PowerPoint Sunusu

1) PARÇALI FONKSİYONLAR.
2) PARÇALI FONKSİYONLARIN GRAFİĞİ.
3) MUTLAK DEĞER FONKSİYONU.
4) İŞARET (SİGNUM) FONKSİYONU.
5) TAM KISIM FONKSİYONU.
6) ARALIK UZUNLUĞU.
7) TAM KISIM FONKSİYONLARININ GRAFİKLERİ.
8) FONKSİYONUN EN GENİŞ TANIM KÜMESİ.
9) ALIŞTIRMALAR.
Tanım: Tanım aralığının alt aralıklarında farklı kurallarla
tanımlanmış fonksiyonlara,parçalı fonksiyonlar denir.
Örneğin; f : R
R , f(x) = f1(x) , x1  x  x2 ise
Örneğin; f : R
R , f(x) =
f2(x) , x < x1 v x > x2 ise
fonksiyonu parçalı bir fonksiyon olup x = x1, ve x = x2
noktaları tanım aralıklarının uç noktalarıdır ve bu noktalara
fonksiyonun kritik noktaları denir.
4x - 1 , x  0 (Mod 3 ) ise
f:
R ye , f (x) = x2 + 1 , x  1 (Mod 3 ) ise
x3 - 1 , x  2 (Mod 3 ) ise
fonksiyonu veriliyor.
a. f (5) + f (6) - 2f (7) değerini bulalım. b.f(3x - 2)
fonksiyonunu bulalım.
Çözüm : a. 5  2 (Mod 3 ) olduğu için, f(5) = 53- 1 = 124
6  0 (Mod 3 ) olduğu için, f(6) = 4 . 6 - 1 = 23
7  1 (Mod 3 ) olduğu için , f(7) = 72 + 1 = 50 olur.
f(5) + f(6) -2f(7) = 124 + 23 - 100 = 47 bulunur.
b.3x -2  1 (Mod 3) olduğu için, f (3x -2) = (3x -2)2 +1
f(3x -2) = 9x2-12x +5 bulunur.
Parçalı fonksiyonların grafikleri çizilirken,tanım aralığının her
alt aralığındaki farklı kurallarla tanımlanmış fonksiyonların
grafikleri ayrı ayrı çizilerek grafik belirlenir
x2 + 2x , x < 1 ise
Örnek : f : R
R , f(x) = 0 , x = 1
-x + 2 , x > 1
ise
ise
fonksiyonun grafiğini çizelim.
Çözüm : i. y = x2 + 2x parabolünün ( , 1) aralığına karşılık gelen kısmı
çizilir.
3 y
ii.( 1 , 0) noktası işaretlenir.
2
iii.y = -x +2 doğrusunun ( 1 ,+ )
aralığına karşılık gelen kısmı
alınır.Böylece f parçalı fonksiyonun
grafiği çizilmiş olur.
1
-2
-1 0 1 2
-1
x
Tanım : A R , B  R olmak üzere f: A
B ye
-f(x) , f(x) < 0 ise
2
 f (x) = f (x) = f(x) =
f(x) , f(x)  0 ise
Şeklinde tanımlı fonksiyona,mutlak değer fonksiyonu denir.
i. |f(x)|  0 olduğundan, |f(x)| fonksiyonun görüntü kümesi R+ {0}dır.
ii. |f(x)| de f(x) = 0 denkleminin reel köklerine kritik noktalar denir.
|f(x)| fonksiyonun grafiği bu noktalarda kırılma ya da kıvrılma yapar.
iii. |f(x)| in tanımlanabilmesi için , f(x) in işareti bilinmelidir.
-f (x) , f(x) < 0 ise
f:A
B , |f |(x) = |f(x)| =
f(x) , f(x)  0 ise dir.
Bu tanıma göre mutlak değerli fonksiyonların grafikleri çizilirken
aşağıdaki adımlar izlenmelidir.
1.y = f(x) in grafiği çizilir.
2.(x,f(x)) noktalarının x eksenine göre simetriği (x ,- f(x))
olduğundan ,f(x) < 0 olduğu kısımların (x ekseninin altında kalan
parçaların ) x eksenine göre simetriği alınır.
3.f(x)  0 olduğu kısımlarda |f(x)| = f(x) olduğundan ,fonksiyonun
grafiği aynen kalır.Böylece , |f(x)| grafiği çizilmiş olur.
Örnek : Aşağıdaki mutlak değerli fonksiyonların grafiklerini çizelim.
y
Çözüm:
+
a. f: R
R , f(x9 = |lnx|
y = lnx
a.
2
b. f: R R , f(x) |x -1 |
c. f: R
R , f(x) |x-2 |
d. f: R
R+ , f(x) |2x |
1
0
y
y = |lnx|
1
0
1
e
x
1
e
x
y
y
b.
y=
x2-1
y= |x2-1 |
||
1
1
-1
0
x
-1 0
x
1
-1
-1
y= |x-2 |
y= x-2
y
c.
y
2
0
2
x
0
-2
-2
2
x
y
y
y=
2
2
1
1
0
1
y= |2x |
2x
x
Mutlak değer içleri f(x)=ax + b biçiminde
olan iki mutlak değer toplamından oluşan
fonksiyonların grafikleri aşağıda verilen
şekillerdeki gibi oluşur.
0
x
1
y
|a-b|
1. f: R
R , f(x)=|x-a|+|x-b|
fonksiyonunun grafiği x=a ve x=b de
kırılma yapan ve minimum değeri f (a) =f(b)
= |a-b| olan yandaki şekli çizer.
o
a
b
x
2.f: R
grafiği , mutlak değer içlerini sıfır yapan b/a
ve n/m değerlerinde kırılma yapar.Bu
değerlerden küçük olanına x1ve büyük
olanına x2 diyelim.Fonksiyonun f(x1) ya da
f(x2) de bir minimum değeri
oluşur.Fonksiyonun grafiği yanda görüldüğü
gibidir.
Tanım:R
y
R , f(x) = |ax-b|+|mx-n| ma
R , y=f(x) fonksiyonu verilsin.
-1 , f(x)<0 ise
y=sgnf(x)= 0 , f(x) = 0 ise
1, f(x) > 0 ise
biçiminde tanımlanan fonksiyona ,f nin işaret
(signum)fonksiyonu denir.
f(x1)
f(x2)
0
x1
x2
x
i. Tanımdan anlaşıldığı gibi,signf(x) fonksiyonu sadece -1,0,1
değerlerini ala bilir.O halde sgn f(x) fonksiyonunun görüntü
kümesi;{-1,0,1}dir.
ii.sgn f(x) in tanımlanabilmesi için , f(x) in işareti bilinmelidir
iii.sgn f(x) fonksiyonunda , f(x) = 0 denkleminin köklerine
,kritik noktalar denir.İşaret fonksiyonu bu kritik noktalarda
sıçrama yapar.
y = sgn f(x) in grafiğini çizerken aşağıdaki aşamalar
izlenmelidir: i.f(x)fonksiyonun grafiği çizilir.
ii.f(x)fonksiyonun grafiğinin;
x ekseninin üstünde kalan kısımlar için,y = 1 doğrusu çizilir.
x ekseninin altında kalan kısımlar için ,y= -1 doğrusu çizilir.
x eksenini kestiği noktalar için,y = 0 işaretlenir.
Örnek: f:R
R , y = f(x)
fonksiyonunun grafiği
yanda verilmiştir.Buna
göre ,sgn f(x) in grafiğini
çizelim.
y
c
a
Çözüm:soruda verilen
grafikten görüldüğü gibi ;
x a  f ( x)0ve sgn f ( x)  1
x  a  x  b  f ( x)  0ve sgn f ( x)  0
x a, x  b  f ( x) 0ve sgn f ( x)  1olur
0
f(x)
x
b
y
1
a
0
b
-1
x
Tanım: xR olmak üzere ,x ten büyük olmayan en büyük tam
sayıya ,x in tam kısmı denir ve bu [x] sembolü ile gösterilir.Yani,
a  Zolmak..üzere, a  xa  1   x   a
Örnek: f:R
R , f(x)=2x-1/5fonksiyonu veriliyor:
a. f(-1) Çözüm: a. f(-1) = -3/5
Teorem:x  R ,a  Z için x+a = x+a dır.
Özellik:nZ+ olmak üzere; nx = x+ x+1/n +x+2/n+....+
x+n-1/n dır.
Örneğin: 2x = x x+1/2
3x = x +x+2/3+ x+2/3
1.x ,yR , x+y x + y dir.
2.x ,yR+ , x .y x . y dir
3.x ,yR , x = y ise x-y <1 dir
Özellik:f rell değiskenli bir fonksiyon ve a tam sayi olmak üzere;
f(x) > a
f(x)a+1 dir.
f(x)  a
f(x)a dır.
f(x) < a
f(x)<a dır.
f(x)  a
f(x) < a+1 dir.
Tanım:Tam kısmı alınan fonksiyonu ,ardışık iki tam sayı arasına
getirebilen x reel sayılarının bulunduğu aralığın uzunluğuna ,aralık
uzunluğu denir.f(x) = g(x) de a  g(x) < a+1 (a  Z) eşitsizliğini
sağlayan x lerin bulunduğu aralığın uzunluğu,x lerin aralık
uzunluğudur.
1.m,n  R ve m  0 olmak üzere ,f(x)= mx + n ise ;aralık
uzunluğu 1/m dir.
f: aR Z , f(x) = g(x) in grafiğini çizerken ,aşağıdakı
aşamalar izlenmelidir.
a).Aralık uzunluğu belirlenir.
b).Tanım aralığı ,aralık uzunluğuna göre ve uç noktalar aralık
uzunluğunun tam sayı katı olacak biçimde ,yani g(x)i ardışık iki
tam sayi arasına getirebilecek şekilde bölünür.
c).Her aralıktaki f(x) = g(x) ler belirlenip ,grafik çizilir
Tanım:xR olmak üzere y=f(x) kuralı ile verilmiş bir f fonksiyonunda
;AR ve xa için f(x)R koşulunu sağlayan en geniş a kümesine , f
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi denir.
TANIM KÜMELERİNİN BULUNUŞU
1.POLİNOM FONKSİYONLAR
f(x)
anxn + an-1xn-1 +....+a1x + a0 gibi polinom fonksiyonları ,tüm reel
sayılarda tanımlıdır,Çünkü;x R için f(x)R dir. Buna göre
polinom fonksiyonlarının en geniş tanım kümeleri A=R dir.
Örneğin;f(x)=mx+n ise ,A=R dir.f(x)=ax2+bx+c ise ,a=R dir
2.Rasyonel Fonksiyonlar
P(x) ve Q(x) birer polinom fonksiyon olmak üzere f(x) = P(x)/Q(x)
biçimindeki fonksiyonlar,paydayı sıfır yapan x R için
tanımsızdır.Çünkü Q(x)=0 için f(x)R dir.O halde,bu türdeki rasyonel
fonksiyonların en geniş tanım kümesi; A=R- x: Q(x) = 0 ve x Rdir.
 Köklü Fonksiyonlar
P(x)polinom fonksiyonu olmak üzere ,f(x) = n P(x) biçiminde
irrasyonel fonksiyonların en geniş tanım kümesi;
a. n, tek sayı ise ,A = R dir.
b. n,çift sayı ise , A = {x : P(x)0 ve x  R}dir.
Örnek:f(x) = 3x2-1. Çözüm: f(x) = 3x2-1 fonksiyonunun kök
derecesi tek olduğu için en geniş tanım kümesi : A = R dir.
 Logaritma Fonksiyonu......
P(x) ve h(x) polinom fonksiyonlar olmak üzere f(x) = logh(x) P(x)
biçiminde logaritmik fonksiyonun tanımlı olması için P(x)>0,
h(x)>0 ve h(x)  1olmalıdır.Buna göre en geniş tanım kümesi:
A = x : P(x) >0 , h(x) >0 ve h(x) 1 , xR  dir.
ALIŞTIRMALAR
1.Aşağıdaki değerleri bulunuz.
a.Sgn 3
b.sgn( -4)
c. 3,98 .sgn|-398|
d. log1998
2.Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
a. x=5
b. 2x-3 = 7
c. 3-5x = -7
d. -x = 3
3.Aşağıdaki fonksiyonları, parçalı fonksiyon biçiminde yazınız.
a.f(x) =|x-3| b.f(x) = |lnx|
c.f(x) = x2 |x|
d.f(x) = x|lnx|
4. Aşağıda verilen bağıntıların R2 de grafiklerini çiziniz.
a.|x| + |y| = 2
b.|x|-|y|= 3
c.|2x + y|=3
d. |x2|+|y2|=0
5. Aşağıdaki fonksiyonların en geniş tanım kümesini bulunuz.
a.f(x) = 2x - 5
b.f(x) =x-7
c.f(x) = ln (3-x) d.f(x) = x+3/3-|x|