Binom Dağılımı Normal Dağılım

SÜREKLİ ŞANS
DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK
YOĞUNLUK FONKSİYONLARI
• Üstel Dağılım
• Sürekli Üniform Dağılım
• Normal Dağılım
1
Üstel Dağılım
• Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre
veya bir başka ifadeyle ilgilenilen olayın ilk defa
ortaya çıkması için geçen sürenin dağılışıdır.
Örnek:
• Bir bankada veznede yapılan işlemler arasındaki
geçen süre,
• Bir taksi durağına gelen müşteriler arasındaki
süre,
• Bir hastanenin acil servisine gelen hastaların
arasındaki geçen süre,
• Bir kumaşta iki adet dokuma hatası arasındaki
uzunluk (metre).
2
• Belirli bir zaman aralığında mağazaya gelen
müşteri sayılarının dağılışı Poisson Dağılımına
uygundur.
• Bu müşterilerin mağazaya varış zamanları
arasındaki
geçen
sürenin
dağılımı
da
Üstel Dağılıma uyacaktır.
• Üstel Dağılımın parametresi b olmak üzere Üstel
ve Poisson Dağılımlarının parametreleri arasında
şu şekilde bir ilişki vardır.
 
1
b
3
Üstel Dağılımın Olasılık
Yoğunluk Fonksiyonu
b : iki durumun gözlenmesi için gereken
ortalama süre yada ölçülebilir uzaklık.
x : iki durum arasında veya ilk durumun ortaya
çıkması gereken süre yada uzaklık.
S={x/0<x<∞}
 1  bx
 e
f x    b
0

,x 0
diger durumlarda
4
Üstel Dağılımının
Beklenen Değer ve Varyansı
E x   b
Beklenen Değer
Var x   b
Varyans
b = 10 parametreli bir
populasyondan alınan
n = 1000 hacimlik bir
örnek için oluşturulan
histogram.
200
Frekans
2
100
0
0
10
20
30
40
X
50
60
70
80
5
Örnek: Bir taksi durağına bir saatlik zaman dilimi içerisinde gelen
taksilerin geliş sayısı Poisson Dağılışına uygun bir şekilde
gerçekleşmektedir. Durağa saatte ortalama 24 adet taksinin geldiği
bilindiğine göre durağa gelen bir yolcunun en çok 5 dakika
beklemesi olasılığı nedir?
Saatte ( 60 dakikada ) 24 adet taksi geliyorsa,
1 dakikada 24/60 adet taksi gelir. 1 adet taksi gelmesi için gereken
süre b = 2,5 dk olur. P ( x ≤ 5 ) = ?
x


 1 e 2, 5
f x    2,5

0
5
1
P( x  5)  
e
2,5
0
HESAPLAMA KOLAYLIĞI!!
,x 0

diger durumlarda

1
x
2, 5

P( x  a)  
1
dx  1  
e
2,5
5
a

1
x
2, 5
dx  1  e
1
b


x
e b dx  e
5
2, 5
 1  e 2
6

a
b
Sürekli Üniform Dağılımı
• a ve b gibi iki nokta arasından bir sayı
seçmek
istediğimizde herhangi bir değeri alabilecek x şans değişkeni
uniform dağılışı göstermektedir.
• Sürekli üniform dağılımı ilgilenilen şans değişkeninin
olasılık fonksiyonu hakkında bir bilgiye sahip olunmadığında
ve verilen aralık içerisinde tanımlanan olayın eşit olasılıklarla
ortaya çıkacağı varsayımı yapıldığında kullanışlıdır.
7
Sürekli Uniform Dağılımının
Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
 1

f x    b  a

0

a  x b
dd
HESAPLAMA KOLAYLIĞI!!
d c
P (c  x  d ) 
ba
Beklenen Değer ve Varyans
ab
E x  
2

b  a
Var  x  
2
12
8
b = 10 ve a = 5 parametreli sürekli üniform
dağılımı
gösteren
bir
populasyondan
n = 10000 hacimlik örnek için oluşturulan
histogram.
250
Frekans
200
150
100
50
0
5
6
7
8
9
10
X
9
Örnek: Bir demir-çelik fabrikasında üretilen çelik
levhaların kalınlıklarının 150 ile 200 mm arasında
değiştiği ve bunların sürekli uniform şans değişkenine
uygun olduğu bilinmektedir. Levha kalınlıkları 155 mm
altında çıktığı zaman tekrar üretime gönderildiğine göre
bu dağılımın beklenen değerini ve varyansını bulunuz
ve üretim sürecinde tekrar üretime gönderilen levhaların
oranını bulunuz.
a) Bu dağılışın ortalama ve varyansı;
E(x)=(150+200)/2 =175 mm
Var(x)=(200-150)2/12 = 208.33 mm2 bulunur.
b) Üretime geri döndürülen ürünlerin oranı ise;
P(150 < x < 155 )= (155-150) / (200-150) = 0,1
Ürünlerin %10’u üretime geri gönderilmektedir.
10
NORMAL DAĞILIM
11
• Sürekli ve kesikli şans değişkenlerinin dağılımları
birlikte ele alındığında istatistikte en önemli dağılım
Normal dağılımdır.
• Normal dağılım ilk olarak 1733’te Moivre tarafından
p başarı olasılığı değişmemek koşulu ile binom
dağılımının limit şekli olarak elde edilmiştir. 1774’te
Laplace hipergeometrik dağılımını limit şekli olarak
elde ettikten sonra 19. yüzyılın ilk yıllarında
Gauss 'un katkılarıyla da normal dağılım istatistikte
yerini almıştır.
12
dağılımın
ilk
uygulamaları
doğada
gerçekleşen olaylara karşı başarılı bir biçimde uyum
göstermiştir. Dağılımın göstermiş olduğu bu uygunluk
adının Normal Dağılım olması sonucunu doğurmuştur.
• Normal
• İstatistiksel yorumlamanın temelini oluşturan Normal
Dağılım, bir çok rassal süreçlerin dağılımı olarak
karşımıza çıkmaktadır.
• Normal dağılış kullanımının en önemli nedenlerinden
biride bazı varsayımların gerçekleşmesi halinde kesikli
ve sürekli bir çok şans değişkeninin dağılımının
normal dağılışa yaklaşım göstermesidir.
13
Normal Dağılımın Özellikleri
• Çan eğrisi şeklindedir.
• Simetrik bir dağılıştır.
• Normal Dağılımın parametreleri,
E (x)  
Var ( x)  
2
f(x )
Ortalama=Mod=Medyan
x
14
Normal Dağılımın Olasılık
Yoğunluk fonksiyonu
 1

e
f ( x)   2

0

1  x 
 

2  
2
,  x  
, diger
yerlerde
  3,14159...
e = 2,71828
 = populasyon standart sapması
 = populasyon ortalaması
15
Parametre Değişikliklerinin
Dağılımın Şekli Üzerindeki Etkisi
A
f(x )
C
B
x
 A   B  C
  
2
A
2
B
2
C
16
Normal Dağılımda Olasılık Hesabı
Olasılık eğri altında
kalan alana eşittir!!!!
f(x )
d
P(c  x  d )   f ( x)dx  ?
c
c
ÖNEMLİ!!!
d
x

P (  x  ) 
 f ( x)dx  1

17
A
Normal dağılım ortalama
ve
standart
sapma
parametrelerinin
değişimi
sonucu
birbirinden farklı yapılar
gösterir.
f(x )
• Her dağılımın için olasılık
yoğunluk fonksiyonunu kullanarak
C
B
x
olasılık
hesaplama
güçlüğü
olasılık değerlerini içeren tablolar
kullanma zorunluluğunu ortaya
çıkarmıştır .
• Birbirinden farklı sonsuz sayıda
normal dağılış olabileceği için
olasılık
hesaplamasında
kullanmak üzere sonsuz sayıda
tablo gereklidir.
18
Standart Normal Dağılım
• Olasılık hesaplamasındaki zorluktan dolayı normal
dağılış gösteren şans değişkeni standart normal
dönüştürülür.
• Böylece tek bir olasılık tablosu kullanarak normal
dağılış ile ilgili olasılık hesaplamaları yapılmış olur.
• Standart normal dağılımda ortalama 0 , varyans
ise 1 değerini alır.
• Standart normal değişken z ile gösterilir.
19
Standart Normal Şans Değişkeni
z
x
• X ~ N (  , 2 )

• Z ~ N ( 0 , 1)
f(x )
f(z )

1

x
0
z
20
21
Standart Normal Dağılım
Tablosunu Kullanarak
Olasılık Hesaplama
f(z )
P(0  z  1)  ?
0
1
z
P(0  z  1)  0,3413
22
f(z )
P ( z  1)  ?
0
1
z
1  P(0  z  1)  1  0,3413  0,1587
23
SİMETRİKLİK ÖZELLİĞİNDEN DOLAYI 0’DAN
EŞİT UZAKLIKTAKİ Z DEĞERLERİNİN 0 İLE
ARASINDAKİ KALAN ALANLARININ DEĞERLERİ
BİRBİRİNE EŞİTTİR.
P(0  z  a)  P(a  z  0)
f(z )
-a
0
a
z
24
f(z )
P(1  z  1)  ?
-1
0
1
z
P(1  z  1)  P(1  z  0)  P(0  z  1)
 2 * P(0  z  1)  2(0,3413)  0,6826
25
f(z )
P(1,56  z  0,95)  ?
-1,56 -0,95
0
z
P(1,56  z  0,95)  P(1,56  z  0)  P(0,56  z  0)
 0,4406  0,3289  0,1117
26
Normal Dağılımın Standart Normal
Dağılım Dönüşümü
P ( a  X  b)  ?
X ~ N (  , 2 ) Z ~ N ( 0 , 1)
a x b 
P ( a  X  b)  P




 
 
 P ( z a  z  zb )
f(x )
f(z )
a

b
x
za 0
zb
z
27
Bir işletmede üretilen vidaların çaplarının
uzunluğunun, ortalaması 10 mm ve standart sapması
2 mm olan normal dağılıma uygun olduğu bilinmektedir.
Buna göre rasgele seçilen bir vidanın uzunluğunun
8,9mm ‘den az olmasının olasılığını hesaplayınız.
• Örnek:
P( X  8,9)  ?
X ~ N ( 10 , 4 )
 x   8,9  10 
P( X  8,9)  P

  P( z  0,55)
2 
 
f(z )
P ( z  0,55)  0,5  0,2088
 0,2912
-0,55
0
z
28
Binom Dağılımının Poisson
Dağılımına Yakınsaması
29
şans değişkeni n ve p parametreli Binom Dağılımı
göstermek üzere, n deneme sayısının büyük olduğu
ayrıca p başarı olasılığının küçük olduğu durumlarda
( tercihen np ≤ 5 ) , x şans değişkeni ile ilgili olasılık
hesaplamalarında kolaylık sağlaması açısından
Binom Dağılımı yerine Poisson Dağılımı kullanılır.
• Her iki dağılımın beklenen değeri(ortalaması)
birbirine eşitlenir ve buradan λ’nın tahmini elde edilir.
•X
•Binom Dağılımı
E ( x)  np
•Poisson Dağılımı
E (x)  
  np
30
• Örnek: Bir sigorta şirketinin müşterilerinin trafik kazası
sonucunu hayatını kaybetme olasılığı 0,003’dür. Sigorta
şirketinin müşterilerinden 1000 kişilik bir örnek alındığında,
a) 4 müşterinin,
b) En az iki müşterinin trafik kazasında hayatını kaybetme
olasılığın hesaplayınız.
•n = 1000 p =0,003
np = 3 ≤ 5
  np = 1000(0,003)= 3
•a) P ( X = 4 ) = ?
•b) P ( X ≥ 2 ) = ?
e 3 34 27 3
P( X  4) 

e
4!
8
•P ( X ≥ 2 ) = 1 – [ P ( X = 0) + P ( X = 1) ]
 e 3 30 e 3 31 
3
P( X  2)  1  

  1  4e
1! 
 0!
31
Binom Dağılımının Normal
Dağılımına Yakınsaması
32
X şans değişkeni n ve p parametreli Binom Dağılımı
göstermek üzere, n deneme sayısının büyük olduğu
ayrıca p başarı olasılığının 0,5 değerine yaklaşması
sonucunda( tercihen np > 5 ) , x şans değişkeni ile ilgili
olasılık hesaplamalarında kolaylık sağlaması açısından
Binom Dağılımı yerine Normal Dağılım kullanılır.
• Normal Dağılımın parametreleri olan  ve 2 tahmin
edilirken Binom Dağılımının beklenen değer ve varyans
formülleri dikkate alınır.
•
•Normal Dağılım
•Binom Dağılımı
E (x)  
2
Var ( x)  
E ( x)  np
Var ( x)  np(1  p)
  np
  np(1  p)
2
33
Süreklilik Düzeltmesi
• Binom Dağılımı kesikli, normal dağılım ise sürekli bir dağılım
olduğundan dolayı, binom dağılımını normal dağılıma
yakınsadığı durumlar için olasılık hesaplamalarında süreklilik
düzeltmesi kullanılması zorunluluğu vardır.
• Kesikli bir şans değişkeni gösteren dağılım sürekli bir
dağılıma yakınsadığında tamsayı değerleri sürekli bir eksende
tanımlanır.
P(a  X  b)  Pa  0,5  X  b  0,5
P( X  a)  P X  a  0,5
P( X  a)  P X  a  0,5
34
• Örnek: Bir kampüste okuyan öğrencilerin % 20 si sigara
içmektedir. Öğrencilerden 225 kişilik bir örnek alındığında,
a) 40’dan fazla kişinin sigara içme olasılığını,
b) 30 kişinin sigara içme olasılığını hesaplayınız.
•n = 225 p = 0,20
np = 45 > 5
  np = 225(0,20)= 45   np(1  p)  225(0,20)(0,80)  6
•a) P ( X ≥ 40) =? →
P ( X ≥ 39,5) = ?
39,5  45 

P( X  39,5)  P z 
  P( z  0,92)  0,5  0,3212  0,8212
6


•b) P ( X = 30) =? → P ( 29,5 < X < 30,5) = ?
30,5  45 
 29,5  45
P(29,5  X  30,5)  P
z
  P(2,58  z  2,42)
6
6


 0,4949  0,4922  0,0027
35
Poisson Dağılımının Normal
Dağılımına Yakınsaması
36
X şans değişkeni λ parametreli Poisson Dağılımı
göstermek üzere, λ parametresinin
büyük olduğu
durumlarda ( tercihen λ ≥ 20 ) , x şans değişkeni ile ilgili
olasılık hesaplamalarında kolaylık sağlaması açısından
Poisson Dağılımı yerine Normal Dağılım kullanılır.
• Normal Dağılımın parametreleri olan  ve 2 tahmin
edilirken Poisson Dağılımının beklenen değer ve
varyans formülleri dikkate alınır.
•
•Poisson Dağılımı
E (x)  
Var (x)  
•Normal Dağılım
E (x)  
2
Var ( x)  
  2 
37
• Örnek: Bir havaalanından 1 saatlik süre içerisinde ortalama
olarak 49 adet uçak kalkmaktadır.1 saatlik süre içerisinde
a) 60’dan fazla uçak kalkmasının olasılığını,
b) 30 ile 40 adet arasında bir uçak kalkmasının olasılığını
hesaplayınız.
•λ = 49 ≥ 20
 = λ = 49
    49  7
•a) P ( X > 60) = ? → P ( X > 59,5) = ?
59,5  49 

P( X  59,5)  P z 
  P( z  1,5)  0,5  0,4332  0,0668
7


•b) P ( 30 < X < 40) = ? → P (29,5 < X < 40,5) = ?
40,5  49 
 29,5  49
P(29,5  X  40,5)  P
z
  P(2,79  z  1,21)
7
7


 0,4974  0,3869  0,1105
38