ıtme ve momentum

ITME VE MOMENTUM
Newton, hareken kanunlarını açıklarken, “kuvvet-ivme” ilişkisi yerine “kuvvetin
itmesi” ve “hareketlilik miktarı” yani momentum arasındaki ilişkiyi kullanmıştır.
Aslında bu iki yöntem arasında matematiksen olarak bir faklılık söz konusu
değildir. Fakat farklı bir bakış açısıyla yapılan kullanışlı tanımlar yardımıyla
kazanılan bilgiler çoğu zaman gizli kalmış bazı noktaları aydınlatır. İki topun veya
iki atom altı parçacığın çarpışması ve bir meteorun yeryüzüne çarpması
sırasındaki etkileşim kuvvetlerine ait çok az bilgimiz vardır. Buna rağmen
ihtiyacımız olan fiziksel büyüklüklerin değerlerini tahmin etmemiz momentum ve
enerji yöntemlerini kullanarak mümkün olmaktadır. Bu nedenle belkide en önemli
yasaların ikisi enerjinin momentumun korunumu yasalarıdır.
DedeKorkutun anlattığı Boğaç Han hikayesini okumuşsunuzdur. Bu hikayede bir
boğa ile güreşerek gerçekleştirdiği zorlu mücadele sonucunda kahraman bir gence
isim verilmesi anlatılır. Boğaç Han olağan üstü hızla gelen bir boğayı durdurmak
için büyük bir çaba gösterir.
ITME(IMPULS) NEDİR?
Şekilde görülen kamyon bir saman yığınına
girdiğinde küçük bir kuvvetle fakat, uzun sürede
durabilmektedir. Şekil 2 de ise aynı kamyon bir
duvara çarptığında büyün bir kuvvetle fakat kısa bir
sürede durmaktadır. Bu gözlemlerimizden cisimlerin
hareketliliğini artırmak veya azaltmak için gerekli
olan kuvvetin;
 cismin kütlesi ve hız değişimi ile doğru
 Uygulama süresi ile ters orantılı olduğu anlaşılır
Kısaca bir cisme etkiyen kuvvet ile kuvvetin etki süresinin çarpımından oluşan
vektörel değere itme(impuls) denir.
“I” ile gösterilir.
 
I  F.t
Ns
s
N
MOMENTUM NEDİR?
M kütleli bir cisim V hızına sahip ise bu cismin mV büyüklüğünde bir momentumu
vardır. Momentum vektörel bir büyüklüktür ve “P” harfi ile gösterilir. Bir cismin
1
momentumu anlık hızıyla aynı yöndedir. Çünkü momentumu oluşturan kütle skaler
bir niceliktir.


P  m.V
kgm/s
m/s
kg
ITME-MOMENTUM DEĞİŞİMİ
İki cisim arasında bir etkileşme kuvveti bulunduğu halde bunlardan birisinin
diğerine etkittiği kuvvet sebebiyle her birisinin momentumunda değişiklik olur.
(Kuvvet çekim, elektrik, magnetik veya başka bir menşeli olabilir.) Bundan başka
Newtonun üçüncü kanununa göre cisimlerden birisine etkiyen kuvvet daima
etkiyen kuvvete zıt yönde eşit olcağı için bu kuvvetlerin impulslarıda zıt yönde ve
değerce birbirlerine eşit olurlar.
Kütlesi m olan bir cisme

F
t
süresince etkiyen kuvvetlerin bileşkesi sabit
olsun. Dinamiğin temel ilkesine göre cismin kazanacağı ivme :

 F
a
m
olacaktır.

V F

t m
Buna göre yukarda belirtilen
İvme için:

 V
a 
t
bağıntısı ile


F.t  m.t
mV büyüklüğünde, cismin momentum değişimi
olduğu anlaşılır. Bir cismin momentum değişimi P ile gösterilir. Her zaman o
cisme uygulanan itme miktarı o cismin momentum değişimine eşit olmaktadır.


I  P
bu ifadeye itme-momentum teoremi denir.
GRAFİKLERİN İNCELENMESİ
Kuvvet-zaman ve Momentum-zaman grafikleri İş hesaplamalarında olduğu gibi
itmeyi de pratikte sıkça rastlanan değişken kuvvetler durumunda hesaplamak
istersen grafik metodu kullanırız. Biz cisme ait kuvvet-zaman grafiğinde, eğrinin
altında kalan itmeyi dolayısıyla momentum değişimini verir.Yani kuvvet-zaman
(F-t) grafiklerinde
Alan  I  P olur.
2
F-t grafiğinde zaman ekseni üzerindeki alan pozitif
(+) yönde itme veya momentum değişimini zaman
ekseninin altındaki alan ise negatif (-) yöndeki
itmeyi veya momentum değişimini verir.
Alan = I =  P = P1
 P2
Şekil “b” de görüldüğü gibi momentum-zaman
grafikleri altındaki alan ise herhangi bir fiziksel
anlam taşımamaktadır. Dikkat edilirse grafikteki
eğim
tan  P T dir. Buda Ft  P
momentum zaman grafiğinde, grafiğin eğimi, o
cisme hareket doğrultusunda etki eden kuvveti
vermektedir. Yani momentum-zaman grafiklerinde
eğim 
P
F
t
MOMENTUMUN KORUNUMU
Gözlemlerimiz sonucu bir cismin hareketliliğinin hız ve kütlesi ile orantılı olduğunu
çıkarmıştık. Hareketlilik değişiminde büyük bir kuvvetle az bir zaman içersinde
veya küçük bir kuvvetle uzun bir zamanda gerçekleşebileceğinden söz etmiştik.


Ft  mt şeklinde söz etmiştik.
Bu gözlemler sonucunda
İtme momentum teoreminde



Ft  P  Pson  Pilk

F
 0 ) bu bağıntı
Dış kuvvetlerin sıfır olması durumunda (


0  Pson  Pilk


Pson  Pilk
Buda demektir ki, bir cisme dıştan herhangi bir kuvvet etkimediği sürece cismin
momentumu değişmemektedir. Yani ilk momentum son momentuma eşittir.
Bu kurala momentumun korunumu kanunu denir.


P

P
 ilk
 son
3
ÇARPIŞMALAR
“Çarpışma” kavramını ilk düşündüğümüzde genellikle cisimlerin hızla gelip
birbiriyle temas etmesi olarak algılarız. Örneğin bir beyzbol sopası topa
vurulduğunda çarpışmanın başlangıcı ile bitişi hassas bir şekilde saptanır. Sopanın
topa değme süresi topun hareket süresine göre çok kısadır. Top ve sopa çarpışma
anında şekil değiştirirler. Çarpışma anında sopa topa büyük bir kuvvet uygular. Bu
kuvvet zaman içinde karmaşık biçime değişim gösterir ve ölçümü oldukça zordur.
Momentumun ve kinetik enerjinin korunduğu çarpışmalara esnek
çarpışma denir.
Başlangıç kinetik enerjisinin harcanabileceği muhtemel enerji
biçimlerini içeren çarpışmalara esnek olmayan çarpışmalar denir.
Bu bölümde çarpışmaları incelerken bir doğrultu üzerinde gerçekleşen
çarpışmalara merkezi çarpışmalar iki boyutta gerçekleşen çarpışmalara da
merkezi olmayan çarpışmalar ismini vereceğiz.
Merkezi çarpışmalar
Cisimler, kütle merkezlerini birleştiren doğru üzerinde çarpışırlarsa bu
çarpışmalara merkezi çarpışmalar denir.
a) Merkezi(bir boyutta) Esnek Çarpışma
Esnek çarpışmada momentum ve enerjinin
korunduğunu belirtmiştik. Şekildeki gibi bir

V
birlerine doğru 1
m
ve
m

V
ve 2 hızlarıyla gelen
kütleli cisimler. Esnek çarpıştıktan
1
2
' '
sonra V1 ve V2 hızlarıyla birbirlerinden ayrılmış olsunlar. Çarpışmadan önceki
' '


momentumları P1 ve P2 sonraki momentumları P1 ve P2 olsun. Buna göre:


 Pilk = Pson
 

P1  P2  P1'  P2'


'
'
m1V1  m2V2  m1V1  m2V2
4
Cisimlerin çarpışmadan önceki kinetik enerjileri
enerjileri
'
1
'
2
E veE
E1 ; E2
çarpışmadan sonraki
olsun buna göre
 Eilk
  E son
E1  E2  E1'  E2'
1
1
1
1
m1V12  m2V22  m1V1'2  m2V2'2
2
2
2
2
Enerjinin korunumundun elde edilen denklemde 2. dereceden büyüklükler
olduğu için problem çözümlerinde biraz uzun ve zor işlemlerle karşılaşırız. Bu
yüzden enerjinin korunumu denklemi yerine daha sade olan bir denklemi
kullanmayı tercih edeceğiz. Bu denklemde hızların korunumu denklemi denir.
 ' 
'
V1  V1  V2  V2
b) Merkezi (tek boyutta) Esnek Olmayan Çarpışma
Şekilde görülen

V
doğru 1
m1vem2
kütleleri birbirine

V
ve 2 hızlarıyla yaklaşmakta ve
merkezi olarak çarpışmaktadır. Çarpışma
sonrasında birlikte hareket eden cisimler
“kalıcı” bir şekil değişikliğine uğramışlardır. Çarpışma sonucunda momentum
korunmasına rağmen kinetik enerji korunmamıştır. Bu tür çarpışma yapan
cisimler birbirleriyle temasta kalarak ortak hızla hareket ederler. Bu ortak hız
momentumun korunumun dan bulunabilir.
Momentumun korunumu yazılırsa


P
P

 ilk  son
 

P1  P2  Port
burada

m1V1  m2V2  (m1  m2 )Vort


Port ortak momentum Vort ortak hız.
Merkezi olmayan çarpışmalar
Cisimler kütle merkezlerini birleştiren doğru üzerinde çarpışmazlarsa bu
çarpışma merkezi olmayan çarpışmadır.
5
a) Merkezi olmayan esnek çarpışmalar
Böyle çarpışmalarda iki eksende momentumun
korunumunu ayrı ayrı uygulayabiliriz.


P

P
 ilk,x  son,x
ve


P

P
 ilk, y  son, y
Genellikle problem çözümlerinde momentumun x veya y ekseninde korunmasını
kullanarak sonuca daha kısa yoldan ulaşmak mümkün olacaktır.


P1, X  P2, X
 


P1  P2  P1'  P2' veya


'
'
'
'
 P1, X  P2, X ve P1,Y  P2,Y  P1,Y  P2,Y
b)Merkezi olmayan esnek olmayan çarpışmalar
İki cisim farklı doğrultudan gelerek O noktasında
birbirine kenetlenip hareketine devam ediyor olsun.
Bu çarpışma ne merkezi nede esnektir. Çarpışmadan
sonra kenetlenen cisimlerin ortak momentumuna
veya

Port dersek.


 Pilk  Port




 Pilk , x  Port, x ve  Pilk, y  Port, y
Fakat bu tür olaylarda bir miktar enerji ısıya dönüştüğünden kinetik enerji
korunmaz.
Günlük hayatta kullanım alanları Mermi hareketinin incelenmesi
Silahta geri tepme olayını biliriz. Mermi atan bir
tüfeğin merminin hareket yönünün tersine hareket
etmesi, havası boşaltırken ilerleyen balonun
hareketine benzer.
6
ROKETLER
Roket uzay boşluğunda ilerleyen kütlesinin bir
kısmı oluşturan yakıtı yakarak büyük bir hızla gaz
halinde geri fırlatır. Bu olayda etkin olan
kuvvetlerin hepsi sistem içi kuvvetlerdir. Bu
olayda etkin olan kuvvetlerin hepsi sistem içi
kuvvetlerdir. Bundan dolayı momentum korunur
fakat enerji korunmaz.


MV  m.Vgaz
M=Roketin gaz attıktan sonraki kütlesi
m=Dışarı atılan gazın kütlesi
v=Roketin vektörel hızındaki değişim.
7