1 γ γ

Dr. Ali PINARBAŞI
1-
Akışkan
Üzerine uygulanan kayma doğurabilecek en ufak bir kuvvet ile devamlı olarak deforme olan madde şeklidir. Buna göre
akışkan, statik halde veya deformasyon olmadığı zaman kayma gerilemesi taşımaz. Newton tipi akışkanlarda sürtme
gerilmesi deformasyon hızı ile orantılıdır.
2- Viskozite
Viskozite akışkanın iç sürtünmelerini ifade eden özelliğidir. Viskozitesi sıfır olan akışkan mükemmel akışkan olarak
adlandırılır. Akışkanların viskoziteleri sıcaklıkla değişmektedir. Sıvıların viskoziteleri sıcaklıkla azalır, gazların ise
artmaktadır.
3-Kohezyon ve Adhezyon
Kohezyon sıvının kendi partikülleri arasındaki çekme kuvvetidir.
Adhezyon ise sıvı ile bir katı cismin yüzeyi arasındaki çekme kuvvetidir.
4- Kılcallık
Sıvı, gaz ve katı cismin ortak noktasında serbest sıvı yüzeyinin durumu da yüzeysel gerilme ile ilgilidir. Örneğin
serbest sıvı yüzeyinin katı cidarı kestiği noktada üç faz birleşmektedir. Bu noktada serbest sıvı yüzeyine çizilen teğet
katı cidarla α açısı yapar. Üç maddenin birbirlerine göre yüzeysel gerilme kuvvetleri tespit edilirse α açısı belirlenmiş
olur. Eğer α açısı 900’den küçük olursa sıvı ıslatmayan sıvı, 900’den büyük olursa sıvı ıslatan sıvı adını alır. Yani
adhezyon kuvveti, kohezyon kuvvetinden büyükse sıvı ıslatan sıvıdır. (Su, cam örneğinde olduğu gibi)
5- Piyezometrik Enerji
Akışkanın sahip olduğu basınç ve potansiyel enerjilerinin toplamıdır.
P*
γ
=
P
γ
+z
6- Akışkanın sahip olduğu ivme
Akışkan partikülünün ivmesi, hızının değişim oranıdır. Bir noktadaki partikülün ivmesi (konvektif) ve Lokal ivme diye
adlandırılabilen iki ivmenin toplamıdır. Konvektif ivme uzayda hızın noktadan noktaya değişmesinden, lokal ivme ise
noktadaki hızın zamanla değişmesinden doğar. Daimi (zamana bağlı değişimi olmayan) yani sürekli harekette ikinci
ivme terimi sıfır olur.
Lagrange yaklaşımında ivme: Akışkan partikülünün hızı, sadece zamanın bir fonksiyonudur.
Euler yaklaşımında ivme: Hız zaman ve uzayın fonksiyonu olduğundan;
1
Dr. Ali PINARBAŞI
Burada ilk terim olan, ∂V / ∂t lokal ivme olarak adlandırılır ve verilen bir noktada hızın zamanla olan değişimini karakterize
eder. Akış unsteady ise lokal ivme vardır.
İkinci terim V .∇V ise konvektif ivme olarak adlandırılır. Akış alanındaki hızın uzaysal gradyanı olarak adlandırılır.
Konvektif ivme, akışın non-üniform olduğu yani hızın akım çizgisi boyunca değişimi sözkonusu ise vardır.
7- Akım Çizgisi
Akım çizgileri üzerindeki bütün noktalardaki teğetleri hız vektörü ile çakışan eğrilerdir. Yani eğriler hız vektörünün
zarflarıdır. Herhangi bir M(x,y,z) noktasında akışkan parçacığının hız vektörü bileşenleri;
u ( x, y , z , t )
v ( x, y , z , t )
w( x, y, z , t )
olsun. M noktasında birim teğet vektörü ise;
 dx dy dz 
t =  , ,  olduğundan;
 ds ds ds 
V ∧ dl = 0
V = ui + vj + wk
dl = dxi + dyj + dzk
(ui + vj + wk ) ∧ (dxi + dyj + dzk ) = 0
buradan, Akım çizgisinin diferansiyel denklemi;
dx dy dz
=
=
u
v
w
− vdx + udy = 0
veya
Akışkanın debisi ise;
dQ = udy − vdx
8- Momentum, Navier-Stokes, Euler Denklemi
Momentum: Eğer çevre sistem üzerine net bir F kuvveti etki ediyorsa; Newton’un ikinci hareket kanunu gereği;
∑F =

∂
 ∫ V ⋅ ρ dV  + ∑ (m i ⋅ Vi )out − ∑ (m i ⋅ Vi )in
∂t  CV

olur.
Birim hacim için  Birim hacimde Birim hacimde
Ağırlık kuvveti  + Basınç kuvveti +  viskoz kuvvet  = [Yoğunluk × ivme]

 
 

Kartezyen koordinatlarda 3 yönde momentum denklemini yazacak olursak;
ρ ⋅gx −
 ∂u
∂P ∂τ xx ∂τ yx ∂τ zx
∂u
∂u
∂u 
+
+
+
= ρ
+u
+v
+ w 
∂x
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z 
 ∂t
ρ ⋅gy −
 ∂v
∂v 
∂P ∂τ xy ∂τ yy ∂τ yz
∂v
∂v
+
+
+
= ρ + u
+v
+ w 
∂y
∂z 
∂y
∂x
∂y
∂z
∂x
 ∂t
ρ ⋅ gz −
 ∂w
∂P ∂τ xz ∂τ yz ∂τ zz
∂w
∂w
∂w 

+
+
+
= ρ
+u
+v
+w
∂z
∂x
∂y
∂z
∂
t
∂
x
∂
y
∂z 

2
Dr. Ali PINARBAŞI
Navier-Stokes: Newtonian bir akışkan için viskoz gerilmeler, elemanın gerilmesi ve viskozite katsayısı orantılıdır.
Sıkıştırılamaz akış için üç boyutlu viskoz akış denkleminde oluşan kayma gerilmelerinin açık ifadeleri;
τ xx = 2 µ
∂u
∂x
τ yy = 2 µ
,
 ∂u ∂v 
 ,
τ xy = τ yx = µ
+
 ∂y ∂x 
∂v
∂y
,
 ∂w ∂u 
τ xz = τ zx = µ
+
,
 ∂x ∂z 
τ zz = 2 µ
∂w
∂z
 ∂v ∂w 

τ yz = τ zy = µ +
 ∂z ∂y 
Newtonian akışkan için sabit yoğunluk ve viskozite durumunda diferansiyel momentum denklemi yeniden
düzenlenirse;
ρ ⋅ gx −
 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 
du
∂P
+ µ 2 + 2 + 2  = ρ
dt
∂x
∂y
∂z 
 ∂x
ρ ⋅gy −
 ∂2v ∂2v ∂2v 
∂P
dv
+ µ 2 + 2 + 2  = ρ
∂y
dt
∂
x
y
z
∂
∂


ρ ⋅ gz −
 ∂2w ∂2w ∂2w 
∂P
 = ρ dw
+
+ µ 2 +
2
2
dt
∂z
∂z 
∂y
 ∂x
Denklem takımları elde edilir ve Navier-Stokes denklemleri olarak bilinir.
Euler Denklemi: Sürtünmesiz akış kabul ettiğimiz takdirde
τ ij = 0
olacaktır ve yukarıda verilen denklemimizde
yeniden düzenleme yaparsak;
ρ ⋅ g − ∇P = ρ
dV
dt
denklemi elde edilir ve Inviscid akış için Euler Denklemi olarak anılır.
9-Toplam, Dinamik ve Statik Basınç
Dinamik basınç: Akışkanın hızından dolayı sahip olduğu basınçtır. Hareket halindeki akışkanın durdurulması
durumunda momentum kaybından dolayı akışı engelleyen cisim üzerine uygulayacağı basınçtır.
Statik Basınç: Akışkanın kendi iç basıncıdır.
Toplam Basınç: Statik basınç ile Dinamik basıncın toplamına denir.
PT = Pst + PDy = Pst + ρ
V2
2
10- Difüzör (Yayıcı)
Bir yayıcı kesiti yavaş artan bir borudan ibarettir. Hızların bütün kesitte üniform kabul edilmesi ve sürtünmesiz akış
kabulüyle:
PA*
γ
+
V A2 PB* V B2
=
+
2g
γ
2g
yazılabilir
Süreklilik denklemi yardımıyla AA.VA=AB.VB eşitliğinden;
PB* − PA* =
ρ
2
(V A2 − V B2 ) bağıntısından basıncın B kesitinde artmış olduğu görülür. Bir başka ifadeyle kinetik enerji
basınç enerjisine dönüşmüştür. Eğer giriş ve çıkış kesit hızları üniform yayılmamış ise Bernoulli denklemimiz;
PA* + α A
ρ
2
2
V A = PB* + α B
3
ρ
2
2
V B + ζ A− B
Dr. Ali PINARBAŞI
hale dönüşür ve bu dönüşümün yani yayıcının verimi ise: Basınç enerjisinin kinetik enerjiye olan oranıdır.
ηd = 1 −
ζ AB
ρ
2
=
2
(α A V A − α B V B )
2
ρ
2
PB* − PA*
2
2
(α A V A − α B V B )
Dairesel kesitli bir yayıcının verimi 2θ koniklik açısına ve difüzör boyuna bağlı olarak değişir. Çok küçük açılarda giriş
ve çıkış hızları arasındaki fark çok küçük olup, bunun yanında yük kaybı büyüktür. Yani yük kaybı, transformasyona
uğrayan enerji miktarından büyük olabilir. Dolayısıyla yayıcı içinde basınç azalması olur buda negatif verimle
adlandırılabilir. Başka bir ifadeyle bir konik boru ancak belirli bir θmin açısından sonra gerçek bir difüzör işlevi görür. 2θ
açısı arttıkça verim artar ve 70-80 civarında maximumdan geçer, bundan sonra azalmaya başlar. Bunun sebebi
cidardan ayrılmayla açıklanabilir. 400’den sonra cidardan ayrılma tam olduğu için artık cidarın durumu verime tesir
etmez ve takriben sabit kalır.
11- Durma Noktasındaki Basınç:
Sıkıştırılamayan akışkanlar halinde durma noktasındaki basınç, statik ile dinamik basınçların toplamı idi. Gazlar için
ise akım hareketi içine konmuş katı bir cisim etrafındaki akışı göz önüne alacak olursak ve akımı izantropik yani
sürtmesiz olduğu kabul edilirse;
k P1 V12
k P2 V22
+
=
+
k − 1 ρ1
k −1 ρ2
2
2
2 noktası durma noktası kabul edilirse V2=0 olur dolayısıyla;
(
P2
ρ2
−
P1
)=
P1
=
ρ1
ρ1k
k − 1 V12
k 2
P2
ρ 2k
bağıntısı yardımıyla;

P1  P2

ρ1  P1





1−
1
k

2
 k − 1 V1
− 1 =
k 2


elde edilir. Buradan da;
c= k
P1
ρ1
Mach Sayısı M =
ve
 P2

 P1



k −1
k
V1
c
yerine yazılırsa;
2
−1 =
k − 1  V1 
k −1 2
M
  =
2  c 
2
k
P2  k − 1 2  k −1
= 1+
M 
2
P1 

P2 basıncı için Binom açılımı yapılırsa;
P2 = P1 +
 M2 2−k 4

1
ρ1V12 1 +
M + ..........
+
2
4
24


Eğer akışkan sıkıştırılamayan kabul edilse idi;
P2 = P1 +
1
ρ1V12
2
sonucu elde edilirdi. Görülüyor ki sıkıştırılabilen akışkanlarda durma noktasında, sıkıştırılamayan akışkanlara nazaran
daha yüksek basınç mevcuttur. Küçük Mach sayılarında bu fark ihmal edilebilir.
4
Dr. Ali PINARBAŞI
12- Kanalda Adyabatik Akışta hızın değişimi:
Kanalda mükemmel gazın sürtünmesiz ve adyabatik akışını ele alacak olursak;
dV
dA 1
=−
V
A 1− M 2
ifadesi elde edilir. Denklemden Mach sayısı 1’den küçük olunca, kanal kesiti küçüldüğünde hız artar. Yani Iraksak
borular bir gaz için yine yayıcı olarak çalışır ve hızı küçültürler. Yakınsak boruda ise tersi durum söz konusudur, yani
hız azalır.
13- Lülede Süpersonik Akışın Eldesi:
Normal yakınsak bir lülede sesüstü akışın elde edilemeyeceği, bunun için yakınsak-ıraksak bir lülede elde
edilebileceği bilinen bir gerçektir. Tepki kuvvetlerinin artırılması için roketlerde buna ihtiyaç duyulur. Önce yakınsak
sonra ıraksak bir kesite sahip bir lülenin sabit basınçlı bir hazneye bağlandığını düşünelim.
Lüle çıkışındaki basıncın düşürülmesi için, çıkış’ın girişten hafif küçük olması durumunda lüle içerisindeki akış hızları
da küçük olacağından sıkıştırılamayan akış kanunlarına uyacaktır. Yakınsak boruda hız artar, ıraksak boru ise yayıcı
gibi çalışır hızlar azalır dolayısıyla, maximum hız boğazda gözlemlenir (A). Çıkış basıncının biraz daha düşürüldüğünü
ve boru içerisindeki hızların artırıldığını düşünürsek; boğaz noktasındaki ses altı hıza tekabül eden Mach sayısının
büyüdüğünü fakat henüz ses altı hızların hakim olduğunda ıraksak boru bir difüzör gibi çalışacak hızları azalacak,
basıncı artacaktır. Yakınsak boruda ise bunun tersi olacaktır. Ancak sıkıştırmanın etkisi yüzünden yayıcıdaki hız
azalması daha fazla olacaktır. Yani kesit değişiminin etkisi biraz daha hissedilecektir (B).
Çıkış basıncını biraz daha azaltmaya devam edersek, boğaz noktasında hız ses hızına eşit hale gelir.
Boğazdaki basınç ise kritik basınca düşmüş olur. Bu basınç;
Pk  2 
=

P0  k + 1 
k −1
k
şartını sağlamaktadır. Şekildeki C eğrisi bunu ifade etmektedir. Burada boğaz hariç tüm noktalarda ses altı hız
hakimdir.
Çıkış basıncını biraz daha fazla azaltırsak, Pt basıncını Pk basıncının altına indirmek mümkün değildir. Po ve Pt
basınçları değişmedikçe lüleden geçen debide değişmez. Dolayısıyla Pe basıncının daha küçük değerleri için boğaz
noktasındaki ses hızı debiyi tayin eder. (sıcaklığın sabit kalması şartı ile) Çıkış basıncının azaltılması boğaz girişindeki
hızları artıramadığı halde boğaz çıkışında ses üstü hızına çıkar. Bilindiği gibi süpersonik akışta ıraksak boru ters yönlü
çalıştığı için akış yönünde hız artar ve basınç azalma gösterir. (D ve E) eğrisinde görüldüğü gibi Pe basıncı yeteri
derecede küçük değilse bütün ıraksak lüle boyunca hız artışını sağlamaz ve boru içinde bir kesitte şok meydana gelir.
Bu kesitte basınç ani olarak artar, hız ise ses altı hızına düşer. Bu kesitten çıkışa kadar ses altı kanunu hakim olur.
Hız azalır basınç artar ve çıkışın tam ağzındaki basınç yine Pe ‘e eşit olur.
Çıkış basıncının daha fazla azaltılması ile şok’un olduğu kesit çıkışa doğru kayar (H) eğrisinde gösterilen bütün
ıraksak lüleyi ses üstü hız kaplar. Difüzör M>1 için ters çalıştığından hız artmaya devam eder. En büyük hız lüle
çıkışında meydana gelir. Bu anda kesit çıkış basıncı, çıkış ağzındaki basınçdan biraz büyük olabilir.
5
Dr. Ali PINARBAŞI
14- Sekonder Akımlar
Dirsek içerisindeki kaybın bünyesi incelenirse bunlar, normal sürtünme kayıpları, cidardan ayrılmalar ve çalkantı
kayıpları, sekonder akımlar olarak üç kısımda toplanabilir. Sekonder akımlar dirsek içindeki akışta sınır tabakada
basınç kuvvetlerinin atalet kuvvetleri ile dengelenmemesi yüzünden doğar. Dönme eğriliğinin verdiği basınç gradyeni,
hemen hemen borunun ekseni boyunca büyük değişime uğramaz. Halbuki cidara yakın sınır tabaka yüzünden hızlar
düşük olduğundan bir sıvı elemanına tesir eden merkezkaç kuvvet basınç kuvvetinden küçüktür. Bu kısımlarda
dirseğin içine doğru ikinci derecede akımlar oluşur ve bu akımlar dirsek simetri düzlemine yakın kısımlarda ters
dönerler. Sonuç olarak dirsek içinde iki helikoidal akış düzenlenmiş olur, bu akımlar dirsekten sonraki düz boru
boyuncada devam eder. Ancak sekonder akımların hızları, esas akımın hızı yanında düşük olduğundan bunların
doğuracağı kayıplar büyük mertebede olmadığı gibi çoğu zaman ayrılma ve çalkantı kayıpları yanında ihmal edilebilir.
15- Lagrange ve Euler Bakış Açıları
Lagrange Metodu: Akışkanın çok küçük boyutlu bir parçadan oluştuğunu düşünürsek, her bir akışkan
parçasının yaptığı hareketi teker teker belirlemeyi tanımlar. Yani her partikül için F=Ma bağıntısı uygulanır.
Bunu ise;
a- Akışkan parçasının izlediği yolu (buna yörünge adı verilir.)
b- Yörünge boyunca akışkan parçasının hızını
c- Yine yörünge boyunca akışkanın basıncını ve hareketin diğer özelliklerini belirlemek anlamına gelir.
Herhangi bir p partikülü r1(t1) pozisyonundan, r2(t2) pozisyonuna hareket etmiş olsun;
V p = Lim
∆t →0
r2 − r1 dx
dz
dy
= i+
k
j+
dt
dt
t 2 − t1 dt
V p = u pi + v p j + wp k
Lagrange metodunda sadece bir partikülün hareketini değil akım alanı içerisindeki bütün partiküllerin eşzamanlı
hareketi gözönüne alınlmalıdır buda çok güç bir iştir.
Euler Metodu: Akışkanın teker teker yaptığı hareketi belirlemek yerine, akım alanının her noktasında hareket
ile ilgili büyüklüklerin (hız, basınç, vb) zamanla nasıl değiştiğini ifade eder.
Uzaydaki sabit bir nokta için;
x = xi + yj + zk
V = V ( x, t ) = ui + vj + wk
burada;
u = u ( x, y , z , t )
v = v ( x, y , z , t )
w = w( x, y, z , t )
Bu yaklaşım akışkan partikülünün geçmişinden ziyade akış alanı ile ilgilendiği için çok faydalı bir yöntemdir.
16- Boyut Analizi
Gözönüne alınan bir fiziksel olayı etkiyen deneysel değişkenlerin sayısını ve karmaşıklığını azaltmak için
kullanılan bir yöntemdir.
17-Sınır Tabaka
Bir katı çeper üzerinde gerçek akışkanın hareketini inceleyecek olursak, sürtünmeli akışkanlar için hız cidarda
sıfırdır. Çeperden uzak bir bölgede, cidarın yavaşlatıcı etkisinin hissedilmediği noktalarda hızın Vm olduğu
düşünülürse, hızın cidar ile maksimum hıza eriştiği bölgeye sınır tabaka adı verilir. Sınır tabakanın dışında akışkanın
sürtme etkisinin hissedilmemesi, Navier-Stokes denklemlerinde sürtünme terimlerinin yok sayılmasını ve bu nedenle
de Euler denkleminin uygulanmasını sağlar.Diğer yandan sınır tabaka içinde sürtme kuvvetleri kendilerini
hissettirecektir. Bu bölgede hareket girdaplıdır. Eğer kütle kuvvetleri korunursa sınır tabaka dışında bazı şartların
gerçekleşmesi ile hareketin potansiyel olduğu kabul edilebilir.
18- Sınır Tabakanın Ayrılması
Akış yönünde dışbükey bir cidar düşünelim ve sınır tabakanın dışında akışkan hızının akış yönünde azaldığını
kabul edelim. Hız azalması sınır tabakayada bulaşır. Eğer hız azalması yeter derecede yavaş ise akışkan iplikçikleri
sürtme tesiri ile birbirini frenleyecek ve profil gittikçe basıklaşacaktır. Fakat bu hız azalması veya başka bir deyişle hız
enerjisinin basınç enerjisine dönüşü çabuk olursa akış yönündeki basınç artması , sınır tabakanın cidara çok yakın
noktalarında zaten sıfıra yakın olan hızları ters yönde çevirebilir. Bu kesitte cidara yakın bazı noktalar kinetik
enerjilerinin hepsini kaybetiiklerinden geri doğru hız kazanmışlardır. Arkadan gelen partiküllerde bu harekete iştirak
ederler. Bu suretle akış ile cidar arasında girdaplar ve çalkantılar ile dolu bir bölge teşekkül eder. Sınır tabakanın
ayrılması denilen bu olaya difüzörlerde rastlandığı gibi serbest akış içine konmuş profilli cisimlerde de rastlanır. Aynı
geometrik şartlar içinde türbülanslı sınır tabaka laminer sınır tabakadan daha geç ayrılır. Türbülanslı akışta iplikçikler
arasındaki hareket miktarı alış verişinin fazla olması, hızları çok olan tabakaların hızları azalan tabakaları daha kolay
sürüklemesini sağlar, bu suretle ayrılma bir dereceye kadar önlenir. Pürüzlü ve pürüzsüz cidara sahip iki küre
üzerindeki akış yapısının incelenmesinden, pürüzlü kürede ayrılmanın gecikmiş olması örneği verilebilir.
6
Dr. Ali PINARBAŞI
19- Sıkıştırılamaz kabulün nedenleri:
Sıkıştırılamaz kabulü Mach sayısının yaklaşık 0.3’den küçük olduğu durumlarda uygulanabilir.
M =
U
a
burada
 ∂P 

a 2 = 
 ∂ρ  s
20- Inviscid kabulünün uygulanabilirliği:
Inviscid kabul Reynolds sayısının çok yüksek olduğu durumlarda uygulanabilir. Dolayısıyla katı cidara yakın
çok ince bir sınır tabaka oluşur. Reynolds sayısı atalet kuvvetlerin viskoz kuvvetlere olan oranı olduğu için, yüksek
Reynolds sayısı, daha az etkili viskoz etkileşim anlamına gelir.
21- Bernoulli Denkleminin uygulanabilirliği
a- Irrotasyonel akış için:
Euler denklemimizi yazacak olursak;
∂V 1
∇P
+ ∇(V .V ) +
= Vxw
∂t 2
ρ
Irrotasyonel akış için w=0 olduğundan denklem Bernoulli denklemine dönüşür.
Katı cisim üzerindeki akış:
Dış akış örneği olup, akış alanı iki bölgeye ayrılır, bunlar irrotasyonel dış akış ve cismin arkasında bulunan
wake gölgesidir. Bernoulli denklemi irrotasyonel dış akış bölgesinde herhangi iki nokta arasında uygulanabilir.
Wake gölgesinde ise akış viskoz etkilerin altında olduğundan Bernoulli denklemi uygulanamaz.
c- Sabit kesitli alanlarda akış:
Dış akış örneği olup yine akış bölgesi ikiye ayrılır, bunlar gelişme bölgesi ve tam gelişmiş bölgedir.
Gelişme bölgesinde, akıntı yönünde ve katı cidarlara yakın bölgede sınır tabakadan dolayı viskoz
etkileşimler hakimdir. Bu işlem esnasında kesitin merkezindeki sürtünmesiz core akışkan hızlanmaktadır.
Bernoulli denklemi sadece bu inviscid core içine uygulanabilir.
Tam gelişmiş bölgede, inviscid core kaybolur. Streamwise basınç gradyanı akışta viskoz kuvvetler ile
dengededir. Dolayısıyla bu bölgenin herhangi bir yerine Bernoulli denklemi uygulanamaz.
d- Bir nozzle içerisindeki akış:
Nozzle akışkanın entalpisinin kinetik enerjiye dönüşümü için kullanılmaktadır. Subsonik akışlar için nozzle’ın
geometrisi yakınsaktır. Nozzle içerisinde gelişen basınç gradyanı, duvarlardaki sınır tabakanın gelişimini baskı
altına alır. Böylece merkezdeki inviscid core akışın önemli bir bölümünü işgal eder. Bernoulli denklemi bu
nedenle bu bölgeye uygulanabilir.
e- Türbin kanatları arasındaki akış:
Türbin kanatlarındaki sürtünmeden dolayı akışkanda korunum kuvvetleri yoktur. Dolayısıyla Bernoulli
denkleminin türbin kanatlarına uygulanması sözkonusu değildir. Fakat türbin kanatlarının downstream veya
upstream bölgesindeki akış alanına uygulanabilir.
b-
22- Nozzle Akışı
Şekildeki A nozzle’ı kısa ve 1. nolu noktadaki jet üniform ve paraleldir. B nozzle’u ise A’ya zıt yönde uzun çıkış
kesitine sahiptir.
Viskozite, 2 nolu kesitten 3 nolu kesite doğru tüp boyunca sınır tabakanın gelişimine sebep olur. Sınır tabaka 3’de
birleşmeye başlar burada jet formu paralel ve un-üniformdur. 2’deki hız paralel ve üniform kabul edilirse 3’deki hız
ise parabol olarak tahmin edilebilir.
7
Dr. Ali PINARBAŞI
burada Uc3 3 nolu istasyonun merkesindeki hızdır.
1 ve 3 noktalarındaki statik basınç;
P1=P3=Pa ‘dır
C ve D noktaları arasındaki basınç farkının sebebi B nozzle’ının etrafındaki akım çizgilerinden
çıkarılabilir. Akım çizgileri boru bölümünün girişinden önce köşe etrafında eğrileşir dolayısıyla pozitif
basınç gradyanı normal yönde gelişir. Yani;
Po>PD>PC
Nozzle’daki kütle debisi ise; A nozzle’ının çıkışı ile hacim arasında Bernoulli denklemi uygulanırsa;
-
1
ρU 12
2
Po = Pa +
Benzer şekilde B nozzle’ı ve hacim arası Bernoulli denklemi uygulamasından;
-
Po = Pa +
1
ρU C2 3
2
İki bağıntıdan UC3=U1 sonucu elde edilir.
Buradan nozzle çıkışındaki debi;
-
m A = ρπa 2U 1
mB =
ve
ρπa 2U 1
2
mA
böylece
= 2 olarak elde edilir.
mB
23- Basic Kontrol hacmi yaklaşımı
Bir sistem için mekanik yasalarını yazacak olursak;
dM
=0
dt
1-
Kütlenin korunumu:
2-
Momentumun korunumu:
F = Ma =
3-
Enerjinin korunumu:
dE
= Q −W
dt
d ( MV )
dt
24- Rotasyon
Rotasyon w, partikülün herhangi iki karşılıklı elemanının ortalama açısal hızı olarak tanımlanır. Rotasyon bir
vektördür.
y
y
Translation
y
x
x
Rotation
r
r
r
y
x
Angular Deformation
x
Linear Deformation
r
ω = i ω x + jω y + kω z
υ = υo +
Taylor serisi yardımıyla
oa çizgisinin açısal hızı; woa = lim
∆t →0
∂υ
∆x
∂x
∆α
∆η / ∆x
= lim
∆
t
→
0
∆t
∆t
woa = lim
∆t →0
buradan, ∆η =
(∂υ / ∂x )∆x∆t / ∆x = ∂υ
∂x
∆t
8
∂υ
∆x∆t
∂x
yazılabilir.
Dr. Ali PINARBAŞI
∆
y
∆β b
∆y
O
x
∆x
∆α a
∆η
b’
İki boyutlu akış alanında rotasyon
Benzer şekilde;
u = uo +
∂u
∆y
∂y
∆ξ = −
wob = lim
ve
∆t →0
∆β
∆ξ / ∆y
= lim
∆t ∆t →0 ∆t
− (∂u / ∂y )∆y∆t / ∆y
∂u
=−
∆t →0
∂y
∆t
∂u
∆y∆t
∂y
wob = lim
z ekseni boyunca rotation ise buradan;
wz =
1  ∂v ∂u 
 − 
2  ∂x ∂ y 
Benzer şekilde diğer yz ve xz ekseni için;
wx =
1  ∂ w ∂v 
− 

2  ∂y ∂z 
wy =
1  ∂u ∂ w 
−
2  ∂z ∂x 
Yani genel formda
r
r
r r
1  r  ∂ w ∂v  r  ∂u ∂w  r  ∂v ∂ u  
−  + j
−
w = i w x + j w y + k w z = i 
 + k  − 
2   ∂y ∂z 
 ∂z ∂x 
 ∂x ∂y 
r
r
curlV = ∇xV
r
Vektörel notasyonda; w =
r
1
∇xV
2
Bir akışkan partikülünün hareketinde rotasyon oluşabilmesi, başlangıçta partikülün yüzeyinde viskoz gerilmelerin
oluşması gerekir. Yani body ve normal yüzey (basınç) kuvvetleri rotasyon oluşturmaz. Yani viskoz kuvvetlerin varlığı
akışın rotasyonel olduğunun ifadesidir. Yukarıdaki denklemde ½’ yi elimine edersek vorticity, ξ, elde edilir yani 2 kere
rotasyon vorticity’i verir.
r
r
r
ξ = 2 w = ∇V
25- Vortisity
Vortisity akış alanında hareket eden akış elemanının rotasyonunun bir ölçüsüdür. Vortisity yani sirkülasyon, Γ ile
gösterilip akıştaki sabit kapalı eğrinin tangential hızının çizgisel integrali olarak tanımlanır.
r r
Γ = ∫ Vds
c
 ∂υ ∂u 
dΓ = 
− ∆x∆y
 ∂x ∂y 
dΓ = 2 w z ∆x∆y
26- Açısal Deformation
ABCD akış elemanının açısal deformasyonunun zamanla değişimi, AB ve AD yüzeyleri arasındaki açının
zamanla değişimi ile orantılıdır.
dα AB ∂v
=
dt
∂x
dα xy
dt
=
and
dα AD ∂u
=
dt
∂y
dα AB dα AD ∂u ∂v
+
=
+
dt
dt
∂ y ∂x
9
Dr. Ali PINARBAŞI
burada αxy, xy plane’indeki kayma gerilmesini ifade eder.
dα yz
dα xz ∂u ∂w
=
+
∂z ∂x
dt
dt
ω
C
D
D
dα
C
B
y
x
D
∂v ∂w
+
∂z ∂ y
C
B
dαxy
B
of face
A Angular deformation
dα xy
 ∂u ∂v  
= µ +  
dt
 ∂y ∂ x  
dα xz
 ∂u ∂w  
=µ
= µ +

dt
 ∂z ∂x  
dα yz
 ∂ v ∂w  
=µ
= µ +

dt
 ∂z ∂y  
τ xy = µ
τ yz
D
ωz
B
Rotation
of face ABCD
A
τ xz
C
=
27- Bernoulli Denklemi ve Termodinamiğin 1. yasası arasındaki ilişki
Bir akım çizgisi boyunca Euler denkleminin, steady, incompressible ve sürtünmesiz akış kabulüyle integrasyonu sonucu,
elde edilen Bernoulli denklemi momentum denkleminden elde edilebileceği gibi termodinamiğin 1.yasasından da elde
edilebilir.
Temel denklem:
r r
∂
Q& + W& shear + W& other = ∫CV eρd∀ + ∫CS (e + r ) ρdA
∂t
e=u+
stream
Flow
& s =0
W
& shear = 0
2) W
Kabuller: 1)
V2
+ gz
2
3)
& other = 0
W
4) Steady ve uniform akış
Bu kabuller altında;




V2
V2
0 =  u1 + P1ν 1 + 1 + gz1 {− ρ1V1 A1 }+  u 2 + P2ν 2 + 2 + gz 2 {− ρ 2V2 A2 }− Q&




2
2




Süreklilik denklemini ilave edersek;
0=
yani;
aynı zamanda;
r r
∂
∫CV ρd∀ + ∫CS ρVdA
∂t
0 = {− ρ1V1 A1 }+ {ρ 2V2 A2 }
veya
m& = ρ1V1 A1 = ρ 2V2 A2
δQ δQ& dm δQ&
=
=
m&
Q& =
dm
dt
dm dt
Enerji denkleminden;

 

V2
V2
δQ 

0 =  P2υ 2 + 2 + gz 2  −  P1υ1 + 1 + gz1  m& +  u 2 − u1 −
m&




2
2
dm 

 


10
Dr. Ali PINARBAŞI

 

V2
V2
δQ 

0 =  P2υ 2 + 2 + gz2  −  P1υ1 + 1 + gz1  m& +  u2 − u1 −
m&




2
2
dm 

 


buradaki en son terim (u2-u1-δQ/dm) sürtünme kayıplarını karakterize eder.
P1υ1 +
δQ 
V12
V2

+ gz1 = P2υ 2 + 2 + gz2 +  u2 − u1 −

dm 
2
2

veya sıkıştırılamaz akışkanda ν1=ν2=1/ρ olduğu için;
P1υ1 +
V12
V2
+ gz1 = P2υ 2 + 2 + gz 2 + h f
2
2
28- Süreklilik Denklemi
2
0 = {− ρ1V1 A1 }+ {ρ 2V2 A2 }
veya
V1A1=V2A2
Bernoulli denkleminden;
P1 − P2 =
Teorik hız V2,
V2 =
ρV22 
A 
1 −  2 
2   A1 

[
2( P0 − P)
m& theorotical = ρA2V2 = ρA2
Veya
m& theorotical =
Çıkış katsayısı;
Cd =
Gerçek debi ise;
m& actual =
Dt
A2≅At kabulüyle veya β =
olursa;
D1
Akış katsayısı;



2( P1 − P2 )
[
ρ 1 − ( A2 A1 )2
A2
1 − ( A2 A1 )2
2 ρ ( P1 − P2 )
Actual mass flow rate
Theoretical mass flow rate
C d At
2 ρ ( P1 − P2 )
1 − ( At A1 )2
2
4
D 
 At 
  =  t  = β 2 , böylece;
A
 D1 
 1
m& actual =
burada, the factor 1
2
]
ρ 1 − ( A2 A1 )2
Teorik akış oranı;
C d At
1− β 4
2 ρ ( P1 − P2 )
1 − β 4 hız yaklaşım faktörü olarak bilinir.
K=
Cd
1− β 4
11
so
]
 V1 
 A2 
  = 
 V2 
 A1 
2
Dr. Ali PINARBAŞI
m& actual = KAt 2 ρ ( P1 − P2 )
Yeniden gerçek debiyi ifade edersek;
Q = KAt
ρ
D/2
D
P1
2( P1 − P2 )
Boyutsuz çıkış katsayısı Cd ve akış katsayısı K, β ve ReD ‘nin fonksiyonudur.
Cd = f(β,ReD) ve K = f(β,ReD)
P2
The correlating equation recommended for an orifice with D:(1/2)D in the Reynolds
number range ReD=104 to 107 of normal use are (developed by ISO)
Cd=f(β)+(91.71) (β2.5)(ReD)-0.75+
Burada
(0.09) β 4
β
4
F1-(0.0337) (β3)F2
f(β)=0.5959+(0.031)( β2.1)-(0.184)(β8)
The correction factors F1 and F2 vary with tab position:
Orifice plate
D:(1/2)D taps F1=0.4333
;
F2=0.470
29- Genelleştirilmiş Bernoulli Denklemi
Bir boyutlu, sıkıştırılamaz, steady akışı sürtünmeli ve şaft işi’nide ilave ederek yazacak olursak;
 ( ( P P V 2 − V12

m& u 2 − u1 + 2 − 1 + 2
+ g ( z 2 − z1 ) = Q& net giriş + W& şaft giriş
ρ ρ
2


wşaft =
P2
ρ
(
+
W&şaft
m&
yerine yazılırsa,
V22
P V2
( (
+ gz 2 = 1 + 1 + gz1 + wşaft − (u 2 − u1 − q net )
ρ
2
2
(
sistemdeki kayıplar u 2 − u1 − q net olarak ifade edilirse;
P2
ρ
V22
P V2
+ gz 2 = 1 + 1 + gz1 + wşaft − kayıplar
2
ρ
2
+
Denklemimiz mekanik enerji denklemi veya genişletilmiş Bernoulli denklemi olarak adlandırılır.
Türbin veya Pompa için denklemimizi düzenleyecek olursak;
P2
γ
+
V22
P V2
+ z 2 = 1 + 1 + z1 + hs − hL
2g
γ 2g
=
W& şaft W& şaft
=
m& g
γQ
burada;
hs =
Türbin durumunda;
Pompa durumunda ise;
wşaft
g
;
hs = − hT
hs = hP
hL =
kayıplar
g
hT : Türbin head
hP : Pompa head
30- Non-uniform akışlar için Enerji Denklemi
Eğer kontrol hacmi boyunca herhangi bir bölümde hız profili üniform değilse, hızın kontrol hacmi boyunca
integrasyonu gerekir.
12
Dr. Ali PINARBAŞI
α V 2 α V 2 
V2
ρV .nˆ dA = m&  2 2 − 1 1 
2 
cs 2
 2
∫
burada α kinetik enerji düzeltme faktörü olarak bilinir.
V2
ρV .nˆ dA
A 2
α=
V2
m&
2
∫
üniform akış için α=1 iken non-üniform akışta α ≥ 1 olur. Laminer akış halinde
sayısına bağlı olmak üzere α = 1.04 − 1.07 arasında değişir.
Enerji denkleminde yerine yazacak olursak;
P2
ρ
+
α 2V22
2
+ gz 2 =
P1
ρ
+
α1V12
2
α = 2 , türbülanslı rejimde ise Reynolds
+ gz1 + wşaft − kayıplar
olacaktır.
31- Tersinmez Akış
Termodinamiğin 2. yasası gereği steady, sıkıştırılamaz, bir boyutlu, sürtünmeli akışta;
( (
u2 − u1 − qnet ≥ 0
1 boyutlu steady akış denklemi;
 (

V 2 
P
 + g (dz ) = δQ& net
m& du + d   + d 



ρ
 2 
Tüm akışkanlar için geçerli olan;
1
(
T ds = du + p d  
ρ
yukarıdaki 2 denklemi birleştirecek olursak;


V 2 
 p
1
 + g dz  = δQ& net
m& T ds − p d   + d   + d 

ρ
ρ
 2 


δqnet = δQ& net / m& düzenlemesi yapılırsa denklemimiz;
V 2 
 + g dz = −(T ds − δqnet )
+ d 

ρ
2


dp
32- Termodinamiğin 1. ve 2. yasasının analizi
Steady, tersinir (sürtünmesiz) akış için;
 dp

V 2 
 + g dz  ≥ 0
−  + d 

 2 
 ρ

yazabiliriz. Viskoz etkilerden dolayı meydana gelen tersinmez akış esaslarını denkleme ilave edersek;
 dp

V 2 
 + g dz  = δ (kayıplar ) = (T ds − δqnet )
−  + d 

 ρ

 2 
steady sürtünmesiz akış için ise denklemimiz;
 dp

V 2 
 + g dz  = 0
 + d 

 ρ

 2 
çok küçük bir kontrol hacmi için enerji denklemine şaft işini ilave ederek uygun forma dönüştürürsek, sıkıştırılabilir ve
sıkıştırılamaz akış formu için geçerli olan;
13
Dr. Ali PINARBAŞI
 dp

V 2 
 + g dz  = δ (kayıplar ) − δwşaft
−  + d 

 ρ

 2 
denklem elde edilir.
1
(
du + p d   − δqnet = δ (kayıplar )
ρ
sıkıtırılamaz akış için, d (1 / ρ ) = 0 olup denklem;
(
du − δqnet = δ (kayıplar )
haline dönüşür. Sonlu bir kontrol hacmi için;
(
(
u 2 − u1 − qnet = kayıplar
sıkıştırlabilir akış ve sonlu kontrol hacmi için;
1
( ( 2
u 2 − u1 + ∫ p d   − qnet = kayıplar
1
ρ
33-Potansiyel Akım
Lineer olmayan Euler denkleminin analitik çözümü üzerine gözlemlenen güçlüklerden dolayı, inviscid bir akışkanın hız
vektörünün Euler denklemi dışında aranması ihtiyacından doğmuştur. Bu kuramda Laplace’ın Newton mekaniğinde kütle
çekim kuvvetini bir potansiyel fonksiyondan elde etmesi gibi, akışkanın hız vektörünün bir potansiyel fonksiyondan
türetilebileceği varsayımına dayanır. Böyle bir potansiyelin varlığı akışın döngüsüz olduğu durumlarda geçerli olup,
viskozitede akış içerisinde döngü yaratan kaynak olarak kabul edildiği bilindiğine göre, potansiyel akım kuralı viskoz
akışlara uygulanamaz. Kuramda sıkışmaz akışkanlar için süreklilik denklemi bir Laplace denklemine dönüşür ve bu
denklemin çözümü bize potansiyel fonksiyonu, dolaylı olarak da hız vektörünü verir.
34-Potansiyel Fonksiyon
φ potansiyel bir fonksiyon olmak üzere akışkanın hız vektörü;
V = ∇φ
Sıkışmaz bir akışkanın süreklilik denklemi ise;
∇V = 0
Hız vektörünü yeni formda;
∇V = ∇(∇φ ) = 0
Laplace denklemi adı verilen bu ikinci dereceden kısmi türevli eliptik denklemin çözümü potansiyel fonksiyonu verir.
Potansiyel akımın herhangi bir noktasında;
v=−
∂φ
,
∂x
u=
35- Basınç Gradyanlı Sınır tabaka
14
∂φ
∂y
Dr. Ali PINARBAŞI
Şekil (a)’ da uygun gradyan görülmekte olup herhangi bir çekme noktası (PI) olmamakla birlikte herhangi bir
separation yoktur. Şekil (b) ise zero basınç gradyanı olup yine separation olmamakla birlikte, akış Rex (3x106 civarında)
transition’a geçebilir. Şekil (c) ‘den (e)’ye ters basınç gradyanı mevcut olup PI sınır tabakada oluşur. Şekil (c)’de akış
tam olarak separation’a uğramamakla birlikte zayıf bir gradient hakimdir. (d)’de ise kritik şartlara ulaşılıp burada wall
kayma gerilmesi tam olarak sıfırdır. ( ∂u / ∂y = 0 ) Bu nokta separation noktası olarak adlandırılır.
Diğer bir örnek ise sağdaki şekilde görüldüğü gibi nozzle, boğaz ve difüzör içerisindeki akışta gözlemlenir. Burada
nozzle akışında uygun bir gradient hakim olup alsa dağılmaz, aynı benzerlik boğaz’dada gözlemlenir. Burada basınç
gradyanı yaklaşık olarak sıfırdır. Fakat genişleyen kanallı difüzör, düşük hız ve artan basınç (ters gradient) üretir. Eğer
difüzör açısı büyük ise, sınır tabaka bir veya iki duvarda birden dağılacak böylece ters akışlarla birlikte kayıplar
artacaktır. Dolayısıyla kötü bir basınç kazanımı gözlemlenmiş olup, buna difüzör stall’u adı verilir.
36-Pompa Performans eğrisi
Head, düşük debide yaklaşık olarak sabit giderken Q=Qmax olduğu
konuma doğru gittikçe sıfıra düşüş gösterir. Bu hızda ve bu çark
boyutunda pompa Qmax’dan daha fazla akışkan sürküle edemez.
Kesikli çizgiyle gösterilen noktada pompa unstable hareket ederken
pompada problemlere yol açabilir. Pompalarda en iyi performans
noktası olarak bilinen dizayn noktası verimin maximum olduğu
yerdeki head’in değeri dikkate alınır.
Verim:
η = ρgQH / P ifadesinde çıkarılabilir.
37-Elemanter Pompa Teorisi
Turbomakinalar için açısal momentum teoremini uygularsak;
T = ρQ(r2Vt 2 − r1Vt1 )
Akışkanın dağıttığı güç ise;
veya diğer bir formda;
Pw = wT = ρQ(u 2Vt 2 − u1Vt1 )
H =
Pw
ρgQ
=
1
(u 2Vt 2 − u1Vt1 )
g
Yukarıdaki denklemler Euler turbomakina denklemleri olarak bilinir.
Şekilden;
Veya;
V 2 = u 2 + w 2 − 2uw Cos β
uVt =
w Cos β = u − Vt
1 2
(V + u 2 − w 2 )
2
15
Dr. Ali PINARBAŞI
Her iki denklemin taraf tarafa toplanmasıyla;
H =
Bernoulli denkleminden;
[
1
(V22 − V12 ) + (u 22 − u12 ) − ( w22 − w12 )
2g
]

 P V2

 P V2
H = 
+
+ z1  = hs − h f
+
+ z1  − 
1
 2  ρg 2 g
 ρg 2 g
Yeniden denklemi düzenlersek;
olduğu bilindiğine göre;

 P w 2 r 2ω 2

+
−
+ z  = sabit

 ρg 2 g
2g


Bu ise dönel koordinatlar için Bernoulli denklemi olarak adlandırılır.
38-Kanat Açısının pompa düşü’süne etkisi
Eğer giriş açısal momentumu ihmal edersek, teorik su gücü;
Pw = ρQu 2Vt 2
Vt 2 = u 2 − Vn 2 Cot β 2
burada;
Buradan teorik düşü ifadesi ise;
H ≈
Vn 2 =
Q
2πr2 b2
u 22 u 2 Cot β 2
−
Q
g
2πr2 b2 g
Burada düşü H, Q’ya bağlı olarak değişim göstermektedir. Eğer β2<900 ise geriye dönük kanat geometrisi oluşur β2>900
olduğu durumda ise ileriye dönük kanat geometrisi oluşur.
39-Dönel silindir üzerindeki Akış
1-
Re<< 1
2-
4<Re<40 silindir arkasında iki büyük vorticity oluşur, Re=40’a kadar silindire temaslı kalır Sürüklenme kuvveti
Re ile artarken, kaldırma kuvveti sıfırdır.
3-
40<Re<150 Simetrik akış tamamen kaybolmakta ve regular dağılım başlar. Sürüklenme ve kaldırma kuvveti
peryodik kabul edilir.
4-
200<Re<400 Vorticity’ler içindeki akış laminerden türbülansa değişim göstermeye başlar. Bunun sonucunda
akışta düzenli kayıplar gözlemlenir.
5-
400<Re<3.105 Simetrik olmayan von-Karman vorteksi gözlenir. Akış düzgünleşir.
6-
3.105<Re<5.105 Akış hızla değişime uğrar, yani akış subcritical veya transcritical olabilir.
Kaldırma kuvvetleri değişebilir.
7-
5.105<Re<3.106 Akış tamamen superkritiktir (yani tam turbulent). Separation noktası geri stagnasyon
noktasına doğru hareket eder.
8-
Re>3.106 Sürüklenme kuvveti artar, akış tam türbülanslıdır.
Akış simetrik ve dağılım yoktur, yani atalet kuvvetleri ihmal edilmiştir.
16
Sürüklenme ve
Dr. Ali PINARBAŞI
40- Maddesel Türev
Sürekli ortam kavramı Akışkanlar Mekaniğindeki değişkenlerin sürekli ve yer-zaman’ın tek değerli fonksiyonları olarak
ifade edilmesini mümkün kılar. Akışkan partikülünün özelliklerinde değişiklik istendiği konumlarda diferansiyel
gereksinimi olur. Partikülü takiben alınan böyle bir işleme, partikülü takiben alınan diferansiyel, elde edilen türevlerede
maddesel türev denir. Örneğin yoğunluk için;
ρ = ρ [x(t ), y (t ), z (t )]
sonsuz bir ∆t aralığı için, x,y,z pozisyonlarından x + ∆x, y + ∆y , z + ∆z konumuna girerken değişim;
∆ρ =
Burada;
∆x = u.∆t
∂ρ
∂ρ
∂ρ
∂ρ
∆x +
∆y +
∆z +
∆t
∂x
∂y
∂z
∂t
∆y = v.∆t
∆ρ =
yeniden düzenlenirse;
olarak ifade edilebilir.
∆z = w.∆t olduğundan yerine yazılırsa;
∂ρ
∂ρ
∂ρ
∂ρ
u.∆t +
v.∆t +
w.∆t +
∆t
∂x
∂y
∂z
∂t
∆ρ Dρ ∂ρ
∂ρ
∂ρ
∂ρ
=
=
+u
+v
+w
∆t → o ∆t
∂t
∂x
∂y
Dt
∂z
lim
41-Reynolds Transport Teoremi
Bir sistem analizini, kontrol hacmi analizine dönüştürmek gayesiyle, matematik ifadeleri özel bir kütleden ziyade spesifik
bir bölgeye göre yazmak için gerekli dönüşümü sağlayan analiz yöntemine Reynods Transport Teoremi denir.
B toplam kütle olmak üzere;
DBi
∂ (bi ρ )
D
=
dV + ∫ bi ρVds
∫ bi dm = ∫
Dt
Dt m
∂t
v
s
Verilen bir zamanda V hacmini
işgal eden sistem için Bi’nin
anlık değişimi
Verilen bir zamanda Bi ‘nin V
kontrol hacmindeki değişimi
17
Verilen bir zamanda V hacminin
kapalı S yüzeyinden geçen etkili
özellik Bi ‘nin toplam net debisi
Dr. Ali PINARBAŞI
42-Vortex Hareketleri
Cebri Vortex: Eğer akışkan kütlesi bir eksen etrafında blok halinde dönüyorsa, hızın radyal doğrultudaki yayılışı
doğrusaldır. Yani;
V
= w = sabit
r
şartı mevcuttur. Basınç yayılışı ise ;
1 ∂P V 2
P2 − P1 w2 (r22 − r12 )
=
=
formülü yardımıyla
bulunabilir.
γ
2g
ρ ∂r
r
P2 − P1
γ
=
V22 − V12
2g
Görüldüğü gibi basınç yayılışı parabolik bir şekilde dışarı doğru artar. Hareket girdaplı olduğu için iki farklı ipçik
arasında Bernoulli Denklemi yazılmaz. Dolayısıyla yukarıdaki denklem Bernoulli denkleminden farklıdır.
Serbest Vortex: Akışkan tamamen sürtmesiz olur ve dışardan bir itme momenti tatbik edilmezse, sirkülasyonlu
potansiyel hareket şartına uygun bir hareket doğar. Eş merkezli daireleri yörünge olan bu şekilde daimi ve
düzlemsel bir hareket düşünelim. Diferansiyel denkleme bu hareketin hiperbolik hız yayılışı kanununu uygularsak;
Cebri Vortex
Serbest Vortex
1 ∂P V 2
=
ρ ∂r
r
dP
ρ
=
C2
r3
Rankine kombine vortex
denkleminde
V.r=sabit=C yazılırsa
P2 − P1
bunun integrasyonuyla
dr
P2 − P1
γ
=
ρ
=−
1 C2
2 r2
2
=
1
V12 − V22
2
V12 − V 22
2g
Yukarıdan görüleceği gibi bu denklem, hareketin potansiyel olması sebebiyle Bernoulli denklemini ifade etmektedir.
Basınç dışa doğru yine artma gösterir.
Rankine kombine vortexi: R0 yarıçaplı bir silindirin içinde cebri vortex dışında serbest vortex olduğunu düşünelim.
Böyle bir durumda eksen üzerinde hızların sonsuza gitmesi gerekir. Gerçek akışkan halinde viskozite kuvvetleri
anormal derecede büyüyeceğinden hızların fazla büyümesine imkan vermez.şekildeki noktalı hat ile gösterilen hız
yayılışı elde edilir ki, bu yayılış R0 yarıçaplı bir zorlu vortex çekirdeği etrafında serbest vortex hareketine
benzetilebilir.
43- Hareket Denklemi için özel haller
-
Sürtünmeli bir akışkanın öyle bir sıkıştırılamayan hareketini ele alalım;
∇ 2V x = ∇ 2V y = ∇ 2V z = 0
-
olsun
Böyle bir harekette hareket denklemi sürtünmesiz hareket denklemi ile çakışır. Bu nedenle hareket
sıfırdan başlıyor ve kütle kuvvetleri bir kuvvet fonksiyonundan türüyor ise akışkan sürtmeli olmasına
rağmen akış potansiyel olur.
Problemin tersini düşünerek, potansiyel bir akış gözönüne alalım. Potansiyel fonksiyonun laplasiyeni
sıfır olacağından, bu fonksiyonun gradyenide sıfır olur.
∇ 2φ = 0
,
r
r
∇ 2V = ∇ 2 grad φ = 0
yani hız vektörünün laplasiyeni de sıfırdır. Hareket denkleminde viskozite terimleri kalkar. O halde
harekette viskozitenin yani sıvı sürtünmesinin etkisi hissedilmeyecektir. Yalnız cidardaki sınır şartı
değişik olacaktır.
18
Dr. Ali PINARBAŞI
-
Yine çok hızlı hareketlerde de atalet kuvvetleri yanında viskoz kuvvetler ihmal edilebilir. Bu çeşit
hareketlerde sürtmesiz hareketlere benzetilebilir. Diğer taraftan çok yavaş hareketlerde veya viskozitesi
büyük akışkanların hareketinde atalet kuvvetleri viskoz kuvvetler yanında ihmal edilebilir. Bu takdirde
denklem;
1
ρ
r
r
r
grad p = F + ν∇ 2V
şekline indirgenir. Stokes bu yaklaşımdan faydalanıp bir küre etrafındaki hareketi çözmüştür.
44- Euler ve Lagrange Metodu yaklaşımıyla Laminer ve Türbülanslı akış
Lagrange metodu yörüngeleri, Euler metodu ise hızlar alanını esas almakta olduğundan Laminer ve Türbülanslı
akış halinde birtakım farklılıklarıda beraberinde getirir.
Lagrange metoduna göre, her iki akışın bünyesini görmek istersek, laminer akışta taneciklerin birbirlerine
paralel düzgün yörüngeler çizdiğini, buna karşın türbülanslı akışta bir partikülün düzgün bir eğri şeklinde
yörüngesinin bulunmadığını söylemek mümkündür.
Euler metoduna göre, bir noktadaki hız durumu incelendiğinde, laminer ve daimi akışta hız vektörünün
zamanla değişmediği görülür. Türbülanslı akışta ise M noktasındaki hız vektörü belirli bir değer etrafında raslantılı
ve düzensiz değişimler gösterecektir.
Lagrange metoduna göre
Euler metoduna göre
45- Bir Kanat etrafında sirkülasyonun doğuşu
Belirli bir hucum açısına sahip kanat profilinde bir kaldırma kuvveti meydana gelebilmesi için, genel bir akış
hareketi ve sirkülasyona ihtiyaç vardır. Bir akım alanı içerisine konmuş olan silindir döndürüldüğünde, gerçek
akışkan hareketi halinde viskoziteden dolayı sirkülasyonun doğabileceği aşikardır. Fakat bir uçak kanat profili
etrafında sirkülasyonun oluşumu, kanadın kaçma kenarında belirli bir girdabın doğuşuna bağlıdır. Gerçekten kanat
etrafında oluşan sirkülasyon kaçma kenarındaki girdabın sirkülasyonuna eşit ve ters işaretlidir. Şekil a’da görüldüğü
gibi başlangıçta sirkülasyon sıfır olup, şekil b’de ki gibi hareket başlar başlamaz ilk anda hareket potansiyeldir. Bu
nedenle kaldırma kuvvetide sıfır olur. Fakat bu akış şekli uzun sürmez, kaçma kenarının altındaki hız üsttekinden
daha fazladır. Bunun sonucu olarak bir süreksizlik yüzeyi doğar ve bu yüzey saat akrebinin tersi yönünde bir girdap
doğmasına neden olur. (başlama girdabı) Bu anda kanat etrafında buna karşıt bir sirkülasyon doğacaktır. (bağlı
girdap) İki sirkülasyonun toplamı yine sıfırdır. Hareket daimi hal alınca başlama girdabı ve bağlı girdap’da sabit
kalır. Başlama girdabı kanat ucundan koparak akış ile sürüklenir ve sonsuza gider. Daimi akış halinde gördüğümüz
yalnız bağlı girdabın sirkülasyonudur ve bu kanat üzerinde kalarak kaldırma kuvvetini yaratır.
Kanatda Sirkülasyon
Kanatlarda Basınç
46-Kanat Etrafında Basınç Yayılışı
Şekilden görüldüğü gibi akım hatları, kanadın sırtında sıklaşmakta, kanadın göğsünde ise seyrekleşmektedir. Bu ise
kanat sırtında hızların fazlalaştığını, göğüste ise hızların azaldığını ifade eder (süreklilik şartı).Aynı özellik kanat
19
Dr. Ali PINARBAŞI
etrafında saat akrebinin dönüşü yönünde bir sirkülasyonun mevcudiyetini izah eder. Diğer taraftan Bernoulli
denkleminden hızların fazla olduğu sırt kısmında basınçların düşük, buna karşın, hızların az olduğu kanat göğsünde
basınçların yüksek olacağı anlaşılır. O halde kanat sırtında çöküntü, kanat göğsünde ise sürpresyon beklenecektir.
Bu basınç kuvvetlerinin bileşkesi kaldırma kuvvetini doğuracaktır. İkinci şekilde tipik bir profil etrafındaki basınç
yayılışı gösterilmektedir. Buradaki basınç değerleri ortam içinde V∞ hızının bulunduğu yerlerdeki P∞ basıncından
olan farklar şeklinde ifade edilmektedir. Örneğin bu değerler atmosfer içinde hareket eden bir uçak için efektif
basınçlara karşı gelir. Görüldüğü gibi çöküntü (depresyon)’lerin mutlak değerleri sürpreyonların mutlak değerine
oranla çok fazladır. Başka bir ifadeyle esas kaldırma kuvvetini temin eden kanadın sırtındaki basıncın azlığıdır.
47-Dalmış Cisimlerin Dirençleri
Akış alanı içerisine konulmuş bir cisme, akış yönünde etkiyen kuvvete
direnç denir. Direnç kuvvetinin iki ayrı orijini mevcuttur. Bunlardan birincisi
çeper üzerindeki sürtme gerilmeleri, ikinciside çepere etkiyen basınç
kuvvetidir. Genel olarak ince uzun profillerde sürtme direnci hakimdir. (Şekil
a) Kalın ve kısa profillerde basınç direnci çok daha büyük rol oynar. Basınç
direncinin büyümesi çeperden ayrılmalara bağlıdır. Ayrılmanın oluştuğu
girdaplı bölge arttıkça kayıplarda o oranda büyür ve direnç kuvveti artar.
Genel olarak her iki direnç için;
D = C D .ρ
V∞2
S olarak tanımlanır, S
2
projeksiyon yüzeini, CD ise cismin formuna, pürüzlülüğüne ve Re’ye bağlı
katsayıdır.
48- Küçük Reynolds Sayılarında Direnç
Küçük Re sayılarında direnç kuvveti, üzerinde atalet etkisi yok sayılabilecek, başka bir ifadeyle D direnci üzerine
etkiyen yalnızca hız, boyut ve viskozite katsayısı olacak, yani özgül kütle rol oynamayacaktır. Buna göre direnç
denklemi; D = f (V , l , µ ) şeklinde olacaktır. Boyut analizinden K cismin şekline bağlı bir katsayı olmak üzere;
D = K µ lV
bir kürenin viskoz bir sıvı içerisindeki direncini veren ifade ise; D = 3π
µ d V olup dolayısıyla K=3π olur.
49- Büyük Reynolds Sayılarında Direnç
Büyük Re sayılarında direnç de ise atalet kuvvetlerinin viskoz kuvvetler yanıda çok büyük olacağı aşikardır.
Aerodinamik bir profile sahip olan, yani cidardan ayrılmaların gözlemlenmediği bir cisim üzerinde basınç yayılışı,
potansiyel akıştaki basınç yayılışına çok yakındır. Halbuki potansiyel teori, bir cismin etrafında basınç yayılışından
doğan basınç direncinin sıfır olduğunu göstermektedir.
50- Bir Kürenin Direnci
Bir küre etrafındaki akışın durumunu 5 tipik şekilde izah edebiliriz.
1-
Re sayısının çok küçük değerinde (Re<1) atalet kuvvetleri ihmal edilmiştir. Akım
çizgileri hemen hemen simetrik durumda olup, Direnç katsayısı ise Stokes
formülünden; C D = 24 / Re hesaplanır.
2-
Re sayısı biraz artırıldıkça kürenin arkasında bir girdap halkası oluşur. Bu girdap halkası cisme bağlı kalır.
Direnci tam olarak değerlendirmek mümkün olmayıp, deneyler bu durumun 1<Re<10 arası meydana geldiğini
ve direnç katsayısının daha yavaş azaldığını göstermektedir. (alttaki Şekil a)
3-
Re=14 değerinden sonra girdaplar, arkadan kopmakta ve helikoidal bir form almaktadır. (üstteki Şekil b) Girdap
kopma noktası eksen etrafında dönmekte ve bu yüzden küreye, direnç kuvvetine ilave olarak bir kaldırma
kuvveti tatbik edilmektedir.
4-
Re değerinin 100 değerinden sonra düzenli bir girdap görmek olanaksızdır. Fakat küre üzerinde belirli bir
ayrılma noktası mevcuttur. Ayrılma kürenin akışa dik simetri düzleminden önce başlamaktadır. (alttaki Şekil a)
20
Dr. Ali PINARBAŞI
5-
Rek (Kritik Reynolds sayısı) olan 2 ile 4.105 değerleri arasında CD katsayısı ani bir düşme göstermektedir.
Bunun sebebi ayrılma noktasının (üstte Şekil b) arka tarafa kaymasındandır. Bunun sonucu olarak girdaplı ölü
bölge küçülür. CD katsayısındaki bu düşüş o kadar şiddetli ve ani oluşur ve bunun sonucu direnç üzerinde de
kendini gösterir. Yani V hızı arttıkça dirençte küçülme görülür.
Kritik değerin altında sınır tabaka henüz türbülanslı
olmadan ayrılma başlamaktadır. Bunun sonucunda, sınır
tabakanın ayrılma noktası çok öndedir. Reynolds sayısı arttıkça
sınır tabaka türbülanslı olma eğilimi gösterir. Türbülanslı sınır
tabaka içinde enerji alış verişi daha kolay olduğu için cidara çok
yakın taneciklerin hızlarının düşmesi ve ayrılmanın meydana gelmesi önlenmiş daha doğrusu gecikmiş olur.
Şekil a, kritik değerin altında bir akışa, b ise kritik değerin üstünde bir akışa karşı gelmektedir.
51- Bir Silindirin Direnci
Sonsuz uzunlukta akış eksenine dik olarak konulmuş bir
silindir, küre direncine benzer değişim gösterir. Re sayısının çok
küçük değerlerinde (Re<0.2) akış tamamıyla laminerdir. Atalet
kuvvetleri çok düşük olduğu için cidardan ayrılma yoktur. Fakat
atalet kuvvetlerini tamamıyla ihmal ederek problemi çözmek
mümkün değildir. (şekil a)
Re sayısı biraz artırılırsa girdapların kapladığı alan büyür.
Bu Re=10’a kadar devam eder. (şekil b)
Re sayısının 30 ile 60 olduğu yerde girdapların alternatif bir şekilde silindirden koptukları gözlemlenir. Burada
her vortex kopması, silindire akış yönünde dik bir kaldırma kuvveti gelmesine sebep olduğundan, bu rejimde
silindirin titreşen bir kuvvet etkisi altında kaldığı görülür.
Re sayısının daha büyük değerlerinde (Re<1000 için)
cidardan ayrılma noktası sabit kaldığı için Re’nin
artması pratikte CD ‘yi değiştirmemektedir. Fakat 35.105 değeri civarında türbülanslı sınır tabaka
gözlemlenerek CD katsayısında ve dirençte bir düşme
yaratır.
52-Dairesel Dönme
Bir düzlem çevrili hareket gözönüne alalım, Ortamda sadece a yarıçapında bir
çevri tüpü bulunsun. Bu tüpün hareket düzlemine paralel düzlemlerde arakesiti
a yarıçaplı bir silindirdir. Çevrinin bu silindir içinde düzgün olarak yayıldığını
varsayarsak, silindirin dışında ise çevriyi sıfır alabiliriz. Simetriden dolayı akım
çizgilerinin O merkezli daireler olacağı ve hızın merkezden uzaklığın
fonksiyonu olarak ifade edileceği açıktır. Tüpün içinde ve dışında O merkezli
dairesel iki yörünge boyunca;
2 π r v = π r 2ω o,
r <a
2 π r v = π a 2ω o,
r >a
yazılabileceği görülür. Bu bağıntılardan ortamın hız alanı için;
v=
1
ωor,
2
r < a,
v=
1 ωoa 2
,
2 r
r<a
ifadelerini elde ederiz. r=a için iki hız fonksiyonu birbirine eşit
olduğundan tüp yüzeyinde bir hız süreksizliği gözlenmez. Çevri
bölgesi dışında indüklenmiş hız merkeze uzaklıkla ters orantılı
olarak azalır. Çevri bölgesi içinde ise hız merkeze uzaklıkla
orantılı olarak artar. Çevri merkezinde hız sıfırdır. Çevri tüpü
içindeki akışkan ω o / 2 açısal hızıyla rijit bir cisim gibi
21
Dr. Ali PINARBAŞI
döner.Dolayısıyla hareketli bir akışkana yerleştirilmiş bir dairesel çevri akışkanın hızı ile yüzer. Dairesel çevride
basınç dağılımını hesaplamak istersek;
1
2
p

+ Ω 
ρ

2
ω x v + ∇ v = −∇
v = vθ (r ),
denkleminde,
Ω = 0 yazarsak;
dv
1 ∂p
−
= −vθ ω z + vθ θ ,
dr
ρ ∂r
∂p ∂p
=
=0
∂θ ∂z
elde edilir.
1
ωo r,
ω z = ω o olduğundan
2
1 dp1
1
1
1
1
−
= − ω o2 r + ω o2 r = − wo2 r , buradan m = ω o a 2 tanımıyla;
2
4
4
2
ρ dr
Çevri tüpü içinde, yani r<a için
vθ =
p1 = −
vθ =
Çevri tüpü dışında, yani r>a için;
−
m2
1 dp2
=− 3
ρ dr
r
ρm 2
2a 4
r 2 + C elde edilir.
1 ωoa2 m
= ,
r
2 r
ω z = 0 kabulüyle;
p2 = −
buradan
ρm 2
2r 2
+ po
bulunur, po burada sonsuzdaki basınçtır. Yani r=a’da p1=p2 koşulu sağlanmalıdır. Buradan C sabiti;
C = po −
ρm 2
a2
değeri bulunur, dolayısıyla;
p1 = po −
k=
ρm 2
a 2 po
=
ρω o2 a 2
4 po
r 2 
1
−
 2a 2 


ρm 2 
a2
olarak tanımlarsak;

p1
r2 
= 1 − k 1 − 2 ,
po
 2a 
r≤a
p2
ka 2
= 1− 2 ,
po
2r
r≥a
minimum basınç için Pmin = po (1 − k ) bulunur, dolayısıyla minimum basınç çevrinin merkezinde oluşur.
po <
k>1 için ise;
1 2 2
ω o a ise, Pmin < 0 , olur. Basıncın
4
negatif olduğu, yani çekme gerilmeleri etkisi altında olması gereken
yerlerde akışkan bulunmayacağından çevri tüpü içinde ro yarıçaplı
bir boşluk oluşur. ro, basıncın sıfır olduğu noktayı göstermektedir.
ro = a
2(k − 1)
,
k
k >1
sonucu elde edilir. K=2 için ro=a bulunur yani;
ωo =
2
a
2 po
ρ
değeri için çevri tüpünün içi tümüyle akışkandan boşalmıştır. Tüpün içinin akışkan ile dolu kalması için en büyük
açısal hız yada en küçük tüp çapı;
1
 ωo 
=


2
a

 max
po
ρ
(2a ) min =
,
22
4
ωo
po
ρ
olmalıdır.
Dr. Ali PINARBAŞI
53-Dış Akımların Dinamiği
Katı yüzeyde kayma gerilemesi maksimum iken sınır
tabakanın sonunda sıfıra düşmektedir.
∂τ
∂y
<0
µ
veya
y →δ
∂ 2U
∂y 2
<0
y →δ
u=v=0 (katı yüzeyde)
µ
∂ 2U
∂y 2
=
y →0
dP
dx
∴
dP
dU
= − ρU
dx
dx
µ
∂ 2U
∂y 2
= − ρU
y =0
dU
dx
İki tip dış akış gözönüne alınabilir.
a-
Hızlanan ⇒
dU
>o,
dx
2
b-Yavaşlayan ⇒
dU
<o
dx
2
Hızlanan akış durumunda, ∂ U / ∂y < 0 olur ve hız free stream hızında
düzgün bir şekilde artacaktır. Dolayısıyla bükülme noktası olmayacak ve
akış dağılımı gözlenmeyecektir. Yavaşlayan akış durumunda ise ( dU / dx < 0) katı yüzeydeki hızın eğriliği pozitiftir.
2
2
2
2
( ∂ U / ∂y y = 0 > 0 ) Fakat sınır tabakada yani ∂ U / ∂y y →δ < 0 ’da negatiftir. Dolayısıyla bir bükülme noktası
gelişebilir. Hız gradyanı açısından yani separation sadece yavaşlayan akışlarda gözlemlenir. Özetle:
Akış hızlandığı sürece yüzeye temaslı kalır ve basınç gradyanı (dP / dx < 0) olur.
-
Akış yavaşlayan ise ters basınç gradyanı
(dP / dx > 0) ouşup, akış yüzeye yakın noktalarda
yavaşlamakta ve bunun sonucu olarak ters yönde kuvvetlenebilir ve böylece separation oluşur.
Şekildeki gibi sıkıştırılamaz akış için daralan-genişleyen nozzle’ın daralan bölümünde akışın hızlanacağı, kesit
alanının daralmasından gözlemlenir. Fakat genişleyen kesitte, akış yavaşlayan olup separation nozzle’ın genişleyen
bölüünde gelişir. Başlangıç bölümünde, akış duvara yapışık kalır. Genişleyen kesitte ise akışın daima separation
göstereceği net değildir. Tabiiki bu durum akışın yavaşlama eğilimi gösterdiği genişleyen nozzle geometrisine
(açısına) bağlıdır.
54- Wake Dinamiği
Sınır tabakanın sonucu olarak akan akışkanın duvar
arasındaki etkileşiminden vorticity oluşur. Akışkan
partikülleri tabakalar arasında gelişerek dönme eğilimi
gösterir.
ωa =
1δ
1 δ ∂v ∂u
∫ ω dy = ∫ ( − )dy
δ 0
δ 0 ∂x ∂y
∂v / ∂x sınır tabakada çok küçük olduğundan;
ωa ≈ −
1 δ ∂u
u
dy = −
∫
δ 0 ∂y
δ
55- Hidrodinamik Sınır Tabaka
Bir yüzey çevresinde hareket eden akışkan içinde kayma gerilmeleri
nedeniyle hız gradyanlarının oluştuğu bölgeye hidrodinamik sınır tabaka
denir. U serbest akım hızıyla, sabit bir levha üzerine gelen akışkan, levha ile
temas ettiği noktalarda durağandır. Herhangi bir arakesitte hız dağılımına
bakılırsa, levha yüzeyinde sıfır olan hızın y yönünde giderek arttığı gözlenir.
Yüzeyden biraz yukarıda olan akışkan tabakası, alt kısımda olan durağan
sıvı tabakası tarafından durdurulmaya çalışır. Üstünde bulunan tabaka
tarafındanda akım yönünde hareket ettirilmeye zorlanır. Üst üste yer alan
tabakalar arasındaki kayma gerilmeleri nedeniyle hareketlerini etkilemekte
ve belirli bir uzaklıktan sonra hissedilmez olur. Bu noktadan itibaren akışkanın hızı serbest akım hızı olan U’ya eşit olur.
(%99U) Bu nokta hidrodinamik sınır tabakanın bittiği yer olarak adlandırılır. Sınır tabaka olarak tanımlanan bölgenin
dışında hız gradyanları ve kayma gerilmeleri ihmal edilebilecek derecede küçüktür. Serbest akım bölgesi denilen bu
kısımdaki akım Potansiyel akım olarak adlandırılır. Levha üzerindeki sürüklenme kuvveti:
23
Dr. Ali PINARBAŞI
δ ( x)
D( x ) = ρb ∫ u (U − u )dy
0
momentum kalınlığı (θ) olmak üzere;
δ
u
u
1 − dx
U
0U 
D( x) = ρbU 2θ
θ=∫
momentum kalınlığı, levha üzerindeki toplam sürüklenmeyi ölçer. Sürüklenme aynı zamanda levha boyunca oluşan
kayma gerilmesinin integrasyonuna eşittir.
x
D( x) = b∫ τ x ( x)dx
dD
= bτ x
dx
veya
0
U=sabit olduğundan;
dD
dθ
= ρbU 2
dx
dx
bu ifade ise momentum-integral bağıntısı olarak adlandırılır.
dθ
dx
τ w = ρU 2
bağıntısı laminer ve türbülanslı akış için geçerlidir. Hız profilini parabolik kabul etmek kaydı ile laminer akım için;
 2y y2 
u ( x, y ) ≈ U 
− 2 
δ δ 
0 ≤ y ≤ δ ( x)
buradan momentum kalınlığı ve kayma gerilmesi tahmin edilebilir, dolayısıyla;
δ  2y
y 2 
2y
y2 
2
dy ≈ δ
θ = ∫ 
− 2 1 −
+
δ δ 2 
15
δ 
0 δ
kayma gerilmesi ise;
τw = µ
∂u
2 µU
≈
∂y y = 0
δ
yeniden düzenlenirse;
δ dδ ≈15
ν
U
x = 0' da δ = 0
dx
1/ 2
δ
ν 
≈ 5.5  
x
 Ux 
24
=
5.5
Re1x/ 2
1 2 15νx
δ =
U
2