4 - SABİS

10) Olasılık Hesapları
Rassal herhangi bir olayın, belli bir anda meydana gelip gelmemesi konusunda daima bir
belirsizlik vardır. Bu sebeple ihtimaller hesabının konusu tesadüfü sonuçlar veren deneyler
teşkil eder. Meydana gelmesi beklenen bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasında bir rakamdır. Eğer
bir olayın kesinlikle olacağından emin olunuyorsa olayın meydana gelme olasılığı %100’dür.
Tersine bir olay kesinlikle olmaz deniliyorsa o olayın olasılığı da sıfırdır.
10.1) Olasılık Kavramı
Olasılık objektif ve sübjektif olmak üzere iki yaklaşımla ele alınmaktadır. Bunlardan en
yaygın olarak kullanılanı objektif olasılık olup klasik olasılık ve nispi frekans kavramı olmak
üzere iki şekilde ele alınır.
Klasik olarak olasılık şöyle tarif edilebilir; Eğer bir olay birbirini karşılıklı olarak engelleyen
ve hepsi de eşit şansa sahip olan N mümkün halden sadece a kadarında meydana geliyorsa
(uygun hal), bu olayın olasılığı
a
a
olup, P(A) =
şeklinde yazılır. O halde kısaca klasik
n
n
olasılık, uygun haller sayısının mümkün haller sayısına oranı olarak tarif edilebilir.
Yukarıdaki tanımda iki olayın aynı anda meydana gelmesi mümkün değilse, bu iki olay
birbirini karşılıklı olarak engelleyen (bağdaşmaz) olaylardır. Yani olaylardan biri meydana
gelirken, diğerinin meydana gelmesinin imkansız olması hali. Benzer şekilde, iki olaydan
herhangi birinin meydana gelme önceliği yoksa bu iki olay eşit şansa sahiptir.
Örneğin, bir gazete 30 kupon gönderen 50 okuruna televizyon vereceğini ilan ediyor. Bu ilanı
5000 okur iştirak ettiğinde, bu okurlardan herhangi birinin televizyon kazanması olasılığı
nedir? Burada seçim işlemi rasgele yapılacaksa kampanyaya katılan her okurun televizyon
kazanma olasılığı eşit olur. Kupon gönderen herhangi bir okurun hem televizyon kazanması,
hem de kazanmaması olayları aynı anda ortaya çıkmaz. Böyle bir olay için olasılığı klasik
olarak ifade edebiliriz.
Herhangi bir okurun televizyon kazanma olasılığı =
50
 0,01 olur.
5000
Eşit şansa sahip olma halleri çoğunlukla şans oyunlarında bulunmaktadır. Bunun yanı sıra
tesadüf seçimin söz konusu olduğu durumlarda da klasik olasılık kavramını uygulamak
mümkündür. Mesela bir ankete dahil olacak birimlerin seçimi, bir üretim hattından kalite
kontrol amacıyla mamullerin seçimi vs. klasik olasılık kavramın yaygın olarak kullanıldığı
alanlardır. Ancak bu kavramın uygulama alanı sonsuz olmayıp, sınırlıdır. Çünkü bazı
olayların ortaya çıkışı eşit şansa sahip olmayabilir.
Objektif olasılık içinde yer alan ikinci kavram nispi (rölatif - izafi) frekans kavramıdır. Bu
kavram deneylerin tekrarlanabilirliğine ve tekrarlarıma işleminin çok sayıda yapılabileceğine
dayanır. Nispi frekans kavramına göre olasılık şu şekilde tanımlanabilir.
Bir deneyin “N” kez tekrarlamasından sonra (N büyük bir sayı) bir olayın “a” kadar sayıda
ortaya çıktığı gözlenirse, bu olayın olasılığı (meydana gelmesinin nispi frekansı)
P(A) =
a
’dir ve
N
a
şeklinde yazılır. Buna aynı zamanda bir olayın tecrübi olasılığı da denir. Burada N
N
büyük sayıdır demek belirsizlik ifade eder. Onun için ihtimal kavramı Kümeler kullanılarak
aksiyomatik bir yaklaşımla ele alınmaktadır.
Nispi frekans yaklaşımı ile bir olayın olasılığı, geçmişte meydana gelen benzer olaylar dikkate
alınarak tahmin edilebilmektedir. Dolayısıyla P(A) =
a
söz konusu olayın gerçek olasılığının
N
bir tahminidir.
Örnek: Bir konfeksiyon üreticisi imal ettiği elbiselerden en az bir tanesini alan müşterilerin
olasılığını araştırıyor. Bu münasebetle yaptığı gözlemlerde mağazaya giren 1000 müşteriden,
bu elbiselerin alanların sayısının 50 kişi olduğunu görüyor. Buna göre müşterilerden herhangi
birinin bu elbiselerden alma olasılığının en iyi tahmin nedir?
Çözüm: P(A)=
a
50
1


’dir.
N 1000 20
olasılığın sübjektif yaklaşımı deneylerin tekrarlanabilirliğine dayanmaz. Bir defa vuku bulan
olaylara tatbik edilebilir. Mesela A satış elemanın en çok satış yapan eleman olması
olasılığının 0,9 olduğunu, satış müdürü ise bu satış elemanın birinci olma olasılığının 0,5
olduğunu söylüyor. Gerçek olasılık belirsiz ise bu gibi hallerde tatbik edilen bir yöntemdir.
Özellikle Bayes karar teorisinde bu yaklaşımdan faydalanılmaktır. Ancak bu derste bu konu
üzerinde durulmayacaktır.
4.3.2 Örnek Uzay ve Olay
İstatistikte gözlem veya ölçme sürecine deney, deneyden elde edilen sonuçlara mümkün hal,
bu mümkün hallerin meydana getirdiği kümeye o deneyin örnek uzayı adı verilmektedir. S ile
gösterilen örnek uzay, küme teorisindeki U evrensel kümesidir. Örnek uzayın herhangi bir alt
kümesi ise olayın adını alır. Yani örnek uzay herbiri bir nokta (örnek noktası) olarak
düşünülebilen basit olaylardan meydana gelir. Olay A ile gösterilirse A  S’dir. Boş küme
örnek uzayda da birer olay olarak kabul edilir ve imkansızlığı ifade eder, S ise kesinliği
belirtir.
Birden fazla basit olayın bir araya getirilmesi suretiyle bileşik olay teşkil edilebilir. Bunun
için birleşim, kesişim ve tamamlayıcı kümelerden faydalanılır.
Örnek olarak verilen 100 ampulden sağlamları ayrılması istenirse, her deneyin sağlam veya
bozuk olma gibi iki sonucu yani basit olayı vardır. Bunlara A ve B denilirse, örnek uzayı
şöyle tanımlanabilir; S = {A, B}, gözlem sayısı 100’dür.
Örnek uzay sınırlı veya sınırsız olabildiği gibi sürekli veya süreksiz de olabilir. Sınırlı ve
sınırsız kümeden daha önce söz edilmişti. Sınırlı veya sınırsız olmakla birlikte sayılabilir
sayıda olay içeren örnek uzay süreksizdir. Örnek uzaydaki olaylar sayılamayacak sayıda
olursa sürekli örnek uzayı olarak adlandırılır. Bu bölümde sadece süreksiz örnek uzayı ele
alınacaktır.
4.3.3) Olasılık Aksiyomları
Örnek uzay S olsun. Eğer S süreksiz ise, bütün alt kümeler birer olaya karşılık gelir. Tersine S
sürekli ise, S nin sadece bazı alt kümeleri (ölçülebilir olanlar) bir olaya karşılık gelir.
S örnek uzayı süreksiz olduğunda, A alt kümesini ifade eden gerçek bir sayı P(A) şeklinde
yazılabilir ve A olayının olasılığı olarak adlandırılırlar. Öyle ki P küme fonksiyonu (veya
olasılık fonksiyonu) için aşağıdaki aksiyomlar sağlanmalıdır.
Aksiyom 1: S’nin herhangi bir A alt kümesi (olayı) için
0  P(A)  1’dir.
Aksiyom 2: P(S)= 1’dir.
Aksiyom 3: A 1 , A2 , A3 ..... alt kümeleri S’nin birbirlerini karşılıklı olarak önleyen
(bağdaşmaz) sınırlı veya sınırsız alt kümelerinin birleşiminin olasılığı için özel toplama
kuralı olarak anılan aşağıdaki kural tatbik edilir.
Özel toplama kuralı : P(A 1 A 2 A 3 .....) =P(A 1 )+P(A 2 )+P(A 3 )+.........olur.
Eğer birbirlerini karşılıklı olarak engelleyen sadece A 1 ve A 2 gibi iki olay söz konusu ise;
P(A 1 A 2 )= P(A 1 ) + P(A 2 ) olur.
Birinci aksiyom herhangi bir olayın olasılığının mutlaka 0 ile 1 arasında (0 ve 1 dahil)
bulunacağını ve negatif veya 1’den büyük bir olasılığın olmayacağını ifade etmektir. İkinci
Aksiyon, örnek uzayının olasılığının veya bu örnek uzayı içinde yer alan bütün olayların
toplamının olasılığının 1 olduğunu, yani dolaylı olarak kesinlik halini ifade etmektedir.
Üçüncü aksiyom ise, aynı anda meydana gelmesi imkansız olayların toplamının olasılığının
bu örnek olayların ayrı ayrı olasılıklarının toplamına eşit olduğu ifade etmektedir.
Bu üç aksiyom daha önce açıklanan üç olasılık yaklaşımı ile de tutarlıdır. Burada sadece
klasik yaklaşımı ele alarak şu şekilde izah etmek mümkündür.
a
oranı her zaman ya pozitif
N
veya sıfırdır. Dolayısıyla birinci aksiyomla tutarlıdır. Eşit şansa sahip olaylarda örnek uzayın
tamamı için a = N dolayısıyla
a N

 1 olur. Bu da kesinlik ifade eder ve ikinci aksiyomla
N N
tutarlıdır. Aynı şey 3. aksiyom içinde geçerlidir. Eğer eşit şansa sahip N mümkün halden a
kadarı A olayını, b kadarı da B olayını meydana getirirse, eşit şansa sahip a+b kadar mümkün
hal AB olayını meydana getirir. Bu durumda
P(A) =
a
b
ab
, P(B) = , P(AB) =
ve dolayısıyla
N
N
N
P(A)+P(B) = P(AB) olur.
Örnek: Herhangi bir öğrencinin herhangi bir dersten pekiyi alması olasılığı 0,20, iyi alması
olasılığı 0,30 ise bu öğrencinin söz konusu dersten pekiyi veya iyi alması olasılığı
0,20+0,30=0,50’dir. Bir başka ifade ile öğrencinin %20’si pekiyi, %30’u iyi alırsa, %50’si iyi
ya da pekiyi alır.
Bu üç aksiyom olasılıkların nasıl tayin edileceğini göstermez. Tayin edilen olasılıklar için
kısıtlamalar getirir. Pratikte, olasılık ölçüleri varsayımlara, deneylere, geçmiş tecrübelerden
elde edilen tahminlere dayalı olarak belirlenir
Örnek: Bir kutuda 80’i beyaz 20’si kırmızı 100 top vardır. Beyaz topların 30’u, kırmızı
topların ise 5’i kusurludur.
a) Kutulardan beyaz bir top çekme olasılığı nedir?
b) Kusurlu bir top çekme olasılığı nedir?
Çözüm a) P(B)=
b) P(K)=
B
80 4


N 100 5
30  5 35
7


100
100 20
Örnek: Dört para birlikte atılıyor. 2 yazı ve 2 tura gelme olasılığı ne olur?
Mümkün hal sayısı 2 4 =2.2.2.2=16,
 4  4.3.2! 4.3
  

6
2
 2  2! 2!
2 yazı, 2 tura gelme halleri YYTT, YTYT, YTTY, TYYT, TYTY, TTYY
P(A)=
a
6 3

 olur.
N 16 8
Örnek: 2 zar birlikte atıldığında toplamların 7 olması olasılığı ne olur?
Mümkün hal sayısı: 6x6=36
Uygun haller 1,6; 2,5; 3,4; 4,3; 5,2; 6,1 olup 6 tanedir. Şu halde toplamların 7 olma olasılığı
P(A)=
a
6
=
olur.
N 36
4.3.4 Bazı Olasılık Teoremleri
Yukarıda verilen üç aksiyom kullanılarak, önemli uygulama alanları olan bazı teoremler
çıkarılabilir. Mesela, N elemanı olan bir örnek uzayın 2 n alt kümesi olduğundan bir olasılık
ölçüsü tayini problemi aşağıdaki teorem kullanılarak basitleştirilebilir.
Teorem 1: S örnek uzayının bir alt kümesi A ise, A’da bulunan her bir mümkün hali temsil
eden kümelerin olasılıkları toplamı P(A)’ya eşittir. Özel olarak P()=0’dır.
Bu teorem şu şekilde ispatlanabilir;
A=E 1 E 2 E 3 .........olsun. Burada E’ler tarif gereği birbirlerini karşılıklı olarak
önleyen mümkün hallerdir. Üçüncü aksiyoma göre;
P(A)=P(E 1 )+P(E 2 )+P(E 3 )+.......olur.
Diğer taraftan özdeşlik kuralına göre S=S yazılabilir. Burada S ve  ayrıktır. Buna
göre;
P(S)=P(S)
ve üçüncü aksiyoma göre
P(S)+P()=P(S) buradan P()=0 olur.
Boş küme () atfedilen olasılık daima sıfırdır. Fakat P(A) = 0 ise bu, A= olmasını
gerektirmez. Günlük hayatta sıfır olasılık dünya kurulalı beri hiç meydana gelmemiş olaylar
için kullanılır.
Teorem 2: Herhangi bir A olayı için
P(A’)= 1- P(A) olur.
İspatı
AA’=S olduğundan
P(AA’)=P(S)
P(A)+P(A’)=1
veya P(A’)=1 – P(A) olur.
Mesela bir uçağın tehirli kalkması ihtimali 0,70 ise tehirli kalkmaması ihtimali 0,30 olur. Yani
bir olayın vuku bulması ile bulmaması ihtimallerinin toplamı 1’e eşittir.
Eğer A ve B birbirlerini karşılıklı olarak önleyen iki olay ise özel toplama kuralı olarak
adlandırılan ve üçüncü aksiyomun bir neticesi olan P(AB)=P(A)+P(B) formülü ile edilir.
Mesela; Eczaneye giren bir kişinin diş macunu alması A olayı ile diş fırçası alması B olayı ile
temsil edilmiş olsun. P(A)= 0,70 ve P(B)=0,50 ise bu kişinin bir diş macunu veya fırçası ya da
her ikisini birden alması olasılığı 0,70+0,50=1,20 değildir. Çünkü kişinin hem diş macunu
hem de diş fırçası alma olasılığı hesaba iki kere dahil edilerek bir yanlışlık yapılmıştır. Bu
yanlışlığı telafi etmek için genel toplama kuralı olarak adlandırılan aşağıdaki teorem
kullanılmaktadır.
Teorem 3: P(AB)=P(A)+P(B) – P(AB) Genel toplama kuralı
P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C) – P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
Arka sayfadaki misalde söz konusu kişinin girdiği eczaneden hem diş macunu, hem de
diş fırçası alması ihtimali 0,40 ise yani P(AB)=0,40 bu kişinin diş macunu veya diş fırçası
yada her ikisini birden alması olasılığı,
0,70+0,50-0,40=0,80 olur.
Özel hal olarak, eğer A ve B bağdaşmaz olaylar ise
AB= ve P(AB) 0 olacağından
P(AB)=P(A)+P(B) bulunur ki bu özel toplama kuralından başka bir şey
değildir.
Örnek: P(A)=0,60, P(B)=0,30 ve P(AB)=0,20 olarak verilmesi halinde aşağıdaki
olasılıkları hesaplayınız.
a) P(AB)
b)P(A’B’)
Çözüm: a) P(AB)= P(A)+P(B) – P(AB)
c) P(AB’)
d) P(A’B)
e) P(A’B’)
= 0,60+0,30–0,20=0,70
b) P(A’B’) = P(AB)’ = 1-P(AB) = 1–0,20=0,80
c) P(A) = P(AB’) + P(AB)
P(AB’)=P(A)P(AB)= 0,60–0,20=0,40
d) P(B) = P(AB)+P(A’B)=P(A’B)=P(B) – P(AB)
=0,30–0,20=0,10
e) P(A’B’) = P(AB)’=1- P(AB) = 1–0,7 = 0,3
Problem: Bir öğrencinin fizik, kimya veya her iki dersten de kalması olasılıkları sırasıyla
0,20; 0,10; 0,05 ise
a) Bu öğrenicinin derslerden birinden kalması olasılığını,
b) Bu öğrencinin derslerden en az birinden geçmesi olasılığını,
c) Bu öğrencinin derslerden sadece birinden kalması olasılığını hesaplayınız.
Çözüm: Öğrencinin fizikten, kimyadan veya her iki dersten de kalması olasılıkları sırasıyla
P(A)=0,20, P(B)=0,10, P(AB)= 0,05 ile gösterildiği zaman
a) P(AB)= P(A)+P(B)-P(AB)= 0,20+0,10–0,05=0,25
b) P(A’B’)=P(AB)’=1-P(AB)=
1–0,05=0,95
c) P(B)= P(AB) + P(A’B)
P(A’B)=P(B)-P(AB)=0,10–0,05=0,05
P(A)=P(AB)+P(AB’)
P(AB’)=P(A)+P(AB)=0,25+0,05=0,15
P(A)+P(B)=0,15+0,05=0,20