Elektron ve Pozitron için Enerji Kaybı

PARÇACIK KİNEMATİĞİ-I
Yrd. Doç. Dr. Nilgün DEMİR
Uludağ Üniversitesi
Fen- Edebiyat Fakültesi Fizik Bölümü
[email protected]
NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
Yüklü Parçacıkların Madde ile Etkileşmeleri
•Soft Çarpışmalar (b>>a)
(İyonizasyon ya da eksidasyon)
•Sert Çarpışmalar (b~a)
(Atomik elektronlarla etkileşmeler)
•Çekirdek alanı ile
Coulomb etkileşmeleri (b<<a)
(Rutherford saçılması ya da
Bremsstrahlung)
•Ağır yüklü parçacıkların
çekirdek etkileşmeleri
a: klasik atom
yarı çapı
b: etki parametresi
NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
Elektromanyetik Etkileşmeler
Parçacıkların detekte edilebilmesi ve özelliklerinin incelenebilmesi
için madde ile etkileşmeleri gerekir.
En önemli etkileşme süreci EM (elektromanyetik) etkileşmelerdir.
Yüklü Parçacıklar:
İyonizasyon sebebi ile sürekli enerji kaybı
Ağır yüklü parçacıklar (müon, pion, proton, alfa v.b.)
Hafif yüklü parçacıklar (Elektron ve pozitron)
elektron ve pozitronlar:
Işıma ile enerji kaybı (Bremsstrahlung)
Çekirdek alanından elastik saçılmalar
Atomik elektronlar ile etkileşmeler (Bhabha, Mller)
Bethe-Bloch
Fotonlar:
Foto-elektrik etki
Compton Saçılması
Çift Oluşumu
NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
Ağır Yüklü Parçacıklar
Ağır yüklü parçacığın ortalama enerji kaybını
basitçe modelleyelim;
Serbest atomik elektronun, kütlesi=m, yükü= e,
hızı=v ise (elektronu çarpışma sırasında durgun)
Çarpışma sonunda elektronun kazandığı enerji, ağır
yüklü parçacığın momentum impulsı ile
hesaplanabilir;
e-
b

M, ze, v

p

I

Fdt

e
E
dt

e
E
(
dt
/
dx
)
dx

(
e
/
v
)
E
dx
Gauss yasasından;







 
ze
E

d
A

E
(
2

b
)
dx

  E  dx  ze / 20 b  I 

 
0
Elektron tarafından kazanılan enerji;
ze 2
20 bv




2
2
4
2
4

p
z
e
2
z
e
1

E
(
b
)

2

2
2
2
2
2
2
2
2
m
m
c
(
4
)
b
m
4
b
v
e2
e
0
e
0
Eğer elektronların yoğunluğu Ne ise dx kalınlığında b ile b+db arasındaki mesafede bulunan elektronlara
kaybedilen enerjiyi hesaplarsak
 


2
2
4

p
N
(
2
b
)
dbdx
4
z
e
N
dx
db
e
e

dE
(
b
)


E
(
b
)
N
dV


e
2 2
2
2
m
b
m
c
(
4
)
e
e
0
NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
Ağır Yüklü Parçacıklar
Buradan birim uzunluk başına kaybedilen toplam enerji;



 

2
4
2
4
4
z
e
N
4
z
e
N
b
e db
e
max

dE
/
dx
22

ln
Durdurma
2
22
2

b
b
(
4
)
m
c
(
4
)
m
c
min
0e
0e
Elektronun yarıçapı
e2
re 
2
4

0m
ec
Gücü
 v c
NA

A
Elektronun yoğunluğu Ne Z
  

 
2
2
4
2
2
4
z
e
N
4
N
m
c
r
z
b
Z
e db
A
e
e
max

dE
/
dx


ln
22
2
2

A
b
(
4
)
m
cb
min
0
e
bmin; kafa kafaya çarpışma ele alınarak hesaplanabilir.
bmax ; Elektronların serbest değil kendi orbitallerinde dönmeleri
hesaba katılarak ele alınmalıdır.
NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
Enerji Kaybı için Bethe-Bloch Formülü
Ağır yüklü parçacıklar için iyonizasyon ve eksidasyon
ile ortalama enerji kaybı, 1930’ larda kuantum
mekaniksel olarak (spin 0) Bethe ve Bloch tarafından
hesaplanmıştır.
Enerji değeri <100’s GeV and b >>za (»z/137)
2
2
2


2
m

v
W
dE
Z
z
22
2
e
max


2

N
r
m
c

ln(
)

2

a
e
e
 I

2
2
dx
A



=0.1535MeV-cm2/g
Absorplayıcı Ortam
I=Ortalama iyonizasyon potansiyeli
Z= Atom numarası
A=Atom ağırlığı
= yoğunluk
d= Yoğunluk düzeltmesi
C= Kabuk düzeltmesi
ağır= mincident>>me
proton, k, , 
Temel Sabitler;
re=elektronun klasik yarı çapı
me=elektronun kütlesi
Na=Avogadro sayısı
c= ışık hızı
Gelen parçacık,
z=gelen parçacığın yükü
=v/c (gelen parçacık için)
=(1-b2)-1/2
Wmax= bir çarpışmada transfer
edilecek max.enerji


2
2
2
4
z
r
m
c
N
e
e
e b
max
Klasik dE/dx formülü 
dE
/
dx

ln
2
b
min
NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
Düzeltilmiş Bethe-Bloch Formülü



d

2
2
2


2
m
v
W
dE
Z
z
C
2
2
2
e
max


2
N
r
m
c
ln(
)

2


2
 2

a
e
e
2
dx
A
Z
c
 I

dortamdaki elektronun yük yoğunluğunun gelen parçacığın enine
elektrik alanını üzerindeki etkisi d  2ln+, (ortam için sabit)
C kabuk düzeltmesi, burada gelen parçacığın hızı bağlı elektronun
orbital hızı ile kıyaslanabilir büyüklükte ya da daha küçüktür. ((b»z )
Elektron ve Pozitron için Enerji Kaybı
Elektron ve pozitronların madde içindeki
enerji kayıpları, ışıma ve çarpışma ile olmak
üzere iki kısımda incelenir:
dE
dE
dE



 

 
 

dx
dx
dx






Toplam
Rad
Çar
Elektronun madde içerisindeki Enerji kaybı
Yüksek enerjili elektronlar için
radyasyon ile enerji kaybının çarpışma
ile enerji kaybına oranı;
dE
 
EZ
 dxRad

1200c
me 2
dE
 
 dxÇar
NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
Elektron ve Pozitron için Çarpışma ile Enerji Kaybı
Elektron ve pozitronun iyonizasyon ve eksidasyon sebebiyle enerji kaybı
hesabı biraz daha karmaşıktır:
spin ½
kütle daha küçük
elektron için her iki parçacık aynı
Ağır parçacıkların enerji kaybına benzer formda;




d

2

dE
Z
1
(

2
)
C
2
2


2
N
r
m
c
ln(
)

F
(
)


2
2 2

a
e
e
2
dx
A
Z
2
(
I
/
m
c
)
c
e


burada , mec2 biriminde gelen parçacığın kinetik enerjisidir.

 


 


 
2


/
8

(
2

1
)
ln
2
1

1
(
2

1
)
ln
2
2


F
(
)

1



1





 2
2
e
8
(

1
)


2
2

2


14
10
4
14
10
4




F
(
)

2
ln
2

23




2
ln
2

23




2 3
2 3
e

12


12
(

2
)
(

1
)
(

2
)
(

2
)
(

1
)
(

1
)

 

2
Çok yüksek enerjilerde F() terimi sabittir.
NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
Enerji Kaybı Dağılımları
P(E)dE
Landau Fonksiyonu
Y
Yük
Landau kuyruğu
1  2  e   
f ( ) 
e
2
  (E  E mp ) / 
1
:yoğunluk (g/cm3),
x:absorplayıcının
kalınlığı (cm)
Enerji kaybı
Ortalama enerji kaybı
En muhtemel
enerji kaybı
Z
  2N r me c z
x
A
2
A e
2 2
Yüklü parçacıkların madde içinde
Çok kalın materyaller için
kaybettikleri enerjinin büyük bir kısmı
Enerji kaybı dağılımı
ortalama enerji kaybından büyük ölçüde Gaussien dağılıma yaklaşır.
ayrılır. Özellikle ince absorplayıcılar
(gazlar v.b.) için enerji kaybı dağılımı
oldukça asimetriktir. Bu dağılım Landau
Dağılımı ile parametrize edilir.
dE
x  2me c 2  2 2
dx
NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
Işıma ile Enerji Kaybı (Bremsstrahlung) (b<<a)
Yüksek enerjili elektronlar ya da pozitronlar maddenin çekirdek alanından
geçerken Bremsstrahlung ışıması yaparak enerji kaybederler. Enerji kaybı
için en baskın mekanizmadır.
Yarı-klasik bir hesaplama,
relativistik parçacıklar için tesir kesidi
Elektronlar için tesir kesidi,
dE
Z2 2
183

 4N A
re E ln 1/ 3
dx
A
Z
E
 dE 

 
 dx  rad X 0
Elektronun enerjisinin 1/e
kadar azaldığı mesafe
X0 
A
183
4N A Z 2 re2 ln 1/ 3
Z
E  E0 e  x / X 0
radyasyon uzunluğu (g/cm2)
NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
Kritik Enerji (EC)
Elektronlar için yaklaşık olarak;
Müonlar için
NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
Çeşitli absorplayıcı ortamlar için
radyasyon uzunluğu (g/cm2)
Bazı materyallerin kritik enerjileri
Pb gibi ağır metallerde
(e-+ 10-20 MeV üzerindeki enerjilerde)
Bremsstrahlung daha baskın
NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
Elektron ve Pozitronların
Atomik Elektronlarla Etkileşmeleri (b~a)
Messel ve Crawford Bhabha diferansiyel saçılma tesir kesidi:


d Bhab ( E0 ) X 0 n2re2 m  1  1

  2  B1   B2   (B4  B3 )
2
dE
Ep

   

Bhabha saçılması
E0 : Gelen pozitronun enerjisi (MeV)
Ep : Gelen pozitronun kinetik enerjisi (MeV)
: Gelen pozitronun ışık hızı cinsinden hızı
:E0 /m
E :ikincil elektronun enerjisi (MeV)
E  m)/ Ep2
y=1/(1+)
B1= 2-y2
B2= (1*2y)(3+y2)
B3= B4+(1-2y)2
B4=(1-2y)3
NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
Messel ve Crawford Mller diferansiyel saçılma tesir kesidi:
d Ml ( E0 )
Mller saçılması
dE
X 0 n2re2 m 
11
 11


C


C


C

1
2
2 
'  '
 2 Ee2 
 





E0 : gelen elektronun enerjisi (MeV)
Ee: gelen elektronun kinetik enerjisi (MeV)
E: saçılan elektronun enerjisi (MeV)
:saçılan elektronun kinetik enerji kesri (T/T0)
T: saçılan elektronun kinetik enerjisi
’: 1-
E0/m
C1= [(-1)/]2
C2= (2-1)/2
211/2
NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
Pozitron Yok Olması:
Çeşitli etkileşmelerle yavaşlayıp durgun hale gelen
Pozitron çevredeki bir elektron ile birleşerek yok olur.
NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
Foton Etkileşmeleri
Fotoelektrik Etki (E< birkaç MeV):
Compton Saçılması
Çift Oluşumu (E > birkaç MeV)
Şekilde, C ve Pb için toplam foton
etkileşme tesir kesidinin enerjiye bağlı
Değişimi gösterilmektedir.
pe), foto elektrik etki
(rayleigh), rayleigh saçılması (atom tarafından saçılır,
Enerjisi değişmez.)
compton), compton saçılması
(knucçekirdek alanında çift oluşumu
(knuc), elektron alanında çift oluşumu
(.d.foto nükleer etkileşmeler
Başlangıç yoğunluğu N0 olan bir  demeti, bir ortamı
geçtikten sonra yoğunluğundaki zayıflama;
dN=-Ndx ya da N(x)=N0e-x
:lineer zayıflama katsayısı
NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
Fotoelektrik Etki
Gelen foton (E = hnatom tarafından absorplanır ve bir elektron (Ee) fırlatılır.
Ee= E - Eb


Z5
hv 
Z5
hv 
7
2
E < me c 2
E  me c 2
Einstein, 1921 yılında fotoelektrik etkiyi
açıklamak üzere yaptığı çalışma ile Nobel
ödülü almıştır. Yayınlanan elektronun
enerjisinin ’ nın enerjisine bağlı olduğunu
yoğunluğundan bağımsız olduğunu
göstermiştir.
Fotoelektrik olay, X-ışını enerji aralığında (keV) büyük tesir kesitine sahiptir.
Bu tesir kesiti yaklaşık olarak aşağıdaki şekilde tanımlanır;
Eb: bağlanma enerjisi
Fotoelektrik tesir kesitindeki süreksizlik, atomik elektronların farklı
bağlanma enerjileri sebebiyledir.(K,L, v.b.)
Fotoelektrik etki düşük enerjilerde baskındır ( < MeV) düşük enerjili elektron verir.
Tesir kesidi, E -7/2 şeklinde düşer, Z4 ya da Z5 şeklinde artar (Ebirkaç MeV.
NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
Compton Saçılması
Gerçek ’ nın bir atomik elektron ile esnek saçılması.
Enerji ve momentum korunumundan,
me c 2
cos   1 
(hn  hn ' )
'
(hn )( hn )
hv 
hv
1   (1  cos  )
K e  hv  hv   hv
Compton saçılma tesir kesidi ilk kez
1929’ da QED Kullanılarak
hesaplanmıştır.Klein-Nishina tesir
kesidi Olarak bilinir:
  hv / me c 2
 (1  cos  )
1   (1  cos  )
Yüksek enerjilerde (>>1) hemen hemen =0
d re2
2
Düşük enerjilerde (0 d  2 (1  cos )
re2
re2 E  ,out 2 E  ,out E  ,in
d
 2 (1  cos ) 2
2

(1  cos  
)
(
) (

 sin 2 )
2
d 2[1   (1  cos ]
1   (1  cos )
2 E  ,in
E  ,in E  ,out
NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
Çift Oluşumu
Çekirdek alanındaki çift üretimi için
eşik enerjisi 2mec2, elektron alanında 4mec2
 + çekirdek
e-e+ + çekirdek
İlk hesaplama Born yaklaşımı kullanılarak Bethe-Heitler tarafından 1934’ te yapılmıştır.
Yüksek enerjilerde (E>>137mec2Z-1/3) çift üretimi tesir kesti hemen hemen sabit.
pair = 4Z2 re2 [7/9{ln(183Z-1/3) -f(Z)} -1/54]
pair = (7/9) brem
pair=(9/7) X0
Çift oluşumu için ortalama serbest yol
NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
Çoklu Saçılmalar (Moliere Teorisi)
Parçacıklar madde içinden geçerken sadece enerji kaybetmez!!!
Yolları boyunca çok küçük açılarla da saçılırlar.
Bu saçılmalar atomun Coulomb alanı sebebiyledir ve elastik olarak ele alınır.
Parçacığın enerjisi her bir saçılmada sabittir, sadece doğrultusu değişir.
Çoklu saçılma modelinde geniş açı
saçılmaları ihmal edilir. Saçılma açısının
Dağılımı hemen hemen Gaussien formundadır
0 
dP( plane )
d plane
 plane
1

exp[
]
2
 0 2
2 0
13.6MeV
z x / X 0 (1  0.038 ln{ x / X 0 })
pc
2
Q0 : Moliere dağılımına fitten elde edilen değer.
c: hız
p: momentum
z: yüklü parçacığın yükü
x/X0 : ortamın kalınlığı
NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
Elektromanyetik Sağanak Gelişimi
• Elektromanyetik etkileşmelerin enerji kayıplarına katkısı, absorplayıcının cinsine
ve parçacığın enerjisine bağlıdır.
• Yüksek enerjilerde
--- elektronlar baskın olarak Bremsstrahlung yolu ile enerjilerini kaybeder.
--- fotonlar da çift üretimi ile
• Bremsstrahlung süreci ile oluşan foton, elektron- pozitron çifti üretir,
oluşan elektron ya da pozitron tekrar yeni bremsstrahlung fotonu üretir. Bu süreç
Elektronun (ya da pozitron) enerjisi E>Ec olduğu sürece devam eder.
• E<Ec olduğunda iyonizasyon ve eksidasyon ile enerji kayıpları baskın olur.
NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
Rossi Heitler Basit Sağanak (Shower) Modeli:
Bremsstrahlung’ tan oluşan fotonlar ve çift üretiminden meydana gelen
elektron ve pozitronlar, E gelen parçacığın enerjisi olmak üzere,
açısı ile saçılırlar.
Bazı yaklaşımlar:
 pair  X 0
Elektronlar ve pozitronlar özdeş davranır.
E>Ec için iyonizasyon ve eksidasyon enerji kaybı ihmal edilir.
E>Ec enerjili her bir elektron ortamda 1X0 uzunluğunu geçtikten sonra enerjisinin
yarısını Bremsstrahlung fotona verir.
Sağanak gelişimi E=Ec de sona erer.
E<Ec enerjili elektronlar ışıma yapamazlar, kalan enerjilerini çarpışmalarla tüketirler.
NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
Sağanak;
E0>>Ec enerjili elektron ile başlar
Radyasyon uzunluğu (X0)
1X0
1e- ve 1 (her biri E0/2 enerjili)
2X0
.
.
tX0
2e-, 1e+ ve 2 ( her biri E0/4 enerjili)
Sağanak parçacıklarının
herhangi bir E’ enerjisine
sahip olduğu derinlik
Parçacık sayısı t ile
üstel olarak artar
e-,,e+, sayıları eşit
Sağanakta enerjisi E’ den
Büyük olan parçacık sayısı
E=Ec de max. parçacık sayısı
NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
Sağanağın Enine ve Boyuna gelişim
• Bir sağanağın boyuna gelişmesi, X0 uzunluğu ile temsil edilir.
• Elektronların çoklu Coulomb saçılmaları ile sağanakta yanlara
doğru yayılmalar meydana gelir
Sağanak maksimuma ulaştığında sağanağın ortalam %90’ ı
yarıçapı < 1X0 olan bir silindir içinde kalır.
Yanlara doğru genişleme Moliere yarıçapı (m) ile temsil edilir.
NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi