LİNEER CEBİR ve UYGULAMALARI DERSİ ÖDEV

1
LĐNEER CEBĐR ve UYGULAMALARI DERSĐ
ÖDEV SORULARI
2009-2010 Güz Yarıyılı
Öğretim Üyesi: Prof. Dr. Sedef Kent
Ödev ile ilgili açıklamalar:
1. Derse ait dört bölümden oluşan ödevlerin tamamı buradadır. Ancak ödevler konular işlendikçe
yapılarak teslim edilecektir.
2. Ödevlerin teslim tarihleri bölüm isimleri yanında belirtilmiştir.
3. Her öğrenci ödevi kendisi yapmakla yükümlüdür. Kopya olduğu belirlenen ödevler yapılmamış
sayılacaktır.
4. Ödevler teslim için belirlenen günde ilk dersten önce (saat:13.30'da) sınıftaki kürsü üzerine
bırakılacaktır. Bundan sonra getirilen ödevler geç verilmiş sayılacaktır.
5. Ödevler standart A4 kağıt üzerine yapılmalı ve mutlaka bir kapak sayfası olmalıdır. Kapakta isim
ve no ile birlikte ödevin adı belirtilmelidir.
6. Ödevlerin sayfaları zımba, ataç, dosya vb. ile birbirine tutturulmuş olarak teslim edilecektir.
Bölüm 1: Vektörler ve Matrisler
Teslim Tarihi: 30 Ekim 2009
1. u=(-1,-1,1,3), v=(-1,-1,-3,-2), w=(4,1,-4,0) ise u-v=?, -u+v+2w=?, 3u-2v+w=?
2. xy-düzleminde aşağıdaki 9 lineer kombinasyonu gösteriniz.
a(0,-1)+b(-1,1)
a=0,1,2 ve b=0,1,2
3. v=(-1,3) vektörüne paralel u1 ve w=(-1,2,-1) vektörüne paralel u2 vektörlerini bulunuz. Ayrıca v ye
dik U1 ve w ye dik U2 vektörlerini bulunuz.
4. v ve w iki birim vektör ise aşağıdaki durumlarda aralarındaki θ açısını bulunuz.
a) v ile v,
b) w ile -w,
c) v +w ile v -w
d) 2w ile v
5. a) v=(2, 3 1/2), w=(-2, 3 1/2)
b) v=(-1, 2, -1), w=(-2,-2,3)
vektörleri arasındaki teta açısını bulunuz.
6. Bir kübün köşeleri i, j, k birim vektörleri ile nasıl gösterilir? Küp 4 boyutlu olsaydı nasıl gösterilirdi?
7. (2, -1, 1) vektörüne ve birbirine dik v ve w vektörlerini bulunuz.
8. x+4y-3z=0 düzleminin paralel olduğu düzlemi ve dik olduğu vektörü bulunuz.
9. 2x+5y-3z=6 düzlemi üzerinde iki nokta ve bu düzlemin normalini bulunuz. Bulduğunuz iki nokta
arasındaki vektörün normal vektöre dik olup olmadığını belirtiniz.
1
LCU Ödev
9/29/2009
Bölüm 2: Lineer Denklemler
Teslim Tarihi: 20 Kasım 2009
1. Aşağıda verilen matrisleri kullanarak A x çarpımını yapınız.
2 5
 3
a) 

 − 2 − 1 4
b)
2 0
 4
 − 2 − 2 4


1 0
 0
2. (x,y,z) vektörünü (y,z,x) vektörüne dönüştüren P matrisini ve (y,z,x) vektörünü tekrar (x,y,z)
vektörüne dönüştüren P-1 matrisini bulunuz.
3.
3x+5y+z=0
d nin hangi değeri için satır değişimi gerekir?
6x+dy+z=2
d nin hangi değeri için sistem tekil olur?
y-z=3
1 
 2 −1 0
− 1 2 − 2 0 
 olduğuna göre E21 E32 E43 eliminasyon matrislerini bulunuz.
4. A = 
 0 −1 2
1 


0
1 − 2
0
5. y=a+bx+cx2 parabolü (x,y)=(1,2), (2,5) ve (3,8) noktalarından geçmektedir. (a,b,c) bilinmeyenleri
için matris denklemini oluşturun ve eliminasyonla çözün.
6. E 1. satırı 2.ye ekleyen, F ise 2. satırı 1. satıra ekleyen bir matris ise EF ve FE eşit midir?
7. A 3x5, B 5x3, C 5x1 ve D 3x1’lik matrisler ise şu işlemlerin hangileri yapılabilir? Sonuçlar ne
boyuttadır?
BA, A(B+C), ABD, AC+BD, ABABD, A(C+D)
8. A2 , A3 , A4 , Av, A2 v, A3 v, A4 v’yi hesaplayın. v=(x,y,z,t)
0
0
A=
0

1
1 0 0
0 1 0

0 0 1

0 0 0
0 1 1 
9. 1 0 1
2 3 4
2
ve
1 2 0 
 2 4 2


2 2 2
için PA=LU’yu oluşturun.
LCU Ödev
9/29/2009
10. A x=b’ yi çözün.
1
2
A=
0

0
b=(5,8,8,2)
0
1 1 0 
1 3 − 2

0 3 3
1 0
1 0 1 
11. A = 4 4 4
4 4 5
ise U’yu elementer matrisleri hesaplayıp bulunuz.
2 4 8
12. A = 0 6 9
0 0 5
ise LDU’yu bulunuz.
13. Hangi c değeri için aşağıdaki matris L ve U’ya ayrılamaz?
1 2 0
A = 3 c 1
0 5 5
*********************************************************************************
Bölüm 3-4-5 Vektör Uzayları ve Altuzaylar, Ortogonallik, Determinantlar
Teslim Tarihi: 11 Aralık 2009
1. a) Kaç adet 5x5’lik permütasyon matrisi vardır?
b) Bunlar lineer bağımsız mıdır?
c) Bunlar tüm 5x5 matrisler uzayını oluşturur mu?
2
0
2
1 
1

2. A = − 1 − 2 1
1
0 
olduğuna göre
 1
2 − 3 − 7 − 2
a) A’yı U basamaklı formuna getiriniz.
b) Rankını bulunuz.
c) Dört temel altuzayının boyutlarını belirleyiniz.
3.a) Aşağıdaki matrislere ilişkin 4 temel altuzay için bazları bulunuz.
b) Det A=?, Det B=?
c) A matrisinin kofaktörlerini bulunuz.
3
LCU Ödev
9/29/2009
1 2 
A=

4 8 
0 0 
B=

0 0 
1 2 1 0 0
C=

1 0 1 0 1
4. Aşağıdaki denklem sisteminin tüm çözümlerini bulunuz.
1 1 1  x 1  2
3 1 1  x  = 4

 2   
2 1 1  x 3  4
5. a1=(2,1), a2=(3,0) ise
a) a2-ka1 vektörünün a1’e dik olması için k ne olmalıdır? Şekil çizerek gösteriniz.
b) Bulunan vektörleri normalize ediniz.
1 2
c) A = 
matrisini QR şeklinde faktörize ediniz. Det A=?

1 0
6. v1=(1,1,-1) vektöründen başlayıp R3 uzayı için ortonormal bir baz bulunuz.
7.a) v1=(1,2,1), v2=(0,1,3), 9 =(3,7,6) vektörleri R3 içinde aynı düzlemde midir?
b) Aynı düzlemde ise,bu düzleme dik olan doğruyu bulunuz.
8. Aşağıda verilen dataya en uygun doğruyu bulunuz.
x=0 için
y=0
x=1 için
y=3
x=3 için
y=12
9. v1=(1,2,1) ve v2=(0,1,2) vektörlerinin oluşturduğu uzaya izdüşüm gerçekleştiren P izdüşüm matrisini
bulunuz.
*********************************************************************************
Bölüm 6:Özdeğerler Özvektörler
1.
2
du
= Au = 
dt
1
3
u
0 
Teslim Tarihi: 25 Aralık 2009
denkleminin çözümlerini bulunuz.
u(0)=(4,0) ise çözümler ne olur?
2.
1 0
A=

4 8 
matrisinin
a) Özdeğerlerini,
b) Özvektörlerini bulunuz.
c) Öyle bir S matrisi bulunuz ki S -1AS köşegen olsun.
3.
4
d u (t ) 3 1 u (t )
=
şeklinde veriliyor.
dt  v(t )  1 3  v(t ) 
LCU Ödev
9/29/2009
a) diferansiyel denklemi çözün. Đlk koşullar u(0)=3, v(0)=1 dır.
b) Sistem kararlı mıdır? Neden?
4. Bir A matrisinin özdeğerleri λ1=0, λ2=1 ve bunlara karşı düşen özvektörleri x1=(1,2), x2=(2,-1)
olarak bulunmuştur.
a) A matrisi simetrik midir?
c) A nedir?
e) Đzi (Trace) nedir?
b) Determinantı nedir?
d) A 2 nin özdeğerleri ve özvektörleri nedir?
1 3
5. A = 

3 1
olarak verilmektedir. e At yi bulunuz.
1 2
6. A = 

4 8 
matrisinin özdeğer ve özvektörlerini bulunuz. Bu durumda
a) A100 ü bulunuz.
b) eAt yı bulunuz.
7. A matrisinin iki bağımsız özvektörü olup olmadığını gösteriniz:
2i 2
A=

 1 0
8. Elemanları 0, 1, 2, -2, 4, 0, -4, 12, -12, 4,…… şeklinde sıralanan sayı dizisinin durum denklemlerini
oluşturunuz. [ uk+1=Au k, A 3x3’lük matris.] a) Oluşan matrisin özdeğerlerini ve özvektörlerini
bulunuz.
b)Dizinin 66. elemanı nasıl bulunur, açıklayınız. (Bulmanıza gerek yok) c) A79 u hesaplayınız.
5
LCU Ödev
9/29/2009