n − 1)! t +τ
p
× ( Q1 ( s ) x1 ( s − σ 1 ) − x 2 ( s − σ 1 ) + Q2 ( s ) x1 ( s − σ 2 ) − x 2 ( s − σ 2 ) ) ds
≤
x1 − x 2
p
∞


1
( s − t − τ ) n −1 ( Q1 ( s ) + Q2 ( s ) ) ds 
1 +
∫
 (n − 1)! t +τ

≤ q2 x1 − x 2 .
Yani,
Tx1 − Tx 2 ≤ q2 x1 − x 2
dir. (4.6) ve (4.7) den q2 < 1 olur. Bu da T nin bir daralma dönüşümü olduğunu gösterir.
Sonuç olarak x > 0 olmak üzere x, t ≥ t1 için T dönüşümünün sabit noktasıdır. Bu da
ispatı tamamlar.
Teorem 4.3 Kabul edelim ki − 12 ≤ p ≤ P(t ) < 0 ve (4.3) sağlansın. Bu taktirde (4.1)
denkleminin salınım yapmayan çözümü vardır (Candan, 2013).
Đspat
t1 ≥ t0 + max{τ , σ 1 , σ 2 } olmak üzere t1 > t0 yeterince büyük seçilebilir öyle ki
b sabit vektör, M 5 ve M 6 pozitif sabitler öyle ki
p M6 + M5 < b < 2 b ≤ M6 + M5
(4.8)
olduğunda
29
)
∞
b − p M6 − M5
1
n −1
(
)
(
)
(
)
, t ≥ t1
s
−
t
Q
s
+
Q
s
ds
≤
(
)
1
2
(n − 1)! ∫t
M6
sağlanır.
(4.9)
Λ, [t0 , ∞) aralığında tanımlı tüm sınırlı ve sürekli vektör fonksiyonlarının kümesi
olsun.
A = {x ∈ Λ : M 5 ≤ x(t ) ≤ M 6 , t ≥ t0 } olsun.
T : A → Λ aşağıdaki gibi tanımlansın.
∞
1

n −1
b − P(t )x(t − τ ) + (n − 1)! ∫t ( s − t ) ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) − Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds,
(Tx ) (t ) = 
(Tx ) (t ),
1

t ≥ t1
t0 ≤ t ≤ t1
Tx dönüşümünün sürekli olduğu aşikardır. ∀x ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere (4.8) ve (4.9)
kullanılırsa
(Tx ) (t )
= b − P(t )x(t − τ ) +
∞
1
( s − t ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) − Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds
∫
t
(n − 1)!
≤ b + px(t − τ ) +
1
(n − 1)!
≤ b + px(t − τ ) +
∞
1
( s − t ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) − Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds
∫
(n − 1)! t
≤ b + p x(t − τ ) +
≤ b + p M6 +
∞
∫
t
( s − t ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) − Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds
∞
1
( s − t ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) + Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds
∫
(n − 1)! t
M6 ∞
( s − t ) n −1 ( Q1 ( s ) + Q2 ( s ) ) ds
(n − 1)! ∫t
≤ M6 .
(4.9) dan dolayı
(Tx ) (t )
= b − P(t )x(t − τ ) +
∞
1
( s − t ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) − Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds
∫
(n − 1)! t
≥ b − px(t − τ ) −
1
(n − 1)!
≥ b − px(t − τ ) −
∞
1
( s − t ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) − Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds
∫
t
(n − 1)!
≥ b − px(t − τ ) −
∞
1
( s − t ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) + Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds
∫
t
(n − 1)!
≥ b − p M6 −
∫
∞
t
( s − t ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) − Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds
M6 ∞
( s − t ) n −1 ( Q1 ( s ) + Q2 ( s ) ) ds
∫
t
(n − 1)!
≥ M5 .
30
Böylece TA ⊂ A olduğu ispatlanır. A, Λ ' in sınırlı, kapalı ve konveks alt kümesidir.
Daralma prensibini kullanabilmek için T nin A üzerinde daralma dönüşümü olduğu
gösterilmelidir.
∀x1 , x 2 ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere
(Tx1 ) (t ) − (Tx 2 ) (t )
= P (t ) [ x1 (t − τ ) − x 2 (t − τ ) ] +
∞
1
( s − t ) n −1 ds
∫
t
(n − 1)!
× Q1 ( s ) ( x1 ( s − σ 1 ) − x 2 ( s − σ 1 ) ) − Q2 ( s ) ( x1 ( s − σ 2 ) − x 2 ( s − σ 2 ) )  ds
≤ P (t ) x1 (t − τ ) − x 2 (t − τ ) +
∞
1
( s − t ) n −1 ds
∫
t
(n − 1)!
× ( Q1 ( s ) x1 ( s − σ 1 ) − x 2 ( s − σ 1 ) + Q2 ( s ) x1 ( s − σ 2 ) − x 2 ( s − σ 2 ) ) ds
∞


1
≤ x1 − x 2  p +
( s − t ) n −1 ( Q1 ( s ) + Q2 ( s ) ) ds 
∫
t
(n − 1)!


≤ q3 x1 − x 2 .
Yani,
Tx1 − Tx 2 ≤ q3 x1 − x 2
dir. (4.8) ve (4.9) ten q3 < 1 olur. Bu da T nin bir daralma dönüşümü olduğunu gösterir.
Sonuç olarak x > 0 olmak üzere x, t ≥ t1 için T dönüşümünün sabit noktasıdır. Bu da
ispatı tamamlar.
Teorem 4.4 Kabul edelim ki −∞ < p0 ≤ P(t ) ≤ p < −2 ve (4.3) sağlansın. Bu taktirde (4.1)
denkleminin salınım yapmayan sınırlı çözümü vardır (Candan, 2013).
Đspat
t1 + τ ≥ t0 + max{σ 1 ,σ 2 } olmak üzere t1 > t0 yeterince büyük seçilebilir öyle ki
b sabit vektör, M 7 ve M 8 pozitif sabitler öyle ki
p0 M 7 + M 8 < b < 2 b ≤ p M 8 + p0 M 7 olduğunda
∞
b − M 8 − p0 M 7
1
n −1
(
)
(
)
(
)
, t ≥ t1
s
−
t
−
τ
Q
s
+
Q
s
ds
≤
(
)
1
2
(n − 1)! ∫t +τ
M8
(4.10)
(4.11)
sağlanır.
Λ, [t0 , ∞) aralığında tanımlı tüm sınırlı ve sürekli vektör fonksiyonlarının kümesi
olsun.
A = {x ∈ Λ : M 7 ≤ x(t ) ≤ M 8 , t ≥ t0 } olsun.
31
T : A → Λ aşağıdaki gibi tanımlansın.
∞
 1 
1
( s − t − τ ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 )
b − x(t + τ ) +

∫
+
t
τ
(n − 1)!
 P(t + τ ) 

(Tx ) (t ) =  − Q2 ( s)x( s − σ 2 ) ) ds} , t ≥ t1

t0 ≤ t ≤ t1.
(Tx ) (t1 ),


Tx dönüşümünün sürekli olduğu aşikardır. ∀x ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere (4.10) ve
(4.11) kullanılırsa
(Tx ) (t )
∞
1 
1
( s − t − τ ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) − Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds
 b − x(t + τ ) +
∫
τ
t
+
p
(n − 1)!
∞
1 
1
( s − t − τ ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) − Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds
≤  b + x(t + τ ) +
∫
+
τ
t
p
(n − 1)!







( s − t − τ ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) − Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds 

≤
∞
1 
1
 b + x(t + τ ) +
(n − 1)! ∫t +τ
p
∞

1 
1
≤  b + x(t + τ ) +
( s − t − τ ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) + Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds 
∫
+
τ
t
p
(n − 1)!

∞

1 
M8
≤  b + M8 +
( s − t − τ ) n −1 ( Q1 ( s ) + Q2 ( s ) ) ds 
∫
t
τ
+
(n − 1)!
p

≤
≤ M8 .
(4.11) den dolayı
(Tx ) (t )
∞

1 
1
( s − t − τ ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) − Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds 
 b − x(t + τ ) +
∫
p0 
(n − 1)! t +τ

∞

1 
1
( s − t − τ ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) − Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds 
≥
 b − x(t + τ ) −
∫
p0 
(n − 1)! t +τ

≥
∞

1 
1
( s − t − τ ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) − Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds 
 b − x(t + τ ) −
∫
p0 
(n − 1)! t +τ

∞

1 
1
≥
( s − t − τ ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) + Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds 
 b − x(t + τ ) −
∫
t
τ
+
p0 
(n − 1)!

≥
≥

1 
M8 ∞
( s − t − τ ) n −1 ( Q1 ( s ) + Q2 ( s ) ) ds 
 b − M8 −
∫
+
τ
t
(n − 1)!
p0 

≥ M7 .
Böylece TA ⊂ A olduğu ispatlanır. A, Λ ' in sınırlı, kapalı ve konveks alt kümesidir.
Daralma prensibini kullanabilmek için T nin A üzerinde daralma dönüşümü olduğu
gösterilmelidir.
32
∀x1 , x 2 ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere
(Tx1 ) (t ) − (Tx 2 ) (t )
∞
1
1
( s − t − τ ) n −1 ds
[ x1 (t + τ ) − x2 (t + τ )] +
∫
τ
+
t
p
(n − 1)!
≤
× Q1 ( s ) ( x1 ( s − σ 1 ) − x 2 ( s − σ 1 ) ) − Q2 ( s ) ( x1 ( s − σ 2 ) − x 2 ( s − σ 2 ) )  ds
∞
1 
1
( s − t − τ ) n −1 ds
 x1 (t + τ ) − x 2 (t + τ ) +
∫
t
τ
+
(n − 1)!
p
≤
× ( Q1 ( s ) x1 ( s − σ 1 ) − x 2 ( s − σ 1 ) + Q2 ( s ) x1 ( s − σ 2 ) − x 2 ( s − σ 2 ) ) ds
≤
∞
x1 − x 2 

1
( s − t − τ ) n −1 ( Q1 ( s ) + Q2 ( s ) ) ds 
1 +
∫
+
τ
t
p  (n − 1)!

≤ q4 x1 − x 2 .
Yani,
Tx1 − Tx 2 ≤ q4 x1 − x 2
dir. (4.10) ve (4.11) den q4 < 1 olur. Bu da T nin bir daralma dönüşümü olduğunu
gösterir. Sonuç olarak x > 0 olmak üzere x, t ≥ t1 için T dönüşümünün sabit noktasıdır.
Bu da ispatı tamamlar.
Teorem 4.5 Kabul edelim ki 0 < B < 12 ve (4.3) sağlansın. Bu taktirde (4.2)
denkleminin salınım yapmayan sınırlı çözümü vardır (Candan, 2012).
Đspat
t1 ≥ t0 + max{τ , σ 1 , σ 2 } olmak üzere t1 > t0 yeterince büyük seçilebilir öyle ki
b sabit vektör, M 1 ve M 2 pozitif sabitler öyle ki
B N 2 + N1 < b < 2 b ≤ N 2 + N1
(4.12)
olduğunda
∞
b − B N 2 − N1
1
n −1
(
)
(
)
(
)
, t ≥ t1
s
−
t
Q
s
+
Q
s
ds
≤
(
)
1
2
(n − 1)! ∫t
N2
(4.13)
sağlanır.
Λ, [t0 , ∞) aralığında tanımlı tüm sınırlı ve sürekli vektör fonksiyonlarının kümesi
olsun.
A = {x ∈ Λ : N1 ≤ x(t ) ≤ N 2 , t ≥ t0 } olsun.
T : A → Λ aşağıdaki gibi tanımlansın.
33
)
∞
1

n −1
b − Bx(t − τ ) + (n − 1)! ∫t ( s − t ) ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) − Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds,
T
t
(
)
=
x
( )


(Tx ) (t1 ),
t ≥ t1
t0 ≤ t ≤ t1
Tx dönüşümünün sürekli olduğu aşikardır. ∀x ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere (4.12) ve
(4.13) kullanılırsa
(Tx ) (t )
= b − Bx(t − τ ) +
∞
1
( s − t ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) − Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds
∫
t
(n − 1)!
≤ b + Bx(t − τ ) +
1
(n − 1)!
≤ b + Bx(t − τ ) +
∞
1
( s − t ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) − Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds
∫
(n − 1)! t
≤ b + B x(t − τ ) +
≤ b + B N2 +
∞
∫
t
( s − t ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) − Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds
∞
1
( s − t ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) + Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds
∫
(n − 1)! t
∞
N2
( s − t ) n −1 ( Q1 ( s ) + Q2 ( s ) ) ds
∫
(n − 1)! t
≤ N2 .
(4.13) ten dolayı
(Tx ) (t )
= b − Bx(t − τ ) +
∞
1
( s − t ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) − Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds
∫
t
(n − 1)!
≥ b − Bx(t − τ ) −
1
(n − 1)!
≥ b − Bx(t − τ ) −
∞
1
( s − t ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) − Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds
∫
(n − 1)! t
≥ b − B x(t − τ ) −
≥ b − B N2 −
∫
∞
t
( s − t ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) − Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds
∞
1
( s − t ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) + Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds
∫
(n − 1)! t
∞
N2
( s − t ) n −1 ( Q1 ( s ) + Q2 ( s ) ) ds
∫
(n − 1)! t
≥ N1 .
Böylece TA ⊂ A olduğu ispatlanır. A, Λ ' in sınırlı, kapalı ve konveks alt kümesidir.
Daralma prensibini kullanabilmek için T nin A üzerinde daralma dönüşümü olduğu
gösterilmelidir.
∀x1 , x 2 ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere
34
(Tx1 ) (t ) − (Tx 2 ) (t )
= B [ x1 (t − τ ) − x 2 (t − τ ) ] +
∞
1
( s − t ) n −1 ds
∫
t
(n − 1)!
× Q1 ( s ) ( x1 ( s − σ 1 ) − x 2 ( s − σ 1 ) ) − Q2 ( s ) ( x1 ( s − σ 2 ) − x 2 ( s − σ 2 ) )  ds
∞

1
( s − t ) n −1 ds
≤  B x1 (t − τ ) − x 2 (t − τ ) +
∫
t
(n − 1)!

× ( Q1 ( s ) x1 ( s − σ 1 ) − x 2 ( s − σ 1 ) + Q2 ( s ) x1 ( s − σ 2 ) − x 2 ( s − σ 2 ) ) ds
)
∞


1
≤ x1 − x 2  Β +
( s − t ) n −1 ( Q1 ( s ) + Q2 ( s ) ) ds 
∫
(n − 1)! t


≤ q5 x1 − x 2 .
Yani,
Tx1 − Tx 2 ≤ q5 x1 − x 2
dir. (4.12) ve (4.13) ten q5 < 1 olur. Bu da T nin bir daralma dönüşümü olduğunu
gösterir. Sonuç olarak
x > 0 olmak üzere x, t ≥ t1 için T dönüşümünün sabit
noktasıdır. Bu da ispatı tamamlar.
Teorem 4.6 Kabul edelim ki 0 < B −1 < 12 ve (4.3) sağlansın. Bu taktirde (4.2)
denkleminin salınım yapmayan çözümü vardır (Candan, 2013).
Đspat
t1 + τ ≥ t0 + max{σ 1 ,σ 2 } olmak üzere t1 > t0 yeterince büyük seçilebilir öyle ki
b sabit vektör, N 3 ve N 4 pozitif sabitler öyle ki
B −1 N 4 + N 3 < B −1b < 2 B −1b ≤ N 4 + N 3
(4.14)
olduğunda
B −1b − N 3 − N 4 B −1
∞
1
n −1
( s − t − τ ) ( Q1 ( s ) + Q2 ( s ) )ds ≤
, t ≥ t1
(n − 1)! ∫t +τ
N 4 B −1
(4.15)
sağlanır.
Λ, [t0 , ∞) aralığında tanımlı tüm sınırlı ve sürekli vektör fonksiyonlarının kümesi
olsun.
A = {x ∈ Λ : N 3 ≤ x(t ) ≤ N 4 , t ≥ t0 } olsun.
T : A → Λ aşağıdaki gibi tanımlansın.
35
∞
 −1 
1
( s − t − τ ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 )
B b − x(t + τ ) +
∫
τ
t
+
(n − 1)!



(Tx ) (t ) =  − Q2 ( s)x( s − σ 2 ) ) ds} , t ≥ t1

t0 ≤ t ≤ t1.
(Tx ) (t1 ),


Tx dönüşümünün sürekli olduğu aşikardır. ∀x ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere (4.14) ve
(4.15) kullanılırsa
(Tx ) (t )
∞


1
( s − t − τ ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) − Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds 
= B −1  b − x(t + τ ) +
∫
+
t
τ
(n − 1)!


B −1 ∞
( s − t − τ ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) − Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds
(n − 1)! ∫t +τ
≤ B −1b + B −1 x(t + τ ) +
−1
≤ B b + B
−1
N4 +
B −1
(n − 1)! ∫
∞
t +τ
( s − t − τ ) n −1 ( Q1 ( s ) N 4 + Q2 ( s ) N 4 ) ds
∞


N4
≤ B −1b + B −1  N 4 +
( s − t − τ ) n −1 ( Q1 ( s ) + Q2 ( s ) ) ds 
∫
(n − 1)! t +τ


≤ N4 .
(4.15) ten dolayı
(Tx ) (t )
∞


1
= B −1  b − x(t + τ ) +
( s − t − τ ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) − Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds 
∫
(n − 1)! t +τ


≥ B −1b − B −1 x(t + τ ) −
−1
≥ B b − B
−1
N4 −
B −1
B −1 ∞
( s − t − τ ) n −1 ( Q1 ( s )x( s − σ 1 ) − Q2 ( s )x( s − σ 2 ) ) ds
(n − 1)! ∫t +τ
(n − 1)! ∫
∞
t +τ
( s − t − τ ) n −1 ( Q1 ( s ) N 4 + Q2 ( s ) N 4 ) ds
∞


N4
≥ B −1b − B −1  N 4 +
( s − t − τ ) n −1 ( Q1 ( s ) + Q2 ( s ) ) ds 
∫
(n − 1)! t +τ


≥ N3 .
Böylece TA ⊂ A olduğu ispatlanır. A, Λ ' in sınırlı, kapalı ve konveks alt kümesidir.
Daralma prensibini kullanabilmek için T nin A üzerinde daralma dönüşümü olduğu
gösterilmelidir.
∀x1 , x 2 ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere
(Tx1 ) (t ) − (Tx 2 ) (t )
∞

1
= B −1  [ x1 (t + τ ) − x 2 (t + τ ) ] +
( s − t − τ ) n −1 ds
∫
τ
+
t
(n − 1)!

× Q1 ( s ) ( x1 ( s − σ 1 ) − x 2 ( s − σ 1 ) ) − Q2 ( s ) ( x1 ( s − σ 2 ) − x 2 ( s − σ 2 ) )  ds
36
)
∞

1
( s − t − τ ) n −1 ds
≤  B −1 x1 (t + τ ) − x 2 (t + τ ) +
∫
+
t
τ
(n − 1)!

× ( Q1 ( s ) x1 ( s − σ 1 ) − x 2 ( s − σ 1 ) + Q2 ( s ) x1 ( s − σ 2 ) − x 2 ( s − σ 2 ) ) ds
)
∞


1
≤ B −1 x1 − x 2 1 +
( s − t − τ ) n −1 ( Q1 ( s ) + Q2 ( s ) ) ds 
∫
t
+
τ
 (n − 1)!

≤ q6 x1 − x 2 .
Yani,
Tx1 − Tx 2 ≤ q6 x1 − x 2
dir. (4.14) ve (4.15) ten q6 < 1 olur. Bu da T nin bir daralma dönüşümü olduğunu
gösterir. Sonuç olarak
x > 0 olmak üzere x, t ≥ t1 için T dönüşümünün sabit
noktasıdır. Bu da ispatı tamamlar.
Örnek 4.1 n=5, P(t ) =
Q1 (t ) =
e −τ
2
 4 −1
1
1
1
, Q2 (t ) =
σ1
σ2  3
σ1
σ2  7
t
3 
2(2ae + e + e )  2 2 
2(2ae + e + e )  2
t
2


−1
2
olmak üzere
( x(t ) + P(t )x(t − τ ) )
(5)
+ Q1 (t )x(t − σ 1 ) − Q2 (t )x(t − σ 2 ) = 0
denklemin sisteminin (4.3) şartını sağladığı aşikardır ve salınım yapmayan
 α + e−t 
x (t ) = 
, a∈R
−t 
α
+
e


çözümü vardır.
Örnek 4.2 n=3
− e
B =  −τ2
e
−τ
e −τ
−τ
− e2

 4 −1
 52 12 
1
1
,
Q
t
=
(
)
 1

 , Q2 (t ) =
σ1
σ2 
σ1
σ2  7
t
t
2(2ae + e + e )  2 1 
2(2ae + e + e )  2 −21 

olmak üzere
( x(t ) + Bx(t − τ ) )
(3)
+ Q1 (t )x(t − σ 1 ) − Q2 (t )x(t − σ 2 ) = 0
denklemin sisteminin (4.3) şartını sağladığı aşikardır ve salınım yapmayan
 α + e−t 
, a∈R
x (t ) = 
−t 
α + e 
çözümü vardır.
37
BÖLÜM V
SÜREKLĐ GECĐKMELĐ YÜKSEK MERTEBEDEN NÖTRAL DĐFERANSĐYEL
DENKLEM SĐSTEMLERĐ ĐÇĐN SALINIM YAPMAYAN ÇÖZÜMLERĐN
VARLIĞI
Bu bölümde, dördüncü bölümde verilen Candan (2013) tarafından çalışılan (4.1) ve
(4.2) denklem sistemlerinden daha genel olan denklem çalışılmıştır.
n ≥ 1 bir pozitif tamsayı P ∈ C ([t0 , ∞), R ) , x ∈ R n , τ ∈ (0, ∞) , Qi ; [t0 , ∞) × [ai , bi ] ,
i = 1, 2. , Qi ; [t0 , ∞) × [ai , bi ] , i = 1, 2. , Qi ; [t0 , ∞) × [ai , bi ] , i = 1, 2. , aralığında sürekli
matris, 0 ≤ ai < bi , i = 1, 2. , olmak üzere sürekli gecikmeli yüksek mertebeden nötral
diferansiyel denklem sistemi
b1
b2
dn
x(t ) + P (t )x(t − τ ) ) + (−1) n −1  ∫ Q1 (t , ξ )x(t − ξ )d ξ − ∫ Q2 (t , ξ )x(t − ξ )d ξ  = 0
n (


a
a
2
 1
dt
(5.1)
ve n ≥ 1 bir pozitif tamsayı, B n × n nonsinguler sabit matris, x ∈ R n , τ ∈ (0, ∞) , Qi ;
[t0 , ∞) × [ai , bi ] , i = 1, 2. , aralığında sürekli matris, 0 ≤ ai < bi , i = 1, 2. , olmak üzere
sürekli gecikmeli yüksek mertebeden nötral diferansiyel denklem sistemi
b1
b2
dn
x(t ) + Bx(t − τ ) ) + (−1) n −1  ∫ Q1 (t , ξ )x(t − ξ )d ξ − ∫ Q2 (t , ξ )x(t − ξ )d ξ  = 0
n (
a2
 a1

dt
(5.2)
ve n ≥ 1 bir pozitif tamsayı pɶ ∈ C ([t0 , ∞), R ) , x ∈ R n , Qi ; [t0 , ∞) × [ai , bi ] , i = 1, 2. ,
aralığında sürekli matris, 0 ≤ ai < bi , i = 1, 2,3. , olmak üzere sürekli gecikmeli yüksek
mertebeden nötral diferansiyel denklem sistemi
b3
b1
b2
dn
x(t ) + ∫ pɶ (t , ξ )x(t − ξ ) d ξ + (−1) n −1  ∫ Q1 (t , ξ )x(t − ξ )d ξ − ∫ Q2 (t , ξ )x(t − ξ )d ξ  = 0 (5.3)
n
a3
a2
 a1

dt
)
(
ve n ≥ 1 bir pozitif tamsayı, B
n × n nonsinguler sabit matris, x ∈ R n , Qi ;
[t0 , ∞) × [ai , bi ] , i = 1, 2. , aralığında sürekli matris, 0 ≤ ai < bi , i = 1, 2,3. , olmak üzere
sürekli gecikmeli yüksek mertebeden nötral diferansiyel denklem sistemi
b3
b1
b2
dn
x(t ) + B ∫ x(t − ξ )d ξ + (−1) n −1  ∫ Q1 (t , ξ )x(t − ξ )d ξ − ∫ Q2 (t , ξ )x(t − ξ )d ξ  = 0 (5.4)
n


a
a
a
3
2
 1
dt
(
)
ele alınmış ve dördüncü bölümde incelenen durumlar sırasıyla (4.1) ve (4.2)
denklemleri için genelleştirilmiştir.
38
m = max {b1 , b2 }
olsun.
x ∈ C ([t1 − m, ∞), R n ) ,
(5.1)
ve
çözümü
(5.2)
denklemlerinin
denilince
[t1, ∞ )
olmak
t1 ≥ t0
aralığında
üzere
x + P(t )x(t − τ ) ,
x + Bx(t − τ ) n defa sürekli diferansiyellenebilir ve t ≥ t1 için sırasıyla (5.1) ve (5.2)
denklemleri sağlanması anlaşılmaktadır.
Benzer şekilde m = max {b1 , b2 , b3 } olsun. (5.3) ve (5.4) denklemlerinin t1 ≥ t0 olmak
x ∈ C ([t1 − m, ∞), R n ) ,
üzere
çözümü
b1
b1
a1
a1
denilince
[t1, ∞ )
aralığında
x + ∫ pɶ (t , ξ )x(t − ξ )d ξ ve x + B ∫ x(t − ξ )d ξ n defa sürekli diferansiyellenebilir ve
t ≥ t1 için sırasıyla (5.3) ve (5.4) denklemleri sağlanması anlaşılmaktadır.
Teorem 5.1 Kabul edelim ki 0 ≤ P(t ) ≤ p <
1
2
, ℝ n de herhangi bir norm olmak
ve
üzere
∫
∞
bi
s n −1 ∫ Qi ( s, ξ ) d ξ ds < ∞ , i = 1, 2.
(5.5)
ai
olsun. Bu durumda (5.1) denkleminin salınım yapmayan sınırlı çözümü vardır.
Đspat
t1 ≥ t0 + max {τ , b1 , b2 } yeteri kadar büyük seçilebilir öyle ki
α sabit vektör, M 1 ve M 2 pozitif sabitler olmak üzere
(5.6)
pM 2 + M 1 < α < 2 α ≤ M 2 + M 1
olduğunda
∞
1
( s − t ) n −1
∫
t
1
(n − 1)!
(∫
b1
a1
Q1 ( s, ξ ) d ξ + ∫
b2
a2
)
Q2 ( s, ξ ) d ξ ds ≤
α − pM 2 − M 1
M2
(5.7)
sağlanır.
X , [t0 , ∞) aralığında tanımlı tüm sınırlı ve sürekli vektör fonksiyonlarının kümesi
olsun.
A = {x ∈ X : M 1 ≤ x(t ) ≤ M 2 , t ≥ t0 } olsun.
T : A → X dönüşümü aşağıdaki gibi tanımlansın.
39
∞
1

n −1
α − P (t )x(t − τ ) + (n − 1)! ∫t ( s − t )

b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds,
(Tx ) (t ) = 
 a1

a2

(Tx ) (t1 ),


t ≥ t1
t0 ≤ t ≤ t1.
Tx dönüşümünün sürekli olduğu aşikardır. ∀x ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere (5.6) ve (5.7)
kullanılırsa
(Tx ) (t )
= α − P(t )x(t − τ ) +
∞
1
( s − t ) n −1
∫
(n − 1)! t
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
 a1

a2
∞
1
( s − t ) n −1
≤ α + px(t − τ ) +
∫
(n − 1)! t
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
 a1

a2
∞
1
( s − t ) n −1
≤ α + p x(t − τ ) +
∫
t
(n − 1)!
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
a2
 a1

∞
1
( s − t ) n −1
≤ α + p x(t − τ ) +
∫
(n − 1)! t
×

∫
b1
a1
Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ +
≤ α + pM 2 +
∫
b2
a2
Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds

∞
1
( s − t ) n −1
∫
t
(n − 1)!
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ ) x( s − ξ ) d ξ + ∫ Q2 ( s, ξ ) x( s − ξ ) d ξ  ds
 a1

a2
b1
b2
M2 ∞
≤ α + pM 2 +
( s − t ) n −1  ∫ Q1 ( s, ξ ) d ξ + ∫ Q2 ( s, ξ ) d ξ  ds
∫

a2
 a1
(n − 1)! t
≤ M2 .
(5.6) dan dolayı
(Tx ) (t )
= α − P (t )x(t − τ ) +
∞
1
( s − t ) n −1
∫
t
(n − 1)!
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
a2
 a1

≥ α − px(t − τ ) −
1
(n − 1)!
∫
∞
t
( s − t ) n −1
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
 a1

a2
40
≥ α − p x(t − τ ) −
×

∫
b1
a1
∞
1
( s − t ) n −1
∫
t
(n − 1)!
Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ +
≥ α − pM 2 −
∫
b2
a2
Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds

∞
1
( s − t ) n −1
∫
t
(n − 1)!
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ ) x( s − ξ ) d ξ + ∫ Q2 ( s, ξ ) x( s − ξ ) d ξ  ds
 a1

a2
b1
b2
M2 ∞
≥ α − pM 2 −
( s − t ) n −1  ∫ Q1 ( s, ξ ) d ξ + ∫ Q2 ( s, ξ ) d ξ  ds
∫

a2
 a1
(n − 1)! t
≥ M1 .
Böylece TA ⊂ A olduğu ispatlanır. A, X’ in sınırlı, kapalı ve konveks alt kümesidir.
Daralma prensibini kullanabilmek için T nin A üzerinde daralma dönüşümü olduğu
gösterilmelidir.
∀x1 , x 2 ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere (5.7) den
(Tx1 ) (t ) − (Tx 2 ) (t )
= P(t )[x1 (t − τ ) − x 2 (t − τ )] +
∞
1
( s − t ) n −1
∫
t
(n − 1)!
b1
×  ∫ Q1 ( s, ξ )[x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ )]d ξ
 a1
− ∫ Q2 ( s, ξ )[x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ )]d ξ  ds

a2
b2
≤ p x1 (t − τ ) − x 2 (t − τ ) +
∞
1
( s − t ) n −1
∫
(n − 1)! t
×  ∫ Q1 ( s, ξ ) x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ ) d ξ
 a1
b2
+ ∫ Q2 ( s, ξ ) x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ ) d ξ  ds

a2
b1
∞

1
≤ x1 − x 2  p +
( s − t ) n −1
∫
t
−
n
(
1)!


α − pM 2 − M 1 
≤ x1 − x2  p +
.
M2


(∫
b1
a1
Q1 ( s, ξ ) d ξ + ∫
b2
a2

Q2 ( s, ξ ) d ξ 

)
Yani,
Tx1 − Tx 2 ≤ r1 x1 − x 2
dir. (5.6) ve (5.7) den r1 < 1 dir. Bu da T nin bir daralma dönüşümü olduğunu gösterir.
Sonuç olarak x > 0 olmak üzere x, t ≥ t1 için T dönüşümünün sabit noktasıdır. Bu da
ispatı tamamlar.
41
Teorem 5.2 Kabul edelim ki 2 < p ≤ P(t ) ≤ p0 < ∞ ve (5.5) sağlansın. Bu durumda
(5.1) denkleminin salınım yapmayan sınırlı çözümü vardır.
Đspat
t1 + τ ≥ t0 + max {b1 , b2 } yeteri kadar büyük şeçilebilir öyle ki
α sabit vektör, M 3 ve M 4 pozitif sabitler olmak üzere
(5.8)
p0 M 3 + M 4 < α < 2 α ≤ pM 4 + p0 M 3
olduğunda
∞
1
( s − t − τ ) n −1
∫
τ
+
t
(n − 1)! 1
(∫
b1
a1
Q1 ( s, ξ ) d ξ + ∫
b2
a2
)
Q2 ( s, ξ ) d ξ ds ≤
α − M 4 − p0 M 3
(5.9)
M4
sağlanır.
X , [t0 , ∞) aralığında tanımlı tüm sınırlı ve sürekli vektör fonksiyonlarının kümesi
olsun.
A = {x ∈ X : M 3 ≤ x(t ) ≤ M 4 , t ≥ t0 } olsun.
T : A → X dönüşümü aşağıdaki gibi tanımlansın.
∞
 1 
1
( s − t − τ ) n −1
α − x(t + τ ) +

∫
t +τ
(
)
(
1)!
+
−
τ
P
t
n



b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds , t ≥ t1
(Tx ) (t ) = 
 a1

a2

(Tx ) (t1 ),
t0 ≤ t ≤ t1.


Tx dönüşümünün sürekli olduğu aşikardır. ∀x ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere (5.8) ve (5.9)
}
kullanılırsa
(Tx ) (t )
=
∞
1 
1
( s − t − τ ) n −1
α − x(t + τ ) +
∫
τ
t
+
P(t + τ ) 
(n − 1)!
}
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
 a1

a2
≤
1
1
 α + x(t + τ ) +
(n − 1)!
p
∫
∞
t +τ
( s − t − τ ) n −1
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
a2
 a1

42
}
≤
∞
1
1
( s − t − τ ) n −1
 α + x(t + τ ) +
∫
t
τ
+
(n − 1)!
p
}
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
 a1

a2
≤
∞
1
1
( s − t − τ ) n −1
 α + x(t + τ ) +
∫
+
τ
t
(n − 1)!
p
×

≤
b1
∫
a1
Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ +
b2
∫
a2
}
Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds

∞
1
1
( s − t − τ ) n −1
 α + x(t + τ ) +
∫
p
(n − 1)! t +τ
}
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ ) x( s − ξ ) d ξ + ∫ Q2 ( s, ξ ) x( s − ξ ) d ξ  ds
 a1

a2
≤
b1
b2

M4 ∞
1
( s − t − τ ) n −1  ∫ Q1 ( s, ξ ) d ξ + ∫ Q2 ( s, ξ ) d ξ  ds 
 α + M4 +
∫
 
a2
 a1
p
(n − 1)! t +τ
≤ M4 .
(5.9) dan dolayı
(Tx ) (t )
=
∞

1
1
( s − t − τ ) n −1
α − x(t + τ ) +
∫
τ
t
+
(n − 1)!
P(t + τ ) 
}
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
 a1

a2
≥
1 
1
 α − x(t + τ ) −
P(t + τ ) 
(n − 1)!
∫
∞
t +τ
( s − t − τ ) n −1
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
a2
 a1

≥
}
∞
1 
1
( s − t − τ ) n −1
 α − x(t + τ ) −
∫
(n − 1)! t +τ
P(t + τ ) 
}
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
a2
 a1

≥
∞
1 
1
( s − t − τ ) n −1
 α − x(t + τ ) −
∫
+
t
τ
(n − 1)!
P(t + τ ) 
×

∫
b1
a1
Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ +
∫
b2
a2
}
Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds

43
≥
∞
1 
1
( s − t − τ ) n −1
 α − x(t + τ ) −
∫
τ
t
+
(n − 1)!
P(t + τ ) 
}
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ ) x( s − ξ ) d ξ + ∫ Q2 ( s, ξ ) x( s − ξ ) d ξ  ds
 a1

a2
≥
b
b2

M4 ∞
1 
n −1  1
(
)
(
,
)
s
t
τ
Q
s
ξ
d
ξ
Q2 ( s, ξ ) d ξ  ds 
−
−
+
 α − M4 −
1
∫
∫
∫


τ
t
+
a
a
2
 1
 
(n − 1)!
p0 
≥ M3 .
Böylece TA ⊂ A olduğu ispatlanır. A, X’ in sınırlı, kapalı ve konveks alt kümesidir.
Daralma prensibini kullanabilmek için T nin A üzerinde daralma dönüşümü olduğu
gösterilmelidir.
∀x1 , x 2 ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere (5.9) dan
(Tx1 ) (t ) − (Tx 2 ) (t )
∞
1
1
1
[x1 (t + τ ) − x 2 (t + τ )] +
( s − t − τ ) n −1
∫
t
P(t + τ )
P (t + τ ) (n − 1)! +τ
=
×  ∫ Q1 ( s, ξ )[x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ )]d ξ
 a1
b1
− ∫ Q2 ( s, ξ )[x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ )]d ξ  ds

a2
b2
∞
1
1 1
x1 (t + τ ) − x 2 (t + τ ) +
( s − t − τ ) n −1
∫
p
p (n − 1)! t +τ
≤
×  ∫ Q1 ( s, ξ ) x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ ) d ξ
 a1
b2
+ ∫ Q2 ( s, µ ) x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ ) d ξ  ds

a2
b1
≤
∞
x1 − x 2 
1
( s − t − τ ) n −1
1 +
∫
t +τ
(
1)!
−
p
n

×
≤
(∫
b1
a1
Q1 ( s, ξ ) d ξ + ∫
b2
a2
) )
Q2 ( s, ξ ) d ξ ds
x1 − x 2 
α − M 4 − p0 M 3 
1 +
.
p
M4


Yani,
Tx1 − Tx 2 ≤ r2 x1 − x 2
dir. (5.8) ve (5.9) dan r2 < 1 dir. Bu da T nin bir daralma dönüşümü olduğunu gösterir.
Sonuç olarak x > 0 olmak üzere x, t ≥ t1 için T dönüşümünün sabit noktasıdır. Bu da
ispatı tamamlar.
44
Teorem 5.3 Kabul edelim ki
−1
2
< p ≤ P(t ) < 0 ve (5.5) sağlansın. Bu durumda (5.1)
denkleminin salınım yapmayan sınırlı çözümü vardır.
Đspat
t1 ≥ t0 + max {τ , b1 , b2 } yeteri kadar büyük seçilebilir öyle ki
α sabit vektör, M 5 ve M 6 pozitif sabitler olmak üzere
(5.10)
− pM 6 + M 5 < α < 2 α ≤ M 6 + M 5
olduğunda
∞
1
( s − t ) n −1
∫
(n − 1)! t1
(∫
b1
a1
Q1 ( s, ξ ) d ξ + ∫
b2
a2
)
Q2 ( s, ξ ) d ξ ds ≤
α + pM 6 − M 5
M6
(5.11)
olsun.
X , [t0 , ∞) aralığında tanımlı tüm sınırlı ve sürekli vektör fonksiyonlarının kümesi
olsun.
A = {x ∈ X : M 5 ≤ x(t ) ≤ M 6 , t ≥ t0 } olsun.
T : A → X dönüşümü aşağıdaki gibi tanımlansın.
∞
1

n −1
α − P(t )x(t − τ ) + (n − 1)! ∫t ( s − t )

b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds, t ≥ t1
(Tx ) (t ) = 
a2
 a1


(Tx ) (t1 ),
t0 ≤ t ≤ t1.


Tx dönüşümünün sürekli olduğu aşikardır. ∀x ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere (5.10) ve
(5.11) kullanılırsa
(Tx ) (t )
= α − P(t )x(t − τ ) +
∞
1
( s − t ) n −1
∫
t
(n − 1)!
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
a2
 a1

≤ α + px(t − τ ) +
1
(n − 1)!
∫
∞
t
( s − t ) n −1
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
a2
 a1

∞
1
≤ α − p x(t − τ ) +
( s − t ) n −1
∫
t
(n − 1)!
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
 a1

a2
45
≤ α − p x(t − τ ) +
×

∫
b1
a1
∞
1
( s − t ) n −1
∫
(n − 1)! t
Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ +
≤ α − pM 6 +
∫
b2
a2
Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds

∞
1
( s − t ) n −1
∫
t
(n − 1)!
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ ) x( s − ξ ) d ξ + ∫ Q2 ( s, ξ ) x( s − ξ ) d ξ  ds
 a1

a2
b
b2
M6 ∞
n −1  1
(
)
(
,
)
≤ α − pM 6 +
s
−
t
Q
s
ξ
d
ξ
+
Q2 ( s, ξ ) d ξ  ds
1
∫
∫
∫


t
a
a
2
 1
(n − 1)!
≤ M6 .
(5.10) dan dolayı
(Tx ) (t )
= α − P(t )x(t − τ ) +
∞
1
( s − t ) n −1 ds
∫
t
(n − 1)!
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
 a1

a2
≥ α − px(t − τ ) −
1
(n − 1)!
∫
∞
t
( s − t ) n −1
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
a2
 a1

≥ α + p x(t − τ ) −
∞
1
( s − t ) n −1
∫
(n − 1)! t
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
a2
 a1

∞
1
≥ α + p x(t − τ ) −
( s − t ) n −1
∫
t
(n − 1)!
×

∫
b1
a1
Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ +
≥ α + pM 6 −
∫
b2
a2
Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds

∞
1
( s − t ) n −1
∫
t
(n − 1)!
b
d
×  ∫ Q1 ( s, ξ ) x( s − ξ ) d ξ + ∫ Q2 ( s, ξ ) x( s − ξ ) d ξ  ds
c
 a

b
b
∞
M6
1
2
( s − t ) n −1  ∫ Q1 ( s, ξ ) d ξ + ∫ Q2 ( s, ξ ) d ξ  ds
≥ α + pM 6 −
∫


t
a
a
2
 1
(n − 1)!
≥ M5 .
Böylece TA ⊂ A olduğu ispatlanır. A, X’ in sınırlı, kapalı ve konveks alt kümesidir.
Daralma prensibini kullanabilmek için T nin A üzerinde daralma dönüşümü olduğu
gösterilmelidir.
∀x1 , x 2 ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere (5.11) den
46
(Tx1 ) (t ) − (Tx 2 ) (t )
= P(t )[x1 (t − τ ) − x 2 (t − τ )] +
∞
1
( s − t ) n −1
∫
t
(n − 1)!
×  ∫ Q1 ( s, ξ )[x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ )]d ξ
 a1
b1
− ∫ Q2 ( s, ξ )[x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ )]d ξ  ds

a2
∞
1
≤ − p x1 (t − τ ) − x 2 (t − τ ) +
( s − t ) n −1
∫
(n − 1)! t
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ ) x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ ) d ξ
 a1
b1
Q2 ( s, ξ ) x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ ) d ξ  ds

∞
b1
b2


1
( s − t ) n −1 ∫ Q1 ( s, ξ ) d ξ + ∫ Q2 ( s, ξ ) d ξ 
≤ x1 − x 2  − p +
∫
a1
a2
(n − 1)! t



α + pM 6 − M 5 
≤ x1 − x 2  − p +
.
M
6


+∫
b2
a2
)
(
Yani,
Tx1 − Tx 2 ≤ r3 x1 − x 2
dir. (5.10) ve (5.11) den
r3 < 1 dir. Bu da T nin bir daralma dönüşümü olduğunu
x > 0 olmak üzere x, t ≥ t1 için T dönüşümünün sabit
gösterir. Sonuç olarak
noktasıdır. Bu da ispatı tamamlar.
Teorem 5.4 Kabul edelim ki −∞ < p0 ≤ P(t ) ≤ p < −2 ve (5.5) sağlansın. Bu durumda
(5.1) denkleminin salınım yapmayan sınırlı çözümü vardır.
Đspat
t1 + τ ≥ t0 + max {b1 , b2 } yeteri kadar büyük seçilebilir öyle ki
α sabit vektör, M 7 ve M 8 pozitif sabitler olmak üzere
(5.12)
− p0 M 7 + M 8 < α < 2 α ≤ − pM 8 − p0 M 7
olduğunda
∞
1
( s − t − τ ) n −1
∫
τ
t
+
1
(n − 1)!
(∫
b1
a1
Q1 ( s, ξ ) d ξ + ∫
b2
a2
)
Q2 ( s, ξ ) d ξ ds ≤
α − M 8 + p0 M 7
M8
(5.13)
sağlanır.
X , [t0 , ∞) aralığında tanımlı tüm sınırlı ve sürekli vektör fonksiyonlarının kümesi
olsun.
47
A = {x ∈ X : M 7 ≤ x(t ) ≤ M 8 , t ≥ t0 } olsun.
T : A → X dönüşümü aşağıdaki gibi tanımlansın.
∞
 1

1
( s − t − τ ) n −1
α − x(t + τ ) +

∫
τ
t
+
(n − 1)!
 P(t + τ ) 

b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds , t ≥ t1
(Tx ) (t ) = 
a2
 a1


(Tx ) (t1 ),
t0 ≤ t ≤ t1.


Tx dönüşümünün sürekli olduğu aşikardır. ∀x ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere (5.12) ve
}
(5.13) kullanılırsa
(Tx ) (t )
=
∞

1
1
( s − t − τ ) n −1
α − x(t + τ ) +
∫
τ
+
t
(n − 1)!
P(t + τ ) 
}
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
 a1

a2
≤−
1
1
 α + x(t + τ ) +
p
(n − 1)!
∫
∞
t +τ
( s − t − τ ) n −1
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
a2
 a1

≤−
}
∞
1
1
( s − t − τ ) n −1
 α + x(t + τ ) +
∫
τ
t
+
(n − 1)!
p
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
a2
 a1

≤−
∞
1
1
( s − t − τ ) n −1
 α + x(t + τ ) +
∫
t
τ
+
p
(n − 1)!
×

≤−
∫
b1
a1
Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ +
∫
b2
a2
}
Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds

∞
1
1
( s − t − τ ) n −1
 α + x(t + τ ) +
∫
t
+
τ
p
(n − 1)!
}
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ ) x( s − ξ ) d ξ + ∫ Q2 ( s, ξ ) x( s − ξ ) d ξ  ds
 a1

a2
b1
b2

M8 ∞
1
≤ −  α + M8 +
( s − t − τ ) n −1  ∫ Q1 ( s, ξ ) d ξ + ∫ Q2 ( s, ξ ) d ξ  ds 
∫
 
a2
 a1
p
(n − 1)! t +τ
≤ M8 .
(5.13) ten dolayı
48
(Tx ) (t )
=
∞

1
1
( s − t − τ ) n −1
α − x(t + τ ) +
∫
τ
t
+
(n − 1)!
P(t + τ ) 
}
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
a2
 a1

≥−
1 
1
 α − x(t + τ ) −
p0 
(n − 1)!
∫
∞
t +τ
( s − t − τ ) n −1
}
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
 a1

a2
≥−
∞

1 
1
( s − t − τ ) n −1 
 α − x(t + τ ) −
∫
t
+
τ
p0 
(n − 1)!

}
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
 a1

a2
≥−
∞
1 
1
( s − t − τ ) n −1
 α − x(t + τ ) −
∫
t
+
τ
p0 
(n − 1)!
×

≥−
∫
b1
a1
Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ +
∫
b2
a2
}
Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds

∞
1 
1
( s − t − τ ) n −1
 α − x(t + τ ) −
∫
+
t
τ
p0 
(n − 1)!
}
×  ∫ Q1 ( s, ξ ) x( s − ξ ) d ξ + ∫ Q2 ( s, ξ ) x( s − ξ ) d ξ  ds
 a1

a2
b1
b2

M8 ∞
1 
( s − t − τ ) n −1  ∫ Q1 ( s, ξ ) d ξ + ∫ Q2 ( s, ξ ) d ξ  ds 
≥ −  α − M8 −
∫
a2
 a1
 
(n − 1)! t +τ
p0 
≥ M7 .
Böylece TA ⊂ A olduğu ispatlanır. A, X’ in sınırlı, kapalı ve konveks alt kümesidir.
b1
b2
Daralma prensibini kullanabilmek için T nin A üzerinde daralma dönüşümü olduğu
gösterilmelidir.
∀x1 , x 2 ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere (5.13) ten
(Tx1 ) (t ) − (Tx 2 ) (t )
=
∞
1
1
1
[x1 (t + τ ) − x 2 (t + τ )] +
( s − t − τ ) n −1
∫
t
+
τ
P(t + τ )
P (t + τ ) (n − 1)!
×  ∫ Q1 ( s, ξ )[x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ )]d ξ
 a1
b1
− ∫ Q2 ( s, ξ )[x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ )]d ξ  ds

a2
b2
≤−
∞
1
1 1
x1 (t + τ ) − x 2 (t + τ ) +
( s − t − τ ) n −1
∫
p
p (n − 1)! t +τ
×  ∫ Q1 ( s, ξ ) x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ ) d ξ
 a1
b1
+∫
b2
a2
Q2 ( s, ξ ) x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ ) d ξ  ds

49
∞
x1 − x2 
1
( s − t − τ ) n −1
1 +
∫
t
+
τ
p
 (n − 1)!
≤−
×
(∫
≤−
b1
Q1 ( s, ξ ) d ξ + ∫
a1
b2
Q2 ( s, ξ ) d ξ
a2
))
x1 − x 2 
α − M 8 + p0 M 7 
1 +
.
p
M8


Yani,
Tx1 − Tx2 ≤ r4 x1 − x2
r4 < 1 dir. Bu da T nin bir daralma dönüşümü olduğunu
dir. (5.12) ve (5.13) ten
gösterir. Sonuç olarak
x > 0 olmak üzere x, t ≥ t1 için T dönüşümünün sabit
noktasıdır. Bu da ispatı tamamlar.
1
11
Örnek 5.1 n = 3 , P(t ) = − 15 , a1 = 307 , b1 = 15
, a2 = 1 , b2 = e 15
( 6 + 6 ln t + 2(ln t ) ) ln(t − ξ ) 

(α t ln(t − ξ ) + t ) ( ln t ) 
2
Q1 (t , ξ ) =
3
3
4
3
2
1
2
5
3
1
3



( 6 + 6 ln(t − τ ) + 2(ln(t − τ )) ) ln(t − ξ )
Q (t , ξ ) =
ξ (α (t − τ ) ln(t − ξ ) + (t − τ ) ) ( ln(t − τ ) )
2
2
3
3
4
 2 1


 0 3
olmak üzere
b1
b2
dn
x (t ) + P(t ) x (t − τ ) ) + (−1) n −1  ∫ Q1 (t , ξ ) x (t − ξ )d ξ − ∫ Q2 (t , ξ ) x (t − ξ )d ξ  = 0
n (


a
a
2
 1
dt
denklem sisteminin ( max{τ , ξ } + 1, ∞ ) aralığında salınım yapmayan
 α + ln1t 
,
x (t ) = 
1 
 α + ln t 
α ∈ℝ
çözümü vardır.
Teorem 5.5 Kabul edelim ki 0 < B <
1
2
ve (5.5) sağlansın. Bu durumda (5.2)
denkleminin salınım yapmayan sınırlı çözümü vardır.
Đspat
t1 ≥ t0 + max {τ , b1 , b2 } yeteri kadar büyük seçilebilir öyle ki
α sabit vektör, N1 ve N 2 pozitif sabitler olmak üzere
B N 2 + N1 < α < 2 α ≤ N 2 + N1
(5.14)
olduğunda
50
∞
1
( s − t ) n −1
∫
t
(n − 1)! 1
(∫
b1
a1
Q1 ( s, ξ ) d ξ + ∫
b2
a2
)
Q2 ( s, ξ ) d ξ ds ≤
α − B N 2 − N1
N2
(5.15)
sağlanır.
X , [t0 , ∞) aralığında tanımlı tüm sınırlı ve sürekli vektör fonksiyonlarının kümesi
olsun.
A = {x ∈ X : N1 ≤ x(t ) ≤ N 2 , t ≥ t0 } olsun.
T : A → X dönüşümü aşağıdaki gibi tanımlansın.
∞
1

t
−
−
+
(
)
( s − t ) n −1
α
Bx
τ
∫

t
(n − 1)!

b
b2
1
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds, t ≥ t1
(Tx ) (t ) = 
 a1

a2

(Tx ) (t1 ),
t0 ≤ t ≤ t1.


Tx dönüşümünün sürekli olduğu aşikardır. ∀x ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere (5.14) ve
(5.15) kullanılırsa
(Tx ) (t )
= α − Bx(t − τ ) +
∞
1
( s − t ) n −1
∫
t
(n − 1)!
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
a2
 a1

≤ α + Bx(t − τ ) +
1
(n − 1)!
∫
∞
t
( s − t ) n −1
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
 a1

a2
∞
1
≤ α + B x(t − τ ) +
( s − t ) n −1
∫
t
(n − 1)!
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
a2
 a1

∞
1
( s − t ) n −1
≤ α + B x(t − τ ) +
∫
t
(n − 1)!
×

∫
b1
a1
Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ +
≤ α + B N2 +
∫
b2
a2
Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds

∞
1
( s − t ) n −1
∫
t
(n − 1)!
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ ) x( s − ξ ) d ξ + ∫ Q2 ( s, ξ ) x( s − ξ ) d ξ  ds
a2
 a1

∞
b
b
N2
1
2
( s − t ) n −1  ∫ Q1 ( s, ξ ) d ξ + ∫ Q2 ( s, ξ ) d ξ  ds
≤ α + B N2 +
∫


t
a
a
2
 1
(n − 1)!
≤ N2 .
(5.14) ten dolayı
51
(Tx ) (t )
= α − Bx(t − τ ) +
∞
1
( s − t ) n −1
∫
t
(n − 1)!
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
 a1

a2
∞
1
( s − t ) n −1
≥ α − Bx(t − τ ) −
∫
t
(n − 1)!
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
a2
 a1

∞
1
≥ α − B x(t − τ ) −
( s − t ) n −1
∫
(n − 1)! t
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
 a1

a2
∞
1
( s − t ) n −1
≥ α − B N2 −
∫
t
(n − 1)!
×

∫
b1
a1
Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ +
≥ α − B N2 −
∫
b2
a2
Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds

∞
1
( s − t ) n −1
∫
(n − 1)! t
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ ) x( s − ξ ) d ξ + ∫ Q2 ( s, ξ ) x( s − ξ ) d ξ  ds

a2
 a1
≥ α − B N2 −
b
b2
∞
N2
n −1  1
(
)
(
,
)
s
−
t
Q
s
ξ
d
ξ
+
1
∫a2 Q2 (s, ξ ) dξ  ds
 ∫a1
(n − 1)! ∫t
≥ N1 .
Böylece TA ⊂ A olduğu ispatlanır. A, X’ in sınırlı, kapalı ve konveks alt kümesidir.
Daralma prensibini kullanabilmek için T nin A üzerinde daralma dönüşümü olduğu
gösterilmelidir.
∀x1 , x 2 ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere (5.15) ten
(Tx1 ) (t ) − (Tx 2 ) (t )
= B[x1 (t − τ ) − x 2 (t − τ )] +
∞
1
( s − t ) n −1
∫
t
(n − 1)!
b1
×  ∫ Q1 ( s, ξ )[x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ )]d ξ
 a1
− ∫ Q2 ( s, ξ )[x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ )]d ξ  ds

a2
b2
≤ B x1 (t − τ ) − x 2 (t − τ ) +
∞
1
( s − t ) n −1
∫
(n − 1)! t
×  ∫ Q1 ( s, ξ ) x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ ) d ξ
 a1
b2
− ∫ Q2 ( s, ξ ) x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ ) d ξ  ds

a2
b1
52
∞

1
≤ x1 − x 2  B +
( s − t ) n −1
∫
t
−
n
(
1)!

(∫
b1
a1
Q1 ( s, ξ ) d ξ + ∫
b2
a2

Q2 ( s, ξ ) d ξ 

)

α − B N 2 − N1 
≤ x1 − x2  B +
.
N
2


Yani,
Tx1 − Tx 2 ≤ r5 x1 − x 2
dir. (5.14) ve (5.15) ten
r5 < 1 dir. Bu da T nin bir daralma dönüşümü olduğunu
x > 0 olmak üzere x, t ≥ t1 için T dönüşümünün sabit
gösterir. Sonuç olarak
noktasıdır. Bu da ispatı tamamlar.
Teorem 5.6 Kabul edelim ki 0 < B −1 <
1
2
ve (5.5) sağlansın. Bu durumda (5.2)
denkleminin salınım yapmayan sınırlı çözümü vardır.
Đspat
t1 + τ ≥ t0 + max {b1 , b2 } yeteri kadar büyük seçilebilir öyle ki
α sabit vektör, N 3 ve N 4 pozitif sabitler olmak üzere
B −1 N 4 + N 3 < B −1α < 2 B −1α ≤ N 4 + N 3
(5.16)
olduğunda
∞
1
( s − t − τ ) n −1
∫
τ
t
+
(n − 1)! 1
(∫
b1
a1
Q1 ( s, ξ ) d ξ + ∫
b2
a2
)
Q2 ( s, ξ ) d ξ ds ≤
B −1α − N 3 − N 4 B −1
N 4 B −1
(5.17)
sağlanır.
X , [t0 , ∞) aralığında tanımlı tüm sınırlı ve sürekli vektör fonksiyonlarının kümesi
olsun.
A = {x ∈ X : N 3 ≤ x(t ) ≤ N 4 , t ≥ t0 } olsun.
T : A → X dönüşümü aşağıdaki gibi tanımlansın.
∞
 −1 
1
( s − t − τ ) n −1
B α − x(t + τ ) +
∫
t
τ
+
(n − 1)!



b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds , t ≥ t1
(Tx ) (t ) = 
a2
 a1


(Tx ) (t1 ),
t ≤ t ≤ t1.


}
53
Tx dönüşümünün sürekli olduğu aşikardır. ∀x ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere (5.16) ve
(5.17) kullanılarak
(Tx ) (t )
∞

1
( s − t − τ ) n −1
= B −1 α − x(t + τ ) +
∫
t +τ
(
1)!
n
−

}
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
a2
 a1


1
≤ B −1  α + x(t + τ ) +
(n − 1)!

∫
∞
t +τ
( s − t − τ ) n −1
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
 a1

a2
}
∞

1
≤ B −1  α + x(t + τ ) +
( s − t − τ ) n −1
∫
τ
t
+
(n − 1)!

}
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
 a1

a2
∞

1
≤ B −1  α + x(t + τ ) +
( s − t − τ ) n −1
∫
t
+
τ
(n − 1)!

×

∫
b1
a1
Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ +
∫
b2
a2
}
Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds

∞

1
( s − t − τ ) n −1
≤ B −1  α + x(t + τ ) +
∫
t +τ
(
n
1)!
−

}
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ ) x( s − ξ ) d ξ + ∫ Q2 ( s, ξ ) x( s − ξ ) d ξ  ds
 a1

a2
∞

N4
≤ B −1  α + N 4 +
( s − t − τ ) n −1
∫
t
+
τ
(n − 1)!

}
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ ) d ξ + ∫ Q2 ( s, ξ ) d ξ  ds

a2
 a1
≤ N4 .
(5.17) den dolayı
∞

1
( s − t − τ ) n −1
(Tx ) (t ) = B −1 α − x(t + τ ) +
∫
τ
+
t
(n − 1)!

}
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
 a1

a2

1
≥ B −1  α − x(t + τ ) −
(n − 1)!

∫
∞
t +τ
( s − t − τ ) n −1
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
a2
 a1

54
}
∞

1
( s − t − τ ) n −1
≥ B −1  α − x(t + τ ) −
∫
t
τ
+
(n − 1)!

}
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
 a1

a2
∞

1
≥ B −1  α − x(t + τ ) −
( s − t − τ ) n −1
∫
t
+
τ
(n − 1)!

×

∫
b1
a1
Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ +
∫
b2
a2
}
Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds

∞

1
( s − t − τ ) n −1
≥ B −1  α − x(t + τ ) −
∫
t +τ
(
1)!
n
−

}
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ ) x( s − ξ ) d ξ + ∫ Q2 ( s, ξ ) x( s − ξ ) d ξ  ds
 a1

a2
b1
b2
∞


N4
≥ B −1  α − N 4 −
( s − t − τ ) n −1  ∫ Q1 ( s, ξ ) d ξ + ∫ Q2 ( s, ξ ) d ξ  ds 
∫
 
a2
 a1
(n − 1)! t +τ

≥ N3 .
Böylece TA ⊂ A olduğu ispatlanır. A, X’ in sınırlı, kapalı ve konveks alt kümesidir.
Daralma prensibini kullanabilmek için T nin A üzerinde daralma dönüşümü olduğu
gösterilmelidir.
∀x1 , x 2 ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere (5.17) den
(Tx1 ) (t ) − (Tx 2 ) (t )
= B −1[x1 (t + τ ) − x 2 (t + τ )] + B −1
∞
1
( s − t − τ ) n −1
∫
t
+
τ
(n − 1)!
×  ∫ Q1 ( s, ξ )[x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ )]d ξ
 a1
b1
− ∫ Q2 ( s, ξ )[x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ )]d ξ  ds

a2
∞
1 1
( s − t − τ ) n −1
≤ B −1 x1 (t + τ ) − x 2 (t + τ ) +
∫
t
+
τ
p (n − 1)!
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ ) x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ ) d ξ
 a1
b1
Q2 ( s, ξ ) x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ ) d ξ  ds

∞

1
( s − t − τ ) n −1
≤ B −1 x1 − x 2 1 +
∫
t
+
τ
 (n − 1)!
+∫
b2
a2
×
(∫
b1
a1
Q1 ( s, ξ ) d ξ + ∫
b2
a2
) )
Q2 ( s, ξ ) d ξ ds

B −1α − N 3 − N 4 B −1
≤ B −1 x1 − x 2 1 +

N 4 B −1

55

.


Yani,
Tx1 − Tx 2 ≤ r6 x1 − x 2
r6 < 1 dir. Bu da T nin bir daralma dönüşümü olduğunu
dir. (5.16) ve (5.17) ten
gösterir. Sonuç olarak
x > 0 olmak üzere x, t ≥ t1 için T dönüşümünün sabit
noktasıdır. Bu da ispatı tamamlar.
Örnek 5.2 n = 7 , a1 = 2 , b1 = 4 , a2 = 32 , b2 =
 2e
B =  e15−τ
 25
−τ
Q1 (t , ξ ) =
e−τ
15
4 e−τ
25
9
2



 53

α et + eξ  23

 94
ξ
,
ξ
Q
(
t
,
)
=

2
1
α et + eξ  12
3
65
2
5
ξ
16
45
8
13



olmak üzere
b1
b2
dn
x (t ) + Bx (t − τ ) ) + (−1) n −1  ∫ Q1 (t , ξ ) x (t − ξ )d ξ − ∫ Q2 (t , ξ ) x (t − ξ )d ξ  = 0
n (
a2
 a1

dt
denklem sisteminin [t0 , ∞) aralığında salınım yapmayan
 α + e−t 
,
x (t ) = 
−t 
α + e 
α ∈ℝ
çözümü vardır.
b3
Teorem 5.7 Kabul edelim ki 0 ≤ ∫ pɶ (t , ξ ) d ξ ≤ p <
a3
1
2
ve (5.5) sağlansın. Bu durumda
(5.3) denkleminin salınım yapmayan sınırlı çözümü vardır.
Đspat
t1 ≥ t0 + max {b1 , b2 , b3 } yeteri kadar büyük seçilebilir öyle ki
α sabit vektör, K1 ve K 2 pozitif sabitler olmak üzere
(5.18)
pK 2 + K1 < α < 2 α ≤ K 2 + K1
olduğunda
∞
1
( s − t ) n −1
∫
t
(n − 1)! 1
(∫
b1
a1
Q1 ( s, ξ ) d ξ + ∫
b2
a2
)
Q2 ( s, ξ ) d ξ ds ≤
α − pK 2 − K1
K2
(5.19)
sağlanır.
X , [t0 , ∞) aralığında tanımlı tüm sınırlı ve sürekli vektör fonksiyonlarının kümesi
olsun.
56
A = {x ∈ X : K1 ≤ x(t ) ≤ K 2 , t ≥ t0 } olsun.
T : A → X dönüşümü aşağıdaki gibi tanımlansın.
∞
b3
1

n −1
α − ∫a3 pɶ (t , ξ )x(t − ξ ) d ξ + (n − 1)! ∫t ( s − t )

b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds,
(Tx ) (t ) = 
 a1

a2

(Tx ) (t1 ),


t ≥ t1
t0 ≤ t ≤ t1.
Tx dönüşümünün sürekli olduğu aşikardır. ∀x ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere (5.18) ve
(5.19) kullanılırsa
(Tx ) (t )
∞
1
( s − t ) n −1
∫
t
(n − 1)!
b3
= α − ∫ pɶ (t , ξ )x(t − ξ ) d ξ +
a3
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
 a1

a2
∫
≤ α +
b3
a3
1
(n − 1)!
pɶ (t , ξ )x(t − ξ ) d ξ +
∫
∞
t
( s − t ) n −1
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
a2
 a1

b3
≤ α + ∫ pɶ (t , ξ ) x(t − ξ ) d ξ +
a3
∞
1
( s − t ) n −1
∫
t
(n − 1)!
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
a2
 a1

b3
≤ α + K 2 ∫ pɶ (t , ξ ) d ξ +
a3
×

∫
b1
a1
∞
1
( s − t ) n −1
∫
t
(n − 1)!
Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ +
≤ α + pK 2 +
∫
b2
a2
Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds

∞
1
( s − t ) n −1
∫
(n − 1)! t
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ ) d ξ + ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ ) d ξ  ds

a2
 a1
≤ α + pK 2 +
∞
1
( s − t ) n −1
∫
t
(n − 1)!
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ ) x( s − ξ ) d ξ + ∫ Q2 ( s, ξ ) x( s − ξ ) d ξ  ds

a2
 a1
≤ α + pK 2 +
∞
b
b2
K2
n −1  1
(
)
(
,
)
s
−
t
Q
s
ξ
d
ξ
+
Q2 ( s, ξ ) d ξ  ds
1
∫
∫
∫


t
a
a
2
 1
(n − 1)!
≤ K2 .
57
(5.18) den dolayı
(Tx ) (t )
b3
= α − ∫ pɶ (t , ξ )x(t − ξ )d ξ +
a3
∞
1
( s − t ) n −1
∫
t
(n − 1)!
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
 a1

a2
∞
b3
1
≥ α − ∫ pɶ (t , ξ )x(t − ξ ) d ξ −
( s − t ) n −1
∫
a3
t
(n − 1)!
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
a2
 a1

∞
b3
1
≥ α − ∫ pɶ (t , ξ ) x(t − ξ ) d ξ −
( s − t ) n −1
∫
a3
(n − 1)! t
×

∫
b1
a1
Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ +
b3
≥ α − K 2 ∫ pɶ (t , ξ )d ξ −
a3
∫
b2
a2
Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds

∞
1
( s − t ) n −1
∫
t
(n − 1)!
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ ) d ξ + ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ ) d ξ  ds

a2
 a1
≥ α − pK 2 −
∞
1
( s − t ) n −1
∫
(n − 1)! t
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ ) x( s − ξ ) d ξ + ∫ Q2 ( s, ξ ) x( s − ξ ) d ξ  ds
a2
 a1

b1
b2
∞
K2
≥ α − pK 2 −
( s − t ) n −1  ∫ Q1 ( s, ξ ) d ξ + ∫ Q2 ( s, ξ ) d ξ  ds
∫


a2
 a1
(n − 1)! t
≥ K1 .
Böylece TA ⊂ A olduğu ispatlanır. A, X’ in sınırlı, kapalı ve konveks alt kümesidir.
Daralma prensibini kullanabilmek için T nin A üzerinde daralma dönüşümü olduğu
gösterilmelidir.
∀x1 , x 2 ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere (5.19) den
(Tx1 ) (t ) − (Tx 2 ) (t )
=
∫
b3
a3
pɶ (t , ξ )[x1 (t − ξ ) − x 2 (t − ξ )]d ξ +
∞
1
( s − t ) n −1
∫
(n − 1)! t
×  ∫ Q1 ( s, ξ )[x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ )]d ξ
 a1
b1
− ∫ Q2 ( s, ξ )[x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ )]d ξ  ds

a2
b2
≤
∫
b3
a3
pɶ (t , ξ )[x1 (t − ξ ) − x 2 (t − ξ )]d ξ +
1
(n − 1)!
×  ∫ Q1 ( s, ξ )[x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ )]d ξ
 a1
b1
− ∫ Q2 ( s, ξ )[x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ )]d ξ  ds

a2
b2
58
∫
∞
t
( s − t ) n −1
b3
≤ ∫ pɶ (t , ξ ) [x1 (t − ξ ) − x 2 (t − ξ )] d ξ +
a3
∞
1
( s − t ) n −1
∫
(n − 1)! t
×  ∫ Q1 ( s, ξ ) [x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ )] d ξ
 a1
b1
+∫
b2
a2
Q2 ( s, ξ ) [x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ )] d ξ  ds

≤ p x1 − x 2 +
∞
1
( s − t ) n −1
∫
t
(n − 1)!
b1
b2
× x1 − x 2  ∫ Q1 ( s, ξ ) d ξ + ∫ Q2 ( s, ξ ) d ξ  ds
 a1

a2
∞
b
b2

1
n −1  1
(
)
(
,
)
≤ x1 − x 2  p +
s
−
t
Q
s
ξ
d
ξ
+
Q2 ( s, ξ ) d ξ  ds
1
∫
∫
∫


t
a1
a2

(
1)!
n
−


α − pM 2 − M 1 
≤ x1 − x2  p +
.
M2


Yani,
Tx1 − Tx 2 ≤ r7 x1 − x 2
dir. (5.18) ve (5.19) dan r7 < 1 dir. Bu da T nin bir daralma dönüşümü olduğunu
gösterir. Sonuç olarak x > 0 olmak üzere x, t ≥ t1 için T dönüşümünün sabit noktasıdır.
Bu da ispatı tamamlar.
Teorem 5.8 Kabul edelim ki
−1
2
b3
< p ≤ ∫ pɶ (t , ξ ) d ξ < 0 ve (5.5) sağlansın. Bu durumda
a3
(5.3) denkleminin salınım yapmayan sınırlı çözümü vardır.
Đspat
t1 ≥ t0 + max {b1 , b2 , b3 } yeteri kadar büyük seçilebilir öyle ki
α sabit vektör, K 3 ve K 4 pozitif sabitler olmak üzere
(5.20)
− pK 4 + K 3 < α < 2 α ≤ K 4 + K 3
olduğunda
∞
1
( s − t ) n −1
∫
(n − 1)! t1
(∫
b1
a1
Q1 ( s, ξ ) d ξ + ∫
b2
a2
)
Q2 ( s, ξ ) d ξ ds ≤
α + pK 4 − K 3
K4
(5.21)
sağlanır.
X , [t0 , ∞) aralığında tanımlı tüm sınırlı ve sürekli vektör fonksiyonlarının kümesi
olsun.
A = {x ∈ X : K 3 ≤ x(t ) ≤ K 4 , t ≥ t0 } olsun.
59
T : A → X dönüşümü aşağıdaki gibi tanımlansın.
∞
b3
1

ɶ
−
−
+
α
x
ξ
ξ
ξ
(
,
)
(
)
d
( s − t ) n −1
p
t
t
∫
∫

a3
t
(n − 1)!

b
b2
1
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds, t ≥ t1
(Tx ) (t ) = 
 a1

a2

(Tx ) (t1 ),
t0 ≤ t ≤ t1.


Tx dönüşümünün sürekli olduğu aşikardır. ∀x ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere (5.20) ve
(5.21) kullanılırsa
(Tx ) (t )
b3
= α − ∫ pɶ (t , ξ )x(t − ξ ) d ξ +
a3
∞
1
( s − t ) n −1
∫
t
(n − 1)!
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
a2
 a1

∫
≤ α +
b3
a3
1
(n − 1)!
pɶ (t , ξ )x(t − ξ ) d ξ +
∫
∞
t
( s − t ) n −1
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
 a1

a2
b2
≤ α + ∫ pɶ (t , ξ ) x(t − ξ ) d ξ +
a2
∞
1
( s − t ) n −1
∫
(n − 1)! t
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
 a1

a2
b3
≤ α + K 4 ∫ pɶ (t , ξ ) d ξ +
a3
×

∫
b1
a1
∞
1
( s − t ) n −1
∫
t
(n − 1)!
Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ +
≤ α − pK 4 +
∫
b2
a2
Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds

∞
1
( s − t ) n −1
∫
t
(n − 1)!
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ ) x( s − ξ ) d ξ + ∫ Q2 ( s, ξ ) x( s − ξ ) d ξ  ds
 a1

a2
≤ α − pK 4 +
b1
b2
∞
K4
( s − t ) n −1  ∫ Q1 ( s, ξ ) d ξ + ∫ Q2 ( s, ξ ) d ξ  ds
∫

a2
 a1
(n − 1)! t
≤ K4 .
(5.20) den dolayı
(Tx ) (t )
b3
= α − ∫ pɶ (t , ξ )x(t − ξ ) d ξ +
a3
∞
1
( s − t ) n −1 ds
∫
t
(n − 1)!
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
a2
 a1

60
∫
≥ α −
b3
a3
pɶ (t , ξ )x(t − ξ ) d ξ −
1
(n − 1)!
∫
∞
t
( s − t ) n −1
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
a2
 a1

b3
≥ α − ∫ pɶ (t , ξ ) x(t − ξ ) d ξ −
a3
∞
1
( s − t ) n −1
∫
t
(n − 1)!
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
 a1

a2
b3
∞
1
≥ α − K 4 ∫ pɶ (t , ξ )d ξ −
( s − t ) n −1
∫
a3
t
(n − 1)!
×

∫
b1
a1
Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ +
≥ α + pK 4 −
∫
b2
a2
Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds

∞
1
( s − t ) n −1
∫
(n − 1)! t
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ ) x( s − ξ ) d ξ + ∫ Q2 ( s, ξ ) x( s − ξ ) d ξ  ds
a2
 a1

∞
b1
b2
K4
≥ α + pK 4 −
( s − t ) n −1  ∫ Q1 ( s, ξ ) d ξ + ∫ Q2 ( s, ξ ) d ξ  ds
∫

a2
 a1
(n − 1)! t
≥ K3 .
Böylece TA ⊂ A olduğu ispatlanır. A, X’ in sınırlı, kapalı ve konveks alt kümesidir.
Daralma prensibini kullanabilmek için T nin A üzerinde daralma dönüşümü olduğu
gösterilmelidir.
∀x1 , x 2 ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere (5.21) den
(Tx1 ) (t ) − (Tx 2 ) (t )
=
∫
b3
pɶ (t , ξ )[x1 (t − ξ ) − x 2 (t − ξ )]d ξ +
a3
∞
1
( s − t ) n −1
∫
(n − 1)! t
×  ∫ Q1 ( s, ξ )[x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ )]d ξ
 a1
b1
− ∫ Q2 ( s, ξ )[x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ )]d ξ  ds

a2
b2
≤
∫
b3
pɶ (t , ξ )[x1 (t − ξ ) − x 2 (t − ξ )]d ξ +
a3
1
(n − 1)!
∫
∞
t
( s − t ) n −1
×  ∫ Q1 ( s, ξ )[x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ )]d ξ
 a1
b1
− ∫ Q2 ( s, ξ )[x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ )]d ξ  ds

a2
b3
∞
1
≤ ∫ pɶ (t , ξ ) [x1 (t − ξ ) − x 2 (t − ξ )] d ξ +
( s − t ) n −1
∫
a3
t
(n − 1)!
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ ) [x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ )] d ξ
 a1
b1
+∫
b2
a2
Q2 ( s, µ ) [x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ )] d ξ  ds

61
≤ x1 − x 2
∫
b3
a3
pɶ (t , ξ )d ξ +
∞
1
( s − t ) n −1
∫
(n − 1)! t
b1
b2
× x1 − x 2  ∫ Q1 ( s, ξ ) d ξ + ∫ Q2 ( s, ξ ) d ξ  ds

a2
 a1
∞

1
≤ x1 − x 2  − p +
( s − t ) n −1
∫
t
(n − 1)!

b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ ) d ξ + ∫ Q2 ( s, ξ ) d ξ  ds 
 
a2
 a1

α + pK 4 − K 3 
≤ x1 − x 2  − p +
.
K4


Yani,
Tx1 − Tx 2 ≤ r8 x1 − x 2
dir. (5.20) ve (5.21) den
gösterir. Sonuç olarak
r8 < 1 dir. Bu da T nin bir daralma dönüşümü olduğunu
x > 0 olmak üzere x, t ≥ t1 için T dönüşümünün sabit
noktasıdır. Bu da ispatı tamamlar.
Örnek 5.3 n = 2 , pɶ (t , ξ ) = 16 , a1 = 4 , b1 = 10 , a2 = 72 , b2 = 5 , a3 = 0 , b3 = 2
(t − ξ )(2 ln t − t ln6 t + 6t − 3)  18
Q1 (t , ξ ) =

α t 4 − α t 3ξ + t 3 ln(t − ξ )  13
Q2 (t , ξ ) =
1
24
−1
6
(1 − ln(t − 2) )( t − ξ )  19
2 
(α t − αξ + ln(t − ξ ) )( t − 2 )  1

,

0


−8
9
olmak üzere
b3
b1
b2
dn
x(t ) + ∫ pɶ (t , ξ )x(t − ξ ) d ξ + (−1) n −1  ∫ Q1 (t , ξ )x(t − ξ )d ξ − ∫ Q2 (t , ξ )x(t − ξ )d ξ  = 0
n
 a1

a3
a2
dt
denklem sisteminin ( max{ξ , 2} + 1, ∞ ) aralığında salınım yapmayan
)
(
ln t 

α + t 
x (t ) = 
,
 α + ln t 


t 

α ∈ℝ
çözümü vardır.
Teorem 5.9 Kabul edelim ki 0 < B (b3 − a3 ) <
1
2
ve (5.5) sağlansın. Bu durumda (5.4)
denkleminin salınım yapmayan sınırlı çözümü vardır.
62
Đspat
t1 ≥ t0 + max {b1 , b2 , b3 } yeteri kadar büyük seçilebilir öyle ki
α sabit vektör, L1 ve L2 pozitif sabitler olmak üzere
B (b3 − a3 ) L2 + L1 < α < 2 α ≤ L2 + L1
(5.22)
olduğunda
∞
1
( s − t ) n −1
∫
(n − 1)! t1
(∫
b1
a1
q1 ( s, ξ ) d ξ + ∫
)
b2
q2 ( s, ξ ) d ξ ds ≤
a2
α − B L2 (b3 − a3 ) − L1
(5.23)
L2
sağlanır.
X , [t0 , ∞) aralığında tanımlı tüm sınırlı ve sürekli vektör fonksiyonlarının kümesi
olsun.
A = {x ∈ X : L1 ≤ x(t ) ≤ L2 , t ≥ t0 }
T : A → X dönüşümü aşağıdaki gibi tanımlansın.
b3
∞
1

(
)
d
( s − t ) n −1
t
−
−
+
α
B
x
ξ
ξ
∫
∫

a3
t
(n − 1)!

b
b2
1
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds, t ≥ t1
(Tx ) (t ) = 
 a1

a2

(Tx ) (t1 ),
t0 ≤ t ≤ t1


Tx dönüşümünün sürekli olduğu aşikardır. ∀x ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere (5.22) ve
(5.23) kullanılırsa
(Tx ) (t )
b3
= α − B ∫ x(t − ξ ) d ξ +
a3
∞
1
( s − t ) n −1
∫
t
(n − 1)!
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
a2
 a1

b3
≤ α + B ∫ x(t − ξ ) d ξ +
a3
1
(n − 1)!
∫
∞
t
( s − t ) n −1
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
 a1

a2
≤ α + B
∫
b3
a3
x(t − ξ ) d ξ +
∞
1
( s − t ) n −1
∫
t
(n − 1)!
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
 a1

a2
≤ α + B
×

∫
b1
a1
∫
b3
a3
x(t − ξ ) d ξ +
∞
1
( s − t ) n −1
∫
t
(n − 1)!
Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ +
∫
b2
a2
Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds

63
≤ α + B L2 (b3 − a3 ) +
∞
1
( s − t ) n −1
∫
(n − 1)! t
b1
b2
×  ∫ q1 ( s, ξ ) x( s − ξ ) d ξ + ∫ q2 ( s, ξ ) x( s − ξ ) d ξ  ds
a2
 a1

b1
b2
∞
L2
≤ α + B L2 (b3 − a3 ) +
( s − t ) n −1  ∫ Q1 ( s, ξ ) d ξ + ∫ Q2 ( s, ξ ) d ξ  ds
∫

a2
 a1
(n − 1)! t
≤ L2 .
(5.22) den dolayı
(Tx ) (t )
b3
= α − B ∫ x(t − ξ ) d ξ +
a3
∞
1
( s − t ) n −1
∫
t
(n − 1)!
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
a2
 a1

b3
≥ α − B ∫ x(t − ξ ) d ξ −
a3
1
(n − 1)!
∫
∞
t
( s − t ) n −1
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
a2
 a1

b3
∞
1
( s − t ) n −1
≥ α − B ∫ x(t − ξ ) d ξ −
∫
a3
(n − 1)! t
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ − ∫ Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds
 a1

a2
∞
1
( s − t ) n −1
≥ α − B L2 (b3 − a3 ) −
∫
t
(n − 1)!
×

∫
b1
a1
Q1 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ +
≥ α − B L2 (b3 − a3 ) −
∫
b2
a2
Q2 ( s, ξ )x( s − ξ )d ξ  ds

∞
1
( s − t ) n −1
∫
(n − 1)! t
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ ) x( s − ξ ) d ξ + ∫ Q2 ( s, ξ ) x( s − ξ ) d ξ  ds
a2
 a1

b1
b2
∞
L2
( s − t ) n −1  ∫ Q1 ( s, ξ ) d ξ + ∫ Q2 ( s, ξ ) d ξ  ds
≥ α − B L2 (b3 − a3 ) −
∫


a2
 a1
(n − 1)! t
≥ L1 .
Böylece TA ⊂ A olduğu ispatlanır. A, X’ in sınırlı, kapalı ve konveks alt kümesidir.
Daralma prensibini kullanabilmek için T nin A üzerinde daralma dönüşümü olduğu
gösterilmelidir.
∀x1 , x 2 ∈ A ve t ≥ t1 olmak üzere (5.23) ten
64
(Tx1 ) (t ) − (Tx2 ) (t )
b3
= B ∫ [x1 (t − ξ ) − x 2 (t − ξ )]d ξ +
a3
∞
1
( s − t ) n −1
∫
t
(n − 1)!
×  ∫ Q1 ( s, ξ )[x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ )]d ξ
 a1
b1
− ∫ Q2 ( s, ξ )[x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ )]d ξ  ds

a2
b2
∫
≤ B
b3
a3
[x1 (t − ξ ) − x 2 (t − ξ )]d ξ +
∞
1
( s − t ) n −1
∫
t
(n − 1)!
×  ∫ Q1 ( s, ξ ) x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ ) d ξ
 a1
b2
+ ∫ Q2 ( s, ξ ) x1 ( s − ξ ) − x 2 ( s − ξ ) d ξ  ds

a2
∞
1
≤ x1 − x 2 B (b3 − a3 ) +
( s − t ) n −1
∫
t
(n − 1)!
b1
b1
b2
×  ∫ Q1 ( s, ξ ) d ξ + ∫ Q2 ( s, ξ ) d ξ  ds

a2
 a1
α − B L2 (b3 − a3 ) − L1 

≤ x1 − x2  B (b3 − a3 ) +
.
L2


Yani,
Tx1 − Tx 2 ≤ r10 x1 − x 2
dir. (5.22) ve (5.23) ten
r10 < 1 dir. Bu da T nin bir daralma dönüşümü olduğunu
gösterir. Sonuç olarak x > 0 olmak üzere x, t ≥ t1 için T dönüşümünün sabit noktasıdır.
Bu da ispatı tamamlar.
Örnek 5.4 n = 5 , a1 = ln 2 , b1 = ln 6 , a2 = 151 , b2 = 16 , a3 = 0 , b3 = 1
1
B =  301
8

,
1 
24 
2
15
eξ (1 + t − ξ )( 29 − t )  18
Q1 (t , ξ ) =
7
6
(1 + t )
 10
7
8
3
10

ξ − 1 − t  4 36 
 , Q2 (t , ξ ) =


t 5 16 24 

olmak üzere
b3
b1
b2
dn
x(t ) + B ∫ x(t − ξ ) d ξ + (−1) n −1  ∫ Q1 (t , ξ )x(t − ξ )d ξ − ∫ Q2 (t , ξ )x(t − ξ )d ξ  = 0
n
a3
a2
 a1

dt
(
)
denklem sisteminin ( 2, ∞ ) aralığında salınım yapmayan
 1 
x (t ) =  1+1 t 
 1+t 
çözümü vardır.
65
BÖLÜM VI
SONUÇLAR
Bu çalışmada daha önce çalışılmamış olan (5.1), (5.2), (5.3) ve (5.4) denklem
sistemlerinin salınım yapmayan çözümlerinin varlığı için yeterli şartlar verildi. (5.1)
denklem sisteminde P(t) fonksiyonunun dört farklı durumu için, (5.2) denklem
sisteminde ise B matris fonksiyonunun iki farklı durumu için, (5.3) denklem sisteminde
∫
b3
a3
pɶ (t , ξ ) d ξ fonksiyonunun iki farklı durumu için, (5.4) denklem sisteminde ise B
matris fonksiyonunun bir durumu için salınım yapmayan çözümlerin varlığı incelendi.
66
KAYNAKLAR
Agarwal, R. P., Grace, S.R. and O’Regan, D., Oscillation Theory for Difference and
Functional Differential Equations, Kluwer Academic, 2000
Bainov, D. D. and Mishev, D. P., Oscillation Theory for Neutral Differential Equations
with Delay, Adam Hilger, 1991
Bayraktar, M., Fonksiyonel Analiz, Gazi Kitapevi, Bursa, 1998
Candan, T. and Dahiya, R.S., Existence of nonoscillatory solutions of first and second
order neutral differential equations with distributed deviating arguments, Journal of the
Franklin Institute, 347, 1309-1316, 2010
Candan, T., Existence of nonoscillatory solutions for system of higher order neutral
differential equations, Mathematical and Computer Modelling, 57, 375-381, 2013
El-Metwally, H., Kulenović, M. R. S. and Hadžiomerspahić, S., Nonoscillatory Solution
for System of Neutral Delay Equation, Nonlinear Analysis, 54, 63-81, 2003
Erbe, L. H., Kong, Q. K. and Zhang, B. G., Oscillation Theory for Functional
Differential Equations, Marcel Dekker, Inc., New York, 1995
Györi, I. and Ladas, G., Oscillation Theory of Delay Differential Equations with
Applications, Clarendon Pres, Oxford, 1991
Hanuštiaková, L. and Olach, R., Nonoscillatory bounded solutions of neutral differential
systems, Nonlinear Analysis, 68, 1816-1824, 2008
Kreyszig, E., Introductory Functional Analysis with Applications, John Wiley & Sons,
Inc., 1978
Kulenovic, M.R.S., Ladas, G. and Meimaridou, A., On oscillation of nonlinear delay
differential equations, Quart. Appl. Math., 45, 155–164, 1987
67
Kulenovic, M.R.S. and Hadziomerspahic, S., Existence of nonoscillatory solution of
second order linear neutral delay equation, Journal of Mathematical Analysis and
Applications, 228, 436–448, 1998
Kulenovic, M.R.S. and Hadziomerspahic, S., Existence of nonoscillatory solution for
linear neutral delay equation, Fasc. Math., 32 , 61–72, 2001
Yu, J.S., Wang, Z.C. and Qian, C., Oscillation and nonoscillation of neutral differential
equations, Bull. Aust. Math. Soc., 45, 195–200, 1992
Yu, J. and Wang, Z., Nonoscillation of a neutral delay differential equation, Radovi
Mat., 8, 127–133, 1992–96
Zeidler, E., Nonlinear Functional Analysis and Its Applications I: Fixed-Point
Theorems, Springer-Verlag, 1986
Zhang, W., Feng, W., Yan, J. and Song, J., Existence of nonoscillatory solutions of
first-order linear neutral delay differential equations, Computers and Mathematics with
Applications, 49, 1021-1027, 2005
Zhou, Y. and Zhang, B. G., Existence of nonoscillatory solutions of higher-order neutral
differential equations with positive and negative coefficients, Applied Mathematics
Letters, 15, 867-874, 2002
68
ÖZ GEÇMĐŞ
Ahmet Mutlu GEÇGEL, 05.08.1988 tarihinde Seyhan/Adana’da doğdu. Đlköğretim ve
lise öğretimini Adana’da tamamladı. 2006 yılında girdiği Niğde Üniversitesi FenEdebiyat Fakültesi Matematik Bölümünden Haziran 2010’da mezun oldu ve aynı yıl
Niğde Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Bölümünde yüksek lisans
öğrenimine başladı.
69