2.1 PERİYODİK TİTREŞİMLERİN ÜST ÜSTE GELMESİ

BÖLÜM-2
2.1
PERİYODİK TİTREŞİMLERİN ÜST ÜSTE GELMESİ (Süperpozisyon)
Kütle-yay problemlerini geri çağırıcı kuvvetin sadece x ile orantılı olduğu
durumlar için inceleyeceğiz, yani Hook yasasının (
) geçerli olduğu
durumu ele alacağız. Bu durumda geri çağırıcı kuvvet x2’ye veya x3’e bağlı
değildir. İçinde x,
ve
gibi zamana göre türevlerinin yalnız
birinci kuvvet terimlerinden oluşan denklemlere çizgisel (linear) diferansiyel
denklem denir. Buna ek olarak denklemde x’den bağımsız bir terim bulunmazsa
denkleme homojen denir. Denklemde x’in veya türevlerinin daha yukarı
kuvvetleri varsa çizgisel olmayan (non linear) diferansiyel denklem denir.
Çizgisel olmayan denklemlerin çözümü zordur. Ancak pek çok fiziksel durum
için çizgisel denklemler yeterli bir yaklaşıklık sağlarlar. Biz bu ders kapsamında
hemen hemen çizgisel denklemler içeren problemlerle uğraşacağız.
Sabit katsayılı çizgisel homojen diferansiyel denklem örneği olarak
(2.1)
denklemini verebiliriz. Burada a,b,c ve d sabitlerdir.
Çizgisel homojen diferansiyel denklemlerin çok önemli bir özelliği vardır:
Herhangi iki çözümün toplamı da bir çözümdür. Oysa çizgisel olmayan bir
diferansiyel denklemin ayrı iki çözümünün toplamı bir çözüm değildir.
Çözümlerinin üst üste gelmesinin yine bir çözüm olması özelliği yalnız çizgisel
denklemlere özgüdür. Böyle denklemlere uyan salınımlar üst üste gelme
(süperpozisyon) ilkesine uyuyor denir. Homojen olmayan çizgisel denklemler de
üst üste gelme ilkesine uyarlar..
Burada üst üste gelme ilkesi için bazı özel durumları inceleyeceğiz. Şu anda
sadece matematiksel bir problem olarak ele alacağız. Sonuçların fiziksel
1
uygulanabilirliğine daha sonra bakacağız. Ancak bu kavramların iyi öğrenilmesi
gerekir, ilerde gerektiği yerlerde bu bilgileri hazır olarak alıp kullanacağız.
2.1.1 Bir boyutta eşit frekanslı titreşimlerin üst üste gelmesi
Tek boyutta x-ekseni doğrultusunda, aynı frekanslı iki basit harmonik hareketin
üst üste gelmesini ele alalım. Bu iki BHH’in aşağıdaki eşitliklerle tanımlı
olduğunu kabul edelim.
(2.2a)
Burada
ve
genlikleri,
ve
faz sabitlerini ve
(2.2b)
açısal frekansı
göstermektedir. Bunların cebirsel toplamı üst üste gelmeyi verir:
(2.3)
Bu toplamı elde etmek için iki farklı yöntem kullanacağız.
2.1.2.Geometrik yöntem
Yukarıdaki
toplamı
elde
etmek
için
BHH’nin
dönme
vektörü
ile
tanımlanmasını kullanabiliriz. Başka bir deyişle geometriden faydalanırız.
temsil edilen BHH’i
vektörü ile,
ile
ile temsil edilen BHH’i
vektörü ile temsil edelim (Şekil-2.1)
Şekil-2.1 Aynı doğrultuda iki BHH’in geometrik yöntemle toplanması.
2
vektörünün x bileşeni için
vektörünün x bileşeni için
bileşke vektör için
arasındaki açının
yazabiliriz.
’e eşit olduğu açıktır.
OP1P taralı üçgeninde kosinüs teoremi uygulanırsa
(2.4)
eşitliği elde edilir.
vektörü
vektörü ile
açısı yapar. Şekildeki OPH ve P1PH dik
üçgenlerinden
(2.5a)
yazılabilir. Buradan
(2.5b)
yazılabilir.
bileşke vektörünün x-ekseni üzerindeki izdüşümü
(2.6) ifadesi ile verilir. Burada A genliğinin
(2.7)
ifadesi ile verildiğini tekrar hatırlayalım. Faz sabitinin de
Eşitlik-2.4 ve 2.5 eşitlikleri kullanılarak
=
1+
verileceği açıktır.
açısı için
(2.8)
ifadesini yazabiliriz.
Sonuç olarak bir cisim, frekansları aynı, genlikleri ve faz sabitleri farklı, aynı
doğrultuda titreşim hareketi yapıyorsa bu iki hareketin üst üste gelmesini BHH’in
vektör temsilini kullanarak nasıl elde edileceğini görmüş olduk. Bileşke vektörün
büyüklüğü (2.7) bağıntısı ile ve fazı ise (2.8) bağıntısı ile tanımlıdır.
3
2.1.3 Kompleks üstel fonksiyonların toplanması yöntemi
Şimdi aynı problemi BHH’in üstel kopleks fonksiyonla temsilini kullanarak ele alalım.
vektörüne karşı kompleks uzayda
kompleks vektörünü,
vektörüne karşı kompleks uzayda
kompleks vektörünü,
yazabiliriz. Bu iki vektörün toplamını
(2.9)
şeklinde ifade edebiliriz. Parantez içindeki terimleri ele alalım
•
terimi
kompleks vektörünün t=0 anındaki değerine karşı gelir.
•
terimi
kompleks vektörünün t=0 anındaki değerine karşı gelir.
Bu iki vektörün toplamı Şekil-2.2’da verilmiştir.
Şekil-2.2. Kompleks düzlemde
Bu şekil kullanılarak
vektörünün gösterimi (t=0 anı)
kompleks vektörü için
(2.10)
yazabiliriz. Bu durumda z kompleks vektörü için
(2.11) yazabiliriz. Burada
(2.12) olduğunu
hatırlarsak
(2.13) sonucunu elde ederiz. Burada
, A’nın
kadar saat
ibrelerinin tersi yönünde
döndürülmesinden;
ise
’nin
kadar
4
döndürülmesinden elde edildiğine dikkat ediniz. z kompleks vektörünün reel
bileşeni
ile verilir. Kompleks üstel fonksiyon kullanılarak üst
üste gelme olayını analiz etmek mümkündür. Kompleks fonksiyon kullanımı çok
daha kolay olmaktadır. İleride bu yöntemi sık sık kullanacaksınız.
Şekil-2.2 kullanılarak A genliği için
(2.14a) veya
(2.14b)
şeklinde yazabiliriz.
faz sabiti için ise
(2.15)
yazılabilir. Sonuç olarak
eşitlikleri ile tanımlı iki BHH’in üst üste gelmesinden oluşan bileşke hareket de
BHH olup
(2.16)
ifadesi ile temsil edilebilir. Burada A ve
değerleri sırasıyla Eşitlik-2.14 ve
Eşitlik-2.15 ile tanımlıdır.
2.1.4 Aynı doğrultuda titreşen, eşit frekanslı ve eşit genlikli titreşimlerin toplanması
Şimdi üst üste gelen titreşimlerin frekanslarının ve genliklerinin eşit olduğu (A1=A2) özel
duruma bakalım (Şekil-2.3).
5
Şekil-2.3
İki titreşim arasındaki faz farkını
ile gösterelim
(2.17) veya
(2.18)
yazabiliriz. Şekil-2.3’den
(2.19)
yazılabilir. Bu durumda OP’nin x-ekseni üzerindeki izdüşümü için
(2.20) yazılabilir.
Elde edilen bu sonuç iki benzer hoparlörün aynı sinyal üretecinden sinüzoidal
olarak sürüldüğü ve bunların ses titreşimlerinin Şekil-2.4’de görüldüğü gibi
uzakta bir noktadaki mikrofondan algılandığı durumda, bu çeşit üst üste gelme
elde edilebilir. Eğer mikrofon OB çizgisi boyunca hareket ettirilirse
faz farkı,
O’daki sıfır ilk durumdan itibaren düzenli bir şekilde artar. Eğer ses dalgalarının
dalga boyu, iki hoparlör arasındaki uzaklıktan daha kısa ise, A bileşke vektörünün
genliği OB noktaları arasında birkaç noktada sıfıra düşer ve sıfırlar arasındaki
noktalarda 2A1 genliğine sahip maksimumlara ulaşır. Bu konu daha ileriki
konularda ayrıntılı olarak incelenecektir. Laboratuvar dersinizde bu deneyi
yapacaksınız. Benzer deneyi mikrodalga ve görünür ışık kaynakları kullanarak da
gerçekleştirebilirsiniz.
6
Şekil-2.4. Aynı kaynakla (Osilatör) beslenen özdeş iki hoparlörden yayınlanan
sinyallerin üst üste gelmesini incelemek ve ayrıca mikrofonun konumunun bir
fonksiyonu olarak faz farkını algılamak için bir düzenek.
2.1.5 Tek boyutta frekansları farklı titreşimlerin üst üste binmesi ve vurular (beats)
Bir doğru boyunca titreşen, genlikleri A1 ve A2, açısal frekansları
1
ve
2
olan iki
titreşimin üst üste geldiği durumu düşünelim (Şekil-2.5).
Şekil-2.5. Farklı frekanslı dönme vektörlerinin toplanması.
Basitlik olması bakımından titreşimlerin faz sabitlerinin sıfır olduğunu kabul edelim. Bu
iki titreşimi
fonksiyonları ile tanımlayabiliriz. Bileşke vektörün OP uzunluğu, A 1 ve A2 vektörlerinin
toplamı ve farkı arasında bir değere sahip olacaktır. x-eksenindeki yer değiştirmenin
7
büyüklüğü Ox ise A1+A2 ve sıfır arasında yer alır.
1
ve
2
arasında bir ilişki olmadıkça
bileşke yer değiştirme, zamanın karmaşık bir fonksiyonu olacaktır.
Eğer iki BHH’nin frekansları birbirine çok yakın ise böyle üst üste gelmeler vuru
(beat) olarak adlandırılır. Eğer eşit genlikli (
) BHH’lerin
toplamını göz önüne alırsak vuru olayını kolayca analiz edebiliriz. Genliklerin eşit
olma durumunda bileşke titreşim hareketi için
(2.21) ifadesini yazabiliriz.
Bileşke titreşimin frekansı
olacaktır. Bu değer iki titreşimin
frekanslarının ortalamasıdır yani
yazabiliriz. Bileşke
titreşimin genliği
frekansı ile değişir. Bu olaya genlik modülasyonu
denir. Bu nedenle
değeri modülasyon frekansı olarak adlandırılır yani,
(2.22) yazabiliriz.
Genlik değişimini belirleyen
fonksiyonu -1 veya
+1'e eşit olursa bir tam vuru veya bir maksimum genlik meydana gelmiş olur. Bir
saniyedeki vuruların sayısı (yani vuru frekansı) modülasyon frekansının iki
katına eşittir. Bu durumda vuru ve modülasyon frekansları arasındaki ilişkinin
(2.23a) veya
(2.23b)
şeklinde yazılacağı açıktır. Sonuç olarak vuru frekansı modülasyon frekansının
iki katına eşittir. Ayrıca bir saniyedeki vuru sayısı (
farka (
) frekanslar arasındaki
) eşittir. Burada f1>f2 kabul edilmiştir. Şekil-2.6’da genlikleri eşit
fakat frekansları f1 = 700 Hz ve f2 =600 Hz olan iki titreşimin üst üste gelmesi ile
elde edilen tipik bir vuru
şekli verilmiştir.
Şekil-2.6. Genlikleri eşit, f1 = 700
Hz ve f2 =600 Hz olan iki
titreşimin üst üste gelmesinden
oluşan vurular.
8
2.1.7 Aynı frekanslı birçok titreşimin üst üste gelmesi
Bundan önce üst üste binmiş iki titreşim için anlatılan yöntemler çok sayıda
titreşimin üst üste gelmesi için genelleştirilebilir. Aynı fekans, aynı genlikli ve
birbirlerini eşit faz farkı ile takip eden çok sayıda BHH’nin üst üste gelmesi
optikte çok kaynaklı girişim etkilerinin analizinde ve diğer dalga olaylarının
analizinde kullanılacaktır. Şekil-2.7’de genlikleri eşit (A0) olan, birbirini aynı faz
farkı ( ) ile takip eden aynı frekanslı N-tane dönme vektörünün üst üste gelmesini
göstermektedir.
Şekil-2.7. Birbirini aynı faz farkı ile takip eden eşit genlikli ve frekanslı dönme
vektörlerinin üst üste gelmesi. Küçük şekilde OCB ikiz kenar üçgeninin OB
kenarına orta dikmesi aynı zamanda OCB açısına ait açı ortayı
göstermektedir.
Bileşen titreşimlerden birincisini temsil eden
vektörünün x-bileşeni,
(2.24)
ve bileşke vektörünü temsil eden
vektörünün x-bileşeni ise,
(2.25) ifadesi ile tanımlanabilir.
2.1.8
Geometrik yöntem ile analiz
Geometriden yararlanarak, vektörlerin düzgün bir çokgen (tamamlanmamış)
oluşturmak üzere uç uca getirilmeleri şeklinde görebiliriz. Böylece çokgen C
merkezli ve R yarıçaplı bir dairenin parçası olarak düşünülebilir (Şekil-2.7).
9
Çokgenin köşeleri çember üzerindedir ve her biri A0 genliğine sahip
titreşimleri gösteren vektörlerin C noktasına göre yapmış olduğu açılar eşit ve
dır. OCP toplam açısı ise N
olacaktır. Buradan aşağıdaki eşitlikler
yazılabilir:
(2.26a)
(2.26b)
(2.26c)
Aynı zamanda A bileşke vektörü (
) ile birinci vektör (
) arasındaki
faz
açısı için
(2.26d)
eşitliği elde edilir.
Eşitlik-2.26c ve 2.26d’de verilen değerler Eşitlik-2.25’de kullanılarak bileşke
vektörünün x bileşeni için
(2.27)
ifadesini yazabiliriz. Bu ifadeyi ileride kırınım ağını (ızgara) incelerken kullanacağız.
2.1.9 Aynı frekanslı birçok titreşimin üst üste gelmesinin kompleks gösterim
yöntemi ile analizi
Yukarıdaki problemi kompleks gösterimi kullanarak da analiz edebiliriz. xekseni
boyunca eşit frekanslı, eşit genlikli, arda arda gelen dönme vektörleri
arasındaki faz farkı ( ) aynı olan N-tane üst üste binmiş titreşimlerin toplamı
(2.28)
şeklinde yazılabilir. Bu toplamı aşağıdaki gibi kompleks vektörlerin toplamının reel
bileşeni olarak da düşünebiliriz.
10
z1= ei kısaltmasını kullanarak bileşke kompleks vektörü
(2.29)
şeklinde yazabiliriz.
Burada parantez içindeki toplam bir geometrik seridir. Geometrik serinin toplamını
hatırlayalım
(2.30)
Bu eşitliğin her iki tarafını r ile çarpalım
(2.31)
Bu iki eşitliği taraf tarafa çıkarırsak.
(2.32)
sonucunu elde ederiz. Buradan
toplamı için
(2.33)
ifadesini elde ederiz. Burada
ve
kısaltmaları yapıldığında,
(2.34)
elde edilir. Bu eşitliği biraz daha farklı düzenleyerek geometrik yöntemle elde
edilen sonuca benzetebiliriz:
burada
dır. z’nin x-bileşeni için
11
(2.35)
elde edilir. Bu ifade daha önce Eşitlik-2.27’de elde ettiğimiz sonuç ile aynıdır.
Ancak burada herhangi bir şekil çizmeksizin sadece cebirsel işlemler yapılarak sonuca
ulaşılmıştır. Bu sonuca ulaşmanın daha kolay olduğuna dikkat ediniz.
2.1.10 Birbirine dik iki titreşimin üst üste gelmesi
Şimdiye kadar bir boyutta üst üste gelmiş titreşimleri inceledik. Şimdi birbirine
dik doğrultuda ilerleyen iki harmonik hareketin üst üste gelmesini tartışacağız.
Böyle bir hareketi şekildeki gibi (Şekil-2.8) bir hava masasında gerçekleştirmek
mümkündür (Bu deneyi Fiz. Lab-I dersinde yaptınız). Benzer deneyleri Fiz.
Lab-IV dersinde osiloskop kullanarak da yapacaksınız.
Şekil-2.8-Yatay düzlemde birbirine dik iki BHH’in üst üste binmesini
gerçekleştirecek deneysel düzenek.
Şekildeki dört yaya bağlı kütleyi biraz sağa ve biraz da yukarı çekip bırakırsak,
kütle düzlemde x ve y doğrultusunda iki BHH hareketi yapar. Burada kütlenin x
ve y eksenindeki yer değiştirme miktarının
(36a)
(36b)
ifadeleri ile belirleyebiliriz. Burada
1
ve
2
sırasıyla x ve y doğrultusundaki
hareketlerin açısal frekanslarıdır. Bu hareketi, dönme vektörü tekniğinin ikili
uygulaması ile ifade edebiliriz. Bunu yapmanın yolu Şekil-2.9’da gösterilmiştir.
12
Şekil-2.9.Birbirine dik olarak hareket eden BHH’lerin üst üste gelmelerininin geometrik
gösterimi.
Yukarıdaki şekilde, yatay harekette açılar +x-ekseninden itibaren saat ibrelerinin
tersi yönünde; düşey harekette açılar +y-ekseninden itibaren saat ibrelerinin tersi
yönünde ölçüldüğüne dikkat ediniz.
x-eksenindeki BHH, –A1 ile +A1 arasında ; y-eksenindeki BHH ise –A2 ile +A2
arasında olacaktır. İki farklı yönde ilerleyen hareketin fazları arasındaki ilişki ne
olursa olsun, P noktasının hareketi her zaman dikdörtgen içinde sınırlıdır ve
dikdörtgenin kenarları P1 ve P2 noktalarının x ve y yer değiştirmelerine teğettir.
İzlenecek yol aşağıda özetlenmiştir:
• Önce kenar uzunlukları x-ekseninde 2A1 ve y-ekseninde 2A2 olan bir dikdörtgen çizilir.
• C1 merkezi düşey eksen üzerinde olan ve yarıçapı A1 olan bir çember çizilir
(
hareketini temsil için).
• C2 merkezi yatay eksen üzerinde olan ve yarıçapı A2 olan bir çember çizilir
(
hareketini temsil için).
13
• Bu çemberlerin birincisi P1 noktasının C1X yer değiştirmesini tanımlamak için; ikincisi
ise P2 noktasının C2Y yer değiştirmesini tanımlamak için kullanılır.
• Bu x ve y yer değiştirmesi birlikte O noktasına göre P noktasının herhangi bir andaki
konumunu tanımlar. O noktası dikdörtgenin orta noktasıdır.
• İki yer değiştirme birlikte O orijinine göre P noktasının herhangi bir andaki konumunu
tanımlar.
• Eğer
1
ve
2
orantılı değilse yani
1/ 2
oranı 1, 2, 3,… veya 1/2, 1/3,
1/4,… gibi değilse faz ve frekanslar hakkında fazla bir şey söylenemez.
2.1.11 Eşit frekanslı dik titreşimler
Şimdi aynı frekanslı birbirine dik doğrultuda titreşen iki basit harmonik hareketin üst üste
gelmesini ele alacağız:
(2.37a)
(2.37b)
Burada
(2.38)
trigonometrik özdeşliği kullanılarak,
(2.39a)
(2.39b)
yazabiliriz. (2.39a) eşitliğini
taraf tarafa çıkaralım.
ile ve (2.39b) eşitliğini
ile çarpalım ve
veya
(2.40a)
14
elde ederiz.
Benzer şekilde (2.39a) eşitliğini cos
ile ve (2.39b) eşitliğini cos
ile çarpalım ve taraf
tarafa çıkaralım,
(2.40b)
eşitliğini elde ederiz.
Eşitlik (2.40a) ve (2.40b)’nin kareleri alınıp taraf tarafa toplanırsa
(2.41)
sonucu elde edilir. Bu ifade elipsin genel denklemidir.
Şimdi faz farkının
bazı özel durumları için analiz yapalım:
Bu koşulda
olacağından, (2.41) eşitliği
şeklini alır. Buradan da
(2.42)
sonucu elde edilir. Bu durumda hareket doğrusal olup, Şekil-2.10a’deki dikdörtgenin
köşegeni boyunca BHH yapar.
Şekil-2.10a
ii)
Bu durumda
15
cos = -1, sin = 0 olacağı için (2.41) eşitliği
şeklinde yazılabilir. Buradan
( = ,3)
sonucunu elde ederiz. Bu hareket,
durumundaki harekete
benzemektedir ancak bu sefer dikdörtgenin diğer köşegeni boyunca doğrusal
BHH yapar (Şekil -2.10b)
Şekil-2.10b
iii)
= /2, 3 /2
Bu durumda (64) eşitliği
şeklini alır. Bu ifade, temel eksenleri x ve y eksenleri boyunca olan bir elipsin
denklemidir (Şekil-10c). Burada
yönünde,
= /2 durumu için elipsin saat ibrelerinin tersi
= 3 /2 durumu için ise saat ibreleri yönünde çizildiğine dikkat ediniz.
A1 = A2 = A olması durumunda bu elipsler A yarıçaplı çembere dönüşür.
Şekil-2.10c
iv)
= /4, 7 /4
16
√
ve
Şekil-2.10d
v)
= 3 /4, 5 /4
√
ve
Şekil-10e
Bunları elektromanyetik dalgaların kutuplanmasını incelerken kullanacağız.
2.1.12 Farklı frekanslı dik titreşimler: Lissajous eğrileri
Farklı frekanslı birbirine dik BHH yapan bir cismin çizmiş olduğu yörüngelere Lissajous
eğrileri denir. Bu ders kapsamında bu olayın ayrıntılarına
girmeyeceğiz. Şimdi frekansları farklı iki dik hareketi
(2.43a)
(2.43b)
şeklinde yazabiliriz. Bu iki denklemde t elimine edilerek x ve y arasında elde
edilen ilişki yörüngeyi belirler. Açısal frekans oranına ( 1/ 2) ve iki titreşim
arasındaki faz farkına ( =
1-
2)
bağlı olarak çeşitli yörünge şekilleri elde edilir.
17
Örneğin,
2
=2
1
ve
=
/4 için Lissajous eğrisinin çizimi Şekil-2.11’de
verilmiştir.
Şekil-2.11
Lissajous şekillerden faydalanarak akustik ölçümlerde bilinmeyen frakansları
tayin etmek mümkün olmaktadır. Hazır matematik programlarından yararlanarak
Lissajous eğrilerini elde edebilirsiniz. Daha sonra size verilecek örnek
problemleri incelemenizi öneririz.
Şekil-2.12’da
,
fonksiyonları ile tanımlı
birbirine dik iki harmonik hareketin toplamından oluşan çeşitli Lissajous eğrileri
verilmiştir. Bu eğrilerin çiziminde
oranının (
alınmıştır. Her satırda frekanslar
ve her sütunda ise faz sabitinin ( ) farklı olduğuna dikkat ediniz.
18
Şekil-2.12. Çeşitli Lissajous eğrileri.
19
ÖRNEK-1
Aşağıdaki ifadeleri
formunda yazınız.
a)
b)
c)
d)
(French-p2.1)
Çözüm:
a)
ve
bu değerleri
yukarıdaki ifadede yerine yazalım,
elde ederiz. Bunu ise
şeklinde ifade edebiliriz.
b)
Bu sonuç
şeklinde yazılabilir.
c)
20
Şekildeki dik üçgenden
Yazabiliriz. Bu değerler verilen ifadede yerine yazılırsa
sonucu elde edilir. Bu sonuç
şeklinde ifade edilebilir. Burada
‘dir.
d)
Burada a-şıkının sonucu kullanılırsa
elde edilir. Bu değer yerine yazılırsa
veya
yazılabilir.
21
ÖRNEK-2
Bir parçacık aynı frekanslı ve x-ekseni doğrultusunda üç BHH’ye aynı zamanda
maruz kalmaktadır. Eğer BHH’lerin genlikleri sırasıyla 0,25, 0,20 ve 0,15 mm ve
birinci ile ikinci BHH arasındaki faz farkı 45 , ikinci ile üçüncü BHH arasındaki
faz farkı 30
ise bileşke hareketin yer değiştirmesinin genliğini ve birinci
BHH’ye göre (genliği 0,25 mm olan) faz farkını bulunuz. (French, p2.2) Çözüm:
BHH’lerin bileşkesi aşağıdaki vektör diyagramı kullanılarak incelenebilir.
OPR üçgeninde kosinüs teorimini kullanarak
bulunur. Aynı üçgende kosinüs teoreminden
Buradan
yazabiliriz. Buradan
veya
bulunur.
Benzer şekilde ORQ üçgeninden
bulunur. Aynı üçgende kosinüs teoreminden
Buradan
yazabiliriz. Buradan
veya
A1 ile A arasındaki açıya
veya
bulunur.
dersek
olur. Sonuç olarak A
ve
bulunur.
22
ÖRNEK-3
Aynı doğrultuda iki titreşim hareketi
10πt ve
eşitlikleri ile tanımlıdır. Vuru periyodunu bulunuz ve bir vuru periyodu için bileşke
hareketin yer değiştirmesinin grafiğini çiziniz. (French-p2.3)
Çözüm:
Bileşke hareket için
yazabiliriz. Burada
ve
olduğunu hatırlayınız. Verilen ifadelerden
olduğu açıktır. Buradan vuru frekansı için
ve
;
bulunur. Vuru periyodu ise
olur.
Bileşke hareketin yerdeğişimi aşağıdaki şekilde verilmiştir.
23
ÖRNEK-4
Bir cisim aynı anda birbirlerine dik iki kuvvetin etkisinde eşit frekanslı titreşim hareketi
yapıyor. Bu titreşim hareketleri
eşitlikleri ile
tanımlıdır. Lissajous eğrisini geometrik yöntemle çiziniz.
Çözüm:
Yatay hareketi temsil için yarıçapı
ve düşey hareketi temsil için ise
yarıçaplı çemberleri çizeriz. İki hareket arasında
kadarlık faz farkı
olduğuna dikkat ediniz. Bu nedenle çember-1 üzerinde
aralıklarla noktalar
işaretlemek
şekli
belirlemek
için
yeterlidir (Siz daha fazla örnekleme
aralığı seçebilirsiniz). +x-ekseninden itibaren
aralıklarla döneriz ve çember-2
üzerinde buna karşı gelen noktaları işaretleriz. Noktalara karşılıklı aynı numaralar
veririz. Aynı numaraları noktalardan x-eksenine ve y-eksenine şekildeki gibi
dikmeler ineriz. Bu dikmelerin kesiştiği noktalara da aynı numaraları veririz.
Şekildeki dikdörtgen içerisine düşen bu noktaları sırası ile birleştirirseniz saat
ibreleri yönünde çizilmiş elipsi elde edersiniz. Bu şekli daha önce analitik
yöntemle de elde ettiğimizi hatırlayınız (Ders notlarına bakınız).
24
ÖRNEK-5
Bir cisim aynı anda birbirlerine dik iki kuvvetin etkisinde titreşim hareketi yapıyor.
Bu titreşim hareketleri
eşitlikleri ile tanımlıdır.
ve
a) Bu iki titreşimin üst üste gelmesinden ortaya çıkan Lissajous eğrisinin
analitik ifadesini türetiniz.
b) a=b=2 özel durumunda meydana gelecek Lissajous eğrisini
geometrik yöntemle çiziniz. Çözüm:
Titreşim hareketlerini tanımlayan eşitlikler:
Burada
ve buradan
yazılabilir.
eşitliğinden
elde edilir ve
ifadesinde
yerine yazılırsa
elde edilir.
b) Lissajous eğrisinin şekli aşağıda verilmiştir (Geometrik yöntemle çizilmiş).
ÖRNEK-6
Birbirlerine dik iki titreşim,
ifadelerine
25
uymaktadır. Bu iki titreşimin üst üste gelmesinden ortaya çıkan Lissajous
eğrisinin grafiğini aşağıda verilen şekilden yararlanarak, çiziniz. Çizimi şekil
üzerinde gösteriniz. Şekildeki çemberler
radyan’lık eşit açılara bölünmüştür.
Çözüm:
Not 1: 1. Çemberde seçilen
açısına karşı 2. Çemberde
alındığına
dikkat ediniz. Şekildeki noktalar bu yöntemle elde edilmiştir. Şekildeki noktaları
sırasıyla birleştirirseniz Lissajous eğrisini elde edersiniz.
26
Not 2: Yatay teğete 2 nokta, düşey teğete 1 nokta değdiğine dikkat ediniz. Bu durum
frekanslar oranına karşı gelir yani
dir.
Not 3: Lissajous eğrisini çizen yazılım programları vardır. Aşağıdaki şekil
ve
fonksiyonları mathcad programında
kullanılarak çizilmiştir.
27