Matematik Bülteni / Ocak 2013 Sayfa 2

Yıl 1 , Sayı 4
EŞİTSİZLİKLER
ax  bx  c  0 ifadesinde eşitlik yerine
, , ,  sembollerinden birini kullanarak
2
eşitsizlik oluşturabiliriz. y  ax 2  bx  c
nin görüntü kümesinin işareti x 2 ‟nin
katsayısı olan a‟ya ve deltaya
  b
2
 4ac  bağlıdır.
Şubat 2013
Tablolarda varsa kökleri yerleştiririz,
 x 2  6 x  5   x 2  x  2   0
Örnek:
köklerden aşağı inen çizgiye 0 anlamında o
2 x
çizilmiş. Elde ettiğimiz tablolarda + ve –
eşitsizliğini çözüm kümesini bulalım.
bölgeler olduğu gibi 0 olan (köklerin

olduğu) yerlerde vardır.
Çözüm: a‟nın işareti:
  olur. Soruda

Örnek:  x  4    5  x   0 eşitsizliğini
 0 denildiğinden – olan bölge cevap
sağlayan kaç x tamsayısı vardır?
olacaktır.
Çözüm: x  4  0  x1  4,5  x  0  x2  5
x 2  6 x  5  0  x1  1, x2  5
a‟nın işaretleri x+4 için + ve 5-x için –
x 2  x  2  0    b 2  4ac  7 reel kök yoktur.
olup ikisinin çarpımı + – = – olur.O yüzden
2  x  0  x3  2
en sağdan başlarken – ile başlayıp her
bölümde işaret değiştirdik. + bölge cevaptır
Aradığımız tamsayılar 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5
olup toplamları 5‟tir.
Soruda  0 yani eşitlik olduğundan
paydayı
0 yapan kök hariç diğer kökleri dahil
ederiz. Sonsuzlar hiçbir zaman dahil
edilmez: 1, 2   5,  
NOT: Bazı kaynaklar paydayı sıfır yapan
değeri tabloda o ile işaretlemeyebilir. Bu
örnekteki gibi
Örnek: 3x2  2 x  4  0 eşitliğinin çözüm
kümesini bulalım.
Çözüm:   b2  4ac  4  48  44  0
olduğundan tabloda sayı yerleştirmeyeceğiz. a=3 olup işareti +‟dır.
köklerde işaret değiştirmeden tablomuzu
tamamlayacağız.
 2  x    x  1
4
5
 0 eşitliğinin
x 1
çözüm kümesini bulalım.
Çözüm: Kökler
2  x  0  x1  2(çift katlı),
Örnek:
x  1  0  x2  1(tek katlı)
Ç.K .   1,1   0,1   2,  
 x  a   b  x 
2
xc
fonksiyo-
nun işaret tablosu
    
5
  olur. Çift

katlı köklerden geçişte işaret değiştirilmez.
Aradığımız bölge – ve köklerin olduğu
yerler. Ancak -1 paydanın kökü olan -1‟i
Aradığımız bölge  0 olduğundan - ve kök almayacağız.
olan yer, ancak böyle bölge yok:Ç.K:= 
a‟nın işareti ise
Çözüm: Köklerimiz 0,-4,1,-1,2 olup a‟nın
işareti - „dir. Aradığımız bölge – olan
bölgedir:
Örnek: f ( x) 
x  1  0  x3  1
4
Aradığımız bölge – olan iki bölgedir.
Bunları ifade ederken dahil olup
olmadığına dikkat ederiz.
şeklinde ise a+b+c toplamı kaçtır?
Çözüm: İşaret tablosuna göre x=7 çift katlı
kök, x=-5 çift kat ve fonksiyonu tanımsız
yapan değer x=3 tek katlı köktür.
 x  a   b  x 
2
NOT: A( x)  B( x)  0 gibi iki veya daha
fazla çarpan bulunan eşitsizliklerin
çözümünde önce her bir çarpanın kökleri
bulunur. Her bir çarpanın a’sının işareti
bulunur. Bu işaret tablomuzun en
sağındaki işaretimiz olacak. Çift katlı
f ( x) 
Ç.K .   1,1 {2}
Örnek:
x   x  4   1  x 2 
0
x2
eşitsizliğini çözüm kümesini bulalım.
 x  a
xc
2
fonksiyonunda
 0  x  a çift katlı kök, a=7‟dir.
b  x  0  x  b tek katlı kök, b=3‟tür.
x  c  0  x  c çift katlı
kök, c  5  c  5 O halde a+b+c=
7+3+5=15 olur.
Matematik Bülteni/Şubat 2013
Eşitsizlik Sistemleri
İki ya da daha fazla eşitsizliğin oluşturduğu
sisteme eşitsizlik sistemi denir. Bir
eşitsizlik sistemindeki eşitsizlikleri birlikte
sağlayan x değerlerinin oluşturduğu
kümeye eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi
denir. Eşitsizlik sistemlerini çözmek için
her eşitsizliğin çözüm aralığı ayrı ayrı
bulunur. Bu aralıkların kesişimi sistemin
çözüm kümesi olur.Bir örnekle açıklayalım:
Sayfa 2
Çözüm: İki reel kök var ise:   0 dır.
FONKSİYONLAR
A ve B boş olmayan iki küme f‟de A‟dan
c
b
0  x1  x2   0 ve   0 Bu bilgiler
B‟ye tanımlanan bir bağıntı olsun. A‟nın
a
a
her elemanı yalnız bir kez B‟nin
b
4
ışığında 10  m, m  6 ve   0 yani  0 elemanıyla eşleniyorsa böyle bağıntılara
a
1
fonksiyon denir. f : A  B , x  f ( x)  y
elde edilir.
şeklinde gösterilir. Anlaşılması için en
Buradan köklerin işaretleri verilen ifadeler
güzel örnek çocuklar ile anneleri arasındaki
için sonuçlar elde edilebilir. Ancak size
eşlemedir. Yani A kümesi çocuklar ve B
tavsiyem ezberlemek yerine yorum
kümesi anneleri şeklinde tanımlanır. Püf
yapmayı öğrenin.
noktası bir çocuğun yalnız bir annesinin
x 2  2 x  8  0 
SORULAR
Örnek: 2
 sisteminin Ç.K.=?
olabileceğidir. Öte yandan çocuklar
x  8 x  7  0 
x 2  8 x  77
kümesinin her elemanının karşı kümeyle
1.
 0 eşitsizliğini sağlayan
2
Çözüm:
x  2

eşleştiğini yani her çocuğun annesi
x 2  2 x  8  0   x  4    x  2   0  x1  4, x2  2
olduğunu da unutmayalım. Buradaki A
tamsayıların toplamı kaçtır? (1983/2)
kümesine fonksiyonun tanım kümesi ve B
x 2  8x  7  0   x  7    x  1  0  x1  7, x2  1
2. 4 katının 5 fazlası, kendisinin karesinden kümesine değer kümesi denir. A‟nın
eşleştikleri elemanların kümesine görüntü
büyük olan en büyük tam sayı
kümesi denir ve f(A) ile gösterilir.
aşağıdakilerden hangisidir? (1997/ÖYS)
Tablomuzda her iki eşitsizliğin kesişim
A)3 B)4 C)5 D)6 E)7
yeri çözüm kümesini verir:  2,1
x2  1  0 

Örnek: x 4  x 2  0 eşitsizlik sisteminin

2  x  x2 
çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm: x 2  1  0 ise x1  1, x2  1
x4  x 2  0  x 2   x 2  1  0
x1  0, x2  0,  x  1  0 için kök yoktur.
x
2
 36    x  6 
 0 eşitsizliğini
x  36
sağlayan x tamsayı değerleri toplamı
kaçtır?
3.
2
x 1
4.
 0 ve
 0 eşitsizlik
x 1
x2
sisteminin çözüm aralığını bulunuz. (x>2)
2
2  x  x2   x2  x  2  0
  x  2    x  1  0  x1  2, x2  1
Bulduğumuz bu kökleri yazarak tablomuzu
oluşturalım:
Üç eşitsizliğin kesişimi ise  1,1 olur.
NOT: ax2  bx  c  0 eşitsizliği her reel
sayı için sağlanıyorsa   0 ve a  0' dır.
ax2  bx  c  0 eşitsizliği her reel sayı için
sağlanıyorsa   0 ve a  0' dır.
Örnek: x2  4 x  m  6  0 denkleminin
kökleri x1 , x2 dir. 0  x1  x2 olduğuna göre
m hangi aralıktadır?
5.
BİR SAYI TUT
Bir sayı tutmakla başladığımız oyunlar ilgi
çekicidir. Bunlardan birinden bahsedeceğim.
Önce 4 basamaklı bir sayı tutuyoruz.
Sınırlama yok! Tek,çift,rakamları aynı-farklı..
Sonra bu sayıyı basamaklarının artış ve
azalışına göre sıralayalım. Büyükten küçüğü
çıkaralım: mesela sayımız 2165 olsun.
Rakamlarını sıralayıp yeniden yazarsak:1256
olur. 2165-1256=909 aynı işlemi yeni
sayılarımızla da yaptığımızda sonuç ya 0
veya 6174 çıkacaktır. Bu sayı Kaprekar sabiti
dir. Bu işlemler en fazla 7 kez yapılabiliyor.
Sonrasında 0 ya da Kaprekar sabitine
ulaşıyoruz. Sizce bu sabit kaç yılında
bulundu. Cevabı yazının sonuna bıraktım. Öte
yandan 4 basamaklı sayılar haricinde 5 ve 6
basamaklı sayılar için de aynı işlemler
yapıldı. Sonuçta ya 0 ya sabit bir sayı ya da
kısır bir döngü elde ediliyor. Mesela 6
basamaklılar için 549945 sabit sayısı çıkıyor
ama 5 basamaklılar için birden fazla sabit
sayı çıkıyor. Kaç basamaklı bir sayı için en
fazla kaç işlem yapıldığı ise araştırmaların
merak konusu.
Yukarıdaki fonksiyonu liste metodu ile
yazalım: {(a,3),(b,3),(c,4),(d,6)}
Örnek: A={1,2,3} ve B={a,1,3,4} için şu
bağıntılardan fonksiyon olanları bulunuz:
a) {(1,a),(2,4),(3,a)} c) {(1,1),(2,3),(3,4)}
b) {(1,a),(2,1),(3,5)} d) {(1,b),(2,a)}
Cevaplar: a) Fonksiyon b)Fonksiyon değil
c)Fonksiyon d)Fonksiyon değil.
Yukarıdaki fonksiyonlardan c şıkkındaki
için f(1)=1 yani 1 elemanı 1 ile eşleşmiş
f(2)=3 , 2 elemanı 3 ile eşleşmiş ve f(3)=4
,3 elemanı 4 ile eşleşmiş deriz.
Örnek: f : A  B f ( x)  2 x  1 ve
A={1,2,3,-5} olduğuna göre f(3)+f(-5)=?
Çözüm: Fonksiyonun eşleştiği sayılar
verilmemiş ama eşleşme kuralı verilmiş.
Bu kural f ( x)  2 x  1 tir. Buradaki x
değerine 3 verdiğimizde 3‟ün eşleştiği
sayıyı buluruz: f (3)  2  3  1  7 elde
ederiz. Benzer şekilde f (5)  9 olur.
Cevap ise f (3)  f (5)  7  (9)  2 ‟dir.
Matematik Bülteni/Şubat 2013
Sayfa 3
bir elemanla eşleniyorsa
bu fonksiyona sabit
fonksiyon denir.
fonksiyon mudur?
Çözüm: Tanım kümesi ve değer kümesi Z f ( x)  c şeklinde
yani tamsayılar kümesidir. x‟e verdiğimiz gösterilir. Buradaki c
bazı değerler için sonuçlar elde ediyoruz.
herhangi bir reel sayı
Mesela f(3)=2 ve f(5)=3 oluyor. Ancak
olabilir.
tüm tamsayılar için bir tamsayı elde
Sabit fonksiyonun
edemiyoruz. Mesela f(2)=3/2 olur ki iki
grafiği f ( x)  y  c
sayısı bir tamsayı ile eşleşmediğinden
geçen bir doğrudur.
fonksiyon değildir.
Eğer sabit sayımız sıfır olursa özel olarak
2x  5
bu fonksiyona sıfır fonksiyon denir.
Örnek: f : R  {2}  R f ( x) 
3x  c
3.Örten Fonksiyon: Fonksiyonun değer
şeklinde tanımlanıyor ise c değeri kaçtır?
kümesinde açıkta eleman kalmıyorsa bu
fonksiyona örten fonksiyon denir. Bunu
Çözüm: Fonksiyonun tanım kümesine
değer kümesinin tüm elemanlarının üzerini
dikkat edelim. Burada R-{2} yani iki hariç örtmüş gibi düşünebilirsiniz. Aşağıdaki
reel sayıların hepsi. Acaba ikinin
şekilde bir örten fonksiyon görüyorsunuz:
çıkarılmasından ne anlamalıyız? Bu 2
Örten fonksiyonu
sayısını x yerine yazdığımızda bir şey elde
f ( A)  B şeklinde
edemeyeceğiz anlamındadır.
gösterebiliriz. Yani
22  5
9
f(A) görüntü kümesi ile
ifadesinin
f (2) 

3 2  c 6  c
değer kümesi aynı olan
matematik dilinde bir şey ifade etmemesi
fonksiyon. Örten
“tanımsız” olmasıdır. Paydanın sıfır olması olmayan fonksiyonlara içine fonksiyon
bir tanımsızlık durumudur. O halde 6-c=0 denir. Mesela şekildeki örten fonksiyonun
ve c=6 bulunur.
b elemanı da 2‟den farklı bir elemanla
Örnek: f : Z  Z f ( x) 
x 1
bir
2
eşleşseydi içine fonksiyon olacaktı. Çünkü
2 açıkta kalmış olacaktı.
Çözüm: Nasıl ki f(1),f(2),f(3)..değerlerini 4.Birebir fonksiyon:
Fonksiyonun tanım
bulmak için x yerine 1,2,3.. yazıyoruz
kümesindeki bir elemanı
benzer şekilde f(x+5)‟i bulmak için de x
değer kümesinde yine
yerine x+5 yazarız:
f ( x  5)  2   x  5  3  2 x  10  3  2 x  7 olur bir elemanla eşleniyorsa
bu fonksiyona birebir
Fonksiyon Çeşitleri
fonksiyon denir. Örnek şekil.
1.Birim Fonksiyon:
Matematiksel bir ifade ile şöyle
Tanım kümesindeki her
tanımlayabiliriz:
elemanı değer
x1 , x2  Aiçin f ( x1 )  f ( x2 ) iken
kümesinde aynı
x1  x2 ise f fonksiyonu bire birdir. Örten
elemana eşleyen
Örnek: f : R  R , f ( x)  2x  3  f ( x  5)  ?
fonksiyona birim
fonksiyon denir. f(x)=x şeklinde gösterilir.
Birim fonksiyonun
grafiği
f ( x)  y  x ‟in
fonksiyonda verdiğimiz şekilli örnek
birebir fonksiyon değildir. Çünkü c ve d
elemanları ayrı ayrı elemanlara gitmemiş.
Örnek: Bu sayfada venn şemasıyla
grafiği ile aynıdır: verilmiş fonksiyonların birebir örtenliğini
Bu doğruya birinci inceleyelim.
açıortay doğrusu da Cevap:1.Hem birebir hem örten. 2.Örten
3.Birebir.
denir.
2.Sabit fonksiyon: Fonksiyonun tanım kü- Örnek: f : N  N , f ( x)  2 x  3
mesindeki tüm elemanlar değer kümesinde fonksiyonun birebir, örten ve içine olup
olmadığını inceleyiniz.
Çözüm: Tanım kümesinden doğal sayılar
seçtiğimizde her biri ayrı ayrı doğal sayıyla
eşleştiğinden (x=0,1,2,3..verdiğimizde
3,5,7,9 buluyoruz.) birebirdir.
Örten değildir,yani içinedir. Çünkü değer
kümesinde en azından bir eleman boş
kalmaktadır. Mesela 0 ile eşleşen eleman
yoktur. Yani x yerine hangi doğal sayıyı
yazarsak yazalım 0 elde edemeyiz.
5. Permütasyon Fonksiyon:Tanım ve
değer kümesinin
aynı olduğu
birebir ve örten
fonksiyonlara
permütasyon
fonksiyon
denir. Şekilde
verilen permütasyon fonksiyonun tanım
kümelerini üst sıraya eşleştikleri elemanları
da sırayla alta yazarak şöyle gösteririz:
 1 234 
f
 Yanif(1)=2,f(2)=4,f(3)=1,f(4)=3
 2 41 3 
6.Eşit fonksiyon:
f : A  B, f ( x)  y ve g : A  B, g ( x)  y
olmak üzere x  Aiçin f ( x)  g ( x) ise f
ve g fonksiyonlarına eşit fonksiyon denir.
f=g şeklinde gösterilir. Mesela A={0,3}
B={2,83} kümelerinde
f : A  B, f ( x)  3x3  2 ve
g : A  B, g ( x )  9 x 2  2
fonksiyonları eşit fonksiyondur.
7.Tek ve Çift Fonksiyon:
f : A  R, f ( x)  f ( x) fonksiyonuna çift
fonksiyon; f : A  R,  f ( x)  f ( x) fonks
iyonuna tek fonksiyon denir. Çift
fonksiyonların grafikleri y eksenine göre
tek fonksiyonların ki ise orijine göre
simetriktir.
Örnek: f ( x)  x 2  2  x fonksiyonu
inceleyelim.
Çözüm: Teklik ve çiftlik f ( x) ile f ( x)
arasındaki ilişkidir. Bu iki fonksiyon eşit
ise çift , ters işaretlilerse tek demektir.
Önce f ( x) değerini bulup f(x) ile
karşılaştıralım:
f ( x)    x   2   x  x 2  2  x olur.
2
Bulduğumuz x 2  2  x ile f(x) eşit
olduğundan fonksiyon çift fonksiyondur.
Unutmadan bir fonksiyon ille de tek veya
çift olmak zorunda değildir.
Matematik Bülteni/Şubat 2013
8.Parçalı Fonksiyon: Tanım kümesinin alt
kümelerinde farklı birer kuralla tanımlanan
fonksiyona parçalı fonksiyon denir. Alt
aralıkların bölündüğü noktalara parçalı
fonksiyonun kritik noktaları denir.
x5
2 x,
Örnek: f ( x)  
 x  3, x  5
Faktöriyel Kavramı: 1‟den n‟ye kadar
olan ardışık doğal sayıların çarpımına n
faktöriyel denir ve n! ile gösterilir.
0!  1
2!  1 2  2
4!  1 2  3  4  24
1!  1
3!  1 2  3  6
5!  1 2  3  4  5  120
Şimdi öğrendiğimiz sayma yöntemleri ve
faktöriyel kavramlarıyla ilgili örnekler
parçalı fonksiyonun kritik noktası x=5‟tir. çözelim:
Örnek: 4 farklı kalem ile 6 farklı silgi
Beşten büyük veya eşit durumlarda
arasından bir kalem veya bir silgi kaç farklı
hesaplamalarımız 2x ile olacaktır. Diğer
şekilde seçilebilir?
yani beşten küçük durumlarda x+3 ile
Çözüm: 4 kalem arasından 1 kalem seçimi
olacak. Yani f(10) sorulsa mesela 2x yani
4 değişik yolla olur.6 silgi arasından 1 silgi
cevap 20 olacaktır. Öte yandan f(4) ise 7
seçimi 8 değişik şekilde olur.Bu iki yoldan
olacaktır.
yalnız biri istendiği için toplama yapılarak
Fonksiyonlarda Dört İşlem
4+6=10 elde edilir.
A  B   olmak üzere f : A  R ve
Örnek: 4 farklı kalem ile 6 farklı silgi
g:BR
arasından bir kalem ve bir silgi kaç farklı
1.  f  g  : A  B  R,  f  g  ( x)  f ( x)  g( x) şekilde seçilebilir?
2.  f  g  : A  B  R,  f  g  ( x)  f ( x)  g ( x) Çözüm: 4 kalem arasından 1 kalem seçimi
4 değişik yolla olur.6 silgi arasından 1 silgi
3.  f  g  : A  B  R,  f  g  ( x)  f ( x)  g ( x)
seçimi 8 değişik şekilde olur.Bu iki yolun
4. Her x  A  B için g ( x)  0 olmak üzere, ikisi birden istendiği için çarpma yapılarak
4.6=24 elde edilir.
f
f
f ( x)
Örnek: A,B ve C şehirlerinden A‟dan
  : A  B  R,   ( x) 
g ( x)
g
g
B‟ye 3,B‟den C‟ye 4 farklı yol
5. c  R olmak üzere
bulunuyor.B şehrine uğramak şartıyla
 c  f  : A  B  R,  c  f  ( x)  c  f ( x) ‟tir.
A‟dan C‟ye kaç farklı yolla gidilebilir?
Örnek: R‟den R‟ye tanımlı f ( x)  2 x  1 ve Çözüm:
A‟dan B‟ye 3 farklı yol ve B‟den C‟ye 4
g ( x)  3x  2 için  2 f  g  (3)  ?
farklı yol sonuçta 3.4=12 farklı yol
Çözüm:  2 f  g  (3)  2  f (3)  g (3)  2  5  11 kullanılır.
Örnek: 5,6,7 rakamları ile üç basamaklı
o hal de cevabımı 21 olur.
kaç tane doğal sayı yazılabilir?
BİR FONKSİYONUN TERSİ
Çözüm:
PERMÜTASYON-KOMBİNASYON- Elimizde her bir basamak için birer kutu
BİNOM-OLASILIK ve İSTATİSTİK olduğunu düşünelim.Bu kutulara hangi
rakamları koyabileceğimizi
PERMÜTASYON
yazalım.Mesela birler basamağı kutusuna
Toplama Yoluyla Sayma: Bir olayın
oluşumu için birden fazla seçenek varsa ve 5,6,7 rakamları gelebilir.Yani üç rakam
yerleştirebiliriz.Peki onlar basamağını
bu olayın oluşumu için bu seçeneklerden
belirten kutumuza?5,6,7 rakamlarından
bir ve yalnız biri aynı anda kullanılabiliistediğimizi koyabiliriz.Dolayısıyla buraya
yorsa, olay bu seçeneklerin toplamı kadar
değişik şekilde oluşur. Bu genelde “veya” da üç rakam yerleştirebiliriz.Benzer şekilde
yüzler basamağını temsil eden kutumuza
geçen sorulardadır.
da üç rakam yerleştirebiliriz.İşte bu üç
Çarpma Yoluyla Sayma: Bir olaylar
kutunun aynı anda olmasını istiyoruz ki üç
dizisinde birinci olay n1 değişik biçimde
basamaklı sayı oluşsun.Dolayısıyla
bunu izleyen ikinci olay n2 değişik şekilde
3.3.3=27 tane doğal sayı yazabiliriz.
ve bu şekilde işleme devam edildiğinde r.
Basamak sayısı farklı olsaydı nasıl
olay nr değişik şekilde oluşuyorsa olayın düşünürdük?Soruda tam sayı adedi
tamamı n1  n2  ...  nr çarpımı kadar değişik istenseydi?Ya da rakamlarının aynı
olmaması..
şekilde oluşur. Genelde “ve” geçen
sorulardır.
Sayfa 4
Örnek: İlk altı doğal sayı kullanılarak
rakamları farklı üç basamaklı kaç tane
doğal sayı yazılabilir?
Çözüm:
İlk altı doğal sayımız 0,1,2,3,4,5 olduğuna
göre bu rakamları kullanacağız.Her bir
basamak için bir kutu düşünerek kutuların
üzerine kullanabileceğimiz rakam
adetlerini yazacağız.Hepsini aynı anda
istediği için bu değerleri çarpacağız.
Yüzler basamağına 0 gelemeyeceği için
diğer 5 rakamı kullanırız.Onlar basamağına
0,1,2,3,4,5 rakamlarından sıfır hariç birini
yüzlere kullandığımız için bunlardan birini
elersek geriye 5 rakam kalır.Birler
basamağına da 4 rakam kalır.Cevabımız
5.5.4=100 tane olur.
Editörler: Orhan GÖKÇE (Mat.Öğrt.),
Melike SİPAHİ (Mat.Öğrt.),Rukiye
DURAN (Mat.Klb.Bşk.),Selma
KARAKUŞ (Mat.Klb.Bşk.Yrd.),İsmail
CANAYAKIN (Mat.Klb.Üyesi) Bu
çalışma Türk Telekom Anadolu Lisesi
Matematik Kulübünün bir eseridir.
Çalışmaya her türlü katkınızı ve
görüşlerinizi belirtmek için kulup
üyelerimizle görüşmeniz gerekir. İletişim
için (0 354 ) 415 71 12 telefon numarasını
arayabilirsiniz. Email adresimiz:
[email protected]
Çalışmamızdaki her türlü bilgiyi kaynak
belirtmek şartıyla kullanabilirsiniz.