Ders: Matematik

Ders: Matematik
Ders Süresi: 14 Ders Saati
Tarih:
Okulun Adı:
Sınıf: 9
Öğrenme Alanı: Cebir
Bölüm: Sayılar
Alt Öğrenme Alanı: Doğal Sayılar
Beceriler: Matematiksel düşünme, akıl yürütme, ilişkilendirme, problem çözme, iletişim
kurma.
Kazanımlar:
1. Doğal sayılar kümesinde eşitliğin özelliklerini ve sadeleşme kurallarını belirtir.
2. Bir doğal sayının pozitif doğal sayı kuvvetini açıklar ve üslü sayılara ait özellikleri
gösterir.
3. Bir doğal sayının herhangi bir tabana göre yazılmasını göstererek değişik
tabanlarda verilen sayılar arasında işlem yapar.
4. Asal sayıyı ve aralarında asal sayıları belirterek bir doğal sayıyı, asal çarpanlarına
ayırır ve pozitif bölenlerinin sayısını bulur.
5. 2, 3, 4, 5, 8, 9, 11 ve 6, 15, 18 vb. ile bölünebilme kurallarını belirler.
6. İki ya da daha çok doğal sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını
bulur.
Araç ve Gereçler : Matematik dersi için hazırlanmış araç gereçler
ÖĞRENME VE ÖĞRETME SÜRECİ
Doğal Sayılar
IN ={0, 1, 2, 3, 4, ... , n , ...} kümesinin her bir elemanına doğal sayı denir.
SAYI BASAMAKLARI VE SAYI SİSTEMLERİ
TABAN
Bir sayı sisteminde sayının basamak değerlerini göstermek için kullanılan düzene taban
denir.
T taban olmak üzere,
(abcd)T = a . T3 + b . T2 + c . T + d dir.
Burada,




T, 1 den büyük doğal sayıdır.
a, b, c, d rakamları T den küçüktür.
Taban belirtmeden kullandığımız sayılar 10 luk tabana göredir.
(abc, de)T = a . T 2 + b . T + c + d . T – 1 + e . T – 2 dir.
1. Onluk Tabanda Verilen Sayının Herhangi Bir Tabana Çevrilmesi
Onluk tabanda verilen sayı, hangi tabana çevrilmek isteniyorsa, o tabana bölünür. Bölüm
tekrar tabana bölünür. Bu işleme bölüm 0 olana kadar devam edilir.
Ardışık olarak yapılan bu bölmelerden kalanlar sondan başlayarak (ilk kalan son rakam
olacak şekilde) sıralanmasıyla istenen sayı oluşturulur.
2. Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayının 10 luk Tabana Çevrilmesi
Herhangi bir tabandan 10 luk tabana geçirilirken verilen sayı, ait olduğu tabana göre
çözümlenir.
3. Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayının Başka Bir Tabanda Yazılması
Herhangi bir tabanda verilen sayı önce 10 tabanına çevrilir. Bulunan değer istenen tabana
dönüştürülür.
4. Taban Aritmetiğinde Toplama, Çıkarma, Çarpma İşlemleri
Değişik tabanlarda yapılacak işlemler 10 luk sistemdekine benzer biçimde yapılır.
T tabanında verilen sayılarda toplama ve çarpma işlemleri bilinen cebirsel işlem gibi
yapılır, ancak sonuç T den büyük çıkarsa içinden T ler atılıp kalan alınır. Atılan T adedi
elde olarak bir sonraki basamağa ilave edilir.
Çıkarma işlemi yapılırken 10 luk sistemdekine benzer biçimde, bir soldaki
basamaktan 1 (bir) almak gerektiğinde, bu 1 in aktarıldığı basamağa katkısı
tabanın sayı değeri kadardır. Fakat alındığı basamaktaki rakam 1 azalır
ÇÖZÜMLEME

t sayı tabanı ve a,b,c,d,e rakamları t den küçük olmak üzere,
A = (abcde)t sayısının basamakları
4
(a
3
b
2
c
1
d
0
e) t
t0 lar
t1 ler
t2 ler
t3 ler
t4 ler
basamağı
basamağı
basamağı
basamağı
basamağı
NOT : (abcde)t sayısında t tabanı 1’ den ve a,b,c,d,e rakamlarının her birinden büyük
olmalıdır.

10’luk sistemdeki sayılar taban belirtilmeden de yazılabilir.
(2002)10 = 2002
3
(2
2
0
1
0
0
2) 10
100 lar (birler)
basamağı
1
10 ler (onlar) basamağı
102 ler (yüzler)
basamağı
3
10 ler (binler)basamağı
ÖRNEK : (1982)4 sayısını çözümleyiniz?
3210
ÇÖZÜM : (1982)4 = (1 . 43) + (9 . 42) + (8 . 41) + (2 . 40) =
= 64 + 144 + 32 + 2 = 242
NOT: a, b, c birer rakam olmak üzere
ab
=
10.a + b
abc
=
100.a + 10.b + c
abcd
=
1000.a + 100.b + 10.c + d
abcde
=
10000.a + 1000.b + 100.c + 10.d + e
aaa
=
100.a + 10.a + a =111.a
abb
=
100.a + 10.b + b = 100.a + 11.b
[!] Özellikler:
a, b, c  N için,



a  a (yansıma özelliği)
a  b  b  a (simetri özelliği)
(a  b  b  c)  a  c

ac bc  a b

c  0 olmak üzere, a . c  b . c  a  b
(geçişme özelliği)
(toplama işleminde sadeleşme kuralı)
(çarpma işleminde sadeleşme kuralı)
 Üç basamaklı abc sayısı, iki basamaklı bc sayısının 37 katı olduğuna göre, a  b  c
toplamını bulunuz.
[!] Özellikler:
a, b, m, n  N  için,

am . an  amn

a n . b n  ( a . b) n

( a m ) n  a m. n
 134x  58 olduğuna göre x kaçtır?
 5 ve 2 sayı tabanlarını göstermek üzere,
(33)5 .(101)2
çarpımını 8 tabanına göre yazınız.
Asal Sayı
Kendisinden ve 1 den başka pozitif tam sayılara tam bölünmeyen 1 den büyük doğal
sayılara asal sayı denir.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 sayıları birer asal sayıdır.


En küçük asal sayı 2 dir. 2 den başka çift asal sayı yoktur.
Asal sayıların çarpımı asal değildir.
Aralarında Asal
En az biri sıfırdan farklı en az iki , ortak bölenlerin eb büyüğü 1 olan tam sayılara
aralarında asal sayılar denir.
a ile b aralarında asal ise, oranı en sade biçimdedir.
BİR TAM SAYININ TAM BÖLENLERİ
Bir tam sayının, asal sayıların çarpımı biçiminde yazıl-masına bu sayının asal çarpanlarına
ayrılması denir.
a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve m, n, k pozitif tam sayılar olmak üzere,
A = am . bn . ck olsun.




A
A
A
A
yı tam bölen asal sayılar a, b, c dir.
sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı: (m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.
sayısının pozitif tam bölenlerinin ters işaret-lileri de negatif tam bölenidir.
sayısının tam sayı bölenleri sayısı:
2 . (m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.


A sayısının tam sayı bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır.
A sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı :

A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı, A nın tam sayı bölenlerinin
sayısından A nın asal bölenlerinin sayısı çıkarılarak bulunur.
A nın asal olmayan tam sayı bölenleri toplamı – (a + b + c) dir.


A sayısından küçük A ile aralarında asal olan sayıların sayısı:

A sayısını pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı:
A. BÖLME
A, B, C, K birer doğal sayı ve B  0 olmak üzere,
bölme işleminde,





A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir.
A = B . C + K dır.
Kalan, bölenden küçüktür. (K < B)
Kalan, bölümden (C den) küçük ise, bölen (B) ile bölümün (C) yeri değiştirilebilir.
K = 0 ise, A sayısı B ile tam bölünebiliyor denir.
B. BÖLÜNEBİLME KURALLARI
1. 2 İle Bölünebilme
Birler basamağındaki rakamı çift olan sayılar 2 ile tam bölünür.
Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir.
2. 3 İle Bölünebilme
Rakamlarının sayısal değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür.
Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden kalana
eşittir.
3. 4 İle Bölünebilme
Bir sayının onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın (son iki
basamak) belirttiği sayı, 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür.
... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan bc nin (son iki basamak) 4 ile bölümünden
kalana eşittir.
... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan
c + 2 . b nin 4 ile bölümünden kalana eşittir.
4. 5 İle Bölünebilme
Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.
Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile
bölümünden kalana eşittir.
5. 7 İle Bölünebilme
(n + 1) basamaklı anan-1 ... a4a3a2a1a0 sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için,
k Z olmak üzere,
(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) + ... = 7k
olmalıdır.
 Birler basamağı a0, onlar basamağı a1, yüzler basamağı a2, ... olan sayının 7 ile
bölümünden kalan (a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) + ... işleminin sonucunun 7 ile
bölümünden kalana eşittir.
6. 8 İle Bölünebilme
Yüzler basamağındaki, onlar basamağındaki ve birler basamağındaki rakamların (son üç
rakamın) belirttiği sayı 8 in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür.
3000, 3432, 65104 sayıları 8 ile tam bölünür.
 Birler basamağı c, onlar basamağı b, yüzler basamağı a, ... olan sayının 8 ile
bölümünden kalan c + 2 . b + 4 . a toplamının 8 ile bölü-münden kalana eşittir.
7. 9 İle Bölünebilme
Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.
Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden
kalana eşittir.
8. 10 İle Bölünebilme
Birler basamağındaki rakamı 0 (sıfır) olan sayılar 10 ile tam bölünebilir. Bir sayının birler
basamağındaki rakam o sayının 10 ile bölümünden kalandır.
9. 11 İle Bölünebilme
(n + 1) basamaklı anan–1 ... a4a3a2a1a0 sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için
(a0 + a2 + a4 + ...) – (a1 + a3 + a5 + ...)... = 11 . k
ve k Z olmalıdır.
 (n + 1) basamaklı anan–1 ... a4a3a2a1a0 sayı-sının 11 ile bölümünden kalan
(a0 + a2 + a4 + ...) – (a1 + a3 + a5 + ...)... işleminin sonucunun 11 ile bölümünden
kalana eşittir.
Aralarında asal iki sayıya bölünebilen bir sayı, bu iki sayının çarpımına da tam bölünür.


2 ve 3 ile tam bölünen sayılar 6 ile de bölünür.
3 ve 4 ile tam bölünen sayılar 12 ile de bölünür.
C. BÖLEN KALAN İLİŞKİSİ
A, B, C, D, E, K1, K2 uygun koşullarda birer doğal sayı olmak üzere,
A nın C ile bölümünden kalan K1 ve
B nin C ile bölümünden kalan K2 olsun.
Buna göre,




A . B nin C ile bölümünden kalan K1 . K2 dir.
A ± B nin C ile bölümünden kalan K1 ± K2 dir.
D . A nın C ile bölümünden kalan D . K1 dir.
AE in C ile bölümünden kalan K1E dir.
Burada kalan değerler bölenden (C den) büyük ise, tekrar C ile bölünerek kalan bulunur.
D. ÇARPANLAR İLE BÖLÜM
Bir A doğal sayısı B . C ile tam bölünüyorsa A sayısı B ve C doğal sayılarıyla da
bölünebilir. Fakat bu ifadenin karşıtı (A sayısı B ile ve C ile tam bölünüyorsa A sayısı B . C
ile tam bölünür.) her zaman doğru değildir.


144 sayısı 2 . 6 = 12 ile tam bölünür ve 144 sayısı 2 ile ve 6 ile de tam bölünür.
6 sayısı 2 ile ve 6 ile tam bölünür. Fakat 6 sayısı 2 . 6 = 12 ile tam bölünemez.
A. ORTAK BÖLENLERİN EN BÜYÜĞÜ (OBEB)
En az biri sıfırdan farklı iki ya da daha fazla tam sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne
bu sayıların ortak bölenlerinin en büyüğü denir ve OBEB biçiminde gösterilir.
OBEB bulunurken verilen sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal çarpanlardan
büyük olmayan üslülerin çarpımı bu sayıların OBEB ini verir.


Eğer a  0 veya b  0 ise OBEB tanımlı olup OBEB(a, b) 1 dir.
a = b = 0 ise OBEB(a, b) tanımsızdır.
B. ORTAK KATLARIN EN KÜÇÜĞÜ (OKEK)
Hepsi sıfırdan farklı iki ya da daha fazla tam sayının pozitif ortak katlarının en küçüğüne
bu sayıların ortak katlarının en küçüğü denir ve OKEK biçiminde gösterilir.
OKEK bulunurken verilen sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal çarpanlardan
küçük olmayan üslülerin çarpımı bu sayıların OKEK ini verir.

a ve b tam sayılarından en az biri sıfır ise, OKEK(a, b) tanımsızdır.
a ve b pozitif tamsayı, a  b ise,



OBEB(a, b)  a  b  OKEK(a, b)
a . b = OBEB(a, b) . OKEK(a, b)
a ile b aralarında asal ise, OBEB(a, b) = 1
kesirleri ile tam bölünen en küçük

pozitif kesir
kesirleri ile tam bölünebilen en küçük pozitif kesir

a ve b pozitif tam sayı olmak üzere,
İki pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların OBEB i ile OKEK inin çarpımına eşittir.
Fakat ikiden fazla pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların OBEB i ile OKEK inin çarpımına
her zaman eşit değildir.
A pozitif tam sayısı a . b ile tam bölünebiliyor ve OKEK(a, b) = x ise, A sayısı x ile
tam bölünür.
Etkinlik :
 70!  k.7m.5n eşitliğinde k , m, n  N olmak üzere m  n en çok kaçtır?
 25.32.5 sayısının;
 kaç tane pozitif böleni vardır?
 kaç tane tam kare böleni vardır?
(Bir pozitif doğal sayının karesi olan sayılara tam kare denir. 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... gibi)
 72a2  b3 koşulunu sağlayan en küçük a ve b pozitif doğal sayılarını bulunuz.
[!] Aralarında asal iki sayının çarpımı olan bir doğal sayıya bölünebilme kuralı verilir.

A, B ve C birer rakam, ABB , BCC , CAA üç basamaklı doğal sayılardır.
ABB  BCC  CAA 1554
olduğuna göre, en küçük ABC sayısı buldurulur.
 İki basamaklı bir doğal sayı, rakamlarının sayı değerleri toplamının 7 katıdır. Bu
şartı sağlayan sayılar buldurulur.

ı

(23 ) 4 .45.64  2 n
olduğuna göre, n doğal sayısı buldurulur.
4.39  2.310  311  m .39
olduğuna göre, m doğal sayısı buldurulur.
f 345 adet bilyenin aşağıda verilen kurala göre kutulara doldurulması istenir. Kutuların
üzerindeki sayılar, her bir kutunun kaç adet bilye aldığını göstermektedir. Doldurma işlemine
en sol sütundaki kutudan başlanır, dolan kutuların içine X işareti konulur, tam
doldurulamayan kutuya hiç bilye konulmadan sağ sütundaki kutulara geçilir. Bilyeleri
yerleştirdikten sonra her sütunun altına kaç kutunun dolu olduğu rakamla yazılır.
1.000
100
10
1
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
( 3
4
5 )10
81
X
27
3
X
1
( 1
1
0
9
X
X
2
1
0 )3
256 128
X
( 1
0
64
X
1
4
2
0
0
X
243
X
32
0
16
X
1
8
X
1
1
X
1 )2
Buradan hareketle doğal sayıların farklı sayı sistemleriyle yazılabileceği keşfettirilir.
ı 1 den 100 e kadar sayılar yazdırılır.
 Asal sayı tanımına göre 1 in asal sayı olmadığı vurgulanır.
 İlk asal sayının 2 olduğu belirtilir.
 2 nin, 2 den büyük katlarının üzerine X işareti koymaları istenir.
 Aynı işlemi 3, 5 ve 7 sayıları için de yapmaları istenir.
 Üstü çizilmemiş sayılar, bir küme içerisinde yazdırılır ve bu kümenin elemanlarının
üstlerinin neden çizilemediği sorulur.
Bu şekilde asal sayı kavramı ve asal sayılar fark ettirilir.
f 72 sayısının 72 = 23.32 şeklinde asal çarpanlarına ayrılacağı buldurulur.
72 sayısının pozitif bölenlerinin tümünün 2x.3y şeklinde yazılabileceği ve
23.32
 N
2 x.3 y
olması
için x in 0, 1, 2, 3 ve y nin 0, 1, 2 değerlerini alabileceği fark ettirilir. x, 4 farklı şekilde y de, 3
farklı şekilde seçilebileceğinden çarpma yoluyla sayma kuralına göre 72 sayısının pozitif
bölenlerinin sayısının
4.3 = (3+1)(2+1) = 12
olduğu keşfettirilir.
f k ve n birer doğal sayı,
34!  k .3n
olduğuna göre, n nin en büyük değeri buldurulur.
 6252. 642 çarpımının sondan kaç basamağının sıfır olduğu ve sayının kaç basamaklı
olduğu buldurulur.
 35! + 36! toplamının sondan kaç basamağının sıfır olduğu buldurulur.
 a ve b birer pozitif doğal sayı,
72.a  b3
olduğuna göre, a ve b nin en küçük değeri buldurulur.
f Beş basamaklı 3a15b sayısı 45 ile bölünebildiğine göre, a+b toplamının alabileceği en
küçük ve en büyük değer buldurulur.
f Beş basamaklı 74a 2b sayısının 15 ile bölümünden kalan 8 olduğuna göre, (a, b) ikilisinin
kaç farklı değer alabileceği buldurulur.
ı a, b  N  olmak üzere her bir gruba farklı (a, b) sayı ikilileri verilerek 4 grup oluşturulur.
Kâğıt üzerine kenar uzunlukları a ve b birim olan dikdörtgenler çizilmesi ve makasla
kesilmesi istenir.
Bu dikdörtgenleri birleştirerek en küçük kareyi oluşturmaları sağlanır. Karenin kenar
uzunluğunun (a, b) sayı ikilisinin OKEK i olduğu keşfettirilir.
(a,b)
En küçük karenin
kenar uzunluğu
OKEK
(a,b)
(3,4)
(4,5)
(3,7)
(6,8)
f Bir tüccar aldığı 24 ton linyit ve 36 ton kok kömürünü birbirine karıştırmadan bir
kamyonla deposuna taşıtmak istiyor.
Taşıma sırasında kamyonda boş yer kalmaması koşuluyla tüccarın kömürü,

en az seferde taşıtabilmesi için kaç tonluk kamyon tercih etmesi gerektiği,

en az kaç seferde taşıtabileceği
buldurulur.
ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME
A.
1. 20124 sayısını çözümleyiniz?
2. 198763 sayısının binler basamağındaki rakamın basamak değeri ile yüzler
basamağındaki rakamın sayı değerinin çarpımı kaçtır?
3. (25843)9 sayısını çözümleyiniz?
4. (23443)5 sayısının yirmi beşler basamağındaki rakamın basamak değeri ile
altıyüzyirmibeşler basamağındaki rakamın sayı değeri toplamı kaçtır?
5. İki basamaklı bir sayının rakamları yer değiştirildiğinde oluşan yeni sayı ile toplamı
154 olduğuna göre bu şarta uyan kaç tane iki basamaklı sayı vardır?
B.
798 sayısının 8 ile bölümünden kalan kaçtır?
15 ile bölündüğünde bölümü 12, kalanı 14 olan sayı kaçtır?
a sayısının 3 ile bölümünden bölüm b kalan 4 dür.b sayısının 4 ile bölümünden
bölüm c kalan 3 olduğuna göre a sayısının 12 ile bölümünden kalan kaçtır?
4. n bir doğal sayı olmak üzere;
A 18
n
1.
2.
3.
n2
olduğuna göre, A’ nın alabileceği en büyük değer kaçtır?
5. 765421 sayısının 2 ile bölümünden kalan kaçtır?
6. 765421 sayısının 3 ile bölümünden kalan kaçtır?
7. 765421 sayısının 4 ile bölümünden kalan kaçtır?
Matematik Öğretmeni