İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER 2.2. Gerilme

İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.1. İç ve Dış Kuvvetler
• Katı cisimlerin üzerine etki eden kuvvetler, katı cisimleri çekmeye,
ezmeye kaydırmaya çalışır.
• Katı cisimlere uygulanan kuvvetler sonucu cisimde bazı şekil
değişiklikleri olur.
• Bu şekil değişiklikleri kuvvetin ya da yükün şiddetine bağlı
olabileceği gibi, kuvvetin ya da yükün uygulandığı yerin ısısına,
cismin mikro yapısına da bağlıdır.
• Cisimlere etki eden bu kuvvetlere ya da bir cisme diğer cisimler
tarafından yapılan etkiye dış kuvvet denir.
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.1. İç ve Dış Kuvvetler
Dış kuvvetler iki kısımda incelenebilir:
 Doğrudan doğruya belli olanlar; (kendi ağırlığı, üzerine yüklenmiş ağırlıklar,
diğer kuvvetler)
 İrtibatlardan gelenler; (reaksiyon, mesnet kuvvetleri). Bunlar cisimlerin
diğer cisimlere bağlanmasından dolayı ortaya çıkar. Örneğin: balkonun
döşemeye, döşemenin kirişe, kirişin kolona, kolonun temele ve temelin
zemine gibi.
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.1. İç ve Dış Kuvvetler
Dış kuvvetlerin tesiri altındaki bir cisim aşağıdaki zorlamalarla karşı
karşıyadır:





Normal kuvvet (çekme, basınç)
Kesme kuvveti
Eğilme momenti
Burulma momenti → Burkulma momenti
Döndürme momenti
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.1. İç ve Dış Kuvvetler
• Cisimlerin mikro yapılarında bulunan kristal yapı ve moleküller,
uygulanan kuvvete tepki göstererek cismin şekil değiştirmesini
önlemeye çalışır.
• Moleküllerin dış kuvvetlere karşı gösterdiği bu tepkiye iç kuvvetler
denir.
• Mukavemette bir cismin tüm durumu hakkında fikir edinebilmek
için, cismi parçalara ayırmak ve her parçayı sanki diğerinden
bağımsız, ayrı bir cisim olarak düşünmek gerekir.
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.1. İç ve Dış Kuvvetler
• Herhangi bir metal çubuğu bir F kuvveti ile çekelim ve kuvveti sürekli
olarak arttırılsın.
• Çubuğa kuvvet uygulandığı sürece çubuğun mikro yapısında iç kuvvetler
oluşur ve uygulanan kuvvete karşı çubuk şekil değiştirmemeye çalışır,
kesit alanının birimine düşen iç kuvvet miktarı, dış kuvvet miktarı
arttıkça artar.
• Artık öyle bir noktaya gelinir ki iç kuvvetler dış kuvvetlere karşı koyamaz
ve cisim kopar.
• Cismin koptuğu anda cismin kesitinin birim alanına gelen iç kuvvet o
cismin o yüklere kadar kuvvet taşıyabileceğini anlatır.
• O malzemenin güvenle kullanılabilmesi, o cisme, koptuğu anda
uygulanan kuvvetten daha az kuvvet uygulanması ile mümkün olabilir.
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.2. Gerilme
• Eğer cisimlerin mikro yapılarında bir bağ olmasaydı cisimler dış
kuvvetler karşısında kum taneleri gibi küçük parçacıklara ayrılırdı.
• Cisim uygulanan dış kuvvete eşit bir iç kuvvetle tepki göstermeye
çalışır.
• Uygulanan kuvvet iç kuvvetleri yendiğinden cisimde şekil
değişiklikleri olur.
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.2. Gerilme
• Dış kuvvetlerin etkisine karşı tepki gösteren kuvvetlere iç kuvvetler
denilmişti.
• İç kuvvet, genel olarak, kesit yüzeyine dağılı bir haldedir.
• Yüzeye dağılı iç kuvvetin herhangi bir noktadaki dağılma şiddetine veya
birim alanına düşen miktarına iç gerilme ya da yalnız gerilme denir.
•  ve  ile gösterilir ve birimi kg/cm2, N/mm2, yada Mpa ‘dır.
• Yani, herhangi bir yapı elemanının kesitinde, bu kesite etki eden dış
kuvvete karşı yapı elemanının gösterdiği iç direnç gerilme olarak
tanımlanır.
• Kesite etki eden kuvvet, iç direnç (mukavemet) gerilmesini aşarsa yapı
elemanı o kesitinde deformasyona uğrayacak, kırılacak ya da kopacaktır.
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.2. Gerilme
• Gerilmeler iki şekilde tanımlanır;
 uygulanan dış kuvvetler, iç kuvvetleri kesit yüzeye dik etki
ettirirse oluşan gerilmeye normal gerilme (),
 uygulanan kuvvet aynı kesitte bulunan molekülleri birbiri
üzerinden kaydırmaya çalışırsa, bu gerilmeye de kesme
(kayma) gerilmesi () denir.
• Kısacası, söz konusu kesite dik olarak etki yapan gerilme normal
gerilme, paralel olarak etki yapan gerilme de kesme gerilmesi
olarak tanımlanır.
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.2. Gerilme
• Malzemeler çekme, basma, kesme yolu ile zorlanırlar.
• Bunların ileri aşamalarına burulma ve eğilme zorlamaları denir.
• Normal gerilme, etki yaptığı elemanı uzatma eğiliminde ise çekme
gerilmesi (ç), kısaltma eğiliminde ise basma gerilmesi (b)
olarak tanımlanır.
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.2. Gerilme
• Örneğin bir vincin taşıyıcı kablosu, yükü kaldırırken çekme
gerilmesi etkisi altındadır.
• Diğer taraftan eksenel yük taşıyan bir kısa kolon ya da bu kolon
ayağının oturduğu zemin ise basma gerilmesi etkisi altındadır.
Çekme Gerilmesi
Basma Gerilmesi
Kesme Gerilmesi
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.2. Gerilme
• Normal gerilme tüm kesit alanına düzgün bir şekilde yayılıyorsa, çekme
gerilmesi ve basınç gerilmesinin ifadesi;
• Bir yapı elemanında yada malzemesinde kuvvet etkisiyle oluşan:
Çekme gerilmesi
ç = F / A
Basınç gerilmesi
b = F / A
Eşitlikte,
ç
b
F
A
: Çekme Gerilmesi (kg/cm2, N/mm2)
: Basma Gerilmesi (kg/cm2, N/mm2)
: Kuvvet (kg, N)
: Kesit Alanı (cm2, mm2)
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.2. Gerilme
• Normal gerilme etki ettiği yüzeyi
 çekmeye çalışıyorsa (kesitin normali yönündeyse) pozitif (+),
 basmaya çalışıyorsa (kesitin normaline ters) negatif (-) kabul edilir.
• Kesme gerilmesinde ise,
 kesitin normali saat ibresinin tersi yönünde 90° yatırıldığında kesit normali
ile kesme gerilmesi ile aynı yönde ise pozitif (+)
 ters yönde olursa negatif (-) olarak kabul edilir.
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.2. Gerilme
• Her hangi bir malzemenin ya da yapı elemanının, üzerine gelen yükün etkisi
altında, kırılma anından hemen önce göstermiş olduğu en yüksek direnç o
malzemenin ya da yapı elemanının maksimum gerilmesi olarak tanımlanır.
• Bir malzemedeki ya da yapı elemanındaki gerçek gerilme ya da izin verilebilen
gerilme ise emniyet gerilmesi olarak tanımlanır.
• Yani, hesaplanan gerilmenin aşamayacağı ve bu nedenle yapının hiçbir zaman
tehlikeye maruz bırakılmayacağı gerilme sınır değerine emniyet gerilmesi denir.
• Bir malzemede ya da eleman oluşacak maksimum gerilmenin malzemenin
emniyet gerilmesine oranına, o malzemenin emniyet katsayısı denir.
• Emniyet Katsayısı = Maksimum Gerilme / Gerçek Gerilme (Emniyet Gerilmesi)
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.2. Gerilme
• Örneğin,
 bir çelik halatın çekmeye karşı maksimum gerilmesi 600 N/mm2,
 taşımasına izin verilen yük etkisi altında ortaya çıkan gerçek gerilme
(emniyet gerilmesi) 300 N/mm2 ise,
 bu halat kopmaya karşı 2 kat emniyetlidir yani emniyet katsayısı 2’dir.
• (Emniyet Katsayısı = 600 N/mm2 / 300 N/mm2 = 2 olarak
bulunur.)
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.2. Gerilme
Örnek 2.1. Şekildeki gibi kesiti
10cm * 10cm olan ahşap çubuğa
F=1,4t
çekme
kuvveti
etki
etmektedir. Buna göre ahşap çubukta
oluşan
çekme
F = 1.40t
gerilmesini
hesaplayınız.
Çözüm:
ç = 𝐹/𝐴 = 1400 𝑘𝑔/100 𝑐𝑚2 = 14 𝑘𝑔/𝑐𝑚2
Kesit = (10cm*10cm)
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.2. Gerilme
Örnek 2.2. Şekildeki kademeli pim bir
yük kaldırma aracının parçasıdır. Pimin
ucuna uygulanan kuvvet 10 kN’dur.
Pimin her bir kademesinde oluşan çekme
10kN
20mm
10mm
gerilmesini bulunuz.
(   3.14 )
10kN
Çözüm:
10 mm’lik bölme de alan;
20 mm’lik bölme de alan;
𝐴 = 𝜋𝑟 2 = 3,14 ∗ 52 = 78,5 𝑚𝑚2
𝐴 = 𝜋𝑟 2 = 3,14 ∗ 102 = 314 𝑚𝑚2
𝐹 10 ∗ 103
= =
= 127,39 𝑁/𝑚𝑚2
𝐴
78,5
𝐹 10 ∗ 103
= =
= 31,85 𝑁/𝑚𝑚2
𝐴
314
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.2. Gerilme
Örnek 2.3. Yarıçapı 4mm olan çelik bir çubuk, 1800 N’luk bir kuvvetle çekiliyor.
Meydana gelen gerilmeyi hesaplayınız. (   3.14 )
Çözüm:
ç =
𝐹 1800
1800
1800
=
=
=
= 35,83 𝑁/𝑚𝑚2
2
2
𝐴
𝜋𝑟
3,14 ∗ 4
50,24
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.2. Gerilme
Örnek 2.4. Şekildeki gibi kesit alanı 100
F
mm2 olan çelik halata etki eden kuvvet
4000 N ise ipte meydana gelen çekme
Halat
gerilmesini hesaplayınız.
F
P
Çözüm:
𝐹 4000
ç = =
= 40 𝑁/𝑚𝑚2
𝐴
100
Halatın dayanımı 40 N/mm2 den büyükse bu yükü taşıyabilir.
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.2. Gerilme
Örnek 2.5. Şekilde görülen çubuğa
uygulanan
basma
kuvveti
15
P
kN,
çubuğun kesit alanı ise 150 mm2’dir.
F
Çubukta
F
meydana
gelen
basma
gerilmesini hesaplayınız.
Çözüm:
𝐹 15 ∗ 103
𝑏 = =
= 100 𝑁/𝑚𝑚2
𝐴
150
Çubuğun dayanımı 100 N/mm2 den büyükse bu yükü taşıyabilir.
çubuk
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
S #1
1. İki silindirik çubuk B noktasında birbirine kaynakla bağlanmıştır. A noktasında d1 çaplı
silindirik çubuğa 60000 N luk çekme ve B noktasında ise d2 çaplı silindirik çubuğa toplam
250000 N luk basma kuvveti uygulanmaktadır. Her iki kesit için normal gerilmenin 150
N/mm2 değerini aşmaması istendiğine göre d1 ve d2 çaplarını hesaplayınız. (20 puan)
 d2
NOT : Dai r eni n al a nı ( A) 
4
F
Ger il me ( ) 
A
ve
d2
d1
A
60000 N

F

B
250000
N
F
2

4 F
2
 d12 
4 F

4  60000 N
2
 509.55 mm 2
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
SÇ #1
1. İki silindirik çubuk B noktasında birbirine kaynakla bağlanmıştır. A noktasında d1 çaplı
silindirik çubuğa 60000 N luk çekme ve B noktasında ise d2 çaplı silindirik çubuğa toplam
250000 N luk basma kuvveti uygulanmaktadır. Her iki kesit için normal gerilmenin 150
N/mm2 değerini aşmaması istendiğine göre d1 ve d2 çaplarını hesaplayınız. (20 puan)
NOT : D ai r eni n al a nı ( A) 
 d2
4
ve
G er il me ( ) 
F
A
d2
d1
60000 N

B
A
F
F
4 F


2
A   d1
  d12
4
250000
N
 d12 
4 F
4  60000 N

 509.55 mm 2
2
   3.14  150 N mm
 d1  22.57 mm

F
F
4 F


A   d 22   d 22
4
 d 22 
4 F
4  250000 N

 2123.14 mm 2
2
   3.14  150 N mm
 d 2  46.08 mm
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.3. Şekil Değiştirme ve Kırılma
• Yük altında herhangi bir yapı elemanında ortaya çıkan
deformasyona şekil değiştirme denir.
L
Gerilme, 
• Şekil değiştirme ve kuvvet arasındaki bağıntı laboratuarda
çekme deneyi ile belirlenebilir.
Orantı Sınırı
Maksimum Gerilme
Kopma Gerilmesi
Emniyet Gerilmesi

F
Boy değişim oranı

İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
= (F * L ) / (A * E
Eşitlikte,
L
 = Boy değişim (uzama / kısalma) miktarı
(cm)
F = Uygulanan kuvvet (kg)
Gerilme, 
2.3. Şekil Değiştirme ve Kırılma
• Bir noktadan sabitlenmiş bir çeliğin diğer ucuna uygulanan çekme
kuvveti sonucu, çelik çubuktaki boy değişiminin (uzama
miktarının) çekme kuvveti ile doğru orantılı olduğu İngiliz
araştırmacı Robert Hooke tarafından gözlenmiş ve formüle
edilmiştir.
Maksimum Gerilme
L = Çubuğun ilk boyu (cm)
A = Yükün uygulandığı kesit alanı (cm2 
E = Elastisite Modülü kg/cm 
2
F
Orantı Sınırı
Kopma Gerilmesi
Emniyet Gerilmesi

Boy değişim oranı

Görüldüğü üzere çubuğun uzaması çekme kuvveti ve çubuğun uzunluğu ile doğru
orantılı, kesit alanı ve elastiklik modülü ile ters orantılıdır.
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.3. Şekil Değiştirme ve Kırılma
Eğim = (tan = Elestisite Modülü (Orantı Katsayısı) kg/cm2
Elastisite modülü E = l oranı ile ifade edilir.
Gerilme = F/A ve boy değişim oranı l= (L1 – L) / L,
l=
l
/
L
ifadeleri
yukarıdaki formülde yerine konursa;
E = (F * L) / (A * l)
eşitliği elde edilir.
Bu durumda kuvvet etkisiyle oluşan boy uzama miktarı ya da kısalma miktarı;
eşitliği ile belirlenir.
eşitlikte;
 = Gerilme  kg/cm2
L
 = Boy değişim (uzama / kısalma) miktarı (cm)
F = Uygulanan kuvvet (kg)
A = Yükün uygulandığı kesit alanı (cm2
l= Boy değişim oranı
L1 = Çubuğun son boyu (cm)
Orantı Sınırı
Maksimum Gerilme
Kopma Gerilmesi
Emniyet Gerilmesi

E = Elastisite modülü kg/cm2
L = Çubuğun ilk boyu (cm)
Gerilme, 
l = (F * L) / (A * E)
F
Boy değişim oranı

İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.3. Şekil Değiştirme ve Kırılma
Yük etkisiyle çubuğun boyunda bir uzama olurken eninde de bir daralma meydana
gelecektir. Aynı şekilde çubuk boyunda bir kısalma olurken eninde ise genişleme oluşacaktır.
Çubuk kesitinde b kadar bir daralma/genişleme olmuş ise enine daralma ya da genişleme
oranı boydaki uzama/kısalma oranına benzer olarak b = b / b şeklinde tanımlanır.
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.3. Şekil Değiştirme ve Kırılma
Boydaki uzama / kısalma ile endeki daralma / genişleme arasında bağıntı vardır. Endeki
kısalmanın boydaki uzamaya oranına poisson oranı denir ve aşağıdaki şekilde ifade edilir.
 = bl = sabit = Poisson oranı
 = b / l 
ise
b = l * 
b = l *  / L
b = b* b 
eşitlikte;
 = Poisson oranı
b =Yanal şekil değiştirme oranı
l Eksenel boy değişim oranı
l = Boy değişim (uzama / kısalma) miktarı (cm)
L = Çubuğun ilk boyu (cm)
b = Yanal boy değişin miktarı (cm)
b = Çubuk kesitinin en küçük boyutu (cm)
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.3. Şekil Değiştirme ve Kırılma
Çizelge 2.1. Bazı malzemelerin elastise sabitleri
Malzeme
Elastise modülü(GPa)
Elastik sınır (MPa)
Alüminyum
70
131
Bakır
96
159
Çelik
207
248
Pirinç
90
379
Yumuşak Çelik
90
165

İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.3. Şekil Değiştirme ve Kırılma
Örnek 2.6. Şekilde verilen bir çatı makasının
G
ahşap malzemeden yapılan AB çubuğuna 3t
H
F
çekme kuvveti uygulanmıştır. Ahşap çubuğun
100000 kg/cm olduğuna göre AB çubuğunda
2
meydana gelecek boy değişim miktarını (uzama
miktarı)hesaplayınız.
Çözüm:
Δℓ = (𝐹 ∗ 𝐿) / (𝐴 ∗ 𝐸)
Δℓ = (3000 𝑘𝑔 ∗ 200 𝑐𝑚) / (100 𝑐𝑚2 ∗ 100000 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 )
Δℓ = 0,06 𝑐𝑚 𝑜𝑙𝑢𝑟.
B
C
F=3t
2m
E
D
F=3t
10cm
kesiti 10cm x 10cm ve elastisite modülü (E)
A
10cm
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.3. Şekil Değiştirme ve Kırılma
Örnek 2.7. Şekildeki gibi kesiti 20cm x 20cm,
boyu
50cm
ve
elastisite
modülü
F=50t
140000
kg/cm2olan bir beton bloğun üzerine 50t basma
yükü uygulandığına göre;
a) Beton blokta meydana gelecek boy değişim
L=50cm
(kısalma) miktarını
b) Yanal şekil değiştirme (genişleme) miktarını
hesaplayınız. ( = 0,20)
Çözüm:
a) Boy değişim (kısalma) miktarı
Δℓ = (𝐹 ∗ 𝐿)/(𝐴 ∗ 𝐸) = (50000𝑘𝑔 ∗ 50𝑐𝑚)/(400𝑐𝑚2 ∗ 140000𝑘𝑔/𝑐𝑚2 ) = 0,045 𝑐𝑚
b) Yanal şekil değiştirme miktarı
𝜀𝑏 = ∆ℓ ∗ /L = 0,045cm ∗ 0,20/50cm = 0,00018
∆𝑏 = 𝜀𝑏 ∗ 𝑏 = 0,00018 ∗ 20 = 0,0036 𝑐𝑚
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.3. Şekil Değiştirme ve Kırılma
Örnek 2.8. Şekilde verilen bir
G
H
çatı makasının AH çubuğuna 5
tonluk
basınç
kuvveti
etki
A
etmektedir. Ahşap çubuğun kesiti
15cm x 15cm ve elastisite modülü
2m
B
F=5t
F
D
C
L
100000 kg/cm2 olduğuna göre
AH çubuğunda oluşacak boy
değişim miktarını hesaplayınız.
15cm
15cm
= 30o)
Çözüm:
(Cos30o) = 200 cm / AH ise AH = 230 cm

Δℓ = (𝐹 ∗ 𝐿)/(𝐴 ∗ 𝐸) = (5000𝑘𝑔 ∗ 230𝑐𝑚)/(225 𝑐𝑚2 ∗ 100000) = 0,05 𝑐𝑚
E
F=5t
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.3. Şekil Değiştirme ve Kırılma
Örnek 2.9. Elastisite modülü 70GPa olan alüminyum çubuğun kesit alanı 100 mm2
dir. Bu malzemeye 20kN luk basınç kuvveti uygulanmaktadır. Alüminyum çubukta
oluşan gerilmeyi ve birim uzamayı hesaplayınız.
Çözüm:
𝐹 20000
=
= 200 𝑁/𝑚𝑚2 = 200 𝑀𝑃𝑎
𝐴
100
Gerilme;
𝜎=
Birim uzama;
𝐸 = 𝜎/𝜀ℓ
𝜀ℓ = 𝜎/𝐸 =
ise
200
= 0,0029
70 ∗ 103 𝑀𝑃𝑎
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.4. Çubuk Sistemler
• Elemanter mukavemette, sadece çubuk sistemler incelenmektedir.
• Çubuklar yada çubuk sistemler tek boyutlu taşıyıcı elemanlar veya
sistemlerdir.
• Bir boyutu diğer iki boyutu yanında çok büyük olan elemanlara çubuk
denir.
• Çubuklarda iki boyut üçüncü boyuta nazaran daha küçük olduğundan
eksenleri ile gösterilirler.
• Bir çubuğun belli olabilmesi için ekseninden başka en kesitinin ve
boyunun bilinmesi gerekir.
• Çubuğun ekseni, en kesitlerin ağırlık merkezlerinin üzerinde bulunduğu
bir eğridir.
• En kesit, eksene dik kesit olarak tanımlanır.
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.4. Çubuk Sistemler
• Çubukların iki öğesi vardır.
 Çubuk ekseni: Bu genel olarak bir uzay
eğrisidir. Her en kesitinin ağırlık
merkezinin geometrik yerinden geçen
eğriye çubuk ekseni denir.
 Çubuğun enine kesiti. Kısaca kesit de
denilen enine kesit kapalı bir alan
parçasıdır. Kesitin ağırlık merkezi çubuk
ekseniyle üst üste düşer ve kesit düzlemi
eksen eğrisine diktir. Çubuk eksenine dik
olan düzlemlerle kesildiğinde meydana
gelen kesite dik kesiti denir.
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.4. Çubuk Sistemler
• Çubuklar, eksen eğrisinin şekline ve çubuklara gelen kuvvetlere
göre çeşitli adlar almaktadır.
 Eksenin şekline göre:
 Doğru eksenli çubuklar, (etkiyen kuvvete göre kiriş, mil, şaft, kolon vb. adlar
alır)
 Eğri eksenli çubuklar (kemer, halka gibi adlar alırlar).
 En kesitinin durumuna göre:
 Sabit eksenli çubuklar,
 Değişken kesitli çubuklar.
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.4. Çubuk Sistemler
Şekil 2.4. Eksen eğrisinin şekline göre çubuklar
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.4. Çubuk Sistemler
• Birden fazla çubuğun birbirine bağlanması ile meydana gelen
çubuklara çubuk sistemi denir.
• Eğer bir sistemde çubuklar rijit bağlı ise bunlara, çerçeve adı
verilmektedir.
• Mafsalla bağlandığı kabul edilen ve yükleri bu bağ noktalarına
etkiyen çubuk sistemlerine kafes sistemler denir.
• Bunlar dışında olan çubuk sistemleri de vardır.
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.4. Çubuk Sistemler
• Çubuğun kesiti çeşitli geometrik biçimlerde olabilir.
• Bu biçime göre dikdörtgen, daire, halka vb. kesitli çubuk adı verilir.
• Çubuk kesiti çubuk ekseni boyunca sabit veya değişken olur.
• Değişken kesitli çubuklarda da kesit değişimi ani veya sürekli
olabilir.
• Plak ve kabuklar, iki boyutu üçüncüsünün yanında büyük olan
cisimlerdir. Bina döşemeleri, kubbeler, hazneler, kazanlar bu tip
cisimlere birer örnektir.
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.5. Kesim Yöntemi ile İç kuvvetlerin Hesaplanması
• Doğru eksenli bir çubuğa etkiyen bütün dış kuvvetlerin aynı düzlemde
bulunduğunu kabul edilir.
• Çubuğun statikçe belirli şekilde mesnetlendiği kabul edildiğine göre bağ
kuvvetleri statikçe bilinen yollarla hesaplanır ve bunlarda aynı düzlemde
bulunur.
• İç kuvvetlerin hesabı yönünden bağ kuvvetleri ile doğrudan doğruya
belirli öteki dış kuvvetleri ayırt etmeye gerek yoktur.
• Daima bağ kuvvetlerinin hesaplanmış olduğunu kabul edilerek dış
kuvvetler yönünden dengede olan bir çubuk esas alınır.
• Ondan sonra iç kuvvetlerin bulunması istenilen kesitten çubuk iki
parçaya ayrılır.
• Soldaki veya sağdaki parça bir serbest cisim olarak kabul edilir.
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.5. Kesim Yöntemi ile İç kuvvetlerin Hesaplanması
• Kesitteki iç kuvvetler de hesaba katılmak şartıyla göz önüne alınan
parça dengede olmalıdır.
• Düzlemde bulunan kuvvetler için üç denge şartı
 kesme kuvveti (T),
 normal kuvvet (N) ve
 eğilme momenti (M)
bilinmeyenlerini hesaplama olanağını sağlar.
• Çubuğu yeteri kadar çok kesitten ayırarak bütün çubuk boyunca iç
kuvvetler hesaplanır.
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.5. Kesim Yöntemi ile İç kuvvetlerin Hesaplanması
• Çubukta iç kuvvetler eksen boyunca bütün noktalarda hesaplanır.
• Sonra bunların grafikleri çizilir.
• Bu grafikler çubuk üzerindeki her noktada N, T, M değerlerini
(işaretli olarak) gösterir ve
 normal kuvvet diyagramı,
 kesme kuvveti diyagramı
 eğilme momenti diyagramı
adını alır.
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.5. Kesim Yöntemi ile İç kuvvetlerin Hesaplanması
• Diyagramların çizimi için çubuğu kaç noktada kesmek gerektiği
akla gelen bir sorudur.
• Çubuğa etkiyen
 tekil yükler,
 yayılı yüklerin başlangıç ve bitim,
 yayılma kanununun değiştiği noktalar
çubukta bölgeler ayırır.
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.5. Kesim Yöntemi ile İç kuvvetlerin Hesaplanması
• Her bölgede bir kesim yapmak, iç kuvvetleri x koordinatının
fonksiyonları olarak hesaplamak ve sonra o bölge içinde x değerini
değiştirmek suretiyle kesim sayısını minimumda tutmak mümkün
olur.
• Tekil yüklerin etkidiği noktalarda iç kuvvetlerde süreksizlikler
olduğundan kesimi tam o noktalarda yapmamalıdır.
• Hesabın yapılışı ve diyagramların çizilişi ileride verilen örnek
problemlerden izlenebilir.
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
2.5. Kesim Yöntemi ile İç kuvvetlerin Hesaplanması
• Hesabın yapılış adımlarını özetlenecek olursa:
 1. adım: Bağ kuvvetleri hesaplanır,
 2. adım: Yükün değişmesine göre çubukta bölgeler ayrılır.
 Her bir bölgede bir kesim yapılır.
 Çubuğun bir parçası göz önüne alınır. Kesitteki yüzeye iç kuvvetler
gösterilir ve x’in fonksiyonu olarak hesaplanır.
 3. adım: x’e bölge içinde değerler vererek iç kuvvet
diyagramları çizilir.
S #2
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
1. Şekildeki gibi kesiti 40cm * 30cm, elastisite modülü 140000 kg/cm2 olan bir beton bloğun üzerine
120t basma yükü uygulandığında boy değişim (uzama) miktarı 0.2 cm olduğuna göre;
a) Beton bloğun boyunu hesaplayınız (15 puan) ve
b) Poisson oranı (Y) 0.20 için yanal şekil değiştirme (genişleme) miktarını hesaplayınız ( = 0.20).
(15 puan)
120t
Formüller :
FL
L 
A E
ve
L
L 
L
Kesit
L
B

L
ve
30cm
B
B 
b
a) Beton bloğun boyu (L)
 
FL
 L  A  E 0.2 cm  30 cm  40 cm  140000 kg / cm 2
 280 cm 

 L
40cm
SÇ #2
İÇ VE DIŞ KUVVETLER, GERİLME, ÇUBUK SİSTEMLER
1. Şekildeki gibi kesiti 40cm * 30cm, elastisite modülü 140000 kg/cm2 olan bir beton bloğun üzerine
120t basma yükü uygulandığında boy değişim (uzama) miktarı 0.2 cm olduğuna göre;
a) Beton bloğun boyunu hesaplayınız (15 puan) ve
b) Poisson oranı (Y) 0.20 için yanal şekil değiştirme (genişleme) miktarını hesaplayınız ( = 0.20).
(15 puan)
120t
Formüller :
FL
L 
A E

L  L
L
ve
Kesit
L
B
L

B 
ve
30cm
B
b
40cm
a) Beton bloğun boyu (L)
FL
A E
L 
 L
 L  A  E 0.2 cm  30 cm  40 cm  140000 kg / cm 2

 280 cm 
F
120000 kg
b) Yanal şekil değiştirme miktarı
L 
 L 0.2 cm

 0.000714
L 280 cm

B
L
B 
B
b
  B     L  0.20  0.000714  0.000143
  B   B  b  0.000143  30 cm  0.0043 cm
