ünite 5. ünite 5. ünite 5. ünite 5. ünit

MATRİS, DETERMİNANT ve DORUSAL
DENKLEM SİSTEMLERİ
ÜNİTE
5. ÜNİTE
5. ÜNİTE
5. ÜNİTE
Matrisler
1.
Kazanım
: Matrisi örneklerle açıklar, verilen bir matrisin türünü belirtir ve istenilen satırı, sütunu ve
elemanı gösterir.
2.
Kazanım
: Kare matrisi, sıfır matrisini, birim matrisi, köşegen matrisi, alt üçgen matrisi ve üst üçgen
matrisi açıklar, iki matrisin eşitliğini ifade eder.
3.
Kazanım
: Matrislerde toplama işlemini yapar, bir matrisin toplama işlemine göre tersini belirtir, toplama işleminin özelliklerini gösterir ve iki matrisin farkını bulur.
4.
Kazanım
: Bir matrisi bir gerçek sayı ile çarpma işlemini yapar ve özelliklerini gösterir.
5.
Kazanım
: Matrislerde çarpma işlemini yapar ve çarpma işleminin özelliklerini gösterir.
6.
Kazanım
: Bir matrisin çarpma işlemine göre tersini bulur ve matrislerin tersini bulma işleminin özelliklerini gösterir.
7.
Kazanım
: Bir matrisin devriğini (transpozunu) bulur ve özelliklerini gösterir.
Doğrusal Denklem Sistemleri
1.
Kazanım
: Doğrusal (lineer) denklem sistemini açıklar ve doğrusal denklem sisteminin çözümünü
temel (elementer) satır işlemleri yaparak bulur.
2.
Kazanım
: Doğrusal denklem sistemlerini matrislerle gösterir ve matris gösterimi A.X = B olan
doğrusal denklem sisteminin çözümünü (A | B) genişletilmiş matrisi üzerinde temel satır
işlemleri uygulayarak bulur.
Determinantlar
1.
Kazanım
: Minör ve kofaktör kavramını açıklar 1 x 1 , 2 x 2 ve 3 x 3 türündeki matrislerin determinantını hesaplar ve determinantın özelliklerini belirtir.
2.
Kazanım
: Sarrus yöntemini kullanarak 3 x 3 türündeki matrislerin determinantını hesaplar.
3.
Kazanım
: Ek (adjoint) matrisi açıklar, 2 x 2 ve 3 x 3 türündeki matrislerin tersini ek matris yardımıyla bulur.
Doğrusal Denklem Sistemleri
1.
Kazanım
: Matris gösterimi A.X = B olan doğrusal denklem sisteminin çözümünü X = A–1.B yöntemi ile bulur.
2.
Kazanım
: Doğrusal denklem sisteminin çözümünü Cramer kuralını kullanarak bulur.
5. ÜNİT
MATRİS, DETERMİNANT ve
DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ
Üç ayrı mağazada bulunan A, B, C marka televizyonların markaları ve miktarları aşağıdaki tablo ile verilmiştir.
Ma¤aza
Marka
Mağazalarda bulunan televizyonların miktarlarını belir-
A
(adet)
B
(adet)
C
(adet)
I
8
7
9
II
6
5
10
III
4
3
12
lemek için tabloda bulunan sayıların yerlerini değiştirmeden aşağıdaki gibi dikdörtgensel şeklin içine yerleştirelim.
R8 7 9 V
S
W
T = S 6 5 10 W
W
SS
4 3 12 W
T
X
Bu tablodan yararlanarak aşağıdaki ifadeleri inceleyiniz.
® I. mağazada 8 tane A marka televizyon vardır. Bu durumu kısaca T11 = 8 biçiminde gösterebiliriz.
® II. mağazada kaç tane C marka televizyon vardır? Bu sorunun cevabı 10 olup T23 = 10 olarak gösterilir.
® III. mağazada kaç tane B marka televizyon vardır? Bu sorunun cevabı 3 olup T32 = 3 biçiminde gösterilir.
® 1. sütunda bulunan sayıların A marka televizyonların sayıları olduğuna dikkat ediniz.
® 2. satırdaki sayıların, II. mağazadaki televizyonların sayılarını gösterdiğini fark ettiniz mi?
® 2. sütundaki sayıların, B marka televizyonların sayıları olduğuna dikkat ediniz.
MATRİS
m, n ∈ N+ için i = 1, 2, 3, ... m ve j = 1, 2, 3, ..., n olmak üzere, aij reel sayılarından oluşan
Ra
S 11
S a 21
A=S
S h
Sa
m1
T
tablosuna m x n biçiminde
a 13 g a 1n V
W
a 23 g a 2n W
W
h
h
W
a m2 a m3 g a mn W
X
bir matris denir. m satırlı ve n sütunlu bir A matrisi Amxn veya A = [ aij ]mxn
a 12
a 22
biçiminde gösterilir. aij elemanı, matrisin i. satır ve j. sütunun kesim noktasındaki elemanıdır.
364
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
ÖRNEK 1
A=
ÖRNEK 3
2
>
1
2 –2
1 2
G matrisi 2x2 türünde bir kare matristir.
3 5
R0 1 3 V
S
W
B = S 2 1 4 W matrisi 3x3 türünde bir kare matristir.
SS
W
5 –1 2 W
T
X
0
1H
A==
matrisi için
3
a12 , a21 , a23 elemanlarını bulunuz.
Çözüm
Sıfır Matris
Bütün elemanları sıfır olan matrislere sıfır matris
denir.
R0 0 V
W
S
0 0
0 0 0
G , =
G , S0 0 W
=
0 0
0 0 0
W
SS
0 0W
X
T
matrisleri birer sıfır matristir.
ÖRNEK 2
1
2 VW
0 – 3 W matrisi için
W
3
4W
X2
2a22 + a ifadesinin eşitini bulunuz.
31
Çözüm
Birim Matris
Asal köşegenindeki elemanları 1, diğer elemanları 0
olan kare matrislere birim matris denir. Birim matrisleESEN YAYINLARI
R
S
A= S
SS
T
3a12 –
ri I sembolü ile göstereceğiz.
R1 0 0 V
S
W
1 0
I2x2 = =
G , I3x3 = S 0 1 0 W
0 1
W
SS
0 0 1W
T
X
matrisleri birer birim matristir.
Alt Üçgen Matris
Kare Matris
Asal köşegenin üstünde kalan bütün elemanları sıfır
Satır sayısı sütun sayısına eşit olan matrislere kare
olan kare matrislere alt üçgen matris denir.
R1 0 0 V
W
S
1 0
G , S3 2 0 W
=
4 3
W
SS
4 6 5W
X
T
matrisleri, alt üçgen matrislerdir.
matris denir. nxn türündeki [aij]nxn matrisi n. sıradan (n. basamaktan) kare matristir.
a1
A=
a12
a21 a22
M
M
an1 an2
a13
....
a1n
a23
M
.... a2n
an3
2. kšßegen
.... ann
1. kšßegen
Üst Üçgen Matris
matrisi bir kare matristir.
Asal köşegenin altında kalan bütün elemanları sıfır
a11 , a22 , ..., ann elemanlarının oluşturduğu köşege-
olan kare matrislere üst üçgen matris denir.
R2 4 1 V
W
S
2 5
G , S0 3 5 W
=
0 7
W
SS
0 0 6W
X
T
matrisleri, üst üçgen matrislerdir.
ne 1. köşegen veya asal köşegen denir.
an1 , a(n–1)2 , ..., a1n elemanlarının oluşturduğu köşegene 2. köşegen veya yedek köşegen denir.
365
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
İki Matrisin Eşitliği
Matrislerde Toplama
m x n türündeki A ve B matrislerinde ∀ i, j için
Beyaz eşya satan üç mağazadaki buzdolabı, fırın ve
çamaşır makinesi miktarları aşağıdaki tablo ile veril-
aij = bij ise A = [aij]mxn , B = [bij]mxn matrisine eşittir
miştir.
denir ve A = B biçiminde gösterilir.
Beyaz Eflya
Ma¤aza
ÖRNEK 4
2
a 4
2 –1 c
A==
G ve B = =
G
b –2 5
6 –2 d
matrisleri eşit ise a + b + c + d değerini bulunuz.
Buzdolab›
(adet)
F›r›n
(adet)
Çamafl›r
makinesi
(adet)
I
6
5
7
II
8
4
9
III
10
3
2
Bu üç mağazanın yeni sipariş ettiği beyaz eşya mik-
Çözüm
tarları da aşağıdaki tablo ile belirtilmiştir.
R– 2
log 2 x VW
S
y + 1 W ve B = S 1
S
W
S 5
3z W
S
X
T
olmak üzere A = B ise x + y +
Buzdolab›
(adet)
F›r›n
(adet)
Çamafl›r
makinesi
(adet)
I
2
3
4
II
1
0
5
III
7
6
8
Bu iki tabloyu matris biçiminde yazalım.
ÖRNEK 5
R– 2
S
A=S 1
S
S 5
T
Ma¤aza
ESEN YAYINLARI
Beyaz Eflya
3V
W
0W
W
1W
9W
X
z ifadesinin eşitini
R 6 5 7V
R2 3 4 V
S
W
S
W
A = S 8 4 9 W , B = S1 0 5 W
SS
W
SS
W
10 3 2 W
7 6 8W
T
X
T
X
Siparişler alındıktan sonra her mağazada bulunan
beyaz eşya miktarını gösteren matris A ve B mat-
bulunuz.
rislerinin toplamı olacağından
Çözüm
R 6 + 2 5 + 3 7 + 4 V R 8 8 11 V
S
W S
W
A + B = S 8 + 1 4 + 0 9 + 5 W = S 9 4 14 W dır.
SS
W S
W
10 + 7 3 + 6 2 + 8 W S 17 9 10 W
T
X T
X
O halde, türleri aynı olan iki matrisi toplarken karşılıklı
elemanları birbirleriyle toplanır.
a b
G matrisinin toplama işlemine göre tersi
c d
–a –b
–A ==
G matrisidir.
–c –d
A ==
366
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
ÖRNEK 6
A ==
1 2
5 6
2 0
G , B ==
G ve C = =
G
4 3
–1 4
1 3
olmak üzere,
a.
A + B ve B + A matrislerini bulup sonuçları karşılaştıralım.
b.
A + (B + C) ve (A + B) + C matrislerini bulup
sonuçları karşılaştıralım.
c.
A + 0 ve 0 + A matrislerini bulalım.
d.
A + (– A) matrislerini bulalım.
Çözüm
A = [aij]mxn , B = [bij]mxn , C = [Cij]mxn ve
0 = [0ij]mxn matrisleri için
ESEN YAYINLARI
® A+B=B+A
® A + (B + C) = (A + B) + C
® A+0=0+A=A
® A + (– A) = (– A) + A = 0 dır.
ÖRNEK 7
=
x –2 –3
2 5 4
5 3 1
G+ >
G
H= =
1
2
5
In y 3 2 z
3 5 9
olduğuna göre x , y ve z değerlerini bulunuz.
Çözüm
367
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
Çözüm
ÖRNEK 8
A ==
2
1 3
4 –2
5
G ve B = =
G
4 –1 2
0
3 –1
matrisleri için A – B matrisini bulunuz.
Çözüm
A ==
1 2
G matrisi için
4 3
2A = A + A = =
1 2
1 2
1+1 2+2
G+=
G==
G
4 3
4 3
4+4 3+3
==
2.1 2.2
G olur.
2.4 2.3
2A ile A matrislerini karşılaştırdığımızda A matrisinin her elemanının 2 ile çarpıldığını fark ettiniz mi?
Bu durumda,
k ∈ R ve A = [aij]mxn ise k.A = [k.aij]mxn olur.
ÖRNEK 9
A ==
a.
2 1
4 5
G ve B = =
G olmak üzere,
–1 3
1 0
3.(A + B) ve 3.A + 3.B matrislerini bulup sonuçları karşılaştıralım.
b.
2A + 3A ve (2 + 3)A matrislerini bulup sonuçları
karşılaştıralım.
c.
(2.3).A ve 2.(3.A) matrislerini bulup sonuçları
karşılaştıralım.
368
ESEN YAYINLARI
Bir Matrisin Bir Gerçel Sayı ile Çarpımı
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
k, p ∈ R olmak üzere,
A = [aij]mxn , B = [bij]mxn
matrisleri için
® k.(A + B) = k.A + k.B
® (k + p).A = k.A + p.A
® (k.p).A = k.(p.A) dır.
ÖRNEK 10
b.
3A + 2B
c.
A B
matrislerini bulunuz.
–
2 3
Çözüm
ESEN YAYINLARI
R2 – 2 V
R3
6 VW
S
W
S
A = S6
0 W ve B = S 3 – 3 W olmak üzere,
SS
W
SS
W
4
2W
9
0W
T
X
T
X
a. 2A – B
ÖRNEK 11
A= =
5 5
2a 4
–b 1
G
G , B==
G ve C = =
0 9
3 b
2 a
matrisleri veriliyor. 2A – 3B = C ise a + b kaçtır?
Çözüm
369
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
İKİ MATRİSİN ÇARPIMI
Milli futbol ve basketbol takımlarımız, sponsorlarına iletmek üzere gerekli malzemelerin listesini aşağıdaki gibi
hazırlamışlardır.
Top (adet)
Eflofman (tak›m)
Ayakkab› (çift)
Futbol milli tak›m›
8
20
14
Basketbol milli tak›m›
6
12
8
Bir topun fiyatı: 20 TL , bir eşofman takımının fiyatı: 80 TL , bir çift ayakkabının fiyatı: 90 TL
olduğuna göre, her takım için toplam malzeme tutarını bulalım.
Malzeme miktarlarını gösteren matrisi M, malzeme fiyatlarını gösteren matrisi F ile gösterirsek
R 20 V
S W
8 20 14
M ==
G , F = S 80 W olur.
6 12 8
SS WW
90
T X
R 20 V
8 20 14 S W
8.20 + 20.80 + 14.90
3020
M.F = =
G. S 80 W = =
G==
G bulunur. O halde,
6 12 8 SS WW
6.20 + 12.80 + 8.90
1800
90
T X
futbol milli takımının malzeme tutarı 3020 TL dir. Basketbol milli takımının malzeme tutarı 1800 TL dir.
A ve B gibi iki matrisin çarpımının tanımlı olabilmesi için A matrisinin sütun sayısı, B matrisinin satır sax
yısına eşit olmalıdır. 6 a b c @. > y H = 6 a.x + b.y + c.z @
z
370
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
ÖRNEK 12
ÖRNEK 15
R 6
7 VW
S
1 2 3
A ==
8W
G ve B = S – 1
5 0 4
W
SS
9 –2W
X
T
olmak üzere, A.B matrisini bulunuz.
A ==
a b
G matrisinin her satırının elemanları toplamı
c d
4 ise A2 matrisinin birinci satırındaki elemanların
toplamı kaçtır?
Çözüm
Çözüm
R 3V
S
W
A = [ 2 1 4 ] ve B = S 5 W olduğuna göre,
W
SS
–1W
T
X
A.B matrisini bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 13
ÖRNEK 16
A ==
1
0
2 5
–1 4
G , B ==
G , C ==
G
3 –2
0 6
3 0
olmak üzere,
a.
A.(B.C) matrisini bulunuz.
b.
(A.B).C matrisini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 14
R2 V
S W
A = S 1 W ve B = [ 2 3 4 ] olduğuna göre,
SS WW
0
T X
A.B matrisini bulunuz.
Çözüm
371
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
ÖRNEK 18
A ==
2 3
G
4 1
olmak üzere, A.Ι ve Ι.A matrislerini
bulunuz.
ÖRNEK 17
Çözüm
2 –1
–2 4
1 2
G , B ==
G , C ==
G ise
0
3
3 1
3 0
a.
A.(B + C) matrisini bulunuz.
b.
A.B + A.C matrisini bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
A ==
A.Ι = Ι.A = A dır.
Matrislerde çarpma işlemi ile ilgili özellikler aşağıda
verilmiştir. İnceleyiniz.
A, B ve C matrisleri, aşağıdaki işlemlerin tanımlı
olduğu matrisler ve Ι birim matris, 0 sıfır matris
olmak üzere,
® A.(B.C) = (A.B).C
® A.(B + C) = A.B + A.C
® (A + B).C = A.C + B.C
® A.Ι = Ι.A = A
® A.0 = 0.A = 0 dır.
372
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
ÖRNEK 19
f(x) = x2 – 2x + 3 ve A = =
1 2
G ise
–1 0
f(A) ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 21
A ==
1
3
G ise A2008 matrisini bulunuz.
1 –1
KARE MATRİSİN KUVVETLERİ
m, n ∈ Z+ ,
ESEN YAYINLARI
Çözüm
A bir kare matris ve Ι birim matris
olmak üzere,
A0 = Ι , A1 = A , A2 = A.A , ...., An = An–1.A
(Am)n = Am.n
Ιn = Ι dır.
ÖRNEK 22
ÖRNEK 20
A ==
1 –3
G ise A200 matrisini bulunuz.
0
1
A ==
–2 –2
3
3
G
olduğuna göre A2008 matrisini bu-
lunuz.
Çözüm
Çözüm
373
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
ÖRNEK 23
A ==
2 x 2 türündeki bazı özel matrislerin büyük kuvvet-
2 0
G olduğuna göre A24 matrisini bulunuz.
0 3
leri ile ilgili aşağıdaki sonuçlar elde edilebilir.
ÖRNEK 24
A==
6 –9
G olmak üzere, A41 matrisini bulunuz.
3 –6
Çözüm
374
ESEN YAYINLARI
Çözüm
® A ==
1 0
1 0
G ise A n = =
G
x 1
n.x 1
® A ==
1 x
1 n.x
G ise A n = =
G
0 1
0 1
® A =>
x 0
xn 0
H
H ise A n = >
0 y
0 yn
® A =>
1 0
x
0
G
H ise A 2 = x 2 =
0 1
y –x
® A =;
1 0
x
y
G
E ise A 2 = x 2 =
0 1
0 –x
® A ==
1 1
1 1
G ise A n = 2 n – 1 =
G
1 1
1 1
ÖRNEK 25
Yukarıdaki kurallar yardımıyla çözülen aşağıdaki
soruları inceleyiniz.
® A= =
1 0
G ise A10 =
5 1
® A= =
1 2
G ise A50 =
0 1
® A= =
2 0
G ise A4 = >
0 3
® A= =
2
0
1
G ise A2 = 22. =
3 –2
® A= =
3
5
1
G ise A2 = 32. =
0 –3
® A= =
1 1
1
G ise A19 = 218. =
1 1
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ
A==
ÖRNEK 26
a b
G kare matrisinin tersini bulalım.
c d
A–1 = ;
A ==
x y
E olsun.
z t
4 3
G matrisinin tersini bulunuz.
1 2
Çözüm
A.A–1 = Ι olacağından,
=
a b x y
1 0
G. ;
G
E= =
c d z t
0 1
>
ax + bz ay + bt
1 0
G olur.
H= =
cx + dz cy + dt
0 1
İki matrisin eşitliğinden
ax + bz = 1
d
–c
3 ⇒ x=
, z=
ad – bc
ad – bc
cx + dz = 0
ay + bt = 0
4⇒
cy + dt = 1
ÖRNEK 27
–b
a
y=
, t=
ad – bc
ad – bc
A ==
bulunur. Bu değerler A–1 matrisinde yerine yazılırsa,
–b V
W
d –b
ad – bc W
1
=
E dir.
;
a W ad – bc – c a
ad – bc W
X
A–1 matrisinin tanımlı olabilmesi için ad – bc ≠ 0 ol-
Çözüm: 1. Yol
ESEN YAYINLARI
A–1
R d
S
ad – bc
=S
S –c
S ad – bc
T
1 2
G matrisinin tersini bulunuz.
–1 0
ması gerektiğine dikkat ediniz.
Şimdi A ile bulduğumuz A–1 matrislerini karşılaştıralım.
A=
a
b
c
d
ise A–1 =
d –b
1
G
=
ad – bc – c
a
® A matrisinin 1. köşegenindeki elemanların çarpımı ile 2. köşegenindeki elemanların çarpımının farkının ad – bc olduğuna dikkat ediniz.
® A matrisinin 1. köşegenindeki elemanların yer
değiştirmiş halinin A–1 matrisinin 1. köşegeninde yer aldığını fark ettiniz mi?
® A matrisinin 2. köşegenindeki elemanların ters
işaretlilerinin A–1 matrisinin 2. köşegeninde yer
aldığını gördünüz mü?
375
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
ÖRNEK 28
2 x
A=;
E
3 6
ÖRNEK 30
A= =
matrisinin çarpma işlemine göre tersinin
1 3
4 2
G olduğuna göre,
G ve B–1 = =
1 3
2 0
(A–1.B)–1 matrisini bulunuz.
olmaması için x kaç olmalıdır?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 29
=
a 1
G matrisinin tersi kendisine eşit olduğuna
–3 b
göre a ve b değerlerini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 31
A= =
3 5
1 –2
G matrisleri veriliyor.
G ve B = =
3
3
1 2
A.C = B eşitliğini sağlayan C matrisini bulunuz.
Çözüm
A ve B kare matrislerinin çarpma işlemine göre
tersleri varsa
® (A–1)–1 = A
® (A.B)–1 = B–1.A–1 dir.
376
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
ETKİNLİK
BİR MESAJIN ŞİFRELENMESİ
Bir mesajı matrislerden yararlanarak şifreleyebiliriz. Bunun için alfabemizdeki harflere ve bazı noktalama işaretlerine aşağıdaki tablodaki gibi sayıları karşılık getirelim.
A B C Ç D E F G ⁄ H
0
1
2
3
4
5
6
7
8
I
‹
J
K
L M N O Ö P R S fi T U Ü V Y Z
.
?
!
,
‘ Boflluk
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
34
Şimdi GEOMETRİ sözcüğünü şifreleyelim.
® GEOMETRİ sözcüğündeki harfleri bu tabloya göre bir sayı dizisine dönüştürelim.
G E O M E
7
T R
‹
5 17 15 5 23 20 11
® Bu dizideki sayıları 2 satırlı bir bilgi matrisi biçiminde yazalım. B = =
® Herhangi bir A anahtar matrisi A = =
7 17 5 20
G
5 15 23 11
5 2
G olsun.
2 1
® C = A.B matrisini bulalım. C = A.B = =
5 2 7 17 5 20
45 115 71 122
G=
G==
G
2 1 5 15 23 11
19 49 33 51
® Bulduğumuz C matrisinin bütün elemanlarının mod 35 teki eşitini yazarak K kodlanmış matrisini elde ederiz.
K ==
10 10 1 17
G
19 14 33 16
® K matrisinin elemanları ile elde edilen sayı dizisi 10 19 10 14 1 33 17 16 olur.
Bu dizi, seçtiğimiz GEOMETRİ sözcüğünün şifrelenmiş sayı dizisidir.
Şimdi de bu şifreyi çözerek karşılığı olan sözcüğü bulalım.
® 10 19 10 14 1 33 17 16 dizisini 2 satırlı matris biçiminde yazalım.
=
10 10 1 17
10 10 1 17
G bulduğumuz matris daha önce elde ettiğimiz K matrisidir. K = =
G
19 14 33 16
19 14 33 16
® A anahtar matrisinin tersini bulalım. A–1 = =
® A–1.K çarpım matrisini bulalım. A–1.K = =
1 –2
G dir.
–2
5
1 – 2 10 10 1 17
– 28 – 18 – 65 – 15
G.=
G==
G olur.
–2
5 19 14 33 16
75
50 163
46
® Elde ettiğimiz çarpım matrisinin bütün elemanlarının mod 35 teki eşitini yazalım.
=
7 17 5 20
G bulduğumuz matris daha önce elde ettiğimiz B matrisidir.
5 15 23 11
® Bu matrisin elemanları ile elde edilen sayı dizisi 7 5 17 15 5 23 20 11 olur.
® Bu dizinin elemanlarına karşılık gelen harfleri yazarsak; G E O M E T R İ sözcüğünü elde ederiz.
377
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
BİR MATRİSİN DEVRİĞİ (TRANSPOZU)
A = [aij]mxn
ÖRNEK 34
matrisinin aynı indisli satırlarıyla sü-
tunlarının yer değiştirilmesiyle oluşturulan
A==
[aji]nxm
1 2 3
G olmak üzere, (AT)T matrisini bulunuz.
0 1 4
Çözüm
matrisine A matrisinin devriği denir ve Ad veya AT
ile gösterilir.
a x
a b c
T
A=>
H ⇒ A = > b y H dir.
x y z
c z
ÖRNEK 32
A==
1 2
0 –1
G ve B = =
G olmak üzere,
3 4
5 –2
ÖRNEK 35
AT, BT, AT + BT ve (A + B)T matrislerini bulunuz.
A==
Çözüm
1 2
–2 0
G ve B = =
G olmak üzere,
3 0
1 4
(A.B)T ve BT.AT matrislerini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 33
A= =
1
2 0
G olmak üzere, 2.AT ve (2.A)T mat3 –1 4
rislerini bulunuz.
Çözüm
Bir matrisin transpozu (devriği) ile ilgili özellikler aşağıda bir arada verilmiştir. İnceleyiniz.
k ∈ R olmak üzere A ve B matrisleri için
® (AT)T = A
® (A + B)T = AT + BT
® (k.A)T = k.AT
T –1
® (A )
378
–1 T
= (A )
® (A.B)T = BT.AT
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
ÖRNEK 36
A ==
ÖRNEK 37
a 2
5 5
G ve B = =
G olmak üzere,
1 b
5 5
A herhangi bir reel karesel matris ise aşağıdaki matrislerin simetrik matris olduklarını gösteriniz.
T
A.A = B olduğuna göre a + b değerini bulunuz.
a. AAT
Çözüm
b. ATA
c. A + AT
ESEN YAYINLARI
Çözüm
BAZI ÖZEL MATRİSLER
Simetrik Matris
Bir A = [aij] matrisinde A = AT ise yani
aij = aji ise A matrisine simetrik matris denir.
ÖRNEK 38
Anti-Simetrik Matris
Bir A reel matrisi için AT = – A ise A matrisine
A herhangi bir reel karesel matris olmak üzere,
anti-simetrik matris denir.
C = A – AT ise C nin anti-simetrik matris olduğunu
gösteriniz.
İnvolutif Matris
Çözüm
Bir A reel matrisi için A = A–1 ise A matrisine
involutif matris denir.
Ortogonal Matris
Bir A reel matrisi için A–1 = AT ise A matrisine
ortogonaldir denir.
379
ALIŞTIRMALAR – 1
1.
A ==
1 2 –3
G matrisi için
0 4
5
6.
2a22 – a213 + a23 ifadesinin eşitini bulunuz.
>
2 x –1
z 2x t
4 6 –2
G= =
G
H+ =
y 3
0
3 –2 5
1 1
5
eşitliğini sağlayan x, y, z, t değerleri için
x + y + z + t ifadesinin eşitini bulunuz.
2.
A ==
a –1 2 c
4 2 5
G , B ==
G
b+2 3 5
6 d 5
7.
matrisleri için A = B ise a, b, c, d değerlerini
A = [aij]mxn , B = [bij]mxn , C = [cij]mxn olmak üzere aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş
bulunuz.
kutuya “D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.
A+B=B+A
3.
A=>
2 x log 3 y
z3
t2 + 1
1
H , B => 4
2
H
A + (B + C) = (A + B) + C
– 8 2t
A + (– A) = 0
matrisleri için A = B ise x, y, z, t değerlerini bulunuz.
A ==
–2
3
G matrisinin toplama işlemine göre
4 –5
tersini bulunuz.
5.
2 –1
4 2
1 0
A ==
G , B ==
G ve C = =
G
3
5
–2 6
2 4
ESEN YAYINLARI
4.
k.A = [k.aij]mxn
k.(A + B) = k.A + k.B
(k + p)A = k.A + p.A
(k.p)A = k.(p.A)
8.
olmak üzere, aşağıdakilerin her birini bulunuz.
a.
A+B
b.
A–C
c.
A – 2B
d.
3A + 2C – B
380
9.
R 2V
S
W
A = [1 2 3] , B = S – 1 W matrisleri için A.B ve
SS
W
5W
T
X
B.A matrislerini bulunuz.
R4
2 VW
S
2 –1 0
A ==
G ve B = S 1 – 3 W
3
1 2
W
SS
0
4W
X
T
olmak üzere, A.B matrisini bulunuz.
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
10. A = =
14. A, B ve C birbirleriyle toplanabilen ve çarpılabi-
2 –1
G ise A2 matrisini bulunuz.
3
4
len matrisler olmak üzere, aşağıdaki ifadelerden
doğru olanlar için boş kutuya “D” yanlış olanlar
için “Y” yazınız.
A.B = B.A
A.(B.C) = (A.B).C
R 1 2 3V
R 1V
S
W
S
W
11. A = S 2 1 4 W , B = S – 1 W olmak üzere,
SS
W
SS
W
–1 0 1W
4W
T
X
T
X
A.B matrisini bulunuz.
A(B + C) = (B + C).A
A(B + C) = A.B + A.C
(A + B).C = A.C + B.C
A.Ι = A
R1
2 VW
S
4 5
1 2
12. A = S 3 – 1 W ve B = =
G
2 0 –1 3
WW
SS
2
4
X
T
olmak üzere A.B matrisini bulunuz.
1 –1
0 2
1 –1
G , B ==
G , C ==
G
2
0
–1 4
2
5
ESEN YAYINLARI
13. A = =
15. f(x) = x2 – 3x + 2 ve A = =
1 –2
G ise
0
1
f(A) ifadesinin eşitini bulunuz.
olmak üzere aşağıdakilerin her birini bulunuz.
a. A.(B.C)
16. A = =
1 0
G ise A20 matrisinin eşitini bulunuz.
2 1
17. A = =
1 –3
G ise A41 matrisinin eşitini bulunuz.
0
1
b. A.(B + C)
c. A.B + A.C
d. (A + B).C
e. A.Ι
381
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
18. A = =
2 0
G ise A15 matrisinin eşitini bulunuz.
0 3
23. A = =
4 x
G olmak üzere
2 3
A–1 matrisinin bulunmaması için x kaç olmalıdır?
19. A = =
2
0
G ise A50 ve A51 matrislerini bulu4 –2
nuz.
24. Aşağıdaki matrislerin transpozlarını bulunuz.
a. [ 1 2 3 ]
20. A = =
3
2
G ise A32 ve A33 matrislerini bulu0 –3
21. A = =
1 1
G ise A2008 matrisinin eşitini bulunuz.
1 1
22. Aşağıdaki matrislerin çarpma işlemine göre terslerini bulunuz.
a. =
4 1
G
7 2
b. =
–2 5
G
–1 3
ESEN YAYINLARI
nuz.
b. =
2 1 3
G
–1 4 2
c. =
1
G
–3
R2
1 VW
S
d. S 4 – 2 W
SS
W
1
0W
T
X
25. A = =
c. =
382
4 2
G
5 3
1 2
2 0
G ve B = =
G olmak üzere,
3 4
–1 5
(A.B)T ve BT.AT matrislerini bulunuz.
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
DOĞRUSAL (LİNEER) DENKLEM SİSTEMLERİ
a11, a12, ....., a1n , b1 ∈ R olmak üzere a11x1 + a12x2 + ..... + a1nxn = b1 denklemine doğrusal denklem denir.
Doğrusal denklemlerden oluşan
a11x1 + a12x2 + ..... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ..... + a2nxn = b2
......................................................
am1x1 + am2x2 + ..... + amnxn = bm
ifadesine doğrusal denklem sistemi denir. Sistemin çözümü, sistemdeki her denklemi sağlayan
(x1, x2, ....., xn) sıralı n lisidir.
Doğrusal denklem sisteminin çözümünü temel satır işlemleri yaparak buluruz. Bu işlemler,
®
Sistemde iki denklemin yerlerinin değiştirilmesi
®
Sistemde bir denklemin sıfırdan farklı bir gerçek sayı ile çarpılması
®
Sistemde bir denklemin sıfırdan farklı bir katının bir başka denkleme eklenmesidir.
ÖRNEK 39
ÖRNEK 40
_
x – 2y + z = 0
bb
2x + y – 2z = – 2 `
b
– x + 3y + 2z = 11
a
denklem sisteminin çözümünü temel satır işlemleri
_
bb
`
b
a
denklem sisteminin çözümünü temel satır işlemleri
ile bulunuz.
ile bulunuz.
Çözüm
Çözüm
ESEN YAYINLARI
2x – y – 4z = – 7
x + 2y – 10z = 4
x + y – 5z = 1
383
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
GAUSS YOK ETME YÖNTEMİ
ÖRNEK 42
Matris gösterimi, A.x = B olan bir doğrusal denklem
a + b – 2c = 3 _
b
b
2a – b + c = 5 `
b
a + b – 3c = 2 ba
sistemi çözülürken temel satır işlemleri uygulanarak
A matrisi üst üçgen matrisine dönüştürülür.
R a 11 a 12 a 13 V R x V R b 1 V
WS W S W
S
WS W S W
S
S a 21 a 22 a 23 W S y W = S b 2 W
WS W S W
S
S a 31 a 32 a 33 W S z W S b 3 W
XT X T X
T
denklem sisteminin çözümünü Gauss yok etme yöntemi ile bulunuz.
Çözüm
............................................
R 1 al12 al13 V R x V R bl1 V
WS W S W
S
WS W S W
S
S 0 1 al23 W S y W = S bl2 W
WS W S W
S
S0 0
1 W S z W S bl3 W
XT X T X
T
_
b
bb
2a + 5b – c = 23
`
b
b
– a – 2b + 4c = – 6 a
a + 2b – 3c = 7
denklem sisteminin çözümünü Gauss yok etme yöntemi ile bulunuz.
Çözüm
384
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 41
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
ETKİNLİK
Bir akaryakıt şirketi günlük 600 000 lt akaryakıt dağıtımı için 22 adet tanker satın alacaktır. Bu iş için taşıma
kapasiteleri 12000 lt, 18000 lt ve 30000 lt olan üç çeşit tanker seçilmiştir. Bu tankerlerden kaçar tane alınması gerektiğini bulalım.
x1, x2 ve x3 sırasıyla 12000, 18000 ve 30000 lt kapasiteli tanker sayılarını göstersin. Bu durumda,
x1 + x2 + x3 = 22
12000x1 + 18000x2 + 30000x3 = 600 000
}
Rx V
S 1W
1
1
1
22
GS x2 W = =
G olur.
=
12000 18000 30000 SS WW 600 000
x3
T X
Bu eşitlikten
1
1
1
22
12000 18000 30000 600000
genişletilmiş matrisi elde edilir.
Bulduğumuz genişletilmiş matris üzerinden temel satır işlemleri uygulayalım.
1
1
1
22
12000 18000 30000 600 000
2. sat›r›
1
ile çarpal›m
6000
1
2
1
3
1
5
22
100
1. sat›r›n
–2 kat›n›
2. sat›ra
ekleyelim
1
0
1
1
1
3
22
56
2. sat›r›n
–1 kat›n›
1. sat›ra
ekleyelim
1
0
0
1
–2
3
–34
56
Bu durumda
x1 – 2x3 = – 34 ⇒ x1 = 2x3 – 34
x2 + 3x3 = 56 ⇒ x2 = 56 – 3x3 olur.
x3 = t alırsak
x1 = 2t – 34 , x2 = 56 – 3t , x3 = t elde edilir.
x1, x2 ve x3 değişkenleri tanker sayılarını gösterdiğinden bu değerler birer pozitif tam sayı olmalıdır. O halde,
2t – 34 ≥ 0 _
b
56 – 3t ≥ 0 ` t = 17 veya t = 18 olur. Bu değerlere göre aşağıdaki tablo elde edilir.
b
t ≥ 0a
t
x1
x2
x3
17
0
5
17
18
2
2
18
385
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
GAUSS - JORDAN YOK ETME YÖNTEMİ
Matris gösterimi, A.x = B olan bir doğrusal denklem
sistemi çözülürken temel satır işlemleri uygulanarak
A matrisi, 1. köşegenindeki elemanları 1, diğer elemanları 0 olacak biçime getirilir.
R V
Ra
a 12 a 13 V x
S b1 W
W
S 11
S a 21 a 22 a 23 W . > y H = S b 2 W
S W
W
SS
S b3 W
a 31 a 32 a 33 W z
X
T......................................
T X
R lV
R1 0 0V x
S b1 W
W
S
S 0 1 0 W . > y H = S bl2 W
S W
W
SS
S bl3 W
0 0 1W z
X
T
T X
A
Genişletilmiş
Ι
Matrisi Üzerinden Temel Satır veya Sütun İşlemleri
Bir A Matrisinin Tersini [A Ι ] ,
Uygulayarak Bulma
ÖRNEK 43
A = [ aij ]n x n kare matrisinin tersini bulmak için A matA
risinin genişletilmiş [ A Ι ] veya Ι matrisi yazılır.
_
2x + y – z = 3 b
b
x + 2y + z = 9 `
b
3x + y + 3z = 12
a
Denklem sistemini Gauss - Jordan yok etme yönte-
Temel satır veya sütun işlemleri uygulanarak
[ Ι A–1 ] veya
Ι
bulunur.
A–1
Çözüm
ESEN YAYINLARI
mi ile çözünüz.
ÖRNEK 44
2 5
G matrisinin tersini temel satır işlemleri yar1 3
dımıyla bulunuz.
A ==
Çözüm
386
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
ÖRNEK 45
ÖRNEK 46
2 5
G matrisinin tersini temel sütun işlemleri
1 3
yardımıyla bulunuz.
1
0
A = > 2 –1
4
1
Çözüm
leri yardımıyla bulunuz.
2
2 H matrisinin tersini temel satır işlem8
Çözüm
ESEN YAYINLARI
A ==
387
ALIŞTIRMALAR – 2
1.
4.
a – 2b + 2c = 0
x+y–z=0
a – 3b – 5c = 7
2x – y + z = 3
4a + 3b + 7c = 1
x – 2y + 3z = 8
denklem sisteminin çözüm kümesini temel satır
denklem sisteminin çözüm kümesini Gauss yok
işlemleri ile bulunuz.
etme yöntemi ile bulunuz.
5.
a + b – 2c = –5
2a + b + c = 3
a + 2b + 3c = 12
2.
x – y + 3z = 6
denklem sisteminin çözüm kümesini Gauss-
x – 2y + z = 1
Jordan yok etme yöntemi ile bulunuz.
denklem sisteminin çözüm kümesini temel satır
işlemleri ile bulunuz.
ESEN YAYINLARI
3x – y + 2z = 4
6.
A ==
3 1
G matrisinin tersini ( A I ) genişletilmiş
5 2
matrisi üzerinde temel satır işlemleri uygulayarak
bulunuz.
3.
–2a + b – c = 0
a + b – 2c = 1
a + b – 3c = –2
denklem sisteminin çözüm kümesini Gauss yok
etme yöntemiyle bulunuz.
388
7.
7 4
A genişletilmiş
G matrisinin tersini
2 1
I
matrisi üzerinde temel sütun işlemleri uygulayaA ==
rak bulunuz.
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
DETERMİNANT
ÖRNEK 45
A bir kare matris olmak üzere, A nın determinantı
2007 2005
determinantının eşitini bulunuz.
2009 2006
detA veya |A| biçiminde gösterilir ve aşağıdaki şekilde tanımlanır.
®
A = [a11]1x1 ⇒ |A| = a11
®
A==
Çözüm
a 11 a 12
G ⇒ |A| = a11.a22 – a21.a12
a 21 a 22
ÖRNEK 41
A ==
4 3
G ise |A| değerini bulunuz.
1 2
Çözüm
MİNÖR VE EŞ ÇARPAN (KOFAKTÖR)
A, nxn türünde bir matris olmak üzere, aij nin bulunduğu satır ve sütunun silinmesiyle elde edilen
ÖRNEK 42
x 2
G olmak üzere |A| = 14 ise x kaçtır?
3 4
Çözüm
(n – 1) x (n – 1) türündeki Mij matrisinin determinanESEN YAYINLARI
A ==
tına aij elemanının minörü denir.
Aij = (–1)i+j |Mij| sayısına da aij nin eş çarpanı (kofaktörü) denir.
A=
ÖRNEK 43
sin x cos x
A =;
E ise |A| değerini bulunuz.
– cos x sin x
Çözüm
1 2 3
2 7 4
1 5 6
a23 elemanının minörü
1 2
= 5 – 2 = 3 tür.
1 5
a23 elemanının eş çarpanı
A23 = (–1)2+3.3 = –1.3 = –3 tür.
ÖRNEK 46
ÖRNEK 44
A ==
a+2 a+3
G ise |A| kaçtır?
a
a+1
Çözüm
R 2 3 1V
S
W
A = S 4 0 2 W matrisinin tüm eş çarpanlarını
SS
W
–1 5 6W
T
X
bulunuz.
Çözüm
389
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
ÖRNEK 48
2
1 2
A = 0 – 1 3 determinantını 1. sütuna göre açalım.
3
4 0
Çözüm
SARRUS KURALI
3x3 türündeki bir determinantın ilk iki satırı determinantın altına veya ilk iki sütunu determinantın sağ tarafına yeniden yazılarak aşağıdaki biçimde açılır.
Bir Determinantın Herhangi Bir Satıra Veya
Sütuna Göre Açılımı
|A| = |aij| determinantının i. satıra göre açılımı
n
/
k=1
ESEN YAYINLARI
a b c
d e f
x y z
b
e
y
b
e
c
f
z
c
f
+
+
+
= a.e.z + d.y.c + x.b.f – (x.e.c + a.y.f + d.b.z)
–
a b c
d e f
x y z
a ik .A ik dır.
=
a
d
x
a
d
–
–
–
=
a
d
x
b
e
y
c
f
z
a
d
x
+
–
–
b
e
y
+
+
= a.e.z + b.f.x + c.d.y – (x.e.c + y.f.a + z.d.b)
ÖRNEK 47
2 1 3
A = 1 4 2
–1 0 3
lım.
Çözüm
390
ÖRNEK 49
determinantını 1. satıra göre aça-
2 3
1
0 2 –1
1 4
5
Çözüm
determinantını Sarrus kuralıyla bulunuz.
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
DETERMİNANTIN ÖZELLİKLERİ
Bir determinantın bir satırındaki (veya sütunun-
Bir determinantın bir satırındaki (veya bir sü-
daki) elemanlar
tunundaki) terimlerin tümü sıfır ise determinantın
ile çarpılıp başka bir
satır veya sütuna eklenirse determinantın değeri
değeri sıfırdır.
2 3 5
0 0 0 =0
1 6 8
k ∈ R
değişmez.
0
3 5
0 –2 9 =0
0
1 7
a b c
a
b
c
d e f = d + k.a e + k.b f + k.c
x y z
x
y
z
Bir determinantın iki satırındaki (veya iki sütunundaki) terimler orantılı ise determinantın değeri
sıfırdır.
®
|AT| = |A|
®
|A.B| = |A|.|B|
®
|An| = |A|n
1 2 3
4 1 2 =0
8 2 4
nxn türünden A matrisi için k ∈ R olmak üzere
daki terimlerin 2 katına eşit olduğuna dikkat ediniz.
Bir determinantın iki satırındaki (veya iki sütunun-
ESEN YAYINLARI
Determinantın 3. satırındaki terimlerin 2. satır-
|k.A| = kn|A| dır.
x1 + y1 x2 + y2 x3 + y3
x1 x2 x3
y1 y2 y3
a
b
c
= a b c + a b c
d
e
f
d e f
d e f
daki) terimler yer değiştirirse determinant işaret
değiştirir.
a b c
x y z
2 3 4 =– 2 3 4
x y z
a b c
a x 1
x a 1
b y 2 =– y b 2
c z 3
z c 3
ÖRNEK 50
R2 3
1 VW
S
A = S 1 1 – 2 W matrisinin determinantını bulunuz.
SS
W
1 1 –3W
T
X
Çözüm
Bir determinantın herhangi bir satır veya sütunundaki tüm elemanlar k ∈ R ile çarpılırsa determinant k ile çarpılmış olur.
k.a k.b k.c
a b c
x
y
z = k. x y z
d
e
f
d e f
391
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
ÖRNEK 51
ÖRNEK 54
R1 2
0 VW
S
A = S 2 1 – 2 W olmak üzere |A–1| determinantını
SS
W
3 4
2W
T
X
bulunuz.
R sin x V
S
W
A = S cos x W olmak üzere |A.AT| determinantının
SS
W
1 W
T
X
eşitini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 52
A==
6 5
G ise |A5| determinantını bulunuz.
2 2
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 55
2 3 –1
4
|A.B| = 5 0
2 1
3
tını bulunuz.
ve |B| = 17 ise |A| determinan-
Çözüm
ÖRNEK 53
A ==
3
4
2 3
G ve B = =
G olmak üzere,
–1 – 2
1 2
|A3.B4| determinantını bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 56
R 15 16
18 VW
S
A=S 0 0
0 W matrisinin determinantını buluSS
W
20 12 – 11 W
T
X
nuz.
Çözüm
392
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
ÖRNEK 57
A ==
ÖRNEK 60
5 7
G olmak üzere,
4 6
2x + m – 2
= 0 denkleminin bir kökü 2 ise diğer
m–1
x
|10.A| determinantını bulunuz.
kökü kaçtır?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 58
5 4 –2
3 1
0 determinantını iki determinantın toplamı
4 2
6
biçiminde yazınız.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 61
A
z
y
c
D
b
E
x
ÖRNEK 59
2 –1 3
2
– 1 3a
5
0 2 = x ise
5
0 2a
–3 –2 1
– 3b – 2b ab
determinantının x cinsinden değerini bulunuz.
Çözüm
B
ise
a
C
ABC üçgeninde [DE] // [BC] dir. Buna göre
a b c
2 3 6 determinantının değerini bulunuz.
x z y
Çözüm
393
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
ÖRNEK 62
1
2 –1
–2 –4
2
1
0
3
–1
2 –2
ÖRNEK 64
3
1
2
4
Düzlemde (x1, y1) ve (x2, y2) noktalarından geçen
doğru denkleminin
determinantının eşitini bulunuz.
x y 1
x 1 y 1 1 = 0 biçiminde yazılabileceğini gösteriniz.
x2 y2 1
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 63
2
1 4
x
y 3 = 3 doğrusunun eğimini bulunuz.
0 –1 5
Çözüm
EK (ADJOİNT) MATRİS
Bir A kare matrisinin her elemanının yerine o elemanın kofaktörünün yazılmasıyla oluşan matrisin devriğine A matrisinin ek matrisi denir ve Ek(A) biçiminde gösterilir.
A==
a 11 a 12
A 11 A 12 T
G ⇒ Ek(A) = =
G
a 21 a 22
A 21 A 22
R
VT
Ra
a 12 a 13 V
S A 11 A 12 A 13 W
S 11
W
A = S a 21 a 22 a 23 W ⇒ Ek(A) = S A 21 A 22 A 23 W
S
W
SS
W
S A 31 A 32 A 33 W
a 31 a 32 a 33 W
X
T
T
X
394
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
ÖRNEK 65
A ==
2 3
G matrisinin ek matrisini bulunuz.
1 4
Çözüm
Bir Matrisin Tersinin Ek Matris Yardımıyla
Bulunması
A kare matrisinde |A| ≠ 0 olmak üzere,
rilen matriste birinci köşegendeki elemanların yeri,
A==
ikinci köşegendeki elemanların işareti değiştirilir.
a b
d –b
G ⇒ Ek(A) = =
G dir.
c d
–c
a
ÖRNEK 66
R2
3
1 VW
S
A = S4 – 2
0 W matrisinin ek matrisini bulunuz.
SS
W
5
6 –1W
T
X
Çözüm
a b
d –b
G ⇒ Ek(A) = =
G olduğundan,
c d
–c
a
d –b
1
G
=
A –c
a
A–1 =
ESEN YAYINLARI
A==
1
Ek(A) dır.
A
A–1 =
2x2 türünde bir matrisin ek matrisi bulunurken, ve-
dir.
ÖRNEK 67
A ==
4 5
G matrisinin tersini bulunuz.
2 3
Çözüm
ÖRNEK 68
A ==
5 x
G
3 2
matrisinin tersinin bulunmaması için x
kaç olmalıdır?
Çözüm
395
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
Doğrusal Denklem Sisteminin Ters Matris
ÖRNEK 69
Yardımıyla Çözümü
R1
2 – 1 VW
S
A = S2
1
1 W matrisinin tersini ek matris yardıSS
W
3 – 2 –1W
T
X
mıyla bulunuz.
Matris gösterimi A.X = B olan doğrusal denklem sistemlerini X = A–1B biçiminde göstererek çözebiliriz.
Çözüm
ÖRNEK 70
x – y = – 1_
b denklem sistemini ters matris
2y + z = 3 `
b yardımıyla çözelim.
x – 3z = 4 a
ESEN YAYINLARI
Çözüm
396
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
ÖRNEK 71
2x – y = 5
4 sistemini Cramer kuralı ile çözelim.
x+y = 4
Çözüm
CRAMER KURALI
_
bb
`
b
a
ÖRNEK 72
denklem sisteminde
a1 b1 c1
|A| = a 2 b 2 c 2
a3 b3 c3
d1 b1 c1
, |Ax| = d 2 b 2 c 2
d3 b3 c3
ESEN YAYINLARI
a1 x + b1 y + c1 z = d1
a2 x + b2 y + c2 z = d2
a3 x + b3 y + c3 z = d3
_
x – y + z = 2 b sistemini Cramer kuralıyla
b
2x + y – z = 1 ` çözelim.
b
x + 3y – 2z = 1
a
Çözüm
a1 d1 c1
a1 b1 d1
|Ay| = a 2 d 2 c 2 , |Az| = a 2 b 2 d 2
a3 d3 c3
a3 b3 d3
olmak üzere,
x=
Ax
Ay
, y=
A
A
®
|A| ≠ 0 ise sistemin tek çözümü vardır.
®
|A| = |Ax| = |Ay| = |Az| = 0 ise sistemin çözüm kü-
, z=
Az
A
dır.
mesi sonsuz elemanlıdır.
®
|A| = 0 iken |Ax| , |Ay| , |Az| den en az biri sıfırdan farklı ise sistemin çözüm kümesi Ø dir.
397
ALIŞTIRMALAR – 3
Aşağıdaki determinantların eşitini bulunuz.
a.
2.
5 12
4 10
4
2 1
A = 3 –1 0
5
1 2
olmak üzere A matrisinin tüm eş çarpanlarını
bulunuz.
b.
–3 2
–1 4
c.
x x+1
x x –1
3.
d.
1987 1988
1989 1990
e.
1991 1992
1993 1994
f.
1
3 0
2 –1 4
1
2 1
g.
2 –1 3
1
4 2
0
1 2
h.
10 20 30
0
0 0
4 – 2 70
2 1 3
A = –1 0 4
1 2 5
determinantını 2. satıra göre açınız.
ESEN YAYINLARI
1.
4.
1 –2 4
–1
1 2
0
3 5
determinantını 3. satıra göre açınız.
5.
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş kutuya “D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.
|AT| = |A|
ı.
i.
398
–2 0
0
3 1
4
1 2 –1
a b c
d e
f
2a 2b 2c
|A.B| = |A|.|B|
|An| = |A|n
|k.A| = k.|A|
|I| = 0
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
A=
6.
10. A(2, 1) ve B(–3, 2) noktalarından geçen doğru-
5 9
2 4
nun denklemini determinant yardımıyla bulunuz.
olmak üzere, |A4| determinantının eşitini bulunuz.
2 1
5 9
A ==
G ve B = =
G
4 3
1 2
7.
11.
olmak üzere, |A2.B4| determinantının eşitini bulunuz.
8.
doğrusunun eğimini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
R2
1 3 VW
S
A = S4 – 1 2 W
SS
W
1
0 3W
T
X
olmak üzere, |A–1| determinantının eşitini bulu-
3
x y
1 –1 3 = 2
4
1 2
12.
A ==
2 1
G
4 3
matrisinin ek matrisini bulunuz.
nuz.
9.
2 1
0
A.B = 1 3 – 2
4 1
3
ve
|B| = 2
olmak üzere, |A| determinantının eşitini bulunuz.
R1
2 3 VW
S
13.
A = S1 – 1 0 W
SS
W
4
1 3W
T
X
matrisinin ek matrisini ve ek matristen yararlanarak A–1 matrisini bulunuz.
399
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
14. Aşağıdaki matrislerin çarpmaya göre terslerini ek
17. 3x + 2y = 1
matris yardımıyla bulunuz.
a. =
4 6
G
3 5
b. =
2
2
G
2 –1
2x + 5y = –14
denklem sistemini Cramer kuralıyla çözünüz.
18. Aşağıdaki denklem sistemlerini Cramer kuralıyla
c. =
çözünüz.
0 1
G
3 4
a. 2x – y + z = 3
x + 2y – z = 2
x – y + 4z = 11
b. x + y + z = 3
15. x + y = 3
2x – z = 0
3y – 2z = 2
denklem sisteminin çözüm kümesini ters matris
ESEN YAYINLARI
x – y + 2z = 1
3x – 2y + z = 4
c. 2x – y + 2z = 11
x + 2y + 3z = 9
2x + y – z = 0
yardımıyla bulunuz.
16. x + y + z = 3
x – y + 2z = 4
y+z=1
denklem sisteminin çözüm kümesini ters matris
yardımıyla bulunuz.
400
1
2 –1 3
–2 –4
2 1
19.
1
0
3 2
–1
2 –2 4
determinantının eşitini bulunuz.
TEST – 1
1.
x–y 4
6 t –1
G ve B = =
G olmak
x
z
–3
1
üzere, A = B ise x + y + z + t kaçtır?
A ==
A) –8
B) – 6
C) –5
D) 5
5.
A ==
1 –1
G
2
0
3.
E) 6
A) =
–4 1
G
–2 4
1 –1 0
2
4
6
G ve =
G olmak üze2
3 4
0 –2 –4
B
matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
re, 3A –
2
B) =
–4 1
G
–2 2
– 4 –1
G
–2
4
E) =
C) =
–4
1
G
2 –4
– 4 –1
G
2 –4
A ==
2 –5 –3
G
6 10
8
B) =
2 5 –3
G
6 10 14
C) =
2 5 3
G
6 10 8
D) =
–2 5 –3
G
6 10 14
E) =
2 –5 –3
G
6 10 14
6.
ESEN YAYINLARI
A) =
1 2
A ==
G olmak üzere,
–2 3
7.
A + AT matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
A) =
2 4
–4 6
D) =
4.
–1 2
G olmak üzere,
3 1
A.B matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
D) =
2.
B ==
ve
3.A + =
B) =
G
0 4
G
–4 0
0 2
G
6 0
E) =
C) =
2 0
G
0 6
– 3 –1
0 1
G = 2=
G eşitliğini sağlayan
2
5
–2 1
1 –1
G
–2
1
D) =
B) =
1
1
G
2 –1
1
1
G
– 2 –1
E) =
R0 V
S W
A = [ 1 2 –1 ] ve B = S 1 W ise
SS WW
2
T X
B.A matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
A) [ 0 ]
2 –4
G
4 –6
C) =
1 –1
G
– 2 –1
8.
A ==
B) [ 2 ]
C) [ 0 2 –2 ]
R0
R0 0
1
2 VW
0 VW
S
S
D) S 0
2
4 W E) S 1 2 – 1 W
SS
W
SS
W
0 –1 – 2W
2 4 –2W
T
X
T
X
1
2
G ise
3 –1
A2
matrisi aşağıdakilerden
hangisidir?
A matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
A) =
R 1V
W
S
A = 6 2 1 3 @ ve B = S – 1 W ise
W
SS
0W
X
T
A.B matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
R 2V
S
W
A) [ 2 –1 0 ]
B) S – 1 W
C) [ 1 ]
SS
W
0W
T
X
D) [ 2 ]
E) [ –2 1 0 ]
1 1
G
–2 1
A) =
–7 0
G
0 7
D) =
7 0
G
0 7
B) =
0 7
G
–7 0
E) =
C) =
–7
0
G
0 –7
0 7
G
7 0
405
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
A ==
9.
1 0
G
–1 2
ve
13. A = =
f(x) = x2 + 2x ise
3 0
G
–5 8
D) =
B) =
3
0
G
5 –8
C) =
E) =
3
0
G
0 –8
3 0
G
0 8
A10
ise
matrisi aşağıdakilerden
hangisidir?
f(A) matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
A) =
2 1
G
0 2
3
0
G
–5 –8
A) 210 =
1 4
G
0 1
B) 210 =
D) 210 =
2 10
G
0 2
2 9
G
0 2
E) 29 =
C) 29 =
2 9
G
0 2
2 10
G
0 2
10. x2 – 4x + n = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2
olmak üzere,
14. A = =
2 x1 – 1 1
6 2
=
G.=
G ise n kaçtır?
G==
x
0
1 0
–1 1
2
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
–1 –1
G
3
3
ise A2008 matrisi aşağıdakiler-
den hangisidir?
E) 9
A) 22007.A
B) 22008.A
E) 22006.A
ESEN YAYINLARI
D) 22008.Ι
C) 22007.Ι
11. =
log 2 x 2
1 Iny
7
2
G. =
G= >
H
1
–1 3 0
– 2 Iny
eşitliğini sağlayan x + y kaçtır?
A) e2 + 2
15. A = =
C) e2 + 1
B) e + 2
D) e + 1
2
3
G ise A1001 matrisi aşağıdakilerden
0 –2
hangisidir?
E) e + 3
A) 21000.Ι
B) 21001.Ι
D) 21001.A
12. A = =
1 4
G
0 1
A20
ise
C) 21000.A
E) 2500.A
matrisi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) >
1 2 40
H
0 1
D) =
1.B
2.E
406
B) >
1 2 20
H
0 1
1 40
G
0 1
E) =
3.C
5.A
4.B
C) =
1 80
G
0 1
16. A = =
1 20
G
0 1
6.C
A) 5
7.E
8.D
9.A
10.D
1 1
G
1 1
ve
An = =
B) 6
11.A
64 64
G ise n kaçtır?
64 64
C) 7
12.C
13.E
D) 8
14.A
E) 9
15.C
16.C
TEST – 4
1.
A ==
1 –1
G
2
3
ve
B ==
a b
G olmak üzere,
c d
5.
A = [ sinx cosx ]
ve B = =
sin x
sin x
G
cos x – cos x
olmak üzere A.B matrisi aşağıdakilerden hangi-
AT + B = A2 ise a + b + c + d kaçtır?
sidir?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
A) [ cos2x 1 ]
B) 0
D) [ 1 –cos2x ]
2.
A ==
2 –2
G
3
4
ve
B ==
a b
G olmak üzere,
c d
6.
A.B = 4A eşitliğini sağlayan B matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
–2
0
G
0 –2
B) =
–4
0
G
0 –4
0 4
D) =
G
4 0
C) =
A) 8
7.
3.
A==
2
1
G
x –2
ve
B=>
5 6
H
6 y
a b
G matrisinde her satırın terimleri toplac d
mı 4 ise A2 matrisinin 1. satırındaki terimlerin
A ==
toplamı kaçtır?
2 0
G
0 2
4 0
E) =
G
0 4
E) [ 1 cosx ]
B) 12
C) 16
D) 20
E) 24
ESEN YAYINLARI
A) =
C) [ cosx sinx ]
olmak üzere,
x
2
1
5
G , B = = G ve C = = G
y
3 –1
5
olmak üzere, A.C = B eşitliğini sağlayan x + y
A ==
değeri kaçtır?
T
A.A = B ise x + y kaçtır?
A) 26
B) 24
C) 22
A) 2
D) 18
4.
ve
0 7
C==
G
12 0
olmak üzere, x.A + y.B = C ise x + y kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
C) 4
D) 5
E) 6
E) 16
8.
0 2
0 3
A==
G, B==
G
5 0
2 0
B) 3
E) 7
A ==
1 2
G olduğuna göre,
3 7
A–1 aşağıdakilerden hangisidir?
A) =
–7
2
G
3 –1
D) =
7 3
G
2 1
B) =
–1
3
G
2 –7
E) =
C) =
1 –3
G
–2
7
7 –2
G
–3
1
411
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
A ==
9.
13. A = [aij]2x2 matrisi için
1 –2
G olmak üzere,
4
6
1
4
A. = G = = G
2
7
1 –6
A.BT = =
G eşitliğini sağlayan B matrisi
4 32
aşağıdakilerden hangisidir?
A) =
1 0
G
2 4
B) =
D) =
1 2
G
0 4
2 1
G
4 0
C) =
E) =
a b
G
1 0
ve
B ==
A) =
2 4
G
1 0
3
G
–4
0 2b – 1
G olmak üzere,
c
8
da
C) – 6
11. A = =
2 0
G ve
0 3
B ==
D) –5
–4 4
G olmak üzere,
6 12
A .B matrisi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
2 –2
G
4
2
D) =
12. A = =
B) =
–2 2
G
4 2
1 0
G
2 3
ve
2 4
G
–2 2
E) =
3
B= = G
1
1.C
2.E
412
5
B) = G
3
3.B
3
C) = G
9
4.A
5.D
4
G
–3
C) =
–3
G
4
1
E) = G
3
–4
G
3
|A|
determinantının değeri değişmediğine
C) =
2 –2
G
2
4
B) –1
C) 0
R 1 –3 –4V
S
W
3
4W
15. A = S – 1
SS
W
1 –3 –4W
T
X
lerden hangisidir?
R1 0
S
A) A
B) S 0 1
SS
0 0
T
D) 2A
D) 1
E) 2
ise A2 matrisi aşağıdaki-
0 VW
0W
W
1W
X
R0 1 1 V
S
W
C) S 1 0 1 W
W
SS
1 1 0W
T
X
E) 0
–2 2
G
2 4
ise AT.B matrisi
R 2 –2 –4V
S
W
16. A = S – 1
3
4W
SS
W
1 –2 –3W
T
X
lerden hangisidir?
A) A
aşağıdakilerden hangisidir?
3
A) = G
5
–3
G
2
x 2
G matrisinin her elemanı 4 azaltıldığın4 5
A) –2
E) – 4
–1
A) =
ise A. =
göre x kaçtır?
ESEN YAYINLARI
B) –7
B) =
D) =
0 1
G
4 2
A–1 = B ise a + b + c kaçtır?
A) –8
–1
1
G= = G
3
8
matrisi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
14. A = =
10. A = =
A. =
ve
9
D) = G
3
6.C
5
E) = G
9
7.B
8.E
9.A
10.C
ise A2 matrisi aşağıdaki-
B) 2A
R1 0 0 V
S
W
D) S 0 1 0 W
SS
W
0 0 1W
T
X
11.E
12.B
C) 0
R 2 –2 –4V
S
W
E) S 1 – 3 – 4 W
SS
W
–1
2
3W
T
X
13.D
14.D
15.E
16.A
TEST – 7
1.
5.
Mertebeleri m.n ve u.v olan iki matrisin çarpılabilmesi için aşağıdakilerden hangisi sağlanma-
A =>
lıdır?
A) m = n
B) m = v
D) m = u
Elemanları (Z/3, + , .) olan
2 1
H ve
2 0
A.B aşağıdakilerden hangisidir?
E) n = u
1 0
H
0 1
D) >
=
a+b
– 2a + b
4
G+ =
G= =
G
3–a
–2
a–b
6.
eşitliğini sağlayan a ve b nin değerleri aşağı-
A) a = 2 , b = 3
B) a = 2 , b = 2
C) a = 3 , b = 2
D) a = 3 , b = 3
B) B
1 0
D) =
G
0 1
A ==
7.
C) B.A
A) =
6 2
G
0 4
D) =
B) =
27 19
G
0 8
9 5
G
0 4
E) =
a b
x y
G matrisinin tersi, A–1 = ;
E gibi bir
c d
z t
A) ad + bc = 1
B) ad – bc = 1
C) ab + cd = 1
D) ab – cd = 1
1 2 2 1
.
3 4 1 3
A) –10
gisidir?
C) =
27 0
G
19 8
18 10
G
0 8
2 1
H
1 2
çarpımı aşağıdaki sayılardan han-
gisine eşittir?
a
E) ; E
b
3 1
G ise A3 matrisi aşağıdakilerden han0 2
E) >
2 1
H
2 2
E) ac – bd = 1
8.
4.
C) >
aşağıdaki bağıntılardan hangisi sağlanmalıdır?
ESEN YAYINLARI
A) A
1– b
b
G ise A.B nedir?
a
1– a
2 2
H
1 2
2 1
H
2 0
matristir. x, y, z, t nin birer tam sayı olması için
E) a = 1 , b = 2
A = [ a b ] ve B = =
B) >
a, b, c, d birer tam sayı olmak üzere,
A ==
dakilerden hangisidir?
3.
1 1
H
0 2
matrisleri için de çarpma kuralı geçerli ise
C) n = v
A) >
2.
B =>
B) –15
C) –20
D) –25
E) –30
Aşağıdakilerden hangisi A(–1, 3) ve B(2, 4)
noktalarından geçen doğrunun denklemi değildir?
A) y = 1 (x + 10)
3
C)
x –1 y+3
=0
3
1
y–3
2
x
D) – 1
2
B)
x+1
6
y 1
3 1 =0
4 1
=
E) 3y – x = 10
417
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
1 – sin x
cos x
9.
f(x) =
log 2
1
– sin x
2
13. A = =
ise
cos x
2
2
3 –1
2
D)
1 0
G olduğuna göre,
0 1
toplamı kaçtır?
2 –1
2
B)
ve Ι = =
det(A – λΙ) = 0 eşitliğini sağlayan λ değerlerinin
r
f b l in değeri nedir?
8
A)
2 1
G
9 2
A) 0
2 +2
2
C)
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
3 +1
2
E)
14. A = =
cos i – sin i
G ise AT.A matrisi aşağıdakisin i cos i
lerden hangisine eşittir?
R
1 VW
–1 2 S a
1 0
6W
10. >
=
H. SS 1
H olduğuna göre,
>
W
b WW 0 1
3 6 SS
4
X
T
a.b çarpımı kaçtır?
1
4
B) –
1
6
C) –
1
8
D) –
1
12
E) –
1
2
11. A = =
G
4 –3
ve
1 0
G
0 1
B) =
cos i
sin i
G
– sin i cos 2 i
C) =
sin i – cos i
G
cos i
sin i
D) >
cos 2 i – sin 2i
H
sin 2i
cos 2 i
E) =
cos 2i
0
G
0
cos 2i
1
24
ESEN YAYINLARI
A) –
A) =
15. a, b, c, d ardışık dört çift sayı ise
a b
c d
determinantının değeri aşağıdakilerden
hangisidir?
g(x) = x2 + 2x – 11 ise
A) – 8
B) – 6
C) – 4
D) –2
E) 0
g(A) matrisi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) =
1
2
G
4 –3
D) =
B) =
2
4
G
8 –6
9 –4
G
– 8 17
E) =
C) 0
0 – 11
G
– 11
0
16. A = =
cos 20° – sin 20°
G ve
sin 20° cos 20°
cos 40° – sin 40°
G
sin 40° cos 40°
A.B matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
B ==
a2
0
0
0
0
12.
0 0 0
0
a4 0 0
0
0 a6 0
0 = an
8
0 0 a
0
0 0 0 a 10
A) 32
1.E
2.A
418
B) 30
3.A
C) 28
4.D
A)
ise n kaçtır?
D) 26
5.C
6.B
C)
>
>
1
E) =
E) 24
7.A
1
4
8.C
9.C
1
– 3
3
1
–
3
3
1
H
B)
H
D)
1
2
>
1
2
>
3
–1
H
1
3
1
– 3
3
1
H
1 0
G
0 1
10.E
11.C
12.B
13.E
14.A
15.A
16.D
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI
1.
4.
1981 – ÖYS
Yandaki şekilde
A
[DE] // [BC] dir.
n
p
c
ABC üçgeninin
D
kenarları a, b, c
m
b
hangi noktaya dönüştürür?
E
A) (– 4, 6)
ve ADE üçgeninin kenarları
m, n, p
1 2
m n
a b
1982 – ÖYS
a b
T ==
G matrisi A(1, 2) noktasını (–2, 3)
c d
noktasına dönüştürüyorsa B(2, 4) noktasını
B
C
a
B) c –1,
D) (4, –6)
3
m
2
C) (2, –3)
E) (–2, 3)
olduğuna göre,
3
p determinantının değeri nedir?
c
A) 6
5.
B) 3
C) 2
D) 1
E) 0
1984 – ÖYS
a b
A ==
G biçiminde bir matrisin tersi
c d
A–1 =
A==
d –b
1
G dır.
=
det A – c
a
1 1
1 1
G, B==
G olduğuna göre,
0 1
1 2
AX = B eşitliğini sağlayan X matrisinin tüm ele2.
1981 –
a
M ==
c
lamı 3
ÖYS
b
G matrisinde her satırın terimleri topd
olduğuna göre, M2 matrisinin 1. satır
terimleri toplamı nedir?
A) 6
B) 9
C) 12
ESEN YAYINLARI
manlarının toplamı kaçtır?
A) 0
6.
D) 15
E) 18
B) 1
7.
1982 – ÖYS
A ==
1 –1
G ise A15 matrisi aşağıdakilerden
3
1
hangisidir?
A) (–2)15 =
1
3
1
E) 215 =
1
C) 415 =
1 0
G
0 1
–1
G
1
–1
G
0
1 –1
G
0
1
1 0
D) 415 =
G
0 1
B) (–2)15 =
D) 3
E) 4
1985 – ÖYS
R
V
S a 1W
3W
S
S 1
W matrisinin tersi kendisine eşit olduğuna
b WW
SS
12
T
X
göre, a aşağıdakilerden hangisidir?
B) 1
2
A) 0
3.
C) 2
C) 1
3
D)
17
6
E)
1986 – ÖYS
3
2 1986
G
=
0 –3
matrisinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B) >
A) 0
C) >
3 993
2 993
H
0
– 3 993
E) 9993 =
3 1986 2 1986
H
0
3 1986
D) 31986 =
3 0
G
0 3
1 0
G
0 1
419
35
6
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
8.
1987 – ÖYS
a b
1 3
A==
G olduğuna göre,
G ve A–1 = =
c d
2 5
c kaçtır?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
12. 1989 – ÖYS
=
a b
G matrisinin elemanları k
c x
artırıldığında, determinantı değişmediğine göre,
x in değeri aşağıdakilerden hangisidir?
E) 1
A) a + b – c
B) b + c – a
D) a + b + c
9.
K, 2x2 türünde bir matris olmak üzere,
x 1 x
2 3 4 = 16 denkleminin kökü kaçtır?
x 5 x
C) –2
D) –3
–1
2
3
0
K. = G = = G ve K. =
G = = G ise
0
1
2
1
K. =
E) –4
ESEN YAYINLARI
B) –1
C) c + a – b
E) –a – b – c
13. 1990 – ÖYS
1987 – ÖYS
A) 0
(k ≠ 0) kadar
2
G aşağıdakilerden hangisidir?
–1
A) =
–9
G
7
B) =
–7
G
–4
0
D) = G
7
C) =
–3
G
2
2
E) = G
0
10. 1988 – ÖYS
99876 99877
99874 99875
14. 1991 – ÖYS
determinantının değeri kaçtır?
A) (99870)2
B) 99872
D) 4
C) 99882
E) 2
Ra V
S W
S2 W
[ 1 2 a 5]. S W = [ 0 ] olduğuna göre, a kaçtır?
S3 W
S4 W
T X
A) – 6
11. 1988 – ÖYS
Amxm matrisi ve B = AT + A verildiğine göre,
BT aşağıdakilerden hangisine eşittir?
(AT, A matrisinin transpozesidir (devriğidir).)
A) B–1
420
B) B
C) A–1
D) AT
E) A
B) – 4
C) 3
D) 4
E) 5
15. 1992 – ÖYS
R 1 –1V
a · ·
W 1 2 4
S
W
S 2
1 .=
G= > · b · H
W 2 1 5
SS
–1
2W
· · c
X
T
ise a + b + c toplamı kaçtır?
A) 11
B) 10
C) 2
D) –1
E) –2
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
16. 1992 – ÖYS
1376 1375
1375 1376
20. 1995 – ÖYS
–1 1
A==
G
1 0
determinantının değeri kaçtır?
A) 7253
B) 3502
D) 2750
ve B = ;
x y
E olmak üzere,
z t
A.B = A – B olduğuna göre, B matrisi aşağıda-
C) 2751
kilerden hangisidir?
E) 1
A) =
–3 2
G
6 3
D) =
B) =
–5 0
G
1 7
1 0
G
7 8
E) =
C) =
2 –1
G
–1
1
4
3
G
1 –2
17. 1993 – ÖYS
1 2 2
1 2
1 0
=
G – 2=
G+=
G
–3 4
–3 4
0 1
toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) =
6 –6
G
–9
3
B) =
6 –6
G
9 –3
–6
6
D) =
G
9 –3
C) =
–6 6
G
–9 3
21. 1996 – ÖYS
6 6
E) =
G
9 3
A=>
x
2
H matrisi için, A–1.A = A2 olduğuna
y –2
18. 1994 – ÖYS
i2 =
1
0
0
–1 olduğuna göre,
i i+1
1 i – 1 determinantının değeri aşağıdakii
i
lerden hangisine eşittir?
A) 2i – 1
B) 2i + 1
D) 0
C) i
ESEN YAYINLARI
göre, x.y çarpımı kaçtır?
A) –5
B) –4
C) –3
D) –2
E) –1
22. 1996 – ÖYS
R1 3
5 VW
S
S3 0
7 W matrisinin, ters matrisinin olmaW
SS
1 3 a–9W
T
X
ması için, a kaç olmalıdır?
E) 1
A) 15
B) 14
C) 11
D) 6
E) 5
D) 1
E) 2
19. 1994 – ÖYS
1 2
G oldu2 4
ğuna göre, A2 – 4A + 4Ι işleminin sonucu aşaΙ, 2x2 türünde bir matris ve A = =
ğıdaki matrislerden hangisidir?
A) =
3 6
G
8 8
5 2
D) =
G
2 8
B) =
3 6
G
6 9
C) =
6 2
E) =
G
3 2
5 3
G
3 8
23. 1997 – ÖYS
3
a
1
–1
G. = G = =
G
=
2 a+1 x
2
olduğuna göre, a kaçtır?
A) –3
B) –2
C) –1
421
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
28. 2007 – ÖSS
1 0
A ==
G
–1 1
24. 1997 – ÖYS
0
3 –2 1
–3
0
2 4
2 –2
0 0
–1 – 4
0 0
B) 28
1 0
G
1 1
matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
C) 47
D) 93
A) =
E) 100
1 –2
G
0
1
D) =
25. 1998 – ÖYS
1 4
A ==
G ve
–5 2
B ==
matrisleri için A.X = B denklemini sağlayan X
determinantının değeri kaçtır?
A) 10
ve
B ==
0 1
G
1 0
–1
0
G
1 –2
C) =
E) =
1 0
G
2 1
0 –1
G
2
1
29. 2009 – ÖSS
R1
R5 V
1 – 1 VW x
S
S W
S1 – 1
1 W> y H = S 3 W
W
SS
SS WW
1
2
3W z
2
X
T
T X
Yukarıda matris gösterimi verilen doğrusal denk-
2
3 4
G
0 –2 1
olduğuna göre (A.B)t aşağıdakilerden hangisi-
lem sisteminin çözümünde x kaçtır?
A) 4
ESEN YAYINLARI
dir? (At: A matrisinin devriği (transpozesi))
R2
R 2 – 10 V
1 VW
S
S
W
A) S 0 – 19 W
B) S – 5 – 19 W
SS
W
SS
W
8 – 18 W
8 – 18 W
T
X
T
X
R 3 – 10 V
S
W
2 –5 0
C) S – 5 – 19 W
D) =
G
– 10 – 17 3
SS
WW
7 – 18
T
X
3 8 –5
E) =
G
10 19 18
B) =
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
30. 2010 – LYS
2 –3 2
1
2 0
2
3 0
determinantının değeri kaçtır?
A) –1
B) –2
C) –3
D) – 4
E) –6
26. 1998 – ÖYS
1998 1990
2006 1998
A) 8
determinantının değeri kaçtır?
B) 16
C) 32
D) 64
E) 128
31. 2010 – LYS
2 4
A==
G
1 3
matrisinin devriği At ve ters matrisi A–1 olduğuna
göre, At.A–1 çarpımı aşağıdakilerden hangisidir?
R
S
A) SS
SS
T
27. 2006 – ÖSS
log 2 8 log 4 5
log 5 4
1
log 27 3
determinantının değeri kaçtır?
A) 10
422
B) 9
C) 8
D) 6
E) 5
R
V
R3
V
5
S –2
–3 W
S
W
–
2
2
W B) S 2
W C) S
S
W
9
W
– 5 WW
SS 1
SS 3
3 W
2
T
X
T
X
V
R 9
R – 3 –1 V
S
3W
S
W
2
W
S
W
D) S
E) S 5
W
–5
SS
– 2 WW
– 1 WW
SS
2
2
T
X
X
T
–9
2
5
2
V
W
W
W
WW
X
Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri
32. 2010 – LYS
36. 2012 – LYS
2x + 2y – z = 1
Bir A matrisinin çarpma işlemine göre tersi A–1
x+y+z=2
olmak üzere,
y–z=1
6 2 1 @.=
Yukarıdaki denklem sisteminin çözümünde x
kaçtır?
B) –2
C) –1
D) 0
E) 3
A) 1
33. 2011 – LYS
1 1
A==
G
0 1
–1
1
. = G = 6a@
4
matrisleri veriliyor.
D) 4
E) 5
D) 2
A==
2 3
B==
1 2
1 2
0 5
G
G
x
1
(2A – B). = G = = G
y
0
E) 4
ESEN YAYINLARI
C) 1
34. 2011 – LYS
1 2
x
1
=
G . = G = = G olduğuna göre,
–1 3
y
9
olan doğrusal denklem sistemi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) x – 4y = 0
B) x + 2y = 0
2x – y = 1
2x – 3y = 1
C) 2x + y = 1
D) 3x – 2y = 1
x–y=0
x + y toplamı kaçtır?
B) –1
C) 3
olmak üzere, matris gösterimi
Buna göre, det(A2 – B2) kaçtır?
B) 0
B) 2
37. 2012 – LYS
1 0
B==
G
1 1
A) –2
3 1
G
matris eşitliğinde a kaçtır?
A) –3
A) – 4
1 0
2x + y = 0
E) 3x + 4y = 1
C) 0
D) 1
E) 2
2x – y = 0
35. 2012 – LYS
a, b ve c birer pozitif gerçel sayı olmak üzere,
=
a b
0 c
G.=
a b
0 c
G==
1 2
0 4
G
matris eşitliği veriliyor.
Buna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
A)
11
3
B)
7
4
C) 4
D) 5
E) 6
423
ESEN ÜÇRENK
MATEMATİK ve GEOMETRİ KİTAPLARIMIZ
ESEN
ÜÇRENK
MATEMATİK ve GEOMETRİ KİTAPLARIMIZ
9. SINIF
10. SINIF
11. SINIF
12. SINIF
YGS - LYS
www.nevzatasma.com & www.halitbiyik.com