Sürekli Olasılık Dağılımları

Sürekli Olasılık Dağılımları
• Bir rassal değişkenin sayılamayacak sayıda sınırsız
değerler alabiliyorsa bu değişkene
“Sürekli rassal
değişken” adı verilmektedir. Sürekli rassal değişkenin
aldığı değerler sayılabilir olmayıp, gerçek sayılar
eksenindeki bütün değerleri alabilir.
• Sürekli rassal bir değişkenin tanım aralığındaki herhangi
bir değeri tam olarak alması imkansızdır. Çünkü gerçek
sayılar ekseninin her aralığında sonsuz sayıda sayı
(nokta) mevcuttur. Sonsuz noktadan birinin çekilmesi
olasılığı 1/∞=0 dır. O halde sürekli tesadüfi bir değişkenin
her hangi bir değeri tam olarak alma olasılığı sıfır
olduğundan, her hangi bir olasılıktan bahsedebilmek için
belli bir aralığın olasılığının araştırılması gerekir.
Sürekli Olasılık Dağılımları
• X sürekli rassal değişkenin dağılım fonksiyonu F(x)
(kümülatif yoğunluk fonksiyonu) olsun. Bunun türevi olan
F’(x)=f(x) ’e olasılık fonksiyonu (olasılık yoğunluk fonksiyonu
) diyebilmek için şu iki şartın birlikte sağlanması gerekir.
• 1)
f ( x)  0

• 2)
 f ( x)dx  1

• 1. şart X’in olasılığının sıfır veya pozitif alacağını
• 2. şart ise bütün örnek uzayın olasılığının 1’e eşit olacağını
ifade eder.
• Buradan hareketle , a ve b aralığında bulunan X değişkenin
olasılığı şöyle tarif edilir.
b
P(a  X  b)  F (b)  F (a)   f ( x)dx
a
Sürekli Olasılık Dağılımları
Örnek: Aşağıdaki fonksiyonun olasılık yoğunluk fonksiyonu
olabilmesi için
a) k sabiti ne olmalıdır ?
kx2
0x4
f ( x)  
b) P(1<X<3)ü hesaplayınız .
0
x  0; x  4

c) Grafiğini çiziniz.
Çözüm: a) fonksiyonun olasılık fonksiyonu olabilmesi için şu iki
şartı sağlaması gerekli idi

1) f ( x)  o
2)
 f ( x)dx  1

Şartlardan 1. si için k>0 şartı yeterlidir. 2. Şart için şu işlem
yapılarak k bulunur.

4
3
kx
2
f
(
x
)
dx

1

kx

0 dx  1  3
4
0
1
64k
1
3
k
3
64
Sürekli Olasılık Dağılımları
3
b) P (1  x  3)  
1
3
3 2
3 x3
f ( x)dx  
x dx 
64
64 3
1
3
1

3  27 1 
3 26 26 13
 
x



64  3 3  64 3
64 32
olasılık yoğunluk fonksiyonu
Olasılık dağılım fonksiyonu
1,2
0,08
0,07
1
0,8
0,05
F(x)
0,04
0,6
0,03
0,02
0,4
0,01
0,2
4
4,
4
4,
8
5,
2
2
2,
4
2,
8
3,
2
3,
6
0,
4
0,
8
1,
2
1,
6
0
5,2
4,8
4,4
4
3,6
0
-0
,8
-0
,4
X
3,2
2,8
2,4
2
1,6
1,2
0,8
0,4
0
0
f(x)
0,06
X
Sürekli Olasılık Dağılımları
Örnek: Aşağıda verilen fonksiyonunun olasılık yoğunluk
fonksiyonu olabilmesi için
• a) k ne olmalıdır.
kx  kx2
0  x 1
f ( x)  
• b) P(X>0,5) i bulunuz.
x  0; x  1
0
Çözüm: a)



f ( x)dx  1   (kx  kx2 )dx  1
kx2 kx3
2
3
b)
1
0
1
0

k k 3k  2k k
 
 1
2 3
6
6
k6
1
2
3
6
x
6
x
P(0,5  x  1) =  (6 x  6 x 2 )dx 

2
3
0,5
 3 - 2 - 0,75  0,25  0,5
1
0,5
3x  2 x
2
3 1
0,5
Sürekli Olasılık Dağılımları
Örnek: X tesadüfi değişkenin dağılım fonksiyonu aşağıdaki şekildedir.
1 - e -2x
F(x)  
0
x0
x0
a) Olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz.
b) P(X>2) olasılığını,
c) P(-3<X<4) olasılığını,
d) P(X=5) olasılığını hesaplayınız.
Çözüm:
2 x

2
e
x0
d
a)
f ( x) 
F ( x)  
dx
0

b)
P( X  2)   2e du  e
2
 2u
x0
 2u

2
 e 4  0,018
24
8
1

e

1

e
 1  0,00034  0,99966
c) P(-3<X<4)=P(0<X<4)=F(4)=
Sürekli Düzgün (Uniform) dağılım
• X sürekli değişkeninin tanım aralığındaki olasılıkları eşit ise X
in dağılımı uniform dağılım olarak kabul edilir.
• Bu dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyledir.
 1

f ( x)     
0

 x
x 
• Burada  ve  dağılımın parametreleri olup gerçek
sabitlerdir. ()
• Bu dağılımın dağılım fonksiyonu şöyle yazılır.
0

 x 
F ( x)  P( X  x)  
 

1
x 
 x
x
Sürekli Düzgün (Uniform) dağılım
Örnek: X tesadüfi değişkeni -2<X<2 aralığında uniform olarak
dağılmıştır.
a) P(X<1) olasılığını bulunuz.
1
b) P ( X  1  ) yi hesaplayınız.
2
Çözüm:
1
1
1
a) P(X  1)   dx  x
4
4
2
1
2
1 2 3
  
4 4 4
1
b) P( X  1  )  P(2  x  0,5)  P(1,5  x  2)  1  P(0,5  x  1,5)
2
1, 5
1
1
1 3
1, 5
1,5  0,5 
 1   dx 1  ( x) 0,5  1  
 1 

4
4
4 4
 4 
0,5
Düzgün dağılım olasılık fonksiyonu grafikleri
Olasılıkdağılım fonksiyonu
1,2
0,025
1
0,02
0,8
F(x)
0,03
0,015
0,6
0,01
0,4
0,005
0,2
X
2,3
2
1,7
1,4
1,1
0,8
0,5
0,2
-0,1
-0,4
-0,7
-1
-1,3
-1,6
-1,9
-2,2
-2,5
2,3
1,9
1,1
X
1,5
0,3
0,7
-0,1
-0,9
-0,5
-1,3
-2,1
0
-1,7
0
-2,5
f(x)
Olasılık Yoğunluk Fonk
Düzgün dağılımın beklenen değer ve varyansı
• Düzgün dağılım fonksiyonu:
1
f ( x) 
 
 x
• Düzgün dağılımın beklenen değeri:


2
1
x
 2  2
E( X )   x
dx 

 
2(    )  2(    )

(    )(    )
E( X ) 
2(    )
E( X ) 
 
2
olur .
Düzgün dağılımın varyansı
• Varyans için önce E(X2) hesaplanır.

1
x3
2
2
E( X )   x
dx 
 
3(    )



(    )(  2     2 )
E( X ) 
3(    )
2
 3  3

3(    )
E( X 2 ) 
• Düzgün dağılımın varyansı:
Var( X )  E ( X 2 )  [ E ( X )] 2 idi
Var ( X ) 
 2     2
3
(   ) 2
Var ( X ) 
12
[
 
2
]2
 2     2
3
2. Üstel (Exponential) dağılım
•
Bu dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyledir.
 1 ( x )
 e
f ( x)   
0

x  0 için
diger haller
Dağılımın tek parametresi µ olup, dağılımın ortalamasıdır
(beklenen değeri). µ>0 olduğundan f(x)>0 olup olasılık
fonksiyonunun 1. şartı yerine gelmiş olur.
2. Şart için dağılımın tanım aralığında integrali alınır.



0
f ( x)dx 





f ( x)dx   f ( x)dx  0   f ( x)dx  
0
0
0
1

x
( )
e

dx  e
x
( )


Böylece fonksiyonun olasılık fonksiyonu olduğu görülür.
1
0
Üstel (Exponential) dağılım
Üstel dağılımın olasılık dağılım fonksiyonu
x


1  e 
F( x )  
0
x0
aksi durum
Üstel dağılımın olasılık yoğunluk ve dağılım fonksiyonu grafikleri
Üstel (Exponential) dağılım
Örnek:Bir işletmenin üretilmiş olduğu elektronik
cihazların arızasız çalışma sürelerinin (saat
cinsinden ) üstel dağılıma uyduğu görülmüştür
ve ortalama arızasız çalışma süresinin 24 saat
olduğu hesaplanmıştır. Buna göre
•
a )Rastgele seçilen bir cihazın en az 12 saat
arızasız çalışma olasılığını hesaplayınız
•
b) En fazla 36 saat arızasız çalışması
olasılığını bulunuz ?
•
c) Seçilen cihazın 30 saatten fazla çalışma
olasılığı %80 olabilmesi için bu cihazların
ortalama arızasız çalışma süresi ne olmalıdır?
Üstel (Exponential) dağılım
x
Çözüm:
a)
1  24
f ( x) 
e
24

x
c)
x

1  24
P( X  12)   e dx   e 24
24
12
36
b)
x0
x
1
e
x
( )

dx 
30

-e


e

1

(..)e
 0,8
x
( )
36
0
e
12
24
 1  e 1,5  1  0,2231  0,7769


 e 0,5  0,6065
 0,8   e
x
( )


30
 0,8
30
30

12
x

1  24
P(0  x  36)   e dx   e 24
24
0




e
30

 0,8  -
30

 ln 0,8    134 saat
Üstel dağılımın beklenen değer ve varyansı
• Üstel dağılım fonksiyonu:
f ( x) 
1


e
x

x0
• Beklenen değer:

E( X )   x
0
1


e
 udv  uv   vdu
x

dx 
1



x

xe
 dx
0
ux
dv  e
du  dx

x

dx
v   e
kismi integrasyo n islemi ile
x


1
E ( X )   xe 
 

0
x


  e  dx   xe 

0

E ( X )   elde edilir .
Var ( X )   olur.

x

0
 e

x


0

x

Üstel (Exponential) dağılım
• Problem: Bir otomobil servis istasyonuna gelen otomobillerin
servis süresinin üstel olduğu ve en çok 60 dk servis görme
olasılığı %40 olduğuna göre;
• a) Ortalama servis süresini hesaplayınız
Üstel (Exponential) dağılım
• b) En az 100 dk. süreyle servis görme olasılığını bulunuz.
• c) Servis süresinin en az 20dk. ve ortalamasının 70dk olan
uniform dağılıma uyması durumunda en fazla servis süresi ve
herhangi bir otomobilin 85 dk. dan fazla servis görme olasılığını
bulunuz.