11. SINIF KONU ANLATIMLI 1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET 7. Konu İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM ETKİNLİK VE TEST ÇÖZÜMLERİ 7 İtme ve Çizgisel Momentum 2 1. Ünite 7. Konu (İtme ve Çizgisel Momentum) 3. a.Çarpışma sırasında cisimlerin momentumları korunacağından; A’nın Çözümleri Pönce= Psonra 1. Eğik atılan bir cismin hareketi boyunca yatay doğrultudaki hızı değişmez. Bu nedenle eğik atışta yatay doğrultuda momentum değişmez. Momentum değişimi yalnızca düşey doğrultudadır. Atılış anında top mermisinin düşey hızı; m1 . v1 – m2 . v2= (m1 + m2). vortak vy = v0 . sin37° vy = 20 . 0,6 = 12 m/s dir. 1 . 3 – 2 . 6= 3 . vortak –9= 3 . vortak vortak= – 3 m/s bulunur. O halde cisim (–) yönde 3 m/s hızla hareket eder. b. Çarpışmada kaybedilen kinetik enerji; vy=0 vx v0 vy1 hmax vx 37° vy2 v0 E ilk = 1 1 · 1· 9 + · 2 · 36 = 40, 5 J 2 2 E son = ΔP = m(vy – vy ) ΔP = 4(–12 – 12) = –96 kg m/s bulunur. 1 1 1 ( m 1 + m 2) · v 2ortak = · 3 · 3 2 2 2 E son = 13, 5 J Nihat Bilgin Yayıncılık© Top mermisi atılırken düşey hızı vy = 12 m/s dir. 1 Top mermisi yere düşerken düşey hızı vy = –12 2 m/s olduğundan momentum değişimi; 2 1 1 m · v2 + m · v2 2 1 1 2 2 2 37° vx E ilk = E kay ı p = 40, 5 – 13, 5 = 27 J bulunur . 4. 2. P2 A B C vortak Portak(x) çarpışmadan sonra 37° Portak Çarpışmadan önceki momentumların vektörel toplamı, çarpışmadan sonraki momentumların vektörel toplamına eşittir. Momentumun korunumundan; P önce = P sonra P1 Portak(y) Hem yatay eksende hem de düşey eksende momentum korunur. Yatay momentum korunumundan; P ortak(x)= P 1 m1 v 1 + m2 v 2 + m3 v 3 = (m1 + m2 + m3) v ortak m · vortak · cos37°= m1 · v1 1 . 30 + 1 . 10 + 2 . 10 = (1+1+2) · vortak (3 vortak = 15 m/s bulunur. 4 = 2 · 4 5 vortak= 2 m/s + 2) · vortak · 3 İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM 5. Pönce= Psonra y P1 = 12 kg.m/s m1 . v1 – m2 . v2= (M + m1 + m2) . vortak 0,1 . 300 – 0,4 . 50= (500 + 100 + 400).10–3. vortak 30 – 20= 1 . vortak vortak= 10 m/s P2 = P 12 + P 2 P2 = 12 2 + 16 2 = 20 kg.m/s P2 = m2 . v2 20 = 2 . v2 ⇒ v2 = 10 m/s bulunur. O halde m2 kütleli cisim güneydoğu yönünde 10 m/s hızla hareket eder. m1 . v1 60° m2 . v2y Pönce = Psonra m1 . v1 – m2 . v2x = (m1 + m2) .vortak Nihat Bilgin Yayıncılık© 6. Balmumunun düşey momentum bileşeni araba yardımıyla yola aktarılır. Yataydaki momentumun korunumundan; m2 . v2x P2 dir. P1 > P2 olduğundan cisim (+) yönde ve 10 m/s lik hızla hareket eder. x Pönce = 16 kg.m/s α 9 . 8 – 1 . 4 . cos 60°= 10 . vortak 72 – 2 = 10 . vortak vortak = 7 m/s bulunur. 8. Cismin patlamadan önceki momentumu; Pönce = m . v = 6 . 5 = 30 kg.m/s dir. Patlamadan sonraki v1, v2 hızlı cisimlerin momentumları; y 7. Cismin parçalanmadan önce toplam momentumu yatay eksen üzerinde ve doğu yönündedir. Pönce = m . v Pönce = 8 . 2 = 16 kg . m/s dir. Patlamadan sonra m1 kütleli cismin momentumu; P1 = m1 . v1 = 12 kg . m/s dir. Momentumun korunması için P2 nin düşey bileşeni 12 kg.m/s, yatay ekseni ise 16 kg.m/s olmalıdır. P1 = 2 . 5 = 10 kg.m/s Pönce 60° 60° |P1 + P2| = 10 kg.m/s x P2 = 2 . 5 = 10 kg.m/s 1 ve 2 numaralı parçaların momentumlarının bileşkesinin büyüklüğü 10 kg.m/s dir. Patlamadan sonraki momentumun +x yönünde 30 kg.m/s çıkması için üçüncü parça +x yönünde ve 10 m/s hızla hareket etmelidir. 4 Ünite 2 Kuvvet ve Hareket 9. Cisim tepe noktasında 30 m/s yatay hıza ve Pilk = m . v0x = 3 . 30 = 90 kg.m/s lik momentuma sahiptir. Patlamadan sonra bileşke momentum aynı yönde ve 90 kg.m/s olmalıdır. Patlamadan sonra hareketli iki cismin yatay momentumlarının toplamı 90 kg.m/s olduğundan 3. parça düşey aşağı doğru 30 m/s hızla hareket etmelidir. 12.a. Tahta bloktaki yükselmeye cisimlerin yatay momentumları neden olur. Momentumun korunumundan; Pönce= Psonra m1 . v1 – m3 . v3 . cos 37°= mortak . vortak 10.10–3.160 – 5.10–3. 400 . 0,8= 500 . 10–3 . vortak 1600 – 1600= 500 . vortak vortak= 0 bulunur. Yani tahta blok hareket etmez. b. İpteki gerilmeyi yatay hızın oluşturduğu itme ve cisimlerin toplam ağırlıkları meydana getirir. 10.Kuvvet - zaman grafiklerinin altında kalan alan momentum değişimini verir. O hâlde; Fnet (N) 15 A1 0 A2 5 35 + 15 · 5 = 125 N.s 2 A2 = 15 · 5 = 75 N.s t(s) 10 A1 = Nihat Bilgin Yayıncılık© 35 F . Δt = ΔP F . 0,1 = m3 . v3 . sin 37° F . 0,1 = 5 . 10–3 . 400 . T=F+G T = 12 + (m1 + m2 + m3) . g T = 12 + (485 + 5 + 10) . 10–3 . 10 T = 17 N bulunur. 3 ⇒ F = 12 N 5 13.a. P = m . v0x 60 = 2 . v0x ∆P = A1 + A2 = 200 N.s Yatayda alınan yol; ∆P = m(vson – v1) x = v0x . t 200 = 10(vson – 0) ⇒ vs = 20 m/s 240 = 30 . t ⇒ t = 8 s bulunur. Ek = 1 m · v 2son 2 1 Ek = · 10 · (20)2 = 2000 J bulunur. 2 Cisme uygulanan itme; I = F . Δt = mg . Δt I = 2 . 10 . 8 = 160 N . s bulunur. b. tuçuş = 2 11.Momentumun korunumundan; m1 · v = (m1 + m2) · vortak 50 · 10–3 · v = 1000 · 10–3 · 2 ⇒ v = 40 m/s ⇒ v0x = 30 m/s v0y 8=2· g v0y ⇒ v0y = 40 m/s 10 Cismin yere çarpma hızı ve momentumu; v0 = v 20 x + v 20 y v0 = 30 2 + 40 2 = 50 m/s P = m . v0 = 2 . 50 = 100 kg.m/s bulunur. İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM 14.Mermi silindire çarptığında ona bir itme uygular. F . Δt = ΔP = m . (v1 – v′1) F . 2 . 10–2 = 10 . 10–3 . 80 F = 40 N bulunur. c. v1x –x v2x m1 5 +x m2 Pönce= Psonra m1 · v1x – m2 · v2x= (m1 + m2) · vortak m · 30 – 3m · 40= 4m · vortak r F G h vortak= –22,5 m/s bulunur. O halde cisim 22,5 m/s hızla –x yönünde yatay atış hareketi yapar. L Sistem dengede olduğuna göre L noktasına göre moment alınırsa; F.h=G.r 40 . 50 = G . 20 G = 100 N bulunur. Nihat Bilgin Yayıncılık© 16.m1 = 2m2 olduğundan m1 ve m2 kütleli cisimlerin A noktasındaki momentumlarının eşit olması için bu noktadaki hızları v2 = 2v1 olmalıdır. Serbest düşme hareketi kurallarına göre h1 = h ve h2 = 5h olur. O hâlde; h1 h2 = 1 bulunur. 5 15.a. Cisimler t süre sonra çarpışsınlar. O halde; v1x . t + v2x . t = 280 50 · cos 53° · t + 40 2 · cos 45° · t = 280 70t = 280 bulunur. Cisimlerin hızlarının düşey bileşenleri v1y = v2y = 40 m/s olduğundan bu süre cisimlerin maksimum yüksekliğe çıkma zamanıdır. Bu nedenle cisimler yörüngenin tepe noktasında çarpışır. b. hmax = t = 4 s ( v 1 y) 2 2g = ( v 2 y) 2 2g ( 50 · sin 53 ° ) 2 hmax = = 80 m bulunur. 2 · 10 17.a.m1 kütleli cisim a = g . sin 37° ivmesiyle yavaşlar, m2 kütleli cisim ise a = g . sin 37° ivmesiyle hızlanır. Çarpışmadan önceki hızları; v1 = v0 – g . sin 37° . t v1 = 36 – 10 . 0,6 . 2 = 24 m/s v2 = g . sin 37° . t v2 = 10 . 0,6 . 2 = 12 m/s bulunur. Momentumun korunumundan; m1 . v1 – m2 . v2 = (m1 + m2) . vortak 2 . 24 – 1 . 12 = 3 . vortak 36 = 3vortak vortak = 12 m/s 6 Ünite 2 Kuvvet ve Hareket b. vs son hız, vi ilk hız alınarak; vs = vi – a . t 0 = vortak – g . sin 37° . t vortak = g . sin 37° . t 12 = 10 . 0,6 . t ⇒ t=2s bulunur. O hâlde ortak kütle çarpışmadan 2 saniye sonra durur ve yön değiştirir. c. Ei = 1 1 m · v 2 + m2 · v 22 2 1 1 2 1 1 · 2 · (24)2 + · 1 · (12)2 2 2 Ei = 576 + 72 = 648 J Es = Es = –h = v0y . t – 5t2 –35 = 30 . t – 5t2 1 (m1 + m2) · v 2ortak 2 1 · 3 · (12)2 = 216 J 2 Kaybolan kinetik enerji; E = Ei – Es = 648 – 216 = 432 J bulunur. ç. m1 , m2 kütleli cisimlerin hız-zaman grafiği şekildeki gibidir. m1 kütleli cismin aldığı yol x1 , m2 kütleli cismin aldığı yol x2 kadardır. v (m/s) x1 0 12 |AB| = x1 + x2 t (s) x2 x1 = 36 + 24 · 2 = 60 m 2 x2 = 12 · 2 = 12 m 2 |AB| = 60 + 12 = 72 m v0x = 40 m/s m = 2 kg t2 – 6t – 7 = 0 (t – 7) (t + 1) = 0 bulunur. Bu süre içinde cisme uygulanan itme, momentum değişimine eşit olacağından; ΔP = F . Δt = mg . Δt ΔP = 2 . 10 . 7 = 140 kg . m/s bulunur. 19.a. ⇒ t=7s 40 m/s 40 m/s 30 m/s 30 m/s x = 60 m atay hızları 30 m/s olan iki cisim arasındaki Y uzaklık 60 m dir. İki cisim birbirine yaklaştığı için 1 saniye sonra çarpışırlar. Yani t1 = 1 saniyedir. 36 24 v0y = 30 m/s Ei = Nihat Bilgin Yayıncılık© 18.Cismin yere göre sahip olduğu hız bileşenleri v0x = 40 m/s ve v0y = 30 m/s dir. Cismin havada kalma süresi; b. Cisimlerin çarpışma anında yatay momentumları eşit ve zıt yönlüdür. Bu nedenle yatayda momentum sıfır olur. Yatay momentum sıfır olduğundan ortak kütle düşeyde 40 m/s hızla hareket eder. Cisimler atıldıkları noktadan sonra; v0y 2 · 40 = =8 s 2 10 havada kalırlar. Bunun 1 saniyesi çarpışma öncesinde geçtiği için çarpışmadan 7 saniye sonra atıldıkları noktaya gelirler. t=2· İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM 20. v0y v0 45° –h 45° h L dir. Cisim hareketi sırasında yatayda ve düşeyde eşit h yollarını almaktadır. h = v0 · cos 45° · t = v0 –h = v0 · sin 45° · t – –v0 · 5t2 = 2( 2 v )·t 2 0 5·2= 2 · v0 ⇒ v0 = 5 2 m/s PK = m · v0 = Cisimlerin çarpışmadan sonraki ortak hızı; m1v1 + 0 = (m1 + m2)vortak 100 . 10 = (250) . vortak vortak = 4 m/s bulunur. Çarpışmadan önceki kinetik enerjileri; Ek = Ek Ek(top) = Ek + Ek = 5000 J Çarpışmadan sonra sistemin toplam kinetik enerjisi ise; Eʹk = 1 1 m v 2 = 100(10)2 = 5000 J 2 1 1 2 = 0 dır. 1 2 1 (m + m2) v 2ortak 2 1 1 Eʹk = (250)42 = 2000 J 2 olur. Kaybolan kinetik enerji; m1 · v1 + m2 · v2 = (m1 + m2) · vort 4000 · 10 + 0 = (10000) · vort Nihat Bilgin Yayıncılık© 2 · 5 2 = 10 kg.m/s / P önce = / P sonra 2 t – 5t2 2 21.Çarpışmadan önceki momentumların vektörel toplamı, çarpışmadan sonraki momentumların vektörel toplamına eşittir. 2 ΔEk = 3000 J olur. 2 · t ................. (1) 2 1 2 gt ..................... (2) 2 (1) denklemi (2) denkleminde yerine yazılırsa; 1 22.m1 kütleli vagon, yaya dokunduğu andan itibaren bir kuvvet uygulayarak m2 kütleli vagonu harekete geçirir. Bu etkileşim iki vagonun hızı eşit oluncaya kadar devam eder. Vagonların hızları eşit olduğu andan itibaren birbirinden ayrılırlar. Yaydaki en büyük sıkışma iki vagonun hızlarının eşit olduğu andır. Momentumun korunumundan; K noktasından atılan cisim L noktasına düşmekte- 2 t = v0 · 2 ΔEk = Ek – Eʹk = 5000 – 2000 v0x K 7 vort = 4 m/s bulunur. Sürtünmeler önemsenmediğine göre mekanik enerji korunur. Çarpışmadan önce yalnız m1 kütleli vagonun kinetik enerjisi vardır. Çarpışmadan sonra ise toplam kütlenin kinetik enerjisi ve yayın potansiyel enerjisi vardır. O hâlde; / Eilk = / Eson 1 1 1 · m1 · v 21 = · (m1 + m2) · v 2ort + · k · x2 2 2 2 1 1 1 · 4 · 103 · 100 = · (1 · 104) · 16 + · 12 · 104 · x2 2 2 2 2 · 105 = 8 · 104 + 6 · 104 · x2 x= 2 m bulunur. 8 Ünite 2 Kuvvet ve Hareket 3. Önce momentum vektörlerinin yatay ve düşey bile- Test 1 in Çözümleri şenlerini alalım. 4 mv 1. Soruda verilen ivme-zaman grafiğinden yararlanarak hız-zaman grafiğini aşağıdaki gibi çizebiliriz. 3 mv hz 2 mv t 0 2t I II 3t 2 mv A mv zaman III –v Şekil I Şekil II Birim karelerin kenarları 1 birim alındığında çarpışmadan önceki momentum vektörlerinin bileşenleri –2v Şekil I deki gibidir. Cisimler çarpıştıktan sonra Şekil II de gösterilen yönde hareket eder. Verilen hız-zaman grafiğinden yararlanarak I ve II aralıklarında hızın arttığını III. aralıkta ise hızın azaldığını söyleyebiliriz. Hangi aralıkta hız azalıyorsa aynı aralıkta momentum da azalır. Yanıt B dir. Yanıt E dir. 2. Momentum, P = m v bağıntısı ile bulunan vektö- Nihat Bilgin Yayıncılık© rel bir büyüklüktür. P ile v vektörleri birbirinin varlık nedenidir. Bu nedenle momentum - zaman grafikleri ile hız-zaman grafikleri birbirine çok benzer. Aradaki tek fark m çarpanıdır. Momentum-zaman grafiği verilen cismin hız-zaman grafiği aşağıdaki gibidir. 4. Soruda verilen şekil incelendiğinde v1 = 1 birim alı2 birim, v3 = nırsa v2 = hız 2 birim olduğu görülür. 4v 3v P3 = 2 mv 2v 45° I P2 = 2 2 mv 45° P1 = mv v 0 IV 3 mv II t III 2t 3t zaman Şekil I 2 mv Şekil II Bilindiği gibi hız-zaman grafiklerinde eğim ivmeyi verir. Şekilden a1 = 0, a2 nin artan, a3 ün sabit olduğu görülür. F = ma olduğuna göre I. aralıkta kuvvet sıfır, II. aralıkta artan, III. aralıkta sabittir. Çarpışmadan önceki momentum vektörlerinin büyüklükleri Şekil I deki gibidir. Bu vektörler sadeleşince Şekil II deki durum ortaya çıkar. Bir başka ifadeyle, cisimler birbirine yapıştıktan sonra IV numaralı yolu izler. Yanıt E dir. Yanıt D dir. 9 İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM 5. Soruda verilen şekil incelendiğinde v1 = 2v , 2 v olduğu görülür. Çarpışmadan önceki mo- v2 = v 7. 120° v P1 = 2m1.v –x P2x A noktasında iç patlama sonucu üç eşit parçaya ay- +x rılan cismin patlama sonrası momentumu sıfırdır. O hâlde patlama olmadan önceki momentum da sıfır- P2y dır. Bunun böyle olması için cismin tepe noktasına P2 = 2 m2.v Ortak kütlenin (–x) yönünde hareket edebilmesi için; P1 = P2y P1 = 2m1v = 2m1 = m2 2 m2v · sin 45° 2 m2v · varmış olması gerekir. Buradan; v 20 60 2 = hmax = 2g 20 hmax = 180 m bulunur. Yanıt D dir. 2 2 m1 1 m 2 = 2 bulunur. Yanıt C dir. Nihat Bilgin Yayıncılık© v Psonra = 0 45° 120° 120° mentum vektörleri şekildeki gibidir. 6. a m2 = 1,5 kg 8. (–) m1 = 0,5 kg m2.g = 15 N v1 m1.g = 5 N lik ivmeyle hızlanır. İki cisim aynı ipe bağlı olduğun- m1 · v = m ·v P2 2 P1 P2 = P1 0, 5 1 = bulunur . 1, 5 3 Yanıt C dir. ip m2 = 400 kg v2 İp kesilmeden önce cisimler durgun olduğundan momentumları sıfırdır. İp koptuğunda momentumların vektörel toplamı yine sıfır olacağından; Destek çekildiğinde sistem ok yönünde a = 5 m/s2 dan hızları her zaman eşit olur. Bu nedenle; m1 = 300 kg (+) Pönce = Psonra 0 = 400 · v2 + 300 · (–v1) 4 · v2 = 3 · v1 v1 4 v 2 = 3 bulunur. Yanıt A dır. Ünite 2 Kuvvet ve Hareket 9. B noktası yörüngenin tepe noktası olup bu noktada yalnızca yatay hız vardır. B noktasında cismin yatay hızı vx = v0 . cos 60° = 15 m/s dir. Yani patlama olmadan önce cismin momentumu; 11. v2=15 2 m/s v1y=15 m/s v1=25 m/s Px = m · vx = 2 · 15 = 30 kg.m/s A dir. Patlamadan sonra da bu momentumun korunması gerekir. 37° v1x=20 m/s C 60 m v2y=15 m/s 10 45° v2x=15 m/s B 45 m Şekil I v2 = 30 2 m/s v2y = 30 m/s 45° 1 kg B 1 kg v1 = 30 m/s m1, m2 kütleli cisimlerin atılma anındaki hızlarının yatay ve düşey bileşenleri Şekil I deki gibidir. Her iki cismin düşey hızları eşit olduğundan, cisimler, aynı yükseklikten geçer. Cisimlerin düşey hızları 15 m/s olduğundan, her iki cismin de uçuş süresi 3 s dir. Bu nedenle A noktasından atılan m1 kütleli cisim, 3 s de yatayda 60 m yol alarak C noktasına varır. Benzer biçimde B noktasından atılan m2 kütleli cisim de aynı sürede 45 m yol alarak C noktasına varır. C noktasında hız vektörlerinin düşey bileşenleri yer tarafından dengelenir. v2x = 30 m/s Bu nedenle patlamadan sonra diğer parça yatayla 45° lik açı yapacak biçimde v2 = 30 2 m/s ilk hızla eğik atış yapar. Nihat Bilgin Yayıncılık© Yanıt B dir. v1x = 20 m/s v2x = 15 m/s m m vort = 2,5 m/s m m Şekil II C noktasında cisimlerin hız vektörlerinin yatay bileşenlerinin etkileşimi Şekil II deki gibi olur. Ortak kütle ise sağa doğru 2,5 m/s lik hızla yatay yüzeyde düzgün doğrusal hareket yapar. Yanıt B dir. 10.Eğik atış hareketinde yatay eksende hız değişimi olmadığından momentum değişimi de yoktur. Düşey eksende ise momentum değişimi vardır. vilk = v T C B vson = –v Cismin B den C ye varıncaya kadarki momentum değişimi; Δ P = m . Δ v = m . ( v son – v ilk) ΔP = m (–v – v) = –2mv bulunur. Yanıt E dir. 11 İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM 12. 14.m2 kütleli cisim arabadan atılmadan önce, arabanın, +x doğrultusunda bir momentumu vardır. Atıldıktan sonra cismin y doğrultusunda bir momentumu oluşacak ancak bu momentumun arabanın hız vektörüne bir katkısı olmayacaktır. +x yönündeki momentumun korunumundan; 30 m/s yatay 2 kg v0 = 40 m/s h = 80 m Balondan atılan cismin yere düşme süresi; t2 – 6t – 16 = 0 / Pönce ( x ) = / Psonra ( x ) (m1 + m2)v1 = m1vʹ1 + m2v2x (t – 8) · (t + 2) = 0 ⇒ t1 = 8 s, t2 = –2 s olur. Zaman negatif değer almayacağına göre t = 8 s dir. Cismin uçuş süresi 8 s olduğuna göre bu cisme uygulanan itme; itme = F . Δt bulunur. Buradan v2 hızı; itme = mg . Δt itme = 2 . 10 . 8 = 160 N.s olur. v2x = v2 . cos 60° m1 = 4 kg v1 = 4 m/s a = 2 m/s2 10 · 4 = 8 · 4 + 2 · v2x Nihat Bilgin Yayıncılık© Yanıt C dir. 13. v2x –80 = 30 · t – 5t2 60° m2 1 –h = v0y · t – · g · t2 2 v2 v2y yer 8 = 2v2x ⇒ v2x = 4 m/s 4 = v2 · 1 2 ⇒ v2 = 8 m/s bulunur. Yanıt C dir. m2 = 1 kg m2.g = 10 N Şekildeki sürtünmesiz sistem serbest bırakıldığında ok yönünde a = 2 m/s2 lik ivme ile hızlanır. Sistemin, dolayısıyla m2 kütleli cismin hızı arttıkça potansiyel enerjisi azalır. m2 kütleli cismin potansiyel enerjisi 360 J azaldığında ∆Ep = ∆Ek 1 · (m1 + m2) · v2 2 1 360 = · 5 · v2 ⇒ v = 12 m/s 2 bulunur. Bu hız, her iki kütlenin ortak hızıdır. m1 kütleli cismin ilk hızı sıfır, son hızı 12 m/s olduğundan momentumundaki değişme; 15. v1 = 14 m/s ΔP = m1 . Δv = 4 . (vson – vilk) ΔP = 48 kg m/s bulunur. m1 = 4 kg v2 m2 = 3 kg m1 m2 ç. önce ç. sonra Şekil I Şekil II Hızı v1 = 14 m/s olan m1 kütleli cisim, durgun hâldeki m2 kütleli cisme merkezi esnek olarak çarpıyor (Şekil I). Cisimlerin çarpışmadan sonraki hızları v′1, v′2 olsun. vʹ2 = ( 2m1 ) · v1 m1 + m2 vʹ2 = ( 8 ) · 14 = 16 m/s olur. 7 Yanıt D dir. v1 ∆Ep = v2 = 0 Yanıt C dir. 12 Ünite 2 Kuvvet ve Hareket 16.Momentumun korunumundan çarpışmadan sonraki ortak hızı bulalım. / Pönce = / Psonra m1v1 + m2 · 0 = (m1 + m2) · vort 0,1 · 300 + 0 = 1 · vort vort = 30 m/s v1 = 300 m/s v2 = 0 vort m1 m2 m1 + m2 ç. önce ç. sonra Ortak kütle, sahip olduğu kinetik enerjiyi potansiyel enerjiye dönüştürerek yükselir. Yükselme miktarı; Ek = Ep 1 · mv2 = mgh 2 v 2ort 900 = 2g 20 h = 45 m bulunur. h= Yanıt A dır. 17.Merkezi esnek çarpışma yapan iki cismin ilk momentumlarının bileşkesi sıfır ise, çarpışmadan sonra, cisimler geldikleri hızlarla geri dönerler. Pönce = 2m . 3v + 3m (–2v) = 0 olduğundan, Psonra = 0 olmalıdır. Bu nedenle; v′1 = –3v v′2 = 2v olur. (–) v1 = 3v m1 = 2m (+) v2 = 2v m2 = 3m Yanıt E dir. Nihat Bilgin Yayıncılık© 13 İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM 4. • Kuvvet-ivme grafiğinin eğimi cismin kütlesini verir. Test 2 nin Çözümleri • Cisim başlangıçta durmakta olduğundan kuvvet zaman grafiğinin altında kalan alan momentumu verir. 1. Bir cismin kinetik enerjisiyle momentumu arasında P2 bağıntısı vardı. Grafik incelendiğinde; 2m P = 5 kg.m/s iken Ek = 5 J olduğu görülür. Buradan; Ek = • Momentum P = m . v olduğundan P ve m bilinenleriyle v hızı bulunur. Yanıt D dir. 52 2m 2m = 5 5= m= 5 2 bulunur. Yanıt A dır. 2. kuvvet F + 0 t 3t 2t 4t zaman – –F Nihat Bilgin Yayıncılık© 5. hz v II I 0 t III 2t 3t zaman Momentum-zaman grafiği ile hız-zaman grafiği birbirine benzer grafiklerdir. Şekildeki grafiğe göre cisim I. aralıkta a ivmesiyle hızlanmış II. aralıkta a = 0 ivmesiyle sabit hızlı III. aralıkta a ivmesiyle yavaşlamıştır. Yani cisme II. aralıkta kuvvet etki etmez. Kuvvet-zaman grafiğinin altındaki alan momentum değişimini verir. Buradan 4t anında momentumun sıfır olduğu görülür. Yanıt E dir. Yanıt D dir. 3. ivme-zaman grafiğinden cismin 2 s sonraki hızı 1. s için; v1 = 10 – 2 . 1 = 8 m/s 2. s için; v2 = v1 + 2 . 1 = 10 m/s dir. Momentum değişimi; 6. itme = ∆P ΔP = m . (v2 – v1) itme = m(vs – vi) ΔP = 2 . (10 – 10) = 0 bulunur. itme = m(– Pratik Çözüm: İvme-zaman grafiğine göre ilk 2 saniyede hızdaki değişim sıfırdır. Yanıt C dir. 3m · v v – v) = – 2 2 bulunur. (–) işareti itmenin azaldığını gösterir. Yanıt B dir. 14 Ünite 2 Kuvvet ve Hareket 7. Cismin 50 m yükseklikten 10 m yüksekliğe ininceye kadar geçen zaman; h = 5t2 40 = 5 . t2 10.m1 ve m2 kütleli cisimlerin A noktasındaki hızı; v1 = 2 2 · g · h v2 = olur. Cisimler çarpıştıktan sonra durduklarına göre ilk momentumları birbirine eşit ve zıt yönlüdür. O hâlde; t=2 2 s bulunur. Bu sürede cismin kazanacağı hız ve momentum; v=g.t v = 10 . 2 2 = 20 2 m/s P=m.v P= 2·g·h P1 = P2 m1 · 2 2 gh = m2 · m1 1 m2 = 2 2 gh bulunur. Yanıt B dir. 2 · 20 2 = 40 kg . m/s 8. Grafikte cismin ilk hızı 10 m/s, son hızı –10 m/s olarak verilmiştir. Momentumdaki değişim; ΔP = m (vs – vi) ΔP = 2 . (–10 – 10) ΔP = 2 . (–20) = –40 kg . m/s Nihat Bilgin Yayıncılık© Yanıt C dir. 11.m kütleli K cismi duran m kütleli L cismine çarptığında hızını ona aktarır ve kendisi hareketsiz kalır. O hâlde K 1 cisminin kinetik enerjisi, mv2 kadar azalır. 2 Yanıt C dir. Yanıt C dir. 12. y P = 6 kg.m/s P2 = 6 kg.m/s 60° 60° A P1 = 6 kg.m/s x 30° 9. Momentumun korunumu ilkesinden, Pilk = Pson olmak zorundadır ve momentum vektörel bir büyük→ → lük olduğundan P2 ve P1 momentumlarının vektörel → toplamı P momentumunu vermelidir. Bunu sağla→ yan P1 momentumu Şekil II de kesikli çizgilerden IV ile ifade edilmiştir. Yanıt D dir. Şekil incelendiğinde ortak kütlenin momentumu P = 6 kg . m/s olduğu görülür. O hâlde ortak kütlenin hızı; P = (m1 + m2) . vortak 6 = (3 + 2) . vortak vortak = 1,2 m/s Yanıt D dir. 15 İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM 13. 15. y P P2 = 2 · 8 = 16 kg.m/s P= 10 . 10–3 x P1 = 1 · 12 = 12 kg.m/s ( 12 ) 2 + ( 16 ) 2 = 20 kg.m/s P = (m1 + m2) · vortak 20 = (2 + 1) · vortak vortak = m . v = (M + m) . vortak A Pönce = Psonra . 400 = (990 + 10) . 10–3 . vortak vortak = 4 m/s bulunur. Ortak kütlenin yükselme miktarı; h= h= v 2ortak 2g (4)2 4 = m bulunur. 5 2 · 10 Yanıt C dir. 20 m/s 3 Yanıt A dır. 16.m kütleli cismin L noktasındaki hızı; 1 m · v2 2 1 10 · 1,8 = v2 ⇒ v = 6 m/s 2 bulunur. Momentumun korunumundan; Pönce = Psonra m . v = (m + 2m) . v′ m . 6 = 3m . v′ bulunur. Çarpışmadan sonra cisimler; h= Nihat Bilgin Yayıncılık© 14.Sistemin ilk kinetik enerjisi; v 1 1 mv2 + · 2m( )2 2 2 2 Ek1 = 3 m · v2 .............................................. (1) 4 bulunur. Cisimlerin çarpışma sonrası sahip oldukları kinetik enerji; m · v + 2m · v = 3m · vʹ 2 2mv = 3m · vʹ ⇒ vʹ = Ek2 = Ek2 = ⇒ v′ = 2 m/s vl 2 2g 4 1 h= = m 5 20 yüksekliğe çıkar. Yanıt B dir. Ek1 = mgh = 17. 2 v 3 2 1 · 3m · ( v)2 3 2 2 mv2 ............................................... (2) 3 bulunur. (1) ve (2) denklemi oranlanırsa; 2 m · v2 3 8 = = E k1 3 9 2 m· v 4 Yanıt B dir. m1 · v1 + m2 · v2 = (m1 + m2) · vortak m1 · v = (m1 + m2) · m1 · v = m1 · E k2 Pönce = Psonra 2 · m1 · v = 3 m1 m2 = v 3 v v + m2 · 3 3 1 · m2 · v 3 1 2 Yanıt B dir. 16 Ünite 2 Kuvvet ve Hareket 18.Çarpışmadan sonra; 20. Pönce = Psonra m1 · v1 + m2 · v2 = (m1 + m2) . vortak 1 · 20 = (1 + 3) · vortak vortak = 5 m/s h = 5 t 2u ç 20 = 5 t 2u ç Fx 9m Dinamiğin temel prensibinden; Fnet = F . cos 37° = m . a 60 . 0,8 = 6 . a a = 8 m/s2 bulunur. ⇒ tuç = 2 s x = vortak · tuç = 5 · 2 = 10 m bulunur. F 37° hızla ortak kütle yatay atış hareketi yapar. O hâlde; Fy Yanıt D dir. 1 a · t2 2 x= 3 1 · 8 · t2 ⇒ t = s 2 2 I = Fnet · ∆t I = 60 · cos 37° · I = 60 · 9= 3 2 4 3 · = 72 N.s bulunur. 5 2 Nihat Bilgin Yayıncılık© Yanıt A dır. 21.Cismin momentumdaki değişimi; 19.Momentumun korunumundan; → → → Δ P = Ps – Pö dir. O hâlde; mv m1 . v1 – m2 . v2 = (m1 + m2) . v 380 . 20 – 20 . 100 = 400 . v 5600 = 400 . v 60° 60° mv 30 ° 30° Pönce = Psonra v = 14 cm/s mv bulunur ve P1 > P2 olduğundan cisim +x yönünde hareket eder. Yanıt D dir. bulunur. Yanıt A dır. 17 İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM 3. Test 3 ün Çözümleri 2P 1. Balmumu sahip olduğu düşey momentumu araba yardımıyla yere aktarır. Yatayda momentumun korunumu göz önüne alınıldığında; P1 m P2 1 br Pönce= Psonra vortak= 8 m/s bulunur. Yanıt C dir. P1 = m1 . 2 br = P ............................................ (1) P2 = m2 . 1 br = 2P .......................................... (2) elde edilir. (1) ve (2) denklemleri oranlanırsa; 2. A noktasındaki cismin K noktasında sahip olduğu hız ve kinetik enerji; 1 m · v2 2 1 10 · 20 = · v2 ⇒ v = 20 m/s 2 1 1 Ek(önce) = m · v2 = · 1 · (20)2 = 200 J 2 2 bulunur. Çarpışma sonrası hızı ve kinetik enerjisi; Pönce = Psonra m · v = (m + m) · vortak 1 · 20 = (1 + 1) · vortak ⇒ vortak = 10 m/s Ek(sonra) = mgh = 1 1 · 2m · v 2ortak = · 2 · (10)2 = 100 J 2 2 Çarpışma sırasında ısıya dönüşen enerji; E1 = Ek(önce) – Ek(sonra) = 200 – 100 = 100 J bulunur. Enerjinin korunumundan; Ek(sonra) = E2 + mgh 100 = E2 + 2 . 10 . 2,5 bulunur. O hâlde; E1 E2 = ⇒ Yanıt E dir. m 2 · 1 br = P 2P m & m1 = 1 4 2 Yanıt E dir. 4. 3m kütleli cismin iç patlama sonucu parçalanmadan önceki düşey momentumu sıfırdır. Bu nedenle parçaların da düşey momentumlarının bileşkesi sıfır olur. Böyle olması için m kütlesi cismin hızı 2v olur. Her birinin momentumu 2mv olan parçalar arasındaki açı 120° olduğundan bileşkeleri +x yönünde 2mv olur. Momentumun korunması için 3m kütleli cismin par2 çalanmadan önceki hızının v olması gerekir. 3 Yanıt B dir. E2 = 50 J 100 = 2 bulunur. 50 m 1 · 2 br Nihat Bilgin Yayıncılık© 2 Şekle bakıldığında; 4 . 10= (4 + 1) . vortak m 1 br m1 . v= (m1 + m2) . vortak P 1 18 Ünite 2 Kuvvet ve Hareket 5. Cisimler 3h yüksekliğinden bırakıldıklarından P noktasında kazanacakları hız değeri v = Momentumun korunumundan; 2m · 6 gh dır. 6 gh – m · 6 gh = 3m · vortak m· 6 gh = 3m · vortak 7. Cisim maksimum yükseklikte patladığı için ilk momentumu sıfırdır. Patlamadan sonra üç parçanın momentumlarının bileşkesi yine sıfır olur. 6 gh 3 bulunur. Bu hızla ortak kütlenin çıkabileceği maksimum yükseklik; vortak = | P 1 + P 2 + P 3| = 0 P 3 = – ( P 1 + P 2) olmalıdır. O hâlde; |P1| = 20 kg.m/s 60° 60° 1 mgh′ = m · (vortak)2 2 gh′ = 1d 2 |P1 + P2| = 20 kg.m/s 60° |P2| = 20 kg.m/s 2 6 gh n 3 |P3| = 20 kg.m/s 1 6g · h h ⇒ h′ = · 3 2 9 bulunur. 2m kütleli cismin momentumu m kütleli cismin momentumundan büyüktür. Bu nedenle ortak kütle PS arasında bir noktaya çıkar. gh′ = P3 = m . v3 20 = 2 . v3 v3 = 10 m/s bulunur. Yanıt B dir. 6. Çarpışmadan hemen önce m kütleli cismin kazandığı hız v1 , 2m kütleli cismin kazandığı hız v2 olsun. Şimdi bu hızları bulalım. 1 mgh = m · v 21 2 10 · 0,8 = 2mgh = 10 · 3,2 = Yanıt A dır. 1 · 2m · v 22 2 1 · v 22 2 v2 = 8 m/s bulunur. 9. I. h max = Çarpışmadan sonra momentumun korunumundan; 2m . v2 – m . v1 = (m + 2m + 3m) . vortak 2m . 8 – m . 4 = 6m . vortak 12m = 6m . vortak vortak = 2 m/s 8. Cisimlerin çarpışma öncesi momentumları eşit ve zıt yönlü olduğundan çarpışma sonrasında geldikleri hızın tersi ile hareket ederler. v1 = 4 m/s 1 · v 21 2 Nihat Bilgin Yayıncılık© Yanıt D dir. v 2ortak 2g bağıntısı ile bulunur. g, iki gezegende farklı olduğundan çıkabilecekleri h yükseklikleri farklı olur. II. m . v = (m + 2m) . vortak bağıntısına göre sarkacın ortak hızları her iki yerde de aynıdır. bulunur. 2m kütleli cismin momentumu m kütleli cismin momentumundan büyük olduğundan (b) yönünde hareket eder. III. Her iki gezegende sarkacın çıkabileceği h yüksekliği farklı olduğundan düşeyle yaptığı α açısı da farklı olur. Yanıt A dır. Yanıt B dir. 19 İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM 10.m kütleli cisim 4h yüksekliğinden bırakıldığından B noktasındaki hızı v = 2 2 gh olur. Çarpışmadan sonra momentumun korunumundan; 13.Çarpışma sonrası kütleler +x yönünde hareket ettiğine göre düşeydeki momentum sıfır olmalıdır. O halde; m · 2 2 gh = 2m · vortak P1y = P2y m1 · v · cos 37° = m2 · v · sin 37° vortak = bulunur. Ortak kütlenin çıkabileceği yükseklik; hl = hl = 2 gh m1 sin 37 ° 3 m 2 = cos 37 ° = 4 v 2ortak bulunur. Yanıt D dir. 2g 2 gh =h 2g bulunur. O hâlde ortak kütle C noktasına çıkar. Yanıt C dir. 14.Pönce = Psonra m1 . v1 – m2 . v2 = (m1 + m2) . vortak 90 . 10 – 10 . 30 = (90 + 10) . vortak 600 = 100 . vortak 11.Patlamadan önceki momentum +x yönünde ve Pönce = 8 · 12 = 96 kg.m/s dir. Patlamadan sonra m1 ve m2 kütleli parçaların momentumlarının bileşkesi +x yönünde 6 kg.m/s dir. Momentumun korunması için m3 kütleli parçanın momentumu +x yönünde 90 kg.m/s olması gerekir. m3 = 2 kg olduğundan v3 hızı +x yönünde 45 m/s olur. Nihat Bilgin Yayıncılık© vortak = 6 cm/s bulunur. m1 kütleli cismin momentumu daha büyük olduğundan cisim v1 yönünde hareket eder. Yanıt A dır. 15.Momentum vektörel bir büyüklük olduğundan; y Yanıt A dır. |P2| = 2 2 kg.br P3 |P1 + P2| = 4 kg.br x 1 br 12. Pönce = Psonra (m1 + m2) . v2 = m2 . v2′ – m1 . v1 . cos 60° (m + 2m) · 15 = 2m · v2′ – m · 30 · 1 2 45m = 2m · v2′ – 15m 2mv2′ = 60 v2′ = 30 m/s bulunur. Yanıt C dir. |P1| = 2 2 kg.br 1 br | P 1 + P 2 < P 3| 4 kg.br < m3 . 1 br 4 kg < m3 olmalıdır. Sistemin –x yönünde hareket edebilmesi için m3 kütlesi 5 kg olabilir. Yanıt A dır. 20 Ünite 2 Kuvvet ve Hareket 16.Parçalanma olmadan önce momentum +x yönündedir. Parçalanmadan sonra eşit kütleli dört parçanın momentumlarının bileşkesi +x yönünde olmalıdır. Parçalanmadan sonra v1 ile v3 hız vektörlerinin düşey bileşenleri eşit olduğundan düşey momentum sıfırdır. Bu nedenle dördüncü parçanın hız vektörü v2 ile birlikte +x yönündedir. Yanıt B dir. 17.Momentumun korunumundan; Pönce = Psonra m1 · 2v = (m1 – m2) · vʹ 2m1 vʹ = m – m · v 1 2 bulunur. Yanıt E dir. Nihat Bilgin Yayıncılık©