GEREKLİ ÖN BİLGİLER:

DERS:
ÜNİTE:
KONU:
MATEMATİK I
FONKSİYONLAR
MAT101(01)
1. TEMEL KAVRAMLAR
A ve B boştan farklı iki küme olsun. A kümesinin her bir elemanını B kümesinin bir ve
yalnız bir elemanı ile eşleyen f bağıntısına A dan B içine bir fonksiyon denir ve
f
f : A → B veya A → B
ile gösterilir.
Burada A kümesine fonksiyonun tanım kümesi ve B kümesine de fonksiyonun değer
kümesi, f ( A) kümesine de görüntü kümesi denir. A dan B içine tanımlanan bir f
fonksiyonu y = f ( x ) bağıntısı ile verildiğinde x e bağımsız değişken, y ye bağımlı değişken
adı verilir.
Örneğin; bir karenin alanı, karenin bir kenarının uzunluğunun bir fonksiyonudur.
Ancak bir dikdörtgenin alanı, onun çevresinin bir fonksiyonu değildir.
Tabanı kare ve hacmi 125 br 3 olan bir dikdörtgenler prizmasının yüzey alanını, tabanının bir
kenarının uzunluğunun bir fonksiyonu olarak ifade edebiliriz. Gerçekten
V = x 2 y ve A = 2 x 2 + 4 xy
dir. Buradan
500
A = 2x 2 +
x
elde edilir.
f : A → B , y = f ( x) fonksiyonunu ele alalım. A ⊆ R ise f fonksiyonuna reel
değişkenli, B ⊆ R ise f fonksiyonuna reel değerlidir denir. Reel değişkenli ve reel değerli
bir f fonksiyonunun y = f ( x) kuralı verildiğinde f in en geniş tanım kümesi; y = f ( x)
ifadesini reel sayı yapan tüm x reel sayılarının kümesidir.
Örneğin, f ( x) = 1 − x 2 kuralı ile tanımlanan f fonksiyonunun en geniş tanım kümesini
bulalım. Kök derecesi çift olduğundan 1 − x 2 ≥ 0 olmalıdır. O halde en geniş tanım kümesi
[−1,1] aralığıdır.
Örnek: Aşağıda kuralları verilen fonksiyonların en geniş tanım kümelerini bulunuz.
x−2
x−2
1
a) g ( x) =
b) h( x) = 3
c) k (t ) = t − 1 + 4 3 − t + 2
x +1
x +1
t −9
Örnek: Aşağıda kuralları verilen fonksiyonların en geniş tanım kümelerini, görüntü kümesini
bulunuz.
a) f ( x) = 9 − x
b) g ( x) = x 2 − 2 x
c) h( x) = −5
Tanım: f : A → B ve g : A → C fonksiyonları veriliyor. Her x ∈ A için f ( x) = g ( x) ise f
ve g eşittir denir ve f = g ile gösterilir.
Fonksiyonlarda İşlemler
f : A → B ve g : C → D fonksiyonları veriliyor. Bu iki fonksiyonun toplamı, farkı, çarpımı
fonksiyondur ve bu fonksiyonların tanım kümeleri A ∩ C kümesidir. Ayrıca
bir fonksiyon olup tanım kümesi A ∩ C − { x | g ( x ) = 0 }
f
g
bölümü de
Örnek: f :[2, 4) → R , f ( x) = x 2 ve g : (1, 3] → R , g ( x) = x + 1 fonksiyonları için aşağıdaki
fonksiyonları bulunuz.
f
a) f + g
b) f ⋅ g
c)
d) f + 3
e) 2 f
g
x −1
x +1
Örnek: f : R → R , f ( x) = 2
ve g : R − {2} → R , g ( x) =
fonksiyonları için
x−2
x +1
aşağıdaki fonksiyonları bulunuz.
g
f
a) f + g
b) f ⋅ g
c)
d)
e) 5 f
g
f
Tanım: f : A → B , y = f ( x) bir fonksiyon, eğer f ( A) = B ise f fonksiyonuna örtendir
denir. Eğer f ( A) ⊂ B ise f fonksiyonuna içinedir denir. B kümesinde f fonksiyonu
altında eşlenmemiş bir eleman yoksa f örtendir. Yani her y ∈ B için y = f ( x) şartını
sağlayan A kümesinde bir x bulunabilirse f örtendir.
Örnek: Aşağıdaki fonksiyonların örtenliğini inceleyiniz.
a) f : R → R , f ( x) = 2 x + 1
b) g : R → [−2, ∞ ) , g ( x) = x 2
c) h : R → [0, ∞) h( x) = x 2
Tanım: f : A → B , y = f ( x) bir fonksiyon, A kümesindeki farklı elemanları B de farklı
elemanlarla eşliyorsa f fonksiyonuna 1-1 dir denir.
x1 ≠ x 2 olmak üzere ∀x1 , x 2 ∈ A için f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ) ise f birebirdir.
f ( x1 ) = f ( x 2 ) iken x1 = x 2 ise f birebirdir.
Örnek: Aşağıdaki fonksiyonların birebirliğini inceleyiniz.
a) A = {1, 2, 3 }, B = { 3, 5, 7 } ve f (1) = 5, f (2) = 3, f (3) = 5
b) A = {1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5, 7 } ve f (1) = 4, f (2) = 3, f (3) = 5
c) f : R → R , f ( x) = 2 x + 1
d) g : R → [−2, ∞ ) , g ( x) = x 2
Tanım: I : A → A , I ( x) = x ile tanımlı fonksiyona özdeşlik fonksiyonu denir. Özdeşlik
fonksiyonu A kümesinin her bir x elemanını yine kendisiyle eşler.
Tanım: f : A → B , y = f ( x) ve g : B → C , y = g ( x) fonksiyonları verilsin. A dan C ye
y = g ( f (x ) ) ile tanımlanan fonksiyona f ile g nin bileşkesi denir ve gof ile gösterilir.
Örnek: f : R → R , f ( x) = 2 x + 1 ve g : R → R , g ( x) = x 2 + 3 fonksiyonları veriliyor.
fog ve gof bileşke fonksiyonlarını bularak eşit olup olmadıklarını inceleyiniz.
Tanım: f : A → B fonksiyonu 1-1 ve örten olsun.
(gof )( x) = x ve ( fog )( y ) = y
2
eşitliklerini sağlayan g fonksiyonuna f fonksiyonunun tersi denir ve f
−1
ile gösterilir.
Örnek: f : R → R , f ( x) = 3x + 2 fonksiyonunun tersini bulunuz. f ,
özdeşlik dönüşümünün grafiklerini çiziniz.
Örnek: g : R − {−
2
5
} → R − {54 },
g ( x) =
f
−1
ve I = I ( x)
4x + 3
fonksiyonu veriliyor. g −1 ( x) = ? g −1 (1) = ?
5x + 2
Özellikler:
1. Bir f fonksiyonu 1-1 ve örten ise tersi vardır.
2. Bir f fonksiyonun tersi varsa f 1-1 ve örtendir.
3. Bir f fonksiyonun tersi varsa tersi de 1-1 ve örtendir. Öyleyse f
ve ( f
)
−1 −1
−1
−1
in de tersi vardır
= f dir.
−1
4. fof = f of = I
5. ( fog )oh = fo( goh )
6. ( fog ) = g −1of
−1
Tanım: A ⊂ R
için eğer
f ( x1 ) <
f ( x1 ) >
f ( x1 ) ≤
f ( x1 ) ≥
denir.
−1
ve f : A → R bir fonksiyon olsun. x1 < x 2 şartını sağlayan her x1 , x 2 ∈ A
f ( x2 )
f ( x2 )
f ( x2 )
f ( x2 )
ise
ise
ise
ise
f
f
f
f
artandır
azalandır
azalmayandır
artmayandır
Örnek: Aşağıdaki fonksiyonların artan-azalanlık durumlarını inceleyiniz.
a) f : R → R , f ( x) = 3x + 6
b) g : R → R , g ( x) = x 2 + 1
Tanım: A ⊂ R olsun. Eğer x ∈ A iken − x ∈ A ise A kümesine simetrik küme denir.
Tanım: A bir simetrik küme olmak üzere A dan R ye tanımlanan bir f fonksiyonunu ele
alalım. Her x ∈ A için
f (− x) = f ( x) ise f fonksiyonuna çift fonksiyon
f (− x) = − f ( x) ise f fonksiyonuna tek fonksiyon
denir.
Örnek: Aşağıdaki fonksiyonların tek veya çift fonksiyon olup olmadıklarını araştırınız.
a) A = { − 1, 0, 1, 3 } , B = { 3, 5, 7 } ve f (−1) = 5, f (0) = 3, f (1) = 5, f (3) = 7
b) f : R → R , f ( x) = x 2 + 1
c) g : R → R , g ( x) = x 3
d) h : R → R , h( x) = 2 x + 1
e) k : R → R , k ( x) = 0
3
Tanım: A ⊂ R ve f : A → R , y = f ( x) fonksiyonu verilsin. Eğer her x ∈ A için
m ≤ f ( x) ≤ M olacak şekilde m ve M reel sayıları varsa f fonksiyonuna sınırlı fonksiyon
denir. Burada m , bir alt sınır ve M bir üst sınırdır.
Örnek: f : [−2, 1] → R , f ( x) = x 2 fonksiyonu sınırlıdır. Örneğin her x ∈ [−2, 1] için
0 ≤ f ( x) ≤ 4
dir. Üstelik
− 1 ≤ f ( x) ≤ 5 veya − 6 ≤ f ( x) ≤ 10
eşitsizlikleri de doğrudur. Yani 0, − 1 , − 6 birer alt sınır ve 4, 5, 10 birer üst sınırdır. Yani bir
fonksiyonun birden çok sayıda alt sınırı ve üst sınırı olabilir. Ancak bir fonksiyon sınırlı ise
“En Büyük Alt Sınırı” bir tanedir ve “En Küçük Üst Sınırı” bir tanedir. Bunlara kısaca EBAS
ve EKÜS denir. Örneğin f fonksiyonu için EBAS f = 0 ve EKÜS f = 4 dür.
ÖDEVLER
M. BALCI, Genel Matematik Cilt I
Sayfa 43-44 problemler
C.H. EDWARDS, D.E. PENNY, Matematik Analiz ve Geometri Cilt I
Sayfa 9-11 problemler 1-16, 21-50
Sayfa 31-33 problemler 1-6
Sayfa 33 1.3 Proje: Eğik Merdiven
KAYNAKLAR
M. BALCI, Genel Matematik Cilt I, Balcı Yayınları, Ankara, 2003.
C.H. EDWARDS, D.E. PENNY, Matematik Analiz ve Geometri Cilt I, (çev.ed. Ömer AKIN), Palme Y., Ankara, 2001.
4